（系统分析与集成专业论文）积分方程求解及一类机械化算法研究.pdf

摘要 积分方程是继微分方程之后出现的一个新的近代数学的重要分支，也是科学研 究和解决工程技术问题的重要工具之一，具有广泛的应用方程求解是积分方程研 究的热点和雉点之一。本文在前人研究的基础上，利用吴文俊院士所倡导的“数学机 械化”的思想和方法研究了积分方程求解以及机械化算法等问题主要工作包括如 下几个部分： 第一章，简要综述了积分方程研究简史、积分方程求解方法、数学机械化及其 应用等，在此基础上探讨了运用数学机械化思想和方法求解积分方程的必要性与可 行性 第二章，研究了f r e d h o l m 积分方程及其方程组的豫解核求解法，在此基础一h ， 建立了基于国际通用计算机代数系统m a p l e 平台的机械化算法，利用这些算法求 解f r e d h o l m 积分方程时，所要做的全部事情就是输入描述方程的信息，然后机械化 算法将给出所求方程的解析解特别地，在机械化求解的算法设计中，为了增加求解 过程的逻辑性和理解度，设计了可读性求解过程输出，使得机械化求解结果与我们 用纸和笔求解方程时的过程几乎足一样的 第三章，研究t v o l t e r r a 积分方程的n e u m a n n 级数与t a y l o r 级数求解法以及求 解v o l t e r r a 积分方程组的迭代法，在此基础上，在m a p l e 平台上建立了相应的机械 化算法，利用这些算法获得了此类积分方程( 组) 的解析解或者近似解特别是 在利用n e u m a n n 级数法求解v o l t e r r a 积分方程的过程中，将得到的有限迭代核序 列七( s ，) ( n = 1 ，2 ，1 0 ) “分解”为若干个部分，对每一部分逐一运用数学归纳 法，最后再按照原来“分解”的逻辑顺序合并在一起，从而获取了迭代核的通项公 式护( s ，t ) ，对此无穷求和获得了该类积分方程的解析解，也就是探论了利用有限项 结果通过数学归纳法得到通项公式并最终得到解析解的自动化推理问题。 第四章，研究了高阶非线性v o l t e r r a - f r e d h o l m 积分一微分方程的t a y i o r 爹；项式解 的算法，在此基础上，建立了基于m a p l e 平台的机械化算法，利用浚算法获得了此类 积分微分方程的t a y l o r 多项式解或解析解在此基础上，研究了所建立的机械化算 法用于求解高阶常微分方程的问题 最后，也就是第五章，给出了全文的总结与相关讨论 研究结果表明，数学机械化是积分方程求解的有效方法之一，计算机高效快捷 的特点能够帮助人们完成复杂的计算这将为其它类型方程求解提供参考 关键词：积分方程，求解，算法，数学机械化，符号计算，计算机代数系统 a b s t r a c t i n t e g r a le q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e mm a t h e m a t i c s ，w h i c hh a sb e e n o n eo ft h ep r i n c i p a lt o o l so fv a r i o u sa r e a so fs c i e n t i f i cr e s e a r c ha n de n g i n e e r i n gs o l v i n g a n ds oo n i n t e g r a le q u a t i o ni se n c o u n t e r e di nav a r i e t yo fa p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s i nt h ea r e ao fi n t e g r a le q u a t i o n ，s o l v i n gh a sl o n gb e e na n dw i l lc o n t i n u et ob eo n eo f t h e d o m i n a n tt h e m e s b a s e do nt h er e s u l t so fi n t e g r a le q u a t i o n ，e s p e c i a l l ya c c o r d i n gt ot h e t h o u g h t sa n dm e t h o d so f m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o nd u e t oa c a d e m i c i a nw e n t s u nw u ，i n t h i sp a p e r ，s e v e r a lm e c h a n i c a la l g o r i t h m si nm a p l ef o rs o l v i n gi n t e g r a le q u a t i o n ( s ) h a v e b e e ne s t a b l i s h e d t h em a i nr e s u l t sa l ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e rl ，w eg i v eas u r v e ya b o u tt h eb r i e fh i s t o r yo fi n t e g r a le q u a t i o n ，t h em e t h o d sf o rs o l v i n gi n t e g r a le q u a t i o n ，t h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o nw i t ha p p l i c a t i o n sa n d s o no n b a s e do nt h e s er e s u l t s ，w ei n d i c a t et h a ti tw i l lb eu s e f u lf o rs o l v i n gt h ei n t e g r a l e q u a t i o nw i t hm e c h a n i z a t i o n i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h et h e o r i e sa n dm e t h o d so fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n dc o m p u t e ra l g e b r a ，b a s e do nt h em e t h o do fr e s o i v e n to fak e r n e l ，r e l i a b l ea l g o r i t h m sf o rs o i v - i n gt h ef r e d h o i mi n t e g r a le q u a t i o n ( s ) ，a n dm e c h a n i c a lm a p l ea l g o r i t h m sa r ee s t a b l i s h e d ， t o o t h ea l g o r i t h m sc a np r o v i d et h ec o n t i n u o u ss o l u t i o no ft h es e c o n dk i n do ff r e d h o l m i n t e g r a le q u a t i o n c o m p u t i n ge x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c ya n da e - c u r a c yo ft h ea l g o r i t h m s e s p e c i a l l y ，f o rt h es a k eo fr e a d i n g ，w ee s t a b l i s h e dt h ef o r mo f r e a d a b l eo u t p u t t i n gf o rt h er e s u l t s s o ，t h ew h o l ep r o c e s s e so fs o l v i n gt h ei n t e g r a le q u a - t i o nw eo b t a i n e da r ej u s tl i k ew ed oi tw i t ho u rh a n d sa n dp a p e r s t h ef o r mo fr e a d a b l e o u t p u t t i n gm a y b eag o o dm e t h o df o rc o m p u t e r - a i d e dp r o v i n go rs o l v i n g i nc h a p t e r3 ，r e l i a b l em e c h a n i c a la l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a - t i o n ( s ) w i t hn e u m a n ns e r i e s ，t a y l o rs e r i e sa n di t e r a t e dc o l l o c a t i o nm e t h o da r ee s t a b - l i s h e d ，r e s p e c t i v e l y i np a r t i c u l a r , t h ea l g o r i t h mc a np r o v i d et h ee x a c ts o l u t i o no ft h e s e c o n dk i n do fv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o nb yt h em e t h o d so fn e u m a n n s e r i e sa n dm a t h e m a t i c a li n d u c t i o n ，i e ，t h ea l g o r i t h mc a na l s oc o m p u t et h en - t ht e r mb yf i n i t et e r m s o f t h e i t e r a t i v ek e r n e l i ti ss h o w nt h a tt h em e c h a n i c a la l g o r i t h m sa r ee f f i c i e n ta n da c c u r a t ef o r s o l v i n gt h ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n ( s ) i nc h a p t e r4 ，ar e l i a b l ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gh i g h - o r d e rn o n l i n e a rv o l t e r r a f r e d h o l m i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw a se s t a b l i s h e d ，a n da n e wm a p l ea l g o r i t h mw a se s t a b l i s h e dt o o t h er e s u l t so ft h ee x a m p l e si n d i c a t e dt h a tt h ea l g o r i t h mo ft a y l o rp o l y n o m i a l m e t h o di ss i m p l ea n de f f e c t i v e ，a n dc o u l dp r o v i d ea na c c u r a t ea p p r o x i m a t es o l u t i o no re x - a c ts o l u t i o no ft h eh i g h - o r d e rn o n l i n e a rv o l t e r r a f r e d h o l mi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n f u r t h e r m o r e ，t h em e c h a n i c a la l g o r i t h mc a nb ea p p l i e dt os o l v i n gh i g h - o r d e ro r d i n a r yd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n a n di nt h el a s ts e c t i o n w eg i v es o m ed i s c u s s i o n sa n dr e m a r k s t h er e s u l t si n d i c a t et h a tm a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o ni sav a l i dt o o lf o rs o l v i n gt h e i n t e g r a le q u a t i o n ( s ) i tw i l lb eu s e f u lf o rs o l v i n go t h e re q u a t i o n s k e yw o r d s ：i n t e g r a le q u a t i o n ；s o l v e ；a l g o r i t h m ；m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ； s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ；c o m p u t e ra l g e b r as y s t e m 1 1 1 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说 明并表示谢意 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：互丝卑 导师签名： 学位论文作者签名：丝丝牢! f 导师签名： 日期：堡! ! 兰：垒日期： 第一章绪论弟一早z 百。了匕 积分方程( i n t e g r a le q u a t i o n ) ，即被积函数含有未知函数的方程，是继微分方程之 后出现的一个新的近代数学的重要分支，它与微分方程、泛函分析、计算数学、位 势理论和随机分析有着紧密和重要的联系【1 5 ，6 0 t6 1 7 9 1 1 2 ，1 9 1 ，2 0 0 d h i l b e r t 曾 指出e 4 s 】，积分方程的研究对于定积分理论、级数理论、线性微分方程理论和变分 法都是重要的【o u ，朋 众所周知，数学模型是解决实际问题的一种重要手段同一个问题，既可以 用微分方程的定解问题来描述，也可以用积分方程来描述而微分方程的定解问 题又可以化为等价的积分方程，这不仅可以降低维数，减少计算时所用节点的个 数，缩短计算时间，还可使未知函数性质上的限制减弱( 只要满足积分方程即可) ， 这样可以不再通过寻求微分方程所有可能的解到最后再利用定解条件来确定满 足定解问题的解，而是把满足方程与适合定解条件同时体现在积分方程这一紧凑 的形式中特别地，积分算子常常较微分算子具有更好的性质，更适合于分析和论 证【6 0 ，7 9 ，l1 2 ，1 9 1 此外，有些刻画扩散与迁移现象的数学问题，不能用微分方程来 表示，为了解决这些问题，就必须用积分方程或积分微分方程来解决，如中子迁移 理论中的一些问题等z 】 另外，积分方程也是科学研究和解决工程技术问题的一个重要数学工具，在静 电学、电动力学、弹性力学、流体力学、电磁场理论、辐射学、地球物理勘探以及航 空航天、土木、机械等领域的前沿问题研究中，许多问题都可化为求解对应的积分 方程，因而有着j “泛的应用 1 5 ，6 0 ，6 1 ，6 6 ，7 9 ，l1 2 ，1 9 1 ，2 0 0 由于v v o l t e r r a , i f r e d h o l m 以及e s c h m i d t 等一大批研究人员关于积分方程的 出色工作，使得积分方程这门学科的研究在相当长一段时间内成了一种世界性的 狂热，也使积分方程的研究无论从深度和广度来讲都有了很大的发展，产生了大量 的文献，而且很多文献具有一定的应用价值后来，由于积分方程的复杂性，研究 的热度有所下降 0 0 1 目前，随着计算机科学与技术的迅猛发展，为科学界和工程 界提供了有力的计算工具，积分方程及其应用的研究也随之活跃起来，有关的杂 志、会议及出版物也不断涌现，预示着积分方程及其应用的研究又可能出现新的高 潮【7 9 l1 2 ，1 9 1 2 0 0 t j j 积分方程研究概况 第一帝绪论 众所周知，我们正处在信息时代，住这个以计算机为标j 基的革命性时代中，特 别是在吴文俊所创立的数学机械化以及数学机械化在数学的诸多领域成功应用的 背景下，对于目前相对较为“冷清”的积分方程研究应该有什么样的创新与之相适应 呢? j 下是基于上述考虑，本文将结合数学机械化的思想和方法，展开对积分方程机 械化求解的研究 本章将从积分方程研究简史、积分方程求解方法、数学机械化及其应用等方面 进行简要综述 1 1 积分方程研究概况 根据已有资料，特别是参考了文献【1 5 ，6 0 ，6 l ，7 9 ，l1 2 ，1 9 1 ，2 0 0 】中关于积分方 程发展简史的有关论述，本节将综述积分方程研究概况，并且较详细地叙述在后续 几章中涉及到的重要概念或定义，在此基础上，本节最后简单归纳总结目前积分方 程研究的丰要方面 积分方程如同微分方程一样起源于数学物理问题积分方程的一般理论是在二 十世纪逐步发展和成熟起来的但是，积分方程的研究则在十八世纪末就已经出现 了早在1 7 8 2 年，pl a p l a c e 就考虑过由 + o o y ( x ) = 矿。q ( t ) d t( 1 1 ) ，一 给出的9 ( ) 的积分方程，而这是今天广泛应用的关于g ( t ) i 拘l a p l a c e 变换公式 1 8 2 3 年，s p o i s s o n 给出了问题( 1 1 ) 中9 ( ) 的表达式，即： 1 f a + i g ( t ) 2 赤上嘲y ( x ) d x ( 1 2 ) 其中，q 充分大 十九世纪，由于科学技术的发展，从一些实际问题中提出了许多关于积分方程 的问题例如，热理论中关于 ， f ( x ) = c o s ( x t ) u ( t ) d t ( 1 3 ) ，0 的反演问题是真正属于积分方程史的值得注意的结果，1 8 11 年，j f o u r i e r 解决了问题 ( 1 3 ) ，并指出函数 即为问题( 1 3 ) 的解 札( t ) = 2f o 。c o s ( 耐) ，( z ) 如 2 1 j 积分方程研究概况 第一章绪论 第一个直接应用并求解积分方程的数学家是n h a b e l a b e l 提出了在地球引 力场中的一个质点下落问题：在一个垂直平面内，求一个质量为m 的质点在垂直等 加速条件下下落所经的路径，使其下落的时间等于下落垂直距离h 的已知函数丁( ) a b e l 从下落质点的动能和势能之间的关系着手研究这一问题假设质点下落 过程中没有摩擦，从高度h 下落到( 1 7 t ) 时，有： 詈( 塞) 2 = 似 刊， 其中，害是在，时刻的切线速度，s 是弧长，9 是重力加速度解出d ，并且求积，即得： j ，h 。x e y 皇( h - 一y ) = 丁( ) 1 ”， 令d s = - u ( y ) d y ，即可得下述积分方程： 厂丝：t(i。1jo v 2 。q 。( h 。- 。y ) 。 在此基础上，a b e l 在后续研究中导出了更一般形式的积分方程，后人称之 为a b e l 积分方程： 心) = z 2 器d f ( 0 n z 时取k ( x ，t ) = 0 即可得相应的( 1 8 ) ，( 1 9 ) 而( x ) = o 时的第 二种积分方程这一特殊情形称为对应的齐次方程 十九世纪中叶，积分方程的主要兴趣是围绕着求解l a p l a c e 方程 u 三象+ 等= 。 啪 ( 也称为“d i r i c h l e t ”问题或“位势方程”，称为l a p l a c e 算子) 有关的边值问题而展开 的，方程要在某条曲线c 所围成的已知平面区域内成立“的边值是某一函数，( s ) ， 它作为沿曲线c 的弧长s 的函数给出这时位势方程的一个解可以表示成： u ( 训) 2 去上p ( s ) l o g 雨b 啦 4 1 1 积分方程研究概况第一章绪论 其中，r ( s ；x ，) 是点s 到区域内部或边界上任一点( z ，驴) 的距离，而p ( s ) 是一个未知函 数，它对c 上的点s = ( z ，可) 满足 f ( s ) = 去加) o g 志扭 ( 1 1 3 ) 显然，这足关于p ( ) 的第一种积分方程换一种选择，如果把方程( 1 1 2 ) 的满足同样 边界条件的解取作 抄( z = 去上u ( s ) 嘉( o g 币b ) 如 其中，袅表示边界上的法向微商，那么u ( 5 ) 必须满足积分方程 ，( s ) = 去妒( s ) + 去上u ( d 未( ，唱币b ) 执 ( 1 4 ) 这是第二种积分方程 由此可见，同一个问题既可以用第一种积分方程表示，也可用第二种积分方程 表示事实上，第一种积分方程在一定的条件下可以转化为第二种积分方程 偏微分方程的另一个问题一波动方程，也是通过积分方程解决的1 8 9 4 年， h p o i n c a r 考虑了带复a 值的波动方程： t i + a u = f ( x ，剪) ， 在此基础上，1 8 9 6 年，他研究了由上述偏微分方程导出的下列形式的积分方程： f b t l ( z ) + 入七( z ，y ) u ( y ) d y = 砂( z ) ， 并且断言，其解是入的亚纯函数 但值得一提的是，“积分方程”一词是18 8 8 年d r e y m o n d 第一个提出的 1 8 8 4 年起，罗马的数学物理教授v v o l t e r r a 在积分方程方面的工作，足线性积分 方程研究的重要转折点，他也因此被认为是积分方程一般理论的创始人v o i t e r r a 研 究了形如( 1 9 ) 的积分方程，即第二种v o l t e r r a 积分方程： f ( x ) = u ( z ) 一入艮( z ，t ) u ( t ) d t ， ( 1 1 5 ) 并且证明了：如果k ( x ，t ) 在正方形a z ，tsb _ k 连续，( z ) 在区间a ，6 】上连续，则对 任意的a ，方程( 1 1 5 ) 有且只有惟一连续解，并且该解可用逐次逼近法求得此外， v o l t e r r a 还给出了第一种v o l t e r r a 积, 分方程 f ( x ) = 入南( z ，t ) u ( t ) d t ( 1 1 6 ) s 1 1 积分方程研究概况第一帝绪论 的求解方法，用的方法是将第一种积分方程( 1 1 6 ) 化为第二种积分方程( 1 1 5 ) 的 形式求解这种求解方法一直延续至今仍在使用在研究过程中，v o l t e r r a 还发 现，第一种v o l t e r r a 积分方程能够转化为含n 个未知数的凡个线性代数方程组的形 式伽一o 。) 与此同时，斯德哥尔摩的数学教授i f r e d h o l m 也一直潜心于d i r i c h l e t 问题的求 解，他吸收了这一时期关于积分方程的各种论述和研究思想，系统地研究了积分方 程理论18 9 9 年，他在给老师m i t t a g l e f f l e r 的一封信中提出了如下形式的积分方程： ，l f ( z ) = u ( z ) + a 七( z ，t ) u ( t ) d t ， ( 1 1 7 ) j 0 其中，k ( x ，) 是正方形0 z ，t 1 上的已知连续函数，( z ) 在区f 自l o ，1 】上连续， 而札( o ) 是未知函数f r e d h o l m 认为，积分方程( 1 1 7 ) 的解可以表示为a 的两个整函数 的商的形式1 9 0 0 年，f r e d h o l m 发表了第一篇关于积分方程求解理论的论文1 3 2 1 ，提 出了与核函数k ( x ，t ) 有关的f r e d h o l m 行列式d ( 入) 和f m d h o i m 子式d x ( x ，t ) ，并且证明 了它们都是a 的整函数在该文中，f r e d h o l m 还巧妙地证明了：如果入是函数d ( a ) 的 一个零点，则积分方程( 1 1 7 ) 的齐次方程 ，1 “( z ) + 七( z ，t ) u ( t ) d t = 0 有不恒等于0 的解此即为著名的f r e d h o l m 第二定理 1 9 0 3 年，f r e d h o l m 又发表了另一篇论文【j j l ，对积分方程( 1 1 7 ) 作了进一步的研 究，他取入= 1 ，得到了如下结果：如果d ( 1 ) 0 ，则有且仅有一个函数u ( z ) 满足积分 方程( 1 1 7 ) ，并可表示为： 如h 一z 1 帮坤皿 此t ! l l f r e d h o l m 第一定理 f r e d h o l m 得到的关于积分方程的很多结果，极其密切地平行于齐次与非齐次 线性代数方程组的理论 由于v o l t e r r a , f r e d h o l m 等人关于积分方程的出色工作，使得积分方程这一研究 领域吸引了许多数学家的注意，尤其是d h i l b e r t 在积分方程理论的宏伟工作 从1 9 0 4 - - 1 9 1 0 年，h i l b e r t 在拉丁根自然科学争家学会报告上一连发表了6 篇 论文，后收录于其专著线性积分方程一般理论的原理【4 8 1 中，系统研究了线性积 分方程的一般理论，并且把积分方程应用到各种几何和数学物理问题的解决中 h i l b e r t 关于积分方程的工作有许多重大成果，其中包括，他用定义完备正交系 这一重要概念把无限多个变量二次型理论运用到积分方程；关于对称核建立了一般 的谱理论；建立了任一连续函数展开成核的特征函数的级数理论( h i l b e g s c h m i d t 定 6 1 ，l 积分方程研究概况第一章绪论 理) ；引进了双线性形式，歼创了双线性对称形式的谱理论；证明了个函数展成第 二种积分方程的特征函数的展开式取决于相应的第一种积分方程是否可解；等等 而他最有价值的成就之一是把微分方程的s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题化成积分方程 的创举h i l b e r t 证明了 急笔) + g ( 咖挑= o ( 1 t 8 ) 满足边界条件 u ( a ) = 0 ，u ( b ) = 0 ( 甚至更一般的边界条件) 的特征值和特征函数，恰恰是积分方程 ，6 札( z ) 一入c ( x ，t ) u ( t ) d t = 0 ( 1 1 9 ) ，n 的特征值和特征函数，其o e c ( x ，t ) 是方程( 1 1 8 ) 的g r e e n 函数，即 罢差) + g ( 咖= 0 的特解，它满足一定的可微条件，并且它的一阶偏微商在z = t 有等于一丽1 的奇性跳 跃类似的结果对偏微分方程也成立据此，积分方程变成了求解微分方程的种 方法，这种研究方法被成功地用于解决愈来愈多的物理问题后来，人们还发现，埔r 常微分方程的边值问题、偏微分方程问题的研究都可归于某个积分方程的研究从 而，掀起了积分方程的理论及其应用研究的世界性狂热 h i l b e r t 在积分方程方面的工作，被在德国几所大学担任过数学教授的e s c h m i d t 简化了，他用的方法是h s c h w a r z 在位势理论研究中创立的他最有意义的 工作是在1 9 0 7 年把特征函数的概念推广到带非对称核的积分方程 匈牙利数学教授er i e s z 在1 9 0 7 年继续了h i l b e r t 的工作，特别是创造性地引进 t l e b e s g u e 平方可积函数的定义，即二重l e b e s q u e 积分 ，6 | 七( z ，v ) 1 2 d x d y o o ，d 存在在此基础上，r i e s z 证明了如果f ( x ) 与k ( x ，t ) 是l e b e s g u e 平方可积的，则第二 种f r e d h o i m 积分方程( 1 11 ) 是可解的，并且除了一个在a ，6 1 上l e b e s g u e 积分为0 的 函数外，解是惟一的而r i e s z1 9 1 0 年发表在数学年刊中的论文被认为是泛函分 析核心的抽象算子研究的开端在该文中，他把第二种f r e d h o l m 积分方程( 1 1 1 ) 的 解推广到汐空间中的函数，并把f m d h o l m 积分算子 p 入南( z ，t ) u ( t ) d t ，d 7 1 1 积分方程研究概况第一帝绪论 设想成作用在某- - b a n a c h 空问中的全连续算子，而未知函数u ( z ) 与已知函数厂( z ) 是 该空间中的点r i e s z 的这一结果，后米被j s c h a u d e r 作了补充，并发展成为泛函分 析中关于全连续算子的r i e s z s c h a u d e r 理论 与此同时，科伦大学数学教授b f i s c h e r 引进了平均收敛的概念，即当 ，6 ，、2 l i m ，( z ) 一厶( 。) ) = 0 一j a 、 7 时，称函数序列 ) 在区间【n ，6 】上平均收敛到惟一确定的函数厂( z ) 这罩的积分 是l e b e s g u e 积分在区间【n ，6 】上，l e b e s g u e 平方可积的函数集合记为l 2 k ，6 】，或简记 为l 2 f i s c h e r 的主要结果是说，l 2 陋，6 】在平均收敛意义下是完备的，即：若厶l 2 ， 并且 厶 平均收敛，那么在l 2 中存在一个函数，( z ) ，使得 厶 平均收敛到，( z ) 这种 完备性足平方可积函数的丰要优点另外，f i s c h e r 还强调l e b e s g u e 平方可积函数的 运用是本质的，没有更小的函数集合可用 差不多紧接着f r e d h o l m 积分方程理论的出现，与它本质上完全不同的奇异积 分方程理论也随之产生了，这类积分方程是人们从不同角度研究不同问题而提出 的h i l b e r t 在研究解析函数的某些边值问题时发现了它们1 4 8 ，几乎同时，p o i n c a r 在研究潮汐现象时也发现了它们t 1 0 2 1 这类具有代表性的奇异积分方程是下列形 式的积分方程f 1 5 1 ： 坤) ) + 去等) 刮t ) ，t el ， ( 1 2 0 ) 其中，是平面上的光滑曲线，系数a ( ) ，自由项町( t ) 和核k ( x ，) 都是曲线弧l 上 按h o l d e r 意义连续的已知函数，妒( ) 是未知函数积分方程( 1 2 0 ) 在一定条件下 是按c a u c h y - - 1 - 值的意义存在，故也称之为c a u c h y 核积分方程而在研究大气辐 射传输问题时，提出了另一类积分区域是无穷的奇异积分方程，其代表性的例子 是w i e n e 卜h o p f 方程： ，。o 妒( z ) 一七( z 一拶) 妒( ? ! ) d y = 矽( z ) ，0so ， ( 1 2 1 ) t ，0 其中，k ( x 一秒) 与妒( z ) 是己知函数这类奇异积分方程的理论也有很大发展，并且在 许多实际问题中有着重要的应用【d 】 另一方面，由于实际发展的需要，非线性积分方程的研究也出现了不少结果，然 而，对一般的非线性积分方程还缺乏系统的理论，甚至于方程可解性的讨论也比较 困难【鹕】 随着泛函分析理论的发展和完善，人们将微分方程和积分方程的研究置于抽象 空问的框架之下，使积分方程的理论更加完善，应用也更加广泛，同时也为微分一积 分方程的研究奠定了基础 8 j ，2 积分方程求解方法概述第一帝绪论 在我国，最早从事积分方程研究的老一荤专家和学者有张世勋、陈传璋、张石 生等随着我国各项科学事业的发展，积分方程也得到相应的发展，参与工作的新生 力量日益增多，研究的范围几乎涉及积分方程的各个领域目前，许多高校开设了积 分方程理论及其应用研究的课程，这将为积分方程的研究注入新的活力 虽然，由于积分方程本身的复杂性，关于积分方程的研究不再象二十世纪初期 那么狂热，特别是，直到现在，关于第一种f r e d h o l m 积分方程( 1 1 0 ) 尚未建立起系统 的理论，正如从积分方程( 1 1 0 ) 本身的构造可看到，即使方程( 1 1 0 ) 的核k ( x ，y ) 是退 化核这种最简单的情形，此方程也并不总是有解的但就积分方程目前主要研究，可 简单归纳为沿着如下七个方面进行的瞄u u l ： 第一个方向在于揭示新的积分方程类，以及其成立的线性代数方程组的基本定 理，f r e d h o l m 关于特征值的分布定理等； 第二个方向足与正交分解和对称核理论相关联的，特别是h i l b e r t 空间中的算子 理论： 第三，研究经典f r e d h o l m 定理不成立的线性积分方程，即所谓的奇异积分方程， 如c a u c h y 奇异积分方程、w i e n e r - h o p f 方程等； 第四，研究非线性积分方程可解性及求解； 第五，研究随机积分方程可解性及求解； 第六，研究各类积分方程的数值解法； 第七，研究各类积分微分方程可解性及求解 另外，关于积分方程在各个领域的应用研究也始终贯穿于积分方程的发展中 1 2 积分方程求解方法概述 对自然科学中很多问题的研究大致可以分为两大类：一是定性研究，二是定量 研究对于积分方程研究而占，定性研究即为可解性条件削定，定量研究即为方程的 求解 积分方程求解足一个古老且在理论和实际中都很重要的研究课题积分方程 解，即解析解( a n a l y t i cs o l u t i o n ，也称为精确解) 和数值解( n u m e r i c a ls o l u t i o n ) ，可以很 好地解释各种物理现象，有助子人们展开对积分方程所刻划的现实物理现象的分析 和研究 上节已经谈到，关于第二种f r e d h o l m 积分方程( 1 1 1 ) 已经建立了系统的理 论( o p f r e d h o l m 理论) ，对于第一种f r e d h o i m 积分方程( 1 - 1 0 ) 到现在尚未建立起系统 的理论；而第一种v o l t e r r a 积分方程( 1 1 9 ) ，在一般情况下，可以通过求微商的方法化 为第二种v o l t e r m 积分方程( 1 1 8 ) 基于此，本节将简单归纳积分方程的求解方法及 9 1 2 积分方程求解方法概述第一章绪论 其研究概况，不详细介绍各种解法的具体步骤，而对于本文研究中用到的算法将住 后续章节中详述 对于积分方程解的研究大概可以分为以下三个方面： 其一，在难以求得解析解的情况下，对解的适定性( 存在性、惟一性、稳定性等) 进行分析： 其二，借助于计算数学理论和计算机技术，获取积分方程数值解或近似解； 其二，应用某些数学技巧或假设，构造适当的变换使方程简化并求出解析或近 似解( a p p r o x i m a t es o l u t i o n ) 如同微分方程一样，山于积分方程本身的复杂性，已有的大量的积分方程无法 获得解析解于是，人们转而设法去求解积分方程的近似解，并为此发展了许多可行 的求解方法 积分方程求解方法虽然名目繁多，但通常可以将这些方法分为两类： 一类足对解析解作近似逼近，例如： ( 1 ) 逐次逼近法( m e t h o do f s u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o n s ) 1 5 ，6 1 ，7 9 1 等； ( 2 ) 迭代法( i t e r a t i o nm e t h o d ) 1 2 ，1 3 ，1 5 6 1 ，7 9 ，8 0 ，9 8 ，1 9 1 ，2 0 5 1 _ 等 这类方法属于经典的应用，“泛的求解积分方程的方法，目前，单一地使用这些 方法显现出很多局限性，大多数情况下，人们选择与其他方法混合使用，已成功地解 决了许多方程求解问题 另一类是化为便于进行数值计算的其他类型的问题，主要方法有：将核用退化 核代替( 此方法需要经过复杂的数学分析过程) ，或者用数值积分公式将积分方程化 为代数方程组，或者把积分方程化为变分问题，或者通过构造正交基运用待定系数 法求解，等等这类方法中很多是近年来发展起来的新算法，在积分方程求解中具有 重要作用常见的方法丰要有： ( 1 ) 积分法( q u a d r a t u r em e t h o d ) t 7 ，8 ，2 7 ，5 l ，6 l ，8 3 ，8 4 ，8 7 ，l1 2 ，1 9 2 ，2 0 0 ，2 0 4 1 ； ( 2 ) - + 投影法( p r o j e c t i o nm e t h o d ) f 2 ，6 1 ，7 6 ，10 4 ； ( 3 ) 插值法( i n t e r p o l a t i o nm e t h o d ) 【2 ，4 7 ，5 6 ，6 1 ，9 3 ，1 0 6 ，1 4 2 ，1 7 l ，1 3 8 ，1 4 3 1 ； ( 4 ) 级数法( s e r i e sm e t h o d ) ，包括t a y t o r 级数法 6 1 ，9 1 ，9 2 ，1 0 8 ，1 72 1 7 3 1 ，w a l s h 级 数法 1 0 9 ，1 1 7 等： ( 5 ) 配置法( c o l l o c a t i o nm e t h o d ) 【6 ，1l ，1 4 ，4 5 ，5 2 ，5 7 ，6 1 ，7 6 ，9 7 ，1 8 6 1 8 5 1 ，以及在 此基础上发展的混合插值配置法( m i x e di n t e r p o l a t i o nc o l l o c a t i o nm e t h o d s ) 1 9 0 j ， 级数展开配置法( s i n c - c o i l o c a t i o nm e t h o d ) 9 6 ，1 07 1 ，样条配置法( s p l i n ec o l l o c a t i o n m e t h o d ) 【l ，5 0 ，5 8 ，9 3 ，9 9 ，1 3 8 1 ： ( 6 ) t a u 方法( t a um e t h o d ) 4 9 ，1 0 0 ，1 0 3 ，1 0 5 ，11 0 ，2 0 2 ； ( 7 ) g a l e r k i n 法( g a l e r k i nm e t h o d ) t 4 3 ，4 6 ，7 3 ，9 2 ，l o l ，l 6 7 ，19 9 1 ； ( 8 ) a d o m a i n 分解法( a d o m a i n sd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ) 【3 ，5 ，1 3 9 ，14 0 ； l o 1 3 数学机械化简介 第一章绪论 ( 9 ) 并行算法( p a r a l l e lm e t h o d ) 1 2 1 3 ，8 9 ，l l9 】， ( 1 0 ) 外推法( e x t r a p o l a t i o nm e t h o d ) 5 1 ，7 4 ，8 6 ，1 2 4 1 ： ( 1 1 ) 荣格一库塔法( r u n g e k u t t am e t h o d ) 【4 ，8 8 ，18 9 1 ， ( 1 2 ) 小波法( w a v e l e tm a t h o d ) 4 3 7 3 ，7 7 ，8 1 ，9 0 ，1 1l ，1 2 l ，1 2 2