（应用数学专业论文）pell方程相关理论及其在一类丢番图方程上的应用.pdf

摘要 丢番图方程，即不定方程，是指变量个数多于方程个数，且取整数值的方程 ( 或方程组) 。它是数论的一个分支，有着广泛的研究价值，与组合数学、代数 几何和代数编码等学科有着密切的联系。它的任何研究成果不仅对数学的各个分 支起着推动作用，而且对非数学学科诸如计算机科学、电子学、信号的数字处理 等有着重大的实际意义。求解丢番图方程的方法较多，有初等方法也有高等方法， 但是已经证明：不可能存在一个通用的算法能够判定所有的丢番图方程是否有 解，这就给我们带来了很大的难度。p e l l 方程作为最古老的丢番图方程，长期以 来受到数论工作者们的极大关注，特别是对x 2 一b y 2 = 1 的研究取得了许多不朽 的成果，p e l l 方程理论对于求解一类丢番图方程有着很大的帮助。 本文的主要工作： 1 、利用初等方法研究了p e l l 方程x 2 一d y 2 = 1 的最小解问题，以及研究了求解 丢番图方程的一些具体方法。 2 、利用p e l l 方程的相关理论讨论了一类丢番图方程的解的存在性问题，具体地 给出了若干个这类方程无正整数解的充分条件。 关键词： p e l l 方程，丢番图方程，正整数解，最小解 a b s t r a c t d i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，w h i c hi sc a l l e di n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n ，i st h ee q u a t i o n ，i n w h i c ht h en u m b e ro ft h ev a r i a b l e st h a ta r ei n t e g e ri sm o r et h a nt h en u m b e ro ft h e e q u a t i o n s ，a n di ti sab r a n c ho fn u m b e rt h e o r ya n dh a sa w i d er a n g eo fr e s e a r c hv a l u e i ti sc l o s e l yl i n k e dw i t ht h em a t h ，t h ea l g e b r a i cg e o m e t r ya n dt h ea l g e b r a i cc o d i n g a n yo fi t sr e s u l t sn o to n l yp l a y sac a t a l y t i cr o l ei na l lb r a n c h e so fm a t h e m a t i c sb u t a l s oi so fg r e a tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et o w a r d st h en o n - m a t h e m a t i c a ls u b j e c t s ，s u c ha s t h ec o m p u t e rs c i e n c e s ，e l e c t r o n i c sa n dd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g t h e r ea r em a n y m e t h o d st os o l v et h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，i n c l u d i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o d sa n dt h e a d v a n c e dm e t h o d s b u tt h e r ei saf a c tt h a tt h e r ei sn o tag e n e r a la l g o r i t h mf o ra l lt h e d i o p h a n t i n ee q u a t i o nt oj u d g ew h e t h e r i th a sas o l u t i o n ，w h i c hb r i n g s g r e a t d i f f i c u l t i e st ou s p e ue q u a t i o n ，w h i c hi sa st h em o s ta n c i e n td i o p h a n t i n ee q u a t i o n ， h a sa r o u s e dg r e a tc o n c e mf o rt h es c h o l a r so ft h en u m b e rt h e o r y t h e r ea r e m o n u m e n t a la c h i e v e m e n t st ot h es t u d yo ft h ep e l le q u a t i o n p e l le q u a t i o nt h e o r yi s g r e a t l yu s e f u lf o rs o l v i n gac l a s so fd i o p h a n t i n ee q u a t i o n t h em a i nw o r ko ft h i s p a p e r i sa sf o l l o w s ： i 、t h ei s s u eo fm i n i m u ms o l u t i o no ft h ep e l le q u a t i o nx 2 一b y 2 = 1w i t ht h e e l e m e n t a r ym e t h o d sw a sr e s e a r c h e da n ds o l v i n gan u m b e ro fs p e c i f i cw a y so ft h e d i o p h a n t i n ee q u a t i o nw e r eg i v e n 2 、t h ei s s u eo ft h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nf o rac l a s so fd i o p h a n t i n ee q u a t i o n s w i t ht h er e l e v a n tt h e o r i e so ft h ep e l le q u a t i o n si sp r o p o s e d k e y w o r d s p e l le q u a t i o n ，d i o p h a n f i n ee q u a t i o n ，i n t e g e rs o l u t i o n ，m i n i m a ls o l u t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩e r j 或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 墨裹蓑妻嚣篓裹主亍盈指导教师签名：二赶学位论文作者签名：! 垫业竺指导教师签名：么逸迎， 7 币年钿日 乙。k 年6r ? p b 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：协知谚价 v 卜年毛只名e t 西北大学硕士学位论文 1 1p e l l 方程概述 第一章绪论 p e l l 方程是指具有形式x 2 一b y 2 = 1 的方程，其中d 是一个固定的正整数并且不是完 全平方数p e l l 方程有着悠久而迷人的历史，它首次是被记载在“阿基米德牛群问题”之 中该问题涉及到8 种花色的牛，要求读者确定各种花色的牛的数量各种线性关系已经 给出，并且附加了两个条件，即指定某些数是完全平方数古希腊数学家阿基米德经过一 系列的计算，将这一问题最终归结为求解p e l l 方程z 2 4 7 2 9 4 9 4 y 2 = 1 上述最小解最先由a m t h o r 于1 8 8 0 年确定，其中的y 含有4 1 位数于是“阿基米德 牛群问题”的解有成千上万的位数! 我们现在看上去阿基米德及其同时代的人是不可能 确定这个解的，但他能够想到并且提出这样一个问题还是令人钦佩的 岁月穿梭，求解p e l l 方程的第一个有重要意义的进展出现在印度早在公元6 2 8 年， 婆罗摩笈多就已经描述了如何利用p e l l 方程的已知解去得到新的解到了公元1 1 5 0 年， 婆什迦罗给出了一种天才的思想去寻找初始解这个思想颇具现代味道，令人吃惊颇为 遗憾的是，这一开创性的工作在很长一段时间内一直不为欧洲知晓，直到1 7 世纪才被 重新发现和取代 现代欧洲关于p e l l 方程的历史源于1 6 5 7 年，费马( f e r m a t ) 重新提出了求解不定方 程x 2 一b y 2 = 1 解的问题，其中的d 是非完全平方的正整数当时他猜测此方程有无穷多 组正整数解，与此同时他向所有数学家们发起挑战：证明此方程有无穷多组正整数 解1 6 5 7 年，英国皇家学会第一任会长布朗克尔勋爵( ( l o r db r o u n c k e ) 求出了解，但是 他未能证明此方程有无穷多组解沃利斯( j ，w a l l i s ) 彻底地解决了这个问题另一位英 国的数学家佩尔( j p e l l1 6 11 1 6 8 5 ) 在其著作中附录了沃利斯的结果欧拉错误地认为沃 利斯书中的方法属于佩尔，并且正式地欧拉将这个方程称为我们目前所熟知的“p e l l 方 程”这个误解使佩尔获得了不朽的数学名声 其实，通常的p e l l 方程是指以下的不定方程： x 2 一b y 2 = l ，4 ( x ，y z ) 其中，d 是非完全平方的正整数( 以后没有特殊说明我们皆这样认为) 第一章绪论 广义的p e u 方程是上述不定方程的推广，它有以下两种基本类型 x 2 一砂2 = k ( x ，y ，k z ) a x 2 - b y 2 = + 1 ，垃，+ 4 ( x ，y ，a ，bez r a b 0 ) 我们把上述四种不定方程统称为p e l l 方程 1 2 课题研究背景及意义： p e l l 方程是最古老的丢番图方程( 即不定方程) ，这个方程在印度和希腊有着悠久的 历史公元4 5 世纪时，印度数学家在求互的近似值前就曾得到丢番图方程x 2 2 y 2 = 1 有解( x ，y ) = ( 3 ，2 ) ，( 1 7 ，1 2 ) ，( 5 7 7 ，4 0 8 ) 与此同时，毕达哥拉斯学派也得出z 2 2 y 2 = 1 的一 个递推公式，同样希腊数学家阿基米德也得出x 2 3 y 2 = 1 的一个解( x ，y ) = ( 1 3 5 1 ，7 8 0 ) 印度数学家婆罗摩笈多研究了形如x 2 一b y 2 = a 的方程，特别是进行了x 2 一b y 2 = 1 的讨 论他描述了一种用已知解创造新解的混合方法，称之为s a m a s a ，他还给出了一个( 有 时) 能得到初始解的算法大约5 0 0 年前，印度数学家婆什迦罗推广了婆罗摩笈多的工作， 他描述了一个用原始近似解反复约化而得到真解的方法他称自己的方法为c h a k r a v a l a 现在这种类型的论证被称为“费马递降法 婆什迦罗通过解x 2 6 1 y 2 = 1 说明了他的 方法，这比费马用此方程向他人挑战早了5 0 0 年那也就是说对于p e l l 方程x 2 一b y 2 = 1 有 无穷多组整数解且任何一组解都可以由某一特殊解( 称为最小解) 表出这样看来，问题 就转化成了求最小解问题1 7 5 9 年大数学家欧拉把d 展成连分数而给出解x 2 一b y 2 = 1 的方法其思想是：如果x ，y 满足上述方程， 贝t j - xr ：万的非常好的近似值但是，他未 y 能证明此方法总能求出解，并且也不能证明所有解都能由万的连分数展开而给出直到 1 7 7 6 年拉格朗日才完全解决了这个问题除了可以用连分数的方法外，人们还发现，可 以令j ，= 1 ，2 ，3 代入缈2 + l 中，直到其为一完全平方数然而无论是用连分数法还是用实 验法，都往往要进行冗长的计算，而且只能针对具体的d 来求解对于求最小解是解决 p e l l 方程的一个关键，因此杨仕椿【4 l 将其列为尚未解决的1 5 个著名的不定方程的问题 之一，提出：“p e l l 方程x 2 一d y 2 ；1 的最小解有无规律? 有无求其最小解的简便方法? 2 西北大学硕士学位论文 对于另一个p e l l 方程x 2 一b y 2 = 一l ，人们发现其并不是总是有解的例如p e l l 方程 x 2 一l1 4 1 y 2 = 1 当l y 1 0 2 5 时都无解， 它的基本解+ 汀石中的解 2 3 0 6 9 3 3 8 5 3 2 2 7 6 5 6 5 7 1 9 7 3 9 7 2 0 8 p e l l 方程经过无数人的研究，不仅在理论上已日臻成熟，而且它的应用价值也在不 断被挖掘p e l l 方程的理论成果在丢番图逼近理论及代数数论中起着十分重要的作用并 且对于解决一类丢番图方程解的存在性问题，有着很大的帮助 基于对p e l l 方程的认识及兴趣，我运用初等方法研究了x 2 一印2 = 1 ( 石，y e z ) 的最小解的相关理论，并在此基础上讨论了一类三次丢番图方程解的存在性问题，给出 了它们无正整数解的充分条件 1 3 同余理论及其性质 一、同余理论( 参见文献【1 - 3 】) 定义1 3 1 令m 为一个正整数，把它叫做模如果用m 去除任意两个整数口和b ，所 得的余数相同，则我们说口，b g e i l f 莫m 同余，记作口= b ( m o d m ) 如果余数不相同，我们就 说口，b 对模m 不同余，记作口b ( m o d m ) 由同余的定义很容易得到以下基本性质： ( 1 ) a - - a ( m o d m ) ； ( 2 ) 者：a - b ( m o d m ) ，则6 = a ( m o d m ) ； ( 3 ) 若口暑b ，b - c ( m o d m ) ，则口暑c ( m o d m ) ； ( 4 ) 若q 兰岛( m o d m ) ，口2 - = b 2 ( m o d m ) ，, 贝t ja i + a 2 - b l + b 2 ，a l 一口2 善6 l - b 2 ( m o d m ) ； ( 5 ) 若a l 暑6 l ( m o d m ) ，a 2 - b 2 ( m o d m ) ，则口l 呸= b a ( r o o d m ) ，特别地，a - b ( m o d m ) ， 则础- b k ( m o d m ) ( k z + ) ； ( 6 )a c - b d ( m o d m ) ，c - - d ( m o d m ) ，且( c ，聊) = l ，贝l j a - - b ( m o d m ) ( 7 ) 若口- b ( m o d m ) ，k z + ，则础= - b k ( m o d m k ) ； ( 8 ) 茬= a - = b ( m o d m ，) ，i = 1 ，2 ，k ，贝1 a = b ( m o d m a ，m 2 ，。，m k l ) , 3 第一章绪论 ( 9 ) 若口- b ( m o d m ) ，m = o ( m o d d ) ，d z + ，贝0 口- b ( m o d d ) ； ( 1 0 ) 若a - b ( m o d m ) ，则( 口，棚) = ( 6 ，m ) ，因而若d 能整除口，b 两整数之一，则d 必能整 除a ，b 中的另一个 定义 1 3 2 设f ( x ) 毒，+ 一l x ”1 + + a t x + a o ， 其中刀是正整数， 口j ( i = o ，1 ，2 ，n ) 是整数，又设整数朋 0 ，则 f ( x ) - o ( m o d m ) ( 1 1 ) 叫做模m 的同余式，如果o ( m o d m ) ，则疗叫做它的次数如果而满足 f ( x o ) - o ( m o d m ) ，则x - x 0 ( r o o d m ) 叫做同余式( 1 ) 的一个解 定义1 3 3 设p 2 ，d 是整数，d o ( m o d p ) 如果同余方程x 2 三d ( m o d p ) 有解， 则称d 是模p 的二次剩余；若无解，则称d 是模p 的二次非剩余 定义1 3 4 设素数p 2 定义整变数d 的函数 ，、f1 ，当d 是模的二次剩余； h - t 0 ， 当p l d ；- i l p l 一1 ，当d 是模的二次非剩余 我们把( 暑) 称为是模p 的勒让德( 三呼黝妇) 符号 性质1 31l e g e n d r e 符号的基本性质： - ( 等) ； 睁瞅爿 ( d ) = d ( t - o 2 当例时，乩 睁，小舻圳2 定义1 3 5 设奇数p 1 ，p = p , p 2 n ( 1 j f s ) 是素数，定义 西北大学硕士学位论文 曙) = ( 丢) ( 鲁 ( 詈) ，这里( 号) c t s ，是模岛的三呼，z 砒符号 显然，当p 本身是素数时，j a c o b i 符号就是l e g e n d r e 符号 性质1 3 2j a c o b i 符号的基本性质： c ，( 吉 = ；当c p ，d p 时，( 号) = 。；当c p ，力= t 时( 号) 取值； ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 当( d ，p ) = 1 时， 盼盼； 5 第二章p e l l 方程x 2 一b y 2 = 1 解的情况 2 1 引言 第二章p e l l 方程x ：一b y 2 ：1 解的情况 显然，方程x 2 一b y 2 = 1 总是有正整数解的( 见文献 4 7 】) 而方程x 2 一m y 2 = 一1 却不 一定总是有解的( 见文献 4 9 】) ，所以很多人在努力寻求这个方程有解的条件，并且找 到了一些判别此方程有无整数解的结论然而，有时应用上述方法求解p e l l 方程并不是 很方便2 0 0 0 年侯李静和王云葵运用推理数列的通解公式，得到了p e l l 方程的简单递推 关系及通解公式 在本章，我们将对上述两种方程的解的情况及其形式做一综述，使我们对这一p e l l 方程的基本理论有所掌握，以便展开对其后续研究 2 2 方程x 2 一o y 2 = 1 解的存在性 引理2 2 1 3 1 ( d i r i c h l e t 定理) 设0 使一个无理数，则有无穷多对整数x ，y o 适合不 等式 酬 0 且不是平方数，则存在整数m ，o 1 m 1 o 使 争沥i 歹1 棚i x - y 沥l 专 而 卜y 历i = 卜y 4 5 + 2 y 沥l 0 使 卜跏2 i 1 y ( 1 j ，+ 2 , 4 5 ) = 歹i + 2 历 1 + 2 历 6 西北大学硕士学位论文 因为l 肘i 0 ，是非完全平方的正整数，hd - 0 ( r o o d 4 ) ，则方程x 2 一b y 2 = - 13 e 正整数解 证明：设方程x 2 一d y 2 = 一1 有正整数解 ，y ) ，则对x 分类： i ：l 当x - - 0 ( m o d 2 ) 时，有x 2 - o ( m o d 4 ) 而d 暑0 ( m o d 4 ) ，有b y 2 董0 ( r o o d 4 ) 0 暑石2 一b y 2 三一l ( m o d 4 ) 得出矛盾 i i ：当x 暑l ( m o d 2 ) 时，有x 2 兰l ( m o d 4 ) 而d - 0 ( m o d 4 ) ，有d y 2 = 0 ( m o d 4 ) 1 - x 2 一b y 2 兰一l ( m o d 4 ) ，得出矛盾 综上所述，在题设条件下，方程x 2 一b y 2 = 一l 无正整数解 定理2 2 4 ：若d 0 ，是非完全平方的正整数，且d - - 2 ，3 ( m o d 4 ) 时，方程 x 2 一缈2 = 一1 无正整数解 证明：当d = 2 ( m o d 4 ) 时，假设( x ，y ) 是方程x 2 一功2 = - 1 的解，显然x ，y 是一奇 一偶， 当x - o ( m o d 2 ) ，y - l ( m o d 2 ) 时，有x 2 - 0 ( m o d 4 ) ，y 2 - - l ( m o d 4 ) , 由d - 2 ( m o d 4 ) 得d y 2 - 2 ( m o d 4 ) ，于是有- 2 量x 2 砂2 毫一1 ( m o d 4 ) 得出矛盾1 7 第二章p e l l 方程x 2 一b y 2 = 1 解的情况 i i ：当x - - - l ( m o d 2 ) ，y - o ( m o d 2 ) 时，有x 2l ( m o d 4 ) ，y 2 - 0 ( m o d 4 ) ； d y 2 鲁0 ( m o d 4 ) 1 - x 2 一跏2 - - 1 ( m o d 4 ) 得出矛盾! 当d - - - 3 ( m o d 4 ) 时，假设( x ，y ) 是方程x 2 一印2 = - 1 的解，显然x ，y 是一奇一偶， i ：当x 兰0 ( m o d 2 ) ，j ，暑1 ( m o d 2 ) 时， 有x 2 - 0 ( m o d 4 ) ，y 2l ( m o d 4 ) ，由于d 暑3 ( m o d 4 ) b y 2 - 3 ( m o d 4 ) 于是有一3 兰x 2 一印2 - - l ( m o d 4 ) 得出矛盾! i i ：当x - l ( m o d 2 ) ，y - = 0 ( m o d 2 ) l 对， 有x 2 - - - 1 ( m o d 4 ) ，y 2 兰0 ( m o d 4 ) 则有1 - - x 2 一缈2 - - - - l ( m o d 4 ) 得出矛盾! 证毕 定理2 2 5 嘲设d o ，当d - 1 ( m o d 4 ) ，是素数，nx 2 一印2 = 一l 有整数解 证明：由定理知道，x 2 一跏2 = l ，d 0 ，是非完全平方的正整数，必定有无穷多 组解，有基本解 于是，假设( z ，j ，) 是x 2 一砂2 = 1 的基本解显然，趴y 为一奇一偶如果x 暑o ( n l o d 2 ) ， y 三l ( m o d 2 ) ，则由x 2 一印2 = 1 得到矛盾- 1 - - x 2 一谚2 - l ( m o d 4 ) 因此，只能 x 兰l ( m o d 2 ) ，y 暑0 ( m o d 2 ) ，也可知孚与丁x - i 全为整数，而且相差l ，必有一奇一偶， 则( 孚，孚) = ：f t x 2 + l 一孚= 孚= 芋= 。( 詈) 22 一丁2 t 2 彳如【主j 得到丁x + l = 蹦，孚= v 2 ，j ，= 2 圳，材 o ，v o 或孚甜，孚= 所2 ，少= 2 z n ，刚，v o 8 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 西北大学硕士学位论文 由( 2 4 ) 式给出u 2 一p v 2 = 1 故( 材，v ) 也为x 2 _ b y 2 = 1 的解，但v = 寺 2 时，任意的 州c “抖，都有呼) = 1 ，则方酣一功2 叫有解 证明：见文献【6 】 9 第三章求解丢番图方程的一般常用方法 第三章求解丢番图方程的一般常用方法 本章我们将简要地介绍几种求解丢番图方程的一般常用方法，包括简单同余法、分 解因式法、二次剩余法、p e l l 方程法、无穷递减法，丢番图逼近法，这将为以后的学习 奠定一定的基础 3 1 简单同余法 所谓简单同余法，是指取某个大于1 的正整数m 做为模，对丢番图方程求模m 同 余，使之矛盾的一种方法运用此方法求解丢番图方程的关键所在是根据不同的方程，选 择比较恰当的模m ，一般情况下，我们选择2 4 ，3 4 ，7 ，p ( p 为奇素数) 等这样的模来构 造 3 1 1 选择模2 4 似 1 ) 利用2 。( 口 1 ) 为模解不定方程，主要基于以下事实： 1 ) ：对任意整数x ，当x 为偶数时，x 2 兰o ( m o d 4 ) ，x 2 兰o ，4 ( m o d 8 ) ；当x 为奇数 时，x 2l ( m o d 4 ) ，x 2 三l ( m o d 8 ) 2 ) ：设七4 时， v x ，有x 2 脚暑o ，1 ( m o d 2 ) 例1 ：证明不定方程 y 2 = x 3 + 2 b 2 一a 3 ， ( 3 1 ) 当口三2 ，4 ( m o d 8 ) ，b - l ( m o d 2 ) e t b 没有8 f 3 形状的素因数，则上述方程无整数解 证明：显然x 声o ，2 ( m o d 4 ) x - l ( m o d 4 ) 时，由( 1 ) 得y 2 - - - 3 ( m o d 4 ) ，它不可能，i 故x - = - l ( m o d 4 ) 即x 兰一1 ，3 ( m o d 8 ) 当x 三一l ( m o d 8 ) 时，x - a 兰+ 3 ( m o d 8 ) ， 存在素因数x 一口- o ( m o d p ) ，p - + 3 ( m o d 8 ) ，1 主i ( 3 1 ) 式得到 y 2 量2 b 2 ( m o d p ) ( 3 2 ) l o 西北大学硕士学位论文 聊o ( m o d b ) ，= - _ 1 矧3 斯盾 当x 暑3 ( m o d 8 ) 时， x 2 + 饿+ 口2 - - l + 3 a + a 2 - - - _ + 3 ( m o d 8 ) 同理可证x 2 + a x + a 2 0 ( m o d ( y 2 - 2 b 2 ) ) ，证毕 例2 ：证明方程 西2 + 4 x 2 2 = 1 6 x 3 + 3 或1 6 x 3 + 7 五2 - 4 x 2 2 = 1 6 x 3 + 2 或1 6 x 3 + 6 五2 + 恐2 + 而2 = 4 。0 6 x 3 2 + 5 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 均无整数解 证明：对于方程( 3 3 ) 和( 3 4 ) ，由于坛z ，均有x 2 = - 0 ，1 ，4 ，( m o d 8 ) ， 故而2 _ - - 4 - 4 x 2 2 - 0 ，1 ，4 ，5 ( m o d 8 ) ，故而2 + 4 x 2 2 3 ，7 ( m o d 8 ) ，而2 - 4 x 2 2 2 ，6 ( m o d 8 ) ， 即( 3 3 ) 和( 3 4 ) 均无整数解 对于方程( 3 5 ) 显然后o 如果七l ，贝j j ( 3 5 ) 两端取模4 知而- x 2 - x 3 - - - 0 ( m o d 2 ) ， 于是可在( 3 5 ) 两端除去因子4 这样不失一般性可设七= o ，但_ 2 + 而2 + 而2 至, 5 ( m o d 8 ) ， 因此( 3 5 ) 无整数解 3 1 2 、选择模3 口( a 1 ) 例3 ：证明丢番图方程 ( 6 a + 2 ) x 1 2 + ( 6 6 + 2 ) 恐2 = 3 x 3 2 仅有整数解：( 而，x 2 ，而) = ( o ，0 ，0 ) 证明：显然( 五，x 2 ，恐) = ( o ，0 ，o ) 是上述方程的解 ( 3 6 ) 不失一般性，我们考虑不全为0 的解可设( 五，x 2 ，x 3 ) = 1 ，于是取模3 得 2 ( x 。2 + x 2 2 ) - 0 m o d 3 ) i i i2 x ? - 0 ，2 ( m o d 3 ) ，故推出而- - x 2 - - 0 ( m o d 3 ) 由( 3 6 ) 式推出 1 1 第三章求解丢番图方程的一般常用方法 x 3 - o ( m o d 3 ) ，这就与( 五，x 2 ，x 3 ) = 1 矛盾证毕1 3 1 3 、选择模7 有些三次丢番图方程还需取模7 ，这是基于协z , x 3 兰o ，+ 1 ( m o d 7 ) 的事实 例4 ：证明丢番图方程 薪+ 2 = 7 x 2 ( 3 7 ) 无整数解 和# + 2 迁= 1 4 ( 3 十j _ 3 ) ( 3 。8 ) 仅有整数解：( x i ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) = ( o ，0 ，0 ，0 ) 证明：由于才- - 0 ，+ 1 ( m o d 7 ) ，得到1 ，2 ，3 詈# + 2 置7 x 2 兰o ( i n o d 7 ) 这样的矛盾! 于是( 3 7 ) 式得证 对于( 3 8 ) 式，显然有整数解( 五，x 2 ，x 3 ，x 4 ) = ( o ，0 ，0 ，0 ) ， 不失一般性，令( 而，x 2 ，x 3 ，两) = 1 如果而0 ( m o d 7 ) 贝ux 2 3 = _ + l ( m o d 7 ) ，所以( 3 8 ) 推出( 而) 3 + 2 - - o ( m o d 7 ) ，由( 3 7 ) 的深刻结果可知，这是不可能的如果吃- - o ( m o d 7 ) ， 由( 3 8 ) 推出五- = o ( m o d 7 ) ，可设x = 7 向，x 2 = 7 乞，代入( 3 8 ) 式化简z 。一1 0 7 z ( q 3 + 2 k 3 ) = 2 ( g + 3 x 3 ) 由前面的讨论类似可知，上式给出x 3 - o ( m o d 7 ) ，x 4 - 0 ( m o d 7 ) ， 这就与之矛盾，于是证毕! 当然对于有些丢番图方程，我们还可以选择模p ( p 为奇素数) ，这种模的选择主要 是依据二次剩余，三次剩余和四次剩余的一些熟知结果，不一一列举 在此，下列定理也是非常重要的： 3 1 3 定理：如果丢番图方程( 西，而，吒) = o 整数解，则选择适当的模研 1 ，其同 余式厂( 五，屯，矗) = o ( m o d m ) 必有解 但是我们也能够发现，这个定理的逆一般是不成立的例如，设p ，q 均是奇素数， p g 且( 訇= 1 ，则同余式x 1 2 - 倪2 兰。( m o d p ) 有解，但2 一晚2 = 。却无整数解 1 2 西北大学硕士学位论文 3 2 分解因式法 分解因式法，是指将所研究的某些特殊的丢番图方程经过整理，化为 厂( 而，而，毛) = z b , ”，n l ， ( 3 9 ) 然后把f 分解为两项乘积形式，即f = z 五，则根据唯一分解定理，有( 3 9 ) 得到 石= q ，五= d 2 儿”，其中，再运用一些变形、带入、整理等方法，这样问题就能被 大大地简化了 例l ：丢番图方程 x 3 2 y 2 = 1 ( 3 1 0 ) 仅有整数解：x = l ，y = 0 证明：由( 3 1 0 ) 显然可知x o ( m o d 2 ) ，即x - 1 ( m o d 2 ) ，则z 8 - l ( m o d 4 ) 即o - - - x 8 - 1 - - - 2 y 2 ( m o d 4 ) 所以有y = o ( m o d 2 ) ( 3 1 0 ) 式可以整理为 ( 孚) ( 掣) = 2 ( 考) 2 因为丁x 4 - 1 与掣仅相凯可知( 孚，孚 姐孚| 1 ( 一) 故，根据唯一分解定理由( 3 1 1 ) 得到 孚吲，孚嘲2 ，y = 2 y l y 2 , ( y l , y 2 ) 乩 由掣：2 y 2 2 x 4 _ 4 y 2 2 ：1 ，即有 x x 4 。一+ 2 2 奶y 2 ：= 。1 或 x x 。4 一+ 2 2 弱y 2 ：= 一- ，1 由此推出x = 1 ，y 2 = 0 ，从而y = 2 y l y 2 = 0 ，证毕 分解因式法，是一种技巧性非常强的初等方法，很多步骤的处理上思维都具有跳跃 1 3 第三章求解丢番图方程的一般常用方法 性由于这种方法是把丢番图方程不断地展开，化为容易处理或者是某些熟知结果的方 程，因此使用此方法需要我们有这方面的较为丰富的知识和经验，才能做到游刃有余 3 3 二次剩余法 二次剩余法是求解丢番图方程中最有力的初等方法之一，它的主要手段是对丢番图 方程取模m ( m l ，m 声0 ( m o d 2 ) ) ，然后利用j a c o b i 符号的互反律来制造矛盾这种方 法的依据是：如果y 2 = ( 而，屯，毛) 有解，则对任意奇数模m ( m 1 ) ，同余式 y 2 - - f ( x i ，恐，垓) ( m o d m ) 必有解，在( m ，y ) = 1 时推出 j a c o b i符号 ( 笪掣) = 一1 ， 则推出方程y 2 = 厂( 而，而，) 无解 这种方法的关键是根据( 置，x 2 ，矗) 的特点来选择m = g ( x l ，x 2 ，吒) 1 ， 肛。( m o d 2 ) 来计算j a c o b i 符号( 射x 2 g t 五，j 例1 、设p 是奇素数，则丢番图方程 x 2 p + j ，2 ，= 9 2 p ， ( x , y ) = 1 在x y z 声0 ( m o d 2 p ) 无解( x ，y ) ( x ，y n + ) ( 3 ，1 2 ) 证明：由方程( 3 1 2 ) 知x , y 一奇一偶不妨设x 为偶数，则z ，y 为奇数先改写( 3 1 2 ) 为p ：( z 2 _ y 2 ) 聋等 ( 3 1 3 1 3 )为z 2 p = 乞年 ( 3 z 。一1 ，。 由于( z 2 一y 2 ，掣) ：1 或p ，且如果是后者已有2 p 卜，与题设条件彬声o ( m o d 2 p ) 不 z 一 ，。 一 符，i 故( z 2 _ y 2 , 辎_ 1 ， z 一1 ， 于是由( 3 1 3 ) 式可以得到 等刊) 2 ( 3 这里五i x 由于z ，y 均为奇数，故z 2 1 ，2 置l ( m o d 4 ) 1 4 西北大学硕士学位论文 由文献【3 】知：m ，z 都是正奇数，( m ，n ) = 1 ，以 1 ，如果z ，y 量l ( m o d 4 ) ，则有 c 等= ( 詈) c 其愀班等，聊一川舢删。， 因此，知道对任意q p ，( 3 ) 式均推出 ( 詈 = 而这是不可能的，因为p 是素数，存在某些奇素数q 使o ( q = 一1 证毕 例2 、设d 0 ，d 无平方因子且不被2 m 或p + l 形素数整除如果丢番图方程 x p y p = d z 2 ，( x ，y ) = 1 ( 3 1 5 ) 有整数解，则在2 i z 时必有p i z ，z 声o ( i n o d 2 ) 时必有z 声o ( i n o d p ) 二次剩余法是柯召1 3 7 1 首先用来研究并解决c a t a l a n 方程x 2 1 = 少，( p 为奇素数) 的一种初等方法，后来在1 9 7 7 年g t e r j a n i a 瞰1 利用这种方法得到了上述例1 的结论 3 4p e l l 方程法 所谓p e l l 方程法，就是所求问题化为p e l l 方程的形式，利用p e l l 方程的结果来制造 矛盾一般来说，利用p e l l 方程法，可以求出一个丢番图方程( 只要可以化为p e l l 方程 的形式) 的全部解由于所用的一些结果我们在上一章中已经给出，在此不一一赘述 例1 ：设p 是奇素数，则丢番图方程 x 2 1 = j ，p ( 3 1 6 ) 如有正整数解，则必有y 三o ( m o d 2 ) ，z 羞o ( m o d p ) 证明：首先y 三- o ( m o d 2 ) 是显然的，因为y 声0 ( m o d 2 ) 时可以得到x - 0 ( m o d 2 ) ， ( 3 1 6 ) 显然不能成立因为由( 3 1 6 ) 得到矛盾：0 兰x 2 兰l + y p 兰2 ( m o d 4 ) 现在来证x 量o ( m o d p ) 假设x o ( m o d p ) ，则由( 3 1 6 ) 整理得 1 5 第三章求解丢番图方程的一般常用方法 ( 川) 。等爿， f 1 3 x - - - o ( m o 叫知h 等) = 1 ，所以由上式给出 y + l = g ，而o ( m o d 2 ) ix ，而 1 把y = x 2 - 1 代入( 3 1 6 ) 式得， x 2 一( x 1 2 - 1 ) ( 五2 一) 皇尹 2 = ( 3 - 7 ) 由于p e l l 方程x 2 一( 五2 - 1 ) y 2 = l 的基本解( 即最小解) 是s = 五+ _ 2 1 ，故( 3 1 7 ) 式给 出 x l - 1 ) 譬= 舞搏 其中玎= 2 m + l 或疗= 2 m + 2 ，m o 在n = 2 m + 2 时，n ( 3 1 8 ) 式的模而 给出( 一1 ) 等- o ( m o d x 。) ，这是不可能的 而在刀= 2 m + l 时，由于x o ( m o d 2 ) ，故( 3 1 8 ) 式的左边为偶数，但右端是奇数，也 不可能，证毕 3 5 无穷递减法 无穷递减法是大数学家费马( f e r m a t ) 创立的一种解高次丢番图方程的方法假设 存在方程 厂( 而，屯，吒) ，薯 o ( 扛1 ，2 ，n ) ( 3 1 9 ) 无穷递减法的思想是指，假定( 3 1 9 ) 有一组正整数解五( ，恐( ，毛( n ，由( 3 1 9 ) 可得到( 3 1 9 ) 必有正整数解而( 孙，而( 扪，毛( 孙，且葺( 2 ) ( 3 ) ，但这是不可能的，因为叠o ) 是个有 限数矛盾是由于我们假定( 3 1 9 ) 有一细正整数解造成的 1 6 西北大学硕士学位论文 但我们在实际使用无穷递减法时，往往不采用上述做法，而是常常假设( 3 1 9 ) 的 全体整数解中有一组使得五= 而( 1 ) 为最小，推出( 3 1 9 ) 的另外一组正整数解中 五= 五( 2 ) o ，( x ，y ) = 1 为方程 ( 3 2 o ) 的一组使z 为最小的解不妨设y 三o ( m o d 2 ) ，于是( 由文献 2 】) 有： x 2 = 口2 + 6 2 ， y 2 = 2 a b ， z = 口2 一b 2 其中口 6 0 ，( 口，6 ) = 1 ，且口，b 为一奇一偶由于x 2 = 口2 + 6 2 ，x $ o ( m o d 2 ) ，所以 a o ( m o d 2 ) ，b - - o ( m o d 2 ) 故由x 2 = a 2 + 6 2 可得 x = p 2 + 9 2 ，a = 2 p q ，b = p 2 一口2 其中p g 0 ，( p ，q ) = 1 且p ，g 为一奇一偶于是 y 2 = 2 a b = 4 p q ( p 2