（应用数学专业论文）算子矩阵的补问题和谱.pdf

荃之才3 c 口。 至是t见 麦牙习 心。一。乏毋心主j q口乏6i主6i于量6i主毒委 于量6l发丢一彳夏一之呈重 至于亍刍、 6 i i 6 i 要 丑习a曼一萋it乎斧末咒田?叉v 于量子要宝穿习量 牙象灭乏习予丢之寸耷覆圭委曼习圭 一q o u q _ 量乱霎 c o m p l e t i o np r o b l e m san ds p e c t r af o r o p e r a t o rm a t r i c e s g u o j u nh a i s u p e r v i s o r ： p r o f a l a t a n c a n g ，p h d s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t0 1 0 0 2 1 ，p r c h i n a j u n e ，2 0 1 0 i _ - _ 。一 原创性声明 本人一明：所望交的学位论文足本人各导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文i l 不包含l ；他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 i 司i ：作的同志对本研究所做的任何负献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：三衄指渊币虢瑚水p 己 期：2 - - 矗f p fgh期：1 , o f 口。2 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙i i 大学有权 将学位论文的伞部内容或部分保留并向困家有关机构、部门送交学位论文的复e l j 件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也w 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位 论文。为保护学院和导| j i l j 的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古人学作 者今后使用涉及在学期间丰要研究内容或研究成果，须征得内蒙占大学就滨期问导师的同 意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙。r l j 大学办可投稿或公开发表 学位论文作者签名 u 凝 ! i = 7 口，口。6 遗，pj、 指导黼签径阳札矽 h舭f 。e ! ? i _ - 。 摘要 算子矩阵是近年来算子理论中最为活跃的研究课题之一，其研究涉及到 基础数学与应用数学的许多分支，如矩阵理论、优化理论和量子物理等等本 学位论文主要考虑算子矩阵的补问题和谱，内容包括算子矩阵的谱补问题、 f r e d h o l m 补问题和可逆补问题以及非自伴算子矩阵的谱结构等方面 用咒1 和咒2 表示h i l b e r t 空问，b ( n i ，7 4 j ) 表示从w i 到咒f 的所有有界线性 算子构成的b a n a c h 空间且简记为b ( n i ，7 4 i ) = 召( 他) ，i ，j = 1 ，2 本文的主要 结论如下： 首先，研究了缺项算子矩阵( 鲁；) 的m o o r e p e n r o s e 谱补问题对给定的算 子a b ( n 1 ) 和b b ( n 2 ) ，刻画了下面的集合 伽n a m ( ( a 跏倒a m ( ( a 跏 其中盯m ( ) 表示m o o r e p e n r o s e 谱 其次，讨论了缺项算子矩阵( 等g ) 的右( 左) f r e d h o l m 补问题和右( 左) 可逆 补问题对给定的算子a b ( 7 4 1 ) 、b 召( 咒2 ) 和c b ( n 2 ，7 4 1 ) ，分别得到了 存在x b ( n 1 ，咒2 ) 使得算子矩阵 ( x a 量) 为右( 左) f r e d h o l m 算子和右( 左) 可逆算子的充分必要条件 然后，考虑了缺项算子矩阵( 等9 ) 的p r e d h o l m 补问题和可逆补问题对 给定的算子a b ( 7 4 1 ) 和c 召( 咒2 ，7 4 1 ) ，分别给出存在x b ( 7 4 1 ，7 t 2 ) 和 y b ( n 2 ) 使得算子矩阵 ( x ay c ) 本课题由内蒙1 1 i 大学“2 1 1 上程”创新人才培养项目，国家自然科学基金( n o 1 0 9 6 2 0 0 4 ) 和高等院校 博士学位点专项科研基金( n o 2 0 0 7 0 1 2 6 0 0 2 ) 资助 算子矩阵的补问题和谱 为右( 左) f r e d h o l m 算子、右( 左) 可逆算子、f r e d h o l m 算子和可逆算子的充分 必要条件 最后，研究了某类非白伴算子矩阵的谱结构，作为推论得到了无穷维 h a m i l t o n 算子和j 一自伴算子矩阵的相关性质一般情况下，无穷维h a m i l t o n 算子是一类特殊的非自伴算子矩阵，其研究有着重要的理论价值和应用价值 因此，还考虑了斜对角型无穷维h a m i l t o n 算子的近似点谱和上三角型无穷维 h a m i l t o n 算子的本质谱，给出无穷维h a m i l t o n 算子的近似点谱( 或本质谱) 和 其元素算子的近似点谱( 或本质谱) 之间的关系 关键词：算子矩阵，可逆算子，f r e d h o l m 算子，无穷维h a m i l t o n 算子，m o o r e - p e n r o s e 谱，近似点谱，本质谱，数值域 a b s tr a c t o p e r a t o rm a t r i c e sa r eh e a t e dt o p i ci no p e r a t o rt h e o r y , a n dt h er e s e a r c ho f o p e r a t o rm a t r i c e sh a sr e l a t e dt op u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c ss u c ha sm a t r i x a n a l y s i s ，o p t i m a l i t yp r i n c i p l ea n dq u a n t u mp h y s i c se t c t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l y s t u d i e sc o m p l e t i o np r o b l e m sa n ds p e c t r ao fo p e r a t o rm a t r i c e s ，i n c l u d i n gs p e c t r a lc o m p l e t i o np r o b l e m s ，f r e d h o l mc o m p l e t i o np r o b l e m s ，i n v e r t i b l ec o m p l e t i o n p r o b l e m so fo p e r a t o rm a t r i c e sa n dt h es t r u c t u r eo fs p e c t r ao fn o n s e l f a d j o i n to p - w eu s e7 1a n d7 t 2t od e n o t eh i l b e r ts p a c e s l e tb ( 7 ，) b et h eb a n a c h s p a c eo fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sf r o m 咒it o ，a n dw r i t eb ( 7 ，咒i ) = b ( 觎1 ) ，i ，j = l ，2 t h em a i nr e s u l t so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , c o m p l e t i o np r o b l e m so ft h em o o r e p e n r o s es p e c t r u mf o ra no p e r a t o r p a r t i a lm a t r i x ( 0 三) a r ed i s c u s s e d f o rg i v e no p e r a t o r sa 召( 7 1 ) a n db b ( 7 2 ) ，t h ef o l l o w i n gs e t s c 8 f = ! ，咒。，盯m c ( 吾兰) lc 召龆，咒。，a m ( ( a ；) ， a r ec h a r a c t e r i z e d ，w h e r eo m ( ) d e n o t e st h em o o r e p e n r o s es p e c t r u m s e c o n d l y , r i g h t ( 1 e f t ；) f r e d h o l mc o m p l e t i o np r o b l e m sa n dr i g h t ( 1 e f t ) i n v e r t i b l ec o m p l e t i o np r o b l e m sf o ra no p e r a t o rp a r t i a lm a t r i x ( 等g ) a r es t u d i e d f o r g i v e no p e r a t o r sa u ( 7 1 ) ，b b ( 7 2 ) a n dc t ；( 7 2 ，7 1 ) ，t h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d ，r e s p e c t i v e l y , f o ro p e r a t o rm a t r i x ( x a 量) t ob ea r i g h t ( 1 e f t ) f r e d h o l mo p e r a t o ra n dar i g h t ( 1 e f t ) i n v e r t i b l eo p e r a t o rf o r s o m ex b ( 7 1 ，7 2 ) t h i sw o r kw a ss u p p o r t e db y “2 11p r o j e c t ”f o rp o s t g r a d u a t es t u d e n tp r o g r a m m eo fi n n e rm o n g o l i a u n i v e r s i t y , t h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 9 6 2 0 0 4 ) a n dt h es p e c i a l i z e d r e s e a r c hf o u n d a t i o nf o rt h ed o c t o r a lp r o g r a mo fh i g h e re d u c a t i o n ( n o 2 0 0 7 0 1 2 6 0 0 2 ) i v 算子矩阵的补问题和谱 t h e n ，f r e d h o l mc o m p l e t i o np r o b l e m sa n di n v e r t i b l ec o m p l e t i o np r o b l e m s f o ra no p e r a t o rp a r t i a lm a t r i x ( 号9 ) a r ec o n s i d e r e d f o rg i v e no p e r a t o r sa b ( n 1 ) a n dc b ( n 2 ，冗1 ) ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d ， r e s p e c t i v e l y , f o ro p e r a t o rm a t r i x ( x ay c ) t ob ear i g h t ( 1 e f t ) f r e d h o l mo p e r a t o r ，ar i g h t ( 1 e f t ) i n v e r t i b l eo p e r a t o r ，af r e d - h o l mo p e r a t o ra n da ni n v e r t i b l eo p e r a t o rf o rs o m ex 召( 化1 ，咒2 ) a n dy b ( n 2 ) l a s t l y , t h es t r u c t u r eo fs p e c t r af o rs o m ec l a s so fn o n s e l f a d j o i n to p e r a t o r m a t r i c e si ss t u d i e d a sc o r o l l a r i e s ，s o m er e l a t e dp r o p e r t i e so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n dj s d f a d j o i n to p e r a t o rm a t r i c e s 盯eo b t a i n e d i ng e n e r a l ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa r eac l a s so fs p e c i a ln o n - s e l f a d j o i n to p e r a t o rm a t r i c e s ，i t ss t u d yh a si m p o r t a n tv a l u ei nb o t ht h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s t h e r e f o r e ，t h ea p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r u mo fo f f - d i a g o n m i n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n dt h ee s s e n t i a ls p e c t r u mo fu p p e rt r i a n g u l a 工i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa r ec o n s i d e r e d ar e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ea p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r u m ( o rt h ee s s e n t i a ls p e c t r u m ) o fi n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n dt h ea p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r u m ( o rt h e e s s e n t i a ls p e c t r u m lo ft h e i re n t r i e si sg i v e n k e y w o r d s ：o p e r a t o rm a t r i c e s ，i n v e r t i b l eo p e r a t o r ，f r e d h o l mo p e r a t o r ，i n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r ，m o o r e p e n r o s es p e c t r u m ，a p p r o x i m a t ep o i n t s p e c t r u m ，e s s e n t i a ls p e c t r u m ，n u m e r i c a lr a n g e 目录 摘要 i a b s t r a c t i i i 目录 v 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 第三章 3 1 3 2 3 3 第四章 4 1 绪论 1 线性算子理论的历史背景 1 1 1 1自伴算子和紧算子1 1 1 2 非自伴算子 2 算子矩阵 3 1 2 1算子矩阵补问题4 1 2 2某类非自伴算子矩阵的谱7 本文的结构 9 相关符号以及基本概念1 1 相关符号1 l 基本概念1 2 上三角型算子矩阵的m o o r e p e n r o s e 谱2 1 预备知识2 1 上三角型算子矩阵的可能m o o r e p e n r o s e 谱和固有m o o r e - p e n r o s e 谱2 2 例子3 0 算子矩阵的半f r e d h o l m 性3 1 预备知识3 l 算子矩阵的补问题和谱 4 2 左下角元为未知缺项算子矩阵的半f r e d h o l m 性3 2 4 2 1主要结论以及推论3 2 4 2 2 例子4 1 4 3 第二行元为未知缺项算子矩阵的半f r e d h o l m 性4 3 4 3 1主要结论及推论4 3 4 3 2 例子4 9 第五章算子矩阵的右( 左) 可逆补问题 5 1 预备知识 5 2 左下角元为未知缺项算子矩阵的右( 左) 可逆补 5 2 1主要结论以及推论 5 2 2 例子 9 9 1 0 1 1 1 3 3 5 6 7 7 9 9 0 6 7 8 咀 b b 旧 爱 5 耳 曩 d 臼 6 7 刀 7 8 8 8 8 9 9 9 9 目录 主要符号表1 0 9 致谢i i i 攻读学位期间的研究成果1 1 3 第一章绪论 本章作为全文的绪论，首先综述线性算子理论的历史背景以及发展概况 其次，简单地介绍算子矩阵补问题和某类非自伴算子矩阵谱理论的研究意义及 研究现状最后，给出本文的结构 1 1 线性算子理论的历史背景 法国学者j d i e u d o n n 6 提及“泛函分析的狭义概念：泛函分析是拓扑向量 空问和满足若干代数及拓扑性质的、从拓扑向量空间e 的一部分q 到拓扑向 量空间f 的映射乱：q f 的研究( 见2 4 】) 由此看出泛函分析的主要研究对 象是空间和映射( 无穷维空间中的映射又称算子) 如今，泛函分析成为现代数 学的一个分支，而算子理论是泛函分析中最重要的研究领域之一自从2 0 世纪 初i f r e d h o l m 、d h i l b e r t 、f r i e s z 和s b a n a c h 等人建立算子理论以来，算 子理论已得到了迅速发展并渗透到数学的各个分支，形成了一批经久不衰的研 究课题线性算子理论特别是线性算子的谱理论，无论从纯数学还是从应用数学 的角度都是十分重要的目前，线性算子谱理论的研究内容涉及到基础数学与 应用数学的许多分支，诸如矩阵理论、微( 或积) 分方程、控制论、优化理论和 量子物理等等 1 1 1 自伴算子和紧算子 在无穷维空间上，人们最早发现的是紧线性算子和自伴算子的谱理论，其 研究可追溯到2 0 世纪初i f r e d h o l m 、d h i l b e r t 和f r i e s z 等人的有关积分方 程1 的工作1 9 0 0 年，i f r e d h o l m 在题目为“o nan e wm e t h o df o rt h es o l u t i o no f d i r i c h l e t sp r o b l e m ”的短文中证明了简单积分方程的一般理论1 9 0 3 年还写了 一篇文章，进一步巩固了积分方程理论这些结论可看成是无穷维空间上线性算 子谱理论的起源当时，由于积分方程的深刻而持久的影响，它在数学领域中成 了最活跃的研究课题之一 11 8 8 8 年，p d ub o i s - r e y m o n d 研究d i r i c h l e t 问题时首次用了“积分方程”这名字( 见【3 0 ) 2 算子矩阵的补问题和谱 i f r e d h o l m 的结论问世以后，d h i l b e r t 开始了积分方程的研究1 9 0 4 1 9 1 0 年问，d h i l b e r t 发表了6 篇有关积分方程的论文( 见4 5 1 ) ，其中假设了积分方 程核函数为对称的，从而得到了比i f r e d h o l m 更好的结论，奠基了有界线性算 子特别是有界自伴算子的谱理论 积分方程方面的这些理论促进了微分方程尤其是s t u r m l i o u v i l l e 问题的 研究1 9 0 9 1 9 1 0 年间，h w e y l 研究了h i l b e r t 空间中的无界自伴算子，把经典 s t u r m l i o u v i l l e 问题中的有限区间推广到无穷区间( 一个端点取成无穷远点) 上，引进“极限点型”和“极限圆型”的概念，发展了奇异二阶常微分方程的理论 ( 见 8 0 】) 接着，t c a r l e m a n 等人做了大量的有关奇异积分方程的研究h i l b e r t 空间中的无界自伴算子谱理论方面，j v o nn e u m a n n 做了杰出工作1 9 2 7 1 9 2 9 年间，j v o nn e u m a n n 研究量子力学的过程中，引入h i l b e r t 空间以及h i l b e r t 空问中的闭线性算子等抽象概念，促进了无界自伴算子谱理论的研究1 9 2 9 年 到1 9 3 2 年间，j v o nn e u m a n n 发表了3 篇论文奠基了正常算子和自伴算子的谱 理论在此期问，m h s t o n e 和f r i e s z 等人也做了很多有关自伴算子以及正 常算子谱理论的研究 紧线性算子的研究归功于f r i e s z 的工作研究积分方程的过程中，f r i e s z 有效地结合i f r e d h o l m 和d h i l b e r t 的研究方法，引进了全连续算子( 紧 算子) 的概念1 9 1 8 年，f r i e s z 考虑了赋范空间e 上的全连续算子u ，且研究 了算子v = 如一u 利用r i e s z 引理等工具，给出了算子v 的各种性质基于此， f r i e s z 解决了紧算子的特征值问题 这些开创性的结论问世之后，许多数学工作者发现了自伴算子谱理论对微 分方程和量子力学等相关领域中的应用，从而自伴算子理论得到了前所未有的 发展有关自伴算子的结论可阅f 3 2 1 1 1 2 非白伴算子 非自伴算子谱理论相比自伴算子谱理论要复杂得多，然而其研究意义更大 我们知道，经典的s t u r m - l i o v i l l e 问题中自伴算子谱理论是一种较好的解决工 具，但是弹性力学等很多学科中自伴算子理论显得无能为力因为，它们涉及到 非自伴算子正因为这些原因，非自伴算子的谱理论也吸引了诸多数学工作者 最早有关非自伴算子谱理论的研究始于1 9 0 8 1 9 1 3 年间g d b i r k h o f f 的 工作( 见1 4 1 6 1 ) 但是，非自伴算子谱理论的研究非常缓慢直到2 0 世纪中期， 第一章绪论3 非自伴算子谱理论才引起人们的注意，得到了发展1 9 5 1 年，m v k e l d y 吾的有 关非自伴算子多项式的工作( 见f 5 6 1 ) 在非自伴微分算子谱理论中起了较大的 影响i c g o h b e r g 、m g k r e i n 和t k a t o 等人在非自伴算子的各种谱性质 方面做了很多工作后来，i c g o h b e r g 和m g k r e y n 撰写了非自伴算子的专 著 4 1 1 1 9 5 4 年，n d u n f o r d 发现的谱算子理论( 见f 3 3 1 ) 是非白伴算子理论的 另一个重要方向同年，m s l i v g i c 开创了非自伴算子的结构理论，引进了特征 函数等很多新概念2 0 世纪6 0 年代至今，非自伴算子的研究不断扩大，推动了 不定度规空间( 见9 1 ) 等新的研究领域 线性算子理论的历史背景方面，读者可阅2 4 ，7 6 1 经过几辈人的努力，线性算子理论已经成为专门的研究领域，其研究方法也 不断成熟如今，在线性算子理论中比较盛行的研究方法之一是用算子矩阵的思 想去研究算子本身的性质本章的1 2 节，我们简单介绍有关算子矩阵的补问题 和谱方面的研究意义及研究概况 1 2 算子矩阵 算子矩阵是以线性算子为元素的矩阵从理论角度来讲，算子矩阵的研究 是由下面的事实自然想起的：如果t 是h i l b e r t 空间饨上的有界线性算子且死 可分为两个h i l b e r t 空间咒1 和咒2 的直和，即 咒= 九1 + 咒2 ， 则t 可表示为2 2 阶算子矩阵 t = 黔 ( 1 1 ) 其中为从九j 到他的有界线性算子，i ，j = 1 ，2 ( 见 2 3 ，4 0 ，5 7 ，7 5 ，7 6 0 因此， 算子t 可看成为比较简单算子的组合容易发现( 见 2 3 ，7 5 1 ) ，当他为t 的不变 子空问时，t j t = 0 ( i ，j = l ，2 且i 歹) ，进而t 具有三角型算子矩阵的形式 值得注意的是，如果t 是从w 到咒的无界线性算子，则由定义域及其闭性 等因素，无界算子t 可能不具有矩阵形式( 1 1 ) 但如果无界算子t 具有矩阵形 式( 1 1 ) ，此时称t 为无界算子矩阵 从应用角度来说，算子矩阵还出现在数学及其应用的各个领域中，如系统理 论、控制论、差值理论、偏微分方程理论和非线性分析理论等( 见【3 9 ，7 6 ) ，而 4 算子矩阵的补问题和谱 这些理论在流体力学、磁流体动力学以及量子力学等数学物理学中有着广泛的 应用在所有的应用中，相应算子矩阵的谱性质起着极其重要的作用所以算子 矩阵的研究在纯理论和实际应用角度都是十分重要的目前，算子矩阵的补问 题和非自伴算子矩阵的谱理论已经成为算子矩阵理论中的热门研究课题 1 2 1算子矩阵补问题 缺项算子矩阵是一些元素为已知的，其余元素为未知的算子矩阵；而缺项算 子矩阵的补是缺项算子矩阵中的未知元素取定以后的算子矩阵我们所关注的 算子矩阵补问题就是研究缺项算子中已知元素的性质，使得该缺项算子矩阵具 有给定性质的补 ( 。a ；) 和( ；) 1 2 1 - 2算子矩阵补问题的研究现状以及可展开的工作 上世纪末，国内外数学工作者开始注意了算子矩阵的补问题如今，插值理 论、控制理论以及换位提升理论等相关学科的刺激下，许多学者从各个不同的 方向研究了算子矩阵的补问题，如正算子补问题、压缩补问题、范数补问题、 投影补问题、可逆补问题以及谱补问题等等所谓算子矩阵的可逆补问题是指 第一章绪论5 找出缺项算子矩阵中已知元素的性质，使得该缺项算子矩阵具有可逆的补；而算 子矩阵的谱补问题就是研究缺项算子矩阵中已知元素的性质，进而判断该缺项 算子矩阵的补之谱以及谱分布 假设孔1 和九2 为h i l b e r t 空间，且a ：咒】_ 死1 、b ：咒2 _ “2 、 c ：咒2 一“1 和d ：咒1 一咒2 为有界线性算子目前，人们所研究的缺项算 子矩阵可归纳为如下两大类： 第一类缺项算子矩阵，即一个元素为未知的缺项算子矩阵所属的缺项算 子矩阵有 ( b ，( 。aa (。a ；) 和( 三；) 第二类缺项算子矩阵，即两个元素为未知的缺项算子矩阵所属的缺项算 子矩阵有 ( 等；) ，( 。a ；) ，( 三；) 和( 等三) 等等 比如，研究较多的上三角型缺项算子矩阵 ( 属于第一类缺项算子矩阵 近2 0 年来，第一类和第二类缺项算子矩阵的研究吸引了诸多国内外学者： 国内学者包括杜鸿科教授、侯晋川教授、崔建莲博士、任芳国博士、曹小红博 士和李愿博士等：国外学者包括k t a k a h a s h i 、i s h w a n g 、w y l e e 、d s d j o r d j e v i 6 、e h z e r o u a l i 、h z g u i t t i 和s v d j o r d j e v i d 等下面对第一类和 第二类缺项算子矩阵的研究现状进行说明 第一类缺项算子矩阵中，上三角型缺项算子矩阵( 吾：) 的研究最为活跃 1 9 9 4 年，杜鸿科教授在文【3 1 1 中研究了上三角型缺项算子矩阵的谱补问题，给 出缺项算子矩阵( 吾；) 的所有补之谱的交集随后，诸多学者开始研究了上 6 算子矩阵的补问题和谱 三角型缺项算子矩阵的各种谱的补问题2 0 0 0 年，j k h a n 、h y l e e 和w y l e e 把文 3 1 1 的结论推广到b a n a c h 空间上( 见【4 3 1 ) 2 0 0 1 年，i s h w a n g 和w y l e e 考虑了上三角型缺项算子矩阵的下方有界性，进而刻画了其近 似点谱( 又称左谱) 的性质( 见 5 5 】) 2 0 0 2 年，d s d j o r d j e v i 6 对上三角型缺项 算子矩阵的本质谱、w e y l 谱以及b r o w d e r 谱等进行了研究( 见f 2 6 1 ) 2 0 0 4 年 至今，国内的曹小红博士、李愿博士和侯国林博士以及国外的e h z e r o u a l i 和h z g u i t t i 等人继续讨论了上三角型算子矩阵的各种谱，获得了很好的结论 ( 见【1 7 _ 2 0 ，2 7 ，4 8 ，6 1 6 4 ，8 4 ，8 7 1 ) 缺项算子矩阵( 等g ) 的研究也比较活跃例如， 1 9 9 5 年，k t a k a h a s h i 利用p r e d h o l m 算子理论给出缺项算子矩阵( 等g ) 存在可 逆补的充分必要条件( 见f 7 4 1 ) ；1 9 9 7 - 1 9 9 9 年间，侯晋川教授等人分别讨论了缺 项算子矩阵( 毋g ) 的幂零补问题( 见【2 2 】) 和幂等补问题( 见 5 2 ) 此外，1 9 9 6 年，侯晋川教授研究了缺项算子矩阵( 占g ) 的投影补问题( 见 4 7 】) 第二类缺项算子矩阵的研究中，侯晋川教授等人做了不少工作例如， 文f 4 6 1 讨论了缺项算子矩阵( 每三) 的正算子谱补问题；文f 4 7 】研究了缺项算子 矩阵( 占9 ) 和( 每吕) 的投影补问题；文【2 2 ，5 2 】考虑了缺项算子矩阵( 每9 ) 的幂 零补问题以及幂等补问题2 0 0 6 年，任芳国博士还研究了缺项算子矩阵( 等9 ) 的 可逆补问题( 见7 0 1 ) 鉴于算子矩阵补问题的研究现状，我们从三个方面开始了算子矩阵补问题 的研究工作 ( i ) 缺项算子矩阵( a 三) 的研究是较为简单的，其各种谱补方面已经有很多结 论，但还未见文献讨论该缺项算子矩阵的m o o r e - p e n r o s e 谱所以，本文研 究了上三角型缺项算子矩阵( 台三) 的m o o r e p e n r o s e 谱补问题 ( i i ) 1 9 9 4 年，文f 3 1 1 中给出缺项算子矩阵( 吾三) 存在可逆补的充分必要条件以 后，文5 5 和 1 8 1 分别给出缺项算子矩阵( 吾三) 存在左( 右) 可逆补以及左 ( 右) f r e d h o l m 补的充分必要条件然而，文 7 4 】在1 9 9 5 年刻画缺项算子 矩阵( 每g ) 存在可逆补的充分必要条件之后，至今还没有人研究该缺项算 子矩阵的右( 左) 可逆补问题以及右( 左) f r e d h o l m 补问题于是，文中分 别讨论了缺项算子矩阵( 夸名) 的右( 左) f r e d h o l m 补问题和右( 左) 可逆补 问题作为推论，容易得出文f 5 5 1 和 1 8 1 中的主要结论以及缺项算子矩阵 ( 等三) 存在右( 左) 可逆补的充分必要条件 第。章绪论7 ( i i i ) 缺项算子矩阵( 等9 ) 的研究主要集中在幂零补问题和幂等补问题( 见 2 2 ，5 2 ) ，其f r e d h o l m 补问题等方面的研究比较少因此，本文分别研究了 缺项算子矩阵( 等宇) 的f r e d h o l m 补问题、右( 左) f r e d h o l m * b f 五j 题、可逆 补问题以及右( 左) 可逆补问题 1 2 2某类非自伴算子矩阵的谱 在诸多应用学科中出现的多数算子都是以无界算子为元素的算子矩阵由 于无界算子的定义域以及闭性等因素，无界算子矩阵的研究远比有界算子矩阵 要困难得多，研究工作显得较为繁琐对无界算子矩阵方面，利用有界算子矩阵 补问题的研究方法也可讨论无界算子矩阵的相关补问题，但得到的结论多数为 充分条件，因此无界算子矩阵补问题的研究比较少然而，在力学和量子场论等 应用学科的需求下，无界算子矩阵谱理论的研究吸引了不少学者本文的最后， 对具有特殊结构的算子矩阵，如无穷维h a m i l t o n 算子和歹一自伴算子矩阵等进 行研究一般情况下，这些算子矩阵是无界且非自伴的 1 2 2 1某类非自伴算子矩阵谱理论的研究意义 在实际应用中，非自伴算子谱理论是极其重要的：自伴性是能量守恒系 统( 又称闭系统) 的固有特性；然而，从工程学角度考虑的话，现实生活中的许 多系统都不是能量守恒的，进而有非自伴的状态算子( 此类系统又称开系统) ( 见f 7 6 ) 因此，人们开始关注了非自伴算子众所周知，非自伴算子与自伴算子 不同，对其研究是比较困难的目前为止，非自伴算子没有统一的处理方法，人 们所研究的仅仅是特殊的几类非自伴算子，如无穷维h a m i l t o n 算子、a t - 自伴算 子( 见3 4 1 ) 、乒自伴算子矩阵( 见f 7 6 1 ) 以及一标算子( 见f 7 3 1 ) 等等 无穷维h a m i l t o n 算子是具有深刻力学背景的、适用性较广泛的一类算子 矩阵，它来源于英国学者w r h a m i l t o n 创建的无穷维h a m i l t o n 系统如今， 无穷维h a m i l t o n 系统在弹性力学等领域中有了广泛的应用：钟万勰院士把无穷 维h a m i l t o n 系统理论与弹性力学相结合发现了弹性力学求解新体系( 见f 8 9 1 ) 弹性力学求解新体系的主要思想是不能分离变量的方程中引入无穷维h a m i l t o n 系统，得到对应的无穷维h a m i l t o n 算子( 见7 ，2 1 1 ) ，进而把不能分离变量的方程 转换成形式上可分离变量的方程再利用无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系的辛 正交性，给出原方程解的展开但这种展开的敛散性涉及到无穷维h a m i l t o n 算 8 算子矩阵的补问题和谱 子谱理论可见，无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论是解决某些力学问题中分离变 量法的理论依据，在弹性力学等相关领域中有重要的应用( 见8 9 1 ) 了一自伴算子矩阵是在不定度规空间中研究自伴算子时出现的另一类算子矩 阵，它在磁流体力学和量子场论等领域中有着广泛的应用( 见f 2 5 ，6 8 1 ) 一般情况下，无穷维h a m i l t o n 算子和了一自伴算子矩阵是非白伴的，因此对 它们的进一步深入研究不仅具有实际应用价值，在非自伴算子理论中也有一定 的理论价值 1 2 2 2某类非自伴算子矩阵的研究概况以及可展开的工作 非自伴算子矩阵是很庞大的研究课题，但还没有统一的理论框架在此 情况下，人们只对某些特殊的非自伴算子矩阵进行个别的研究目前，无穷维 h a m i l t o n 算子和了一自伴算子矩阵的研究比较活跃 无穷维h a m i l t o n 算子方面，鉴于它的应用背景，国内外学者从不同角度研 究了无穷维h a m i l t o n 算子并且得到了很好的结论国外，t y a z i z o v 和g a k u r i n a 等人研究了无穷维h a m i l t o n 算子的有界性、可逆性以及条件可约性等 性质( 见1 0 ，1 1 ，5 8 ，5 9 】) ；国内，阿拉坦仓教授等人系统地研究了无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论，得到了一系列结论例如，文f 6 ，8 6 】研究了无穷维h a m i l t o n 算子 特征函数系的完备性问题；文3 6 ，4 9 ，8 1 1 刻画了非负无穷维h a m i l t o n 算子的可 逆性；文2 5 ，5 3 1 讨论了无穷维h a m i l t o n 算子的点谱、连续谱和剩余谱；文 8 2 】 考虑了只有纯虚谱的无穷维h a m i l t o n 算子无穷维h a m i l t o n 算子可逆补问题 方面的文章有5 0 】最近，基于无穷维h a m i l t o n 算子的力学背景，文 3 5 ，5 l ，5 4 】 把无穷维h a m i l t o n 算子谱理论方面的结果巧妙地应用在弹性力学的实际问题 中 了一自伴算子矩阵方面，c t r e t t e r 和h l a n g e r 等人做了不少研究工作他 们讨论了自伴算子矩阵的二次数值域、特征值估计以及变分原理等性质详 细研究情况可阅7 6 1 及其中的参考文献 鉴于无穷维h a m i l t o n 算子和了一自伴算子矩阵的研究现状，我们从两个方 面进行了讨论 ( i ) 通常情况下，无穷维h a m i l t o n 算子和了一自伴算子矩阵是非自伴的算子矩 阵，但它们具有很类似的谱性质例如，无穷维h a m i l t o n 算子的谱集关于 虚轴对称( 见 4 】) ，而了一自伴算子矩阵的谱集关于实轴对称( 见 7 6 1 ) ；有界 第章绪论9 无穷维h a m i l t o n 算子的二次数值域关于虚轴对称，而有界了一自伴算子矩 阵的二次数值域关于实轴对称( 见f 7 6 1 ) 等那么，有没有其它非自伴算子 矩阵使得它们的谱集等也有某种对称性? 本文中，我们发现了比无穷维 h a m i l t o n 算子和了自伴算子矩阵更广的一类非自伴算子矩阵，进而给出 其谱结构作为推论，得到了无穷维h a m i l t o n 算子和了自伴算子矩阵的 相应谱结构 ( i i ) 众所周知，自伴算子的谱集和它的近似点谱相等，且自伴算子的谱集是 由本质谱和离散谱组成那无穷维h a m i l t o n 算子作为具有特殊结构的 算子矩阵，它的近似点谱和本质谱具有什么性质呢? 虽然关于无穷维 h a m i l t o n 算子谱的结论很多，但还没有人从算子矩阵的角度去研究过无穷 维h a m i l t o n 算子的近似点谱和本质谱的性质因此，本文分别研究了斜对 角型无穷维h a m i l t