（概率论与数理统计专业论文）矩估计量的渐近性质.pdf

摘要 本文主要探讨极值指标估计量的渐近性质本文第一部分给出了矩 型估计量的一般形式： 铲7 = ( 羔) - - 1 一斋( ，一掰) ? 其中 货k 妻( 1 1 喁讲l 圹i n x 地。) “ 口 0 且( 一1 ) 。有意义。在二阶正规条件下，我们证明了该估计量的渐 近性质。 第二部分，我们提出了一类新的位置不变的矩型估计量： 型嗡2 i 垡：塑1 _ 1 m 】5 3 ) ( ，七) 且 ( k o k ) - - - 去霎( z n 瓷等) ：2 3 并在一定条件下，证明了该估计量的强、弱相合性和渐近正态性。 关键词：极值指数估计量：正规变化函数；矩估计量；位置不变性：强弱 相合性：渐近展开：顺序统计量 一 2 3 一+ b 2 砖 1 2 = 极3 伽 舯 a s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fm o m e n t - t y p e e s t i m a t o r so ft h ee x t r e m e 场l u ei n d e x m a j o r , p r o b a b i l i d a n ds t a t i s t i c s t u t o r , p r o f p c n gz u o x i a n g a b s t r a c t s p e c i a l i t y , p r o b a b i l i t y a u t h o r , y a n gd a n d a n t h i st h e s i sc o n s i d e r st h ea s 、m p t o t i cp r o p e r t i e so fe x t r e m ev a l u ei n d e xe s t i m a t o r s i nt h ef i r s tp a r to f t h i sp a p e r ：b a s e do nt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no f a 馏( n o ) am o m e n t t y p e e s t i m a t o ro f e x t r e m ev a l u ei n d e xi se s t a b l i s h e d ，w h i c h i s ： w h e r e 伊= ( 羔) 1 + 1 一卉( ，一错) _ 1 ， i 掣：丢k ( 1 n _ - i + l , n - - i n l 地n ) q x ) i i t hq 0a n d ( - 1oi sm e a n i n g f u l t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft h i sk i n do f m o m e n t - t y p ee s t i m a t o ra r ep r o v e du n d e rt h es e c o n do r d e rc o n d i t i o n s i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ：an e wk i n do fl o c a t i o ni n v a r i a n tm o m e n t - t y p ee s t i m a t o ri sp r o p o s e d ，i e ， ，。c七。，尼，=(三砰，c克。：七，)5+一；(一尘兰竺二写群 w h e r e 删垆瓦1 0 墨i = 1 ( n 宅等意 、j l ：j = 1 ：2 3 ) t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so f ，3 ( “k ) s u c ha ss t r o n ga n dw e a kc o n s i s t e n c y ， a s y m p t o t i cn o r m a l i t ya r ec o n s i d e r e du n d e rs o m ec o n d i t i o n s k e y w o r d s ：e x t r e m ev a l u ei n d e xe s t i m a t o r ：m o m e n t t y p ee s t i m a t o r ：l o c a t i o n i n v a r i a n t ：w e a ka n ds t r o n gc o n s i s t e n c y ；a s y m p t o t i ce x p a n s i o n ：o r d e rb t a t i s t i c 2 独创性声明 学位论文题目：缝垡盐量的逝堑丝厦 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：嘲丹丹 签字日期：纠年占月弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：嘲肆4导师签名：呦4 - 五钆未百 f 签字日期：叫年石月多日 签字日期：2 。 了年，月侈日 西南大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：嘲井丹 日期：卅年石月弓e l 第一章前言和预备知识 1 1 前言 假设x 1 ，是一列独立同分布随机变量，分布函数为f ( z ) ，x - 。s x 2 ns x 。n 是其对应的顺序统计量。如果存在实数列a ，。 0 ，6 n r ，及 非退化分布函数g 一) ，使得对任意的z 有 pf ，! 立巫r 、) ：f ，t ( z + b n ) 。g ( z ) ：n 。c a l n 那么g ( z ) 必与 g ，( z ) = e x p ( 一( 1 + 丁) 一 ) ：l + 一y ， 0 ，7 r 同类( 特别地当7 = 0 时f 1 + ，z ) 一寺= c - z ) 。此时，称函数f ( x ) 属于吸引场 g 1 ( t ) ，记为f d ( g ，) - 称为极值指标 当分布函数未知时，如何利用有限的样本x 。，矗去研究极端事件发生 的可能性，这是我们极值理论研究的重点。极值理论有着广泛的应用，比如金融 保险中的大索赔问题：水汶学中洪水的最高峰、最大流量及最长时问问题：气象 学中暴风速度、极端温度研究等 1 2 文献综述 1 9 7 5 年h i l l ( j 1 2 ) 就 0 的情形提出了估计量 错= 去1 n _ i + - ，n i n _ 咄n ， ( 1 1 ) m a s o n ( 1 6 ) 和d e h e u v e l s 等( 【3 ) i i e 日f l t n 估计量的渐近性质。p e n g 和q i ( 2 3 ) 在二阶正规变化条件下证明了h i l l 型估计量的渐近分布只能是正态分布。d e k k c r s 等( 7 】) 将h i l l 估计量拓广到了 r 的情形： 碟7 刊1 一妒警) - 1 - m 2 ， 其中 蜉k 去( 1 n _ 矾n _ 1 n 矗砘n 产1 2 并证明r 该估计量的强、弱相合性和渐近正态性 此后，王淑良与彭作祥( 【2 4 】) 对此做了推广，得到以下矩型估计量t 铽”( 抄) 5 一* 等r 3 ， 并证明了该估计量的强弱相合性、渐近正态性和分布渐近展式最后通过随机模 拟将之与矩型估计量( 1 2 ) 做了比较分析结合g o r u e s 等( 【1 1 ) 中a 霸( q 0 ) 的渐近展式t 竹b 。( 1k m - - 0 , t a - 1 a 2 ( 罢，m 州孚卜屯c 融 本文第一部分给出了一类新的矩型估计量： 掣7 = ( 羔) ；+ 1 一寿( ，帮r 其中q 0 且( 一1 ) 。有意义在二阶正规变化条件下，我们证明了该估计量的 渐近性质。值得注意的是，此类位置变化的估计量对样本数据的线性变换和门限 砖。地。的选择- = 1 1 1 常敏感下面我们就位置问题介绍几类位置不变的估计量例 如，p i c k a n d s ( 17 j 提出p i c k a n d 型估计量： 2 砸11n石jk-ni-k+iln了-*y瓦n-2k+l,n ( 1 4 ) d e k k e r s 等f 6 ) 证明了该估计量的强弱相合| 生和渐近正态性。此后，q i 和c h e n g ( 【1 8 】) 对此做了推广，得到如下估计量： 锟2 丽1l n 瓦 x n - i k l - i l n - - 玎j 忑n - k 2 i + l , n ( 1 5 ) 其中d 1 是实数，正整数列k l 七2 ! = ，讯喑坫， 川 其中符号兰表示同分布。特别地，对连续函数9 ( r j 我们有 喜9 y n 乩- i , n 。 ) 皇善k 扪a 4 若实数序列 ：( ) 满足条件七( ) 一掣一o ( 一。c ) ，则称 詹( 竹) ) 为中问秩序列由g e l u k ( 1 0 ) 和s m i r n o v ( 2 0 ) 可知： ! 碥一七n 三1 ：n 。，( 1 1 3 ) 7 l 其中符号三表示依概率收敛，特别地，若9 ( t ) 是一个正规变换函数，那么 掣三l ：，。 ( 1 1 4 ) 万1 l n 。 - 钏 另一方面，由q i 和c h e n g ( 1 s ) 可知：若存在常数c o 使得- 等嘉一，z 一。， 那么就有 1 i m 兰k 吨n = 1 仃( 1 1 5 ) 5 二阶正规变化条件 如果存在函数a ( t ) 0 及函数4 ( f ) 0 且4 ( t ) 一0 ：t _ o o ，使得 1 i m 当掣= = ，( 乩 f 1 1 6 ) 熙手竺刊) ， f 6 ) 其中 蛐卜 羞 日( r ) 不是d ，( t ) 的倍式。那么我们就称函数u ( t ) 满足二阶正规变化条件由 d eh a a n 和f e r r e i r a ( 5 ) 可知： 仃( z ) 上+ p lz 1 1 1 十p 兰竺p l n 奠) ， z 1i nx 一兰孚 ( 1 n x ) 2 7 p 0 且( 一1 ) 。有意义在二阶正规变化条件下，我们证明了该估计量的渐 近性质 8 2 2 矩型估计量的渐近性质 引理2 2 1 若二阶正规变化条件r ，s 6 ) 成立，那么就有 黑一 一 牌号萨以 其中= m a x ( 7 ，0 ) ， c = 妻：，：三j 0 且( 一1 ) 。有意义，有 俐当7 0 时， 南一( | “吐似m ： 汜3 ， 9 其中1 z = r ( ( t + 1 ) ，只= i 1 垒1 ( 1 n 】：) n 一，如，( t j l 是仅与( 1 。，有关的常数； “当 = 0 时， m ( 采器) 。 刈。+ r + n m ) a ( 昙) + ( 1 4 2 + o ( g i ； a 。( 孤 ( 2 4 ) r ，1 1 。，( n ) 同上5 ( i i i ) 当7 0 时，由d e k k e r s ( 6 】) 可知： f f ( 、，n 地。) ，f 。“。) a ( 等) u ( 芸) 从而，当n 充分大时剡一7 成立结合g o m e s 等( 【1 1 ) 中? l 靠。( q o ) 的渐近展式： 州叫瘪叫h 卵。r 趣争 即可得结论成立，其中，( n ) = ( i i ) 当7 0 时，由( 1 1 0 ) h | ( 畿岩) 。 型1 二! ! 二2 上 1 p1 1 - p ) o 。 式得： 。一1 甲一l p) 圳。c 轨 f f i nu ( k f + 1 ，。) 一i n 己i ( 1 二一岛。) 、o n ( 1 ，l 一七，。) ( i ( 1 ：卜良n j 首先我们讨论c = 土。c 的情形由引理2 2 1 和f 1 儿) 式得： 1 七 厶= 去 l = 1 丢圭 l = 1 ( 警) 一l a 2 ( k 以。) 2 1 强k 一1a 2 m 。) 1 0 ( 等) 1 一t ( 掣一 = ：( n 2 ) 口 ( 1 + 唧( 1 ) ) i 1 1 已m 女一1 、n ) 仃鸲( 1 夕 。爿 1 一七 | | ，一 利用泰勒展式，可知： 1 k ( n 2 去善l ( h i + 1 ) 一1 ) n+ o p ( a 。( 孚) ) 一琏妻( 竿) ”1 ( y 一1 ) 。一弘砖妻( 又由大数定律得：当n 一。c 时， 其中 1 i 七 y _ 一1 】，1 1 ) n _ 菇i k l f 竿y y _ ) 旷1 ( ，z o = e ，( 0 = ) ( ( w 一1 ) “) = ( 一1 ) 。+ 1 一。 2 r + 2 综上，令尸q = ；笔。( 暑 同理可证c ( 一，。c ) ( 一1 ) o ? p ( 1 + p ) p “o 一1 v 嚣m 一1 ) ”1 ( 每 1 f 一1 1v 1 1 ) 三，( q ) ( 一1 ) 。+ 1 1 一( 。十1 ) b p ( 一三，r ，+ ( 厅p ( 莩) 地( 专) ) 一弘。1 即可得结论成立 的情形，其中 ( 肌( 半n ) 地 ( i i i ) 当7 = 0 时，若c = 4 - 0 0 ，则 n 2 d ( 专，) ) 一筝( m ( 2 1 1 ( ，n 锉1 1 似坼等) 2 ”删) 。 ( n g k - i + l , k - = 尹1z ( 抛扎( 州1 ) ) ) q ) 圳似芸) ) n ) 也( 一) 令，( z ) = 挈掣：b 女= i n 七：饥= 7 ( 九) ，则由r e s n i c k ( 1 1 9 ) 中命题1 9 和命 题2 1 可知： 搬e ( 等) ， = z l x ( d z ) = f 一1 ) “r 。( 1 ) o 时， ；g m f j r ( “+ 2 ) 只+ 1 一 ( q + 1 ) 7 1 ( 1 r ( q + 2 ) r l r ( f ，+ 2 ) pd一三r+7以。(罢)+op(a：(凳)+dp丽10tx ) ； ，i ：尼 r 一三只州m ( 罢) + 0 ( 厕。( 抄o p ( a 。f 抄吻( 秽1 ( in 、 煮 0 ，g m ，n ( i i i ) 当- 0 时，由a 2 ( t ) 的定义可知， 厶f 常数) 即器= 7 十+ b a 2 ( f ) ( 1 + 。( 1 ) ) 又因为弘( ，z ) 是一中间秩序列，所以 o f k 一女。) ，( 1 二一k 。) 结合( 2 3 ) 式和泰勒展式即可得： ，n ( 嚣) 7 u ( 鼍) 1 竹1 ( 羔卜7 ( - + 志+ 揣屯c m 止c 硝 = 7 + 蒜b r + 揣，乱( 抄洲zc 抄咋( 旁 类似地 ! 坐二：) 二i 坐尘型 ( 畿等) 叶1 = 胁，+ 只+ ，+ ( a + 1 ) ，( a + 1 ) 一。( 鼍) + ( _ 2 ( 鼍) ) 一( + 只+ 仃m ) a ：( 鼍) + o p ( a 。( 孤l + p 1 + f ( 1 ) a z ( 凳) + ( 也 = n f ( c l + 1 ) + ( r + 1 一 p 。- r ( n + 1 ) n ) + 乃( 口) 4 。( 鼍) + 0 p ( a z ( 芸) ) + 唧丽1 ) ， 兀( q ) = ( a + 1 ) 厂( o + 1 ) 一a f ( a ) 一厂( 1 ) 。对上式用泰勒展式得： ( 畿等) 叶1 臂十1 ) = f a p ( a + a f # 3a 攀 亿+ 1 一一f ( r v + 1 ) n ( a r ( a + 1 ) ) 2 1 3 一酬月。( 昙) + o p ( ) ) + o p 蕊1 ) ， 哿 m 啪h 卜 ( r ( q 从而， 矗刚 砧1 ) 、_ j 矗。+ 1 + 2 ) + 只+ 1 + ( n + 1 ) ，( 0 t +1 ) a 。( 抄郎( a 。) + 1 ) ) _ 1 一堕志茅一 q + 1 p n + 1 = - - - - + ( i c 2 f ( a + 1 1 死( 。) = 糌铲一疋( n ) r 譬m = 7 + 五亭+ 酬| 4 n ( 抄砒f 抄c ，( 去) ) + t 3 ( q ) a 。( 凳) + ( 1 。( 罢) ) + d p 丽1 ) ， 器p n 一三p 1 州o ：( 抄洲。( 抄丽1 ) ； 其中r ( n ) = 1 八1 ) + b 一鼎死( n ) ( i i ) 当 = 0 时，同上分析； ( i i i ) 当7 。时，由( 2 5 ) 式可知：( 蒜豁) 丢： 且竹+ 一 矗。且矗1 唧( 肖z ( 詈) ) + o p ( 去) ，且 ( 躐等) 叶1 = ( p a + l - - p a p l ) + ( 尸n + 1 - - 1 1 r 啪p 1 ) + 酬以：f 鼍) + o p ( a 。( 抄郎丽1 ) ， 丁l ( q _ ) = ( q + 1 ) f ( a + 1 ) 一a p l f ( a ) 一，( 1 ) 肛。利用泰勒展式得： ( 器等) 0 + 1 l 警七h a f 拿3a i 1 = ( ，l 。+ 1 一p a p 1 ) 一1 一 p 0 + 1 一p 1p q 一。p 1 f ，z 。一1 1 1 0 t 1 1 ) 2 咒( o ) = 一瓦妄毪b 从而， ( - 一券厂 = ( 如+ ，+ p 0 + + ( 。+ 【肛q + 1 q + 1 ， 一( 7 n 儿p 1 ) q 1 、 一lj 一一 + 死( n ) 4 。( 芸) + o p ( a 。( ；) ) + 1 ) ，( q + 1 ) a 。( 芸) + ( 4 z ( 芸) ) ) ，a搿+l侧毗4 2 ( 抄洲z ( 抄r 捌k【一弘q # n ) k ： 、j q p lj p i q + 1 一o + 1 t l l 尸0 一，q + 1 p dp 1 ( ，f n + 1 一，i q j 1 ) 2+ 驯矧昙) w 矧钞咖( 旁 赫 学 ，i一 限一川缘祟删 上狐 文， 死( c r ) = 瓮辫+ 地十z 疋( n ) 。所以， r 上 7 + n+i 其中r ( a ) ，0 1 1 1 ，) q + 1 1 1 。+ 1 h 1 厂) 0 一t i o 。i t t on 一音1 死( ( i ) 一。j 、一，。 ( ，d + l 一1 1 0 l qj 2删n 岛f o p ( a 。( 抄唧( 去) ， 引理2 2 2 令q 。= 七r 若 七( n ) ，是一个中间秩序列，那么就有 ( q 。q 1 q 。十1 ) 三n ( o 2 ) ，7 1 , 一。c x ( o ，2 ) 表示均值为零向量，方差 如i 2 。- ( 1 1 0 ) 2 i 点磁m 如= 竺嚣 。+ l l , 2 a + l 一| l + l t o z q + 2 “t o + l p l t t 2 f q + 1 ) 一( ，f + 1 ) 2 证明：令q = 弧( 仃r + i ) r 一，+ r r ) ，f t ) 为其特征函数。那么对任意的 o ，b ，c ：d r ，当7 一 1 7 、l， ， 1，j l 1 i = 1 ，。l 1j 1，j一如一_ fl 同理可证 i 0 时命题成立 综合定理22 2 和引理2 2 2 即可得以下结论成立 推论2 2 1 若定理r 2 2 ，j 的条件成立，并且中间秩序列 矗( 九) 满足条 件j 以。4 2 ( 詈) 一0 ，一 3 0 ，那么 订( 7 7 ) 三n ( 0 仃2 ( r ) ) ， 7 i x 其中n ( 0 ，o r 2 ( n ) ) 表示均值为0 ，方差为0 - 2 f ( tj 的正态分布当，0 时， 仃2 ( o ) = 当7 0 ，存在m ，n 2 ，当 f 1 人f l ，鲁 时有： 俐当7 0 时， ( 1 一) 1 一丁一5一嘴掣钟叫 吖 育驴 ( 1 + 三) t 5 1 + ： f i o 当 0 时， 1一(+s)r，v+e!丽(u(t2x)-u(t1)1 1 一( 1 一) r 1 一s 1 一(+ s ) r 1 + 5 7 万：弋一 o ； ，( 2 ，1 ) 一 ( 1 n ( f 2 t , 1 ) ) 一，7 = o ： 【( 一7 ) ( c 2 f 1 ) 1 ， ， 0 使得0 k ( n ) 行且 n 一。c 时七( 礼) ( 1 nn ) 6 _ x ，那么 俐当f ( 。) = 丁q ( 0 1 c t 型等盟 1 7 q ：j 。 ( 3 5 ) 意 墨k m 证明见d e k k e r s 等( ( 7 】) 中引理2 3 引理3 1 3 若实数列 小( ) ) 满足条件：当订一。c 时，0 天( 九) 九且 j i ：( ，1 ) _ 。c 那么 例若f ( r ) = 丁。f 0 1 ，o 1 ) 贝l l 三譬， _ 。： n 一1 证明见d e k k e r s 等( 【一j ) 中引理2 4 。 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 定理3 1 1 ( 强相合性) 假设u ( t ) a n y ( , ，0 ( t ) ) ， 詹( n ) 膏o ( n ) ) 是中间 秩序歹q 且存在常数 t d 2 0 使得”一时，击糌_ x ，蔷等一。，那么 证明：由( 1 1 0 ) 式得： 。，3 ( 尼o ：k ) 瞥7 n 一3 c , 蜊) 兰9 1 釜i = 1 ( n u f 】二一。一u ( k 一。) 一u ( k 砘n )u ( k b n ) 、j l ，= 1 ：2 3 因为，凡一时击齄一高特一。c ，所以磊k y 。n 磐1 鲁k 一。( 一i t l k 一七 i 鸳k k 。瞥。c 。从而，当7 0 ，由引理3 1 1 即可得： 1 卜 1 一 ( 等) 叶 ) ，( 、名一i + 1 n 一【7 n 二 u f l ，凡一o n ) 一i k) j ( ，( 碥一。m k 一 ，。) y l i ( 1 + e ) ( 垛) 5 1 对充分大的n 成立。又由引理3 1 2 得：当 币时， 1 8 k o f l ( 1 + 江1 1 ，即 7 + l n s 1 ( 艨) 5 一 万三+呈譬j二旦一2(1+)+2一2 ( 1 一j ( 1 一z ) 。1 一e 。叫。“ 业m 二矗生 试 土咖 型川 2 、 【u + 一h 量 l n 1 i ( 1 一) f 1 一 ) 。 三) 2 万兰+三坚三旦一2(1一)+z，as11 ( + e ) ( 1 + 2 ) 。 + ： 。” 恕蘸利 成立同理j = 1 3 时， 同上，当 ， 0 时对充分大的n 有 ( 1 + c ) 由引理3 1 2 得 且 + f j l 1 ( ! = 扎a 8 u ( k t + 1 。卜c i 二一k 。) 、 y n k on 卜f ，+ ( k 一 m ) l f o 二一k 。，。y i 一：。) l f1 一( 1 一) u o ；l i 。1 n ) 一u o 一* 。1 、o f ；一 0 t 。卜1 k 也n ) l ，( k 一七。 n ) k 一：。) 一) 2 ，( k b 川：k 一 ，j 1 )j 因为e 是任意的，所以 1 9 1 ，一f i7 11 o s j 1 ，fi b 汹 一b m m ：；ih 一 m i _ = p 同理可证= 1 3 时， 成立综上， 。、矗2 ，) ，熙丽聒i 高 j 以1 1 ( “七) n 2 ( k o 岛) a 矗3 ( 七o 五) 另一方面，由定理条件可知： = i 毒一s( 1 一o ) ( 1 一j ? ) 7 o ： 熹，7 0 使得t t o z l 时，有 些u(tx)铲-u(t)刮牡( ，+ 箫) 江8 ， 证明过程可参见l i 等( 【1 3 】) 中引理4 1 引理3 2 2 若p 1 ! ， 1 有 ，i n 锵躺一i n 黜 熙鳖蒜a 广型 t 一。n i l 2 0 f ，f j 纠成立，则 = b ，p ( z y ) ( 3 9 ) 其中 其中 一砂对任意的d 0 ，存在t o = “，j ) 0 ，使得当t t o z y 1 时 1 n 端一1 1 1 而d c x ) 4 0 ( 1 ) t f 丁7 ：p ( z ：) = 【2 + l e ，( 丁y ) 丁1 p + 6 d ，( z ) 证明过程可参见l i 等( 【1 3 】) 中引理4 2 正，p ( r ，! ，) ，y 叶胪o 、 七面而1 ( 3 1 0 ) 定理3 2 1 若二阶正规变化条件f j 7 纠成立，且 七( n ) ， ( n ) ) 是中间秩 序列，那么对充分大的 有： 俐当7 0 时， f 叫若7 + p 0 ，则 “，七) = 7 + 圭r + 工p 2 一 三只+ r ，( 去) 一1 + r 以c 詈，( 恚) p 吲( 圳州 阳，若7 + p = 0 ，则 ( 斯圳匆 “梳7 + 壶r + 孚岛一扣d ( 丧) 一州e 昙，( 去) 一m 譬， 州( 州州鼍，( 鼢nr 鼽r 扫 其中t i j = r ( j + 1 ) ! 乃= 瓦1 竺l ( i ny o 一o ，歹= 1 ，2 ，3 ，一，t 为仅与n = 1 ，p 有关 的常数5 一砂当7 = 0 时， ，s c ：七，= 壶忍一三r 一丢r + r ( 专) p 以c 昙，+ ( n ( 去) ) 一1 州修( 斯州匆 心弓定义同上； 2 1 紫肌 喃枷 誊 南南 们 ( i i i ) 当 ， 0 时， “j ( i l ：o - k j = 7 一 ( 1 一- ) 2 ( 1 2 ) f 1 3 q ，) ，1 3 6 - 3 刚( r 石，( 去) p + 2 凡一 鬻n + 坠2n )一2 ) ( 1 3 - ) 。 ( 去) 圳刖鼍，( 斯州扫 其中心= 百妄瀚弓= 吉，竺，( 1 一) j - p j 7 = j ，2 3 ，c ，f 为仅与m y ，p 有关的常数。 证明：( i ) 当 ， o 时，由条件可知：当n o c 时，( 导繁) ( 瓷等) 三 0x 寸- - t ：叨i = 1 ，2 ：k o 成立从而，由( 1 1 0 ) ，( 1 1 1 ) 和引理3 2 2 得： a 碟1 ( 忌o 七) u f k 一件l ，。) 一u ( 1 二一k 。) u ( k 一女。，。) 一u ( ) 二一m ) ( 普) 一， f ，! j = ! 业、 y n 乩n 一l+ 南祥k ，( o + p 、 i ( 糕) 什p 一， ，】- 一，一1 ，、 i 弋五了， = ( 畚) 去娄( 一( 等) ) ”删 + 寿州鼍，( 扩p 去姜等! = ( 训去姜”f ，+ 南州礁) p 州去昙，( 射) 利用大数定律可知：当n x 时， 所以， m 靶1 = k - 一- 。( 1 一1 ) 三击 l 一1 ) 三击 ( 扩 ( - 1 ) j j ! 甲 ( 1 7 ) 1 1 一j ，) 对j = 1 2 3 都成立。其中 r 、 1 弓2 瓦 ”p ) 1 七。 一l ( 1 + o p ( 1 ) ) ( 甓) 什p 一， ( 1 一圩即) 去娄( 卅一三等 f ，盐、 二地n 一1 jl i ( 1 + o p ( 1 ) ) i j + p j + t 3 a t 昙，( 去) 9 圳刖芸，( 斯圳去) ) 吁) ，一 2 2 ( 一1 ) 7 j ! 甲 ( 1 1 ) ( 1 一7 ) n h，、 b嘲bm 一 一h 旦一 | l b 一n b 嘲 t l 2 - r + 2 p - 1 从而， t ，：牟 1 + p a 群1 = ( 扩 ( 1一再1 一而1 + 南) ，t 。= 鲁( 赢一南+ 西2 鬲一d b ) ) 一 1 ( k ) m n ( 2 ( k ) f一4 1 3 ( 1 一 ，) 2 ( 1 2 7 ) ( 1 3 ，) ) 州a c 芸，( 拼叫去，) t 4 = t 3 一啬f 2 ( 扣七，) 且 2 1 2 ( i 一7j f i - 2 7 ) 。 + r f 希丽n 一音的( 去) p+ r 一百= i 赫n 一了与忍+ 如4 ( 兹( 、意) 最后利用泰勒展式得： ( 训南+ 学n +一v(11孚-7)(1-2y)z。4c 鼍，( 去) p + 。pc 月c 鼍， ( 且球( k o 七) 一 疋1 ( ：七) 露2 ( 小) ) 一1 ( 堕竖- 掣4 - 2 , , 3一( 生攀笋 4 1 3 k ) p 1 i ，) 型) 2 ( r f 希丽只一音尼) 地ac 昙，( 畚) p 州以r 昙，( 斯州去) ) 其中。= 一( 坐型莘业型) 2 轧所以 侧”7 一生皿芦( 半r 一若斋r + 导r ) 圳c 鼍，( 砉) p + 而寺雨( 丧) 州以c 鼍，( 拼州南 扣一坠幽掣f s 一而矗屯 ( i i ) 当7 = 0 时，由二阶正规条件( 1 1 7 ) 可知： u i t x ) 一f f ) ，。f ；+ a ( t ) y 9 孚p ( 1 + 唧( 1 ) ) ，? 、1 u ( ，) 一( f ) 1 f 7 z y + 4 ( ) z ( 1 + o p ( 1 ) ) 又因为当九一x时( 每芸等) p ； 砰，c 七。七，星( ，n 丧) 一2 2 + b + 碟3 ，c 七，皇( - n 寿) 一3 6 + 乃十 而2 ( 2 - p ) 4c 州西o ) p + o pc 以c 芸，( 拼) ： 筹刖罢，( 寺) p 州a i t 其中弓= 去竺l ( 1 n ；) j r ( ，+ 1 ) ：j = 1 2 3 。从而， 一 卵( ，七) 砰( ，是) ( 斯) 0 且7 + p 0 时，由“等( 1 a j ) 得： i 碟刚( 七。：七) = 。r ( a + ，) + 7 。p q + d 。( 等) 1 ( 1 + d p ( ，) ) + c o 4 ( 罢) ( 譬) 一p ( ，+ 0 p ( ，) ) ， 其中弓定义同上，而丸= q 7 。( 一7 ) ，c 。= 竺幽3 + p ：q = 1 ，2 ，3 最后利用泰 勒展式即可得结果： 辛n 3 ( 七o ，七) = 7 + 扔+ 孚岛一扣d ( 譬) + 的( 专) 9 吲州罢，( 拼 圳( 圳知 其中d ，t 是仅与q ，o ，p 有关的常数。当7 + p = 0 时，证明类似 引理3 2 3 假设( 7 n = 佤r ，且【 ：o ( n ) ) 是一中间秩序列，则随机向量 f q l q 2 q 3 ) 三( o 2 ) ，i t , _ 。o 其中n ( 0 2 ) 表示均值为零向量，方差为2 的三维正态分布当，y 0 时， 当1 0 时， ，1 4 2 ：f4 2 0 i 1 81 0 8 i ! ! 一 1 3 1 f ( 1 - - r ) ( 1 2 1 )( 1 一) 2 ( 1 2 7 ) ( 1 - 3 y ) f 2 一i 纽3 t r 4 ( 5 1 1 1 ) 。一i一可= 万可二之可可j 丽西= 可可r = 忑可可= 了顶r j 万 il 坠43 6 5 f 3 一n2 百彳可f 石市j 诹两一可i 而f 葡币i 而茸了顶f 丽 证明与引理2 2 2 类似 记7 _ = m i n ( 7 ，一7 ) ，由定理3 2 1 即可知以下结论成立。 推论3 2 1 假设定理了2 。的条件成立，且当仃一o c 乐t4 9 , , m a x ( 1 ( 詈) ，( 去) 7 0 ，那么 3 ( 艮) 三n ( 0 仃2 ) ，n _ 。 其中人t ( o 、口2 ) 表示均值为仉方差 的正态分布 墅= ! 堕2 墨三璺三2 2 二! ! 三= ! ：3 = 兰2 2 三：z 4 = 兰! ! = ! ：1 5 = ：! 苎= ： 6 = 2 1 1 兰：7 = ! 坐e 8 4 ( 1 4 j ) ( 1 5 】( 1 6 1 ) 2 5 0 ； 吖 0 ( ，n ( 去) ) ) 、l 8 4 8 0 8硌加鹋 参考文献 【1 f r a g aa l v e sm i ( 2 0 0 1 ) al o c a t i o ni m a r i a n th i l l t 、p ee s t i m a t o r e x t r e m e s 4 ( 3 ) 1 9 9 2 1 7 【2 a l v e sm i f ，d eh a a nl a n d t a ol ( 2 0 0 6 ) t h i r do r d e re x t e n d e dr e g m l a rv a r i a t i o n p u b l i c a t i o n sd el i n s t i t u tm a t h d m a t i q u en o u v e l l es 芭r i e ，t o m e 8 0 ( 9 4 ) 1 0 9 1 2 0 1 3 】d e h e u v e l sp i t a c u s l e re a n dm a s o nd m ( 1 9 8 8 ) a