（课程与教学论专业论文）数学认知结构与数学学习成绩相关性的研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名： 生：2 塾丕 日期：笙生二竺 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 釉脯胁雕。 名；塑i ! 垫 日 期：卫翌生竺 摘要 数学学习的过程即是新的学习内容与学生原有的数学认知结构 相互作用，形成新的数学认知结构的过程。学生原有的数学认知结构 是数学学习的基础，是影响学习的关键因素。从教师教的角度，教师 必须从学生原有的认知结构出发进行教学：从学生学的角度，学生要 重视打好扎实的基础，建立良好的数学认知结构。 首先，本文对国内外已有数学认知结构的理论及实证研究进行了 综述，并做出评价。其次，从数学知识结构、认识结构的层面，对数 学认知结构做出了自己的理解。第三，研究了数学认知结构的特点( 差 异性、整体性、发展性、层次性、能动性) 和功能( 贮存功能、动机 功能、选择功能、有意义学习功能、生成新知识功能、迁移功能、问 题转化功能、调控功能) 。第四，研究了数学认知结构的两个组成部 分对数学学习的影响；并通过对学生的问卷和个案调查，从知识间建 立联系的广度、认知出发点、认知图式方面比较清楚地论述了学生的 数学认知结构之间的差异性；通过实验数据得出学生数学认知结构与 数学学习成绩之间的显著正相关性。第五，提出了发展学生数学认知 结构的途径和方法：处理好教材与课堂教学之间的关系：以学生现有 思维水平为依据进行教学：在课堂教学中渗透反思的思想；把握知识 网络，在研究性学习中完善认知结构：开展数学建模活动等。 关键词：数学认知结构差异性相关性 发展 a b s t r a c t t h ep r o c e s so fm a t h e m a t i c a i i e a r n i n gi st h en e wk n o w i e d g er e c i p r o c i t y o i dm a t h e m a t i c a ic o g n i t i v es t r u c t u r e ( m c s ) e n g e n d e rn e wm c s t h e0 i dm c s ist h eb a s e m e n to fm a t h e m a t i c a ii e a r n in g ist h ek e yo f i e ar n in g f r o m t h ev i e wo ft e a c h e r s t e a c h i n g ，t e a c h e rm u s ts t a r tt e a c h i n g f r o ms t u d e n t s m s c ：f r o mt h ev ie wo fs t u d e n t sie a r n in g s t u d e n tm u s tc o n s t r u c tg o o dm c s f r is t t h isp a p e rs u m m a r iz e dt h es t u d ya b o u tm c a ，a n da p p r a i s e di t t h e n w e r e u n d e r s t a n d m c sf r o mt h e v i e wo fm a t h e m a t i c a ik n o w l e d g e s tr u c t u r ea n dt h ev i a wo fc o g n i t i o n t h ir d t h i s p a p e r d is c u s s e dt h e c h a r a c t e ro fg o o dm c s ( d i f f e r e n c e in t e g e r d e v e i o p m e n t a r r a n g e m 8 “t t c r a c k a j a c k ) a n df u n c t i o n ( s t o r e ，m o t i v e c h o c e w e i g h i e a r n in g c r e a t e n e wk n o w i e d g e 。tr a n s f e r t r a n s ia t e ，f i x in g ) f o r t h w e d is c u s s e dt h e f a c t o ro fin f iu e n c ec o n s t r u c tg o o dm c s ：t h r o u g ht h eq u e s t io n n air ea n d s u r v e y f r o mt h ee x t e n t s p r i n g b o a r d c o g n i t i v es tr u c t u r es c h e m es i d e s d is c u s s e dt h ed i f f er e n c eo fs t u d e n t s m c s t h r o u g he x p e r i m e n td a t a w e a r r i v e dt h e c o r r e i a t i o n b e t w e e ns t u d e n t s m c sa n dm a t h e m a t i c a i s u c c e s s 0 nt h iss t u d y w ea d v a n c e ds o m ew a y so fu n d e r s t a n d i n gs t u d e n t s m c s o p t i m i z i n g a n dd a v e l o p i n gg o o dm c s f o re x a m p i e 。h a n d i ew i t ht h e r e i a t ；o nb e t w e e nt e a c h i n gb o o ka n dc i a s st e a c h i n g g r a s pt h ek n o w l e d g e m e s h w o r k p e r f e c tm c st h r o u g hi n v e s tig a t e ie a r nin g ，r e f o r mt h et e a c h in g b o o k e x e r te m o t io nt e a c hin g ，a n ds oo n k e y w o r d s ：m a t h e m a t ic a c o rr e l a t i o n c o g n i t i v e s tr u o t u r e d i f f e r e n c e d e v eio p m e n t 5 jl-k 刖舌 1 问题的提出 选择“数学认知结构与数学学习成绩相关性的研究”作为本文论题是基于以 下两个方面的认识： ( 1 ) 学生有意义学习的需要 美国心理学家奥苏伯尔说过：“每当我们致力于影响学生的认知结构，以便 最大限度提高意义学习和保持时，我们就深入到了教育过程的核心。”数学学 习的过程即是新的学习内容与学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认 知结构的过程。学生原有的数学认知结构是数学有意义学习的前提与基础，是影 响学习的关键因素。只有当学生将新知识与原有数学认知结构中的适当知识建立 起“非人为和实质性的联系”时，才能进行有意义学习；反之，则易发生机械学 习。学生要重视打好扎实的基础，建立良好的数学认知结构。因此，从学生学的 角度出发，有必要研究什么是数学认知结构? 良好的数学认知结构有什么样的特 点? 如何建构良好的数学认知结构? ( 2 ) 教师有效教学的需要 数学认知结构是一个开放的、动态的系统，经过每一次学习，就应该进入 到一个更高级的状态。因此数学教学的一个任务就是促使学生的数学认知结构 不断地得到充实、更新和完善。 教师要进行有效的教学，就必须做到以下几点：首先，要了解学生数学认 知结构的发展状况，对学生做出恰如其分地诊断和评价，指导学生建构良好的数 学认知结构。其次，根据不同学生数学认知结构的特点，尽量做到因材施教，使 不同水平层次的学生都有所得。再次从建构学生良好数学认知结构的角度出发， 选择适当的教学策略进行有效的教学。 一 为此，教师就必须明确：学生的数学认知结构有什么样的特点? 数学认知结 句怎样影响着学生的数学学习? 怎样了解学生的数学认知结构? 怎样发展学生 的数学认知结构? 只有了解了这些内容，教学中才可能有的放矢的营造教学环 境、充分开发教学资源，优化教学设计，最终达到培养学生建构良好数学认知结 构的目的。 上述问题是中学数学教师需要解决的，也是在教学过程中渴望了解的。本 文希望针对上述问题的研究，实现数学教师教学设计的最优化，发挥数学学科的 特点培养学生建构良好的数学认知结构，达到促进数学学习的目的 2 数学认知结构的研究概述及评析 2 1 研究概述 ( 1 ) 关于认知结构经典理论 在心理学里，认知有两种含义：广义的认知，就是认识，就是人脑反映客 观事物和联系，并揭露其规律的心理活动。狭义的认知，就是人脑反映知识以及 知识间的联系，并揭示其规律的心理活动活动。【2 】“结构”( s t r u c t u r e ) 一词来源 于拉丁文“s t r u c t u r e ”，它的原意是部分构成整体。结构是事物的组织形态和活动 方式，具有整体转换，自调等特点。 数学认知结构是在认知结构的基础上发展起来的。关于认知结构及数学认 知结构的含义，国内外有多种提法，不同的心理学家( 派) 对认知结构有不同的理 解。 奥苏伯尔认为，所谓认知结构就是学生头脑中的知识结构，广义地说，他 是某一学习者的观念的全部内容和组织；狭义地说，它是学习者在某特殊知识 领域的观念、内容和组织。他采用三个认知结构变量去评价认知结构的优劣性。 良好的认知结构取决于三个认知结构变量：可利用性、可辨别性、稳定性。可利 用性是指当学习者面对新的学习或问题时，他的认知结构中是否有可以用来同化 新知识的较一般的、概括的、包容广的观念。可辨别性是指当原有结构同化新知 识时，新旧观念的异同点是否可以清晰地辨别。稳定性是指原有的、起固定作用 的观念是否稳定、清晰。” 皮亚杰是最早提出认知结构概念的人。他认为，认知结构像生物学的结构 一样既不是事先存在于头脑中的，也不是外部世界赋予的，而是个体由与生惧来 的原初图式生长发展的。图式是认知结构的胚胎或雏形，通过与环境的相互作用 不断地建构。“1 皮亚杰认为，认知发展是受三个基本过程影响的：同化、顺化和 平衡。他根据认知图式发展的特征，把认知发展划分为不同的阶段，每个阶段都 有其独特的认知图式，经过连续不断的建构过程，发展为新的图式，最终发展成 认知结构。4 3 现代信息加工心理学认为所谓认知结构就是贮存于个人长时记忆系统内的 陈述性知识和程序性知识( 包括自动化技能和受意识控制的策略) 的实质性内容 和它们彼此之间的联系。删 ( 2 ) 我国学者关于认知结构的理论 随着我国数学教育研究不断深入，我国学者对数学认知结构进行具有特点的 研究。 曹才翰先生提出“数学认知结构就是学生头脑里的数学知识按照自己理解的 深广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点组合成的一个 具有内部规律的整体结构”。” 李士琦先生指出：认知结构是个人将自己所认识的信息组织起来的心理系 统；认知结构在形式上看作是由节点和联线组成的复杂的网络( 节点就是结构中 的元素或对象，联线则是元素间存在的稳定联系) 。”3 涂荣豹先生提出“数学认知结构是存在于学生头脑里的数学知识结构与认识 结构有机结合而成的心理结构。1 还有其他学者认为：数学认知结构是学生头脑中的数学知识结构，即数学知 识结构通过内化在学生头脑中形成的观念的内容和组织。”数学认知结构是人们 在数学对象、数学知识和数学经验感知和理解的基础上所形成的一种心理结构。 ( 3 ) 关于数学认知结构的具体研究 l 。建立和发展数学认知结构的研究 在数学教学方面：学者们提出了建构良好的数学认知结构的教学策略，主要 有：创设良好的问题情境：突出数学思想方法的教学；注重整体教学等。 在数学教材方面：学者们提出了从构建学生数学认知结构的角度来编写数学 教材，建议数学教材的编写应深入了解目前我国大多数学生的数学认知结构的状 况，遵循整体性和启发性的原则等。 在学生自主学习方面：学者们提出了以学生为主体，建构主体教学观，引导 学生参与数学认知活动，主动建构数学认知结构等。 2 。数学认知结构的实证研究 陆昌勤先生通过实验研究提出：可通过教学优化学生的认知结构；认知 结构中的程序性知识( 或称认知技能) 对问题解决尤为重要：认知结构的运作( 指 对信息的选择、编辑等1 有个别差异；“2 1 喻平先生通过实验研究提出：c p f s 结构( 即概念域、概念系、命题域、 命题系形成的结构) 是数学学习特有的认知结构。个体的c p f s 结构是解决数 学问题的知识基础，它对解题效果有直接的影响。个体的c p f s 结构存在个别 差异，优良的c p f s 结构是完善的认知结构的必要条件，它能促进问题的成功解 决，反之，不良的c p f s 结构会阻碍问题的成功解决与不良的c p f s 结构相比 较，优良的c p f s 结构在知识点的数量上更丰富，知识网络的结构更合理。具 有高数学能力的学生必具备优良的c p f s 结构，低数学能力的学生具有不良的 c p f s 结构。 1 3 1 喻平先生提出的c p f s 结构是数学认知结构的一种子结构，他的 研究丰富和发展了数学认知结构的理论。 2 2 对相关研究的评析 从已有研究成果上看，学者们从不同的角度对数学认知结构进行了研究，丰 富和发展了数学认知结构的理论，有利于我们在此基础上进一步研究它。对于数 学认知结构，还可从以下几方面进行研究： ( 1 ) 从数学认知结构发展性的层面研究 虽然实证研究证明认知结构是有差异的、是可通过教学优化的等等，但对不 同年龄、不同年级学生的认知结构、数学认知结构的发展性尚未充分研究。 ( 2 ) 从认识结构的层面研究 从目前国内的研究来看，研究多集中于数学知识结构，仅涂荣豹先生从数学 知识结构与认识结构的层面数学认知结构进行了初步研究，因此从认识结构的层 面还可以进行更深入探讨。 ( 3 ) 从根据其功能特点来发展学生认知结构的层面来研究 学生的数学认知结构具有什么样的特点? 良好的数学认知结构具有什么样 的功能? 根据数学认知结构的特点和功能来组织有效的数学教学，发展学生的数 学认知结构等问题也是值得我们研究的。 3 本研究的主要内容 3 1 研究的整体思路： 在已有关于认知结构与数学认知结构研究的基础上，对数学认知结构进行理 解与再认识，分析建构良好数学认知结构过程中的影响因素，通过调查研究提出 数学认知结构在不同方面的差异性，及其与数学学习成绩之间的相关性，最后提 出发展学生数学认知结构的途径和方法。 3 2 研究的基本方法 文献法、心理测试、调查、实验。注重定量分析与定性分析相结合。 3 3 内容的基本构架 ( 1 ) 概括分析国内外关于数学认知结构的研究成果，并做出评述。结合数学 学科特征，确定研究的问题和研究的起点。 ( 2 ) 提出研究的基本理论框架。包括从数学知识结构、认识结构、数学元认 知结构的层面上理解数学认知结构，在此基础上讨论数学认知结构的特点和功 能。 ( 3 ) 在对数学认知结构理解与再认识的基础上，对学生数学认知结构的差异 性及其与数学学习成绩之间的相关性做实证研究。 ( 4 ) 在前几部分的基础上，提出发展学生数学认知结构的途径和方法。 3 4 研究的主要结果： ( 1 ) 从数学知识结构、认识结构的层面上理解数学认知结构：研究了数学认 知结构的特点( 差异性、整体性、发展性、层次性、能动性) 和功能( 贮存功能、 动机功能、选择功能、有意义学习功能、生成新知识功能、迁移功能、问题转化 功能、调控功能) ；探讨了数学认知结构对数学学习的影响。 ( 2 ) 从数学认知结构对知识联想广度的影响、认知出发点、认知图式等方面， 通过实证研究得出不同学生的数学认知结构是有差异的。 ( 3 ) 通过实证研究得出学生的数学认知结构与其数学学习成绩存在显著正相 关性。 ( 4 ) 提出了发展学生数学认知结构的一系列途径和方法。通过在课堂教学中 指导学生进行反思、开展研究性学习、数学建模活动等认知活动，发展学生的数 学认知结构。 第一章对数学认知结构的再认识 1 1 对数学认知结构的理解 数学认知结构是存在于学习者头脑里的数学知识结构与认识结构有机结合 而形成的心理结构。 1 4 1 它是学生头脑里的数学知识按照自己理解的深广度，结合 自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律 的整体结构。认知结构中包含认识结构的这种观点，在于把数学学习使人在思维 上的发展作为人的认知结构不可缺少的组成部分，在于强调数学学习不仅使人获 得知识结构，更重要的是还使人的认识或思维能力得到了发展。具体的知识可能 会遗忘，但发展起来的认识将使人受用终身，这就自然地突出表明，认识和认识 结构的发展在数学教育中比发展知识结构具有更为重要的意义和作用，因而把发 展认识结构、发展思维结构作为最高目标，从而体现“重在发展”的教育思想。 【l5 1 下面我们对数学认知结构的构成( 数学知识结构和认识结构) ，及构成部分间 的关系进行较全面的分析。 1 1 1 数学知识结构 布尔巴基( b o u r - b a k i ) 学派指出：“数学不是研究数量的，而是研究结构的。” 数学知识结构主要包括数学理论。l 生知识、数学经验性知识、数学前提性知识。 数学理论性知识主要指数学概念、数学事实( 数学语言、原始概念、公理、 符号等) 、数学原理( 定理、命题、定律、公式等) 及它们的组织结构。它是进行 有效数学活动的“物质基础”。 数学经验性知识主要包括情境性知识( 对具体数学理论或技能的应用背景和 条件的概括) 、日常经验知识和数学程序性知识( 指做什么、怎么做的知识) 。 它在数学认知活动中具有控制引导的作用。 数学前提性知识主要包括数学思想方法( 如换元、分析与综合、函数的思想、 转化的思想等) 和数学策略性知识( 关于如何学习、如何思维的知识) 。它在数学 认知活动中起统帅指导作用，既提供思维策略，又提供具体手段。 1 1 2 认识结构的涵义 认识是加工知识的思维方式，是加工知识过程中概括提炼和上升的纲领性、 规律性、观念性的思想意识或直觉意识。认识结构是学习数学时，学习者头脑中 逐步形成的关于思维方式、思想意识或直觉意识的心理结构，是个性亿的、内化 的。【1 7 】数学知识结构是数学内容及其组织形态，对于学生的认知来说，它是外 在之物。学生通过学习是可以掌握的；认识结构是伴随着头脑里数学知识结构的 形成两同时发展起来的思维动作结构。思维动作是运用思维方法的思想活动形 式。学习者头脑里的认识结构中的思维动作，既有一般思维动作，又有数学的特 殊思维动作。 一般思维动作主要是：分析与综合、比较与类比、抽象与具体化、概括与专 门化、分类与系统化等。 数学的特殊思维动作主要是：数学操作性思维动作，方法技巧性思维动作， 思想观念性思维动作和策路定向性思维动作。数学操作性思维动作包括：归入概 念、推出性质、作出判断、重新理解、模式识别等；方法技巧性思维动作包括； 消元、降次、换元、配方、待定系数、反证、归纳等：思想观念性思维、思维动 作包括：方程思想、数形结合思想、映射与函数思想、极限思想、随机思想等； 策略定向性思维动作包括：等价转化、化归、类比、归纳、猜想等。 1 1 3 数学知识结构与认识结构之间的关系 认识是知识的高度概括。知识的增长无不要通过认识，认识的提高又必须依 赖于知识，知识是认识的载体，知识又必须通过认识而获得。所以数学知识结构 与认识结构之间有如下的关系： 数学认识结构必须依附和伴随蕾知识结构的形成而形成和扩展，不可能脱离 知识而形成。另一方面，数学知识结构的形成和知识结构品质的优劣，又依赖于 数学认识结构中的各种思维动作掌握的水平和各种思维动作协调活动的水平，如 果没有达至0 相应的水平，就不能形成良好的数学知识结构。 1 1 4 数学认知结构的特点 数学认知结构既是认知结构在数学学科中的反映，又是数学认知这一特殊的 心理现象在认知结构理论中的反映。因此，它除具有般认知结构所共有的特点 外，又受数学学科和数学认知两方面因素的影响，具有自身的特点。 f 1 ) 差异性 2 由于受多种心理因素的影响，每个学生的认知方式和认知水平表现出很大的 差异，因而他们的数学认知结构表现出自身的个性特征，具有一定的差异性。例 如，有的学生习惯于知识经验的级向组织，有的则偏重于横向的编排；有的学生 善于对知识经验的概括和整理，有的则习惯于知识的堆积，所以学生数学认知结 构的状况因人而异，从而导致了他们在学习上的差异。数学认知结构的差异性特 点启示我们：只有认识、了解学生的个别差异，针对差异性，实施因材施教、分 层教学，才有利于学生的学习与发展。 ( 2 ) 层次性 从认识论来看，入的认识活动总是按照一定的层次发展，并按一定的结构进 行，因而与其相适应的数学认知结构也呈现出层次性的特点：既有小学生直观水 平上的认知结构，也有高度抽象化形式化基础上的认知结构。数学知识按其包摄 水平和概括水平的高低划分出不同的层次，包摄水平和概括水平最高的处于最高 层次，下面是包摄水平或概括水平较低的，越来越分化的概念、命题和具体知识。 例如关于函数的知识，函数的定义处于最高层次。一个分化方向是，按奇偶 性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数：另一个分化方向是，按照函数的周期 性分化为周期函数与非周期函数，或按其他的标准进行分化。 o ) 整体性 数学认知结构是一个由已有的数学知识、经验、思维动作和元认知知识组成 的各种子结构的整体。其整体结构功能体现在组成系统的各部分和谐完整的形态 及功能的相互联系、相互配合所产生的联合效应。如一个学生对数学概念、公式、 法则、定理等数学知识的记忆较好，而解题能力却很差，这说明他的再现思维和 记忆能力较好，而数学技能及元认知能力较弱，从而影响了数学认知结构整体功 能的发挥，不利于知识的运用和迁移。 ( 4 ) 发展性 数学学习的过程即是数学认知结构不断变化的过程。通过对新知识的同化， 丰富了数学认知结构，使其向具体化、特殊化的方向发展：通过顺应学习，数学 认知结构向一般化、抽象化的方向延拓；通过平衡的过程，实现数学认知结构的 综合贯通。因此，随着认知活动的不断进行和学生认识水平的逐步提高，学生的 数学认知结构将不断分化、改造、重组、扩大、纵深发展。并逐渐达到精确和完 善。正是数学认知结构的动态发展性特点，才使得教师能通过教学活动，促进学 生数学认知结构的不断发展和完善，由低水平向高水平发展。 ( 5 ) 能动性 数学认知结构是一种积极的动态组织，它在数学有意义学习中、在认知活动 中都发挥着重要的作用。它的能动性表现在：学生形成一定的数学认知结构后， 一旦大脑接受到新的信息，学生就能不自觉地、自动地用认知结构中相应的数学 观念和思维动作对数学信息进行处理和加工，借助数学认知结构去创造性的解决 数学问题。数学认知结构的这种能动性正是数学元认知结构存在的依据。实质上 数学元认知知识的作用，就是使主体在充分认识自己数学认知的特点和水平的基 础上，尽量协调好自己数学认知系统中各种因素的作用，使数学认知要素最佳组 合、数学认知过程和结果最优化，从而充分提高数学认知效益。 1 2 良好数学认知结构的功能 学生的数学认知结构要通过注意、感觉、知觉、记忆、想象、联想等认知操 作，才能在学习者头脑中形成。它在数学学习中对学生思维、认识的影响和作用， 就形成了数学认知结构的认知功能。 其功能主要表现为： 1 2 1 贮存功能 正如布鲁纳所说：“所获得的知识，如果没有完满的结构把它联系在一起， 那是一种多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿 命。”所以，良好的数学认知结构有利于知识的贮存、记忆和操作处理。 1 2 2 动机功能 当学生处于新的学习情境中，新的学习内容与学生原有认知结构之间产生冲 突，这时学生原有数学认知结构中旧知识与新知识、旧知识的部分与部分、部分 与整体等之间产生矛盾，打破了原来的平衡状态，在使数学认知结构由不平衡到 新的平衡的过程中，学生在心理上产生学习新知识的需要，这种需要即为学习与 探索的动机。良好的数学认知结构在形成和完善的过程中总是伴随着这种认知动 机。 1 2 3 选择功能 4 不同认知风格的学生具有不同的数学认知结构。他们在对信息的选择上也存 在着差别。在获取数学信息的过程中，有的学生侧重于从知识的结构、脉络上掌 握知识，有的学生则侧重于对具体语言、文字的把握。在数学解题过程中，有的 学生侧重于模仿解题的一招一式，而有的学生则从数学思想、方法的层面上进行 解题思路的概括。 1 2 4 建构功能 主体对新知识的学习的过程，也是数学认知结构建构的过程。主体既要建立 对新知识的理解，将新知识与已有的适当知识建立联系，又要将新知识与原有的 认知结构相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。一方面新知识 由于成为结构中的一部分。就与结构中的其他部分形成有机联系，从而使新知识 的意义在心理上获得了建构；另一方面原有的认知结构由于新知识的进入，而更 加分化和综合贯通，从而获得了新的意义。 1 2 5 生成新知识功能 良好的数学认知结构具有生成新知识的功能。组织良好的数学认知结构，能 够通过对同一对象的不同表征，不同对象之间的逻辑关系，得出新知识。如通过 学习“单调有界数列必有极限”，及逆命题、否命题、逆否命题的知识，能够得 出“单调无界数列必不存在极限”，“极限存在的数列必单调有界”等命题，通过 原命题与其逆否命题同真假的知识，可以判定一系列相关命题的真假等等。 1 2 6 有意义学习功能 数学有意义学习的实质是数学的语言或符号所代表的新知识，与学习者认知 结构中已有的适当知识，建立非人为的实质性的联系。所谓“适当知识”，是指 学生认知结构中已有的，与新知识存在某种联系的那些知识。它们可以是数学知 识，也可以是其他方面的知识、经验或某种观念。所谓“非人为和实质性”联系， 就是对某一数学认知内容，学生的认知结构中已经有了一种数学语言符号的表达 形式，现在的新知识则是同一认知内容的另一数学语言符号的表达形式，那么学 生如果能够把这些不同语言符号的表达形式联系起来。把它们所代表同一认知内 容认识出来，就是建立起了非人为和生的联系。 1 2 7 迁移功能 组织良好的数学认知结构能够促进知识的迁移。良好数学认知结构中所包含 的知识应该是经过深思熟虑、深刻理解了的知识，即内化了的知识，这种知识迁 移的范围和可能性更大。实证研究表明：个体的数学认知结构与数学解题中的远 迁移密切相关，优良的数学认知结构有利于远迁移的产生。数学认知结构中的程 序性知识对远迁移的产生和实现影响更大。 1 2 8 问题转化功能 良好的数学认知结构能够实现对问题的转化。学生在学习的过程，其头脑中 贮存了一系列以“如果那么”形式表示的规则，这种规则称为产生式。产生 式是一种“条件一活动”规则，只要条件信息一出现，活动就会自动产生。除了 “条件一活动”这样的正向产生式之外，良好的数学认知结构中还应具备逆向产 生式和变形产生式，逆向产生式即为“要就要”。变形产生式是这样一种双 向产生式，即：学习者事先已习得某一产生式c a ，只要一出现与产生式c a 相关的信息，学习者立刻检索出与产生式c a 对应的数学模式，然后根据目 标信息对这一数学模式进行变形。【1 9 】数学认知结构中稳定而又灵活的产生式有利 于促进问题从初始状态向目标状态的顺利转化。 1 2 9 调控功能 良好数学认知结构中的元认知知识对学生的有意义学习起着积极的调控作 用。实践表明：优差生在元认知知识方面存在显著差异。学生的元认知知识调节、 控制着学生对数学学习活动的目标及任务的意识和领悟程度、对认知策略的选择 及应用、对数学学习中信息反馈的意识程度及利用程度等。元认知知识结构决定 着学生认知活动的有效性，并对其实行调控。 以上分析的是良好数学认知结构在认知活动中表现出来的几种认知功能，实 质上就其在认知中的实际情况来说，它的诸多功能是同是发生效用并在一定程度 上有交叉作用。也正因为它具有上述功能，可以说良好的数学认知结构是数学认 知活动赖以进行的心理结构。同时，形成良好的数学认知结构又是数学认知活动 的总目标。因此，深入研究良好数学认知结构的认知功能，对于优化学生的数学 认知结构，促进学生的数学学习，具有重要的意义。 1 3 数学认知结构对数学学习的影响 根据数学学习过程的理论，学生的数学认知结构是数学学习的基础，是影响 1 6 学习的关键因素。具体地，数学认知结构对数学学习的影响主要表现在以下几个 方面： ( 1 ) 知识的“量”影响着数学学习的进程 波利亚曾说过：“如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的，如 果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的经 验和已有的知识。”现代认知心理学关于“专家系统”的研究表明，在某个领域 内关于解决问题的专家必须具备上万个知识组块，没有这些专门的知识，专家就 不能解决该领域内的技术问题。与新手相比，专家解决自己领域内的问题时较为 出色，在不熟悉的领域。专家通常并不比新手好，因为袍在那一领域内的知识量 不够多。如果数学知识结构中具有较多的抽象和概括水平高的知识经验，则能为 新知识的学习提供恰当的固着点，促进有意义学习的发生，反之，则为机械学习。 ( 2 ) 知识的“性”影响着数学学习的质量 首先，数学知识结构中的知识的正确性是保证数学学习正确性的前提条件。 正确性即准确把握数学概念的本质属性、数学命题的条件和结论及数学方法的本 质等。 其次，知识的良好组织性是促进数学学习有效性的根本条件。组织良好的知 识结构才有利于知识的运用、吸收和创造。 再次，知识结构的稳定性和清晰性是高质量数学学习必要条件。起固定作用 的适当知识牢固稳定、清晰程度越高，新旧知识所建立的联系越稳定而清晰，学 习的质量越高。 ( 3 ) 知识的“极”影响着数学学习的效率 美国教育学家维特罗克等人在中小学数学、科学和阅读等教学中，对学生学 习过程的大量研究表明，学习不仅包括结构性知识，而且还包括非结构性的背景 经验。有研究者认为，日常经验就其与科学知识的关系来看，可分为三类：第 一类已具备科学概念的性质，对掌握科学概念有积极作用；第二类只具有科学概 念的一部分内容，这类经验有可利用的一面，也有消极影响，需要改造和补充， 都能使之提高到科学概念的水平，第三类则会给掌握新概念造成障碍。【2 ”积极的 经验促进数学学习，如学生通过旗杆垂直于地面得出线面垂直的定义等a 消极的 经验阻碍着数学学习，如学生易把向量的数量积理解为乘积的关系。正如法国心 理学家贝尔纳所说的：“构成我们学习的最大障碍是已知的东话，而不是未知的 东西。”1 2 2 1 日常经验在头脑中形成的观念往往不准确、不清晰，因而会干扰新知 识的学习；原有知识易先入为主，当新旧知识彼此相似而又不完全相同时，两者 之间的差别往往被忽视，对学习造成障碍。 ( 4 ) 认知水平影响着学生的认知能力 有研究证明，同一班级学生的数学认知发展水平存在显著个别差异。林崇德 先生曾对初- n 高二的每个年级的1 0 0 名学生，分别测定其数学概括能力、空间 想象能力、数学命题能力、逻辑推理能力。基本反映了学生的数学认知能力，测 定的结果是学生在这四种能力上的个别差异相当显著。1 2 3 1 教师的教学往往只在某 一数学认知发展水平上进行，这样必定会使一部分学生难以按教师的要求进行学 习。 学生的认知发展水平必须达到一定的阶段，才能进行相应知识的学习。正如 美国教育家贝尔所指出的：“在智力成熟程度上还没有发展到形式运演阶段的学 生，就没有能力在学习数学技能、概念和原理时运用诸如分析、综合和评价等更 高水平的智力技能。”1 2 4 1 如果教师的教学未照顾到部分学生的认知发展水平，以 高于其已有水平的程度进行教学，就使得这部分学生的认知结构难以适应学习的 需要，势必造成学习上的困难。 综上所述，数学认知结构对学生的数学学习有着重要的影响作用。在教学中， 培养学生建构良好的数学认知结构应是首要的教学目标。教师应根据学生数学认 知结构的特点组织教学，指导学生进行有效地学习。 8 第二章相关性的实证研究 2 1 数学认知结构的差异性研究 通过对数学认知结构理论的学习与研究，可以看到数学认知结构的形成与发 展与数学学习之间的密切关系，有必要进一步进行实验研究，对二者的相关性进 行检验。皮亚杰的认知理论提出学习从属于发展，同样的学习情境，对不同发展 阶段的人会产生不同的效果；进一步地，处于同样发展水平的人对同一事物的理 解也不尽相同。实践表明，皮亚杰的观点在学生的数学学习中得到体现，如对同 一阀题，不同认知水平的学生的认知出发点不同，即使是同一认知水平的学生对 同一问题理解的方式、内容等也不相同。为了进一步说明数学认知结构的差异性 及其对数学学习的影响，下面就如下几个问题进行实验研究： 对同数学问题，学生能联想到的知识的广度是否存在差异性? 解决同一数学问题时，学生的认知出发点是否存在差异性? 针对同一数学问题，学生的认知结构图式的表现形式是否存在差异性? 学生的数学认知结构与其数学学习成绩之闯存在怎样的相关性? 下面设计研究方案，对这四个问题进行探索。 2 1 1 实验设计及其实施 ( 1 ) 实验目的 本实验的目的是要证明学生的数学认知结构存在差异性，具体表现为就同一 问题，学生数学认知结构中对知识进行联想的广度；认知结构中认知出发点：认 知结构图式：元认知水平的差异性。 ( 2 ) 被试的选择说明 为了避免初试在年龄、智力水平、学习背景方面的过大差异，从南京航空航 天大学附属中学的高三年级中选取一个班的学生作为被试。样本数量为5 0 人， 验证以上四个问题。 ( 3 ) 实验内容及方法 本实验根据“概念图”【2 5 1 测查认知结构的方法，并加以修定使被试通过对 所提供的信息进行解释及联想，展现其数学认知结构的图式。具体地，将以“函 数”做为信息源，以此来激活被试已建立的数学认知结构使结构得以展现。目 9 的是要通过对认知的分析认识建构水平的差异，并对学生认知建构水平的高低提 出一个衡量的标准。实验采用答卷的方式，测试时间为9 0 分钟。 ( 4 ) 实验步骤 测试前，主试向被试说明测试时间及答题的注意事项； 实旌测试 对答卷进行整理，将相关数据统计，进行实验统计分析。 2 1 2 实验结果分析 测试题共收回有效试卷5 0 份，把建构水平测试中被试所提供的信息按以下 6 个层次进行划分： 定义、概念 命题、定理、性质及基本结论的简单叙述 解法及证法； 知识应用； 数学思想； 与该信息相关的其他信息及自己的认识与构想； 按上述六个层次划分，经统计学生回答知识点情况如下表。 层次知识点人次 定义函数的定义4 8 命题、性质、定理函数基本性质 3 7 函数相关定理 3 3 分类函数的分类 3 8 函数的应用与生活相关的应用 1 8 与自然科学相关的应用 1 4 数学思想函数与方程 2 5 数形结合 3 3 特殊化 3 2 等价转化 1 6 分类讨论 2 6 相关知识及其它方程 1 8 集合 2 2 不等式 9 数列 9 直线的方程及性质 3 概率 1 向量 5 下面通过实验结果对上文所述问题进行分析说明 2 1 3 形成数学认知结构水平差异的相关因素分析 ( 1 ) 认知结构对知识联想广度的影响 在以“函数”为信息源建立的认知图式中，学生间表现出的差异首先反映在 对知识点进行联想的广度上。在相同的时间段内，相同的学习环境、教学环境 学生对函数及与函数相关的内容联想的广度是不同的。如表2 ： l 翟雾 2 82 52 l2 01 91 81 71 61 51 41 3 l i1 0987j 1 人数 l22 l423544255 43 21 结合表1 、表2 可以发现，学生对函数这个信息的反映主要是集中在函数的 定义、分类及性质方面。有3 9 人次提到且较为详细地列举出具体的函数类型如 指数函数、对数函数等及它们的定义域、值域、及相关性质等：而对于函数的应 用及其中体现的数学思想这类知识反映的人数相对较少，由此可以认为这种差异 体现了学生在这部分的学习过程中基础知识能记住，但对于在自然科学及生活中 的函数应用能力有明显差异，学生不注意提炼题目中所涵含的思想方法。在教学 目标中，函数教学的重点之一是要求学生能挖掘本质、活用性质、并能解决与实 际密切相连的应用题及能够与其他知识综合交汇应用，但对于学生而言基础知识 易记住但不易活用、深刻体会，且未养成反思的习惯，因此在认知结构上体现出 应用弱、反思弱的状况。 其次，在六个层次中，第四、第六层中关于函数在生活与自然科学中的应用， 及与函数相关知识的联系运用中，被试对这些知识反映的人数明显减少。这说明 学生对数学知识的应用意识及建立不等式前后各知识闻的联系的能力有着较大 的差异，从而体现出他们在认知广度上的差异性。 ( 2 ) 认知出发点的差异 通过对答卷的研究，发现被试对“函数”进行建构的认知出发点存在着差异。 经过统计，有5 8 4 的被试以函数的定义、基本初等函数的性质为出发点，由此 逐步进入到建立基本初等函数的综合运用，及与其它知识的交叉运用，对复杂函 数的运算等。有2 2 2 的被试以函数的图象出发来建立认知结构，由此逐步联系 到函数的性质，如通过原函数与反函数之间的图象关系，联想到指数函数与对数 函数之间的关系，及如何求给定函数的反函数。此外有1 3 ，3 的被试认知出发点 起始于函数的应用。如函数在某一点处的导函数即为在此点切线的斜率，函数的 积分为某一不规则图形的面积等。还有6 1 的被试从与函数相关的知识点，如 等式、方程、集合出发，通过表明它们之间的差别与联系建立认知结构。 ( 3 ) 认知图式的差异 建构水平的差异除了以上两点表现，第三点便是被试认知图式表现形式的差 异。通过归纳，将答卷中出现的被试认知图式分为四类，即层次网络式、锁链连 接式、散射分布式及语言描述式( 其形式如下图所示) 。出现这四种认知图式的形 式是与被试对所获得知识的信息加工方式的差异性有关。学生的认知图式能够反 映学生对所存储的信息进行处理的逻辑性与结构性。在这四种模式中，层次网络 模式能够较为清晰地反映出被试对所学知识的把握，知识间的逻辑关系能够较为 清楚地得到体现，建立新旧知识间的逻辑联系，反映出被试寿奴识的同化、顺应 及平衡的结果。而锁链连接式、散射分布式及语言描述式的出现表明被试虽然对 所学知识有一定的记忆能力，但是缺乏合理的逻辑结构和层次划分，学生对知识 的理解限于表面，往往表现出“眉毛胡子一把抓”的局面，无法形成逻辑性较强 的结构图式。 屡次网络式锁链连接式散射分布式 2 2 相关性的检验与分析 将答卷与学习成绩直接对比，从中发现，一些建构水平较高的学生的学习成 绩较好，而建构水平较低的学生的学习成绩较差。由此希望验证建构水平与学习 成绩的关系，对以上的发现加以证实。下面利用导致建构水平差异的其中三个因 素一学生所答出知识点的个数、认知结构起点的高度、认知图式的结构分别与 学生的成绩进行相关性及差异显著性检验。 2 2 1 认知图式中知识点与学习成绩的相关性检验 检验数据，学生认知图式中出现的知识点的个数及学生函数知识的测验成绩 在心理统计学的研究中可视为两组连续变量且经检验符合正态分布，因此本检验 采用皮尔逊积差相关检验法，验证知识点个数与学习成绩的相关性。 皮尔逊积差相关性的基本公式为： 2 本研究中符号的意义为：五一所答出的知识点的个数；巧函数测验 成绩：胛一学生人数；一皮尔逊积差相关系数 2 8l q ： 6 0 51 67 59 6lq7 8d 184 0 1 71 97 94 2l l4 6 ： 1 81 67 94 31 l6 0 ： l g1 87 l4 41 04 f i 2 01 97 04 595 0 2 l37 34 61 05 2 2 297 0e 1 774 8 2 307 04 895 5 2 41 17 24 974 8 2 51 57 35 034 3 将上列数据输入s p s s 统计软件，得到表4 c o r r e l a t i o n s i | x i i l | p e a r s o nc o r r e l a t i o n 1 8 4 0 ( + + 1i 卜 s i g ( 2 - t a i l e d ) 0 0 。i n5 0s o | | p e a r s o nc o r r e l a t l o n8 4 0 ( “1 1 l y i s i g ( 2 - t a i l e d ) 0 0 0 | | n5 0s 0 j 2 4 | | 学正 一一一 鳓k m i | | 一一一 翌卫一一 | | e 三三三三三三三习 皮尔逊积差相关系数为o 8 4 0 ，显示出知识点的个数与学习成绩的显著相关 性达到0 0 1 水平，即成显著性相关。从表3 中我们可以看到大部分学生学习成 绩的高低与测试所答知识点数目的多少是一致的。但某些学生在认知结构中出现 的信息点数量的多少与学习成绩的高低不完全一