（计算数学专业论文）双参数法与一类12参梯形板元的构造及其收敛性分析.pdf

兰州大学硕士学位论文 摘要 有限元法是解决工程和数学物理问题的数值方法。可用有限元方法解决的有 关工程和数学领域内的典型问题包括结构分析、热传导、质量传输等。其中板弯 | l | ；i 问题是结构分析中的基本问题，所以能够找出其比较精确的数值解是有着非常 广泛的理论进步意义和物理实际应用的广阔前景。 双参数法是近年来板弯曲计算中比较流行的种数值方法，它使得节点参数 和自由度相瓦独立地选取，并解决了常规方法中节点参数与形函数空间不匹配的 难题，从而得到了许多科学工作者的青睬。 在研究平板弯曲问题的诸多学术论文中，大多都采用传统的三角形单元或矩 形单元进行剖分。为了更好的适应复杂的几何形状，本文构造出了十二参梯形 板元，并对其收敛性给予证明。为了提高精度，我们又构造了一类高精度的十 二参梯形板元，势且可以取到其特殊情况，变为矩形板元，使其更加具有实用 性。最后为了便于比较，我们给出了高精度1 2 参矩形板元与传统的a d i n i 元和1 6 参 的b f s 协调元的数值比较。 关键词：有限元；节点参数：平板弯曲：高精度；梯形板元 兰州大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n t 。w h i c hi st h en u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gp r o b l e m so f e n g i n e e r i n ga n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，c a nb eu s e dt os o l v et h et y p i c a lp r o b l e m sr e l a t e dt o e n g i n e e r i n g a n d m a t h e m a t i c s ，i n c l u d i n gs t r u c t u r a la n a l y s i s ，h e a tt r a n s f e ra n d m s s st r a n s p o r t ，i nw h i c h t h ep l a t eb e n d i n gi st h eb a s i c p r o b l e m i ns t r u c t u r a la n a l y s i s ，a n dt h e r e f o r e i ts u g g e s t sat h e o r e t i c a lp r o g r e s sa n dab r o a d p r o s p e c ti np h y s i c a la p p l i c a t i o nt of i n do u t t h e r e l a t i v e l ya c c u r a t es o l u t i o nt on u m e r i c a lv a l u e t h ed o u b l es e tp a r a m e t e ri so n eo ft h ep o p u l a rm e t h o di np l a t e b e n d i n gc a l c u l a t i o n ， w h i c hm a k e st h en o d e p a r a m e t e r a n dt h ed e g r e e so ff r e e d o mc h o s e n i n d e p e n d e n t l ya n d a l s os o l v e st h ep r o b l e mo fa n m a t c h e d n e s so fn o d e p a r a m e t e r a n dt h es p a c eo ff u n c t i o ni n r o u t i n em e t h o d ，w h i c hi sf a v o r e d b y m o s ts c i e n c er e s e a r c h e r s m o s t o f t h e p a p e r s 。w h i c h s t u d y t h ep l a t e b e n d i n g ，e m p l o y t h e t r a d i t i o n a l t r i a n g l e u n i t a n d r e c t a n g l eu n i tt oa n a l y z ei t t h et h e s i sc o n s t r u c t st h e1 2 - p a r a m e t e rt r a p e z o i dp l a t e e l e m e n t sa n dp r o v e si t sc o n v e r g e n c et os u i tt h ec o m p l i c a t e d g e o m e t r i cs h a p e i no r d e r t oi m p r o v et h ea c c u r a c y , t h et h e s i sc o n s t r u c t so t h e r h i g h a c c u r a c y1 2 - p a r a m e t e rt r a p e z o i d p l a t ee l e m e n t s ，a n dc a n t a k et h es p e c i a li n s t a n c et oc h a n g ei ti n t oam o l e a p p l i e dr e c t a n g l e p l a t e a tl a s t ，t h et h e m so f f e r st h ec o m p a r i s o no fn u m e r i c a lv a l u eb e t w e e nh i g h - a c c u r a c y 1 2 - p a r a m e t e rr e c t a n g l ep l a t ec l e m e n t a n dt h et r a d i t i o n a la d i n ie l e m e n ta n d1 6 - p a r a m e t e r b f se l e m e n t k e y w o r d s ：h n i t e e l e m e n t ；n o d ep a r a m e t e r ；h a t eb e n d i n g ；h i g h - a c c u r a c y ；t r a p e - z o i dp l a t ee l e m e n t i i 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名 他犬卫 日期 渺0 、上引 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校 保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查 阅和借阅：本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人 离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第 一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：垒杰至导师签名日期：塑i 兰州大学硕士学位论文 第1 章引言 有限单元法是在当今解决工程和数学物理问题中获得最广泛应用的数值 计算方法 1 1 2 1 。由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。其 基本思想可以追溯至l j c o u r a n t 在1 9 4 3 年的工作，他首先尝试在一系列三角形 区域上运用分片连续函数与最小位能原理相结合 3 1 4 1 ，来求解s t v e n a n t 扭 转问题。近年来，伴随着电子计算机科学和技术的快速发展，有限元法作 为工程分析的有效方法，在理论方法的研究、计算机程序的开发以及应用 领域的开拓诸方面取得了根本性的发展。 有限元法自二战后成为日益重要的数值求解偏微分方程的方法，在工程 或物理问题的数学模型( 基本变量、基本方程、求解域和边界条件等) 确 定后对其进行分析的数值计算方法的要点如下： ( i ) 将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域( 单元) 5 1 ， 并通过他们边界上的结点相互连接成为组合体。 ( 2 ) 用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的 未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数( 或及其导数) 在单 元各个节点上的数值和与其对应的差值函数来表示( 此表达式通常表示为 矩阵形式) 。由于在连接相邻单元的节点上，常函数应具有形同的数值， 因而将他们用作数值求解的基本未知量。这样一来，求解原来待求场函数 的无穷多自由度问题转换为求解场函数节点值的有限自由度问题。 f 3 ) 通过和原问题数学模型( 基本方程、边界条件) 等效的变分原理 或加权余量法，建立求解基本未知量( 场函数的节点值) 的代数方程组或 常微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范化的矩阵形 式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。 本文所涉及的板弯曲问题是有限元方法中研究的比较多的问题之一，在 满足割分正则性的前提下，通常都采取三角形和矩形单元进行剖分，但对 于实际问题，对于复杂的几何结构，我们还是希望有更多的几何形式来剖 兰州大学硕士学位论文 分。我们在此考虑了剖分要求相对较低的梯形f 6 】，并利用双参数法m 的特 点，使得节点参数和自由度相互独立的选取，成功构造了一类十二参数梯 形板元，且对其收敛性给与证明。 由文献【9 】，我们可知一些板元的非协调误差可以达至l j o ( h 2 1 ，文 献【1 0 将此结果一般化，得到了关于高精度板元一般误性误差估计【1 h i ， 并构造出1 2 个参数的高精度三角形板元，按照能量模的误差达到o f 2 1 。为 了提高梯形板元的实用性【1 2 】，我们提高了形函数空间的次数，在加入4 个约 束条件下，构造了一类高精度的十二参数梯形板元，误差也达到o ( 2 ) ，并 在特殊情况下变为矩形板元【8 】【1 3 】【l ”，其效果比通常1 2 个参数的a d i n i t 协 调元好，与1 6 个参数的b o g n e r f o x s c h m i t ( b f s ) 协调元相当】。 2 兰州大学硕士学位论文 第2 章双参数法与常规方法的比较 2 1 用位移法构造有限元单元刚度矩阵 设参考单元为k ，其位移形函数空间是d 4 1 p ( k ) = s p a n 1 ，m ( 2 1 1 ) 其中1 ，m 是线性无关的多项式。自由度为 d ( u ) = ( d l ( ) ，d 。( ) ) t ( 2 1 ，2 ) 其中d l ( u ) ，d 。( 廿) 是日( k ) 上的线性泛函，七1 。 定义插值算子：i i ：h ( k ) 一( ) ，满足 d ( i i ( v ) ) = d ( v ) ( 2 1 _ 3 ) 设插值函数是 n ( v ) = p l n l + + 肛。 ( 2 1 4 ) 代入( 2 1 3 ) 可得插值方程如下 1 其中6 = ( p 1 一，风) r c = c b = d ( u ) d l ( n 1 ) ( 1 ) d l ( n m ) d i n ( n m ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 插值问题的适定性条件是g 非奇m 】，c 一1 称为转换矩阵，单元刚度矩阵 是 凰一( ) t 上b t 。鼬c 。 ( 2 _ 1 7 ) 其中d 是弹性矩阵，b 是应变矩阵，其元素是位移函数的某种导数 3 兰州大学硕士学位论文 2 2 双参数法 现将自由度的两种职能分开，另取一套节点参数作为未知量，具体做法 如下： 设节点参数是 q ( v ) = ( q 1 ( 口) ，q d v ) ) t ( 2 2 1 ) 其中q 1 ( ) ，g l ( ) 是h ( ) 上的线性泛函，k 1 。 将自由度q ( 钞) 化为节点参数的线性组合，离散结果可表成 d ( v ) = g q ( ) + e ( u ) ( 2 2 2 ) 其中( ”) 是离散余项，g 是离散系数矩阵，它与节点参数q ( ) 的取法有关， 而与 无关。舍去余项e ( ) ，引入新参数组 虿( u ) = ( 虿1 ( ) ，甚( u ) ) r ( 2 2 3 ) 使得 c b = g q ( v 1 ( 2 2 4 ) 由此解出6 ：c 一1 g 露( ) ，于是得到插值函数( ) 。c 。g 是双参数法的转换 矩阵，单元刚度矩阵是 = ( c - 1 g ) t 上b t d b d v ( g 。g ) ( 2 2 t 5 ) 2 3 双参数法的优点 ( 1 ) 节点参数与自由度相互独立地选取。可按形式简单、总体未知量 少的原则选取节点参数。 ( 2 ) 节点参数与形函数的匹配是常规方法的一个难题。例如9 参三角 形元，节点参数是9 个，一个完整的三次多项式尸3 ( k ) 是1 0 维，从中如何 适当选取9 个基函数，有时不是显然的。矩形元也有类似问题。这一闯题 d 兰州大学硕士学位论文 在双参数法中自动得到解决。我们可根据需要选取? 个节点参数，再选取 某个完整的r ( k ) 作为f ( k ) ，称( k ) 为初始形函数空间，真正形函数空 间| p ( k ) 是( ) 的一个子空间，它是从( ) 中自动筛选出来的，并不需要 求出p ( k ) 的基函数。 ( 3 ) 双参数元程序具有很强的通用性。构造单元刚度矩阵需要计算大 量涉及形函数的积分，形函数不同时这些积分要熏新计算。对双参数元来 说，一旦计算出初始形函数的单元刚度阵kb t d b d v ，同类型双参数元都 可利用，彼此间唯一区别是转换矩阵c _ 1 g 的表达式，尽管真正形函数空间 彼此并不相同。 一一 兰型态兰堡主堂堡堡苎 3 1 几个引理 第3 章双参数法的数学理论 引理3 1 设有线性方程组： c x = g b ( 3 1 1 ) 其中g 是m 阶非异方阵，g 是m f 阶矩阵，x r m ，6 r t 。若秩g ：r ，则 当6 取遍月时，方程的解x 构成月m 的一个r 维子空间，称之为解空间，记 为e 引理3 2 设 v = s p a n n 1 ，m ( 3 1 2 ) 其中l ，m 。是线性无关的多项式。设s 是月”的一个r 维子空间，令 k=v e v ；v = 喜。i 眠，。= c - ，n 。，r s ) c s ， 则k 是y 的r 维子空间。 l a x - m i l g r a m 弓i 理n 7 1设日为何i j 6 e 村空间，。( ，) 是定义在日x 日上的 双线性泛函，如果满足： ( 1 ) 有界性，既存在常数m ，使 i a ( “， ) l ml | 札l | l 口 i ，v u ，口h ( 3 1 4 ) ( 2 ) 强制性，既存在常数c 0 ，使 i a ( 札，u ) l cl i v l l 。 ( 3 1 5 ) 则对任意，h + ，存在唯一的u h 。使 a ( u ， ) = ，( ) ，咖日 ( 3 1 5 ) 且有估计 j 曼c - 1 1 ( 3 1 7 ) 6 兰州大学硕士学位论文 3 2 板弯曲问题 考虑板弯曲问题：求u 嘲( q ) ，满足 o ( “， ) = ，扣) ，v v 瑚( q ) ，( 3 2 1 ) ， jo ( u ，u ) = 厶 a u a v + ( 1 一盯) ( 2 “。可钉。掣一t 上。可鲫一u y 掣。) ld x d y 【f ( ) = 厶f v d x d y 其中o 盯 是p o i s s o n l g 。 设双参数法构造的有限元空间n x h ，节点参数为玩，可汹_ t 。令= v h x h ；巩= 矾。= 砚y = o ) ，矾，砚。，_ g 是 所对应的位于a q 的节点参数。 此中砚，西涵砚。不一定与形函数及其一阶导数在单元定点上的值完全相同。 离散问题是：u v h ，满足 a h ( u h ，v h ) = ，( u ) ，v v h k ，( 3 2 2 ) 。一( u n ，u n ) 5 莓f a a u h a v h + ( 1 一o ) ( 2 u h x y v h x y - - u h x x v h y y - - u h y y v h x x ) 】d z d ( 3 2 3 ) 其中 删 = ( 幢) o ( 3 2 4 ) k 3 3 双参数元的适定性 有限元的适定性条件是插值问题有唯一解。由前述可知，适定性条件是 d e t c 0 ( 3 3 1 ) 设( 2 2 4 ) 以6 为未知量，虿( ”) 取遍膏的解空间翰。令 郴，= we c 蛳 = 砉眠。娟，甜玩) ， 。力 尸( k ) = ( k ) ； = 展m ，6 = ( 胁，风) ? e b ， ( 3 3 2 ) lt = 1， 则p ( k ) 是双参数元真正的形函数空间。 兰州大学硕士学位论文 设秩g = r 。由引理3 1 和引理3 2 知，尸( k ) 是( r ) 的r 维子空间。当r 2 时，p ( k ) 的维数r 小于节点参数个数l 。这是常规元没有的情况，因为常规 方法的插值方程有唯解的必要条件是d ( u ) 与6 的维数相同，即节点参数个 数与形函数空间维数一致。若秩g = 2 ，则p ( k ) 的维数与节点参数的个数一 致。因此，称下列条件为双参数元的强适定性条件： d e t c 0 ，r a n k ( g ) = 1 ( 3 3 ，3 ) 3 4 双参数元的收敛性 ( 1 ) 由于定义( 3 2 4 ) 的半模 是上的模，这样由( 3 2 3 ) 及l a x m i t g r a m 弓l 保证离散问题有唯一解。 ( 2 ) 有限元空间具有逼近性质，对板问题就是要求 忍( ) cp ( k ) ( 3 4 1 ) ( 3 ) 有限元空间通过广3 ( p a t c h t e s t 1 8 】。从实际应用的角度，我们只 需利用f e m t e s t 。对4 阶问题，f e m t e s t 的f l f 2 一 t e s t 是： 设是有限元空间。若v k ，满足 ( n ) l 二m s | d ( ) l l v h l l 。m 呦皓 ( 3 4 2 ) ( f 2 ) 上吼训幽卜。( 氓) l l v i i 圮脚七= 1 ，2 ( 3 4 3 ) 则有限元对4 阶问题收敛，其中f = 甄n ，】表示在f 上的跳跃 值，d k v h = 溉， = m a x ( h k ，h 9 2 ) ， 雎是k 直径，i = 1 ，2 。 强f 1 一f 2 一t e s t 是 似拈上c 鼬s = 上c 警汹= 。 b 4 q 其中鬻，警分别是f 上的外法向导数和切向导数。 兰州大学硕士学位论文 引理3 3 若p 竹；( k ) c ( k ) 且自由度对节点参数的离散方式对p m ( ) 中元素精确成立，即前述余项e ( ) = 0 ，则r 。( ) c 尸( 耳) 。 引理3 4 若双参数元满足： ( 1 ) 插值方程( 2 2 4 ) 满足适定性条件： ( 2 ) 定义 一( 嵋t ) 是有限元空间上的模； ( 3 ) p 2 ( k ) c - p ( k ) ，且自由度对节点参数的离散方式g 、 i p 2 ( k ) 中元素 精确成立，即余项为零； ( 4 ) 有限元空间满足f 1 一f 2 一t e s t ，则该元对板弯曲问题收敛。 证明参见文献【7 】。 3 5 双参数法节点参数的性质 设形函数是u ，在一般情况下，初始节点参数q ( ) 与新节点参数虿( ) 是 不一致的，二者之闻有一个由于数值积分引起的扰动。由前述，有 虿( ) 一q 扣) = ( 1 一币( ) g 一1 g ) 百( ) ( 3 5 1 ) 其中 垂( ) = q l ( 1 ) 口l ( 川。) q 。( 1 ) ( m 。) ( 3 5 2 ) 当双参数元满足强适定性条件时，矩阵g r g 非奇异，于是 由( 2 2 2 ) ，( 2 2 4 ) 得 g q 扣) + e 扣) = d ( u ) = c b + a q ( v ) ( 3 5 3 ) 所以 硪口) 一q ( 计) = ( d c ) 。1 g v e ( v ) ( 3 5 4 ) 上式是扰动量虿( ”) 一q ( ”) 对形函数u 的表达式。 9 兰州大学硕士学位论文 第4 章一类十二参梯形板元的构造及收敛性分析 4 1 十二参梯形板元的构造 考虑板弯曲问题：求u 瑶( q ) ，满足 口( u ， ) = ，( ) ，v v 瑶) ( 4 11 ) l8 心，u ) = 矗 a u a v + ( 1 一a ) ( 2 u 。口u 硝一， o y v u y y 。) d x d y l ，( u ) = 如f v d x d y 其中o o r 是p d i s s 帆比。 假定q 是多边形区域，对q 进行剖分。构造出有限元空1 日3 x a ，对应的离 散问题为： 求u ，满足 a ( u h ，嘞) = ，( ) ，v v h ( 4 1 2 ) 珏 h = 2 车工【u u + 1 盯2 u h 2 z v t l h u y ”一u h v 。： 设t 为x y 平面内的单元，：其e e a l ( 0 ，0 ) ，0 , 2 ( o ，o ) ，a 3 ( a s 2 ，6 ) ，a 4 ( e 1 ，6 ) 为 梯形的顶点，n 5 = ( 0 1 + 0 2 ) ，a 6 = ( 0 2 + 0 3 ) ，n 7 = ( 0 3 + a 4 ) ，a 8 = ( 0 4 十 口1 ) 为，边上的中点，1 1 = i f 4 1 i ，t 2 = l 玛3 l 为梯形腰长。 兰鉴兰堡圭兰焦笙奎 现做交换 i 三；茅+ 1 7 一f 叩( e l + e 2 ) ，c e ，。，。 。+ 。 。， 。4 。4 ， 将t 变换到一7 7 平面内的正方形参考单元7 取形函数空间 p ( t ) = s p a n p 1 ，p 2 ，一，p 1 2 ( 4 1 5 ) p l = ( 1 一f ) ( 1 2 f ) ( 1 一叩) ( 1 2 7 ) p 2 = 一( 1 2 0 ( i 一叩) ( 1 2 0 ) 船= ( 1 2 ) 7 7 ( 1 2 功 p 4 = 一( 1 ) ( 1 2 ) 叼( 1 一叼) p 5 = 4 f ( 1 一 ) ( 1 一叩) ( 1 2 7 7 ) p 6 = 一4 ( 1 2 f ) 叩( 1 一叩) p 7 = 一4 ( 1 一f ) 叩( 1 2 叩) p s = 4 ( 1 ) ( 1 2 ) 叩( 1 一研) p 9 = 1 6 ( 1 一) 叼( 1 叩) p l o = f 2 ( 1 一f ) 2 r ( 1 一节) ，( 们 p l l 二f ( 1 0 , 7 2 ( 1 一叩) 2 ，幢) 兰州大学硕士学位论文 其中 f ( x ) = a o + a l x ，g ( x ) = b o + b l x ，( a o ，a l ，b o ，b l r ) 为双二次元空间。 现取自由度 其中 对于变换 q 2 ( 亍) 一s p a n p l ，p 2 ，p 9 ) ( 4 1 6 ) d ( v ) = ( d l ( ) ，d 2 ( ) ，- ，d 1 2 ( ) ) r ( 4 1 7 ) f 。= 。十1 叩 1 可：铆 d 。( u ) = ( n 。) ，1 is 8 姒归厶。袅幽 如= 厶。罴d s 如= 厶。急d s 屯= 厶。杀如 ( e 1 ，e 220 ，0 e 1 + 旬 a ) 赛= o 弋雾= b 厅= ( 篓霎) = ( 。一托：+ 2 ) f 7 乱一忙。1 + 2 ) ) 。巧- = ( 粪霎) = 砾i 柄( ：二艺2 ：，；) 1 2 q x 嘞托 q 扛 一 一 0 e = i | c g 砸( g 两 ，、l 兰州大学硕士学位论文 j 抛o a = 石柄 i 整= 栏簿南 f 爱= o 1 岛= j 鑫= 毒。o a 。+ 鸯囊= 器犏妥 一i 品= 器篱十品舄= 采褊舞+ 南 计算可得： 厶。彖幽一0 1 鱼半赛一；z 1 器砖 厶。毫如= z 1 毕鼢+ 0 1 掣鬻 对v ”( 亍) ，令 则可得到 其中 赛d 叩+ 詈z 1 嵩却 1 2 ”= 觑r t = 1 d ( u ) = c b o 涎v d ，e 。1 z 1 嵩咖 b = ( 卢l ，卢2 ，卢1 2 ) t g 一睡州引 既= ( 一事一毒) 鳓= ( 二军菇囊：二攀嚣爨a - ( e a + 2 ) y 2 ) 1 3 ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 志。 f ， 堕虬量。 拈 s 静静 厂厶厂k 兰州大学硕士学位论文 d e t c = d e t b l 2 d e t b 2 a = 坐学( z 1 ( 1 - 叼) 2 n 2d h a - ( e 1 + e 2 ) v 2 2 1 函一i n 一 ， ( 0 ) 一，( o ) ) ( ，( 1 ) 9 ( 0 ) 一，( o ) 9 ( 1 ) ) ( 1 ) 若 ( 1 ) 一f ( o ) 0 ，f o ) g ( o ) 一f ( o ) z ( 1 ) 0 ( 4 1 1 0 ) 同时成立，则适定性条件成立。 ( 2 ) 如果，( 1 ) 一f ( o ) 0 ，可得a l 0 。所以形函数空间至少为7 次。 ( 3 ) 对上述，( 。) 与g ( z ) ，举例可取f ( x ) = 1 一。，g ( x ) = 。，则( 1 ) 、( 2 ) 均 成立。 4 2 十二参梯形板元的离散 我们取节点参数 q ( v ) = ( u 1 ，u 1 2 ，u 1 ，? j 4 ，v 4 z ，v 4 v ) t ( 4 2 1 ) 将自由度离散成节点参数，其中：d l ( ) ，d 2 ( v ) ，如( u ) ，d 4 ( v ) i 致精确 值，d 5 ( ) ，d 6 ( ) ，d 7 ( ) ，d 8 ( ) 采用对应边上的三次e r 俐t e 插值多项 式，d 9 ( u ) ，d 1 0 0 ) ，d 1 1 ( ) ，d 1 2 ( u j 用数值积分的梯形公式离散。可得： 如( u ) = ；( v l _ i - v 2 ) 十( x 2 - - x l ( v l x - - v 2 x ) + ；渤一可) ( 一) + o ( 碍a m t ) = 扣+ 忱) + 詈( v l z - - v 2 x ) + o ( 4 ) d 6 ( ) = ；( v 2d - 姐) + ；( x 3 - - x 2 ) ( 地。一地。) 1 4 兰州大学硕十学位论文 + ；( a y 。) ( u 。，一地。) + o ( 刍i i u i i 。，。，r ) = ；( 吨十”。) 一詈( ”。一”a 。) + ；( ”珂一抛，) 十o ( 4 ) d 7 。) = ；( 。a + m ) + ( x 4 - x 。) ( 啦。一蛳。) + ；泓一蜘) ( 一蛳) + o ( t 4 1 1 训蛐，t ) = ；( ”。+ 啦) 一生芋( ”s 。一蛳。) + 。( 4 ) d s ( v ) = ；( v 4 + ”。) + ；( z t 。a ) ( m 。一钉k ) 十百1 ( 可1 一玑) ( 4 v 一口1 9 ) + o ( h 刍i i ”1 1 4 ，。，t ) = ；( v 4 + v o 一詈( u 妇一u - 。) + o ( h 4 ) 卜l 。毫如 ：( ”，。+ 啦。) 垒堡专旦堕一( v l y + v 2 。) 鱼翌 兰立+ o ( t g l l i i 。，t ) = 一；( 怕，) + d ( 3 ) = 厶。兰d s ：( ”。+ 蛳。) 垒丝亏! 立一( v s ，+ v 4 y ) ( z 丁4 - - z 3 ) + o ( h i i ”i i 。，t ) = 字+ 蛳) 十o ( 3 d n ( u ) - l 。丽o v 如 ：( 怕小堕却。+ 呦) x 3 - - r x 2 ) + i i 婶) = ；小。仙小i 6 2 小。y + v 3 y ) + o ( h 3 ) = 厶，杀d s 兰型奎兰堡主主垡笙苎 = ( 怕小掣斗计时堕掣+ 鲫川l 。一 = 一“bv l x _ - v 4 x ) + i e l ( v l y + v 4 ) + o ( h 3 ) 又 可得 其中 g = d ( v ) = g q ( v ) + ( ) d ( v ) = c b b = c - 1 g q ( 可) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) q ( 西) = ( 可1 ，葡1 z ，西1 掣，一v 2 ，一v 2 z ，一v 2 掣，一v 3 ，可3 ，可3 可，可4 ，可4 z ，可4 封) t ( 4 2 5 ) 计算可知： 000 00o 010 000 000 苎三 一丑 828 0 一守 000 2 o0 0o0 譬02 000 d e t g = 一 0 0 0 o o b 8 0 0 o g = n 二2 2 盟 2 0 0o 00 o0 10 00 oo ! ! = 虫盈 28 in 28 oo 00 00 0 一j b a 2 b 2 ( o 一- c l e 2 ) 2 ( 1 一2 ) 2 1 6 1 6 3 8 6 b 8 ( 4 2 7 ) o 0 0 o 0 o 0 纽 6o驰。o且。铊 幽 o o o o以。且。o o o o 。，o 0 1 0 o 1 2 1 2 o o 0 o 0 0 o 0 o 0 o o o 8 2 o o n 2 0 o o o 9 8 o o n 8 o o o 2 1 0 0 o _ 2 o o 1 2 o o o o 兰州大学硕士学位论文 ( 1 ) 当l = 6 2 时，d e t g = 0 不满足强适定性条件 ( 2 ) 当6 1 e 2 时，d e t g o 满足强适定性条件。 4 3 十二参梯形板元的收敛性分析 定理4 1 对梯形单元t ，由( 4 1 4 ) 式变换，若取形函数空间( 4 1 5 ) 满 足a l b o 一咖6 1 0 ，且a 1 0 时，将自由度( 4 1 7 ) 式按节点参数( 4 2 1 ) 离散， 则该梯形板元收敛。 证明：( 1 ) 若a 1 0 ，贝l j f ( 1 ) 一f ( o ) 0 ， b a t b o 0 0 6 l 0 ，可 得f ( 1 ) g ( o ) 一f ( o ) g ( 1 ) 0 ，则( 4 o ) 式成立，敌d e tc 0 。所以适定性条 件满足。 ( 2 ) 对 k ，i v l 2 = 0 ，贝u v l r p 1 ( r ) 由自由度及其离散的方式 知， 的节点函数值及一阶导数平均值在外边界为零，在内边界连续，由此 推得u = 0 。因此| | 2 是k 上的模。, h ( 3 ) 因为p 2 ( t ) cq 2 ( 亍) = s p a n p 1 ，p 9 ) cy ( t ) ，且由自由的离散 方式可知e ( ) = 0 。 ( 4 )由自由度及其离散方式知，中元素u 在内边界及中点函数值以及 法向导数平均值在单元间连续。由此得b 【罄】如= b 【舞】d s = 0 ，由数值积 分公式及 1 t b ( 于) 知厶m d s = 0 。 又由引理3 。4 。知该板元收敛。 注：当e l ，2 中有一个取值为o 时，此时为直角梯形，其对应 的f 1 或f 2 取b 1 7 兰州大学硕士学位论文 第5 章一类高精度十二参梯形板元 5 1 相容性误差估计 考虑板弯曲问题：求钍瑶( q ) ，满足 8 ( u ，影) = ，( 甜) ，v 口日3 ( q ) ， ( 5 1 1 ) jo ( 乱，u ) = 矗 u + ( 1 一盯) ( 2 “。挈 z 掣一船可一u y y z ) 】d x d y i ，( u ) = 如f v d x d y 其中o o r 0 ，a 5 i ，2 0 ，e 1 十e 2 三a 。 6 ) 呜 i 坼 b ) 1 9 兰州大学硕士学位论文 s 1 ) 十( 2 0 + 2 + 1 ) + ( e 2 一e 1 ) r t 一( 2 口一9 2 一1 ) 0 7 】 1 ) l ij ， - 1 - 1 ) ( h 1 ) ( 5 2 1 ) 将k 变换到一? 7 平面内的正方形参考单元瓦，其中心在原点，两边平行 于坐标轴，边长为2 。在此变换t v ( z ，y ) = v ( ，7 7 ) 。日为k 的4 条边。 取初始的形函数空间为： 片= p a ( k ) u i e , 3 叩，叶3 ，叩4 3 叩2 2 叩3 ) ( 5 2 2 ) 记芦的一组基为 s = ( 1 ，r , 2 ，瓯即2f 3 ，2 叩，叼2 ，叼3 4 ，3 7 7 ，r a , 7 7 4 ，3 矿，f 2 叩3 ) ( 5 2 3 ) 令 垂= ( p 1 ，p 2 ，p 1 5 ，p 1 6 ) t ( 5 2 4 ) 其中，p l ，一，p 1 6 取为： p l = ( 1 一f ) ( 1 一叩) ，p 2 = ( 1 + ) ( 1 一叼) ， 抉 慨 变舢蛳 标 = 1 1 坐 。 秽 由ri 兰州大学硕士学位论文 p 3 = ( 1 + ) ( 1 + 叩) ，p 4 ； ( 1 一) ( 1 + 叩) ， p 5 = l 一2 ，p 6 = 1 一凹2 ， p 7 = 1 一2 ，7 ，p 8 = 1 一f 叩2 p 9 = 1 一毒3 ，p l o = 1 一叩3 ， p “= 1 一f 3 叼，p 1 2 = 1 一矿， p 1 3 = 1 一f 4 ，p l a 一1 一矿， p 1 5 = 1 一芒2 卵3 ，p 1 6 = 1 一3 铲， 2 l 兰州大学硕士学位论文 则存在一变换矩阵e ，使得s = e g p ，矩阵e 的表达式如下： d e t ( e ) = 一1 6 ，因为p 1 ，p 2 ，p 1 5 ，p 1 6 也是k 的一组基。 于是，v v 靠可表示为： 其中 v ( x ，y ) = u ( ，7 7 ) b ：( p 1 ，侥，一，卢1 5 ，历6 ) 于 圣b( 5 2 5 ) ( 5 2 6 ) z = 瓠( s 2 一e 1 ) + ( 2 0 + 2 + 1 ) + ( e 2 一e 1 ) 叩一( 2 凸一2 一e 1 ) 叩】 y = 拥 o o o o 0 o 0 o o o 0 o o o _ 0 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 o o o 0 o o o o 0 o 0 0 0 o 0 0 0 0 o o o 0 0 0 o o o o o o o 0 o o o o 0 o o o o o 0 o 0 o o o o o o o o o 0 o o o 0 0 0 0 0 o 0 o o 0 o o o 0 o 0 o 0 0 o o o o 0 o o o 0 o 0 0 o o o o o o o o o 0 o o 0 o 0 0 o 0 0 o 0 o 0 0 o 0 0 o 0 0 o 0 o o o o o o o o o 0 o o 0 0 0 0 o o o 0 o 0 o o 0 0 0 o o o 0 ， 0 ， ， o ， ， ， ， ， i l l l l l 1 l 1 1 1 1 1 1 1 1 ， ， o ， 0 ， ， ， ， ， 。 o o 。 。 ， 。 ， ， ， 。 ， ， 叩幢肋 m 甜 兰州大学硕士学位论文 霎三l：二，+一e2)-一(2。a，一-岛el(2a，；印) 硎，i 器= 【( s 。s ，) 一 一e ，一s 。) 刳 l o b j = ( 萋萋) = ( 5 【( 2 。+ s 1 + 2 ) 一0 ( 2 。一s 1 一2 ) 剜；【( 匏钾) 一譬口一1 一9 2 ) 翻) j - 1 = ( 篓毳) = 夏l ( b l 五嫠：l 】芏三f 竺云：f = ! 笔。，川) 训：地坠生告垒剑 00 必d 卸 。+ 丽。歪。丽+ 丽+ 蕊2 4 ( 2 + e 1 + e 2 ) 一( 2 0 l 一国) 卵 0 哭 00 a 0 却( 2 a 一1 一e 2 ) 一( 2 一e 1 )a 。1 0 巧。瓦面十历。一oyb(2a+el+e2)-(2a-el-2)r瓦十b o r 取第一套参数为： 其中： d ( v ) = ( d l ( v ) ，d 2 ( v )d 1 5 ( u ) ，d 1 6 ( ) ) t ( 5 2 7 ) d i ( 归嘛a = 南厶v d s , i = 1 , 2 , 3 , 4 d 9 ( v ) = 一：厶器d s ，d l o ( v ) = g 丘舞d s d ，( 口) = ：如貉d s ， d 1 2 ( 盯) = 一g 丘。o 。v d s 垃畦舞 兰州大学硕士学位论文 d 1 3 ( v ) = 一：氏罢器d s ，d 1 4 ( v ) = g 丘* 器d s d 1 5 ( 钉) = ：氏笔黯掣器d s ，d 1 6 ( v ) = 一詈如 嘉如 在仿射变换下，上述的后1 2 个参数为： 如( ) = 。 ( ，一1 ) 嫩，d 6 ( u ) = ，v ( 1 ，叩) 却 d 7 ( u ) = ， ( ，1 ) 武，d s ( v ) = 1 u ( 一1 ，叩) 咖 州沪【坠等警尘型缸- 1 ) + 舡州 d 1 0 ( 钉) _ - 一 a ：l ； o v ( 1 ，? 7 ) 却 + 唑o ；7 r l ”) a t 十一l 矿u d 1 1 ( ) = f 1 【塑| 二旦= 装型赛( ) + 警嵩( 即) d =c币丽鬲喾杀百碉o掣v,1j 2 a m 却 一 一16 2 ( 2 扛十e 1 + 眈) 一( 一e 1 一2 ) ? 7 】a 、 “。 一唑鬻c 刊却 d 1 3 ：脂坠尘警尘型 j l 1 ) + f 赛幅_ 1 ) 】嫩 d l a ( v ) d l s ( v ) = ，1 1 【塑 d 1 6 ( ”) = 将 萨 + ： 兰州大学硕士学位论文 【( 2 0 + 1 + 勖) ( 2 a g l 一2 ) 卵】 掣叩翥( 1 ) 帕 e l e 2 ) 一( e 2 一e 1 ) 跏，1 、， 叩砸( 1 町j 叨 f 鼢，) + 喾鼢1 ) 】蟛 护【( 2 0 + e l + e 2 ) 一( 2 a 一1 一e 2 ) 叩】 ( a e 1 ) 2 b 2 ( z ，y ) = u ( 叩) 咖 叩赛( _ 1 帕 依肼( ，即) ( 5 2 8 ) 代入d ) 中，结果可表示为： d 如) = c i s 1 6 b ，d e t c 0 所以g 非奇异。其中c 的元素为 a 6 x 1 6 = c 1 1 c l - 1 6 c t 6 ，l 。c 1 6 ，1 6 c 5 1 = 1 ，6 5 2 = 1 ，c 5