（系统分析与集成专业论文）快速adomian分解方法及其在非线性系统中的应用.pdf

摘 要 a d o m i a n 分解法是由美国数学物理学家g e o r g i ea d o m i a n 在上世纪八十年代提 出并发展起来的求解非线性数学物理方程近似解析解的一个有效的数学方法自从 分解法提出后，国内外学者给予了极大的关注，并被广泛应用于物理、生物和化学 反应中的大量的微分方程求解中 分解法的基本思想是将一个微分方程的真解分解为若干个解分量之和，再依次 求出各阶解分量，让这些解分量之和以任意的高精度逼近真解，其中的关键步骤是 计算所谓的a d o m i a n 多项式已有a d o m i a n 的多部著作详细描述了a d o m i a n 分解 法的基本原理，并介绍了分解法的各种变形以及在大量随机或确定的微分系统中的 应用 虽然分解法的优势明显，但弱点也同样突出，这主要体现在求解a d o m i a n 多 项式时需要大量的计算，特别是在所求问题很复杂的时候，计算所需时间人力难于 承受为了减少计算所需的时间，不少专家学者对a d o m i a n 分解法作深入的探讨 与研究，最近有学者提出了一个新的方法求解a d o m i a n 多项式，新方法大量减少 了分解法处理问题时所需要的计算量，我们称这个方法为快速a d o m i a n 算法 本文在a d o m i a n 分解法的基础上对快速算法做了深入的学习与研究，完善了 快速算法，使之可以求解复杂的非线性项的a d o m i a n 多项式，并使快速算法能够 应用于微分方程组的求解，极大地扩展了快速算法的应用范围本文还给出了快速 算法在符号计算平台上的m a p l e 代码，并通过对大量实例说明程序代码的实用性 关键词：微分方程，a d o m i a n 分解法，快速a d o m i a n 分解法，a d o m i a n 多 项式，级数解，r 算子 a b s t r a c t t h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o dw a sf i r s ti n t r o d u c e db ya d o m i a ns i n c et h eb e - g i n m n go ft h e1 9 8 0 sa n di tc o u l db eu s e dt os o l v et h ea p p r o x i m a t e “n a l y t i cs o l u t i o no f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r ea r es o m es c h o l a r sw h os h o wg r e a ti n t e r e s ti nt h e d e c o m p o s i t i o nm e t h o da n di ti su s e df o rs o l v i n gaw i d er a n g eo fp r o b l e m sw h o s em a t h - e m a t i c a lm o d e l sy i e l de q u a t i o no rs y s t e mo fe q u a t i o n si n v o l v i n ga l g e b r a i c ，d i f f e r e n t i a l ， i n t e g r a la n di n t e g r o - d i i f e r e n t i a l i nt h i sm e t h o dt h es o l u t i o ni sc o n s i d e r e d t h es u mo fa ni n f i n i t es e r i e s r a p i d l y c o n v e r g i n gt oa na c c u r a t es o l u t i o n a n dt h et h ek e yo ft h em e t h o di sh o wt oc a l c u l a t e t h ea d o m i a np o l y n o m i a l s t h e r eh a v eb e e ns e v e r a lw r i t i n g so fa d o m i a nw h i c hd e s c r i b e t h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o di nd e t a i la n da p p l yi tt ol o t so fs t o c h a s t i co rd e t e r m i n i s t i c p r o b i e m s a l t h o u g ht h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o dc a nb eu s e dt os o l v es o m ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r en e e dag r e a td e a lo fc o m p u t a t i o ni nt h ec o m p u t a t i n gp r o c e s s i np a r t i c u l a r ，s o m e p e o p l ec a n n o tc o m p l e t et h ec o m p u t a t i o nb yt h e m s e l v e sw h e nt h e yu 8 et h em e t h o dt o s o l v ev e r yc o m p l i c a t e dp r o b l e m s os o m es c h o l a r sa r es t u d y i n gh o wt oc u td o w nt h e c o m p u t a t i o na n dt h e yh a v em e c h a n i z e dt h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o di nm a p l e r e c e n t l y , a n e wm e t h o dw h i c hc o u l dc a l c u l a t ea d o m i a np o l y n o m i a l sw a sp r e s e n t e db ys o m es c h o l a r s t h en e wm e t h o dc a nr e d u c es o m ec o m p u t a t i o nw h e np e o p l eu 8 ei tt os o l v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s ow ec a l li tt h ef a s ta d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d i nt h i sp a p e r ，t h ea u t h o rp e r f e c t st h ef a s ta d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o da n d a p p l i e st h em e t h o dt os o l v em o r ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r e d e f i n et h eo p e r a t o rta n d i t sp r o p e r t i e sa n dm a k et h em e t h o db ea b l et os o l v es y s t e mo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r ea r et w om a p l ep r o g r a m sw h i c ha r ea b l et os o l v es o m ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d s y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sl i k et h ef a s tm e t h o d t h ea u t h o rv a l i d a t e st h a tt h ef a s t m e t h o dn e e d sl e s st i m et h a nt h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o db ya p p l y i n gb o t ht h e f a s tm e t h o d 8p r o g r a ma n dt h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sp r o g r a mt os o l v et h e s a i n ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ea d o o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，t h eq m c k a d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm c 孔h o d ，a d o m i a np o l y n o m i a l s ，t h es o l u t i o no fa ni n f i n i t es e r i e s ， t h eo p e r a t o rt l u 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：趑复竖日期：2 里z ：堕2 1 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版有权精学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本 规定 学位论文作者签名：趱蓥鉴 导师签名： 日期：j 丑堕鱼日期：趟扛垃一 引言 以应用为目的或以物理，力学等其他学科中的问题为背景的非线性微分方程的 研究，不仅是传统应用数学的一个主要内容，也是当代数学的一个重要组成部分 它是数学理论与实际应用之间的一座重要的桥梁，研究工作一直非常活跃，研究 领域日益扩大 很多意义重大的自然科学和工程技术问题都归结为非线性偏微分方程的求解， 然而非线性微分方程的求解远比线性微分方程要困难得多，线性微分方程的些结 论在非线性微分方程中不再成立，因此对于微分方程不能用一个统一的方法加以 处理长久以来关于微分方程求解主要依赖于数值方法，数值解法虽然存在着非线 性计算不稳定性和解的可靠性等问题，但还是取得了令人瞩目的成就求解偏微分 方程的解析解是相当困难的，经过4 0 多年的研究和探索，人们还是找到了一些构 造某类非线性偏微分方程特殊形式解析解的符号计算方法1 1 l ，阁，但是这些方法还是 存在着种种的局限性 a d o m i a n 分解法【3 1 【6 1 是介于数值解法和符号解法之间的求解方法，由于其应 用范围的广泛和强大的解题能力引起越来越多的专家学者对它的关注，近年有不少 新成果发布关于分解法的研究主要有以下几个方面s 一是关于分解法的应用范围 的研究【7 l “【1 2 1 ：探讨它可以应用于哪些方程的求解，可以处理哪些数学物理现象， 以及运算得到的结果是否正确第二是寻找可以在分解法的运算过程中减少计算量 的方法【1 3 l “1 1 5 1 ：虽然分解法的解题能力相当强，但它的计算量还是较大的有人主 张在理论上对分解法改进，绝对减少计算量，如加快分解法得到的级数解的收敛从 而在相同的精度下减少计算量；而有些人则在计算机上实现算法的机械化【1 6 j ，以 自动计算代替人力计算，相对减少计算时间最后是研究把分解法与其他的计算方 法融合在一起处理一些分解法不能单独处理的问题比如关于分数求导方程的求 解【1 7 卜【2 0 1 不是分解法可以单独处理的，需要与其他数学方法联合处理才能得到方 程的近似解析解 本文在对a d o m i a n 分解法和快速a d o m i a u 分解法【l l 的运算过程作深入详细 的学习和研究后，对快速算法中a d o m i a n 多项式的计算方法进行了完善，使快速 分解法可以处理更复杂的问题，更重要的是扩展快速分解法中t 算子的定义，使 算法能够处理非线性微分方程组在m a p l e 平台上实现了快速算法的自动化，并用 之于求解具体问题的非线性系统 论文第一章叙述a d o m i a n 分解法的基本原理以及应用范围，给出了a d o m i a n 分解法的实现代码，同时介绍了a d o m i a n 分解法的一些最新研究成果 第二章介绍快速a o m i a n 分解方法，指出它的不足之处并给予完善在m a p l e 平台上实现快速分解法的自动化，通过实例求解说明它相对于a d o m i a n 分解法在 计算速度上的优势 第三章重新定义快速分解法中t 算子井陕展其性质，使得扩展后快速a d o m i a n 分解法可应用于微分方程组的求解。随后也给出了这个算法的机械化实现 最后在第四章对本文的工作做一个总结，并对后继的研究工作做展望 2 第一章a d o m i a n 分解法的基本原理 自8 0 年代发展起来的由a d o m i a n 提出的逆算符方法( 即分解法) ，在研究非线 性问题中已显示出强大的解题能力【22 l f 2 5 1 数学理论和实际应用都证明，这种方 法不存在其它近似方法所要求的近似条件，能解决一大类数学物理问题；与计算机 的数值计算结果相比较也证明，分解法有更高的精度和更快的收敛性因此，分解 法具有广阔的应用和发展前途，也受到了国内外众多学者的极大关注 2 6 1 ”1 3 1 1 1 1求解常微分方程的分解法 考虑常微分方程f u = 9 ( t ) ，其中u = “( t ) ，f 是包含线性项和非线性项的微分 算子抽取f 中的线性项以算子工和r 表示，工必须是其中最高次导数算子，而 算子f 中的非线性项以算子表示，就可以把方程转换为工“+ j 阮+ n u = 9 ( t ) ， 从而有 l u g r un u 工一1 l _ m = l l g l 一1 r u l 一1 n u 可以定义l = d d t n ，则l - 1 是从0 到t 的n 次积分算子当n = 2 时，对于 算子l = d 2 d ? 有l 一1 l u = t 一t ( o ) 一“( o ) ，因此可得 t = u ( 0 ) + t u ( o ) + l 一1 9 l 一1 r u l 一1 n u u ( o ) 和( o ) 由方程的初始条件决定所以当仃未知或不确定时有 t = 妒+ l 一1 9 一l 一1 r u l 一1 n u( 1 1 ) 其中西满足却= 0 ，且对应于初始条件 令。：登是方程的级数形式的解析解，以入参数化。有。( a ) ：萎a n ， n = o n o 代入n u 得( 口( a ) ) = 厶，以a 为变量对( 口( a ) ) 泰勒展开可求得如 如= 刍 杀啪虬 根据上式可以推得a t i 是由t 。( m = 0 ，1 ，n ) 决定的令入= 1 有n u = 萎如( 伽，“1 ，) ，其中厶称为a d o m i a n 多项式取，( u ) ：n u ，对上述多 项式的求解公式总结推导可得到另一种形式 a o = ，( 咖) a 1 = u l ( d d u o ) f ( u o 、 a 2 = u 2 ( d d u o ) f ( u o ) + ( i 2 1 ) ( d 2 d 谁) ，( 伽) a s = u 3 ( d d u o ) f ( u o ) + u l u 2 ( d 2 d u 3 ) f ( u o ) + ( n 2 3 1 ) ( d 3 d 罐) ，) 当然a d o m i a n 在分解法中提出的计算多项式的方法不止这两种，这里就不一一列 出了 现在把“= u n 和n u = 厶，。d i ，钍。) 代入方程( 1 1 ) 可使解表示为 如下形式 t = u n = 西+ 工- 1 口一三一1 r “。一二一1 n = 0n = 0n = 0 令u 0 = 毋+ l 一1 9 ，则有 “1 = 一l 一1 r 蛳一l 一1 a o u 22 - l 一1 r u l l 一1 a 1 “32 - l 一1 r u 2 一l 一1 a 2 与厶的求解公式交替运算就可以求得a d o m i a n 多项式 以及t 。= 1 ，2 ，3 ，) ， 进而得到常微分方程的级数解 例求解初值问题 器+ ( 1 + 弛) ) “；o ，t ( o ) = 1 ，t ，( o ) = o 令 扛嘉，r - 1 堋。) 而l _ 1 可看成从0 到z 的二重积分则= 一l 一1 ( 1 + ，( 茹) ) “+ 毋，其中踯= 0 ，再 令t = u n ，那么 n = o u 。= - l 。( 1 + ，( z ) ) u 。+ 妒 因为l _ 1 是二重积分所以有庐= c l x + c 2 ，根据埘= 0 和初始条件得c 1 = 1 ，c 2 = 0 于是西= 1 ，可计算得到解的各阶分量 4 u o 。1 让1 ；一l 一1 ( 1 + ，扛) ) t o 2 = 一l 一1 ( 1 + ，( 。) ) “1 t t 。= 一l 一1 ( 1 + ，( $ ) ) t h 一1 如此可有该方程的近似n 阶a d o m i a n 级数解为：壹u k , 根据实际需要可选取不 k = 0 同的竹以求得不同精度的级数解 l 2 求解偏微分方程的分解法 偏微分方程比常微分方程拥有更多的自变量，用a d o m i a n 分解法求解时基本 的思想是相同的，但在实际的求解过程中还是有比较大的区别的我们先考虑含有 时间变量t 和空间变量写的微分方程l 。u + l 。t + r u + n u = g ，其中厶和也是关 于t 和z 的最高次导数算子，r 和分别为线性算子和非线性算子，同时方程拥 有如下形式的初始和边界条件： u ( o ，z ) = a l ( x ) 毗( o ，z ) = a 2 ( x ) u ( t ，口) = 历( ) u ( t ，砷= 侥( t ) 方程组具有两个变量并且给出了两组不同的条件，因此需要分别求解关于这两个 变量的方程 首先求解基于时间变量t 的方程，对方程做如下变换： l t u = g l 。t 一r u n u u = 也+ l f l g 一f 1 l z 让一工f 1 f l u l f l l 7 1 是关于t 的二阶积分算子，而咖：。l ( 。) + 。2 ( 。) t 令。：曼。，而n 。： ，妻如厶是多项式，可以通过公式an=刍。d，、nadomian a - f f c f f n ( v ( a ) ) 。：。，”( a ) ； 如厶是多项式，可以通过公式 = 击lf ，口( a ) ； n 2 u”l lx n a “求得取u o = 也+ 工f 1 9 ，则可以依次得到u l ，2 ， t 1 = 一工f 1 l u o l _ 1 r u o l f l , 4 0 w 2 = - l ? 1 l x u l 一工f 1 r u l 一己f 1 a 1 t h = 一l f l l 2 t m 一1 一l f l r 嘶n 一1 一l f l a m 一1 取+ 1 = u r n 就可以得到不同精度的近似解析解，当然这个解是关于变量t 的 偏解 现求解基于空间变量z 的方程： l t u gl t ur u n u t = 九+ 坛1 9 l ；1 l t u l ；1 舰一l i l u 坛1 是关于的二阶积分算子，而札= 矗+ 如z 且必须满足l 九= 0 令九= 札。= ( l 。+ 。z ) ，取u o = 九o + e 1 9 = f l o + o z + 坛1 9 ，则可以推导得到 n 的其他分项： t 1 = 1 1 + 1 霉一l ；1 l t u o l ；1 r u o l ；1 a o t 2 = 专1 2 + 白2 $ 一l ；1 l t u l 一l ；1 r u l j i l a l ： t l m = 1 m + m z 一写1 l t u m 一1 一e 1 r u ，i 一1 一工；1 a m 一1 令妒。+ 1 = ，+ 1 为方程的近似解析解，根据边界条件有 n = 0 忱时1 ( ，n ) = 历( t ) 帏。+ 1 ( t ，b ) = 岛( t ) 根据上式可由妒l 确定 1 0 和包。的值，计算得到t o 和勘；由妒2 = u ( o ) + t ( 1 ) 确定 1 1 和 2 1 的值，进而算得u l 和a 1 ；依次类推可得到和a 。( m 2 ) ，并最终得到 方程的关于变量z 的近似偏解 在文献【6 】中证明通过上述两种方法求得的偏解是一致的，都是方程的解因 此在求解偏微分方程时只需要求解一个偏解就能得到方程的近似解析解而不需要 求出所有的偏解当然上述结论对于具有更多空间变量的偏微分方程( 比如含有两 个空间变量z ，y 的方程f c t ，$ ，y ) = 0 和三个空间变量的方程g ( t 涵y ，2 ) = 0 ) 也是 成立的在求解具体方程时，关于其他变量的最高阶求导算子只需要作为线性算子 丑的一部分做相应处理就可以当然在具体求解中会需要考虑选用那一个变量进 行求解，这需要考虑两个方面：一是在几组条件中选择最简单的，在运算过程中所 花时间最少的那组条件；二是比较几个变量的最高求导算子，选择求导阶数最低的 那个为了统一，在本文后面所列出的偏微分方程如无特殊说明都是以时间变量t 作为求解变量，而且求解条件也只给出初始条件 6 例求解带有初始条件t l o = 0 ) = z 的b u r g e r 8 方程蛳+ 一。= 0 令 l = o l o t ，n u = u u x ，l z = 铲i o x 2 则方程变化为l t u = l 。u u ，在式子两边同时乘以积分算子酊1 = 矗( ) d t 有 t 一“( o ) = l f l l z # t 一l f l t k 定义u = 是方程的解，同时有u o = 让( o ) 根据a d o m i a n 多项式的计算公式可 n = o 推导得伽b = 厶( u 地) ，则 因为u o 已知，利用上述等式可推得其它的解分量 u l = l f l l z z u o 一f 1 a o t 2 = l f l l 。t 1 1 一工f 1 a 1 嘶l = 三f 1 工z 2 t n 一1 一l f l a 。一1 ： 把 =“m及”(a)=三oo代入公式如=去f而at,nul a a ( ”( a ) ) 。：。可有 把 = “。及u ( a ) = 代入公式如= 圭l 而( 口( a ) ) l 可有 n = 0 t ： 。 j = n 山= 蛳 a 1 = “1 + 蜘嵋 a 2 = 1 2 嵋+ u 1 嵋+ 蛳呓 a 3 = t 3 t 6 + 2 t i + t 1 “；+ u o t 略 厶= 1 上n + 一l u t l + + t 1 u ：一l + u o t 求得a d o m i a n 多项式就可以得到解的分项 u o = z ”1 2 一l t l a o = 一武 n 2 = - l ? 1 a 1 = l f l ( 一2 x t ) = 耐2 2 所以有t ；x ( 1 一t + t 2 2 一) = z ( 1 + ) 7 n a 脚 一f l 一 脚 l 一 l + 蛳 = “ 1 3 方程组求解 a d o m i a n 分解法可以运用与上述相类似的求解过程求得微分方程组的近似解 析解，当然它的运算量因为需要求解的方程的增多一定会有大幅度地增加 对于方程组 l l u l + r 1 ( u 1 ，i i , 2 ，) + 1 ( u l ，“2 ，) = m l 2 u 2 + 飓( u l ，u 2 ，t ，1 ) + 2 ( u l ，t 2 ，) = 9 2 k t ，l + 1 ( u l ，t 2 ，u n ) + 心( “1 ，地，) = 肌 首先考虑其是常微分方程组时的情况，也就是假设u i = 地( t ) ， = 1 ，2 ，t 1 因为 上述方程组是常微分方程组，所以厶算子都是关于变量的导数算子，并且是第 个方程中蛳关于t 求导的阶数最高的线性算子，而昆是线性算子，趣是非线性 算子 根据关于方程求解过程的分析，令蛳= u i 。，n i ( u l ，u 2 ，) = a 。， o o 其中a d o m i a n 多项式a 。是由u l o ，u l l ，“l 。，t r i o ，1 ，m 这乱( 仇+ 1 ) 项所决定的，它们的计算公式为 删= 描mf m 登= o ，m 扣= o ) k 。， 方程组中的每一个方程两边分别乘上相应的积分算子工f 1 并傲相应的积分运算有 ，) ，) u n = 如+ 坛1 鲰一工p h ( u l ，t 2 ，“。) 一坛1 ( t 1 ，“2 ，) ； 慝ulo=毋1二+l竺flgl 2 2 “ 钍 l l u u ，l，l m 屹 l l 一1 2 l l 一 一 、j、j 2 2 u u 1 1 u (， 研磁 l 1 一l一2 l l 一 一 ， m s ； 一12 l l + + 机屯 | f j i 1 2 “ 一l i l r a u x m 一工i 1 a 1 m l i l j t 2 m l i l a 2 m l 二1 冠i t ，。m j 焉1 a 。m 若已知方程组的初始条件就可依据上述式子计算得到解分量并最终求得方程组的 近似解析解但是应该注意到a 。只有在u l o ，”1 l ，u 1 。，o ，l ，u n 。这 n ( 仇+ 1 ) 个解分量全部求得以后才能计算得到，所以在求解过程中不能只求一 个方程的解分量而要同时求解所有的方程 如果方程组是偏微分方程组，求解的过程与上述过程差不多，只需要应用前面 介绍的微分方程的求解过程并要同时求解这几个方程就可以求得方程组的解。同时 注意在实际求解微分方程时依据所给出的不同条件选择所需计算量最少的变量求 解方程为了保持一致，在后面的方程组求解中如无特别说明则给出的条件都是初 始条件 1 4 算法实现 现在已有多位学者在m a p l e 平台上实现了a d o m i 8 n 分解法的机械自动化，在 文献 16 】中介绍了一段精简的m a p l e 程序，完全实现了a d o m i a n 分解法的自动化 a d o m i a n ：= p r o c ( i c s ，e q s ，n ) l o c a l n e q ，t o ，m ，口o ，丑，n ，g ，n o r d e r , u ，k ，竹钍，t e m p n ，a ，i ，j n e q ：= n o p s ( i c s ) 一l ； n o r d e r ：= 【s e q ( n o p s ( i c s m ) ，m = 2 n e q + 1 ) 】； 加i c s 1 ； ：= 【s e q ( i c s m ，m = 2 n e q + 1 ) 】 9 o o 呻 1 2 l 如砌 怫 1 1 一，一2 一饥 巧 l 一 一 d d 山 虮也 池 即砌 取 巧巧；坛 一 一 一 = = = 虮地 ； f_-_-f、_-_l + + + 圭 啪 u： ，_l_j(1_-l r ：= s e q ( e q s 【m ，1 】，m = 1 m e 口) 1 ； n ：= ( s e q ( e q s m ，2 】，m = 1 n e g ) ； g ：= s e q ( e q s m ，3 l ，m = 1 m e 口) 】； ：= a r r a y ( 1 。n e q ，o n ) ； f o r ，n ，r o m1 t on e qd o t i 【m ，o l ：= 9 【州( t ) ； | il r o m1t on o r d e r m d o u m ，o l ：= o 【m ，n o r d e r m 一i + 1 】+ i n t ( s u b s ( t = 禹u 【m ，0 1 ) ，s = t o t ) e n dd o ； e n dd o ； ，0 r 打d m0t on 一1d o 伽：= s e q ( s u m ( l a m b d a 【m ，矾i i = o 后) ，m = l 堋肋) ； f o rmf r o m1 t o n e qd o t e m p n ：= u n a p p l y ( ( n m ) ( n u ) ，l a m b d a ) ； a 【m ，叫# ( d ) ( t e m p ) ( o ) ( 削) ； e n dd o ； l o tmy r o m1 t o n e qd o 让h ，k + 1 】：= - r m l ( s e q ( u i ，明，i = 1 n e q ) ) 一a f m ，纠； i 钾if r o m1t on o r d e r m d o t ( 仇，+ 1 】：= i n t ( s u b s ( t = s ，u 【m ，k + l 】) ，s = t o t ) ； e n dd o ； e n dd o ； e n dd o ； s e q ( s u m ( u 【m ，j 】，j = o m ) ，m = 1 m j 两) ； e n dp r o c ： 在上述这段代码中，选用了时间变量t 作为求解变量，并没有给出当求解方程 时使用边界条件的求解步骤根据前面对方程求解的分析，只需要在代码中最终结 果的前面加入一段求解方程或方程组的代码就可以使上述程序处理带有边界条件 的方程同时我们可以看到这段代码不仅可以求解微分方程也可以处理微分方程 组。 在代码的输入调用中，i c s 是初始条件列表，具体表示形式为 陋o ， ， w o ，喝，】； 而e q s 是微分方程列表，表示为【j r l ，1 ，9 1 ，【j k ， k ，】1 n 就是方程的近 1 0 似解析解所要求的精度对于需要求解的微分方程矿= z 2 + y 2 ，y ( a ) = b ，调用 a d o m i a n ( ) 函数所需要的输入参数为 i c s ：= 陋，【6 】 ：e q s ：= 【阻一 0 ，“一 一“ u ，t - - t 纠】： 而对于方程组 fi d 2 万u + 口+ 口= o ，t ( 。) = a ，( o ) = b ii d 2 万v + t + u 口= o ，口( 。) ：ct ，( 。) ：d 则有参数 i c s ：= 【o ，【a ，吲，p ，d 】： e q s ：= 【( u ，v ) - 勘，( t ，v ) - “ 口，：- - 0 】，【( 缸，口) 一 鸲( u ，口) 一 t l ，t 一 o 】 1 5 程序应用举例 上一节介绍了一段代码，用于实现a d o m i a n 分解法的自动化，在本节中就运 用这段程序求解一些微分方程和微分方程组的近似解析解 例1 5 1 考虑r i c c a t i 方程初值问题t y ；萨+ y 2 ，u ( o ) = 0 在m a p l e 系统中，输入 r e s u l ：= a d o m i a n ( o ，【o i l ， u - 0 ，t 一 u 2t 一 l ：2 】，6 ) ； 则输出结果为 懈讹：= i l t 3 一丽1 。7 + 嘉：1 1 - - 淼一 + 画4 丽6t 1 9 一罴：2 3 + 淼 整理后可有方程的六阶近似解析解 ( t ) 4 怫( t ) = 5 1 。3 一志“2 - - 0 斋7 9 ：t t - 五丽1 3 。1 5 + 面一 一! ! ! 翌芦+ 坐 t 2 7 6 6 1 0 8 6 7 6 0 9 5 。2 8 3 3 2 2 8 9 7 5 5 。 1 1 例1 5 2 求解初始条件为u ( o ) = 0 u ，( o ) = 而1 的非线性常微分方程 u t r l o u + 1 0 ( t ，) 2 + l o u u = 0 精度要求为8 在平台上分别输入初始条件，方程和所要求解的精度 i c s ：= 【o 【o ，1 l o 1 ： e q s ：= 【阻一 一1 0 牛d i f f ( u ，t ) ，t 一 1 0 十( d i f f ( u ，t ) ) 2 + 1 0 “ d i h ( u ，t ) ，t 一 0 】1 n ：= 8 ： r e s u l t ：= a d o m i a n ( i c s ，e q s ，n ) ； 则运算结果为 脚“2 t = 去抖j 1 。2 + ；t 3 + 2 。5 t 4 + - 荨t 5 + 了1 2 5 t + 1 。2 。5 0 t 7 + 面3 1 2 5 - s + 丽1 5 6 2 5 护 整理可得到微分方程的8 阶近似解析解 u = i t + ；t 3 + 2 。5 t 4 + 争+ _ 1 2 5 t 6 + 1 2 。5 0 t r + 酱萨+ 面1 5 6 2 5 。o 例1 5 3 求解非线性偏微分方程 u t = 茁2 一) 2 4 ，u ( x ，0 ) = 0 可以如下调用a d o m i a n o 函数 i c s ：= 【0 ，【o 】1 ：n ：= 5 ： e q a ：= 【珏一 0 ，t 一 1 4 ( d i f f ( u ，z ) ) 2 ，t - z z 】 r e s u l t ：= a d o m i a n ( i c s ，e q s ，n ) ； 经过运算后，m a p l e 平台输出为 懈u m = 砘一吾1 z - 2 。3q - 杀x 2 t 5 - - 孤1 7z 2 。r + 丽6 2z 2 。9 一罴以1 l 对上述结果分析整理可以得到方程的解析解 出，归e 一13 + 主扎暴“丽6 2 扎丽1 3 8 2c 1 1 + ) = 执a n l l 也可以运用程序求解线性微分方程组和非线性微分方程组 1 2 例1 5 4 求解带有初始条件“( 毛0 ) = s i n x ，v ( x ，0 ) = c o s x 的线性方程组 u 吨t + + ，u k , 十- 。2 。v ：= 。o 在m a p l e 平台上先输入初始条件和方程组再调用a d o r n i a n ( ) 函数 i c s ：= 【0 ，【s i n ( z ) l ，b 8 ( z ) 】：竹：= 5 ： e q s ：= 【( t l ，”) 一 d i f f ( u ，$ ) 一2 口，( u ， ) 一 0 ，t - - o l i ( “，口) 一 d i f f ( v ，。) + 2 ( u ，口) 一 0 ，t - - o 】： r e s u l t ：= a d o m i a n ( i c s ，e q s ，n ) ； 很侠就日j 以得剑獭出绢呆 r e s 如：= s 饥 ) + s ( z 弦一：s 伽p ) t 2 一石1 8 ( z ) 庐+ 去s 协和) + 面1 伽( 础5 ，酬z ) 一砌( 班一j l o d 8 ( 砂2 + ：s 似茹) t 3 + 甄1 。( z ) 一一j 丽1 s 打；( z ) t 5 对上述结果进行分析与整理可以很容易地得出下列结果 心= s i n x ( 一萎+ 扣) + c o s z ( t 一等+ 扣) = s i n x c o s t + c o s z s i n t = s i n ( z + ) ”扛，t ，= c 。( - 一豢+ 著) - s i n x ( t 一蔷+ 鲁) 例1 5 5 求解非线性微分方程组 吨u t ：= - 毗u u x + + 。v u y 初始条件为t ( ，9 ，o ) = z 2 ，t ，( z ，f ，o ) = w 调用函数a d o m i a n ( ) 运行代码 i c s ：= 【0 ，【 z 】，f 口】：竹：；5 ： e q s ：= 【( “，v ) - 0 ，( u ，v ) - 一“ d i