（机械工程专业论文）三维几何约束共性表达及解耦性的研究.pdf

武汉理工大学硕上学位论文 摘要 三维几何约束求解对于装配建模、装配工艺规划和并行工程等多个领域的研 究都有重要意义。虽然对几何约束系统的求解在过去几十年有大量的文献研究， 但是仍有许多问题尚待解决，尤其是在三维几何约束求解领域。为此，本文对三 维几何约束系统的建模、分析、分解和求解等方面的关键问题进行了研究，提出 一种以抽象的具有共性的球体、盒体及球盒体统一表达三维几何实体的模型。探 索解耦性的高效求解，建立j 维几何约束系统求解的统一表达理论及求解技术体 系，为高效三维几何约束求解器的实现提供基础理论。 在几何约束系统中，几何实体之间的约束关系是非常复杂的，如何建立有效 的几何约束系统模型，是几何约束系统研究的基础。本文首先研究了几何约束系 统建模问题。以几何约束欧拉参数表达为基础，借鉴e j h a u g 简洁统一的基本约 束表达方式，研究几何约束和几何实体共性的表达问题，并抽象出球体、盒体和 球盒体三种基本几何实体表达空间几何体，建立几何约束系统模型，形成几何约 束系统表达层。 以无向图建立三维几何约束系统，约束图中的顶点的自由度和约束形式存在 变化，因此，需要研究高效的分解策略，并适用操作性强的求解模式。针对三维 装配姿态约束和位置约束的可解耦性，采用基于球面几何的方法研究可解耦构型 姿态的求解，将单个姿态约束映射为球面上的一点，通过建立球平面坐标系，则 球面上的点可映射为球平面上的二维点，三维空间问题转换为二维平面问题，其 求解难度降低，几何推理意义明显。位置约束的求解拟采用解析的方法。 本文运用三维几何领域的相关知识，通过分析几何约束系统的内在等价性， 结合图论的理论，提出三维几何约束系统的等价性分析方法。该方法对几何约束 图的拓扑结构进行优化，采用等价的方法拆除、缩减和分离约束闭环，并且在不 需要考虑约束系统中的冗余约束，可以处理过约束、完整约束和欠约束，实现三 维几何约束系统在几何意义上的最大分解。 本文的研究内容在原型系统w h u t v a s 中得到实现，并通过实例验证了研究内 容的可行性和有效性。 关键字：几何约束，几何约束求解，约束处理，图分解，欧拉参数 壁堡里三奎堂堡生堂堡垒壅 一 ， - _ l - i _ _ - _ - - _ _ - - _ _ _ 一 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho n3 dg e o m e t r i cc o n s t r a i n ts o l v i n g h a sg r e a ts i g n i f i c a n c ef o r a s s e m b l ym o d e l i n g ，a s s e m b l yp r o c e s sp l a n n i n ga n dc o n c u r r e n te n g m e e n n g a l t h o u g h t h e f eh a v eb e c nal o to fl i t e r a t u r ea b o u ts o l u t i o nt og e o m e t r i cc o n s t r a i n ts y s t e m s i nt h e p a s td e c a d e s ，s t i l lm a n yi s s u e s r e m a i nt ob er e s o l v e d ，e s p e c i a l l y i nt h ef i e l do f s o l u t i o nt ot h r e e d i m e n s i o n a lg e o m e t r i cc o n s t r a i n t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e dt h ek e y p r o b l e m si nm o d e l i n g ，a n a l y z i n g ，d e c o m p o s i n ga n ds o l v i n g t h i ss y s t e m ，a n dp u t f 0 侧孤dam o d e ls i g n i f y i n gt h et h r e e d i m e n s i o n a le n t i t yw i t ha na b s t r a c tb a l l ，b o xa n d b a l l - b o xb o d y ，i ta l s oe x p l o r e dt h eh i g h l ye f f i c i e n ts o l u t i o nt od e c o u p l e dp r o p e r t y , c o n s 臼1 j c t e dau n i f i e dt h e o r ya n ds y s t e mo ft h r e e - d i m e n s i o n a lg e o m e t r i cc o n s t r a i n t s o l u t i o nw h i c hp r o v i d e sat h e o r yb a s i s i nt h es y s t e mo fg e o m e t r i cc o n s t r a i n t ，c o n s t r a i n t sb e t w e e ng e o m e t r i ce n t i t i e sa r e v e r yc o m p l e x h o wt oe s t a b l i s ha ne f f e c t i v es y s t e mm o d e lo fg e o m e t r i cc o n s t r a i n t i s t h eb a s i so fg e o m e t r i cc o n s t r a i n ts y s t e ms t u d y f i r s t ，t h i sp a p e r s t u d i e st h ep r o b l e mo f g e o m e t r i cc o n s t r a i n ts y s t e mm o d e l i n g o nt h eb a s i so fg e o m e t r i cc o n s t r a i n t e u l e r p a r a m e t e r s ，e m p l o y i n ge j h a n g ss i m p l ea n du n i f i e d c o n s t r a i n te x p r e s s i o n ，i t s t u d i e dt h ec o m m o nc h a r a c t e r i s t i c sb e t w e e ng e o m e t r i cc o n s t r a i n t sa n dg e o m e t r i c e n t i t i e sa n dp u tf o r w a r dam o d e ls i g n i f y i n gt h et h r e e - d i m e n s i o n a le n t i t yw i t ha n a b s t r a c ts p h e r e ，b o xa n db a l lb o x i tc o n s t r u c t e dag e o m e t r i cc o n s t r a i n ts y s t e mm o d e l a n df o r m u l a t e das y s t e ml a y e r i ti s l i k e l y t h a tf r e e d o md e g r e ea n dc o n s t r a i n tf o r mo ft h ep o i n t s i na t h r e e - d i m e n s i o n a l g e o m e t r i c c o n s t r a i n t s y s t e mm a yv a r y t h e r e f o r e ，e f f i c i e n t d e c o m p o s i t i o ns t r a t e g ya n da p p l i c a b l es o l u t i o na l en e e d e d b e c a u s eo f t h ed e c o u p l e d p r o p e r t yo ft h r e e - d i m e n s i o n a l o r i e n t a t i o na n dp o s i t i o nc o n s t r a i n t s ，am e t h o db a s e do n s p h e r i c a lg e o m e t r yc a nb eu s e d ，t h u sas i n g l ec o n s t r a i n ti sm a p p e d i n t oap o i n to ft h e s p h e r e t h e nb yc o n s t r u c t i n ga c o o r d i n a t es y s t e mo fb a l lf l a t ，s p h e r i c a lp o i n t so nt h e p l a n ec a l lb em a p p e d i n t ot w o d i m e n s i o n a lp o i n t ，a n dt h r e e d i m e n s i o n a lp r o b l e mi n t o at w o d i m e n s i o n a lp r o b l e m t h i sr e d u c e sr e d u c et h ed i f f i c u l t yi ns o l v i n ga n dh a sa n o b v i o u ss i g n i f i c a n c eo fg e o m e t r i cr e a s o n i n g s o l u t i o nt ol o c a t i o nc o n s t r a i n te m p l o y s a n a l y t i c a lm e t h o d s w i t hr e l e v a n tk n o w l e d g eo ft h r e e d i m e n s i o n a lg e o m e t r i ca n dt h ea n a l y s i so f t h e i n h e r e n te q u i v a l e n c eo fg e o m e t r i cc o n s t r a i n ts y s t e m s ，b yc o m b i n i n gw i t hg r a p ht h e o r y , t h i s p a p e rp u tf o r w a r d t h ee q u i v a l e n c ea n a l y s i sm e t h o do ft h r e e - d i m e n s i o n a l i i 武汉理工大学硕上学位论文 g e o m e t r i cc o n s t r a i n ts y s t e m t h i s m e t h o do p t i m i z e dt h et o p o l o g i c a ls t r l j c 嘶o f g e o m e t r i cc o n s t r a i n tg r a p h i tr e m o v e d ，r e d u c e da n ds e p a r a t e d t h ec o n s t r a i n e d c l o s e d l o o pw i t h o u tc o n s i d e r i n gt h er e d u n d a n tc o n s t r a i n t s i nt h es y s t e m ，a sw e l la s d e a l tw i t ho v e r - c o n s t r a i n t e d ，w e l l - c o n s t r a i n e d ，a n du n d e r - c o n s t r a i n t e d ，r e a l i z i n gt h e m a x i m u mg e o m e t r i cd e c o m p o s i t i o no ft h e t h r e e 。d i m e n s i o n a lg e o m e t r i cc o n s t r a i n t s y s t e r n t h er e s e a r c hi nt h i sp a p e rc a nb ed o n ei nt h ep r o t o t y p i c a ls y s t e mo fw h u t v a s ， v e r i f y i n gt h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s sw i t hp r a c t i c e k e yw o r d s ：g e o m e t r i cc o n s t r a i n t ，g e o m e t r i cc o n s t r a i n ts o l v i n g ，c o n s t r a i n th a n d l i n g ， g r a p hd e c o m p o s i t i o n ，e u l e rp a r a m e t e r m 武汉理工大学硕上学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的提出及其研究意义 1 1 1 课题的提出 自1 9 6 3 年美国麻省理工学院( m i t ) 2 4 岁的研究生i e s u t h e r l a n d 提出交互式 c a d t 2 ( c o m p u t e r a i d e dd e s i g n ) 的概念后，伴随着计算机技术的不断革新，计算 机辅助技术经过几十年的飞速发展，已经广泛应用到国民经济的多个领域，并 且发挥着非常大的作用，促进了经济领域的另一个阶段的变革j 其应用前景非 常广泛。 在c a d 技术的发展中经过了三个阶段，即线框造型，曲面造型和实体造型 【3 4 5 1 。传统的c a d 系统技术的关键技术是被动的接受设计问题的解，但并没有 参与设计问题的求解过程，因此传统的c a d 系统仅限于几何造型和工程绘图等 工作，换句话说，传统的c a d 系统其意义上来讲可以是c o m p u t e r a i d e dd r a w i n g ， 而不是真正的c o m p u t e r a i d e dd e s i g n 。以几何模型为基础，采用向上模拟、适应 设计需求的方法是传统的c a d 系统是一种形式，但是对于智能的设计工作始终 不能满足。传统c a d 系统由于没有几何约束管理和求解技术作为支撑，且设计 模式仅仅局限于是对产品的形位坐标信息进行记录，约束消息并没有得到记录， 设计约束信息也将会遭到丢弃，显然，这样的c a d 系统已经无法满足制造业对 设计工作的需要。 自上世纪八十年代开始新一代的c a d 系统的研究以来，当前的c a d 技术 正在向四个方向发展，即集成化、标准化、网络化和智能化。p t c ( p a r a m e t r i o t e c h n o l o g yc o r p o r a t i o n ) 公司推出的以约束驱动为核心的特征参数化c a d 系统 p r o e 为代表，通过采用约束集成管理和人工智能专家系统等方面的研究成果， 可以建立较为完备的产品特征模型，以此来协同智能化的设计过程，并且能够 进行参数化的设计和变量化设计。基于约束的c a d 系统的参数化技术【6 1 ，是c a d 技术发展历史上的一次重大革命。 参数化技术的求解过程是首先记录模型的造型过程，然后通过重演造型过 程来改变参数，以此来得到设计者所需要的模型。参数化技术对那些标准化库 武汉理工大学硕- 上学位论文 的创建和有明确层次依赖关系的装配体设幸l - t - l 较适用。变量化技术相对于参数 化技术而言，它有很好地灵活性的特点。变量化技术约束的定义过程没有先后 之分，是陈述式的。它确定模型的几何形状和位置是通过求解约束方程来得到 的，参数的再生是不受设计过程限制的。 几何约束的管理和求解作为开发c a d 系统的核心技术，很多的研究机构和 大学对变量设计和参数化方式的c a d 系统开展了许多学术研究，提出了若干求 解方法，并开发出了一些原型系统，比如华中科技大学c a d 中心的几何约束求 解组件c b a b e n c h 7 ( c o n s t r a i n t sb r o a d c a s t i n ga u t o m a t i o nb e n c h ) ，中国科学院数 统科学院的数学机械化自动推理平台m m p 系统瞵j ，清华大学的几何建模核心系 统g e m s ( g e o m e m cm o d e l i n gs y s t e m ) 系统【9 】，理想的几何求解器，比如 a u t o d e s k 公司的c a d 软件，在国内相关的技术研发起步是比较晚，且开发的关 键算法也不是很理想，到现在为止理想的几何约束求解器的出现还是风毛菱角。 c a d 软件系统的关键技术之一是三维几何约束求解，三维几何约束求解技 术对装配的设计、装配求解序列的规划和求解，以及运动学仿真和分析等具有 重要的理论意义。因此为了提高三维几何约束求解的稳定性和效率，本文以三 维几何约束共性表达和解耦性方法为研究重点，提出一种以抽象的具有共性的 球体、盒体及球盒体统一表达三维几何实体模型，为高效的三维几何约束求解 器的实现提供了基础的理论。 1 2 国内外研究综述 几何约束在c a d c a m 工程应用中扮演着非常重要的角色，尤其是它公开的 一些特点对概念设计是很有帮助的。研究文献对几何约束求解的有许多归纳， 主要可以分为以下三种：基于规则的推理法、几何约束图分解法和变量几何法。 每一种方法有它自己典型的优点和缺点，在实际中，许多的方法都是异质性的， 这些方法在下面将给于的全面的评论。 变量几何法研究的数学基础是基于大规模的方程组求解策略，通过反复运 用数值迭代的方法求解这些大规模的非线性方程组，其中最著名的要数数值符 号法、n e w t o n r a p h s o n 方法和基于同伦的方法，其中g r 6 b n e r 的基础理论算法 和决策理论现在正在广泛的运用。g o s s a r d 1 0 j 在变量求解的层次上，是采用基于 二部图最大匹配的方法来成功地实现了大规模系统的分解。数值约束和符号求 解方法有它们各自的优缺点。符号方法计算的密度高，仅能解决非常小的问题， 2 武汉理工大学硕：学位论文 但是很灵活且可完成，这是因为对于约束方程可以设置所有的解。而数值方法 不稳定并且求解主要依靠初始点的重叠。这些方法的主要不足是仅能处理通用 的多项式方程，但没有采用几何领域的知识，导致了在实际运用中发展较慢。 另外，在维护概念设计的过程有它的缺点，因为一些设计的想法并没有考虑。 无论如何，符号技术和数值约束技术在约束求解阶段是不能缺少的。变量几何 法普适性强，但不利于系统模型的管理。 基于规则的约束推理方法的朴素思想是多数工程图可以用尺规附加量角器 来作图完成。其求解的方法是通过从已有的的已知约束关系中尽可能多地派生 出新的约束关系，以此来将约束图转化为可以构造的形式。用一些规则和谓词 来表征约束，适合所有约束的求解序列通过用重写的规则能够被产生。这种方 法能充分运用许多几何知识，并且它能过很灵活的为求解器拓展谓词库。基于 规则的几何约束推理求解的代表有d u f o u r d 】和a l d e f e l d 1 2 】和的方法。其方法是 通过采用基于符号推理和操作的专家系统，来建立一个规则化的体系，采用推 理机制对知识库进行规则的匹配，顺序的构造出整个模型图形。g a o 1 3 1 4 j 研究小 组引入圆锥曲线和圆锥曲面扩大了二、三维几何作图范围。基于规则的推理方 法的优点是具有处理规则库的扩展性好和几何关系的表达清晰，并且避免了数 值算法的不稳定性。该方法的缺点是，系统的求解速度慢、效率低，且循环约 束的处理能力不足。 g r a m e 一1 5 】提出了以刚体运动学为基础的几何约束系统的自由度分析方法， 对一般低阶连杆机构的分解和求解问题得到了较好地解决，但是并没有考虑高 阶杆组的较一般低阶的复杂的约束模式。陈立平【l6 j 采用基于几何约束系统求解 的的无向图表达，对几何约束系统所固有的串、并、耦并存的约束传播机制进 行深入的研究。提出规约体系的关键是简单规约集的组成，通过找出几何约束 系统最大规约集，采用规约操作的办法，将最大规约集分解从变量层次的表达 上升到几何实体层次的表达，使得几何约束系统的分解具备了较好的可解释性， 并且可以识别并求解出不可分解的复杂约束模式。 几何领域的相关知识为基于几何约束图构造法的约束求解方法提供了理论 基础。几何实体和约束由一个约束图来代替，约束图保持了一个模型的逻辑和 尺寸的关系。主要分为两个阶段：计划阶段和求解阶段。计划阶段目的在于将 整个系统分解为方程的小块的求解序列，求解阶段，也可称为构造阶段，顺着 前一个阶段给出求解序列和在每一块中用数值和符号，或者采用其他的一些方 法来计算出几何实体的空间坐标。基于图的求解方法中有两种类型的算法通常 武汉理工大学硕上学位论文 采用。第一种类型的算法，称为s r 的约束形状认知，专注于对已知形状的认知 特有的求解器子图，最普通的类型例如三角形。第二种是被称为m m 的类型， 这种类型是为了全面的最大化的匹配，它是基于首次孤立的某个可求解的子图， 通过将约束图转换为双向图来找到一个最大的通用求解匹配，然后通过分析图 的一个连通性来获得构造序列。所有的算法都是有效和健壮的。然而，s m 算法 的主要缺点是不能得到一个无限的通用的样式。在许多实例中，m m 算法通过 用大的，非最小的子图来输出构造序列，这些子图可能包含更小的求解子图。根 据分解形式的不同，几何约束图的构造法分为递归分割法和递归装配法。o w e n l l 在1 9 9 1 年首先提出递归分割法，其分解形式是自项向下的形式，方法是基于图 论知识首先求解约束图中关节点和连通图，然后采用宽度优先搜索和深度优先 搜索的算法得到约束图的求解序列，最后对序列采用求解线性方程组的方法来 求解。g 【1 8 】提出c t r e e ( c o n n e c t i v i t y - t r e e ) 的分解方法来分割几何约束图是通过 分析二、三维几何约束图的连通性来得到的。 递归装配法的分解形式是白底向上的形式。h o f f m a n n 和s i t h a r a m 1 9 - 2 3 j d , 组等 通过采用簇的概念，来提出基于图构造的d r - p l a n e r 新算法从而解决几何约束 的问题。我们可以这样解释簇的概念，在几何上，一个刚体就可以用一个簇来 表达。几何实体间的关系在簇内是确定的。实际上构造一个几何图形，等同于 把若干个小的刚体按照对应的规则顺序组合成一个大的刚体，可以将构造的算 法引入到三维几何约束系统中。 基于图论结合的几何知识在几何约束系统中广泛的应用，几何约束图的构 造法和基于自由度分析方法都是采用这样的求解方法。从总体上来说，求解的 方法是：把几何约束系统抽象为几何约束图，采用图论的知识通过构造规则来 得到求解步骤，按照求解步骤的顺序来求解，从而得到约束系统的解。国内一 些学者对该方法进行了较深入的研究。孟祥旭【2 4 l 等对图形的约束关系的表达采 用有向超图的方法，并将该方法应用于工程设计领域。董金祥f 2 5 j 以二维的绘图 为基础，对二维草图的约束求解序列进行规制，从而构造出参数化的几何约柬 绘图系统。李彦涛【2 6 1 等分析了三维几何约束系统，提出一种基于依赖分析和剪 枝规约的几何约束混合分解方法，对完全约束、过约束和欠约束的情况能够 高效求解，通过采用图论的递归搜索方法，识别所有的簇和冗余约束，使得几 何约束系统的最大分解。 由于三维几何约束构型的复杂性，几何约束图构造法和自由度分析的方法 并不能识别许多三维的构型，如“d o u b l eb a n a n a 构型。张桂芳【2 7 1 分析了三维几 4 武汉理工大学硕上学何论文 何约束系统所抽象出来的k 连通图，存在以下两种情况：当系统的连通度k 曼5 ， 则该系统仅含有点和平面两种几何关系；当系统的连通度ks7 ，则该系统含有 点、平面和直线，并提出采用d t r e e 的算法来分割三维几何约束系统。g a o 2 s i 给 出了求解二、三维几何约束系统问题的整体架构。对三维几何约束系统中的约 束问题进行了分析，将约束问题分为以下两种，即无循环约束和有循环约束。 对无循环约束问题的求解采用基于图的线性判定与解决算法( l i m 0 算法) 。对有 循环约束问题的求解思路采用有提出轨迹求交算法( l i m d 算法) 和几何变化法来 求解有循环约束的问题，并可以把有循环约束问题转换为无循环约束问题，简 化了求解过程，提高了求解效率。轨迹求交法的求解方法是一个比较通用的方 法，对于二、三维约束求解比较适用，但有两个缺点：( 1 ) 算法不具备共性，当 d 1 时，轨迹求交求解非常复杂；( 2 ) 通过采用图论的搜索算法，去除约束的时 间复杂度为o ( n d ) ；( 3 ) 驱动参数范围和步长没有进一步细化，导致求解效率低。 针对几何约束图不能识别不满足几何定理的构型，m i c h e l u c c i 2 9 】提出线性代数的 方法这一类问题，f a b r e i 加】提出构造和数值混合法求解三维不可分解的构型，但 对拆分算法和优化地选取去除约束未作深入研究。 几何约束系统的求解方法主要有三种，即数值法、符号法和几何推理的方 法，数值法【3 2 】包括牛顿拉普森迭代算法( n e w t o n r a p h s o ni t e r a t i v ea l g o r i t h m ) 、 优化法和同伦法，符号法【3 3 , 3 4 】包括基于行列式理论的结式法、吴方法和基于理想 多项式理论的g r o b n e r 基，该方法的求解效率低，计算时间和空间被大量消耗， 且采用该方法开发的系统的实时交互性低。k i m ”】和k u m a i 3 6 】研究了三维装配可 构造构型的求解方法。从几何约束求解的发展趋势看，将构造法和数值法两种 求解方法结合起来应用是几何约束求解的趋势。 1 3 课题研究的目的及技术路线 几何约束求解技术是人工智能的一个分支，其应用广泛，是二次参数化和 变量设计、三维建模、加工、装配设计、运动学仿真和虚拟现实技术的关键或 部分核心技术，在多个领域产生了巨大的经济和社会效益，比如机械、电子、 轻纺产品、建筑、电影、动画、广告和娱乐等领域。 几何约束系统求解的思想是依据一定的求解算法将一个大系统分解为若干 个规模小的、可求解的子系统。几何约束系统的求解方法分为变量几何法、基 于规则的推理方法和基于几何约束图的分解方法。基于几何约束图的分解方法 5 武汉理工大学硕上学位论文 是当今求解几何约束系统的主要算法。分析国内外学者研究文献，可归结为( 1 ) 重几何约束系统的分解，轻几何约束的表达方法；( 2 ) 由于三维几何约束系统求 解的难度和复杂度高，使得二维几何约束求解方法研究多，而三维几何约束求 解的研究比较少。所以，几何约束系统的求解还存在着较多的问题：( 1 ) 几何约 束系统表达比较复杂且简洁性不够，原因在于几何实体和几何约束的多样性。( 2 ) 由于几何约束系统表达简洁性不够，导致几何约束图分解算法的普适性不够， 分解后的求解序列几何解释性和可操作性差，构造的模式复杂多样。( 3 ) 鉴于三 维几何约束系统的复杂性，导致高维的数值求解，而符号求解的指数级复杂度， 不适合交互式的三维系统。 考察几何约束求解应用广泛的c a d 领域，三维装配虽然能够处理一般的装 配问题，但是，可提供的工程约束数量较少，在大规模装配过程中，智能化不 够，很多时候需要用户交互才能够求解，这即使对于具有很强专业背景的工程 人员来说，有时候也不知所措，因为用户交互时，无法确定应该拖动到那些位 置才能够正确求解。 几何约束系统中几何约束的三维实体空间方位关系的满足是三维几何约束 求解的目的。在三维空间中，实体的方位是由姿态和位置来确定，姿态可以定 义为实体在空间中的方向，位置定义为实体在空间中所处的位置，三维的工程 约束种类形式很多，可归纳为角度约束和距离约束。在三维空间中转动几何实 体，可以引起姿态和位置的变化，即导致角度和距离约束的变化，而移动几何 实体只可以引起位置的变化，即导致距离约束的变化，冈此，产生一个朴素的 思想：假如三维姿态约束和位置约束之间存在约束的可解耦性，那么三维几何 实体的姿态和位置可以进行约束的匹配，可以对几何实体的姿态先进行确定， 其次对几何实体的位置进行确定，所以，三维几何实体的方位关系可以分解为 姿态和位置来单独进行求解，系统的求解规模降低，求解效率得到提高。拟从 以下几个方面来进行算法的研究： ( 1 ) 几何约束系统的共性表达。三维几何实体采用何种方式，可以用不多的共性 模式表达，如何表达几何实体的姿态约束和位置约束之间的关系问题，使得 几何约束求解更高效。 ( 2 ) 那些构型具有姿态和位置的解耦性，如何高效求解可解耦构型。 ( 3 ) 采用何种办法，降低不可解耦的构型的求解规模。 本论文研究了三维几何约束姿态约束和位置约束的可解耦性，建立了三维 几何约束系统的共性表达，探索可解耦构型的求解策略，建立三维几何约束系 6 武汉理工大学硕上学位论文 统求解的统一表达理论及求解技术体系，为三维几何约束系统的求解提供了基 础的理论。本文的研究工作得到国家自然科学基金“三维几何约束共性表达和 求解方法研究”( 编号：5 0 9 0 5 1 3 2 ) 的资助。 1 4 本文内容综述及组织结构 1 4 1 本文内容综述 本文的研究是基于欧拉参数对几何实体的基本约束表达的基础上展开的， 研究了几何约束系统的模型表达问题。通过对三维几何实体姿态约束和位置约 束解耦性的分析，抽象出三种基本几何实体，即球体、盒体和球盒体来表达空 间几何实体，三维几何约束系统中的复合约束采用基本约束的组合来表达，形 成几何约束模型特有的层次结构；并用无向图管理几何约束系统，可以清晰地 反映姿态约束和位置约束的解耦性，有利于冗余约束的判定。为克服现有结构 分解方法的缺点，通过充分挖掘三维几何领域知识，分析几何约束系统的内在 等价性，基于几何约束图的分析，提出了三维几何约束系统的等价性分析方法。 本文的求解方法在原型系统w h u t v a s 中得到实现。 1 4 2 本文的组织结构 本文以几何约束系统的统一共性表达为基础，形成了三维几何约束的表达 层，拓宽了几何约束系统的求解，以此为研究基础，较详细的研究了几何约束 系统中的若干成果，本文的组织结构如图1 1 所示。 7 武汉理工大学硕上学位论文 第一章 绪论 蓁系统的竺丝隹坌步一 i i 束系统的等价性分析! ： 二二二i 二二二一 i 堕竺鬻窒星塞l j j 支二一 k 嚣；星芝j 图1 1 本文的组织结构图 本文的主要内容归纳为以下6 章。第l 章绪论简述课题提出的来源及意义， 对该相关领域的国内外现状进行了综述以及本文的研究工作和论文的整体结 构；第2 章着重阐述了几何约束的基本表达以及三维几何约束系统的统一建模： 第3 章分析了三维几何约束的解耦性，研究了姿态约束和位置约束的可解耦性， 采用球面几何的方法对其分析；第4 章分析几何约束系统的内在等价性，结合 几何约束图的分析方法，提出了三维几何约束系统的等价性分析方法。第5 章 原型系统的实现与应用实例；第6 章是全文的总结和提出本课题研究工作进一 步展望的几个方面。 1 5 本章小结 本章首先通过追溯c a d 技术的发展历史和系统阐述了几何约束求解技术的 研究现况，提出了本课题：然后结合国内外相关技术的研究给出了本课题的研 究技术路线和研究的目的；最后给出了本文的主要内容综述及本文的整体架构。 8 武汉理工大学硕上学何论文 第2 章三维几何约束和几何实体的共性表达 2 1 引言 在三维几何约束系统中，三维几何实体的共性表达是实现三维几何约束系 统求解的基础。然而，几何实体之间的约束关系是非常复杂和难以求解的，虽 然求解的方法比较多，但是在实际工程运用中却难以实现，建立三维几何实体 的共性表达和模型的建立，是实现几何系统统一建模的关键。几何约束系统的 模型建立、管理、维护、分析和求解几何约束系统的基础。对于三维几何约束 系统的研究，g o s s a r d d 、组采用参数变量来表达几何实体，而三维几何约束系统 用非线性方程组来表达，由于需要进行数值迭代，对初始图形有一定的要求， 具有一定的局限性，并且几何约束的代数研究在几何概念层次上丢失信息过多。 基于图论的方法表达几何约束系统，对于二维和三维空间的几何实体和相关的 几何约束，具有很好的拓展性和可解释性，着重于表达层面的抽象，但是却没 有分析几何实体的多样性的表达。彭小波【3 刀提出基于欧拉参数来实现几何实体 的统一表达，首次将几何约束问题和刚体系统动力学问题结合起来，但是欧拉 参数在几何实体的表达上具有一定的可解耦性。本章通过基于欧拉参数表达而 拓展到基本几何实体，以实现三维几何实体和约束的共性表达，三维空间几何 实体的表达可以通过抽象出的球体、盒体和球盒体三种基本几何实体来表达， 并分析三维几何实体解耦性，在无向图上清晰地表达几何约束实体。 2 2 几何约束在工程设计中的介绍 工程设计中的几何问题是非常复杂且样式多样，但究其本质来说，研究的 几何问题都是实体间的形位关系。这样的问题是有其共同点的。对于一般工程 设计的几何约束系统来说，几何约束系统中的约束可以划分为以下形式，如图 2 1 所示： 9 武汉理工大学硕上学位论文 f 约束 f 私- 嘲 l 一一一j ，r - r p - 一_ 一习 几何约束 j工程约束 已。j k z 。一 7 、 ， 、 。，。 髟”r 1 1 ? 一1 1 l ，结构约束 | 尺寸约束 i 跹二l 一一* j 1 1 + i 一一：。! j 图2 1 约束的划分 几何约束反映了几何实体在空间中的姿态和位置的关系，它是几何元素之 间所固有的约束关系。工程约束是为了保证设计的质量而设计对象的特征和几 何尺寸必须达到的规范。工程约束一般用来表达设计人员对设计模型高层次的 要求。实际应用过程中，工程约束常表现为约束方程组的形式。 例如，在减速器箱体设计中，要求箱体厚度不能小于某给定值。又如，在 一对直齿圆柱齿轮外啮合传动模型中，在进行接触疲劳强度设计时，要满足最 大接触应力小于许用接触应力，其几何尺寸与承受的载荷要满足： 仃日= z ，z z s 、2 k 6 t d ( 2 a - 1 ) 盯，p 。其中，z 为节点域系数，z e 为材料系数， 乙为重合度系数，k 为载荷系数，r 为传递的转矩，为齿数比，b 为齿宽，d 为齿轮直径，盯胛为许用接触应力。工程约束关心的是设计的功能要求，为概念 化的设计提供了方便。 几何约束分为两种形式：尺寸约束和结构约束。尺寸约束是图上的标注而1 表示的约束，比如角度和距离等。结构约束反映几何元素之间的相对位置和连 接方式，是几何元素之间的拓扑结构关系。工程图中的尺寸标注是提供了修改 几何形体的合适的方式。 尺寸约束和结构约束可以用以下形式进行表达： c = 【t ，q ，d 2 ，y ) ( 2 1 ) 其中：c 表示约束，r 表示约束的类型，d i ，d 2 分别表示约束的对象，v 表 示约束大小。 几何约束系统中有几个常用的概念： 【定义2 1 】在几何空间中没有受到约束的几何元素、几何实体或者机械系 统的位置所需要的最少广义坐标数，称为自由度，记为d o f ( d e g r e eo f f r e e d o m ) 。 比如点在二维空间中自由度为2 ，而点在三维空间中的自由度是3 。刚体在 1 0 武汉理工大学硕上学何论文 二维空间中自由度为3 ，而刚体在三维空间中的自由度是6 。在三维空间中，自 由度可分为旋转自由度r d o f ( r o t a t i o nd o f ) 和平移自由度( t r a n s l a t i o nd o f ) 。在 三维空间中几何实体的自由度如表2 1 所示。 表2 1 三维空间中几何实体的自由度 d o f d o f 几何实体几何实体 t d o fr d o f t d o fr d o f 点3o柱面 22 直线22球面 30 平面l2刚体33 【定义2 2 】在三维几何空间中，一个约束减少的几何元素、几何实体或者 机械系统的自由度数，称为该约束的约束度，记为d o c ( d e g r e eo f c o n s t r a i n t ) 。 约束度表示的是几何约束对几何实体之间相互关系的约束程度。约束度也 可以分为旋转约束度r d o f 和平移约束度t d o c 。如表2 2 所示。 表2 2 三维几何约束的约束度 约束类型 t d o cr d o c 约束类砸 t d o cr d o c 两点重合30两平面平行o l 两点距离 30 两平面平行距离l 1 点剑直线距离 2 0 两平面夹角 0 1 两直线平行 o2 平面与柱面相切 l0 两! 直线距离 22 平面与球面相切 l 0 两直线夹角 ol 柱面与柱面相切 l0 直线平面平行 0l 柱面与球面相切 l0 直线平面距离 ll 球面与球面相切l o 2 2 1 几何约束在二维空间中的表达 在二维空间中，二维图形的基本几何元素有点、线和圆。常见的几何约束 有以下两种情况，即一元约束和二元约束，一元约束表示几何元素两两之间的 位置关系，二元约束表示绝对的约束，比如一固定点尸( k ，y n ) 可以表示成： c 。= f i x e d x ( p ，x o ) ，c ，= f i x e d y ( p ，y 。) 。当然也存在多元约束，比如对称约 束：c = s y m p p l ( p , ，只，l ) 。较复杂的是两两间的约束，例如两线段的等长约 束：p 卜p 2 是线段l i 的两端点，p 3 、p 4 是线段l 2 的两端点，由于在基本几何元素 武汉理工大学硕上学位论文 中是不存在线段的，所以，两线段之问的等长约束不能用二元约束表示。我们 可以用两线段的端点来表示：c = e q u a l l e n ( ( p 。，只) ，( 只，只l d ) 。其中d 表示为 l l 或者l 2 的长度。二维几何中的一些约束形式如表2 3 所示。 表2 3 二维几何中的一些约束示例 约束名 约束表达 约束度约束名约束表达约束度 点点距离d i s t p p ( 鼻，只，d ) l 线线距离 d i s t l l 犯。，l ：，d ) l 点线距离d i s t p l ，l ，d ) l 线线垂苴p e r l l 乜。，l ：) l 点在线上 p n t o n l i n e ( 只，l ) l 线线夹角a n g l l ( 厶，：，a ) l 点在圆上 p n t o n c i r c l e ( p i ，c ) l 线圆相切t a n l c ( ，c ) l 线线平行p a r l l 乜。三：) l 圆圆相切 t a n c c ( c ，c 2 ) l 圆半径r a d c ( c ，- ) 1 从表2 3 我们可以得出，即使是二维几何的约束其形式也是很多种的。几何 分为可以分为以下两种形式，即距离约束和角度约束两类。表2 3 中所列举的约 束，除了圆半径约束以外，都可以采用角度约束或者距离约束来替代，比如圆 圆相切的另外一种表达方式，可采用点在线上来表达，两圆相切的切点p l 在两圆 圆心连线的的直线l 上，可表示为c = p n t o n l i n e ( p i ，l ) 。 2 2 2 三维几何实体中的几何约束 三维几何实体的形式要比二维空间多，三维空间的约束关系也比- i 维空间 复杂的多。它包含了二维约束的所有形式。三维空间的基本几何元素有点、线、 面和球体等形式。表2 4 给出了几种典型三维几何约束关系。 表2 4 三维几何中的约束示例 约束名 约束表达 约束度约束名 约束表达 约束度 共点c o p p ( 只，只) 3 线线距离d i s t l l ( l ，工2 。d ) 3 共轴c o l l ( 只，：) 4 线面距离 d i s t l fq 。，f ，土d )2 共面c o f f ( f ，e ，1 ) 3 面面距