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蒋小风两步多重分裂方法的收敛性 中文摘要 在自然科学和工程计算等众多领域中，常常会遇到微分方程初、边值问题，然而只有 很少一部分十分简单的微分方程能够求得其解析解对于实际问题中的那些复杂微分方 程，如椭圆型、抛物型或双曲型方程，我们就必须求出该方程的解或在某些离散点上的函 数值，即通常考虑求解该微分方程的数值解而在利用差分方法逼近椭圆型方程边值问题 的数值解时，最终归结为求解大型稀疏线性方程组的问题我们知道，线性方程组的解法 有直接法和迭代法两种，而差分格式产生的大型线性方程组的系数矩阵中非零元素占的比 例小，分布有规律，且用迭代法程序实现较简单，还能节省计算机存储空间，所以迭代法 是解椭圆型差分方程极为重要的方法由于是大型稀疏矩阵，所以在求解线性方程组时如 何选取一个简单易行且收敛的迭代方法极其重要，只有收敛的迭代方法才具有现实意义， 而本文正是讨论了当前研究热度高的两步多重分裂迭代法的收敛性条件 j a eh c o n y u n 在文献【l 】中讨论了用一个h - 相容分裂作为外分裂，再用a o r 多重分裂 或s s o r 多重分裂作为内分裂的两步多重分裂方法的收敛性，探讨了此种方法收敛的充分 条件而本文则先定义了比a o r 多重分裂更为一般的t o r 多重分裂，接着讨论了两步 t o r 多重分裂的收敛性，并给出了相应的理论证明，接着证明了a o r 多重分裂即为t o r 多重分裂的特殊情况，于是推出了文献【1 】所讨论的两步a o r 多重分裂方法的收敛结论， 并得到了一系列新的推论此外，j a eh c o ny u n 在文献 1 】1 讨论了在0 y c o 且 0 t o 2 ( 1 + 口) ( 其中国是迭代方法的松弛因子，厂是迭代方法的加速因子) 的条件下两 步a o r 多重分裂方法的收敛性而本文则探讨了在0 缈7 的条件下两步a o r 多重分裂 方法的收敛性，并给出了两步a o r 多重分裂方法收敛的前提条件 本文不仅将两步a o r 多重分裂方法推广到了两步t o r 多重分裂方法，还将两步a o r 多重分裂方法的收敛条件中的0 ，国拓展到了0 功的情况，从而扩大了两步多重分 扬州人学硕士学位论文 2 裂方法的使用范围，因此对从事数值计算方面的学者或研究人员来说具有一定的参考价值 和实际应用价值，在当前讨论热度较高的多重分裂迭代法收敛性现有结论的改进与发展上 也具有重要意义 关键词：两步多重分裂；t o r 多重分裂；a o r 多重分裂；h 矩阵；收敛性 蒋小风两步多重分裂方法的收敛性 a b s t r a c t i nm a n yf i e l d so fn a t u r a ls c i e n c ea n de n g i n e e r i n gs c i e n c e ，w ew i l le n c o u n t e r i n i t i a lv a l u ea n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b u to n l yav e r y f e ws i m p l ee q u a t i o n sw h o s ea n a l y t i c a ls o l u t i o nc a nb ee x p r e s s e d h o w e v e rs i n c e t h o s ep r a c t i c a lp r o b l e m sa r ec o m p l i c a t e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s u c ha se l l i p t i c ， p a r a b o l i ca n dh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ，w es h o u l df i n do u tt h es o l u t i o nt ot h e s e e q u a t i o n so rt h ev a l u e so ft h ef u n c t i o na tt h ed i s c r e t ep o i n t s ，w el o o kf o rt h e n u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 谬西翱w es e e kt h en u m e r i c a l s o l u t i o no ft h ee l l i p t i cb o u n d a r yv a l u eb yu s i n gt h ed i f f e r e n t i a lm e t h o df o rt h e s o l u t i o n s ，i tc o m e sd o w nt os o l v i n gl a r g es p a r s el i n e a rs y s t e mf i n a l l y a sw ek n o w ， t h em e t h o d so fs o l v i n gl i n e a rs y s t e mi n c l u d ed i r e c ta n di t e r a t i v em e t h o d ，a n dt h e p r o p o r t i o n a lo fn o n z e r o e l e m e n t so ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i xg e n e r a t e db yt h e l a r g es p a r s el i n e a rs y s t e mi ss m a l la n dt h e r ei sg r e a tr e g u l a r i t yi nt h ed i s t r i b u t i o n a m o n gt h e m t h ei t e r a t i v em e t h o di sn o to n l ye a s yt ob ec a r r i e do u t ，b u ta l s os a v e s t h ec o m p u t e rm e m o r ys t o r a g e ，s ot h ei t e r a t i v em e t h o di sa ni m p o r t a n tw a yt os o l v e t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a sf o ral a r g es p a r s em a t r i x ，t h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h e s e l e c t e di t e r a t i v em e t h o d st os o l v el i n e a rs y s t e mi se x t r e m e l yi m p o r t a n t ，a n dt h e r e i so n l yt h ec o n v e r g e n ti t e r a t i v em e t h o d sw o r kf o rt h ep r a c t i c a lp u r p o s e i nt h i s p a p e rw es t u d yt h ec o n v e r g e n c ec o n d i t i o no ft h et w o s t a g em u l t i s p l i t t i n gm e t h o d w h i c hi sn o wd i s c u s s e da r d e n t l y i nr e f e r e n c e 1 ，j a eh e o ny u nc o n s i d e r e dt h ec o n v e r g e n c eo ft w o s t a g e m u l t i s p l i a i n gm e t h o du s i n gh c o m p a t i b l es p l i t t i n g a so u t e rs p l i r i n ga n da o r s p l i t t i n go rs s o rs p l i t t i n ga si n n e rs p l i t t i n g ，a n dh ed i s c u s s e dt h ec o n v e r g e n c e 扬州人学硕士学位论文 4 c o n d i t i o n so ft h i sm e t h o d i nt h i sp a p e r , f i r s t l yw ep r e s e n tt h ed e f i n i t i o no ft h et o r m u l t i s p l i t t i n gm e t h o dw h oi s m o r eg e n e r a lt h a nt h a to ft h ea o r m u l t i s p l i t t i n g m e t h o d ，s e c o n d l yw ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo f t h et o r m u l t i s p l i t t i n gm e t h o da n d g i v e t h e c o r r e s p o n d i n g t h e o r e t i cp r o o t h i r d l yw ep r o v et h a tt h ea o r m u l t i s p l i t t i n g i st h es p e c i a lc a s eo ft h et o rm u l t i s p l i t t i n g ，s ow eg e tt h e c o n v e r g e n c et h e o r e mo ft h ea o rm u l f i s p l i t t i n gw h i c hd i s c u s s e di nr e f e r e n c e 1 】， a n dw ed e d u c eal o to fn e wc o r o l l a r i e s f u r t h e rm o r e ，i nr e f e r e n c e 1 】j a eh e o n y u nd i s c u s s e d c o n v e r g e n c e o ft h e t w o s t a g e a o rm u l t i s p l i t t i n gu n d e rt h e c o n d i t i o n so f0 厂功a n d0 西 2 ( 1 + a ) ( r o i st h er e l a x i n gp a r a m e t e ro fi t e r a t i v e m e t h o d , 7 i st h e a c c e l e r a t i n gp a r a m e t e r ) ，h o w e v e r h e r ew ed i s c u s st h e c o n v e r g e n c eo ft h i s m e t h o du n d e rt h e0 国yc o n d i t i o n ，a n df i n do u tt h e p r e c o n d i t i o no ft h ec o n v e r g e n c e w en o to n l ye x t e n dt h ea o r m u l t i s p l i t t i n gm e t h o d t ot o r m u l t i s p l i t t i n gb u t a l s os p r e a dt h ec o n d i t i o n0 o l o 年r 月y 日 蒋小风两步多重分裂方法的收敛性 1 引言 随着计算机的出现和飞速发展，在各门自然科学和工程技术科学的发展中，科学计算 已经成为平行于理论分析和科学试验的第三种科学手段数值计算是科学计算中的一个必 不可少的环节，而在数值计算中，一类很重要的问题就是线性方程组的求解我们知道， 在科学技术的许多领域中，都会遇到常微分方程初值问题，然而只有很少的十分简单的微 分方程能够用初等方法求解，而对于一部分的微分方程我们可以用差分方法，如利用差分 方法解椭圆型方程边值问题，而且解决此问题最终又归结为解大型线性代数方程组的问 题 众所周知，线性方程组的解法有直接法和迭代法两种，直到2 0 世纪6 0 年代初，迭代 法一直是解椭圆型差分方程的主要方法，因为由椭圆型微分方程得到的差分格式大型线性 方程组，且此线性方程组的系数矩阵中非零元素占的比例小，分布很有规律性，迭代法程 序实现比较简单，迭代过程能自动校正计算过程的偶然误差，要求计算机的存储量相对比 较少对于阶数不太高的线性方程组，用直接法比较有效，如果系数矩阵为无规律的大型 稀疏矩阵( 即矩阵中非零元素很少) ，直接法就很难克服存储问题而在求解线性方程组的 许多实际问题中，尤其在偏微分方程的差分方法与有限元方法求解问题之中，方程具有重 要的特征，一是多为大型稀疏矩阵；二是满足一些条件如对称正定、对角占优等，这使迭 代法得到广泛的应用然而，1 9 6 8 年，g u s t a v s o n 等研究表明，对系数矩阵为稀疏矩阵的 情况，直接法也非常有用，尽管如此，迭代法仍旧是解椭圆型差分方程极为重要的方法 设q 是x o y 平面中的具有边界a q 的一个有界区域，考虑如下椭圆型的差分解法： 如力窘+ 2 川茜州训，争= 地削，罢，争， ，) 其中，系数a ( x ，y ) ，b ( x ，y ) ，c 瓴y ) 满足 b 2 一a c 0 为了简便，我们考虑用差分方程解下列l a p l a c e 方程： 哥0 2 u + 窘一- - ，( 训脚 设q 为正方形区域，0 x 1 ，0 y o ， f - 1 ，2 ，雄，则称4 为l 广矩阵；若4 可逆且彳一1 0 ，则称4 为m 一矩阵另一方面，a 的 比较矩阵定义为 = j 5 c 脚，其中m 。= k l ，扰f - - 4 口f l ，f ，i = 1 ，2 ，z ；若 a c 脚的比较矩阵( 4 ) 为m 矩阵，则称 彳为h 矩阵 设4 为非奇异的挖，l 实矩阵，m ，m ，e r 删，i = 1 , 2 ，口，满足下列条件： ( 1 ) a = m f 一f ，i = 1 ，2 ，口； ( 2 ) m f 非奇异i = l 2 ，口： ( 3 ) 妻目= i ( ，l 刀阶单位矩阵) 1 * l 则称三元素集( m ，m ，e ) i - - - 1 ，2 ，口为矩阵么的多重分裂 我们考虑用两步多重分裂的方法来求解以下形式的线性方程组： 允乒6 ， ( 2 1 ) 其中彳e r 一为一个大型稀疏h 矩阵，工，ber “，两步多重分裂方法是用a = m 。一以作 为外分裂，并用m 。= 色一g 作为内分裂，其中三元素集( m t ，t ，b ) ，七= 1 ，2 ，z ， 是a 的一个多重分裂两步多重分裂方法的迭代算法如下嘣1 ： 算法1 ：两步多重分裂方法 给定初始向量 f o ri = 1 ，2 ， f o rk = 1t o ， y t o 。j c 卜l f o rj = 1t oj b k y k j = c k y k i 卜、七nk x i 。+ b 蒋小风两步多重分裂方法的收敛性 ， x i = e t y | k = l 定义2 1 【2 7 1 矩阵分裂么：m 一称为 ( 1 ) g a u s s s e i d e l 分裂，如果m = d 一，n = u ； ( 2 ) m 分裂，如果m 为非奇异的m 矩阵，且n 0 ； ( 3 ) 弱正则分裂，如果m 一1 存在，f 1 m 。1 0 ，m q n 0 ： ( 4 ) 正则分裂，蝴m e ：m 一1 存在，r m 。0 ，0 引理2 2 【2 8 1 若4 = m n 为弱正则分裂，则a 一1 o 当且仅当p ( m 一1 忉 1 引理2 3 1 若彳一1 0 ，三元组似t ，m ，e k ) k = 1 , 2 ，为彳的一个多重分裂， 当外分裂a = m 。一m 为正则分裂且内分裂帆= 最一q 为弱正则分裂时，对于任意初始向 t x o ，算法1 收敛到线性方程组a x = 多的准确解 引理2 4 若么为h 一矩阵，三元组( m 。，以，玩) k = l ，2 ，为彳的一个多重 分裂，则当外分裂彳j m 。一m 和内分裂m k = b g 均为h - 相容分裂时，对于任意初始向 量x 。，算法1 收敛到线性方程组a x = b 的准确解 引理2 5 阱1 若彳为h 矩阵，则p 一1 i 定义2 6 ( 玎设o 0 ，厂 0 ，a = d l l 一l 2 i u t ，k = l ，2 ，其中d = d i a g ( a ) ， 厶 、三：。均为严格下三角矩阵，为一般矩阵若三元组( m 女，眠，e k ) k = 1 , 2 ，为 a 的一个多重分裂，若m 。( 国) = ( d 一肛。 疗1 4 - 1 ， 扬州大学硕士学位论文 1 2 一鸣。) ， m ( 缈) = i 万1 ( 1 - g - c o ) 。+ ( y + 缈) u k + 鸥t + 皿z t ，则三元组 i ，m ，最) k = 1 , 2 ，称为a 的t o r 多重分裂； 在算法1 中，若用一重外分裂a = m n ，多重内分裂m = 取一g ， k = i ，2 ，z ，则 y k j = b i l c k y k 。i - l + b _ n i x t + b i b ，j = l 。2 ，s 。 因为x i = 艺b y b ，则五= 皿薯一；+ 6 ，其中日，、只的表达式如下： k = l 皿=圭b(曰c+i晟lf舌$-1k=l k - 1( 召；1 q ) ) 巧1 ， ，兰o 蠢= k 圭- i 啦k j , o ( 簟j ) 砖 只= 巨l ( 何q ) ji 硝 ， 对任意的s 1 ，我们称h ，为s 次内迭代的两步多重分裂方法的迭代矩阵显然， 对于任意的初始向量矗和任意的s 1 ，用两步多重分裂方法求解线性方程组出= 6 时其收 敛的充要条件为夕( 皿) = i 叫，i 厶：卜i 厶量卜j i ，量= 1 ，2 ，则当厂 o ，c a 0 ，f 1 o 彩+ 7 2 ( 1 + a ) b e $ ， 对于任意的初始向量x 。和任意的s 1 ，用一重外分裂彳= m 一和多重内分裂 m = 风( 厂，c o ) 一g ( 7 ，c o ) ，k = l ，2 ，一，的。两步t o r 多重分裂方法是收敛的，其中 口= p ( i d i - 1 ( i 曰l + i 卅) ) 证明：令r ( ，) = 慨( ，国) ) - 1 q ( ，缈) ，则 皿( y , c o ) = 荟l 巨( 咒( 7 ，国) ) 5 + i 巨l f f $ - i z ( r 。( 以国) ) 7 ) ( b k k = l i = 0 ( 7 ，国) ) - 1 皿( ) = 巨( 咒( 7 ，国) ) 5 + 巨l。( 厂，国) ) i ( 7 ，国) ) - 1 七= i 首先考虑0 = 吲一i - k 。i - l u 。i ，则 ( & ( 加) ) = 专( i d i _ y 叫一缈呦， ( 3 1 ) l g ( 厂，力) i = i 与1 ( 1 一y 一国) 蚓+ + y ) l 玑i + 缈阢t i + y l z t l 】 ( 3 2 ) 由( 3 1 ) 、( 3 2 ) 两式可得( m ) = ( 坟( 厂，国) ) 一f q ( 7 ，国) l ，k = l ，2 ，则对每个k ， m = 圾( 7 ，缈) 一e ( 厂，缈) 为m 的一个h - 相容分裂，由假设可知a = m n 也为a 的一个 h 一相容分裂，则由引理2 4 可得p ( 皿) 1 ，即两步t o r 多重分裂方法为收敛的 扬州人学硕士学位论文 冉让明0 口 - - 0 ，n p = i o l - 1 + i n l ) 为弱正则分裂，又因为( 彳) 一1 o ，则由引理2 2 可得口= p ( i d i 。1 ( 例+ i 卅) ) l ，则o 口 1 由上可知0 口 1 ，所以1 2 ，所以接下来讨论1 y + c o 一i c 。( 厂，国) i ，贝i j 衍= 弓字i d | _ i l , k | _ i 岛。i 一刚 = 警i d i 城 因为t 舢 鬲2 ，所以东南l d r 狐除。，毗髓= 等笋b i 南衍 的正则分裂 因为1 y + 0 3 ，所以 口+ i p ( 赫i 。l - 1 l b i ) p ( 赫i d l 。1 ( i b l + i 卅) ) 。赫口 1 ， 再由引理2 2 可得詹为m 矩阵 令j = 衍一i l ，则j = 警l d | 一( 例+ i 卅) ，显然此分裂为j 的一个收敛的正则 分裂，从而五也是一个m 矩阵 令忘( y ，奶= ( 反( 7 ，砷) 一i q ( r ，圳，且 膏，(7，)=圭(r。(7，缈)+圭巨(蓑。(y，缈)(色(厂，)1iico e k e(rk=l k = l ， 冉，( 7 ，) = ( r t ( 7 ，缈) ) + 巨i。( y ，缈) ) 。i ( 色( 厂，) ) 1 ， ，霉o 易证岛( y ，国) 为h 一矩阵，由引理2 5 可得i ( 吼( 7 ，缈) ) 一1i ( 毋( y ，国) ) ，从而 l r k ( y ，缈) l 忘( ，c o ) ，所以 蒋小风两步多重分裂方法的收敛性 l 皿( 厂，c o ) i 豇( 厂，c o ) ( 3 3 ) 因为j = 旃一i 卅，矗= ( 最( 7 ，彩) ) 一i c 。( r ，国) i 均为正则分裂，且五o ，则由引理2 3 可得p ( 反( y ，国) ) 1 由( 3 3 ) 式可得当且1 国 0 ，ro y + 国 0 ，于是我们可以得到定理3 1 关于两步a o r 多重分裂方法收敛性的定理： 定理3 2 若彳r “为一个h 矩阵，a = m n 为矩阵a 的一个h - 相容分裂， 令m ：d b ：d l k u k ( 1 后，) ，其中d ：讲口g ( m ) ，l k 为严格下三角矩阵，u k 为 一般形式矩阵，若( 肘。，n k ，e k ) 尼= 1 , 2 ，为m 的a o r 多重分裂，且 ( m ) = i d | 一k l _ f u 女i ，k = 1 ，2 ，则当0 y 彩时，且0 = i d i k i - i 吼l ，k = 1 ，2 ，i j 则当o 国 = 蚓一k i - l 巩l ，k = 1 ，2 ，则对任意的初始向量和任意的j 1 ，用一重外分 裂a = m 一和多重内分裂m = b k q ，k = 1 , 2 ，的两步g a u s s s e i d e l 多重分裂方法是 收敛的 当线性方程组的系数矩阵a 为m 矩阵，且a = m n 为彳的一个m 分裂时， 则a 一1 o ，m - 1 0 ，0 ，所以4 为h 一矩阵且 0 ，彩0 ，r o c o 2 ( 1 + 口) 时，对 于任意的初始向量x 。和任意的s 1 ，用一重外分裂a = m 一和多重内分裂 m = 暖( 7 ，缈) 一q ( 厂，缈) ，k = 1 , 2 ，的两步t o r 多重分裂方法是收敛的，其中 口= p ( 1 d i _ ( 例+ i 卅) ) 推论3 6 若a r 棚为一个m 矩阵，彳= m 一为矩阵彳的一个m 一分裂，令 m = d - b = d t 一以( 1 k ，) ，其中d = d i a g ( m ) ，l k 均为严格下三角矩阵，u i 均 为一般形式矩阵，若泓女，m ，e k ) k = 1 , 2 ，为m 的a o r 多重分裂，且 ( = 例一阪i - 1 l ，毛= 1 _ 2 ：7 则当0 ) ，缈时，ro 国 2 ( 1 + a ) 时：对于任意 的初始向量和任意的j 1 ，用一重外分裂a = m 一和多重内分裂 m = 反( 7 ，c o ) - g ( 厂，c o ) ，k = l ，2 p 1p ，的两步a o r 多重分裂方法是收敛的，其中 傀= p ( 1 d 。1 ( i 曰i + l 卅) ) 、推。论3 7 若a r 为一个m 矩阵，么= m 一为矩阵彳的一个m 分裂，令 m = d - b = d 一厶一以( 1 七，) ，其中d = d i a g ( m ) ，l k 均为严格下三角矩阵，以均 为一般形式矩阵，若似七，m ，瓦) k = 1 , 2 ，为m 的s o r 多重分裂，且 = i d i - i l k i - i u 。i ，k = 1 ，2 ，z 则当o 2 ( 1 + a ) 时，对于任意的初始向量x 。和 任意的s 1 ，用一重外分裂a = m 一和多重内分裂m = b 。( c o ) - c k ( 缈) ，k = 1 , 2 ，的 两步s o r 多重分裂方法是收敛的，其中口= p ( i d i 卅( 蚓+ i 卅) ) 推论3 8 若a r 为一个h 矩阵，a = m n 为矩阵a 的一个h 相容分裂， 令m = d - b = d 一厶一u k ( 1 k ，) ，其中d = d i a g ( m ) ，l 均为严格下三角矩阵，玑均 为一般形式矩阵，若( m t ，札，e k ) k = 1 , 2 ，为m 的g a u s s - s e i d e l 多重分裂，且 ( m ) = i d i k l i 以i ，k = 1 ，2 ，j 则对任意的初始向量和任意的s 1 ，用一重外分 裂4 = m 一和多重内分裂m = b 一c k ，k = 1 , 2 ，的两步g a u s s s e i d e l 多重分裂方法是 扬州人学硕士学位论文 收敛的 由以上讨论可知：在相同条件下，当两步t o r 多重分裂方法收敛时，两步a o r 多重 分裂方法、两步s o r 多重分裂方法、两步g a u s s s e i d e l 多重分裂方法都是收敛的 蒋小风两步多重分裂方法的收敛性 4 两步a o r 多重分裂方法收敛性的拓展 在文献 1 】中和本文的上部分中，均讨论了当0 7 c o _ ro 缈 2 ( 1 + a ) 时，两步a o r 多重分裂万坛的收敏住向此邵分j i i u 将继绥讨论当0 = l d i - i 厶i - i 巩l ，k = 1 ，2 ，则当o 国1 ，缈r _ r a l 时，对任意的初始向量 蠢和任意的s 1 ，用_ 重外分裂彳= m 一和多重内分裂肘= 反( 少：国) - q ( 厂：缈) ， k = 1 , 2 ，的两步多重分裂方法是收敛的 ， 其中 弘m 。a x p ( i d i _ + 2 ( - - 缈t 一1 ) 叫+ | 卅) ) ，k = l ，2 ，一， 证明：令r t ( y ，缈) = ( b t ( 厂，国) ) 1c ：( 厂，彩) ，则 只( 厂，彩) = 荟i 最( r ( 乃缈) ) 5 + i 瓦l f 荟s - i ( r ( 扎缈) ) 7 ) ( b k k - i 1 = 0 ( 7 ，国) ) 1 只( 厂，彩) = 最( r ( 7 ，缈) ) 5 + 瓦i ( r ( 厂，缈) ) 7l ( ( 7 ，国) ) 1 七= l， 由题设可知0 一i q ( r ，缈) l ， 则衍= i d i 一( 例+ 2 ( l 一1 ) k 1 ) ，显然i d i 一1 o 且 吲+ 2 ( 考一i ) i l t i o ，则此分裂为如的正则分裂因为 p ( i d i 一1 ( m 2 ( l 彩一1 ) 吲) ) p ( i d i 一1 ( m2 ( l 缈一o l j ：d + 帅口 1 ， ( 4 1 ) 则由引理2 2 可知力为m 矩阵令五= 詹一i n i ，则 l = l d | _ ( 卅2 ( 去一1 ) 川+ ( 4 2 ) 扬州人学硕士学位论文 由( 4 1 ) 式司知 p ( i d i 。1 ( 1 8 1 + 2 ( z 缈一1 ) 叫+ i n i ) ) - 口 i c 。( r ，叫，则 反( 7 ，缈) = 砉最( 龟( 7 ，缈) ) 5 + 1 el(荟s-i(rk(y，国)7j(bk=l i = 0 t ( 厂，缈) ) 一i 卅，只( 7 ，缈) = 最( r 。( 7 ，缈) ) 5 + e i ( y ，国) ) 7i ( 。( 厂，缈) ) - 1 l 卅， 七= l ， 易证( 反( y ，彩) ) 为m 一矩阵，从而色( 厂，c o ) 为h 一矩阵， 由引理2 5 可得 l ( 暖( y ，缈) ) 1i ( 反( 厂，功) ) 一， 所以 l 墨( 7 ，国爿匙( 厂，西) ， 所以 皿( ，国) i 宜( 7 ，c o ) ( 4 3 ) 因为j = 衍一i 圳，詹= 一i c ( r ，国) i 均为正则分裂，且( j ) 一1 o ，则由引理 2 3 可得p ( 反( 厂，国) ) 1 由 ( 4 3 ) 式可得当o 7 c o 且1 国 2 ( 1 + 口) 时 从皿( 7 ，) ) i 从而当0 t o l ，国厂时，用s o r 分裂的两步多重分裂方法为收敛的 由上面定理不难看出：当0 c o 7 时，s o r 分裂的两步多重分裂方法为收敛的，但必 须满足前提条件口 1 ，因此在实际应用中首先必须计算j 个 ：( i d i _ 1 ( 例+ 2 ( z 国一1 ) l l t i + i 卅) ) 的值，并且对于七= l ，2 ，均有 p ( i d 一( 阱2 ( 国y 一1 ) l l t | + i n i ) ) l ， 由此可见在0 缈y 的前提下，s o r 分裂的两步多重分裂方法收敛的条件比在 0 y 缈的前提下s o r 分裂的两步多重分裂方法收敛的条件更加严格，因此在实际应用 中就更复杂事实上当0 y 缈时，可以根据，与c o 更精确的大小关系来简化s o r 分裂的 两步多重分裂方法的收敛前提 若在定理4 1 中y 与满足l 上 = l d i l 厶l _ l 巩i ，j | = l ，2 ，则当o 功1 ，1 考 2 r 口 l 时，对任意的初始 向量x 。和任意的s 1 ，用一重外分裂a = m 一和多重内分裂m = b j , ( y ，c o ) 一c a r ，t o ) ， k = l ，2 ，的两步多重分裂方法是收敛的，其中口= m a ) 【 p ( 1 d i - 1 ( i 召i + i l a + i n i ) ) ) ， 由h 矩阵、h 相容分裂与m 矩阵、m 分裂之间的关系可得到以下一系列推论： 推论4 3 若a 尺一p 为一个m 矩阵，一a = m n 为矩阵彳的一个m 分裂，令 m = d b = d 一厶一( 1 k ，) ，其中d = d i a g ( m ) ，l 。为严格下三角矩阵，以为一 般形式矩阵，若( m 。，以，e ) k = 1 ，2 ，z ，为m 的a o r 多重分裂，且 = l d i - i l 小一l 以i ，k = 1 ，2 ，则当o 国l ，缈y ra 1 时，对任意的初始向量 x o 和任意的s 1 ，用一重外分裂a = m n 和多重内分裂m = 最( 7 ，彩) 一g ( r ，c o ) ， k = 1 , 2 ，的两步多重分裂方法 是收敛的 ， 其中 舭m 。a x p ( i d i 。1 ( 卅2 唔一1 ) 蚓+ i 1 ) ) ) ，后= l ，2 ，一 推论4 4 若a r 雕”为一个m 矩阵，a = m n 为矩阵彳的一个m 分裂，令 膨= d b = d 一厶一( 1 ks ，) ，其中d = d i a g ( m ) ，l t 为严格下三角矩阵，u i 为一 般形式矩阵，若( m ，m ，e k ) k = 1 , 2 ，为m 的a o r 多重分裂，且 = i 驯一i 厶i _ i 以l ，七= 1 ，2 ，则当o 缈1 ，1 去 = i 驯一i l , i i i ，后= 1 ，2 ，则当l 缈 高，c o 一k ( 厂，国) i = ( 等) p i _ ( i 纠+ 2 ( 考一1 ) k 1 ) ， 而此定理证明的剩余部分则类似于定理4 1 ，易得当1 c o # l 时，尸( 丘“，矽) ) 1 ， 从而对于任意的初始向量和任意的s i ，当i 缈 ，c o y 且口 i 时 l + 口 p ( 皿( 厂，c o ) ) l ，即用s o r 分裂的两步多重分裂方法是收敛的撑 由文献【1 】可知：当0 y 国时，采用一重外分裂，多重a o r 内分裂的两步a o r 多重 分裂方法是收敛的，而综合定理4 i 和定理4 5 容易看出：当0 缈7 时，分裂只要满足 一定的条件( 即口 o ，由引理2 2 可知口 1 ，此时采 用a o r 多重分裂方法的两步多重分裂方法便简化为两步s o r 多重分裂方法，且此方法也是 收敛的，即可推出推论3 3 成立特别地，当y = 国= 1 时又可推出推论3 4 成立 注1 ：定理4 6 中采用s o r 多重分裂的方法的两步多重分裂方法的收敛性结论是由本 文中的4 1 和4 5 综合推出的，即当0 c o y 时，采用a o r 多重分裂方法的两步多重分裂 蒋小风两步多重分裂方法的收敛性 方法收敛性的特殊情况，而且此结论与文献 1 】中由定理3 1 推出的结论相同，即为当 0 y c o 时，两步a o r 多重分裂方法收敛性的特殊情况 注2 ：由定理4 1 和定理4 5 及其证明过程中可以看出，条件“a = m n 为h 相容分 裂”在证明过程中并未用到，但此条件不可省略，因为只有在此条件下，才可以得到定理 的隐含条件“口 l ”( 前文已证) ，而只有在此条件下在证明中才须分两种情况，即0 缈1 或l 彩 2 ( 1 + 口) 分别满足时分别证明 堑型叁堂堡主堂垡笙茎 竺 _ - - _ _ _ - - _ - _ _ - - _ - - - _ _ _ - _ - _ - _ - _ 一一 一 5 数值算例 在此部分中，所有的数值结果均由软件m a t l a b 计算得到 例1 考虑用差分方程求解l a p l a c e 方程的线性方程组的系数矩阵，形式如下： 二乏导 ，口= 一三二 一三 ， 令么= 必一，其中m 、的形式如下： 取f = 3 ，则七= l ，2 ，3 = 瞄 ，厶i 。 “2 l 吕 fl f 上1 1 2 厶：= i o lo fl l 上1 厶，= l o lo o l = l ， i l d r 1 卜b 令d ：疥昭( m ) ，则m = d 一厶女一三2 l u t ，尼= l ，2 ，3 且色( 7 ，c o ) ，c k ( y ，国) 的 形式如下： 、j 0 0 1 0 l 0 艿d ，。，l ， 、一、 d ，d，d ， d d 曰 d 曰d 曰d d ，。一 l i m 、-、 d d 、l， d d 阢 、j d d ” ， ， d d d d d d 0 d d j小“甜 们叫 。 眨) ) ) ) 翼川越瓣曙幢悸 黻佑旧岬阳七阳t卟 吣 卟 删 即 、lr，、lp、i二_ 己 ) ) q ) 7 “ ， d o d d k d d d d叭；_叫叭叫叫 d k d d k d d d 七七仨仨 胍 易 k k k 如 ， 一、 d d d d d d 、 0 0 o 0 o 1 ， 、 0 o o o o 1 、 d 0 k 、，-、 d d “ 、 d o “ d d d k d d d 蒋小风两步