（金融学专业论文）基于可赎回可转换债券的定价分解公式的研究.pdf

上海大学硕上学位论文 摘要 摘要：随着我国经济的快速发展，以及全球金融一体化进程的加剧，为了 进一步完善我国的金融体系，我国急需发展金融衍生市场。其中，可转换债券 是我国目前推出的较为成功的一种衍生证券。 可转换债券之所以可以发展如此迅猛，关键在于其作为一种混合金融工具， 既包含了普通债的特征，也包含了权益特征，同时，它还具有相应于标的股票 的衍生特性。由于可转换债券本身的复杂性，对可转换债券的定价无论从理论 上还是实践上都极具挑战性。 在现有的文献中，一般采用比较复杂的数值法为其定价，包括有限差分法、 树图法、有限元法和m o n t ec a r l o 模拟法。然而，在信息瞬息万变的当今时代， 这些数值法的定价效率尚待提高。此外，这些数值法，对以散户为主的我国投 资群体而言，在短期内难以透彻理解并实际应用。最高效、最易实现的定价法 自然是解析法。然而，在现有文献中，仅仅针对相对简单的可转换债券获得了 定价解析式，而且，所得解析式大多是以公司价值作为标的资产，由于并非所 有公司资产都是可交易，使得公司价值及其波动率很难估计，从而导致这些解 析式在实践中难以实际应用。 本文在总结了已有文献的基础上，依据无套利原理，获得了无赎回约束的 可赎回可转换债券的定价分解公式，并给出了证明。定价分解公式将可转债分 成了5 部分：两种固定支付额不同的立即支付型标准美式二值买权、一种标准 上敲出买权、一种延迟支付型标准美式二值买权，以及对应普通贴现债券。鉴 于立即支付型规则美式二值买权在整个期权中的重要性，专门对它的敏感性 d e l t a 、g a m m a 和t h e t a 等值进行分析讨论，结果发现立即支付型规则美式二值 买权与标的股价呈现出正相关关系，随着标的股价的上升，其增幅先增大后减 小。同时，立即支付型美式规n - 值买权在标的股价较小时，是剩余期限丁的 增函数，当标的股价达到一定的临界值时，立即支付型规则美式二值买权是剩 余期限丁的增函数。 关键词：可转换债券；期权；定价公式；敏感性 v 上海大学硕上学位论文 a bs t r a c t a b s t r a c t ：w i t ht h ei n c r e a s i n gi n t e g r a t i o no fg l o b a lf i n a n c ea n dt h ef a s t d e v e l o p m e n to fc h i n e s ee c o n o m i c ，i ti sn e c e s s a r yf o rc h i n at od e v e l o pd e r i v a t i v e s m a r k e t s c o n v e r t i b l eb o n d sa r ec u r r e n t l yl a u n c h e dm o r es u c c e s s f u l l yt h a no t h e r d e r i v a t i v e s t h er e a s o nw h yc o n v e r t i b l eb o n d sc a nb ed e v e l o p e dr a p i d l yi st h a tt h e ya r e s o p h i s t i c a t e df i n a n c i a li n s t r u m e n t si n v o l v i n gs i m u l t a n e o u s l yb o n d s ，e q u i t i e sa n d o p t i o n s g i v e nt h eh y b r i df e a t u r eo fc o n v e r t i b l eb o n d s ，i ti sv e r yd i f f i c u l tt ov a l u e t h e m t h e r ea r em a n yl i t e r a t u r e so nt h ep r i c i n go ft h ec o n v e r t i b l eb o n d s c o n v e r t i b l eb o n d s a r eg e n e r a l l yv a l u e dw i t hn u m e r i c a lm e t h o d s ，i n c l u d i n gf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ， b i n o m i a lt r e e ，f i n i t ee l e m e n td i f f e r e n c em e t h o d ，m o n t ec a r l os i m u l a t i o na n ds oo n h o w e v e r , t h e i rv a l u a t i o ne f f i c i e n c yi sn o th i g he n o u g h ，e s p e c i a l l yi nc u r r e n t i n f o r m a t i o na g e a sw ek n o w , t h ea n a l y t i cs o l u t i o ni st h eh i g h e s te f f i c i e n tm e t h o d u n t i ln o w , s o m ea n a l y t i cs o l u t i o n sf o rr e l a t i v e l ys i m p l ec o n v e r t i b l eb o n d sh a v e a l r e a d yb e e nw o r k e do u t h o w e v e r , t h e ya r ei m p r a c t i c a lb e c a u s et h e ya r eb a s e do n t h ea s s u m p t i o nt h a tt h eu n d e r l y i n ga s s e ti sf i r mv a l u e i nt h i sp a p e r , z e r o c o u p o nn o n - - p u t t a b l ec a l l a b l ec o n v e r t i b l eb o n d sa r ev a l u e d w i t hc o m p l e t ed e c o m p o s i t i o np r i c i n gm e t h o d b a s e do nt h er i s k - n e u t r a l p r i c i n g p r i n c i p l e ，z e r o - c o u p o nn o n p u t t a b l ec a l l a b l ec o n v e r t i b l eb o n d sw e r ed e c o m p o s e d i n t o f i v ek i n d so fs i m p l es e c u r i t i e s ：c o r r e s p o n d i n go r d i n a r yd i s c o u n tb o n d s ，t w o k i n d so fr e g u l a ra m e r i c a nb i n a r yc a l l sw i t hd i f f e r e n ti m m e d i a t e l y - m a d ef i x e d p a y m e n t s ，r e g u l a ru p a n do u tc a l l sa n dr e g u l a ra m e r i c a nb i n a r yc a l l sw i t haf i x e d p a y m e n td e f e r r e du n t i lm a t u r i t y g i v e nt h ei m p o r t a n c eo ft h er e g u l a ra m e r i c a n b i n a r yc a l lw i t hi m m e d i a t e l y - m a d ef i x e dp a y m e n t s ，w eg i v ead e t a i l e da n a l y s i so fi t s d e l t a ，g a m m a ，e t c t h eo u t c o m es h o w sap o s i t i v ec o r r e l a t i o nb e t w e e nt h es t o c k p r i c ea n dt h er e g u l a ra m e r i c a nb i n a r yc a l lw i t hi m m e d i a t e l y - m a d ef i x e dp a y m e n t s ， a n dt h eg r o w t hi nt h ev a l u eo ft h ec a l lf i r s ti n c r e a s e sa n dt h e nd e c r e a s e s t h ev a l u e v i 上海大学硕上学位论文 o ft h er e g u l a ra m e r i c a nb i n a r yc a l lw i t hi m m e d i a t e l y - m a d ef i x e dp a y m e n t sw i l lf i r s t i n c r e a s ea n dt h e nd e c r e a s ew i mt h ei n c r e a s eo ft h er e m a i n i n gt i m et om a t u r i t y k e y w o r d s ：c o n v e r t i b l eb o n d s ；o p t i o n ；p r i c i n gf o r m u l a ；s e n s i t i v i t y v i l 上海大学硕上学位论文 图表目录 表格l2 0 0 0 2 0 0 8 年企业债券发行规模1 表格2 可转债涨幅一览表2 图2 一l 单步二叉树图中股票价格和期权价格1 l 图2 2 有限差分方法1 2 图3 一lt = 5 ，3 ，1 时零息可赎回可转换债券的价值曲线3 l 图3 2t = 5 ，3 ，l 时c - 与状态变量s o 之间的关系曲线3 l 图3 3t = 5 ，3 ，l 时c 2 与状态变量s o 之间的关系曲线一3 2 图3 4t = 5 ，3 ，l 时c 3 与状态变量s o 之间的关系曲线3 2 图3 5t = 5 ，3 ，1 时c 4 与状态变量s o 之间的关系曲线3 2 图4 一l 无收益资产看涨期权和看跌期权d e l t a 值与标的资产价格的关系3 5 图4 2 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权g a m m a 值与s 的关系3 7 图4 3d e l t a 对冲的误差3 8 图4 4 无收益资产看涨期权t h e t a 值与s 的关系4 0 表格3d e l t a 、t h e t a 和g a m m a 三者之间的符号关系4 l 图4 5 期权的v e g a 值与s 的关系4 2 图4 - - 7c 1 的d e l t a 值与& 之间的关系曲线4 4 图4 8g 的g a m m a 值与& 之间的关系曲线4 5 图4 - - 9c l 的t h e t a 值与& 之间的关系曲线4 6 图4 一l oc i 的v e g a 值与& 之间的关系曲线4 8 图4 1 1 c l 的r h o 值与& 之间的关系曲线4 9 x 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：踅毽 e t 期：之堕：! 主多 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 师虢勰 师签名：丝叟 日期：列，z 彰 上海人学硕十学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究的背景和意义 随着我国经济的快速发展，以及全球金融一体化进程的加剧，为了进一步 完善我国的金融体系，我国急需发展会融衍生市场。其中，可转换债券是我国 目前推出的较为成功的一种衍生证券。 由于种种原因，我国企业债发行规模一直徘徊不前。2 0 0 0 年至2 0 0 4 年， 企业债发行规模分别为5 0 亿元、1 4 0 亿元、3 2 5 亿元、3 5 8 亿元和3 2 7 亿元。 其中，2 0 0 3 年发改委下达企业债发行额度为4 5 2 亿元，但实际发行规模仅为3 5 8 亿元。然而2 0 0 5 年以后，这种情况有了明显的改观，债市发展良机已经来临。 到2 0 0 7 年，企业债发行规模突破千亿，达到1 7 1 9 亿。到2 0 0 8 年，仅前三个季 度的发行量已经达到1 3 1 1 亿元。具体见表格1 。 表格12 0 0 0 2 0 0 8 年企业债券发行规模( 单位：亿元) 年度 2 0 0 0 2 0 0 12 0 0 22 0 0 32 0 0 42 0 0 52 0 0 62 0 0 72 0 0 8 额度 5 01 4 03 2 53 5 83 2 76 5 49 9 51 7 1 91 3 ll 增幅 1 8 0 1 3 2 1 0 - 9 1 0 0 5 2 7 3 数据来源：h t t p ：h q t j c h i n a b o n d c o m c n c h i n a b o n d h q t j i n d e x j s p 在企业债券市场迅速发展的同时，中国转债市场也迎来发展的契机，在股 市和债市相对低迷的情况下，可转债市场独领风骚，获得了开放式基金、q f ii 、 社保基金等众多机构投资者的青睐。从一级市场来看，2 0 0 3 年上市公司通过可 转债募集的资金规模大到了1 8 5 亿元，超过了当年配股和增发的总规模，雅戈 转债近2 0 0 倍的超额认购创下历史最高记录，转债发行节奏明显加快；从二级 市场看，2 0 0 3 年全年可转债市场累计成交额6 3 6 亿元，平均年换手率为2 5 5 3 ，成交相对活跃。自2 0 0 3 年以来发行的转债都有良好的市场表现( 见表格2 ) ， 转债市场价格中枢也出现上移的趋势。截至2 0 0 7 年底，我国全年共发行1 6 只 可转换债券，累计发行量2 9 5 2 8 亿元，同比增长1 0 6 6 8 。 由此可见，发行可转换债券已经成为我国上市公司再融资的主要渠道之一。 可转换债券之所以可以发展如此迅猛，关键在于其作为一种混合金融工具，既 上海人学硕十学位论文 包含了普通债的特征，也包含了权益特征，同时，它还具有相应于标的股票的 衍生特性。对于标准的可转债，在价值形态上，它赋予投资人一个保底收入， 即由债券息票支付与到期本金偿还构成的普通付息债券的价值；同时它还赋予 了投资人在股票上涨到一定的条件下转换成发行人普通股票的权益，即看涨期 权的价值。对于发行人而言，为了实现公司股在公司股价上涨或市场环境发生 变化的情况下低成本融资，发行人可在一定的条件下行使赎回权力，即发行人 提前赎回的期权。具体地，可转债有如下一些特点：( 1 ) 结构复杂，隐含了转 换权、赎回权和回售权等美式期权。( 2 ) 风险来源复杂：利率期限结构的波动 和企业市场价值的波动。( 3 ) 生命结束期多样化：到期、赎回、自愿转换和违 约。( 4 ) 企业筹资在前、扩股在后。一次性筹集巨额资金，逐步牺牲股权。因 此，可转换债券的价值形态极其复杂，对可转换债券的定价无论从理论上还是 实践上都极具挑战性。 表格2 可转债涨幅一览表 交易代码转债简称2 0 0 6 年涨幅2 0 0 7 年涨幅年利率剩余年限 1 0 0 0 8 7 水运转债1 5 1 8 4 8 0 1 0 9 0 6 0 3 1 0 0 1 1 7 西钢转债 8 1 8 2 5 2 1 1 5 1 5 9 5 1 0 0 2 3 6 桂冠转债 6 5 8 4 0 6 0 1 3 1 4 7 9 1 0 0 7 2 6 华电转债6 2 7 2 0 0 7 1 5 1 4 0 8 1 0 0 7 9 5 国电转债 7 0 3 4 0 1 0 1 1 1 5 2 9 1 1 0 0 2 1 上电转债 1 9 9 6 1 4 5 8 2 2 4 9 0 4 1 1 0 2 3 2 金鹰转债1 4 7 5 3 7 2 5 1 2 3 8 7 4 1 1 0 3 1 7 营港转债 2 7 7 8 3 4 7 5 1 8 2 3 6 7 1 1 0 3 2 5 华发转债7 9 4 0 5 2 1 1 4 4 5 5 6 1 1 0 3 9 8 凯诺转债1 7 3 4 2 9 3 2 1 4 4 6 0 8 1 1 0 4 2 3 柳化转债 3 0 6 3 3 2 4 3 1 5 4 5 5 9 1 1 0 4 8 8 天约转债 1 1 1 0 1 7 0 l 1 5 5 8 0 3 1 1 0 8 7 4 创业转债8 2 4 2 1 5 7 1 7 2 4 8 2 1 2 5 0 2 4 招商转债 1 0 8 0 0 一1 1 0 6 1 o 4 6 4 9 1 2 5 4 8 8 晨呜转债 1 5 7 2 2 7 7 9 1 5 2 6 9 3 1 2 5 8 2 2海化转债1 7 3 7 4 5 6 5 1 5 2 6 7 l 1 2 5 9 3 2 华菱转债 3 3 0 1 7 6 7 1 0 2 5 2 6 1 2 5 9 5 9 首钢转债 1 8 2 3 3 6 6 5 1 5 1 9 4 2 数据水源：由址券人智慧整理。数据截i 卜口期为2 0 0 7 年2 月1 6 日。( 2 0 0 7 年i ；9 9 = 2 0 0 7 年2 月1 6 日收盘价2 0 0 6 年收盘价，华菱转债2 0 0 7 2 月停盘，其2 0 0 7 年涨幅= 2 0 0 7 年1 月3 1 日收盘价2 0 0 6 年收盘价，上电转债、华发转债、凯诺转债、柳化转债、天药转债、 招商转债2 0 0 6 年涨f 9 盔= 2 0 0 6 年收盘价发行价) 2 上海大学硕1 ：学位论文 尽管如此，可转换债券的定价问题，在本质上，仍然属于无套利定价理论 的应用范畴。在现有的文献中，一般采用比较复杂的数值法为其定价，包括有 限差分法、树图法、有限元法和m o n t ec a r l o 模拟法。然而，在信息瞬息万变 的当今时代，这些数值法的定价效率尚待提高。此外，这些数值法，对以散户 为主的我国投资群体而言，在短期内难以透彻理解并实际应用。最高效、最易 实现的定价法自然是解析法。然而，在现有文献中，仅仅针对相对简单的可转 换债券获得了定价解析式，而且，所得解析式大多是以公司价值作为标的资产， 由于并非所有公司资产都是可交易，使得公司价值及其波动率很难估计，从而 导致这些解析式在实践中难以实际应用。 同时，上述数值法未能给出不同复杂程度的可转换债券的基本价值组成。 要分析不同复杂程度的可转换债券的基本价值组成，最直接的方法自然是完全 拆解法，即将之完全拆解为更简单的已有证券。在已有文献中，许多学者曾经 尝试将不同复杂程度的可转换债券进行完全拆解，并据之获取其定价解析式。 然而他们给出的拆解，要么是近似拆解，要么虽然是完全拆解，却以公司价值 作为标的资产，以致在实践中难以实际应用。 在此背景下，我认为，就我国投资者群体对可转换债券的认知现状而言， 如果能将不同复杂程度的可转换债券完全拆解为易于理解的相对简单的多个已 有证券组合，并通过获得这些简单证券的定价解析式，最终获得其定价解析式， 那么，据之不仅能够更高效地为不同复杂程度的可转换债券进行定价，而且能 够分析不同复杂程度的可转换债券的基本价值组成，并对其敏感性进行分析。 如此，必将有助于我国的投资者更加轻松而又合理地定价各种不同复杂程度的 可转换债券，必将有助于我国投资者更加深刻理解各种可转换债券的价值组成， 从而更好地帮助他们进行套利与保值。 1 2 主要内容和章节结构 本文一共分为五章。第一章为绪论部分，简要阐述了该课题研究的背景和 意义。第二章为文献综述部分，对国内外学者有关可转换债券的研究成果作了 详细地阐述。第三、第四章是本的核心部分。在第三章中，我们对零息可赎回 上海大学硕上学位论文 可转换债券进行了完全拆解，给出了解析式，并对其进行了数值验证，发现该 解析式具有良好的适用性。在第四章中，首先讨论了普通期权的敏感性，在此 基础上我们分析了零息可赎回可转换债券的期权敏感性，以便投资者能利用可 转债的敏感系数，更好地进行套期保值、对冲风险。第五章则对全文进行总结， 并指出了本文中存在的一些不足点，有待于今后进一步的深入研究。 1 3 主要创新点 本论文主要又两大创新点： 1 文本采用完全拆解定价法，将无赎回约束的零息可赎回可转换债券拆解 成5 部分：两种固定支付额不同的立即支付型规则美式二值买权、一种规则上 敲出买权、一种延迟支付型规则美式二值买权，以及对应普通贴现债券，并给 出了解析式，对其进行了数值验证。 2 对零息可赎回可转换债券的期权敏感性进行了分析研究，并将其与普通 期权的敏感性进行比较，为投资者如何利用可转债进行套期保值提供了理论依 据。 4 ，卜海大学硕上学位论文 2 1 引言 第二章可转换债券定价文献综述 可转债作为一种复杂的金融产品，其内在价值与基础股票价格、公司债券 和一些复合期权之间存在着复杂的关系，因此可转债定价必然涉及到股票、债 券和期权等多种金融工具的定价。作为基础金融工具的股票、债券的定价方法 相对来说广大投资者比较了解，而可转债所包含的期权( 现实中其实是复合期 权) 的定价方法则不易为大众所熟悉，而这是对可转债进行准确定价的最基本 的前提条件。 可转债作为一种以期权为代表的衍生金融工具，在其定价分析过程中，无 套利定价法既是一种定价方法，也是定价理论中最基本的原则之一。 在无套利定价的基本框架下，对内含期权的衍生金融工具进行定价已经历 了四十多年的不断发展和完善。最初，只是利用现金流贴现法进行粗略估值。 直到1 9 7 7 年，才由i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 a ) n 1 提出了第一个真正合理的基于公司价值 的单因子无套利定价模型，随后又被扩展为基于公司价值和利率的两银子无套 利定价模型。然而，基于公司价值的无套利定价模型尽管在理论上很具有吸引 力，但在实践中，由于并非所有公司资产都是可交易的，公司价值及其波动率 等参数难以估计，因此实用性较差。直到1 9 8 6 年，才由m c c o n n e l l 和 s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 乜3 提出了有着较好实用性的基于股价单因子无套利定价模型， 很快又被扩展为基于股价和利率的两因子无套利定价模型。 本章将对可转换债券定价理论、方法和模型进行全面综述。在总结外文文 献时，由于所述可转换债券定价模型主要针对美国转债构建的，因此有必要首 先了解美国转债与中国转债在条款设计方面的显著差异。在此基础上，提出了 现有研究的不足，指出了本文的研究方向。 2 2 无套利定价理论 严格意义上的套利是在某项会融资产的交易过程中，交易者可以在在不需 上海大学硕上学位论文 要初期投入的条件下获取无风险报酬。比如，同一资产在两个不同的市场上进 行交易，但各个市场上的交易价格不同。这时，交易者可以在一个市场上低价 买进，然后立即在另一个市场上高价卖出。如果市场是有效率的话，市场价格 必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡状态。这就是无套利定价原 则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使 得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。换言之，如果某项金融资产的 定价不合理，市场必然出现以该项资产进行套利活动的机会，人们的套利活动 会促使该资产的价格趋向合理，并最终使套利机会消失。 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 3 将无套利定价原则发展为无风险套期 保值定价原理( r i s k l e s sh e d g i n gv a l u a t i o np r i n c i p l e ) 。1 9 7 6 年，c o x 和 r o s s ( 1 9 7 6 ) h 1 又将无套利定价原则发展为风险中性定价原理( r i s k - n e u t r a li t y v a l u a t i o np r i n c i p l e ) 。尽管这两个基本原理在具体表现形式上有所不同，然 而在实质上，它们都源于无套利定价原理，因此一般将它们通称为无套利定价 理论，广泛应用于可转换债券定价。 2 2 1 无风险套期保值定价原理 b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 口1 推导普通期权定价公式时，最早将无套利定价 原理发展为无风险套期保值定价原理。m e r t o n ( 1 9 7 4 ) h 1 等将之进一步完善。其 核心内容为：在一个不存在套利机会的有效市场中，任何没有风险的资产组合， 其预期收益率都等于无风险利率。依据这一基本结论，投资者可以利用衍生证 券与其标的证券之问的风险相关性，通过持续地高频地调整衍生证券与其标的 证券之间的投资比例，使它们分别具有的风险总是彼此相互抵消，从而在理论 上构建一个收益率必然为无风险利率的无风险套期保值投资组合，据此便可以 构建关于衍生证券价格的偏微分方程。通过求解这一偏微分方程，便可以获得 衍生证券的理论值。 b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 。，正是依据这一原理，获得具有早程碑意义 的b l a c k s c h o l e s 偏微分方程，并最终推导出著名的普通股票期权定价公式。 由于这种定价方法必须首先构建b l a c k - s c h o l e s 偏微分方程，一般将之简称为 “偏微分方程定价法”1 9 7 7 年，i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 a ) 最早将这种基于无j x l 险套 6 一j ：海大学硕上学位论文 期保值定价原理的偏微分方程用于可转换债券定价问题，提出了第一个在理论 上合理的基于公司价值的单因子无套利定价模型。从此以后，无风险套期保值 定价原理便成为定价可转换债券的基础原理之一。 2 2 2 风险中性定价原理 c o x 和r o s s ( 1 9 7 6 ) 1 在为普通期权定价时，将无套利定价原理发展为风险 中性定价原理。其核心内容为：在一个不存在套利机会的有效市场中，衍生证 券价格与投资者的风险偏好无关。事实上，由b l a c k s c h o l e s 偏微分方程同样 可以获得这一结论，因为该偏微分方程中的所有参数都与风险偏好无关。依据 风险中性定价原理，可以将衍生证券定价问题从有风险偏好的现实世界转化到 虚拟的无风险偏好的风险中性世界。由于在风险中性世界，所有投资者都是风 险中性，投资者对自己所承担的任何风险都并不要求任何风险补偿或风险报酬， 也就是说，无论基础证券，还是衍生证券，其预期收益率都恰好等于无风险利 率。如此，在风险中性世界，就可以直接以无风险利率作为贴现率，将未来收 益贴现到当前时刻，从而大大简化了衍生证券定价问题。在风险中性世界所得 衍生证券价格同样适用于有风险偏好的现实世界，这是因为：当从无风险偏好 的风险偏好的风险中性世界转移到有风险偏好的世界时，标的资产价格的增长 率发生了变化，同时贴现率也发生了变化，而且这两种变化对衍生证券价格的 运行正好相互抵消( h u l l 1 ，2 0 0 6 ) 。正是依据风险中性定价原理，两种更容易 理解和实现的衍生证券定价法被提了出来：树图定价法和m o n t ec a r l o 模拟定 价法。1 9 8 6 年，k i n g ( 1 9 8 6 ) 口1 将树图定价法应用到转债定价。1 9 9 8 年， b u c h a n ( 1 9 9 8 ) 随1 最早将m o n t ec a r l o 模拟定价法应用到转债定价。 2 3 主要定价方法 2 3 1 早期估值法 2 0 世纪7 0 年代中期以前，可转债的理论研究主要集中在可转债基本概要 的建立，转换价格的确定与调整方法等方面。关于可转债定价研究的基本思想 是：首先设定未来某个时点可转债的价值等于它的纯债价值与转换价值的极大 值，然后贴现这个值作为可转债的现值。这个方法及其由此进行的细微调整在 上海大学硕上学位论文 整个6 0 年代及7 0 年代初得到广泛的使用。 遗憾的是，所有这些定价方法都是很不完善的。主要有下列几个原因：( 1 ) 人为地限制了转换期权。如果未来的估价时点在到期同之前，那么所得的结果 限制了转换期权的有效期；如果未来的估价时点在到期日，则忽略了投资者提 前行使转换权的可能性。因此，这种对转换期权的无端限制会低估可转债的价 值。( 2 ) 这些定价模型很少涉及贴现率的选取问题。( 3 ) 较少考虑赎回条款， 这就会高估可转债的价值。 2 3 2 偏微分方程定价法 b l a c k 和s c h o l e s 在为普通期权定价时，最早提出了偏微分方程定价法。 由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定影响，若匹配适当的 话，这种不确定性就可以相互抵消。因此b l a c k 和s c h o l e s 就建立一个包括一 单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标 的证券多头盈利( 或亏损) 总是会与衍生证券空头的亏损( 或盈利) 相抵消， 因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投 资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。由此，推导得出著名的b l a c k - - s c h o l e s 偏微分方程： 笪a t + 心望a s + 三2 盯2 s 2 祟a s = 矿 2 。 厂衍生证券的价格5 s 标的证券的价格； ，无风险利率； 盯标的证券价格的波动率； f 为当前时刻。 ( 2 1 ) 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧 8 上海大学硕上学位论文 式看涨期权和看跌期权的精确公式。 c = s n ( d 1 ) 一x e 一7 h n ( d 2 ) 小型号舞1t 型 仃一j d，：一ln(sx)+(r-o-22)(t-t)：矾一仃以i a ( t f 1 c 当前看涨期权的价格； ( d ) 为标准正态分布小于d 的概率； ( 2 2 ) r 为期权到期时间； x 为执行价格。 欧式看跌期权的价值可用与欧式看涨期权类似的方式计算出，也可以使用看 涨期权与看跌期权之间的平价关系来求得。结果为： p = x e 一7 7 q n ( - d 2 ) 一熨、，( 一d 1 ) ( 2 3 ) 1 9 7 7 年，i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 a ) 最早将期权定价方法运用于可转债定价问题。 在他的模型中，可转债的价值依赖于一个标的变量公司市场价值，不考虑 利率变化，因此他们的模型本质上是单因数模型。对于利率是常数的假定，普 通的期权因为存续期比较短，通常为1 年左右，但对于可转债，它的存续期较 较长，一般在5 年以上，假定利率是常数就有问题，毕竟市场利率是随机的。 因此，引入利率的随机模型到可转债的定价中是必要的。 另外，定价方法上沿用b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式也存在理论和实践上 的问题，因为转换权在本质上更像认股权证。b l a c k s c h 0 1 e s 期权定价公式的 推导需要用到如下事实：发行期权不会影响公司的资本结构。但是发行认股权 证会增加公司的权益，从而影响公司的资本结构。实践上，普通期权的有效期 在1 年以内，在较短的时i 、日j 内可假设标的资产的价格波动率不变，而认股权证 9 上海大学硕士学位论文 和可转债的有效期要长得多，标的公司的权益波动率会发生变化，对此必须予 以考虑。 2 3 3 树图定价法 目前，树图定价法主要包括两大类：二叉树定价法和三叉树定价法。1 9 7 9 年，c o x 、r o s s 和r u b i n s t e i n 在为股票期权定价时分别单独提出了二叉树定 价法。1 9 8 6 年，b o y l e ( 1 9 8 6 ) n 0 1 又提出了收敛速度更快的三叉树定价法。下面 对基本的二叉树模型作简要介绍。 考虑一个无红利的股票，股票的价格为s ，基于该股票的期权的当前价格 为。假设在期权的有效期内，股票价格或者从s 向上运动到一个新的水平沾， 其相应的期权的收益为z ；或者从s 向下运动到新的水平搬，其相应的期权的 收益为厶，其中“ l ，d l 。如图2 1 所示。 构建一个证券组合由股的股票多头和一个看涨期权空头组成。 当股票价格上升时，该组合的价值为： u s a 无 如果股票价格下跌，组合的价值为： d s a l d 如果锁定组合收益则应该： 添一z = v i s a 一厶 所以，a = ( 丘一乃) ( u s 一舔) ( 2 4 ) 按风险中性估值原理，由于该组合是无风险的，所以必然获得无风险收益 ，故该组合的现值是( u s a z ) p 。7 1 ，而构建该组合的成本是丛一厂。 因此，a s f = ( u s a z ) p 一汀 ( 2 5 ) 将式( 2 3 ) 代入，有f = e - r 7 【兢+ ( 1 一p ) 兀】 ( 2 6 ) 其中，p ：e - r t - _ d 。 1 , l 一口 1 0 卜海大学硕上学位论文 s 。 ，。 u s z d s jd 图2 1 单步二叉树图中股票价格和期权价格 二叉树定价法的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度 二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路 径。同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率 均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉 树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。 实际上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该定价法会收 敛于偏微分方程定价法。 树图定价法与偏微分方程定价法的最大不同在于：偏微分方程定价法是在 连续的时间框架下定价，而树图定价法是在离散的时问框架下定价。由于树图 定价法不仅容易操作，而且非常灵活，不论是否支付红利，欧式期权还是美式 期权，看涨期权还是看跌期权，都能为之定价，而且能够适应随时间推移而发 生变化的市场环境和交易条件，因此在实践中得到广泛应用。 1 9 8 6 年，k i n g ( 1 9 8 6 ) 1 基于单因素二叉树模型，研究美国证券市场的1 0 3 只 可转债，其市场实际价值比理论模型的计算值低3 7 5 。2 0 0 3 年， c a r a y a n n o p o u l o s 和k a l i m i p a l l i ( 2 0 0 3 ) 3 将三叉树定价法应用到转债定价。 2 3 4 有限差分法 在应用微分方程建模的学科和工程当中，有限差分方法式最常用的数值求 解方法。在金融界，这个方法也r 益受到人们的重视，越来越多地用在期权定 价当中。其主要思想是：应用有限差分方法将期权所满足地偏微分方程 上海大学硕上学位论文 望o t + 心望o s + 1 2 盯2 s 2 祟o s = 矿 2 。 转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近等、善和磊a 2 f f 各项，之后 用迭代法求解，得到期权价值。 其中，善= 訾， 百a 2 f ：血! 血车! 二堡：! ， 8 s z监z 望：血! 二。 a f 址 相应的差分方程修改为： z ，= 口j z + l 广l + 屯z + l j + c j z + l + l ( 2 7 ) 其中，q = 击( 一l r j a t + 虿1 力2 出) ， 屯= 志( 1 - - 0 2 歹2 出) ， c ，= 击( 圭归+ 1 2 力2 a t ) 。 图2 2 有限差分方法 从上面的公式中，我们可以发现有限差分法是直接从( f + o a t 时刻的三个相 1 2 卜海大学硕士学位论文 邻格点的期权价值( 其对应的资产价格分别为( j + i ) a s 、j a s 和( j - 1 ) a s ) 求 出i a t 时刻资产价格为 a s 时的期权价格。如图2 2 所示。 从以上我们介绍的有限差分方法和相应的格点图来看，有限差分方法和树 图方法相当类似的。这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主 要差异在于树图方法包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中 的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情 形。 有限差分方法在期权定价中的地位正在不断上升，其优势主要在于：当格 点有规律很均匀时，把一个偏微分方程化成差分方程是相对比较简单的。而且， 在数学和数值分析文献中存在大量帮助改进有限差分方法的技术，使其运算能 够更加迅速和准确的途径。 2 3 5m e n t oc a r l o 模拟法 尽管树图定价法非常灵活，然而对于条款复杂的衍生证券，尤其当标的变量 达到两个以上时，树图定价法难以有效定价。1 9 7 7 年，b o y l e ( 1 9 7 7 ) u 副最早提 出可以利用m o n t ec a r l o 模拟方法为期权定价。m o n t ec a r l o 模拟是一种通过 模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法，也要用到 风险中性定价原理，其基本思路是：由于大部分期权价值实际上都可以归结为 期权到期回报的期望值的贴现，因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产 价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以 得到期权价值。为了克服b o y l e 所提出的模拟定价法只能为欧式期权定价的不 足。l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 2 0 0 1 ) n 3 1 提出了可以直接为美式期权定价的最小二 乘m o n t ec a r l o 模拟定价法。 在学术界，1 9 9 8 年，b u c h a n ( 1 9 9 8 ) 睛3 最早将m o n t ec a r l o 模拟定价法应用 到较为简单的转债。l v o v 等( 2 0 0 4 ) 。将最小二乘m o n t ec a r l o 模拟方法应用 到一般化转债，并通过实证表明了该模拟定价法的可靠性。 综上所述，由于可转债本身可以被看作基于公司价值或股价等状态变量的 衍生证券，因此衍生证券定价的各种方法也同样可以为可转换债券定价。然而， 上海人学硕士学位论文 由于可转换债券是一种同时涉及债券、股票和期权的复杂混合衍生证券，在具 体应用这些方法为可转换债券定价时，又需要对这些方法进一步扩展和完善。 除上述定价方法之外，还有一些方法，如拆解定价法( h o 和p f e f f e r ，1 9 9 6 n 副) ， 使可转换债券价值= 投资价值+ 欧式认股权证价值一强制转换权价值，统计模 型法( k a r i y a 和t s u d a ，2 0 0 0 ) 1 6 s 也被用来为转债定价，然而无论从理论上还 是从实际定价效果上来讲，尚不理想。 2 4 国外有关可转换债券定价的研究成果 在国外，有关可转换债券定价的研究方向大致可分为三类：基于 b l a c k - s c h o l e s 理论的转债定价模型、基于传统数值方法的转债定价模型和基于 m o n t ec a r l o 的转债定价模型。 2 4 1 基于b l a c k s c h o l e s 理论的转债定价模型 基于b l a c k s c h o l e s 理论的可转债定价模型，即运用b l a c k s c h o l e s 期权定 价方法，导出可转债满足的偏微分方程，再利用无套利原理，根据可转债的发行 条款确定其价值特征，得到偏微分方程的边界条件，最终求得该方程的解析解。 i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 ) 最早将此方法扩展到基础可转换债券( 未内含赎回权和回售 权等其他期权) 和可赎回可转换债券，提出了