（机械工程专业论文）制造系统最优控制中hedging+point的优化.pdf

摘要 本文研究了制造系统最优控制中h e d g i n gp o i n t 值的优化问题， h e d g i n gp o i n t 控制是一种制造系统最优控制方法，而h e d g i n gp o i n t 值的大小直接决定 了系统的性能指标因此，选择合适的h e d g i n gp o i n t 值对于改善系统的性能是非常重要的 在现有的关于h e d g i n gp o i n t 值优化问题的研究中，仅对单零件品种单机器的制造系统的情 形给出了解，本文则对更复杂的情形下这一问题的解决进行了探索 1 单零件品种多机器串行制造系统的h e d g i n gp o i n t 值的优化对于最简单的仅由两台 机器构成的串行制造系统，计算出系统状态的概率或概率分布密度函数在此基础上获得第 二台机器的等价故障时间( u p 实际故障时间与由于第一台机器的故障和两台机器之间的在制 品数量为零而导致的第二台机器生产的暂停时问之和) 的数学期望基于等价故障时间，把多 台机器构成的串行制造系统分解成若干个两机器串行制造系统，并计算出每台机器上系统状 态的概率分布，直至最后一台机器同时证明了为获得最小的生产成本( 即在制品成本与欠产 成本之和) ，串行制造系统中的各机器上生产剩余量的h e d g i n gp o i n t 应相等在不同机器上的 单位在制品成本都相等的前提f ，进一步证明了单零件品种多机器串行制造系统的生产成本 仅依赖丁第一台机器和最后一台机器上的生产剩余量( 系统状态的一部分) ，而与中间各机器 上的生产剩余量无关在上述结论的基础上，给出了优化h e d g i n gp o i n t 值的一维搜索算法 2 多零件品种单机器制造系统的h e d g i n gp o i n t 值的优化对此类系统，采用了有优先级 的h e d g i n gp o i n t 控制( p h p ) 计算了此类系统在p h p 控制下系统状态的概率分布，并获得如 下的结论：系统中每种零件的概率分布仅与该种零件的生产剩余量的h e d g i n gp o i n t 值有关 而与其他零件的h e d g i n gp o i n t 值无关根据系统状态的概率分布，可获得总生产成本( 在制 品成本与欠产成本之和) 的数学期望由于上述结论，总生产成本的数学期望对于不同的零件 是可分的，即可以分别对与每种零件相应的h e d g i n gp o i n t 进行优化，而无需考虑其他零件的 h e d g i n gp o i n t 的选择对于每一种零件而言，其相应的h e d g i n gp o i n t 的优化也是采用一维搜 索算法 3 多零件品种多机器制造系统的h e d g i n gp o i n t 值的优化对这类制造系统仍采用p h p 控制，只是对每种零件的每道工序的生产率，需要考虑前道二 序的生产率的约束根据优先级 顺序，对每种零件构造一个与原系统等价的串行制造系统，其中需要对每道工序构造一个在 故障时间和工作时间意义上与原机器等价的机器然后可以把串行制造系统的h e d g i n g p o i n t 优化方法应用于此系统 最后，提出了制造系统的集成最优设计与控制问题，并指出了解这一问题的关键因素 关键词：制造系统，最优控制，h e d g i n gp o i n t 控制，有优先级的h e d g i n gp o i n t 控制 3 a b s t r a c t t h ep r o b l e mo f o p t i m i z i n gt h eh e d g i n gp o i n ti nt h eo p t i m a lc o n t r o lo f m a n u f a c t u r i n gs y s t e m s i sr e s e a r c h e di nt h i sw o r k i n gp a p e r t h eh e d g i n gp o i n tc o n t r o li sa no p t i m a lc o n t r o lp o l i c yf o rm a n u f a c t u r i n gs y s t e m s ，t h ev a l u e o ft h eh e d g i n gp o i n td e t e r m i n e st h ep e r f o r m a n c ec r i t e r i ao fs y s t e m sd i r e c t l y t h e r e f o r ei t i sv e r y i m p o r t a n t t oo p t i m i z et h eh e d g i n gp o i n tf o ri m p r o v i n gt h ep e r f o r m a n c eo f as y s t e m i nt h ee x i s t i n g r e s e a r c h e sa b o u tt h eo p t i m i z a t i o no ft h eh e d g i n gp o i n t t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o ni so b t a i n e do n l yf o r t h es i n g l ep a r t t y p ea n ds i n g l em a c h i n es y s t e m t h es o l u t i o n st ot h i sp r o b l e mi nm o r ec o m p l e x s o l u t i o n sa r ee x p l o r e di nt h i sw o r k i n gp a p e r 1 o p t i m i z a t i o no ft h eh e d g i n gp o i n tf o rs i n g l ep a r t t y p e a n dm u l t i p l em a c h i n e ss e r i a l m a n u f a c t u r i n gs y s t e m s f o rt h es i m p l e s ts y s t e mc o m p o s e do fo n l yt w om a c h i n e s ，t h ep r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o no f t h es y s t e ms t a t e si sc o m p u t e d b a s e do nt h a t 。t h ee q u i v a l e n tm e a nt i m et or e p a i ro f t h es e c o n dm a c h i n ei so b t a i n e dt h e nt h em a n u f a c t u r i n gs y s t e mc o m p o s e do f m u l t i p l em a c h i n e si s d e c o m p o s e di n t oas e r i a l so fs y s t e m sc o m p o s e do f t w om a c h i n e sa n dt h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n o f t h es y s t e ms t a t ei sc o m p u t e df o re v e r ym a c h i n et 川t h el a s to n e m e a n w h i l e i ti sp r o v e dt h a tt h e h e d g i n gp o i n to ft h ep r o d u c t i o ns u r p l u s ( i e t h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h ec u m u l a t i v ep r o d u c t i o n s a n dt h ec u m u l a t i v ed e m a n d s ) o ne v e r ym a c h i n es h o u l db ee q u a ls oa st om i n i m i z et h ep r o d u c t i o n c o s t s ，i e t h es u mo ft h ec o s t sf o rw o r k - i n - p r o c e s sa n df o ru n d e r p r o d u c t i o nu n d e rt h ep r e m i s e t h a tt h eu n i tc o s tf o rw o r k i n - p r o c e s so nd i f f e r e n tm a c h i n e sa r ee q u a l ，i ti sp r o v e dt h a t t h e p r o d u c t i o nc o s to fs i n g l ep a r t t y p ea n dm u l t i m a c h i n e s s e r i a lm a n u f a c t u r i n gs y s t e m so n l yr e l yo n t h ep r o d u c t i o ns u r p l u so nt h ef i r s ta n dt h el a s tm a c h i n e s ，b u tn o to nt h em a c h i n e sb e t w e e nt h e m b a s e do nt h i sc o n c l u s i o n ，ao n e d i m e n s i o ns e a r c h i n ga l g o r i t h m i s p r e s e n t e df o ro p t i m i z i n gt h e h e d g i n gp o i n t 2 o p t i m i z a t i o no ft h gh e d g i n gp o i n tf o r m em u l t i p l e p a r t - t y p e s a n ds i n g l em a c h i n e m a n z 咖c t u r i n gs y s t e m s f o rt h i st y p eo fs y s t e m ，t h ep r i o r i t i z e dh e d g i n gp o i n t ( p h p ) c o n t r o l i s a d o p t e d t h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no f t h es y s t e ms t a t e si sc o m p u t e du n d e rt h i sc o n t r o la n dt h e f o l l o w i n gc o n c l u s i o nc a nb ed r a w n i e t h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no f t h ep r o d u c t i o ns u r p l u so f a s p e c i f i cp a r tt y p ei so n l yr e l a t e dt ot h eh e d g i n gp o i n to f i t s e l f , b u tn o tr e l a t e dt ot h eh e d g i n gp o i n t s c o r r e s p o n d i n gt oo t h e rp a r tt y p e s a c c o r d i n gt ot h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no f t h es y s t e ms t a t e s ， t h em e a nv a l u eo ft h et o t a lp r o d u c t i o nc o s tc a nb eo b t a i n e d b e c a u s eo ft h ea b o v e - m e n t i o n e d r e s u l t s ，t h em e a nv a l u e so f t h et o t a lp r o d u c t i o nc o s ti ss e p a r a b l ew i t hr e s p e c tt od i f f e r e n tp a r tt y p e s ， i e t h e h e d g i n gp o i n tc o r r e s p o n d i n gt o e a c hp a r tt y p ec a l lb eo p t i m i z e di n d e p e n d e n t l yw i t h o u t c o n s i d e r i n gt h eh e d g i n gp o i n t sc o r r e s p o n d i n gt o o t h e rp a r tt y p e s f o re a c hp a r tt y p e t h eo n e 。 d i m e n s i o ns e a r c h i n ga l g o r i t h mi sa l s oa p p l i e df o ro p t i m i z i n gi t sc o r r e s p o n d i n gh e d g i n gp o i n t 3 o p t i m i z a t i o no ft h eh e d g i n gp o i n tf o ，m u l t i p l ep a r t - t y p e s a n dm u l t i p l em a c h i n e s m a n u f a c t u r i ”gs y s t e m s f o r t h i st y p eo f s y s t e m ，t h ep h pc o n t r o li sa l s oa d o p t e d h o w e v e r ，f o rt h e p r o d u c t i o nr a t eo f e a c ho p e r a t i o n o f e a c h t y p eo f p a r t ，t h ep r o d u c t i o nr a t eo f i t sp r e v i o u so p e r a t i o n s h o u l db ec o n s i d e r e d f o re a c ht y p eo fp a r t ，as e r i a l m a n u f a c t u r i n gs y s t e me q u i v a l e n tt ot h e o r i g i n a lo n ei sc o n s t r u c t e di nt h eo r d e ro f i t sp r i o r i t y ，i nw h i c ham a c h i n e e q u i v a l e n t t ot h eo r i g i n a l o n ei sc o n s t r u c t e df o re a c ho p e r a t i o ni nt h et e r mo ft h em t t r ( i e m e a nt i m et or e p a i r ) a n d m t b f ( i e m e a nt i m eb e t w e e nf a i l u r e ) t h e nt h em e t h o d f o rt h eh e d g i n g p o i n to p t i m i z a t i o ni nt h e s e r i a lm a n u f a c t u r i n gs y s t e mc a l lb ea p p l i e di nt h i ss y s t e m f i n a l l y ，t h ep r o b l e mo f t h ei n t e g r a t e do p t i m a ld e s i g na n dc o n t r o lo f m a n u f a c t u r i n gs y s t e m si s p u tf o r w a r da n dt h em a i ni s s u e sf o rs o l v i n g t h ep r o b l e mi sp r e s e n t e d k e y w o r d s ：m a n u f a c t u r i n gs y s t e m ，o p t i m a lc o n t r o l ，h e d g i n gp o i n tc o n t r o l ，p r i o r i t i z e dh e d g i n g p o i n t c o n t r o l 4 1 引言 1 1 制造系统控制问题的提法 设有一个离散制造系统，它包含多台机器，可加工多个零件，每个零件各有其工艺路线 根据工艺路线和机器之间的关系，离散制造系统大致可分为三种主要类型： 第一种类型：所有零什的工艺路线完全相同，它们按照相同的顺序依次经过所有的机器， 完成所有加： 工序后离开制造系统这种类型称为f l o w s h o p 系统，例如串行装配线第二种 类型：各零件的工艺路线不完全相同，每个零件按照各自的工艺路线经过所有的机器或其中 的部分机器，完成各自所有的加工 序后离开系统对于每个零件米说，它经过每台机器最多 一次这种类型称为j o b s h o p 系统，例如机械加工车间第三种类型：这种类型与j o b s h o p 系 统的区别在于，对于每个零件来说，它经过每台机器的次数可以超过一次这种类型称为可重 入( r e e n t r a n t ) 系统，例如半导体晶圆制造系统( w a f e rf a b ) 在上述三类制造系统中，f l o w s h o p 系统最为简单，可重入系统最为复杂，而j o b s h o p 系统则可以代表制造系统的一般特征 一般地，一个制造系统的运行过程是需要对其加以控制的，只有一种情况例外若一个制 造系统只生产一种零件，也就是说，它是f l o w s h o p 系统的一种特例，在这种情况下，每台机 器有可能按照其对该种零件的最大生产率米进i ? a n j 2 ，这实质上是对系统不加控制的一种生 产方式事实上，这种生产方式有可能造成系统内的在制品过多为避免这种情况的发生，需 要根据系统的在制品状态对各设备的生产率进行调整，使得一方面在制品不会过多而增加成 本，另一方面又能够保持一定的在制品数量以补偿由于机器故障给制造系统的生产率造成的 损失这就是单品种制造系统的控制问题对于多零件品种制造系统，即使是f l o w s h o p 系统 都需要解决机器的生产能力对于不同零件的分配问题，也就是说，对于每一台机器，要决定它 加】：每种零件的生产率各是多少，才能满足对不同零件的需求，同时又不超过机器的生产能 力因此，对于多零件品种的制造系统而言，一定存在控制问题j o b s h o p 系统是复杂的多品 种制造系统，因而有必要对其进行有效的控制 j o b s h o p 系统的控制问题可表述如下：设有一制造系统，构成此系统的机器种类和数量 都己确定；该系统所要生产的零件的种类以及每种零件的工艺路线也己确定；每种零件的需 求率为已知；每种机器对它所能自d - - l - 的各种零件有确定的晟大生产率：每台机器都可能发生 故障，每种机器的故障发生时间间隔和故障维修时间服从已知的概率分布( 通常假定为负指 数分布) ；系统的状态( 在制品数量和机器状态) 完全可观测，在上述情形下，确定每个时刻每台 机器对每种零件的生产率，使得在一定的时间范围内，系统内所有在制品成本与欠产成本之 和的均值尽可能小，由这一表述可见，j o b s h o p 系统的状态变量是在制品数量和机器的可用 或故障状态，而控制变量是每台机器对不同零件的生产章 6 1 2 文献综述 在关于制造系统控制问题的研究中，通常把系统中的物流看作一个连续的流，从而系统 的中的状态变量( 生产剩余量，即累积生产量与累积需求量之差) 和控制变量( 生产率) 都是实 变量，系统的动态行为可以用线性微分方程组来刻画系统中机器的状态( 正常运行或故障) 通常用整数( 1 或0 ) 表示，它存在于生产能力约束条件中k i m e m i a 和g e r s h i w i n ( 1 9 8 3 ) 给出 了制造系统控制问题的一般的数学表达，它是一个最优控制问题，其目标泛函为生产剩余量 的函数在一定时间区间内的积分的数学期望，而约束条件是系统动态方程和系统的生产能力 并且假定需求率恒定，且机器的故障和修复过程是m a r k o v 过程在这样的模型下，k i m e m i a 和g e r s h i w i n ( 1 9 8 3 ) 利用动态规划法解此最优控制问题，获得了这一问题的h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，并据此证明了这类制造系统的最优控制是一种h e d g i n gp o i n t 控制，也就是说， 在系统状态空间中存在一个被称为h e 地i n gp o i n t 的点，当生产剩余量恰好位于该h e d g i n g p o i n t 时，则作为控制变量的生产率应等于需求率；当生产剩余量偏离h e d g i n gp o i n t 时生产 率的选择应促使生产剩余量尽快趋近于h e d g i n g p o i n t 对于单机器单零件品种制造系统，其h e d g i n gp o i n t 控制具有很简明的形式即若生产剩 余量大于h e d g i n gp o i n t ，则机器不生产；若生产剩余量小于h e d g i n gp o i n t ，则机器以最火生 产率进行生产；若生产剩余量等于h e d g i n gp o i n t ，则机器的生产率等于对这种零件的需求率 问题在于，h e d g i n gp o i n t 如何确定a k e l l a 和k u m a r ( 1 9 8 6 ) 及b i e l e c k i 和k u m a r ( 1 9 8 8 ) 针对 这种壤简单的情形给出了最优h e d g i n gp o i n t 的解析解，并且b i e l e c k i 和k u m a r ( 1 9 8 8 ) 还给 出了零在制品库存控制( 即生产剩余量的h e d g i n gp o i n t 为零) 的最优性条件但是a k e l l a 和 k u m a r ( 1 9 8 6 ) 及b i e l e c k i 和k u m a r ( 1 9 8 8 ) 的结果都建立在这样个假设的基础上，即机器的 故障与修复过程是m a r k o v 过程，机器的正常工作时间和故障修复时间都服从负指数分布 并且最优h e d g i n gp o i n t 的求解过程也较繁琐为此，h ua n dx i a n g ( 1 9 9 3 ) 提出了一种改进的 方法，他们证明了上述单机器单零件品种的制造系统等价于一个m m i 排队系统，获得了系 统状态的稳态概率分布函数，在此基础上把制造系统的最优控制问题转化为排队系统状态的 函数在稳态下的数学期望的优化问题，当然这一数学期望是由生产剩余量的h e d g i n gp o i n t 决定的解此优化问题即可获得生产剩余量的h e d g i n gp o i n t 的解析解这就降低了问题的求 解难度同时，h ua n dx i a n g ( 1 9 9 3 ) 还证明了，对于机器的故障与修复过程不是m a r k o v 过程 的情形，单机器单零件品种的制造系统也可等价于一般的g i i i 排队系统，根据排队理论的 结果，j 1 ；| 类似的方法也可获得生产剩余量h e d g i n gp o i n t 的解析解这就拓宽了问题的可解范 围在这一等价理论的基础上，h u ( 1 9 9 5 ) 解决了生产剩余量不允许为负( 即不允许欠产) 的情 形下单机器单品种制造系统的最优控制问题，证明了这种情形下的最优控制仍然是h e d g i n g p o i n t 控制h ua n dx i a n g ( 1 9 9 5 ) 还利用这一等价理论解决了机器正常生产和故障维修周期 为已知确定的时间长度的情形下单机器单品种制造系统的最优控制问题，提出了一种切换曲 e & ( s w i t c h i n gc u r v e ) l 赫o y u 和s o n g ( 1 9 9 8 ) 则结合上述两种情形，用切换曲线控制解决了机 7 器止常生产和故障维修周期为已知确定的时间氏度，且不允许欠产的情形下，单机器单品种 制造系统的最优控制问题 把上述最简单的情况进行推广，首先推广到多机器单零件品种的情形r y z i n 等( 1 9 9 3 ) 研 究了由两台机器构成的串行生产线的最优控制问题，通过把时间变量离散化，他们获得了单 零件品种串行两机器制造系统的动态差分方程，这样，晟优控制问题就可用离散时间变量情 形f 的动态规划法求解这实质上是一种数值解法，通过对系统在这一数值解法获得的最优 控制f 的动态行为进行分析，他们提出了一种近似的控制方法，即“两边界法( t w o b o u n d a r y ) ”，即把系统的状态空间划分为若干区域，每个区域由两个分段线性的边界米限定， 在每个区域内部，采用简单的h e d g i n gp o i n t 控制，在边界上的控制则要避免系统状态的波动 ( c h a t t e r i n g ) 对于单零件品种多串行机器的制造系统针对多机器单零件品种的制造系统， g e r s h w i n ( 1 9 9 7 ，2 0 0 0 ) 提出了一种简单的h e d g i n gp o i n t 控制方法，即对于每台机器，若其生 产剩余量大于h e d g i n gp o i n t ，则该机器的生产率应为零；若生产剩余量等于h e d g i n gp o i n t ， 则该机器的生产率应等于需求率：若生产剩余量小于h e d g i n gp o i n t ，则该机器的生产率应尽 可能快这里，尽可能快的意思是若其上游缓冲区已空则该机器的生产率应为其自身最大生 产率和上游机器当前生产率的较小值；若其下游缓冲区已满，则该机器的生产率应为其自身 最大生产率和f 游机器当前生产率的较小值：若上游缓冲区不空且下游缓冲区不满，则该机 器的生产率应等于其自身最大生产率 对于单机器多零件品种的制造系统，通常采用h e d g i n gp o i n t 控制方法中的一种切换 曲线( s w i t c h i n gc u r v e ) 控制对于单机器两个零件品种的制造系统，s r i v a s t a n ( 1 9 9 3 ) 给出了这 样一种控制方法，即把由两种零件的生产剩余量状态构成的平面划分成三各区域，这三个区 域的共同的交点是h e d g i n gp o i n t ，在其中一个区域，两种零件的生产率都为零：在另两个区 间，备有一种零件按其最大生产率进行生产，而另一种零件的生产率为零：在h e d g i n gp o i n t 上，两种零件的生产率等于各自的需求率；在两个区域的边界上，生产率为相邻量区域内生产 率的线性组合总之，在各区域和边界上的控制都要促使系统状态到达h e d g i n gp o j n t s r i v a s t a n 和d a l l e r y ( 1 9 9 8 ) 还分析了在这种控制方法下制造系统的稳定性条件特别地，当假 定目标函数为二次函数时，边界为直线，此时这种控制称为“线性切换曲线( l i n e a rs w i t c h i n g c u r v e ) 控制”，p e r k i n s 平【is r i k a n ( 1 9 9 7 ) 获得了在线性切换曲线控制下单机器两个零件品种的 制造系统的系统状态的稳态概率密度函数，并据此获得这中控制方式f 的最优h e d g i n g p o i n t 进一步推广到单机器多零件品种的情形，p e r k i n s 和s r i k a n ( 1 9 9 7 ) 获得了在有优先级 的h e d g i n gp o i n t 控制方法( p r i o r i t i z e dh e d g i n gp o i n t ) 下，系统状态的边缘概率密度函数，并在 此基础上把多个h e d g i n g p o i n t 优化问题分解为一组相互独立的单个h e d g i n g p o i n t 优化问题 对于单机器多零件品种的制造系统，p e r k i n s 平s r i k a n ( 1 9 9 8 ) 给出了准时生产方式( j u s t i n - t i m e j i t ，即h e d g i n gp o i n t 控制方式中的系统状态h e d g i n gp o i n t 为零向量) 的虽优性的充分 羽必要条件，_ f = 且证明了当各种零件的欠产成本相等是，充分条件和必要条件是一致的 8 对于一般的多机器多举档一品种的制造系统，k i m e m i a 和g e r s h w i n ( 1 9 8 3 ) 给出了对这类 系统盼最优控制问题一般方法，印h e d g i n gp o i n t 控帚1 但是耍获得问题的确切解( 包括确定 h e d g i n gp o i m ，确定状态空间的划分，确定区域边界的方程，以及确定在每个嚣域内部和边界 t 的控铡变量的德) 娜需要解h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n 方程，这鼹一缀偏徽分方程，在问题娥 模较大时求解是比较困难的，因此，k i m e m i a 和g e r s h w i n ( 1 9 8 3 ) 给出了种近似的算法，什 对着类一般的制造系统，g e r s h w i n ( 1 9 9 7 ，2 0 0 0 ) 提出了种控翻点策略，帮稚据系统中吾机 器上每种零件的生产剩余墩与相应的h e d g i n gp o i n t 之间的关蕺把这些零件进行分类，并赋 予不同斡优先缀，程梵基勰上，把梳器盼生产鼗力对零释进行分就，实现帝造系统黪实时反馈 控制从本质上说，这种控制方法也属于h e d g i n gp o i n t 控制的范畴 1 3 本文的主要问题 在理有的关予髓| 造系统的最优控匍的研究中获得的控制方法多属于h e d g i n gp o i n t 控制 的范畴，这一控制方法的关键参数就煺h e d g i n gp o i n t 饿h e d g i n gp o i n t 饿的确定崴接决定了 制造系统的性能措标，铡赫系统的在帝晶成本和欠产成本在磊前的研究结果中，彼对单机器 单零件占i 【1 种的制造系统获得了h e d g i n gp o i n t 值的最优解的解析表达形式本文针对更复杂 静制造系统，铡如革零件蒜罩孛多机器率行翻造系统，荤机器多零件品种靠造系统，以及多机器 多零件品种的制造系统的h e d g i n gp o i n t 值的优化问鼷进行研究 在第二章中，褥对两台极器构成褥串幸亍制造系统姣悫的概率分布状援进行分辑，获得系 统状态的概率或概率分布磷皮函数对于一个特定的情形，把这结果推广到多个机器构成 鹃宰蜇铡造系统井在藏綦麓上计冀系统中程潮晶袋本释欠产袋搴之和，它是 e d g 雌p o i n t 的函数然后根据成本函数对h e d g i n gp o i n t 进行优化 崔黎三章串，将怒多零释燕秘鹣懿造系统避嚣努橱蓍走获得革梳器多零传燕种的懿逡 系统在有优先级的h e d g i n gp o i n t 控制下系绒状态的概率分布，井由此获得这一类系统的在 毒l 晶帮灾产或本蕊数，爨鑫授据残零疆数怼h e d g i n gp o i n t 豹篷逶行撬 乏最后研究多橇器多 零件品种的1 0 b - s h o p 制造蒜统的h e d g i n g p o i n t 优化问题 第四牵涛总缝本文获褥转缝栗势提窭集袋最霞涮逸系统设诗与控涮翊题 9 2 单零件品种制造系统控制中h e d g i n g p o i n t 的 优化 对于般的j o b s h o p 制造系统的控制问题，k i m e m i a 和g e r s h w i n ( 1 9 8 3 ) 给出了基于动 冬援翅躲烬凌方法。通过掺罨出系绕魍h j b 方程，把最饯控裁翅麓归结为一个线瞧竣糍趣题 但问题在于，需要知道成本函数对每种零件在_ 每道工序上的在制品数量的梯度函数的形式， 这一点魁镁毽难瓣。因蠢翥馁菜些镁定l 奠获缛近经的缝荣，铡鲡，镁定戒零涵鼗具裔二次重数 的形式，于是其对程制品数精的梯魔函数为线性函数，对于零件种类数不超过2 的情形，其最 谯控铡鄹为线性切换曲线( l i n e a rs w i t c h i n gc u r v e ) 控$ l ( g e r s h w i n 。1 9 9 4 ) ；对于零纷静类数超 过2 的情形，状态空间被划分成若干区域，区域之间的边界为平面或超平面( 3 维以上的线性 空闻) 褒簿个嚣域内部和边器上控利各不捆豳，但总的趋势是键使状态尽量抉地内h e d g i n g p o i n t 移动，并尽量停留在h e d g i n gp o i n t 上当零件种粪数较多时，即使成本函数为二次函数， 系统状态空阀划分灼情况也会报复杂。因此，这里采用转在工程上珏二较嶷f 的方法，即对予 每种零件的每道工序，给窟一个独立的h e d g i n gp o i n t ，对于每种零件在每道工序上的剩余馘 都采崩尊机器单零纷品种的h e d g i n gp o i n t 控制方式，但是出予藏道工序在制品数蹙的约柬 以及机器生产能力的约束，在该道：c 序上昀剩余量尚未达到h e d g i n gp o i n t 时，其生产率朱必 是该种零件在该种机器上所能达到的最大生产率，而鼹耍由最大生产率，剩余生产能力承l 翦 遭工序生产率共同决定在本章和下章中将分g u 针对攀零件品种多机器书行制造系统，多零 件鼎种尊机器制造系统和一般的多零件始种多机器制造系统遮几种情形，分别给出这静 h e d g i n gp o i n t 控制的具体形式，并给出获得最优h e d g i n gp o i n t 俊的方法 2 1 荤零件品种单机器制造系统的h e d g i n gp o i n t 控制 单零件晶耪单规器毒l 遗系统的动态方程为 掣：“一d (21)dt 4 其中，x ( f ) 表示f 时刻系统的生产剩余量，翮到，时刻为止累积生产量与累积需求量之莲： “( ，) 表示f 时刻系统的生产率：d 表示对零件的需求率令口p ) = 1 或0 分别表示t 对刻机器 处于正常运行或发生故黼状态；( t 口) 表示系统的状态：z 表示系统的最大生产率： w ( x ) 0 表示系统的性能搬标，于是系统的疑拢控制瓣题可表述为： m i n 憋 r 吣( f ) ) 出如) 州o ) s | 掣；。一d 藩 盟s 口( f ) 。 上述问题单的h e d g i n g p o i n t 控制可表述血q ； ( g e r s h w i n ，1 9 8 3 ) ： f ，i f x ( t ) o ，羔+ = m a x ( x ，0 ) ， x 一= m a x ( o ，一x ) ) 根据g ( x ) 的数学期望的极值条件，可获得z 的最优慎为 ，一f 墨堑查兰垒掣，i f g + 6 ( g + 十g 一) 0 这里，k 。氅 一 丝 b ( 曲d d 2 b + , u p )b ( r + p ) ( f d ) ( 2 9 ) 2 2 h e d g i n gp o i n t 控制下单零件品种多机器串行制造系统状态的概 率分布 没有一串行制造系统，由m 台机器构成，每两台机器之间的缓冲区容量假定为无穷大 该系统只生产一种零件，每道工序在一台机器上加工，依次经过这m 台机器令x 。( f ) 表示， 时刻第m 台机器上该种零件的生产剩余量，= l ，m ；口。( f ) = l 或。分别表示t 时刻机 器m 处于正常运行或发生故障状态，m = 1 ，m ：“。( ，) 表示f 时刻第m 台机器的生产率， m = 1 ，一，m ；。表示零件在机器m 上的最火生产率，m = 1 ，m ；d 表示对零件的需求 率于是这一制造系统动态方程为 c x _ , ( t ) = u m ( f ) 一d ，m ：l ，m a t 令w ( x ( ，) ，x 。( f ) ) 表示此制造系统的性能指标，则其最优控制问题可表述为 m i n 嬲e r w ( 引f ) ，“呦出押) ，一，“o ) 毗吣，“o ) s 上掣巩“m 小栩 业口。( f ) ，m ：1 ，m 月t 与单机器的情形不同的是，在串行生产线中，除第一台机器外，任何一台机器的生产率都受到 前一台机器生产率的制约，即当该机器与其前一台机器之间的在制品数量为零时，其生产率 不可能超过前一态机器的生产率由于存在这样的制约，单零件品种串行制造系统的 h e d g i n gp o i n t 控制常采取如下形式( g e r s h w i n ，2 0 0 0 ) ： l “，i f x l ( f ) z l 0 ，i f x 。( ，) z 。， “。，= 三：，篆2 ：j 三主：a 。z 。o ， 。，一。，m = z ，一，m c z - ， l m i n # ，“，一l ( f ) ) ，i f x 。o ) z 2 i f x 2 ( r ) = z 2 i f x 2 ( ，) z 2a n d x 2 ( ，) 一( f ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 在这一控制下系统的状态空间如图21 所示，即图中直线。i = z i 以左，直线。2 = z l 以下和 直线x l = x 2 右f 的部分，包括上述三条直线和点( z 1 ，z 2 ) j x 2 x i ：x 2 z 2x 2 ：z 2 ( z i ，z 2 ) d 0 1 ；z i x i r z 2z l 图2 1 两机器串行制造系统的状态空间 当x i z l ，x 2 z 2 且x 2 工1 以及缸i ，c 9 2 ) = ( 1 ，1 ) 时，系统的概率分布密度函数满足下列方 程： f ( x l ，x 2 ，1 ，1 ) = f ( x 一( 一d ) a ，x 2 一( 2 一d ) s t ，1 ，1 ) ( 1 一p i 毋) ( 1 一p 2 盘) + f ( x i 一( i d ) 西，x 2 + d 西，1 ，o ) ( 1 一p i 占t ) r 2 6 t 十f ( x l + d 6 t ，x 2 一( 卢l d ) 西，0 ，1 ) r f i t ( 1 一p 2 毋) + d ( 国) = f ( x i ，x 2 ，l ，1 ) 一( p l + p 2 ) f ( x l ，x 2 ，i ，1 ) 一。一f ( x l ，工2 ，l ，1 ) ( l d ) 拧 o x 1 3 一：望- f ( x i , x 2 , | ，1 ) ( 2 一d ) 8 十，( x l ，x 2 ，l ，o ) r 2 d t + f i x ，x 2 ，0 ，1 ) r f i t + 。( o 的 _ 2 令斗0 ，则由上式可得