（计算数学专业论文）vague集上模糊不确定性度量的研究.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 信息的量化问题是研究信息论的出发点。信息论的创始人s h a n n o n 指出通 信的作用就是通过消息的传递，使接收者从收到的消息中获取定的信息，从而 消除原来的不确定性，即信息就是用来消除不确定性的东西，通信后接收者获取 的信息，在数量上等于通信前后不确定性的消除量。从而对不确定性的研究成为 了人们日益关注的问题。信息的不确定性有多种形式：诸如随机不确定性、模糊 不确定性、分辨不确定性等。在随机不确定性方面的研究已得到完善的发展与应 用。随着生产和科技的发展，人们生活中又出现了诸如灰性、未确知性等不确定 性，对这些不确定性的研究，我们总希望能用已有的知识来解决。模糊信息论就 是利用模糊数学这一工具来研究带有模糊不确定性的信息的。本文主要在以下几 方面对模糊熵、相似度及相似度量进行了研究。 在本文的第二章中，推广了v a g u e 集模糊熵的概念，定义了v a g u e 集的偏熵、 关联熵及关联系数，分析了这些度量的性质，并通过例子描述了关联系数在现实 生活中的应用。 在本文的第三章中，从信息熵的角度出发，提出了一种新的v a g u e 集之问相 似度量的计算方法，并对其性质进行讨论。通过与现有方法的比较，阐明该方法 具有较强的分辨力。最后，用例子说明v a g u e 集之间相似度量在模式识别中的应 用。 在本文的第四章中，给出了v a g u e 集上距离测度公理化定义，提出了几种具 体的v a g u e 集之间的距离测度，讨论了v a g u e 集之间的相似度和距离测度的基本 关系，并将v a g u e 集之间的距离测度应用于解决模式识别中的问题。 关键词：模糊集，v a g u e 集，熵，偏熵，关联熵，关联系数，相似度量，模式识别 i i a b s t r a c t ( 英文摘要) a b s t r a c t t h eq u a n t i z a t i o no fi n f o r m a t i o ni ss t a r t i n gp o i n to fi n f o r m a t i o nt h e o r y s h a n n o n p o i n t e do u tt h a tt h ef u n c t i o no fc o m m u n i c a t i o nw a st ol e tt h er e c e i v e r sg e ts o m e i n f o r m a t i o nf r o mw h a th a sb e e nt r a n s m i t t e d ，a n dt h e ne r a s et h eu n c e r t a i n t yb e f o r e c o m m u n i c a t i o n s ot h es t u d yo fu n c e r t a i n t yb e c o m e sa n i m p o r t a n tt a s ko fu s t h e u n c e r t a i n t yo fi n f o r m a t i o nh a sm a n yf o r m s ，s u c ha sp r o b a b i l i s t i cu n c e r t a i n t y , f u z z y u n c e r t a i n t y , r e s o l u t i o n a lu n c e r t a i n t ya n d8 0o n t h er e s e a r c ho nt h ep r o b a b i l i t i c u n c e r t a i n t yh a sg o tf u l l yd e v e l o p e da n da p p l i e d w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y ， w ef o u n dt h e r ea r es o m eo t h e rk i n d so fu n c e r t a i n t y ，s u c ha sg r e y u n c e r t a i n t y ，u n c e r t a i n t ya n ds oo n f o rt h e s en e wk i n d so fu n c e r t a i n t y ，w eh o p e t h e r ess o m ek n o w nk n o w l e d g ec a l ld e a lw i t ht h e m ，s u c ha si nf u z z yi n f o r m a t i o n t h e o r y ，f u z z ym a t h e m a t i ca c t s 嬲at o o li nd e a l i n gw i mt h ei n f o r m a t i o no ff u z z y u n c e r t a i n t y 。i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d i e de n t r o p y ，s i m i l a r i t ym e a s u r e ，d i n s t a n c e m e a s u r e i nc h a p t e rt w o ，w ee x t e n dt h ec o n c e p to fe n t r o p yi nv a g u es e t ，a n dd e f i n et h e p a r t i a le n t r o p ya n dr e l a t i v et o e f f i e i e n to fv a g u es e t ，a n da n a l y z et h en a t u r eo ft h e s e m e a s u r e s ，a n ds h o wt h ea p p l i c a t i o no f t h er e l a t i v ec o e f f i c i e n t si nr e a ll i f eb ye x a m p l e i nc h a p t e rt h r e e , an e ws i m i l a r i t ym e a s u r eb e t w e e nv a g u es e t sb a s e do n i n f o r m a t i o ne n t r o p yw a sp r o p o s e d ，a n di t sp r o p e r t i e si sd i s e u s s e d t 1 1 i sn e wm e t h o di s i l l u s t r a t e db yc o m p a r i s o nw i t ht h ep r e s e n tm e a s u r em e t h o d st h a ti th a ss t r o n g e r d i s c r i m i n a t i o n f i n a l l y , t h es i m i l a r i t ym e a s u r e sb e t w e e nv a g u es e t sa r ea p p l i e dt o p a t t e r nr e c o g n i t i o n i nc h a p t e rf o u r , w eg i v et h ed e f i n i t i o no fd i s t a n c em e a s u r e sb e t w e e nv a g u es e t s ， s o m ed i s t a n c em e a s u r ea r ep r o p o s e da n dc o r r e s p o n d i n dm e a s u r ea n dd i s t a n c e m e a s u r eo fv a g u es e t sa r ea n a l y z e d ，f i n a l l y , t h ed i s t a n c em e a s u r eo fv a g u es e t sa r e a p p l i e dt op a t t e r nr e c o g n i t i o n k e y w o r d s ：f u z z ys e t s ，v a g u es e t s ，e n t r o p y ，p a r t i a le n t r o p y ，r e l a t i v ee n t r o p y r e l a t i v ec o e f f i c i e n t ，s i m i l a r i t ym e a s u r e ，p a t t e r nr e c o g n i t i o n i l l 知识产权与独创性声明 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 音，芦 学位论文作者签名：拉赵丝指导教师签名：童兰! 二：，乜 m - 7 年月( 日2 0 0 7 年月占 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：表双垄 一f 年6 月 l 1 第一章绪论 第一章绪论 1 1问题背景 在当今信息时代，不确定性信息的处理量远比确定性信息更多更复杂。而确 定性信息的处理已有现成的经典数学理论作为依托。因此，研究不确定性信息的 表达和处理是当今时代的一个重要问题。人们最早接触的不确定性是随机性，对 随机性的研究已经形成概率论、数理统计、信息论等重要学科，其发展已经成熟， 应用非常广泛。随着生产、科技的发展，由定义的不清、度量尺寸的模糊性、或 者决策者不能完全把握事物真实状态和数量关系，造成了有别于随机性的不确定 性。诸如：模糊不确定性、分辨力不确定性、未确知性等。 模糊现象在现实生活中比比皆是，因此，模糊不确定性备受大家关注。虽然 模糊性与随机性都可导致不确定性现象，但他们又有本质上的差异。所谓的模糊 性，指的是事物本身不清楚或者衡量事物的尺度不清楚。例如，进行地震危险性 分析时，我们常会说某地有“大的活动断裂”，尽管目前的分析水平，需要将其 大小和活动性根据需要取一些数值来表示，但事实上，人们对活动断裂的研究还 非常不够。既不能挖开去看一看，也缺乏必要的仪器去进行测量。这就是事物本 身不清楚。但事物发生于否是明确的。至于随机性，就不存在事物本身或者衡量 尺度不清楚的问题了，它是针对事物的发生与否而言的，由于条件不充分，事物 可能发生也可能不发生即事物的发生存在一定的概率，但事物本身的含义是明确 的。针对这两种不确定性，就需要借助不同的数学工具来研究。 l a z a d e h 创立的f u z z y 集理论 1 为模糊不确定性的研究提供了有力的数 学工具。模糊概念可以用集合来描述，即集合可以表现概念，一个概念有其内涵 与外延，内涵指的是符合此概念的对象所具有的共同属性，外延指的是符合此概 念的那些对象的全体。f u z z y 集理论不对事物作简单的肯定与否定，而是用隶属 度来反映某一事物属于某范畴的程度，用这种办法来表示客观存在的模糊性。虽 西北大学硕士学位论文 然f u z z y 集能较好的表示模糊性，但它采用单值的隶属函数表示“一定程度上属 于”的关系，即单值的隶属度包含了支持和反对证据的程度，使得它不能表示 中立的证据，因此f u z z y 集具有明显的缺陷。 为了解决f u z z y 集的这种缺陷，g a u 等 2 于1 9 9 3 年提出v a g u e 集，它是一 种模糊信息处理理论。在v a g u e 集中，论域内的元素与论域上的集合之间的关系 是“在一定程度之内范围属于的关系”，它的隶属程度采用区间的表示形式，这 个区间既给出了支持证据的程度，同时也给出了反对证据的程度，而且能够表示 和处理f u z z y 集无法表示和处理的模糊信息。而a t a r l a s s o v 1 5 于1 9 8 6 年提出一 种新的模糊信息处理理论一直觉模糊集。b u s t i a c e 等0 9 】证明了v a g u e 集与直觉 模糊集在定义上是等价的，本质上是一致的，只是采用了不同的表达方式。本文 在以后的讨论中将不再区分v a g u e 集与直觉模糊集，将两者统称为v a g u e 集。 目前，v a g u e 集在模糊性的表示和处理方面的优势逐渐受到重视，在理论方 面，v a g u e 集不断的发展；在应用方面，v a g u e 集主要在模式识别、聚类分析、 决策和医疗诊断等领域取得较好的应用效果。v a g u e 集作为处理模糊信息的一种 手段，近年来得到了较快的发展，但v a g u e 集理论的研究还不是很完善。 本文主要通过模糊数学中一些比较熟悉的理论对v a g u e 集、v a g u e 集的相似 度量及v a g u e 集的不确定性作进一步的研究，最后指出v a g u e 集目前存在的问题 及今后的研究方向，以便为大家进一步研究提供参考。 1 2 基本知识简介 设4 是论域x 上的一个模糊集，表示为a = 二。心( ) ，t ，x ，这里 以( ) 是的隶属度函数，值域为 0 ，1 。为方便起见，我们记论域x 上的全体 模糊集为f ( x ) a 特别的，s t y x ，若心( ) = l 或以( ) = 0 ，则模糊集a 退 化为分明集。 作为信息度量的熵是信息论中最基本的概念。下面我们首先回顾下模糊熵 的概念。 2 第一章绪论 模糊集的熵是一个映射h ：f ( x ) 斗胄+ ，其中r + = 0 ，+ 0 0 。它应满足下 面的公理：v a f ( x ) ， ( p 1 ) h ( a ) = 0 ( ) = 0 或1 ，v x 。 ( p 2 ) h ( a ) 取最大值营心( ) = o 5 ，vt x 。 ( p 3 ) h ( a ) 日( 面，其中为a 的锐化。 ( p 4 ) h ( 一) = 日( 两，其中j 为a 的补集，即段( t ) = 1 一鳓( 置) ，v t x 。 1 9 6 8 年，z a d e h 1 0 首先提出了一种度量模糊不确定性的方法，即 日( 彳) = - - p , u , ( x , ) l o g p , 其中只为发生的概率。 但是这一定义不满足模糊熵的公理化条件，于是意大利学者d e l u c a 和 t e r m i n i 9 于1 9 7 2 年参照s h a n n o n 熵形式给出了另一种模糊熵度量： 以彳) = 一二 t a ( x i ) t o g u a ( x , ) + ( 1 - , u a ( x , ) ) i o g ( 1 一以( ) ) 】 这一模糊熵形式上满足熵的公理化条件，也从此得到了广泛的应用。之后， 随着模糊信息论的诞生，不少学者又对模糊信息度量进行了进一步的研究。其中 x c l i u 1 1 于1 9 9 2 年给出的模糊集的熵、相似度、距离测度的公理化定义，对 模糊信息论的发展起到了良好的推动和促进作用。 距离测度：模糊集上的距离测度是一个映射，即d ：f ( x ) f ( x ) 寸r + ，它 满足下面四条性质： ( d p i ) d ( a ，b ) = d ( e 彳) ，对任意的爿，b f ( z ) 。 ( d p 2 ) d ( a ，栅= 0 ，对任意的a 尺x ) 。 ( d p 3 ) d ( d ，d ) = m a x 皿f ( ) d ( a ，口) ，对任意的d p ( z ) 。 ( d p 4 ) 对任意的4 ，口，c f ( x ) ，如果满足a c b c c ，则有 d ( a ，回s d ( a ，c ) ，且d ( e c ) s d ( a ，c ) 。 相似测度：模糊集上的相似测度是一个映射，即s ：，( x ) f ( z ) - r + ， 它满足下面四条性质： ( s p i ) s ( a ，b ) = s ( b ，4 ) ，对任意的爿，b f ( x ) 。 西北大学硕士学位论文 ( s p 2 ) s ( a ，a ) = 0 ，对任意的a f ( x ) 。 ( s p 3 ) s ( d ，d 。) = m a x 邶州) s ( a ，b ) ，对任意的d p ( x ) 。 ( s p 4 ) 对任意的a ，b ，c f ( x ) ，如果满足a 亡b c c ，则有s ( a ，b ) s ( a ，c ) ， 且s ( b ，c ) s ( a ，c ) 。 在模糊集的理论中，元素对模糊集的隶属度是介于 0 ，1 之间的一个数。但 在现实生活中。并不是所有的元素不隶属于某个模糊集的程度与其隶属于那个模 糊集的程度之和恰好为1 。实际上，往往还存在一些中立的程度。因此， a t a n a s s s o v 于1 9 8 6 年在文 1 5 中提出了一种比f u z z y 集更加广义的模糊集 一i n t u i t i o n i s t i c 模糊集。后来，b u r i l l o 和b u s t i n c e 1 9 证明了这一概念与g a u 和b u e h e r e 3 与1 9 9 3 年提出的v a g u e 集的概念是等价的。在本文中，我们对两 个概念不加区别，均采用v a g u e 集的定义形式。 设x = “x 2 ，矗) 为所讨论的论域，x 中的一个v a g u e 集表示为： a = 托i 【( t ) ，1 - 六( t ) 】| t x ) ，其中t a ：xj 【o ，1 】和六：x 一 o ，1 】分别为隶 属于a 的真隶属函数和假隶属函数。l a ( x , ) 为一的肯定隶属度的下界。：| ( ) 为x s 的否定隶属度的下界，并且对于任意的x l x 有( ) + 以( ) i 。隶属于 v a g u e 集a 的程度为【( t ) ，l 一无( ) 】c 0 ，1 1 ，这说明的确切隶属度以( 一) 未 知，但t a x , ) s 以( ) 1 - 以) 。称乃( t ) = 1 - t a ( t ) - 以( ) 是v a g u e 集a 中的 直觉指标数，也称其为葺隶属于4 的踌躇度( 未知度) 。特别当对于任意的t x ， ( 置) + 无( ) = l 时，4 便退化为f u z z y 集，可见f u z z y 集是v a g u e 集的特殊情 况，v a g u e 集是f u z z y 集的推广。为方便起见，我们记论域x 上的所有v a g u e 集 为v ( x ) 。 随着v a g u e 集的出现，p b u r i l l o 2 0 给出了直觉模糊熵，即v a g u e 熵的公 理化定义：v a g u e 集的模糊熵是一个映射，即，：v ( x ) _ r + 它满足下面四个条件： ( i p l ) j ( 彳) = 0 ，a y ( x ) 。 ( i p 2 ) i ( a ) = c a r d ( x ) = n ，当且仅当对于任意的葺x ，( t ) = 兀( ) ( i p 3 ) ( a ) = i ( a 。) ，对任意的a v ( x ) 。 4 西北大学硕士学位论文 ( i p 4 ) 对任意的a ，b v ( x ) ，如果彳 0 ， c a ，b v ( x ) 证明由0 t x ( x ，) s l 得i n t ( ) s 0 ，又由0 以( 石，) s 1 得i n 六( t ) 0 ，又有 0 l ( x ，) ，厶( x ，) s 1 ，所以，e 。( 一) 0 。 性质2 2 ( 彳) 2 n l n 2 颤丑) ，玩( 研n i n 2 e ( a ) ，w ，b 矿( 证明根据凸函数的j e n s o n 不等式有 e b ( 4 ) 一n l n 2 e ( b ) 7 第二章v a g u e 集的偏熵与关联熵 = 一撕“) l n 槲堋l n 糕】 一巴l 毗) 揣+ 胞) 糕 = 一二l n ( t 。( 一) + 厶( ) ) 又因为o t a ( 工，) + 厶( t ) l 所以一二l ，l n ( r 。( t ) + ( x ，) ) o 故命题得证。 同样可证明毋( 彩n l n 2 e ( a ) 。 事实上，岛( 彳) 一n 1 1 1 2 e ( b ) 与e a ( b ) - n l n 2 e ( a ) 与文献【5 】中定义的f u z z y 集b 区别于f u z z y 集a 的模糊信息，( b ；一) 和f u z z y 集a 区别于f u z z y 集口的模 糊信息i ( a ；b ) 相类似，这里是将，( 口；彳) 和j r ( 彳；切推广到了v a g u e 集上。上面性 质还表明，当给定v a g u e 集b 时，对所有的v a g u e 集a 的相对不确定性而吉爿取 为b 时不确定性最小。 性质2 3 e a ( 乃= e z ( a ) = e a r n ( a u a ) = 旧印n 孑) ，va 矿( z ) 其中彳为 a 的补。 性质2 4 e 。( 万) = e 。( 爿) ，v a ，b 矿( x ) 其中万，百为a ，b 的补。 上面两个性质根掘偏熵的定义很容易证明。 性质2 5 ( 可加性) ( 爿u b ) + e c ( a n b ) = e c ( 4 ) + e c ( 曰) 证明分四种情况来证明： ( i ) x 0 ) = xi 石x ，t a ( x ，) f 口( x ，) 且六( x ，) 厶( x ) ) ( i d 记x 2 = 石lx x ，( x ，) k ( x ，) 且几( x ，) 厶( x ) ) ( i i i ) 记x 3 = xl 工x ，t 月( x ，) 厶 ( v i ) 记x 4 = xx x ，t a ( x ，) - 0 ，v a ，b v ( x ) 性质2 1 1v a ，b 矿( x ) ，0 几( 爿) ，n ( 口) ，p ( 4 ；b ) 1 并且当且仅当a = b 时， p b ( 爿) = p ( 曰) = p ( ；b ) = 1 由性质3 2 及定义4 2 很易证明。 性质2 1 2v a ，b v ( x ) ，p ( a u b ；a n b ) = p ( b ；a ) 需要说明的是，当v a g u e 集退化为f u z z y 集时，v a g u e 集的偏熵，关联熵， 关联系数转化为f u z z y 集的偏熵，关联熵及关联系数。 由关联系数的性质可知，它在聚类分析，图像处理，模式识别等多个领域都 会发挥一定的作用。下面就通过具体的实例来说明： 2 4 关联系数的应用 目前，v a g u e 集的相似度量主要基于两种思想：一是c h e n 6 提出的利用s 函数来衡量v a g u e 集的相似。另一种是基于距离测度的思想。这罩我们给出了利 用关联系数来衡量v a g u e 集的相似性。 1 0 西北大学硕士学位论文 例下面有四种金属，每种金属含有6 项指标，可将其表示为论域x = x l ，x 。) 上的四个v a g u e 集c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 ，其中 c l2 ( 0 7 3 9 ，0 1 2 5 ) ，( o 0 3 3 ，0 818 ) ，( o 18 8 ，0 6 2 6 ) ，( o 4 9 2 ，0 3 5 8 ) ，( o 0 2 0 ，0 6 2 8 ) ， ( o 7 3 9 ，0 1 2 5 ) ， c 2 2 ( o 1 2 4 ，0 6 6 5 ) ，( 0 0 3 0 ，0 8 2 5 ) ，( o 0 4 8 ，0 8 0 0 ) ，( 0 1 3 6 ，0 6 4 8 ) ，( o 0 1 9 ，0 8 2 3 ) ， ( o 3 9 3 ，0 6 0 3 ) ， c 3 = ( o 2 8 0 ，0 7 1 5 ) ，( 0 5 2 1 ，0 3 6 8 ) ，( 0 4 7 0 ，0 4 2 3 ) ，( 0 2 9 5 ，0 6 5 8 ) ，( o 1 8 8 ，0 8 0 6 ) ， ( o 7 3 5 ，0 1 1 8 ) ， c 4 2 ( o 3 2 6 ，0 4 5 2 ) ，( o 6 6 2 ，0 2 9 8 ) ，( o 1 8 2 ，0 7 2 5 ) ，( o 1 5 6 ，0 7 6 5 ) ，( o 0 4 9 ，0 8 9 6 ) ， ( o 6 7 5 ，0 2 6 3 ) ) ， 现有另外一种金属 b 2 ( 0 6 2 9 ，0 3 0 3 ) ，( o 5 2 4 ，0 3 5 6 ) ，( 0 2 1 0 ，0 6 8 9 ) ，( 0 2 1 8 , 0 7 5 3 ) ，( o 0 6 9 ，0 8 7 6 ) ， ( 0 6 5 8 ，0 2 5 6 ) ) 问其应属于四种金属中的哪种? 解经计算得下列结果： d ( c l ，b ) 2 0 2 3 0 ，d l ( c 2 ，b ) 2 0 2 7 0 ， d 。( c 3 ，b ) 2 0 1 6 5 ，d l ( c 4 ，b ) 2 0 1 3 8 ， 妒( c 1 ；b ) 2 0 。6 8 3 ，户( c 2 ；b ) 。o 6 0 8 ， p ( c 3 ；b ) ：o 8 4 8 ，p ( c 4 ；b ) 。0 9 5 2 ， 从以上结果看，从距离角度得到的结果与从关联系数得到的结果是一致的，即金 属曰应于巴归为一类。 上例是关联系数在模式识别方面的应用，除此之外，其在聚类分析方面，也 有着广泛的应用，关联系数是一种非线性分析方法，克服了传统分析法只能解决 线性问题的缺点，有着广阔的应用前景。 第三章信息意义下v a g u e 集的相似度量 第三章信息意义下v a g u e 集的相似度量 自z a d e h 于1 9 6 5 年提出了f u z z y 集理论 1 】以来，相似度量便成为比较两群 体及两元素的重要工具。g a u 和b u e h r e 2 于1 9 9 3 年提出的v a g u e 集是模糊集的 一种推广形式，它等同于a t e m a s s o r 提出的直觉模糊集。v a g u e 集由真假隶属函 数定义，体现了元素对模糊概念的属于与不属于的程度或证据，较传统的模糊集 有更强的表达不确定性的能力，且更具灵活性。 在不确定信息处理过程中，经常将两知识模式( 如两个模糊断言，两个谓词 公式或两个语义网络片段) 进行比较和匹配，以判定两知识模式是否完全一致或 近似一致。如果两者完全一致，或者虽不完全一致，但两者之间的相似程度落在 给定的阈植内，就称这两个知识模式是匹配的，否则称为不匹配。针对v a g u e 集间的知识相似度量这一问题，众多学者提出了各自v a g u e 集问的相似度量 【7 - 8 1 1 4 4 4 5 】。 由于v a g u e 集较模糊集能更好地描述客观世界事物的不确定性，因此，本文 从v a g u e 集描述事物本身的不确定性出发并引入了偏熵概念，在此基础上，提出 了一种新的v a g u e 集间相似度量模型，并与现有方法进行比较，阐明本文方法的 有效性，最后，通过例子说明应用。 3 1 预备知识 定义3 1 1 2 】设x = “，x 2 ，毛) 是一个论域，v ( s ) 表示x 上的所有v a g u e 集的 集合，v ( x ) 中的任意v a g u e 集彳用一个真隶属函数和一个假隶属函数z 表 示，t a ：x 一 o ，i 】，正：x 斗【o ，l 】，其中( t ) 是由支持的证据所导出的肯 定隶属度的下界，六( ) 则是由反对的证据所导出的否定隶属度的下界，且 ( t ) + f a ( 葺) 1 。元素t 在v a g u e 集4 中的隶属度被区间【0 ，1 】的个子区间 i t ( 薯) ，1 - 无( t ) 】所界定，称该区间为t 在4 中的v a g u e 值，记为( t ) 。 对v a g u e 集爿，当x 离散时，记为a = ：。 ( t ) ，1 - f _ ( x , ) l x , ，x ，当x 西北大学硕士学位论文 连续时，记为彳= l h ( 曲，1 一六o ) 】，x ，z x 。 定义3 2 1 4 3 假定x = “，屯，) ，a 矿( x ) ，我们称e ：矿( x ) j 【0 ，l 】， e 。) = 一五b ：，【( ( ) 1 1 1 ( ) + f a ( x , ) l n 厶( ) 】为v a g u e 集的熵。 3 2v a g u e 集之间的相似度量 本节给出一种新的v a g u e 集之间的相似度量公式。 定义3 3 设论域x = “，x 2 ，毛 ，a ，b 为x 上的两v a g u e 集，其中 4 = ：。i t 。( t ) ，1 一无( t ) 】薯，曰= ：。i t 。( 薯) ，1 - a ( x , ) x , 定义a 关于b 的偏熵为： ( 彳) = 一：。【( t ) l l l o ( t ) + 厶( t ) l n 六( ) 】 上式中b 称为基准基在此定义中，按惯例规定0 i n o = o ，i n 0 = 。类似的 可定义b 关于a 的偏熵为： e ( b ) = 一：。 g ( x , ) i n t 。( 一) + 一( 一) l n 厶( 一) 】 考虑两个v a g u e 集间的熵与偏熵的关系。可定义如下两个v a g u e 集之间的相 似度量。 定义3 4 设论域x = “，恐， ，a ，b 为x 上的两v a g u e 集，其中 a = ：。i t 。( ) ，1 - l ( x , ) l x , ，b = ：，i t 。( t ) ，1 - f n ( x , ) l x , 定义4 与占之间的相似度量如下： t ( a ，曰1 ：n i n 2 ( e ( a ) + e ( b ) ) ( 1 ) 7 e a ( b ) + e b ( 4 ) 其中 e ( 4 ) = 一杀芝疆( t ) l n ( ) + 兀( ) 1 1 1 六( 薯) 】 e ( b ) = 一而1 乙n 【( 岛( ) l i l ( 薯) + 厶( ) l n 厶( t ) 】 易( 爿) = 一：【( 而) l f l ( ) + 厶( 五) l n 厶( ) 】 1 3 第三章信息意义下v a g u e 集的相似度量 巴( b ) = 一：i t 。( ) b ( ) + 六( ) l n 石( ) 】 以下讨论度量函数t ( a ，b ) 的性质。 定理3 1 设爿，b 是论域x = “，恐， 上的两个v a g u e 集，则度量函数丁( 爿，b ) 有如下性质： ( 1 ) 0 t ( a ，b ) 1 ， ( 2 ) t ( a ，矗) = t ( b ，彳) ， ( 3 ) t ( a ，曰) = 1 营a = b 证明：( 2 ) 的证明是直接的，以下给出( 1 ) 和( 3 ) 的证明 ( 1 ) 。? e ( 回+ 乓( 彳) 一刀i n 2 ( e ( a ) 一e ( 丑) ) = - z 7 1 t x ( x , ) i n t s ( x , ) + f a ( x , ) l n f b ( x , ) + t n ( x , ) l n g ( x ，) + f b ( x , ) l n f a ( x , ) 一( t ) + i n t a ( x , ) 一无( ) b 兀( ) 一b ( ) l n ( 薯) 一厶( t ) l l l 厶( t ) 】 = 黔m 糕吲啪揣堋习) i n 丽f a x , ) 堋圳n 糕 巩”糕) + f 如) ( 1 一糕m ”糕m ”糕) = t a ( x , ) 一f 8 ( ) + 如( t ) 一f 。( ) + 无( t ) 一厶( ) 十五( ) 一无( ) = o e ( b ) + ( 4 ) n l n 2 ( e ( 一) 一e ( b ) ) 于是有t ( a ，动s 1 ，上式的证明用到了不等式l g x 1 一二。 又。e ( 4 ) ，e ( 口) ，e a ( b ) ，( 爿) 都是非负 0 s t ( a ，b ) 1 ( 3 ) 。上式( 1 ) 中等号成立的充要条件是( ) = ( ) ，无( ) = 厶( 薯) t ( a ，b ) = 1 a = b 。 3 3 与现有度量方法的比较及应用 设4 ，b 是论域x = 一，x 2 ，k ) 上的两个v a g u e 集，文献【7 8 ，3 礅 4 4 - - 4 5 分别给出a 与曰之间的相似度量如下： 1 4 西北大学硕士学位论文 t ( 彳，b ) = 1 一：。【丛垒! 羔三二j 量! 羔旦 垒! 捌+ 壁垒! 蔓三二! 尘学 re(爿，占)=1一丢：。【生!兰三二j鱼卫兰三竺生捌 驯加专：i 【出掣竽塑划 毛( 伽) = l 一去二 今通过例子对以上公式与本节公式( 1 ) 进行比较。 例1 设z = 石) ，x 上的v a g u e 集a ，旦，岛，恳，目，马，玩，马及由上公式所得的a 与 e ( j = 1 ，2 ，7 ) 之间的相似度量由如下表1 给出 表1v a g u e 集a 与最之间的相似度量 l234567 4 【0 4 ，f 0 4 ，【o 4 ，【0 4 ，【0 4 ，【0 4 ，【0 4 ， o 8 】0 8 】0 8 】0 8 】0 8 0 8 】o 8 】 b 【0 ，3 ，【0 3 ，【0 3 ，【0 4 ，【0 5 ，【0 5 ，【0 5 ， 0 7 】o 8 】0 4 】o 7 】0 9 】0 7 0 8 】 瓦 0 9o 9 5o 9 5o 9 5o 9 5o 9 5o 9 5 乏 0 9o 9 510 9 50 9 510 9 5 巧 0 90 9 50 9o 9 50 9 50 90 9 5 兄 0 90 9 30 90 9 3o 9 3o 90 9 3 r o 6 6o 6 80 6 40 9 70 9 4o 6 6o 6 8 由表中可看出，相对于v a g u e 集4 ，若利用度量函数r c ，则垦、局、b 、马不 可分辨，马、鼠不可分辨；若利用度量函数巧或，则芝、只、b 、马不可 分辨，马、马、坟不可分辨；用度量函数瓦，则岛、马、鼠、忍、忍、马均 第三章信息意义下v a g u e 集的相似度量 不可分辨；若利用本文提出的度量函数丁，则只有蜀、鼠不可分辨。由此可知， 本节给出的度量公式有更强的分辨力。 以下说明v a g u e 集之间的相似度量在模式识别中的应用。 识别规则：设论域x 上小个标准模型4 ，k = 1 ，2 ，m ，待识别模型b ，若 存在某个k o l ，2 ，m ，使得r ( 氏，b ) = 觋坚 丁( 4 ，丑) ) ，其中r ( 4 ，b ) 表示a k 与om b 之间的相似度量，则给出结论模型b 应属于模型4 。 例2 设有三种定义在x = x l ，而，而 上的己知模式 4 7 】它们具有用v a g u e 集表述 的特征如下：a i = 0 1 ，0 9 x ) + 【o 5 ，0 9 l x 2 + 【o 1 ，0 1 x 3 4 = f 0 5 ，0 5 】葺+ 【0 7 ，0 7 x 2 + 【o 1 ，0 2 x , 鸽= 【0 7 ，0 8 l x i + 【o 1 ，0 2 x 2 + o 4 ，0 6 1 x , 问样本b 到底应该属于那种模式? 首先计算t ( b ，4 ) ，扛1 ，2 ，3 ，t ( b ，4 ) = 0 7 2 1 6 ，r ( n ，4 ) = 0 9 7 1 9 ， t ( b ，4 3 ) = o 5 6 0 1 ，因此k o = i i m a x ( t ( b ，4 ) ) = 2 ) ，所以模式b 属于4 。 3 4 结论 v a g u e 集理论作为一种新的不确定性智能信息处理方法，正越来越引起众多 研究者重视，它具有比f u z z y 集更强的数据表达能力。集合之间的相似度量是不 确定信息处理的重要环节。怎样建立一个合理有效的v a g u e 相似度量模型，一直 是众多v a g u e 研究者研究的课题之一。本章从v a g u e 集信息熵出发，提出了一种 新的v a g u e 集之间相似度量模型，并与现有的v a g u e 集之间相似度量方法进行了 比较，最后，将v a g u e 集之间相似度量应用于模式识别本。模型为v a g u e 环境下 知识模式的比较与耦合提供了一种新的更加合理的方法，该方法有望在更广泛的 领域得到应用。 1 6 第四章v a g u e 集之间的距离测度 第四章 v a g u e 集之间的距离测度 4 1 引言 在模糊集理论中，元素对模糊集的隶属度是介于【0 ，1 】之间的一个数。但在 现实生活中，并不是所有的元素不隶属于某个模糊集的程度与其隶属于那个集合 的程度之和刚好为l ，也就是说，往往还存在一些中立的程度。因此，a t a n a s s o v 1 5 】 于1 9 8 6 年提出了一种新的模糊信息处理理论一直觉模糊集，g a u 2 于1 9 9 3 年提 出v a g u e 集理论，它也是一种处理模糊信息理论的方法，而b u s s t i n c e 1 9 证明 v a g u e 集与直觉模糊集在定义上是等同的，本质上是一致的，只是采用了不同的 表达方式。本文不在区分直觉模糊集和v a g u e 集，将二者统称为v a g u e 集。近年 来，不少学者对这一概念进行了深入研究。在文 6 7 3 1 3 2 中作者提出了几种 v a g u e 集的相似度量，文 2 9 中也提出了几种v a g u e 集的相似度量，并把它应用 于模式识别中，解决了模式识别的问题。但是l i a n g 和s h i 3 0 ，m i t c h e l l 3 6 指出文 2 9 中的测度在有些情况下不能较好的使用，并分别对其进行了修改，但 它对现实生活中的某些现象不能较好的解释。因此在本文中我们提出了v a g u e 集之间的距离测度的更广义定义，也提出了几种新的v a g u e 集之间的距离测度， 并将其应用于模式识别中。 4 2v a g u e 集之间的距离测度 首先，我们回顾一下v a g u e 集的基本概念。 定义4 1 【1 】论域x = x ) 上的模糊集爿定义为： a = ( x ，z a ( x ) ) 1 工x ) 其中，以：x _ 【o ，1 】为模糊集爿的隶属函数，u a ( x ) 【0 ，1 】为元素x x 在a 中的 隶属度。 定义4 2 【2 】设x = 瓴，恐，矗 是一个论域y ( 石) ，表示x 上的所有v a g i l e 集的