（理论物理专业论文）热非高斯性和naqde暗能量模型的研究.pdf

摘要 摘要 从二十世纪九十年代开始，我们进入精确宇宙学时代。大尺度结构的来源 和演化，暗能量的起源和演化是当今宇宙学研究的两大热点。本论文分别研究 了热非高斯性和n a q d e 暗能量模型。 论文首先介绍宇宙学的背景和标准宇宙学模型，然后简单介绍了非高斯性 和热扰动。 接着，主要研究了全息宇宙，半经典圈量子宇宙和近米尔恩宇宙中的热非 高斯性。由于导入了新物理，在全息宇宙，半经典圈量子宇宙和近米尔恩宇宙 中，纯热扰动可以产生近标度不变谱。在本文中，我们计算了热非高斯性。发 现在全息宇宙中，如果物质是p h a n t o m 1 i k e ，非高斯性参数昭删可以达到o ( 1 ) 甚 至比0 0 1 要大。特别在极限彩- 9 一5 3 ，非高斯性将相当大并且为负。同时，如 果我们忽略相变期间温度t 的变化，那么由于能量正比于面积，热全息非高斯 性将线性依赖于k 。在半经典圈量子宇宙中，非高斯性被压低。我嚣 也研究了近 米尔恩宇宙中的热非高斯性。 此外，我们也研究了n a q d e 暗能量模型。用q u i n t e s s e n c e 场完成了n a d e 暗能量模型的重构，表明宇宙的n a d e 演化可以由q u i n t e s s e n c e 标量场描述， 我们称之为n a q d e ( n e wa g e g r a p h i cq u i n t e s s e n c ed a r ke n e r g y ) 模型。作为 q u i n t e s s e n c e 场的函数，数值重构了n a q d e 的势。特别，在物质统治时期，给 出了n a q d e 模型的解析解。进一步，研究了n a q d e 模型在缈一缈相平面的演 化。结果表明由于量子修正，在宇宙早期，n a q d e 的轨迹在t h a w i n g 和f r e e z i n g 区域之外。在后期，进入了f r e e z i n g 区域，逐渐接近静态宇宙常数。因此，n a q d e 在宇宙演化的后期应该属于f r e e z i n g 模型。此外，进一步研究了n a d e 和d m ( 暗 物质) 之间的相互作用，也讨论了它在一缈相平面的演化。 关键词：宇宙学；非高斯性；暗能量；n a q d e a b s t r a c t a b s t r a c t c o s m o l o g yi se x p e r i e n c i n gap r e c i s ee p o c hs i n c et h el a s td e c a d eo ft w e n t i e t h c e n t u r y t h eo r i g i na n dt h ee v o l u t i o no fl a r g es c a l es t r u c t u r ea n d d a r ke n e r g ya r et w o h o ti s s u e so fm o d e mc o s m o l o g y t h i st h e s i s m a i n l y f o c u so nt h et h e r m a l n o n g a u s s i a n i t ya n dn a d ed a r ke n e r g ym o d e l i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , t h eb a c k g r o u n do fc o s m o l o g ya n dt h es t a n d a r d c o s m o l o g i c a lm o d e la r er e v i e w e d t h e nw eg i v eb r i e f r e v i e wo nn o n g a u s s i a n i t ya n d t h e r m a lf l u c t u a t i o n s s e c o n d l y ，w ei n v e s t i g a t et h et h e r m a ln o n g a u s s i a n i t yi nh o l o g r a p h i cc o s m o l o g y , s e m i c l a s s i c a ll o o pc o s m o l o g ya n dn e a r - m i l n eu n i v e r s e i nh o l o g r a p h i cc o s m o l o g y , s e m i c l a s s i c a il o o pc o s m o l o g ya n dn e r a m i l n eu n i v e r s e ，d u et oi n t r o d u c i n gn e w p h y s i c s ，ap u r e l yt h e r m a lf l u c t u a t i o n sg i v er i s et oa na l m o s ts c a l ei n v a r i a n ts p e c t r u m o fm e t r i cp e r t u r b a t i o n s h e r ew ec a l c u l a t et h et h e r m a ln o n g a u s s i a n i t y w ef i n dt h a t ， i nh o l o g r a p h i cc o s m o l o g y , i ft h em a t t e ri sp h a n t o m l i k e ，t h en o n g a u s s i a n i t yf 麓4 c a nr e a c ho ( 1 ) o re y e db el a r g e rt h a no ( 1 ) ，e s p e c i a l l yi nt h el i m i t 彩寸一5 3 ，t h e n o n - g a u s s i a n i t yi sv e r yl a r g ea n dn e g a t i v e f u r t h e r m o r e ，s i n c et h ee n e r g y i s p r o p o r t i o n a lt ot h ea r e a , t h et h e r m a lh o l o g r a p h i cn o n g a u s s i a n i t yd e p e n d sl i n e a r l yo n ki fw en e g l e c tt h ev a r i a t i o ni nt d u r i n gt h et r a n s i t i o n w ea l s oi n v e s t i g a t et h e n o n g a u s s i a n i t yi ns e m i c l a s s i c a ll o o pc o s m o l o g ya n dn e a r - m i l n eu n i v e r s e w ef i n d t h a ti ns e m i c l a s s i c a ll o o pc o s m o l o g y , t h en o n - g a u s s i a n i t yi ss u p p r e s s e d i n n e a r - m i l n eu n i v e r s e ，i fc o n s i d e rt h en op h a s et r a n s i t i o nc a s e ，t h en o n g a u s s i a n i t yi s p r o p o r t i o n a lt o 七一 ， 0 i ti sv e r yd i f f e r e n tf r o mt h eo t h e rc a s e ss u c ha st h e t h e r m a lf l u c t u a t i o n si nh o l o g r a p h i cp h a s ea n ds t r i n gg a sc o s m o l o g y t h i r d l y , w er e v i e wt h es o m ed a r ke n e r g ym o d e l s ，t h e ni m p l e m e n tt h en e w a g e g r a p h i cd a r ke n e r g ym o d e lw i t hq u i n t e s s e n c ef i e l d w ed e m o n s t r a t et h a tt h en e w a g e g r a p h i ce v o l u t i o no ft h eu n i v e r s e c a l lb ed e s c r i b e dc o m p l e t e l yb yas i n g l e q u i n t e s s e n c ef i d e i t sp o t e n t i a la saf u n c t i o no f t h eq u i n t e s s e n c ef i e l di sr e c o n s t r u c t e d n u m e r i c a l l y i np a r t i c u l a r , t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h en e wa g e g r a p h i cq u i n t e s s e n c e d a r ke n e r g ym o d e l ( n a q d e ) i sa p p r o x i m a t e l yo b m i n e di nt h em a t t e r - d o m i n a t e d i l e p o c h f u n h e m o r e ，w ei n v e s t i g a t et h ee v o l u t i o no f t h en a q d em o d e li nt h e 缈一功。 p h a s ep l a n e i tt 咖so u tt h a tb yq u a n t u mc o r r e c t i o n s ，t h et r a j e c t o r yo f t h i sm o d e l l l e s o u t s i d et h et h a w i n ga n df r e e z i n gr e g i o n sa te a r l yt i m e s b u ta tl a t et i m e s ，i te n t e r sm e 舭e z i n gr e g i o n sa n dg r a d u a l l ya p p r o a c h e st oa s t a t i cc o s m o l o g i c a lc o n s t a n ts t a t em t h e 如t u r e t h e r e f o r et h en a q d es h o u l eb e l o n gt ot h ef r e e z i n gm o d e l a tl a t et i m e s f o rc o m p a t i s o n ，w ef u r t h e re x t e n dt h i sm o d e lb yi n c l u d i n gt h ei n t e r a c t i o nb e 帆e e n t h en a d ea n dd ma n dd i s c u s si te v o l u t i o ni nt h e 国一缈p h a s ep l a n e k e yw o r d ：c o s m o l o g y ；n o n g a u s s i a n i t y ；d a r ke n e r g y ；n a q d e i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致调 的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：吴差鼻孳签字日期：护挥f 胡，厂日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权南昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：炙f 差耳电导师签名：铆丫：酲 签字日期：聊俾f 明i 伯 签字日期：砌孑年肛) 7 3 阳 第一章引言 第一章引言 1 1 研究背景和意义 在过去的二十多年，宇宙学的研究异常活跃。2 0 世纪八十年代初，暴胀理 论对某些宇宙学疑难给出了很好的回答，并且提供了宇宙大尺度结构起源的机 制，我们可以通过对宇宙微波背景( c o s m i cm i c r o w a v eb a c k g r o u d ，简称c m b ) 各向异性的观测来检测暴胀理论。1 9 8 9 年1 1 月，c o b e 卫星( c o s m i cb a c k g r o u d e x p l o r e rs a t e l l i t e ) 的发射，利用分光计的测量不久建立了c m b 的热本质，测得 c m b 的温度，并且精确到小数点后三位，在宇宙学中，这是前所未有的精度。 为了精确的测量c m b ，2 0 0 1 年美国宇航局发射了w m a p 卫星( w i l k i n s o n m i c r o w a v ea n i s o t r o p yp r o b e ) ，准确的测量了1 0 5 量级的温度涨落，w m a p 的 观测和暴胀的预测很好的吻合，从而有力的支持了暴胀理论。1 9 9 8 年，利用i a 型超新星作为标准烛光，发现当今宇宙正在加速膨胀，意味着宇宙中大部分的 能量是所谓的暗能量，其压力密度和压强密度的比值小于一1 3 。宇宙的加速膨 胀进一步为c m b 各向异性和大尺度巡天观测所证实。i a 型超新星、c m b 各向 异性和大尺度巡天观测这三个实验联合强烈的暗示着暗能量的存在。欧洲太空 署将要发射的p l a n c k 卫星，结合高灵敏度的热度计、高分辨率以及人造卫星计 划的全天域能力，同时有可能测到c m b 极化的两个分量：e e 和b b ，从而推进 我们对宇宙的认识。 进步在继续，我们期待不久有确定的信息，关于暗能量密度是常数或者是 演化的。我们希望引力波的信号以及非高斯性的测量将进一步确认或修改暴胀。 通过在大的加速器上产生暗物质粒子，或者观测撞击地球的暗物质粒子，我们 可能发现暗物质的本质。不久的将来，基本的物理理论是否能够提供一个关于 暴胀理论的自然的解释或者是否能够很好的解释暗物质或暗能量。 1 2 宇宙学简介 宇宙学是研究宇宙的结构及其演化的学科，在这个宇观尺度范围上，万有 引力起主要作用。1 9 1 5 年，爱因斯坦发现了广义相对论，1 9 2 2 年，f r i e d m a n n 发现了爱因斯坦场方程的一个解，表明宇宙要么膨胀要么收缩【1 1 。1 9 2 9 年，美 第一章引言 国天文学家哈勃通过研究星系的退行红移与距离的关系，发现宇宙不是静止的， 而是膨胀的。 1 9 4 6 年，g a m o w 提出了著名的热大爆炸( b i gb a n g ) 模型【2 1 。大爆炸模型 认为，宇宙的早期处在一个高温、高压、致密且均匀、没有任何结构的状态， 由于宇宙的不断膨胀，温度逐渐冷却，经历了q u a r k h a d r o n 相变前的甚早期、 核物理阶段、原子物理等阶段，原初的密度涨落在引力的作用下呈现不稳定性 而逐渐发展形成恒星、星系、星系团以及超团等结构。由于这个模型所作出的 一系列重要的预言如宇宙的膨胀、轻元素的原初丰度以及宇宙微波背景等都得 到了实验的验证，经典大爆炸模型成为科学史上第一个成功的宇宙学说。然而， 这个模型本身是不完备的，它还遗留了许多的问题，主要有：平直性问题、视界 问题、大尺度结构起源问题、磁单极和其它多余的残留物问题、奇点问题。这 些问题不能在经典大爆炸的框架以内得以自然解释。1 9 8 1 年g u t h t 3 】首先提出暴 胀的概念，随后暴胀理论的物理图像得n - ；进一步的发展【4 ，5 1 ，它对上述前四个 问题作了很好的回答并得到观测非常强的支持。 到了上世纪9 0 年代，随着天文观测手段的提高，如微波背景辐射、超新星、 大尺度结构等的巡天探测，使得我们进入了精确宇宙学时代。 1 2 1 标准宇宙学模型 标准宇宙学模型的一个前提就是宇宙学原理：每一时刻的宇宙空间在大尺 度下是均匀且各向同性的。能够描述均匀各向同性物质分布的就是 f f i e d m a n n r o b e r t s o n w a l k e r ( f r w ) 度规 瑚2 吲2 叫等+ r 2 d 0 2 + r 2 7 i n 2 劬2l ( 1 1 ) 其中，( ，0 ，缈) 是共动坐标，k = o ，+ 1 ，一1 决定平直，闭合，开放的三维空间拓扑 结构，口( ，) 为尺度因子。 方程( 1 1 ) 只说明了宇宙时空的结构，而宇宙演化的动力学由爱因斯坦场 方程 r ，一g ，r = 8 刀g 乙， ( 1 2 ) 和能动张量守恒方程 2 第一章引言 v z r = 0( 1 3 ) 来描述，其中r 。，是里奇张量，r 是里奇标量。对于均匀且各向同性的宇宙，我 们可以假设其能动张量为理想流体。理想流体的能动张量为 t ，= d i a g ( - p ，p ，p ，p ) ( 1 4 ) 这里p 和p 分别表示总能量密度和压强。在f r w 、理想流体的宇宙中，利用场 方程( 1 2 ) ，可以得到 n ( 铲孚毒 5 ， 疗= - - 4 嬲( p + p ) + 事 ( 1 6 ) h 是哈勃参数。从能动张量守恒方程( 1 3 ) 可以导出连续性方程 , b + 3 h ( p + p ) = 0 ( 1 7 ) 方程( 1 7 ) 也可以从方程( 1 5 ) 和( 1 6 ) 导出，这意味着这三个方程只有 两个是独立的。从方程( 1 5 ) 和( 1 6 ) 可以消去k a 2 项，得到 一i i ：一竿+ 3 一p ) 、 ( 1 8 ) 一2 一_ - 护+ ( 1 8 ) aj 因此，当p + 3 p 0 时，加速膨胀出现。 我们可以按下面的形式重写方程( 1 5 ) 为 啦卜k 南 ( 1 - ” 这里，q ( ，) 三p ( ，) 以o ) 是无量纲的密度参数，成o ) = 3 日2 ( ，) 8 刀g 是临界密度。 物质分布明显的决定着我们宇宙的空间几何 q = l 七= 0( 1 1 0 ) q ljk = 1( 112 ) 2 0 0 0 年，两个c m b 探测器b o o m e r a n g 和m a x i m a 确认了当前的宇宙 非常接近空间平直的几何6 7 1 ，b o o m e r a n g 2 0 0 1 年的结果给出q = 0 2 + o 。o ；例。 3 第一章引言 2 0 0 3 年二月，w m a p 卫星数据和这样的一个结果是一致的：q = n 9 - 0 + o 0 0 2 2 9 1 。而 w m a p五年结果进一步证实了这样的结果，给出 一0 0 1 7 5 q o 0 0 8 5 ( 9 5 c l ) 1 1 0 】，其中q 是空间曲率密度参数。 大爆炸模型为我们提供了一个可靠且令人信服的，至少可以追溯到轻元素 合成时期( f 1 0 一1 0 2 s ) 以来的宇宙演化图景，取得了很大的成功。但大爆 炸宇宙学也存在着一些与初始条件有关的疑难，下一节我们将详细的回顾这些 问题。 1 2 2 标准宇宙学的困难 尽管大爆炸宇宙学已经相当成功，但是还有一些基本的问题【l l 】，它不能回 答。这些问题如下。 ( 1 ) 平直性问题： 从方程( 1 9 ) 我们可以看出，如果宇宙是平坦( q = 1 ) ，那么它总是平坦的。 否则，密度参数将随时间演化。例如，在空间接近平坦的物质为主时期，从方 程( 1 9 ) ，我们可以得到 i q o ) 一1 口，2 仃 ( 1 1 3 ) 而在辐射为主时期 l q o ) 一1 io ca 2o ct ( 1 1 4 ) 这些方程告诉我们密度参数怎样随时间演化。如上一节末所提到的，观测 已经确认了今天我们的宇宙在空间上是近似平坦的。为了得到我们现在的宇宙， 在核合成时期必须要求i q ( r ) 一l l 0( 1 】5 ) 在暴胀阶段，共动哈勃长度) 1 减小，即 丢( 击) 。 结合方程( 1 2 8 ) 和( 1 2 5 ) ，我们可以得到 p + 3 p 0 5 ( 1 1 6 ) ( 1 。1 7 ) 第一章引言 暴胀匹】答我们上面提到的困绕标准宇宙学的前四个问题，即平直性问题， 视界问题，大尺度结构起源问题，磁单极和其它多余的残留物问题。暴胀并不 是取代了标准宇宙学的思想，而是在标准宇宙学中插入了暴胀阶段。 为了产生暴胀，最简单的是引入一个与引力最小耦合的标量场。暴胀场的 压力和能量密度为( 详细的推导可以参考6 2 1 小节) p ：委z y ) ( 1 1 8 ) p ：昙z + y ) ( 1 1 9 ) 其中矿) 为势能。在暴胀阶段，暴胀场占统治地位。标量场为主的f r i e d m a n n 方程为 肌孚( y 叫 2 。， 3 i2 v 7 我们也可以得到标量场的运动方程( k l e i n g o r d o n 方程) 为 多+ 3 脚+ d _ 彩z v = o ( 1 2 1 ) 口口 加速的条件要求 2 y )( j 2 2 ) 这意味着场缓慢变化，我们称之为慢滚近似。我们可以用这个近似作为暴胀发 生的标准。由于多2 非常小，f r i e d m a n n 方程近似为 h z 娑矿) ( 1 2 3 ) 而k l e i n g o r d o n 方程也相应为 易一上坐 ( 1 2 4 ) 4 口一一 l1 3 hd 巾 因为华非常小，日近常数，所以口( ，) 近指数增长。对暴胀更详细的讨论我 d 妒 们可以参考文献【1 4 1 。 6 第一章引言 由于快速的膨胀，在暴胀期间，宇宙迅速的冷却。当慢滚近似打破，暴胀 停止。在暴胀后，暴胀场衰退，产生物质和辐射。由衰退产生的辐射开始重新 加热宇宙，接下去的就是标准的大爆炸宇宙。 1 2 4 暗能量和“新标准宇宙模型” 大尺度结构巡天观测、超新星的观测以及c m b 的观测表明我们所处的宇宙 极有可能是平坦的，l q r l 1 。这三个实验联合强烈的暗示，宇宙中应该存在一 种暗能量，它的状态方程不同于一般的物质，且具有负压强。但是加速膨胀形 成的机制却一直困扰着人们。我们将在第六章对暗能量问题做一简单扼要的介 绍，此外也可以参考文献i l 引。 自从1 9 8 1 年g u t h 引入了暴胀机制以来，原始的标准宇宙模型已被做了多 处的修改，一个新的标准宇宙模型正在形成之中。新的标准宇宙模型至少应具 有以下特点：( 1 ) 宇宙的极早期有关一次极为短暂但却影响深远的暴胀阶段； ( 2 ) 当今宇宙正经历一个加速膨胀的阶段【1 2 j 。 1 3 本文主要工作 虽然暴胀解决了很多标准大爆炸宇宙学中的很多疑难，但仍然存在着一些 没办法解决的问题，如奇点问题。暗能量的起源问题仍然没有解决。奇点问题 的解决需要一个完整的量子引力的理论，而暗能量的起源本质上也应该是量子 引力的问题。此外，暴胀仍然没有一个好的理论基础。同时，标准的单场慢滚 暴胀也面临着新的观测的挑战，如非高斯性。因此，最近提出了各种对标准暴 胀进行修改的方案，如反弹( b o u n c e ) 宇宙，e k p y r o t i c 宇宙，循环宇宙等，它们 要么有一个基本的理论来源，如弦理论和圈量子引力等，要么提供了解决奇点 问题的一个方案，要么更好的符合观测的要求或者预言了一些在不久的将来可 被检验的结果。具有量子引力效应的暗能量模型如全息暗能量和a g e g r a p h i c 暗能 量最近也被提出。本文主要研究了作为暴胀修改的全息宇宙，半经典圈量子宇 宙和近米尔恩( n e a r m i l n e ) 宇宙中的热非高斯性，发现在这样的修改中可以得 到大的非高斯性。此外，还研究了新a g e g r a p h i c 暗能量模型的q u i n t e s s i n c e 重构。 7 第一章引言 1 4 论文组织安排 本文主要研究了全息宇宙，半经典圈量子宇宙和近米尔恩宇宙中的热非高 斯性以及新a g e g r a p h i c 暗能量模型的q u i n t e s s i n c e 重构。文章分为8 章，具体如 下： 第一章引言 简要介绍研究背景、意义，以及宇宙学的简介。 第二章非高斯性和原初扰动的简介 简单介绍非高斯性研究的背景和意义，绝热非高斯性的产生，概要性的给 出宇宙扰动理论基本工具的说明，讨论热扰动作为宇宙起源的原初扰动。 第三章全息宇宙中的热非高斯性 简单介绍了全息宇宙模型，分析了全息宇宙中的热扰动谱，并深入研究了 全息宇宙中的热非高斯性。 第四章半经典圈量子宇宙中的热非高斯性 分析了半经典圈量子宇宙中的热扰动，深入研究了半经典圈量子宇宙中的 热非高斯性。 第五章近米尔恩宇宙中的热非高斯性 分析了近米尔恩宇宙中的热扰动，深入研究了近米尔恩宇宙中的热非高斯 性。 第六章暗能量模型 对暗能量模型做了简单的介绍。 第七章暗能量模型 新a g e g r a p h i c 暗能量( n a d e ) 模型的q u i n t e s s e n c e 重构。 第八章结论 8 第二章非高斯性和热原初扰动的简介 第二章非高斯性和热原初扰动的简介 在本章中，我们首先简单介绍非高斯性研究的背景和意义，接着在2 2 节， 介绍绝热非高斯性的产生，在2 3 节概要性的给出宇宙扰动理论基本工具的说 明，在2 4 节讨论热扰动作为宇宙起源的原初扰动。 2 1 非高斯性研究的背景和意义 当代宇宙学研究的中心问题之一就是如何去理解宇宙中大尺度结构的起源 和演化，其最终目的是能够解释诸如星系形成的具体时期、星系团在空间中的 分布以及微波背景辐射( c m b ) 涨落功率谱的幅度和形状等现象。目前，这一 领域正处于令人激动的“黄金时期”。 引力是唯一在大尺度上起作用的长程力，结构形成必然开始于对早期宇宙 中均匀分布的物质的微小的扰动，这些扰动( 原初扰动) 在后期的演化由于引 力不稳定性而不断地增长。目前流行的原初扰动产生的理论是暴胀( i n f l a t i o n ) 宇宙学【3 , 4 , 5 】，它认为在非常早期的宇宙，量子涨落在加速膨胀( 暴胀) 时期被拉 到视界以外形成原初扰动。暴胀不仅解决了旧大爆炸宇宙学中几个严重问题， 而且给出了一种产生非均匀性的机制，对宇宙的整体结构和非均匀性做出了具 体的、可检测的预测。这些预测可简明的总结如下： ( a ) 可观测宇宙是空间平直的： ( b ) 除了极小的扰动外，可观测宇宙在大角度( ，5 0 1 5 0 ) 上是均匀和 各向同性的； ( c ) 原初扰动是近标度不变的( n e a r l ys c a l ei n v a r i a n c e ) ； ( d ) 原初扰动是近高斯分布的( n e a r l yg a u s s i a ns t a t i s t i c s ) 。 除了( d ) 外，所有的这些预测都很好的和观测相一致。在这些观测中，最 确切的证据来自宇宙微波背景角分布的测量。作为宇宙中最古老的遗迹，宇宙 微波背景是研究早期宇宙最好的线索。 对宇宙微波背景各向同性的观测以0 0 0 1 的精度支持预测( b ) 1 1 6 , 1 7 】，对宇 宙微波背景各向异性角分布和0 0 0 1 的非均匀性的测量支持预测( c ) 和( a ) 学【1 5 , 1 9 2 0 , 2 1 1 。和预测( a ) 一( c ) 相比较而言，对于非高斯性的研究，不同的研 9 第二章非高斯性和热原初扰动的简介 究者得到不同的结论：有些研究者宣称检测到非高斯性，而有些说没有。此外， b r o m l e y ，t e g m a r k 2 2 禾1 b a n d a ye ta 1 2 3 】认为f e r r e i r ae ta 1 【2 4 】的非高斯性信号是 非宇宙学来源的。m u k h e r j e ee ta 1 1 2 5 】阐明了p a n d oe ta 1 1 2 6 1 在方法上的歧义，认 为他们的结论主要依赖于在天空的数据定位，并修改了他们的结论，从而认为 没有证据表明有非高斯性。所以，在c m b 中，非高斯性的存在是有争议的。 但是，随着观测和统计方法的发展，越来越多迹象表明，可能存在着大的 非高斯性。最近y a d a v 和w a n d e l t 宣称在w m a p 三年的数据中看到了非高斯性 口7 。，他们研究的情况对应的三角是s q u e e z e d 三角，即其中一个边很小，他们说 在9 9 5 置信度上非高斯性不为零。进一步，w m a p 五年数据表明在9 5 置信 度上，l o c a l 和e q u i l a t e r a l 模型的原初非高斯性参数分别在区域一9 砧删 1 l1 和 一1 5 1 f n l e q 埘。 2 5 3 2 8 】。如果将来的实验，如普朗克( p l a n c k ) 卫星，进一步确认 这样的结果，那么许多没有额外机制的暴胀模型将被排除。例如，最简单的单 场慢滚暴胀模型，非高斯性参数，l 厂，f 11 2 9 3 0 。这么小的非高斯性不仅远小于 当前观测的界限，i 厂，i 1 0 0 ，而且也远低于普朗克卫星的敏感度，厂，5 。但 是最近对具有重要非线性动力学的暴胀模型的研究表明在这些模型中具有大的 非高斯性。例如，d b i 3 ，k 暴胀【3 2 1 和鬼场( g h o s t ) 暴胀【3 3 】模型，非高斯性参 数可以达到o ( 1 ) 或者在某些参数范围比0 ( 1 ) 更大。这么大的非高斯性有希望 在将来的实验中能够观测到，并且能够揭示这些模型背后的物理。 在大部分暴胀模型里面，宇宙早期的量子扰动是结构形成的种子。但是， 原初热扰动作为结构形成的种子的可能性首先在p e e b l e s 的书，p r i n c i p l e so f p h y s i c a lc o s m o l o g y ，p e 3 7 1 3 7 3 ，中提了出利3 4 j 。m a g u e o oe ta 1 对热扰动取代量 子扰动作为结构形成的种子的可能性做了进一步的研究【3 5 , 3 6 , 3 7 】。但不幸的发现， 热扰动的谱指数( s p e c t r a li n d e x ) 要么太红( t o or e d ， ，= 0 ) ，要么太蓝( t o o b l u e ，刀。= 4 ) ，不能产生和观测相符的近标度不变谱( n e a r l ys c a l ei n v a r i a n t s p e c t r u m ) 3 8 , 3 9 , 4 0 】。因此，热扰动需要新物理以产生近标度不变谱。例如，新物 理效应改变热物质状态方程的热阶段能够产生近标度不变谱，这可以在非对易 暴胀( n o n c o m m u t a t i v ei n f l a t i o n ) 1 4 1 , 4 2 j 和圈量子宇宙学( l q c ) 3 9 , 4 3 】中出现。另 一可能是在某些弦气体( s t r i n gg a s ) 的h a g e d o m 阶段】或全息阶段( h o l o g r a p h i c p h a s e ) 1 4 0 l ，在这两个阶段中，能量变得强非延展( 正比于面积) 。此外，假设在 n e a r - m i l n e 宇宙中，能量密度有一个轻微的次延展，标度不变谱也可以取得【3 8 】3 8 。 标度不变暗示着原初热扰动可以作为可观测宇宙结构形成的种子和导致 l o 第二章非高斯性和热原初扰动的简介 c m b 的各向异性。因此，原初量子扰动和原初热扰动的可区分特征是什么? 那 一个可测量在将来的实验中可以做出测试? 这样的问题将是相当有趣和重要 的。在不久的将来，至少有两个可观测量：非高斯性和原初引力波，它们可能 排除或支持某些模型。在参考文献f 4 5 j 中，y s p i a o 已经研究了热全息宇宙中的张 量扰动，他发现张量扰动幅度有中等比率，在将来的实验中可以检测。 b r a n d e n b e r g e re ta 1 在参考文献t 4 6 j q b 对弦气体宇宙中的张量扰动也做了比较深入 的研究。在本文中，我们主要研究全息宇宙、近米而恩宇宙和半经典圈量子宇 宙中的热非高斯性。 2 2 绝热非高斯性的产生 尽管暴胀很好的预测了高斯性的c m b 扰动，但是，严格来说，暴胀中的非 线性产生弱的非高斯性，然后通过c m b 传播。但精确的分析是复杂的，在这里 我们简明地给出绝热非高斯性产生的基本思想( 下面的讨论主要基于文献【4 7 1 ) 。 曲率扰动，产生c m b 各向异性，a t t 。线性扰动理论给出和a t t 之间的一个线性关系， a 丁 兰2 丁 ( 2 1 ) 2 式中g r 是辐射转换函数。对于退耦时期超视界尺度的温度扰动，s a c h s w a i f 效应统治，g ，= 一1 3 ( 绝热扰动) 。在次视界尺度，断振动，为此我们需要解 b o l t z m a n n 方程和e i n s t e i n 方程来得到9 7 。从上面的关系，丁，我们可以 得到，如果是高斯性的，那么丁也将是高斯性。在下面我们将会看到，在暴 胀中的非线性将使得变成弱非高斯性。 即使是高斯性，a t t 也可能是非高斯性的。根据广义相对论的宇宙扰动 理论，在a t t 和之间有一个非线性关系： a t i 1 - 1 1 g 丁( + 厶2 ) ( 2 2 ) 这里，第二项中的系数，厶d ( 1 ) ，是来自二阶扰动理论中的高阶修正。 它产生非高斯扰动。因此，即使是高斯性的，r 变成弱非高斯性。 那么是高斯性的吗? 实际上，暴胀中的非线性可以使得弱非高斯性。 展开暴胀中的扰动动力学到二阶，我们可以得到和暴胀子扰动，彩，之间的 第二章非高斯性和热原初扰动的简介 一个非线性关系： o ， - 1 9 m ( 却+ 肌：茹影2 ) ( 2 3 ) s a l o p e k 和b o n d 指出，这个关系是超视界尺度曲率扰动的非线性解；他们 给出在单场慢滚暴胀中，g o o ( 1 0 ) 和厶o ( 1 0 一) 。 量子扰动产生高斯性的影。如果影的动力学足够简单以至于在整个演化过 程保持高斯性，那么我们在此就可以停下来了。但是，情况不是这么简单。例 如，暴胀场运动方程的非平庸相互作用项，或者随机暴胀中长波长的经典扰动 和短波长的量子扰动之间的非线性耦合可能使得影弱非高斯性，导致影和高斯 场，7 7 之间的一个非线性关系， 彤g 却( ，7 + 聊- i 厶刁2 ) ( 2 4 ) 其中，刁代表初始产生的量子扰动，g 殚1 和厶o ( 1 0 卅) a 图2 1 以相反的顺 序总结了上面非高斯性产生的三个步骤。 图2 1 非高斯c m b 各向异性的产生 非高斯c m b 各向异性的绝热产生。首先，暴胀产生高斯量子扰动，通过非线性耦合变成非高斯件的 暴胀了扰动( e q ( 2 4 ) ) 。然后通过非线性关系，暴胀了扰动变成了具有更大的非高斯性的曲率扰动 ( e q ( 2 3 ) ) 。最后，由于非线性的引力效应，曲率扰动进一步成为具有更大非高斯性的c m b 各向异 性。 全部考虑上面的贡献，我们得到a t t 和之间的非线性关系， 了a t g ， + ( 厶+ g ；i f 印+ g 。- i g - i ，口j 2 】 ( 2 5 ) 1 2 第二章非高斯性和热原初扰动的简介 其中，- - g 。g 影聊- i 哆1 0 m ；, r 是辅助高斯性的曲率扰动。用它可以定义一个 非线性的耦合参数，= 厶+ g 善厶+ g ：g 耐- i 厶。其中在a 中的第项是二阶 引力效应d ( 1 ) ，和其他慢滚暴胀中的两个非线性项( o ( 1 0 2 ) ) 相比，占主 要地位。用厶，我们重写方程( 2 5 ) 为- a t ( x ) t g r o ( x ) ，其中 ( x ) = l ( x ) + 氏【。i ( x ) 一( i ( x ) ) 】 ( 2 6 ) 这里的角括号表示统计系综平均。 实际上，在理论上，我们常用另一个变量9 - 来参数化氏( 关于f 和之间 的关系和意义，我们将在下节给出一个简单的说明) ， f = 免+ 了3 厶 一( f ：) 】 ( 2 7 ) 其中因子3 5 是方便和c m b 观测进行比较。但是，式子( 2 7 ) 仅仅描述了最普 遍非高斯性形状，我们称之为局域( 1 0 c a l ) 非高斯性。理论上，非高斯性参数厂， 是用三点关联函数( 民“，民) 定义，因此有不同的形状。我们通常考虑两种极限 情况。一是局域的情况( 1 0 c a l ，我们也常叫s q u e e z e dl i m i t ) ，k l k ，k 3 ，我 们记作。另一情况是等边非高斯性( e q u i l a t e r a ll i m i t ，也叫n o n - l o c a ll i m i t ) ， k 。k ，k ：，我们用厂暑7 表示。 由于在c m b 实验上最小可检测的l 厂，f 是5 ( 不考虑噪音的影响是3 ) ，所以 二阶引力效应产生的非高斯性( 厶一d ( 1 ) ) 将不能被检测，同样，在慢滚暴 胀中( 厂 。0 ( 1 0 。2 ) ) 也不能产生可检测的非高斯性。 然而，暴胀可能并不是如此简单。任何对慢滚或暴胀势的偏离都可能产生 更大的非高斯性，如我们在第一章中提到的d b i ，k 暴胀和鬼场( g h o s t ) 暴胀 模型。尽管我们限制在讨论绝热扰动上，但是如果暴胀产生不可忽略的等曲率 扰动，那么也可能导致大的非高斯性。因此，对非高斯性的测量潜在的约束暴 胀中的非线性，慢滚以及绝热性。 实际上，对非高斯性的测量的意义远不止这些。由于暴胀缺乏基本的理论 基础，各种各样的理论模型如p r e b i g b a n g ，循环宇宙等，特别来自弦理论，量 子引力的各种唯象模型有可能取代标准的暴胀模型。所以，对非高斯性的测量， 可以排除一大类的暴胀模型，并且可能揭示隐藏在各种暴胀模型后面的基本的 物理。 1 3 第二章非高斯性和热原初扰动的简介 2 3 宇宙扰动理论的基本工具 在这一节中，我们将列出用到的宇宙扰动理论的主要方程。 我们采用l o n g i t u d i n a l 规范。在l o n g i t u d i n a l 规范下，度规的形式为 d s 2 = a 2 卜( 1 + 2 ) d f 2 + ( 1 2 w ) r “d x d r 7 】 ( 2 8 ) 其中a ( r ) 是尺度因子，f 是共形时间，函数中和甲描述标量度规扰动。在线性 情况下，扰动的爱因斯坦场方程可以写作 3 h 2 + 3 月甲7 一v 2 甲= - 4 a g a 2 a t o o ，( 2 9 ) ( 啪+ 甲) j = 4 n g a 2 a t o f ， ( 2 1 0 ) 【( 2 h + 日) + 肿+ 甲+ 2 日甲7 】+ 去v 2 ( 一甲) = - - - 4 r i g a 2 砑。， ( 2 1 1 ) ( 一甲) ”= - - 4 z 酊a 2 6 7 ，( f ) 。 ( 2 1 2 ) 在上面的等式中，g 表示牛顿引力常数，日= a r a ，撇表示对共形时间f 的导数。 因为没有各向异性的张力，我们可以令= 甲。结合方程( 2 9 ) 和( 2 1 1 ) ， 我们可以得到 。+ 3 h ( 1 + c ；) 7 + c ；七2 m + ( 2 日+ ( 1 + 3 c ；) 日2 ) = 0 ， ( 2 1 3 ) 在这里，我们利用了印= c ，2 印。只要状态方程不随时间改变，在比声视界 大的情况下，上面方程其中一个解近乎常数，另一为衰退解。因此，目的去得 到超声视界的的功率谱，去估计当波长等于