（理论物理专业论文）谐振、非谐势阱中的玻色爱因斯坦凝聚的基态性质.pdf

摘要 玻色一爱因斯坦凝聚( b e g ) 是一类涉及物理学很多领域的如 原子分子物理、量子光学、统计物理和凝聚态物理等的普遍物理 现象。自从实验上成功地观测到”r b ，”n a 、7 l i 等一系列原子的 玻色一爱因斯坦凝聚现象以来，由于b e c 气态原子粒子间相互作用 比较弱，在理论上容易处理，也可以和实验进行细致的比较，对 于理解这一重要现象的本质有很大的好处，有关b e c 的基态性质、 相干现象、亮孤子、暗孤子、涡旋态等一系列问题的理论研究正 成为目前的热点之一。由于玻色一爱因斯坦凝聚是所有的原子聚集 于能量最低态的一种独特现象，b e c 的基态性质一直是实验和理 论物理学家们研究的一个重要方面。 本论文研究了谐振和非谐势阱中b e c 的基态性质，得到了 些有意义的结论。全文包括前言和四章。在前言中，我们简单回 顾了玻色一爱因斯坦凝聚研究的发展进程、应用前景以及本论文研 究的目的和具体内容。第一章，我们介绍了b e c 的具有决定意义 的三个重要实验，描述玻色爱因斯坦凝聚状态的在平均场理论中 的g r o s s p h a e v s n i 方程和我们所用的数值模拟方法。第二章，我 们利用微扰方法研究了动能对玻色一爱因斯坦凝聚体的基态能量 粒子数平均和几率密度分布的影响，对”r b 原予的模拟结果标定 了弱、强相互作用时一维凝聚体中的粒子数范畴，第三章，我们引 入一个非谐外部势，基于平均场理论对该势阱中玻色爱因斯坦凝 聚体的基态特征进行了数值模拟。考察了外部势和凝聚体粒子数 两种因素的影响，对该模型在t h o m a s f e r m i 近似下的解进行了分 析，得到了一些有意义的结果。在第四章中我们对本文的工作进 行了总结并对今后工作的做了展望。 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚，动能微扰，基态波函数， t h o m a s f e r m i 模型，数值模拟。 a b s t r a c t b o s e e i n s t e i n c o n d e n s a f i o n ( b e c ) i s a u b i q u i t o u sp h e n o m e n o n r e l a t i n gt om a n y f i e l d si np h y s i t s ，s u c ha sa t o m i ca n dm o l e c u l a r p h y s i c s ， q u a n t u mo p t i c s ，q u a n t u ms t a t i s t i c a lp h y s i c s ，c o n d e n s a t em a t t e rp h y s i c s 。 s i n c eb e cw a so b s e r v e di nar e m a r k a b l es e r i e so fe x p e r i m e n t so n v a p o r so f8 7 r b ，2 s n a ，a n d7 l ii n1 9 9 5 ，p h y s i c i s t sa i m e d a tg a i n i n ga d e e p i n s i g h ti n t ot h ef a s c i n a t i n gb e h a v i o ro ft h i sm a t t e r t h ep r o p e r t i e so f g r o u n ds t a t e ，i n t e r f e r e n c e ，b r i g h ts o l i t o n ，d a r ks o l i t o na n dv o r t i c e sa r e a l lt h eh o t s p o to f r e s e a r c h t r a p p e dc o n d e n s a t e so f a l k a l i m e t a la t o m s a r ee a s i l ya c c e s s i b l et ot h e o r e t i c a lp r e d i c t i o n ss i n c et h ei n t e r a c t i o n sa r e w e a k ，m o r er i g o r o u sa n dd e t a i l e dc o m p a r i s o nb e t w e e nt h e o r ya n d e x p e r i m e n t w o u l db e p o s s i b l ef o rb e c 。b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n i sa u n i q u ep h e n o m e n o n t h a ta l la t o m s o c c u p y t h el o w e s te n e r g ys t a t e t h e g r o u n d s t a t e p r o p e r t i e s o fb e ci so n eo ft h e i m p o r t a n to b j e c t o f p h y s i c i s t s i nt h i st h e s i s ，w et h e o r e t i c a ls t u d yt h eg r o u n ds t a t ep r o p e r t i e so f b e ci nt h eh a r m o n i co ra n h a r r n o n i cp o t e n t i a l t h et h e s i sc o n s i s t so f f o r e w o r da n df o u rc h a p t e r s i nt h ef o r e w o r d ，w em a i n l yi n t r o d u c et h e h i s t o r y o fb e cr e s e a r c h ，p o s s i b l e a p p l i c a t i o n ，s i m p l yd e p i c t t h e o b j e c t i v ea n dt h ec o n t e n tw es t u d i e d i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h r e e t y p i c a le x p e r i m e n t sw h i c ho p e nan e wc o n t e x tf o rs t u d y i n gt h eq u a n t u m m e c h a n i c so f m e s o s c o p i es y s t e m s ，t h eg r o s s p i t a e v s k i ia n dm e a n f i e l d t h e o r y , t h ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d s i n c h a p t e r2 ，b y v i r t u eo f p e r t u r b a t i o nm e t h o d ，w ei n v e s t i g a t et h ee f f e c to fk i n e t i ce n e r g yo nt h e g r o u n d s t a t eo f b o s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t e t y p i c a lc a l c u l a t i o nf o rt h e1 d “r bb e es h o w st h a tt h ea m o u n t so f p a r t i c l e n u m b e ri n b e c ， c o r r e s p o n d i n gt ot h ec a s e so fs t r o n gr e p u l s i v el i m i ta n dn o n i n t e r a c t i n g l i m i t ，m a yb es c a l e di nan e we f f e c t i v er e g i o n s i nc h a p t e r3 ，i nt e r m s o fg r o s s p i t a e v s k i i m e a n f i e l d t h e o r y , w ep r e s e n t a n a n h a r r n o n i c l l l e x t e m 8 1p o t e n t i a lt os i m u l a t e t h e g r o u n ds t a t ep r o p e r t i e s o ft h e8 7 r b a _ o m i cb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s o m ei m p o r t a n t r e s u t t sa r ep r e s e n t e d i nt h i sc h a p t e r i nt h ef i n a lc h a p t e r , w es u m m a r i z e t h em a i nr e s u l t sa n d g i v e a r lo u t l o o ko f t h ef u t u r es t u d yi nt h i sf i e l d t k e y w o r d s ：b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，k i n e t i ce n e r g yp e r t u r b a t i o n ， w a v e f u n c t i o no ft h eg r o u n ds t a t e ，t h o m a s f e r m im o d e l ，n u m e r i c a l s o l u t i o n 湘潭大学硕士毕业论文 前言 1 9 2 4 年6 月，印度物理教师b o s e 将光子作为数量不守恒的 全同粒子以不同于p l a n c k 的方式推导出了p l a n c k 黑体辐射定律 “1 。他将这一结果寄给e i n s t e i n 。随后e i n s t e i n 将b o s e 对光子 的统计方法推广到理想气体原子娩3 ，并预言当这类原子的温度足 够低时，所有的原子就会突然聚集在一；f 申尽可能低的能量状态， 这是玻色一爱因斯坦凝聚b 钔( b e c ) 的开始。b e c 是首次由统计物 理学推出的一种相变现象。 早期的b e c 研究进展比较缓慢，研究的目标也主要集中在实 验物质体系的选择方面。1 9 3 8 年，法国人l o n d o n 首先把超流态 液氦与金属超导体看作玻色一爱因斯坦凝聚的体系愠8 3 ，玻色一爱因 斯坦凝聚才真正引起物理学界的重视。虽然超流和超导等都显示 了玻色一爱因斯坦凝聚现象的存在，但这些系统都很复杂，凝聚现 象只是部分地发生在这些系统中，系统中粒子间的强相互作用也 使得玻色一爱因斯坦凝聚现象表现得不那么单纯。因此寻找一个能 够用简单的量子统计理论描述的弱相互作用玻色爱因斯坦凝聚 体系成为了物理学家的目标。1 9 5 9 年，芝加哥大学的h e c h t 指出： 强磁场中的自旋极化氢原子气体中可能发生b e c 阳1 。物理学家们为 此做了大量的工作，但实验上的进展一直不大n 。”。9 0 年代初， 麻省理工学院u 的最好结果是：温度降低到1 0 0 肚，密度达到 8 1 0 ”c m 。然而，实验工作无法再继续下去，其主要原因是：极 化氢原子会回复为氢分子，并且释放出能量。复合速率比例于密 度的三次方，从丽限制了密度的增加，释出能量则妨碍了温度的 进一步降低。继氢原子之后，人们将目光转向了半导体中的激子。 1 9 8 0 年，巴黎大学的h u l i n 首先提出用氧化亚铜中的激子进行玻 色一爱因斯坦凝聚实验n “，美国伊利诺斯州立大学的研究小组于 1 9 9 3 年报道了有关的实验结果“，这种体系中的相互作用力很弱 但是较为复杂，难以从实验数据中提取激子的有关信息，因而也 不能看作是真正的玻色一爱因斯坦凝聚。而氢原子中的b e c 3 直到 1 9 9 8 年才终于得以实现。在2 0 世纪5 0 年代，物理学家发展了很 多弱相互作用玻色系统的理论，美籍华人物理学家杨振宁、李政 道和黄克逊在这方面也做了很多出色的工作。然而这些理论在 1 9 9 5 年之前都没有得到很好的验证。 由于气体中原子之间的相互作用很弱，更接近于爱因斯坦提 出这一概念的系统，同时也使得理论与实验的比较变得容易。在 气体中实现玻色一爱因斯坦凝聚成为物理学家长期的梦想。人们为 实现气态原子玻色一爱因斯坦凝聚的努力，被实验物理学家喻为争 夺“圣餐杯”( t h eh o l yg r a i l ) “”。原子物理学家们开始猜想用 碱金属原子气体可能更容易发生玻色一爱因斯坦凝聚“”1 。对于碱 金属原子而言，如果要使其原子间的相互作用很弱，则原予的密 度必须很小，温度必须足够低，这就需要寻求一种新的冷却方法。 由于实验技术，特别是激光冷却和束缚中性原子技术的发展心”3 ， 为玻色一爱因斯坦凝聚的实验研究提供了成功的条件。1 9 9 5 年6 月，美国科罗拉多大学实验天体物理联合研究所( j i l a ) 和国家标 准技术研究所( n i s t ) 的w i e m a n 和c o n e ll 的研究小组在铷( ”r b ) 原子蒸气中第一次直接观测到玻色一爱因斯坦凝聚渤1 。他们先在磁 光势阱中对原子进行激光冷却，然后将原子转移到磁阱中进行蒸 发冷却。“3 ”，以达到玻色一爱因斯坦凝聚所需的低温。由于磁阱的 特点，原子很容易从中心逃出，c o n e l l 发展了一套有效的方法堵 住了原子出逃的漏洞。用一个射频交变场令约束磁场象陀螺那样 旋转起来，使得中央部分时间平均后的磁场不为零。他们这种约 束势称为t o p ( t i m e a v e r a g e do r b i t a lp o t e n t i a l ) 。最终 他们将温度降到1 7 0 纳度，即比绝对零度仅高出千万分之一度多， 刘琉湘潭大学硕士毕控论文 从而观测到了玻色一爱因斯坦凝聚现象。 几个月后麻省理工学院的k e t t e r l e 研究组在钠( 2 强a ) 原子蒸 气中实现了b e c 嘶1 ，凝聚了5 0 0 万个钠原子，形状为长约三分之 一的短柱体。他们采用了类似的技术路线，只是为防止原子从磁 阱中心逃出使用了不同的方法。因此，美国科学杂志把b e c 定为1 9 9 5 年年度的“分子”。随着c o n e l l 和w i e m a n 以及k e t t e r l e 的研究组在实现玻色爱因斯坦凝聚方面取得成功，人们重新对玻 色一爱因斯坦凝聚这一独特现象引起极大的关注，物理学家关于 b e c 的理论和实验研究也掀起了新的热潮。研究表明玻色一爱因斯 坦凝聚体具有很多奇特的性质。像激光那样，凝聚体具有相干性 a 6 - 4 t 。k e t t e r l e 的研究组把凝聚体一分为二，然后关闭囚禁它们的 势阱让两者自由扩展，在它们交叠的区域观测到了清晰的干涉条 纹。凝聚体的其他很多性质也都开始得到研究，例如凝聚体的激发 性质“2 。”、涡旋态的形成、暗孤立子以及两元玻色一爱因斯坦凝聚 体的行为h “驯等。k e t t e r l e 的研究组研究了凝聚体中的声波传播、 物质波与激光场的相互作用、自旋畴结构及量子隧穿，在凝聚体 中形成了旋涡阵列啼“5 5 1 ，他们还实现了无破坏测量以及用磁场调 节原子与原子之间的相互作用，为进一步研究玻色凝聚体的性质 提供了基础。美国国家标准局的菲利普斯研究组在凝聚体中实现 了非线性光学中的四波混频”1 。哈佛大学的两个研究小组用玻 色一爱因斯坦凝聚体使光的速度降为零，这引起了公众的极大兴 趣。如何像激光器输出相干光子那样输出相干原子( 原子激光) ， 也是目前实验追逐的目标。玻色一爱因斯坦凝聚体的研究也可以 延伸到其他领域。例如，利用磁场调控原子之间的相互作用，可 以在玻色一爱因斯坦凝聚体中产生类似予超新星爆发的相现象， 由于费米子的特性，即使在零温度仍有压力存在，因此可将类似 于实现玻色一爱因斯坦凝聚的技术用于费米气体洲”，在实验中模 d i s s c r t a t i o no f m a s t e r id e g r e e 拟白矮星的内部压力，理论上也提出了用玻色一爱因斯坦凝聚体来 模拟黑洞的设想。玻色一爱因斯坦凝聚体所具有的奇特性质，使它 不仅对基础研究有重要意义，而且在芯片技术、精密测量和纳米 技术等领域都让人看到了非常美好的应用前景。凝聚体中的原子 几乎不动，可以用来设计精确度更高的原子钟，以应用于太空航 行和精确定位等。凝聚体具有很好的相干性，可以用于研制高精 度的原子干涉仪，测量各种势场，测量重力场加速度和加速度的 变化等。原子激光也可能用于集成电路的制造。利用凝聚体能操 纵光子减速或者停止以便把信息输人光子，然后根据需要再将光 子发往某地以及某时再发，这种可能性使人们看到了量子计算机 研制成功的曙光。随着对玻色一爱因斯坦凝聚的奇特性质以及应用 前景的深入研究，玻色一爱因斯坦凝聚极有可能会像激光的发现那 样给人类带来另外一次技术革命。 谐振势阱中的b e c 基态性质一直是玻色一爱因斯坦凝聚研究 领域中的一个重要方面。1 9 9 6 年，b a y m 和p e t h i c k 哺即就用解析的 方法近似的对b e c 的基态性质做了一些研究，并得出了其基态密 度和动量分布取决于粒子间的相互作用，粒子数很大时动能项是 可以忽略的小量的结论。由于g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程是非 线性方程，解析的方法一般无法精确的求解，人们开始引入数值 模拟的方法。对于各向同性、各向异性、含时、定态的g p 方程的 求解人们都做了大量的研究阻7 删。虽然对碱金属气体原子实验而 言，简谐势阱是个很好的近似，但是随着技术的发展有可能采用 其它形式的外势阱。这使得b e c 处于其它外势阱中的基态性质成 为近年来的研究热点。本论文中，我们就玻色一爱因斯坦凝聚体的 谐振和非谐势阱中的基态性质徽了一些理论研究。首先，在文献 4 ，7 4 ，9 2 中均提到当凝聚体粒子数比较大时，由于粒子间的相 互作用比较强，因此g r o s s p i t a e v s k i i 方程可以忽略动能项，方 刘琼湘潭大学硕士毕业论文 程也由此可以通过解析的方法求解得到bec 的基态玻函数，但 是到底多少的粒子数可以算足够大，能用t h o m a s f e r m i 模型解析 求解，并没有一个准确的答案。因此我们采用微扰的方法考察了 不同粒子数条件下，动能项对一维的玻色一爱因斯坦凝聚体的密度 分布和单粒子的能量平均值的影响，并以”r b 为例，根据模拟的 结果标定了其弱、强相互作用的粒子数范畴。其次，实现b e c 的 几个实验都是在有外势的条件下进行，这一事实意味着外势对原 子气体的性质影响很大。不仅谐振势阱中的b e c ，处于其它可能 存在的势阱中的b e c 的基态性质也是近年来的一个研究重点，例 如干涉实验中的双势阱模型【3 7 1 ，王得重等【7 1 1 提出的w 型势阱等。 由此，我们构造了一个具有双阱结构的非谐的外部势，并用数值 模拟的方法研究了该非谐势下b e e 的基态特征。我们的工作对非 谐势中b e c 的基态性质做了有益的探索，研究表明：外势阱不变， 当b e c 的粒子数比较小时，凝聚体沿半径方向存在为零的特殊点 使凝聚体分为内外两个部分；当粒子数比较大时，凝聚体的密度 分布趋于高斯型。当b e c 的粒子数不变，非谐势参数变化时我们 也得到了类似的结论。 第一章基本理论与方法 本章摘要：本章叙述了玻色爱因斯坦凝聚的统计原理，以及常用的数值模拟方法。 第一节玻色一爱因斯坦凝聚的统计原理与相关的实验 一、玻色爱因斯坦凝聚的统计原理【7 2 1 1 9 2 4 年，s b o s e 将光子作为其数量并不守恒的全同粒子处 理而成功的导出了p l a n c k 黑体辐射定律，e i n s t e i n 随即将这个问 题推广到全同理想气体，并于1 9 2 5 年导出了出现凝聚现象的临界 温度t e ，这就是b o s e e i n s t e i n ( b e c ) 凝聚的开始 1 , 2 1 。 设体积为v 的容器中存在由n 个玻色粒子组成的理想气体， 理想玻色气体处于统计平衡时，服从玻色一爱因斯坦统计。若以 ，z ( ) 代表平衡状态时处于q 能态的菜一量子态的平均粒子数，则 n ( e ，) 可以表示为： 一( ) 2 万杀巧 ( 1 t 1 1 ) 其中，为粒子的化学势，k 。为玻尔兹曼常数，系统的总粒子数 与总能量数可表为： _ e 。2 军南 ( 1 1 2 ) e 2 警叱) 2 军南 ( 1 l 3 ) 令n 与n 分别表示处于最低能级和较高能级的粒子数，则总粒子 数可表示为： n = n o + n ( 1 1 4 ) o2 南( 1 1 - 5 ) 刘琼 湘潭大学硕士毕业论文 肌丢阿l ( 1 1 6 ) 对于n 的计算我们可以用积分近似的代替求和，能量在s 寸占+ 出 之间的状态数为： d ( 印出= j s | 2 晤2 m ) 3 1 2 占1 1 2 如 ( 1 1 7 ) 其中s 表示粒子的一个空间状态对应s 个不同的自旋态，因此 2j 万御( e ) d 8 = s 矿( 下2 m n k b t ) 墨，2 位) ( 1 1 8 ) s v 甲2 m n k a t ”2 _ 6 1 2 从式( 1 ：1 8 ) 可以看到在温度t 时，n 7 是存在一个上限埘，该上限 随着温度的下降而下降。因此，对于一定的粒子密度”= 苦，存在 一个临界温度t ，它满足： 等= 2 6 1 2 s ( 警3 心 ( 1 ) 当r t 时， ，其余的一n 个粒子都进入到最低能级岛中 去，此时可推得： - 车) m( 1 - 1 1 0 ) n o ：n ( 1 一占) m ) 当体系的温度低于临界温度t 时，0 与在数量上是可以比拟的。 如果丁= 0 ，则“= ，这时全部粒子都转移到最低能级，这就是 所谓的玻色爱因斯坦凝聚。 _ g s = 】，丁 蕊 ( 1 1 1 2 ) 旦：! 坐望塑! ! 壁塑垡坚竺竺：! 望! 型竺 ! 其中粒子数密度n = 可n ，a = 蠡t 、 2 n m k b t 。由上式可以清楚的看出， 形成b e c 的条件是粒子的德布罗意波长超过粒子间的间距。b e c 的临界温度疋和临界粒子数密度移。为 t = 焉( 志) 2 ， ( 1 3 ) 够) 。= 2 6 1 2 ( m k b t ) m ( 1 1 1 4 ) 用临界参量表示b e c 形成的条件是 t t 苦 移。 ( 1 1 i s ) ( 1 1 1 6 ) 由此可以看出，可以从两个途径实现b e c ：一是降低原子气团的 温度，使其低于给定密度下的临界温度；另一种是提高原子气团 的密度，使其超过给定温度下的原子气团的密度。 由以上的推导我们可以看出，不同于己知的其它相变，玻色， 爱因斯坦凝聚是首次由统计物理学推出的一种相变现象。当玻色 爱因斯坦凝聚发生时，原子基本聚集在共同的单粒子基态，粒子 的量子波函数互相叠加，位相相互一致。因此，它们完全失去个 体的特性而不能相互区分。所以，这种凝聚体可以视为一种新的 物质形态。 二、玻色爱因斯坦凝聚的相关实验 根据上述理论，由于在弱相互作用的凝聚体系中，相互作用 在理论上较易处理，理论和实验也可以细致的比较，物理学家们 希望能够在气态的原子中实现b e c 。而在气态的碱金属原子中实 现b e c 有三个有利的条件 7 3 3 4 1 ：第一，碱金属原子的能级跃迁可 以用现有的激光激发，因此适合于激光方法。第二，碱金属原子 的内部能级结构适合于冷却到极低的温度。第三，碱金属原子间 的弹性散射截面比氢原子高三个数量级，而由于非弹性碰撞导致 的驰豫率只比氢原子稍差，碱金属原子的弹性碰撞与非弹性碰撞 的比率要高的多，因此可以更快的冷却，而在驰豫现象大量发生 前达到低的多的温度。另一方面，碱金属原子的磁场捕获和冷却 技术已经成熟，而且其实验装置比冷却氢原子的装置简单的多。 随着实验物理技术，尤其是激光冷却和束缚中性原子技术的 发剧2 4 2 9 1 ，1 9 9 5 年7 月，原子气体的b e c 首先由美国科罗拉多洲 国家标准和工业技术研究所的c o n e l l 和w i e m a n 领导的小组 ( j i l a ) 在磁光势阱中得以实现口叭，如图1 ，1 所示。具体的实验 图1 i ：玻色一爱因斯坦凝聚磁光势阱的装置示意图。六束直径为1 5 厘米的激光相交 于气室中心，气室外沿z 轴方向有2 个线圈，线圈中通有方向相反的电流产生大小与 坐标位置相关的非均匀磁场。 工作过程如下：首先，( s v r u ) 铷原子被激光冷却f l a s e rc o o l i n g ) ， 然后被束缚在磁势阱中通过强力蒸发被进一步冷却，这就是蒸发 冷却( e v a p o r a t i o nc o o l i n g ) 。此过程的主要作用是将那些能量超过 平均值的原子“逐出”磁势阱，留下的原子就达到了更低的温度。 这种方法是以牺牲磁势阱中的原子数来达到n k 级的低温。当温度 降到1 7 0 n k 时j 粒子的密度达到2 , 5 x 1 0 ”c m ，凝聚团的发生，约 d i s s e r t a t i o no f m a s t e r l sd e g r e e 2 0 0 0 个原子被挤压到一个很小的空间里成为一个“超原子”，并 能持续超过1 5 秒。这个凝聚体的行为表现如单个实体。在低到 1 7 0 n k 的温度以下时，观察到b e c 开始形成，继续冷却可以得到 很纯的b e c 。儿l a 的科学家们首次制取的玻色一爱因斯坦凝聚体 是一个非常小的铷原子球，直径约为2 0 t m ，它被正常的铷原子所 环绕。它有3 个非常显著的特征：第一，在一个很宽的热速度分 布上出现了个尖峰，它的位置在零速度处。第二，处在低速峰 上的粒子在温度下降到一定程度时发生急剧增加的现象。第三， 这个峰表现出非热的、各向异性的速度分布( 如图1 2 所示) 。j i l a 小组实验上的成功取决于其中的一个关键的结构。他们采用了一 个新构型的磁势阱，这是一个大的球四极矩场和一个小的、以 7 5 k h z 旋转的均匀横向场的叠加，这样一来就可以起到抵消样品 中粒子数损失的作用。 图1 2 ：1 9 9 5 年，c o n e l l 和w i e m a n 领导的小组( j i l a ) 在玻色一爱因斯坦凝聚实验 中用吸收成像法测得的”r b 原子的速度分布图。最左边的对应于凝聚体形成前，原 子为均匀球对称分布：中间的是凝聚体形成以后，中心突出部分为b e c ，由于磁阱 的不对称性，b e c 成压扁状，其边缘为对称分布的热原子：最右边的是进一步蒸发 冷却后留下的纯粹的凝聚体的图，边缘几乎没有热原子。 刘琼湘潭大学硕士毕业论文 随后在1 9 9 5 年1 0 月，麻省理工学院( t ) 的k e t t e r l e 等人用 2 3 n a 原子在实验上也实现了b e c 3 5 i ，如图l _ 3 ，1 4 所示。他们认为 实现b e c 的困难之一就是造成原子损失的热振荡( v i b r a t i o n ) 。为 了减少这种效应，他们消除了造成振荡的真空泵并采取措施以防 空气扰动而产生对激光束的影响。他们采用了使原子尽快冷却的 方法来减少这种效应。这种快速冷却的方法是k e t t e r l e 小组的一 个很明显的特色。他们能在7 秒钟内使相空间的密度增大6 个数 量级。这种快速冷却的能力对以后研究凝聚有十分重要的意义。 m i t 研究小组的另一个独特点是他们采用了一种形状类似于苜蓿 叶的磁线圈。这种形状的线圈所产生的势阱使之限制原子的能力 图1 3 ；对应于磁光势阱和蒸发冷却的绝热图1 4 ： 1 9 9 5 年麻省理工学 势磁势阱的对称牵由是z 轴 院的k e t t e r l e 等领导的小组，在 钠原子玻色一爱因斯坦凝聚实验 中测得的( 由上到下) 随频率 逐渐下降的沿z 轴方向的密度 函数分布图。从图中可以看出， 当频率低于0 ，7 6 m h z 时，开始 出现b e c 现象，当频率达到 0 4 6 m h z 时几乎为纯b e c 。 更强，在凝聚态中包含更多的原子( 1 5 1 0 5 个原子) ，从而粒子的 旦：! l !旦! ! 型塑! 垡塑竺堡! ! 窆矍! 竺 旦 数密度超过1 0 u ! c m ，如此高密度的样品为研究超冷稠密物质中约 输运过程性质提供了可能性。 同年，h u l e t 等人在具有负散射长度( a 0 ，玻色爱因斯坦凝聚将是稳定的；而当口 0 时，将有负压力，这意味着系统将会塌陷 7 6 1 。h u l e t 等人的成功， 向理论工作者提出了挑战。文献 7 7 7 8 预期在充分少的原予数或 非常弱的相互作用条件下，凝聚体应是稳定的，当条件不满足时 的衰变与坍塌也有几位作者讨论 7 8 , 7 9 。 第二节平均场理论【8 0 】 平均场理论在一定条件下，是一个非常精确的描述方式。在 稀薄的b e c 气体中，我们可以用一个平均场来描述它。场函数在 空间不同点的值伴有一个可测量的，确定的位相值。理论和实践 证明，平均场近似提供了一个非常有效的，研究b e c 的基态、动 力学和热力学特性的工具。 通常描述b e c 波函数性质的h e i s e n b e r g 方程为： 访盟竽十篆v 2 + m 忡f ) + 时慨咖，f ) ( 1 2 1 ) 该方程最后项具有非线性的特征，一般是不能宜接求解的。通 过运用平均场近似，方程( 1 ，2 1 ) 中的场算符可以分解为 圣( ，f ) = 甲( ，) + 量( ，f )( 1 2 2 ) 刘琼 湘潭大学硕士毕业论文 其中y ( ，f ) = 舻( r ) ) 是凝聚体波函数平均值，矿( ，f ) 表示关于平均值 的量子波动值。在平均场近似中旷( r ，r ) 很小，可以近似的忽略。在 零温下时，有归一化： d3 r l w ( r , t ) 1 2 = n( 1 2 3 ) 其中n 是粒子数。由此可以得到非线性薛定鄂方程 ( g r o s s p i t a e v s k i ie q u a t i o n ) ： 访塑：怯h 2v ：+ ( r ) + n u o i 晰扩卜。( 1 2 4 ) 非线性相互作用项是粒子数n 与跟s 波散射长度有关的参数u o 的积。 在平均场理论中，为了求解凝聚体波函数的定态解，我们可 以把甲( ，f ) = e x p ( 一i a h ) ( r ) 代入( 1 。2 。4 ) 式( t 是化学势) ，得到定态 方程： ( 一轰v 2 + ( r ) + ) 阳( r ) = 矿( ，) ( 1 2 5 ) 当外部势为谐振势时，p ) 通常表示为； ，叩( ，) = 击m ( ，2 x 2 + y 2 j ，2 + ，2 2 2 )( 1 2 6 ) 对于含时的g p 方程和定态的g p 方程，人们通常采用数值模拟的 方法对其求解。在一些特殊的情况下( 例如粒子间的弱强相互作 用极限情况) ，方程能被合理简化从而可以用解析的方法求解。 第三节常用的数值计算方法 由上节我们知道，、b e c 的基态性质以及其随时间的演化的动 力学特征，主要通过求解定态和含时g p 方程给 8 1 , s 2 。由于g p 方程是非线性方程不能直接解析求解，一般采用数值方法来求解 旦：! 垫 殳墅! 塑堂! ! ! 坚竺竺! ! 望矍竺 一一兰 8 3 , 8 4 1 。求解含时的g p 方程和定态的g p 方程的数值解法是截然不 同的。前者主要通过显含或隐含时间以及虚时间变换的方法来求 解，后者主要通过特征值或变分法来模拟b e c 的基态性质【6 8 】。 b e c 的定态解可以作为其含时方程动力学演化性质求解的初始条 件。 对于含时的g p 方程，r u p r e c h t 等【6 7 】首先提出了对低温下外 部势为各向异性谐振势、粒子间为弱相互作用的玻色一爱囡斯坦凝 聚体的数值求解方法。低温下，凝聚体的波函数可以用菲线性 g p t z s , s 6 1 方程表示： 旃垒掣= 一篆v 2 吣，f ) + j 1 朋砰r 2 比f ) + 批帅f ) 1 2 y ( r , t ) ( 1 钏 其中砜：丝，对三维方程重新标度，令甲( ；) ：爿掣， p = ( 0 l ) 一ix ，f = 删，方程( 1 3 1 ) 可化为一维方程： i 琢国t 访掣一一等+ i p 2 c ，( p , r ) + 8 a 2 n a n 学胁) ( 1 3 2 ) 并且甲( ；) ：爿至望满足归化条件妒( ，) l d r = 1 ，由此可得： 4 石( 纛一2 似酬d p 2 l ( 1 3 3 ) 利用( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) 不含非线性项时线性方程的基态解作为含时方 程演化的初始条件，代入完整的非线性方程，利甩c o r a n k - n i c o i s o n 数值计算方法对其随对闯每一步变化求解，直到得到稳定的波函 数的值。在每一时间步，我们可以通过调整非线性常数 ( d ? = 4 n n h a m , m ) ，使之达到我们的期望值。同样，单粒子的能 量值也可以通过含时方程得到。在时间步所内，波函数的变化可 以表为： 湘潭大学硕士毕业论文 掣= e - j 廊r( 1 3 4 ) 由此 一去哪( 等) n ， 卢的值通常要取几百组数据的平均值以减少误差。 2 0 0 0 年，c h i o f a l o 等【6 聊提出了采用虚时间的方法对含时方程 的数值求解进行了改进。通过w i c kr o t a t i o n ，令 r f = - i t ( 1 3 6 ) 波函数矿= r + u ，代入哈密顿方程，有： a 月= h 震 a 。j = 一h j 其中日是哈密顿量，h ：丁+ 矿。 ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 对( 1 3 7 ) 和( 1 3 8 ) 两式进行中心差分，可得 r ：“= r j 。- 2 a v ( t + 矿) 震；( 1 3 9 ) 矽“= “- 2 a r ( t + v ) t( 1 3 1 0 ) 喜中丁妒j ；( y 二。一2 妒；+ y 工，) ，( ：) 2 ，y y ；吁y ：。由此可以对( 1 3 9 ) 和( 1 3 i o ) 分别进行数值计算。在k = 0 时，取时间步长为r ：在k ：1 时，取时间步长为2 a v 。 对于定态的g p 方程的计算，前人也已做了大量工作。1 9 9 5 年，m a r ke d w a r d s 和k b u r n e r 6 明同样把g p 方程简化为( 1 。3 2 ) 的 一维形式。 令、壬，( ；，f ) = e - 舢、壬，( ) ，= 壳筇，可得 等+ 一n a 2 y 降一o s 对上式做解析的近似可得边界条件，当x _ o 时 妒( 0 ) = 0( 1 3 1 2 ) 旦：兰坐里! 茎! 坚堡璺2 1 坚竺! ! ! ：! 旦! 塑! !堡 纵盼 南 l 2 当x _ 时 妒( x ) 。p 一手+ ( 卢一；，h c x ， 庐c x ，* 一主+ c p 一丢，e ， e 一；+ ( ， m ( i ) 以上四个边界条件需要满足归一化 4 露f l _ 2 m , j i 4 2 胍) 1 2 删 ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 z s ) ( 1 3 1 6 ) g p 方程( 1 3 1 1 ) 的解依赖于4 个参数卢，n ，y 和a ，一旦参数给 定，其初始条件就可以由( 1 3 1 2 ) 和( 1 3 1 3 ) 得到，从而可以对( 1 3 1 1 ) 用龙格库塔的方法积分。积分得到的波函数不一定满足，x 哼m 时 的边界条件。在这里，e d w a r d s 等通过令卢、y 、n 为常数，调整 4 的值，对方程进行积分，使得到的波函数满足边界条件。当得 到的波函数的w r o n s k i a n 行列式为零时，相应的a 的值做为以， 波函数值为丸。( 4 ，n 。；x ) ，其满足所有边界条件，但是不满足归一 化。为了使波函数归一化，他们考虑另一个满足g p 方程的解 萌( 一。，n 。；x ) ，由( 1 3 1 1 ) 可矢口，当 o 爿；= l 彳( 1 3 1 7 ) 成立时，破( 4 ，n ；x ) = 丸。( 4 ，n 。；x ) 。由此可得 一。= 。4 。上。，。q 1 。r l 纯。( 一。， 。；x ) f 2 威 i ( t s - 8 ) l = 引0 ( 1 3 1 9 ) 最终，e d w a r d s 等得到了归一化后的波函数 i f ，( 且。，n i ；，) = 二! 。丸。( 4 0 ，n 。；r )( 1 3 2 0 ) 但是，该方法也存在一些问题和不足。郝柏林在文献 4 上指 出其“方法不妥，结果存疑”，随后闰珂柱、谭维翰在文献 8 7 8 9 】 中指出e d w a r d s 和b u m e t t 的方法通过计算一个参数为n 的系统， 反求得参数为j 的系统的解，即求解用到的参数0 并非实际系统 的参数n ，而l 在计算完成以前是未知数。若n ，给定，则需要计 算许多o 去试探，看哪一个跟实际要求的i 相接近，而选择该0 试探中的对应解。并指出e b 方法引用了不恰当的边界条件 m ：( o ) = ，f 告。在此基础上他们提出了一个从实际系统粒子数n u l + a 出发求解其本征值及相应的波函数的方法。 同上，凝聚体系的g p 方程经过分离时间变量，重新标度 和归一化如( 1 3 11 ) 碧+ 1 f2 - n a 2 玎挚= 。 s 埘， 归一化条件为 4 万f y 2 ( r ) r 2 d r = p o ) a x = l ( 1 3 。2 2 ) 若n 不为零，且给定后，就是定态非线性方程( 1 3 2 1 ) 的本征值， 它的取值应能保证：( i ) 当x 一。时，妒( x ) _ 0 ：( i i ) 当x 呻0 时， p ( x ) 。c 竺盟是有限的。在x 一0 附近，妒o ) ：妒o 批。在实际求解( 1 3 2 1 ) 时，将它写为两个一阶的方程 罢= y ，塞= ( 邛+ 等+ n t a 2 譬) 。 ( 1 3 2 3 ) 边值条件可写为 ( i ) 当x 一。时 d i s s e r l a t i o no f m a s t e r sd e g r e e 妒( z ) i 。= 0 ，y ( x ) 1 = 0 。( 1 3 2 4 ) ( i i ) 当x 哼0 时 妒( x ) l 。：。= ( o ) f ( g = 1 0 6 ) ，y ( x ) l 。= ( o ) a( 1 3 2 5 ) 当妒。( o ) 给定后，就可按r u n g e k u t t a 方法由x = 0 到x m 积分，若 选择不当，当x m 时，方程( 1 - 3 2 3 ) 的积分是发散的，只有当芦 选择恰当时，才会使( x ) 在x j0 0 时收敛于零，这时的庐( x ) 也不一 定满足归一化条件( 1 3 2 2 ) 式，为了满足归一化条件还要恰当的选 择边界值妒( o ) 。当解妒( x ) 在x c o 处收敛于零并满足归一化条件就 已将妒( o ) 与完全确定了。 第二章计及动能微扰的玻色一爱因斯坦凝聚体 的基态特征 本章摘要：利用微扰方法研究了动能对玻色- 爱因斯坦凝聚体的基态能量的粒子数平均和几率密度分 布的影响，对”r b 原子的模拟结果标定了弱、强相互作用时一维凝聚体中的粒子数范畴。 第一节引言 玻色爱因斯坦凝聚这一独特的量子现象之所以显得如此的 重要，一个很大的原因就是所有处于凝聚体中的原子一定严格保 持行动上的一致性，这就使原来单个原子所具有的、难以被观察 的行为从宏观上表现出来。一般的，人们采用g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 理论形式的弱相互作用玻色子理论研究玻色凝聚原子体系的行 为。这种平均场方法提供了研究b e c 基态的一个有力工具。由上 一章，我们知道当凝聚体粒子数比较大时，由于粒子间的相互作 用比较强，g r o s s p i t a e v s k i i 方程可以通过忽略动能项来直接求 解，但是到底多少的粒子数可以算足够大，能用t h o m a s f e r m i 模 型解析求解，并没有个准确的答案。在本章中，我们尝试用动 能项作为微扰来考察不同粒子