（应用数学专业论文）一类抛物型方程的系数反演问题.pdf

摘要 由于应用技术的需要，对微分方程反问题的研究近年来发展的非常迅速热 传导方程未知系数的反演问题就是一类重要的偏微分方程反问题，所反演的参数 一般为热传导系数，热源系数及其源项等等所利用的反演输入数据有边界测量 数据，内点测量值，给定时刻的测量值等一般而言，这是一类不适定的问题 对下面热传导方程定解问题 i 饥一d 2 蚝z + q ( x ) u = 0( z ，t ) ( o ，1 ) ( o ，t ) “( o ，t ) = ，o ( t ) ，t ( 1 ，t ) = g o ( t ) t ( 0 ，t )( o 0 1 ) lt ( z ，o ) = t o ( 功o ( 0 ，1 ) 本文讨论利用终端时刻的温度u ( x ，t ) = z t ( x ) 反演未知系数q ( $ ) 的反问题由于正 问题的解u ( z ，t ) 依赖于系数口( z ) ，因此这里的反问题是非线性的不适定问题另一 方面，解。t ) 关于时间t 本质上是以指数衰减的，因此u 0 ，t ) 包含q ( x ) 的信息非 常弱这加剧了所考虑的问题的不适定性在原反问题有饵的情况下，数值反演系 数q ( x ) 的问题包含了问题非线性和不适定性的处理两个方面 本文提出了一种新的迭代方法来求解此问题有别于通常的优化迭代方法 ( 它在每一步同时求解近似的q ( ) ( z ) 和对应的正问题的解( o ) ( z ，) ) ，本文通过变换 ”( z ，t ) = 并箸将上述反问题转化为下面的非线性问题 l 仇一a 2 = 知2 ( 露如出+ 酱) ( 毛t ) ( 0 ，1 ) ( o ，t ) v ( o ，t ) = 啪( t ) v ( i ，t ) = 枷( ) t ( 0 ，t ) ( 0 0 2 ) i 。( z ，0 ) = 口( 岛刃+ 口2 产一8 2 2 斧z ( o ，1 ) 的迭代求解问题，然后再利用变换下的关系 如胁2 ”比榭+ z 毫拱厂嘶出+ r 嘶m 出+ 笔者卜如 取时间t l ( o ，t ) 足够的接近t ，由 删甜笔者叫圳 ( 咖) 近似得出g ( z ) 此方法通过直接解一个新的非线性正问题达到求解反问豚的目的， 在求解。( 。，t ) 的过程中无须讨论q ( x ) 的影响在给出上述变换反演方法可行的条件 以后，对上述转化后的新问题，我们讨论了它与原来反问题的等价性。进而讨论了 迭代解序列的收敛性最后对每一迭代过程中的线性正问题，我们沿着时间方向 利用s w e e p 方法得到”( j 涵亡) 的离散解通过上面的工作，最后我们完成了q ( x ) 的 反演数值试验说明了本文反演方法的有效性无论是迭代求解非线性正问题的 过程，还是进而求出( ) ，都需要计算反演输入数据的二阶导致，这实际上是原问 题不适定性的反映我们利用了正则化的方法来处理此不适定性的过程，这个过 程尤其是对噪音输入数据的处理是必要的本文提出的反演方法本质上是一种将 问题的非线性和不适定性分开处理的方法，并且求解系数的不适定性本质上反映 在对末始时刻给定数据的微分中 关键词；反问题，抛物型方程。迭代方法，s w e e p 方法，正则化方法，数值解 a b s t r a c t w i t ht h ep r o m o t i o no fm a n ya p p l i e dp r o b l e m sa r i s i n gi ne n g i n e e r i n g r e a s t h er e s e a r c h e s o nt h ei n v e r s ep r o b l e m sg o v e r n e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ed e v e l o p e dr a p i d l yi n r e c e n ty e a r s ，s i n c em o s to ft h ep h e n o m e n ai na p p l l e da j - e a sc a nb ed e s c r i b e db yp d e 8 t h e r e c o n s t r u c t i o no fc o e f f i c i e n t so fp a r a b o l i ce q u a t i o ni so n eo ft h ei m p o r t a n tp r o b l e m s t h ep a - r a m e t e r st ob er e c o n s t r u c t e do f t e nc o n t a l uh e a tc o n d u c t i o nc o e f l i c i e n t i l e a ts o t l r c ec o e i 陆c i e n t a n ds o u r c et e r ma n ds oo n t h ei n p u td a t am a yb eb o u n d a r ym e a s u r e m e n t s i n t e r i o rp o i n t s m e a s u r e m e n t s ，o rm e a s u r e m e n td a t aa tg i v e nm o m e n ta n d o n g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h e ya r e i l l - p o s e dp r o b l e m s i nt h i st h e s i s ，f o rt h ef o l l o w i n gi n i t i a lb o u n d a r yw h ep r o b l e mo fp a r a b o l i ce q u a t i o n 慨u t - u “唰+ q 咄( x 蒜0 ) 刊幻 【u ( $ ，o ) = 1 0 ( 。) ( ，t ) ( 0 ，1 ) ( o ，t ) t ( o ，t ) ( 0 0 4 ) $ ( 0 ，1 ) w ec o n s i d e rt h ei n v e r 8 cp r o b l e mo fr c c o n s t r u e t h l gt h ec o c f l l e i e n tq ( x ) f r o mt h ef i n a lo v e r - d e t e r m i n a t i o n “0 ，t ) = z r ( x ) t b j si n v e r s ep r o b l e mj sn o n l i n e a ra n di n - p o s e dd u et o t h e s o l u t i o nt 0 ，t ) o fd i r e c tp r o b l e md e p e n d i n go nt h ec o e t t l c i e n t 口0 ) o nt h eo t h e rh a n d ，t h e i n f o r m a t i o no fq ( x ) c o n t a i n e di nt ( $ ，t ) i sv e r yw e a kd u et ot h ee x p o n e n t i a l l yd e c a yo ft ( z ，t ) w i t hr e s p e c tt ot i m et f u r t h e r m o r e ，t ob eo fu n i q u e n e s sf o rt h i si n v e r s ep r o b l e m ，8 0 m ea - p r i o r i r e s t r i c t i o n ss h o u l db eg i v e nf o ri n i t i a lb o u n d a r yd a t a t h i sp a p e rp r o p o s e s8n e wi t e r a t i o ns c h e m et os o l v et h i si n v e r s ep r o b l e m d i f f e r e n tf r o m t h et r a d i t i o n a lo p t i m i z a t i o n - b a s e di t e r a t i o ni n v e r s i o ns c h e m e ，w h i d lm u s ts o l v et h ed i r e c tp r o b - l e ma te a c hi t e r a t i o ns t e ps i m u l t a n e o u s l y , o u ri n v e r s i o n 越h e m ef i r s t l yc o n v e r tt h eo r i g i n a lp r o t 卜 l e mi n t ot h ef o l l o w i n gn o n h n e a rp r o b l e m f 巩一舻= 2 铲( 露出+ 警) ( z ，t ) ( o ，1 ) ( 0 ，r ) v ( o ，t ) = n 0 ( t ) v ( 1 ，) = p o ( t ) t ( o ，r ) ( o 0 5 ) 【。( ，o ) = v ( x ，刃+ n 2 尹一口2 蟹霉( o t l ) b yi n t r o d u c i n gt h et r a n s f o r m 口( 。，t ) = 等舞群。a n dt h e nr e c o n s t r u c t 口( 霉) f r o m ( 毛t ) i nt e r m so f 如细2 盱谢2 + 。秀拱厂蝴胁厂嘶力出+ 裂褂俐 t a k i n gt i m et l ( 0 ，t ) e n o a g hn e a rt ot ，t h ea b o v ef o r m u l a i sa p p r c c d m a t e db y 口( z ) * 矿气；袤铲一v 缸，t ，) ( o o 6 ) t h ee q u i v a l e n c eo ft h et r a n s f o r m e dn e wp r o b l e mt ot h eo r i g i n a li n v e r s ep r o b l e m s a 8w e l l t h es o l v a b i l i t yo ft h en e wp r o b l e m s ，a r es h o w n t os o l v et h en o n - s t a n d a r di n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ( 0 0 5 ) ，w eu 8 et h el i n e a ri t e r a t i o np r o c e d u r et oa p p r o x i m a t et h es o l u t i o n t h e c o i i v e r g e n c ep r o p e r t yo ft h ei t e r a t i o ns e q u e n c ea r es h o w ni ns o m es p a c e f i n a l l y , a f t e rc o m p u t i n g 钆$ ( z ) f r o m 勿( z ) i nt e r m so f t h er e g u l a r i z i n gs c h e m e ，w eo b t a i n t h ed i s c r e t es o l u t i o no f ( # ，) f o rt h ei t e r a t i o np r o b l e mb yt h es w e e pm e t h o da l o n gt h et i m e d i r e c t i o na n dq ( x ) i sa p p r o x i m a t e df r o m 【引0 ，) n u m e r i c a l l y n u m e r i c a le x a l n p l a r eg i v e i l t os h o wt h ev a l i d i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d k e y w i l r d s ：i n v e r s ep r o b l e m s ，p a r a b o l i ce q u a t i o n ，r e r a t i n nm e t h o d ，s w e e pm e t h o d ，r e g u l a r - i z a t i o nm e t h o d ，n u m e r i c a ls o l u t i o n 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一，学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均巳在 论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名，篙盔鼬日期，翟衄 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊 登) 授权东南大学研究生院办理 签名，啦导师签名，复j 煺日期。 第一章引言 1 1 热传导方程参数反演问题的背景 近二十多年来，由于工程技术的进一步发展，国际上对反问题的研究迅速地发 展起来，例如在医学成像无损探伤、模式识别、信号处理、生命科学、材料科学与 地球物理等众多领域中，都提出了由结果反求原因的模型。通常称这类问题为数学 物理中的反问题我们很难给出反问题的一个明确定义，j b k e l l e r 提出( 5 】【6 】) ：一 对问题称为是互逆的，如果一个问题的构成( 已知数据) 需要另一个问题解的部分信 息，把其中的一个称为正问题( d i r e c tp r o b l e m ) ，另一个就称为反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 从内容上讲，正问题是由一般到具体、由原因到结果、由本质到现象的过程， 它的研究相对比较成熟，而反问题则是由效果反求原因，由表象反求原象、由输出 反求输入或者系统参数的过程，它的研究发展相对而育是不成熟的，因而吸引了 国内外许多学者从事该项研究它已发展为数学与物理，数学与工程等领域的交 叉性的学科已故的中科院院士冯康教授自上世纪8 0 年代初期就大力提倡反问题 数值解法的研究，对我国的反问题的研究和应用产生了深远的影响 一般而言，正问题的提法通常能保证问题的适定性，因而求解相对容易一些 然而由于实际条件的限制，反问题的输入数据的给出方式是有限制的，因此反问题 一般是不适定问题，这给求解带来了很大困难，在求解过程中必须采用特殊的方 法才能得到稳定的数值解至今，数学物理反问题的求解已经发展了很多方法，例 如脉冲谱技术、最佳摄动量法、蒙特卡罗方法，优化方法及各种正则化方法等 近年来，国际上越来越多的学者对偏微分方程的反问题进行研究很多应用 领域的辨识和控制问题都可以转化为有关的偏微分方程的反问题，例如地下水的 扩散问题、逆散射问题、逆导电问题以及热传导问题都是重要的研究领域热传导 方程的反问题是一类经典的数学物理反问题一般而言，热传导方程的反问题可 以分为四类： ( 1 ) 已知一部分边界和区域内局部的温度分布确定剩余边界上或内部的热流或 温度( 【1 0 1 ，【1 4 d ； ( 2 ) 已知区域内部某时刻的温度分布确定初始温度( 7 1 ，【8 】) ； ( 3 ) 由一部分边界的温度和热流确定剩余边界的形状( 【1 9 d ； ( 4 ) 已知初边值条件和附加的信息反演方程的系数，所反演的参数一般为扩散 系数、热源系数以及源项等，其中参数往往依赖于空间或时间变量( 【l6 】 2 8 】，【2 9 1 ) 上述问题往往是不适定的和非线性的，这使得反问题的求解方法显得尤为重 要，其中这些方法的本质都在于处理问题的非线性和不适定性本文讨论的反问 题属于第四类问题，我们利用末始数据反演一维抛物型方程t t 一口2 u 。+ g ( z ) u = 0 的中的系数q ( $ ) 1 壅堕奎堂堡主堂堡丝塞 篁三塞! ! 塞 2 1 2 热传导方程参数反演已有的工作 在有界区间q 上，假定给定的介质是均匀的并且没有输入热源，如果给定= 0 时刻的温度场“0 ，0 ) = u 0 0 ) 及其边界的温度变化，那么这个热传导过程可以用下 面的系统描述 it “一口2 t b $ + 口( z ) t i = 0 ， ( o ，) n ( 0 ，t ) u ( x 。t ) = f o ( z ，t ) ( z ，t ) 8 n i o ，q l 牡z ，o ) = t | o ( 。) t 。n 其中的q ( 。) u 可以看成是依赖于温度的一个热源如果介质是非均匀的且具有某种 外加的强制热源，那么方程描述的热传导过程变为 地一杀( n 扛) 象) + g ( $ 扣= ，p ，”扣，t ) n ( o ，刃 在这个方程中，除了输入热源f ( x ，t ) 外，还有非线性热源q ( o ) 虬这一热源依赖于空 间变量z 以及温度场本身事实上，o ( z ) 描述的是介质的热传导能力，如热容等， 而系数g ( z ) 描述的是产生或吸收热量的介质性质，因此它们具有不同的物理意义 热传导方程参数反演问题的主要任务是从温度场的某种观测信息来获得介 质本身的热传导的性质，即从给定集合上解的额外信息来确定热传导方程中的未 知系数例如选取解“ ，t ) 在集合 ( z ，t ) ：z a n ，t 【0 ，t o 】，0 t o t 上的信息作 为输入数据来反演系统参数，对于这一类参数反演的反问题已有大量的工作( 【2 1 】， 1 2 7 1 ) 在f 2 1 l 中，作者利用附加数据。( ，t ；力h 1 反演主部系数，( 。) ，通过迭代的高 斯一牛顿正则化方法得到了很好的数值结果在【2 7 1 中，作者考虑的是由附加数据 t 慨，t ) = 忧( t ) ，t 慨，t ) ，= 1 ，m 反演主部系效的问题。 利用温度场”( 毛t ) 在集合 ( z ，t ) ：n ，沩终端时刻研上的信息来确定系统 的参数是一类重要的反问题。在工程应用领域中，测量给定时刻t 的温度比测量 所有时刻在边界区域a n 的温度更容易，因此研究以终端时刻的温度场作为反演输 入数据的热传导参数反演问题将更具有实际意义选取终端时刻的温度作为输入 数据已被很多学者研究并提出了众多的求解方法例如，在【2 9 1 中，作者利用终端 时刻的温度u ( 毛t ) 反演主部系数p ( z ) ，并将优化的方法应用到反问题的求解中在 1 4 】中，作者利用最小二乘法将由终端时刻的温度u ( z ，t ) 反演系数q ( z ) 的问题转化 为求解受约束的泛函极小元问胚，并证明了在无限维空间上泛函极小元的存在性 及有限维空间上到无限维空间上的极小元的收敛性，最后将离散的受约束问题转 化为一列不受约束的极小元问题，并利用a r m i j o 算法进行数值求解【1 2 1 在关于 口( z ) 的先验的条件下，利用终端时刻的温度得到反演零次项系数的条件稳定性 f 1 3 】利用强极值原理，先验的h 6 1 d e r 估计及p r e d h o h n 二择一定理得到了反演q ( x ) 的 局部适定性v i c t o ri s a k o v 在1 2 2 卜1 2 5 】中详细地讨论了反演热传导方程系数的唯一 性和稳定性 当q ( z ) = 0 时，由“( z ，t ) 来反演扩散系数a ( z ) 的文章可见【2 0 ，【2 9 】在这种模型 中。热传导过程只有线性输入源，( z ，t ) ，而忽略了非线性源g ( z ) t ( z ，) 当然，也可以 选取其他的额外信息作为输入数据，例如【1 6 】把t ( 毛口) = z 0 0 ) ，z f 2 日( 0 ，t ) 及 u ( x ，t ) = z ( x ，) ，( z ，t ) u ( 0 ，丁) ，其中u n 作为输入数据同时反演初始温度与热辐 射系数并利用优化的方法得到了数值解此外，作者利用c a x l e m a n 估计证明了反演 的唯一性及稳定性c a r l e m a n 估计由m v k l i b a n o v 等人在上世纪九十年代最先提 出，是解决各类偏微分方程系数反演的唯一性或稳定性问题的有力工具( 【9 j ，【1 5 j ) 另外还可以考虑反演源项的相关的反问题，此类文章可参见【l 】 1 3 本文的工作 i 毗一口2 t $ # + q 0 ) t = 0( 霉，t ) q t ( o ，t ) = f o ( ) ，u ( 1 ，t ) = 蛐( ) t ( 0 ，t ) ( 1 , 3 1 ) iu 0 ，0 ) ；t o ( z ) z ( o ，1 ) ( 霸t ) = z ( z )( l 3 2 ) 描述的反问题，其中初始条件如( z ) 和边界数据，0 ( t ) ，册( t ) 是已知的，o 是一常 数，q = ( 0 ，i ) ( 0 ，? ) 关于此类问题解的适定性的分析，已经有了大量的研究工作 ( 1 2 1 ，【1 3 】，【2 1 】- 2 5 1 ) 从数值求解的角度来看，这是一个比较困难的工作因为热传导 方程的解u ( x ，t ) 关于时间t 是按指数衰减的，所以当t 比较大时( 戤t ) 包含g ( z ) 的 信息是非常少的，因此要求时间t 不能过大若口( z ) 已知，由抛物型方程的结论 ( 【2 1 ，1 1 7 1 ) 可知正问题( 1 3 1 ) 在给定数据的一定的相容性条件下是适定的在本文中 我们讨论由给定的输入数据求解q ( x ) 的反演方法及性质有别于已有的求解此类 系数反问题的优化迭代方法( 它在每一迭代都需要同时求解一个对应的正问题以作 为下一步迭代的输入数据) ，本文的反演方法本质上借助于一个变换，把原来的非线 性的反问题分解为两个问题，个是利用了反演输入数据的非线性的定解问题， 另一个是借助于此非线性问题的解对给定观测数据的数值微分的问题前者反映 了问题的非线性。后者反映了问题的不适定性，注意到利用反演的输入数据求解 非线性的定解问题的过程与未知的系数无关，因此我们提出的反演方案具有相对 较少的计算量另一方面，在反演方案中需要的对给定观测数据的数值微分是一 个不适定的问题，本文利用【1 1 】提出的利用五次样条插值的正则化方法来处理数 据勿( z ) 的二阶微分的不适定性 具体地说，本文的主要工作由下面四部分组成 ( - - ) ：本文利用变换 哪) = 裂碧 ( 1 3 3 ) 得到了反演q ( z ) 的方法在初边值数据和q ( z ) 的适当条件下，正问题( 1 3 1 ) 的解具 有正的下界由此可以保证变换( 1 3 3 ) 是可行的。利用此变换将( 1 , 3 1 ) 及其( 1 3 2 ) 转化为下式。 i 饥一口2 = 2 a 2 v x c f ：v , ：d t + 警) ( 文t ) q v ( o ，t ) ；o o ( t ) ( 1 ，t ) = 伽( t ) t ( 0 ，t ) ， i p ，o ) = 一“功+ 口2 哿秽( $ ，刃= - q ( x ) + 口2 簪岔( n 1 ) 其中7 0 ( t ) 一错瑚( t ) = 黜将u ( $ ，r ) 与v ( x ，o ) 合并得到 1 吨一一= 孙2 ( 厝d t + 酱) ( z ，t ) q ( o ，) = n o ( o v ( 1 ，) = 肋( t )t ( o ，t ) ， 【口( 曩o ) = ( 。，t ) + n 2 訾一一j 铲$ ( o ，1 ) 由变换”= 警得到下面的关系式 ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 如) = 铲 螂) d t ) 2 + 2 z 孙t z ( x ) ) f r 螂) d t + j ( 7 咖力出+ 笔者卜( 鹕 ( 1 s 6 ) 取时间t l ( 0 ，t ) 足够的接近t ，上式简化为 口( 咖矿笔崭叫圳 ( 1 3 7 ) 若直接用迭代的办法求解( 1 3 1 ) ，无法消除q ( x ) 的影响为了消除q ( z ) 的影响，我 们将( 1 3 1 ) 式转化为( 1 3 5 ) 式通过先求解问题( 1 3 5 ) 得到 ( $ ，t ) ，最后利用( 1 3 7 ) 式得到q c x ) 的近似解 ( 二) ：本文得到了由给定附加条件( 1 3 2 ) 和( 1 ，3 1 ) 构成的反问题与转化后的问题 ( 1 3 5 ) ，( 1 3 6 ) 求g ( ) 的等价性因为变换( 1 3 3 ) 可以变形为( 。，t ) = e 蝣”o r m + i n t m ( ”， 所以变换( 1 3 3 ) 是一一的，从而由给定附加条件( 1 3 2 ) 和( 1 3 1 ) 构成的反问题与问 题( 1 3 4 ) ，( 1 3 6 ) 是等价的在 ( z ，t ) 的先验条件下，本文得到了问题( 1 3 ，5 ) 解的唯 一性由于问题( 1 3 5 ) 是由问题( 1 3 4 ) 通过初始条件与终端条件消去g ( z ) 得到，因 此问题( 1 3 4 ) 的解定是( 1 3 5 ) 的解由问题( 1 3 5 ) 的解的唯一性可知问题( 1 3 5 ) 的解也是问题( 1 3 4 ) 的解由此本文得到给定条件( 1 3 2 ) 和( 1 3 1 ) 构成的反问题与 问题( 1 3 5 ) ，( 1 3 6 ) 求口( z ) 是等价的 ( 三) ：本文提出了求解非线性问题( 1 3 5 ) 解的线性迭代方法将( 1 3 5 ) 式转化 为下面的迭代的形式 扛，t ) q t ( 0 ，t ) ，( 1 3 8 ) o ( o ，1 ) 由此来构造解的逼近序列，此时我们将非线性的问题( 1 3 5 ) 转化为线性的问题( 1 3 8 ) 通过求解问题( 1 3 8 ) ，可以得到一系列的近似解扣( ) ( z ，t ) 箍o 若 口( ( z 。) 篷。是 收敛的并且收敛到函数 ( 甄) ，则口( z ，t ) 就是问题( 1 3 5 ) 的解在关于迭代序列 和0 ，印 趁。的一些先验条件下，本文证明了f v 5 ) 和，辞，篷。的收敛性 ( 四) ：我们讨论了问题( 1 3 8 ) 的离散化解法在给定v ( k - 1 ) ( z ，t ) 的条件下，由 正则化方法求出幻( z ) 的二阶微分后，本文利用s w e e p 算法沿时间方向数值求解 口( ) ( z ，t ) 的值，在前后迭代误差彬o ) ( z ，t ) 一v ( t - t ) ( 。，t ) l l 满足给定的容许误差时，近似 取口( t ) = 口 o ) ( 毛t ) 为所求的解最后将由正则化方法求出的勿h ( 。) 与s w e e p 算法 得到的口( 文t 1 ) 一并代入关系式q ( 功= d 2 1 器样一 ( 羁t 1 ) 近似得出口( z ) ，其中t l 充分 的接近时间7 我们的数值试验表明，此算法迭代1 0 0 次左右就可以得到理想的结 果，所以这是一个迭代速度比较快的算法最后本文给出了几个数值例子来说明 此算法的有效性 这里需要指出的是， 4 1 也讨论了和本文非常类似的反问题，即确定下列抛物 型偏微分方程中出现的未知热源系数q 0 ) ： ( $ ，t ) n ( 0 ，t ) ( $ ，) 0 f l f o ，列 茹n 2 n 其中初始条件t o ( $ ) 是已知的u ( ，t ) = 。( $ ) 是观测数据q ( z ) 限定在一定的集合 中即q ( z ) k = 伯l 1 ( n ) ： o o ，os 口0 ) s 作者利用a r m i 3 0 算法进行数值 求解，其迭代过程是给出q ( $ ) 的迭代初值群，通过求解一个变分形式的正问题得到 甜在节点上的值然后利用u r ，通过计算g a t e a u x 微分得到q r 再用硝代替甜， 依次下去得到一系列的扣，带) 当误差0 啦一醛“| | 小于一定的容许误差时。近似 取口( 。) = 攒与f 4 j 相比较，我们不是直接求解一个完全的优化问题，两是利用变换 = 警将由附加条件( 1 3 2 ) 和( 1 3 1 ) 构成的反问题转化为等价的问题( 1 3 5 ) 一( 1 3 6 ) 吻僦瞽瓣 一 动池怫一 = 霸毛 蜥咄q 通过求解问题( 1 3 5 ) 的迭代形式( 1 3 8 ) ，我们构造解的逼近序列 口( ) ( 而t ) ) 岛当误 差彬o ( z ，) 一v ( - i ( 8 圳小于一定的容许误差时，近似取u ( $ ，t ) = 口( ”( 。，t ) 在整个 迭代过程中，我们无须求解口舢在迭代停止后，再利用( 1 3 7 ) 式求得g ( z ) 的近似 解因此s w e e p 算法是一个计算量比较少迭代速度比较快的算法此外，本文揭示 了所讨论的反问题的不适定性的本质( 不适定性度，d e g r e eo f i l - p o e e d n e s s ) ：它本质 上是一个对末始时刻的给定数据的数值微分问题 第二章反问题的等价形式和线性化迭代求解 2 1 正问题解的性质及反问题的转化形式 为了我们提出的反问题求解方法的需要，先来给出下面正问题 u t 一8 2 t 船+ q ( x ) u 茸0( 霉，t ) ( 0 ，1 ) ( o ，t ) u ( o ，t ) = f o ( ) ，u ( 1 ，t ) 一g o ( t ) t ( o ，t ) t ( z ，0 ) = t l o ( z )z ( 0 ，1 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 解的性质如果系数及初边值条件已知，则( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 构成了关于u ( z ，t ) 的一个 正问题我们先给出在系数q ( z ) 及初边值数据光滑的条件下，解在h 6 1 d e r 空间上的 性质 引进定义于空间区间( 0 ，f ) 和时空区域q ：= ( 0 ，1 ) ( o ，t ) 上两个h s i d e r 空间为 c t ( o ，1 ) ，dt 2 ( q ) 它们都是巴拿赫空间其上的范数是标准的 对v ( x ) c ( 0 ，1 ) ，范数为 【f 】 蠼。) = ( ”) 摇。) + 嫦i ) ， 其中 黔川5 黼一) 耻丢l 磋啦) 似蜘蒹趟b 料仰舻s 懈u p 。，丝告铲 ( i q ) 鑫磁盘。 对t ( z ，t ) c 2 ( 0 ) ，范数为 子= 笤+ ( u ) g ， | n ( f 】表示z 的整数部分，其中 扣) 字；i “p = d m ( “) 乎= i 珥蝶“掣，和) 乎；( “婴口+ 硒留 v 一 ( t ) 婴口= ( d ；d ：t ( 蜀t ) ) q ( t - q i l ， 2 r + ，= m 熠：( d ；磁“缸，t ) ) 尹， o ：l - 2 r - s , ( 2 “i 护= 扣。s u p 。哗掣，。 a i ”一i s m 7 查塞奎堂曼圭童堡垒塞至三塞星墼曼墼篁丝垄茎塑丝堡垡童垡塞量8 皤蛙= 。，s 。垃掣it o a 0 ，则( z ，t ) 在口内不可能取得正( 负) 的最大( 小) 值 利用上述极值原理，可以证明在初边值数据的一定的条件下，正问题( 2 1 1 ) - ( 2 1 3 ) 的锯具有正的下界 定理2 1 3 设g ( z ) 在q 内满足口( z ) c 【0 ，1 1 ，l g ( z ) 暇1 ) o 查妻查堂塑圭竺堡垒塞 量三塞星堡璧丝篁丝垄垄墅塑堡些垄堡堡堡9 则对正问题( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 的解t ( z ，t ) 6 a , i ( q ) n c ) ，有下面的估计 ( 躺”( z , t ) e - m t s 0 ：= o 0 0 证明，令u = _ e 一彬。，正问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 转化为 l 砚一2 砚。+ ( 口( z ) 一m ) i = 0 ( z ，t ) q v ( o ，t ) = ，0 ( t ) e 肘“，e ( i ，t ) = a o ( 0 e m t ( o ，t ) ( 2 1 5 ) l 豇( 。，0 ) = t 幻( z ) z ( o ，1 ) 令面= ( - 一口1 ) e - 2 m t 其中口l2 m m 蚓m 叩i n l f o ( t ) e 删。，a o ( t ) e 彬l ，勰l 蜘( $ ) ) ，则( 2 工5 ) 转 化为 f 砚一口2 i 瓦。+ ( 口o ) + m ) 面= ( f 一q ( z ) ) a l e 一2 村q 0 面( o ，t ) = ( f o ( t ) e 盯“一a 1 ) e 一2 肼“，面( 1 ，) = ( g o ( t ) e f “一r 1 ) e 一2 村 【面( z ，0 ) = t 0 ( 茹) 一盯1 注意到问题( 2 1 6 ) 的初边值均非负。由引理2 1 2 即得 m i n 一面( z ，t ) 0 ( z ，1 ) q 将面= ( _ 一a 1 ) e 一2 m o 代入( 2 1 7 ) 得 m i 【l 静( 岳，t ) 盯i 扛，f ) e 口 将u = i e m 。代入( 2 1 8 ) 得 0 ，t ) q t ( 0 ，卵( 2 1 6 ) $ ( 0 ，1 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) e m ? m 吐“( z ，t ) 任，t ) 巧 一w i n 百“( 甄。) e m t 嘶 t 豁) ，9 0 ( ) 郫m i l l l j “0 ( ) ) ( 2 删 整理可得 k m 鹏i n 百“o ，) 之e - m r m i n ：晶( 矗( ) ，g o ( o ，。m 邸i n i o i o ，1 1 坳z ) 2 知。 0 ，) 可 o e 1 l 2 e ，1 j 定理得证 注定理2 1 3 保证了正问厨的解有正的下界，这一性质保证了后面反问廖的反 演算法中引入的变换是有意义的 由引理2 1 ，1 可知正问题( 2 1 ，1 ) ( 2 1 3 ) 的解是适定的下面我们讨论在系数q ( z ) 一定的先验条件下，利用终端时刻的温度 “( 。，t ) = z r ( $ ) 善( 0 ，1 ) ( 2 1 1 0 ) 反演( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 的未知系数口( z ) 的反问题由于抛物型方程的解( 毛t ) 关于时间 t 是指数衰减的，当系数a 2 不变时，经过较长的时间后“( 毛t ) 中所包含的g ( z ) 的 信息就变得非常弱了当取铲比较大时，u ( z ，t ) 衰减的更快从这种意义上讲，为 了更好的反演q ( x ) 必须取时间t 比较短，或者在矿很小时观测时刻r 也可以大一 些一般而言，这类反问题是不适定的由于终端时刻的温度是正问题经过时间丁 产生的，因此在反问题中，对给定的精确的温度场数据u ( 2 ，t ) ，q ( x ) 的存在性是一 定满足的而关于由u ( z ，t ) 反演q ( x ) 的唯一性和稳定性。在不同的函数空间上也 都已经有了标准的结果，这里我们仅把这些结果叙述如下 在【2 4 】( 定理9 1 2 ) 中，作者在零初始条件与零次项系数c 非负的条件下得到 了如下的定理 定理若在狮( 0 ， 上满足g 0 ，劾o ( 不恒为零) ，则利用终端数据 u ( ，t ) = u t ( 。) g 2 + 1 ( n ) 可以唯一确定零次项系数c ( 动 在 3 】健理2 1 ) 中，作者在空间孵1 ( q ) 的度量和口0 ) 的先验条件下也得到了 利用“( z ，t ) 反演热传导方程的零次项系数g ( z ) 的唯一性结果 下面我们开始讨论反问题的反演方法 以下我们总是假定反问题中给定的初边值数据满足定理2 1 3 的条件以使得正 问题的解u ( z ，t ) 在虿上有正的下界据此我们就可以引入函数变换 哪) ；器( 2 1 1 1 ) 定理2 1 4 假定( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 中的初边值数据满足定理2 1 3 中的条件。则变换 ( 2 1 1 1 ) 将由( 2 1 1 ) 一( 2 。1 3 ) 与给定终端温度( 2 1 1 0 ) 构成的反问题转化为下面的等价 形式( 2 1 1 2 ) ，( 2 1 1 3 ) ： l 仇一口2 = 2 a 2 v z ( f t v ；d t + 等) ( 霸t ) o v ( o ，) = 伽( ) u ( 1 ，t ) = p o ( t ) t c o ，t ) ， ( 2 1 1 2 ) 【u ( 毛o ) = 一口o ) + a 2 5 警“为t ) = 一g ( 刁+ 0 2 绛霉( o ，1 ， 其中伽( t ) = 错，瑚( t ) = 黜 口( 功= 矿 ( z 丁( 8 t ) 出) 2 + 2 z z t r x 和( x ) ) 五f t 啦( 善，力疵 + j ( t 胁错卜t ) ( 2 1 1 3 ) 证明；将方程( 2 ，1 1 ) 变形得， - q ( 加毕 ( 2 1 1 4 ) 圣里奎量堡圭矍堡堡圣垂三塞 星塑曼墼篁丝丝壅塑丝矍堡童垡圣基 1 1 由于上式的左边与时间t 无关，所以上式两边关于t 求导数得； 型，塾里蛔：一承扛) ：o ( 2 1 1 5 ) 为了将上式转换为关于新的函数”( 毛t ) 的方程，我们焉要下面的关系。 警：口2 + 地，兰警：t k + 兰兰口+ 2 丝t k ， “ u t u 詈= j ( ( 警) 廊+ 鲁k 。= o ( 詈k 班+ 等， 警；一z 7 ( 鲁) 勰+ 鲁l t 廿=