（理论物理专业论文）黑洞热力学熵与统计力学熵.pdf

摘要 本文分别用砖墙模型、e u c l i d e a n 路径积分和k i l l i n g 视界上的共形场论方法研 究了四维非极端稳态轴对称黑洞的热力学熵和统计力学熵。 首先，采用t t t o o f t 提出的把黑洞动力学自由度与量子激发态相对应，以黑洞 外部量子物质场的激发态来研究黑洞统计力学熵的砖墙模型，以及p a u l i v i u a r s 正规 化方案，并把原来的d i r i c h l e t 边界条件用波函数在视界面附近被散射的边界条件代 替，从最一般的四维稳态轴对称黑洞的度规出发，求得了由非最小耦合量子标量场 引起的一般稳态轴对称黑洞的统计力学熵的表达式。 而后，通过w i c k 转动由最一般的稳态轴对称黑洞的度规得到具有锥奇性的欧几 里德度规，利用e u c h d e a n 路径积分和热核展开方法，获得了一般稳态轴对称黑洞热 力学熵经典部分及由任意耦合量子标量场引起的黑洞熵的一圈修正。计算表明：当 取一对与视界面正交且与1 形式对偶的矢量后，视界外曲率的二次项对熵的贡献项 为零。当把洞热力学熵的经典部分与其量子一圈修正进行合并时，我们注意到发散 部分可通过引力常数和耦合常数的重整化予以吸收。从而，我们得到了经过重整化 的一般稳态轴对称黑洞热力学熵表达式。 由于非最小耦合标量场引起的统计力学熵与正规子相关，我们可通过调节正规 子使得一般稳态黑洞的统计力学熵与其热力学熵表达式一致。应该注意的是，在计算 统计力学熵和热力学熵时，我们仅采用了一般稳态轴对称时空度规以及该度规所描 述的物体是黑洞的必要条件。因此，所得结果不仅适用于已知的稳态轴对称黑洞，而 且，当考虑量子场对引力场反作用时，只要反作用不改变时空的对称性，所得到的结 果依然成立。 另一方面，我们利用协变相空间技术、c a r l i p 边界条件、时空的稳态条件、以及 稳态时空中电磁场和d i l a t o n 场的对称性，分别从具有宇宙项和电磁场的l a g r a a g e 函 数和由弦理论得到的四维低能等效理论的l a g r a n g e 函数出发，得到了一般稳态轴对 称荷电黑洞、以及静态和稳态d i l a t o n 黑洞时空中的约束代数。作为例子，我们考虑 摘要 了k e r r - n e w m a n 黑洞、k e r r - n e w m a n a d s 黑洞，静态g a r f i n l d e h o r o w l t z s t r o m i n g e r d i l a t o n 黑洞、g a r f i n k l e m a e d ad i l a t o n 黑洞、以及稳态k a l u z a k l e i n 黑洞。通过引入 相应的单参数微分同胚群元，我们在这些黑洞的k i l l i n g 视界面上构造出具有中心荷 的v i r a s o r o 子代数。用标准共形场论方法由中心荷求得了态密度，从而得到了这些 黑洞的统计力学熵。它们都与其相应的b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵一致。因此，所得结果 为黑洞熵的统计力学起源研究提供了重要线索。 在共形场论方法中，我们还计算了黑洞统计力学熵的量子修正。我们注意到， 为了使得从不含修正的c a r d y 公式得到的黑洞统计力学熵与黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵一致，我们必须把周期t 取为e u d i d e a n 黑洞的周期。于是，所得的v i r a s o r o 子代数 的中心荷与黑洞视界面积成正比。这一约束条件表明我们不能象c a r f i p 所猜想的那 样通过调节周期t 使v i r a s o r o 代数的中心荷变成与黑洞面积无关的量。因此，利用含 量子修正的c a r d y 公式我们得到：黑洞统计力学熵的一级量子修正与黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵的对数成正比，比例系数是一j 。由此我们发现，黑洞具有比b e k e n s t e i n 熵界更严的新熵界。 p a c sn u m b e r s ：0 4 7 0 d y , 0 4 6 2 + v 9 7 6 0 l f 关键词：黑洞，熵，量子场论，共形场论，热力学，统计力学。 1 u 壁主堂! i ! 鲨墨! 幽i 堕堕丛生堂堕 ；! 塑! 旦 a b s t r a c t b o t hs t a t i s t i c a l m e c h a n i c a la n dt h e r m o d y n a m i c a le n t r o p i e so ft h en o n e x t r e m es t a - t i o n a r ya x i s y m m e t r i cb l a c kh o l e si nf o u r - d i m e n s i o n a ls p a c e t i m e a r ei n v e s t i g a t e db y “b r i c k w a l l ”m o d e l ，e u c h d e a np a t hi n t e g r a lm e t h o d a n dc o n f o r m a lf i e l dt h e o r ya tk i l l i n gh o r i z o n ， r e s p e c t i v e l y f i r s t ，b yu s i n gt h e t h o o f t s “b r i c kw a l l m o d e li nw h i c ht h eb l a c kh o l ed e g r e e s o ff r e e d o ma r ei d e n t i f i e dw i t ht h eo n e so faq u a n t u mg a so fp a r t i c l e sa n dt h es t a t i s t i c a l m e c h a n i c a le n t r o p yi sa r i s e df r o mat h e r m a lb a t ho fq u a n t u m f i e l d sp r o p a g a t i n go u t s i d et h e h o r i z o n ，a n dr e p l a c i n gt h ed i r i c h l e tc o n d i t i o nb ys c a t t e r i n ga n s a t z f o rt h ef i e l df u n c t i o n sa t t h eh o r i z o na n dw i t hp a u l i v i l l a r sr e g u l a r i z a t i o ns c h e m e ，a ne x p r e s s i o nf o rt h es t a t i s t i c a l - m e c h a n i c a le n t r o p yo ft h eg e n e r a ls t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cb l a c kh o l ea r i s i n gf r o mt h e n o n m i n i m a l l yc o u p l e ds c a l a rf i e l d si s o b t a i n e d t h e n ，w es h o w e dt h a ta ne u c l i d e a nm a n i f o l d ，w h i c hi s o b t a i n e db yw i c kr o t a t i o n o ft h eg e n e r a ls t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cg e o m e t r y ，h a sac o n i c a ls i n g u l a r i t yb yn l e a n s o ft h ee u c l i d e a np a t hi n t e g r a lm e t h o da n dh e a tk e r n e la p p r o a c h ，w eo b t a i n e dt r e e 。l e v e l t h e r m o d y n a m i c a le n t r o p ya n do n e - l o o pq u a n t u mc o r r e c t i o n s f o rt h eg e n e r ms t a t i o n a r y a x i s y m n l e t r i cb l a c kh o l ed u et o an o n m i n i m a l l yc o u p l e ds c a l a rf i e l d w ep r o v et h a tt h e c o n t r i b u t i o n so ft h eq u a d r a t i cc o m b i n a t i o n so ft h ee x t r i n s i cc u r v a t u r eo ft h eh o r i z o na r e z e r ob yd e f i n i n gap a i ro fv e c t o r sw h i c ho r t h o g o n a lt ot h ee v e n th o r i z o na n dd u a lt oo n e f o r m s b yc o m b i n gt h et r e e l e v e le n t r o p y w i t ho n e l o o pc o r r e c t i o n ，w ef i n dt h a tt h ed i v e r g e n c ec a nb ea b s o r b e d i nt h er e n o r m a h z a t i o no ft h eg r a v i t a t i o n a la n dc o u p l i n gc o n s t a n t s a f t e rb e i n gr e n o r m a l i z e dw i t ht h es t a n d a r ds c h e m e ，t h et h e r m o d y n a m i c a le n t r o p y o ft h e g e n e r a ls t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cb l a c kh o l ei s f o u n d b ya d j u s t i n gt h er e g u l a t o r s ，w e c a ns e tt h es t a t i s t i c a l m e c h a n i c a le n t r o p yo ft h e 1 v a b s t r a c t g e n e r a ls t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cb l a c kh o l ee q u a lt ot h et h e r m o d y n a m i c a le n t r o p ys i n c e t h es t a t i s t i c a l m e c h a n i c a le n t r o p yi sr e l a t e dt ot h er e g u l a t o r s w es h o u l dn o t et h a tw e o n l y u s et h em o s tg e n e r a lm e t r i cf o rt h es t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cs p a c e t i m ea n dt h ec o n d i t i o n s t h a tt h eo d j e c td e s c r i b e db yt h em e t r i ci sab l a c kh o l ei nc a l c u l a t i o n so ft h es t a t i s t i c a l m e c h a n i c a la n dt h e r m o d y n a m i ce n t r o p y t h e r e f o r e ，t h er e s u l t s a r ev a l i dn o to n l yf o r s t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cb l a c kh o l e st h a tw eh a v ek n o w n ，b u ta l s of o rt h ec a s et h a tt h e q u a n t u mf i e l dp o s s e s s e st h eb a c kr e a c t i o nt ot h eg r a v i t a t i o n a lf i e l ds ol o n ga st h eb a c k r e a c t i o nd o e sn o ta f f e c tt h es y m m e t r yo ft h es p a c e t i m e o nt h eo t h e rh a n d ，w i t hc a r l i p sb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n d s y m m e t r i e so ft h em a x w e l l a n dd i l a t o nf i e l di nt h eg e n e r a ls t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cs p a c e t i m e ，t h ec o n s t r a i n ta l g e b r a s o ft h es t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i cc h a r g e db l a c kh o l e sa n ds t a t i o n a r yd i l a t o nb l a c kh o l e sa r e c o n s t r u c t e df r o ml a g r a n g i a nw i t hac o s m o l o g i c a lt e r ma n d e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sa n dt h e l o w e n e r g ye f f e c t i v ef i e l dt h e o r yd e s c r i b i n gs t r i n gb yu s i n gc o v a r i a n tp h a s et e c h n i q u e a s e x a m p l e s ，t h es t a n d a r dv i r a s o r os u b a l g e b r a sw i t hc o r r e s p o n d i n gc e n t r a lc h a r g ef o rt h e k e r r n e w m a nb l a c kh o l e ，k e r r n e w m a n - a d sb l a c kh o l e ，t h es t a t i cg a r f i n l d e - h o r o w i t z s t r o m i n g e rd i l a t o nb l a c kh o l e ，t h eg i b b o n s - m a e d ad i l a t o nb l a c kh o l e ，a n dt h es t a t i o n a r y k a l u z a k l e i nb l a c kh o l ea r eo b t a i n e db yi n t r o d u c i n go n e p a r a m e t e rg r o u po fd i f f e o m o r p h i s m a tk i l h n gh o r i z o n t h es t a t i s t i c a l - m e c h a n i c a le n t r o p i e so ft h e s eb l a c kh o l e sy i e l d e d b y s t a n d a r dc o n f o r m a lf i e l dt h e o r ym e t h o d s a g r e ew i t ht h e i rb e k e n s t e i n - h a w k i n ge n t r o p i e s t h e r e f o r e ，t h er e s u l t sp r e s e n ta ni m p o r t a n tc l u ef o rt h es t a t i s t i c a le x p l a n t i o no ft h eb l a c k h o l ee n t r o p y w ea l s oc o n s i d e rf i r s t - o r d e rq u a n t u mc o r r e c t i o nt ot h es t a t i s t i c a l - m e c h a n i c a le n t r o p y i nt h ec o n f o r m a lf i e l dt h e o r y w ek n o wt h a tt h ec e n t r a lc h a r g eo ft h ev i r a s o r os u b a l g e b r ai s p r o p o r t i o n a lt oa r e ao ft h eh o r i z o n s i n c ew eh a v et ot a k eta sp e r i o d i c i t yo ft h ee u c l i d e a n b l a c kh o l ei no r d e rt h a tt h es t a t i s t i c a l - m e c h a n i c a le n t r o p i e 8o ft h eb l a c kh o l e sy i e l d e db y s t a n d a r dc a r d yf o r m u l aa g r e ew i t ht h e i rb e k e n s t e i n - h a w k i n ge n t r o p i e s i ti ss h o wt h a t 蔓兰塑堑! 塞墨! 垦垫塑堂堕曼丛查i 塑 2 塑q ! 旦 w ec a l ln o td ow h a ta sc a r l i ps u g g e s t e dt h a tt h ec e n t r a lc h a r g ec a nb ec h a n g e di n t oa c o n s t a n ti nas e n s eo fb e i n gi n d e p e n d e n to ft h eh o r i z o na r e ab ya d j u s t i n gt h ep e r i o d i c i t y m a k i n gu s i n go f t h en e wc a r d yf o r m u l aw ef i n dt h a tt h eq u a n t u mc o r r e c t i o nt ot h ee n t r o p y c o n t a i n sa l o g a r i t h m i c t e r mw i t ha f a c t o r i 1 t h e r e s u l ts h o w st h a tw eh a v ean e w e n t r o p y b o u n dw h i c hi st i g h t e rt h a nt h es t a n d a r dh o l o g r a p h i ce n t r o p yb o u n dd u et ob e k e n s t e i n p a c sn u m b e r s ：0 47 0 d y ，0 4 6 2 + v ，9 7 6 0 l f k e y w o r d s ：b l a c kh o l e e n t r o p y q u a n t l l mf i e l dt h e o r y c o n f o r m a lf i e l dt h e o r y t h e r m o d y n a m i c s s t a t i s t i c a lm e c h a n i c s v l 致谢 在博士学习期间，导师闰沐霖教授在学习上对我严格要求，在科研工作中予以 悉心指导，在生活上给我无微不至的关怀，使我非常愉快地在科大的浓郁学术气氛中 系统、深入地学习了本学科的基础理论和专门知识，进一步提高了从事科学研究的 能力，并在引力理论、量子理论、统计物理等诸多学科交汇点一黑洞熵这一理论物 理前沿领域中作了一些研究工作。导师渊博的学识，高尚的品德，严谨的治学态度， 勤勉的工作作风和忘我的敬业精神，对我的影响很大，将会使我终生受益，并激励我 不断拼搏，奋发向上。在此，对恩师闰沐霖教授致以衷心的感谢。 我的进步离不开各门课程的任课老师的孜孜不倦的教诲，离不开学校、研究生 院和系领导的热忱关怀和帮助，也离不开学校图书馆、系资料室及后勤部门提供的 诸多方便。特致以深深的谢意。 多年来，作者得到了王永久教授、苏汝铿教授、刘辽教授、赵峥教授、唐智明教 授、孙宗扬教授等多方面的关心、帮助和鼓励，在此表示由衷的感谢。 在学位论文的完成过程中，作者与a s t r o m i n g e r 教授( u n i v e r s i t y o fc a l i f o r n i a ) 、 v p f r o l o v 教授( u n i v e r s i t y o fa l b e r t a ) 、m u i np a r k 教授( y o n s iu n i v e r s i t y ) 等就一 些问题进行了交流。粒子物理小组的各位师兄弟也提出些有益的建议，给我许多帮 助，在此一并致谢。 作者得到国际理论物理中心资助先后两次赴意大利访问学习。本工作得到了国 家自然科学基金( 批准号：1 9 9 7 5 0 1 8 ) 、国家理论物理专项基金( 批准号：1 9 9 4 7 0 0 4 ) 的资助。在此谨表谢意。 最后，作者感谢家人多年来在生活上给予的关心和照顾、事业上给予的支持和 帮助。 报送博士学位论文筛兄表 论史题i 】黑涧热j j 学熵，统 t j j ! # 熵 授子学位的 作者姓名 井崩女良物理学理沦物理 等札章业 作者单位 t - i f _ 学技术大学地址安徽省台肥市 专业 导师姓名闰沐霰教授 投f 嘏务 导师单位中国科学技术大学 地址 安徽省合肥市 沦文隶属学科分类弓“1 论文关键词4 2 熙洞，熵，量子场沦，j q 臣场沦热力学，统f , t h 学 论文文摘( 约4 0 0 5 0 0 字，中文) 本文分别j f j 砖墙模犁、e u c l i d e a n 路径移蟛湃 】k i l l i n g 视界上的共形鲡仑疗法酊f 究r 般四维 l 槲* 稳态瓣j 称黑洞的热力学蛐和统汁力学熵。首先 采用th o o f t 提的把黑洞动力学自由度与量f 激发 态相时应的砖墙模犁求 ! t 般f ：臻j 辛出懈黑洞的统计力学熵的 选式。而后利用e u c l i d e a n 路 样i 分和标准的重整化方案得到了傲f 岳查葺 i 对称黑涧热力学熵表达式。我们发现埘臻俐厉怖黑洞的统 计力学熵与热，j 学熵犯岛致。本文结果不f 。连用十已知的卡齄苷岍f 称熙涧，而且适川十量子场对r 剖+ j 场反作垌情况。另一方面，利用协变相空间技术求h ；r _ 批 f 暂 卉妞j 称荷电黑洞及d i l a t o n 黑洞的约束代 敏。并构造出具有中心荷的标准v i r a s o r o 予代数。用共形场论方法研究了这些黑洞的统计力学熵。所得 结果为黑洞熵的统计力学起源鄙拶辞黜 了重要线索。弘“ 还计算r 黑 f 【i 】统计力学熵的一级量二升参订i 。由此 发现黑洞具有比b e k e n s t e i n 熵界更严的新熵界。 p y s i c a lr e v i e wd 6 0 ，0 8 4 0 1 5 ( 1 9 9 9 ) ；d 6 1 ，0 4 4 0 1 6 论文在何时何地以何种腻发表 ( 2 0 0 0 ) ；d 6 2 ，10 4 0 13 ( 2 0 0 0 ) 获 g 学位几期 2 0 0 0 年1 1 月 报送f j 期 2 0 0 0 ：1 1 j备注 收藏单位：北京图书俯( 中国国家图j5 俯) 执行羽 j ：阔上j 资料组。 ：1 i i 5 j 立注明中国冈s 资料分类法的类号 2 为r 文献标引工作从l 它史中选取出来用以表示伞史 i 题内存信息款| j 的单词或术语。缸篇论义选取3 8 个嗣 f 1 为廷进调。为了国际交流，j 立怀注了t l ，文对应的炎文关钰上词。 博士学位论丈黑洞热力学熵与统计力 塑 2 0 0 0 年9 月 第一章绪论 引力场可能具有熵的最初迹象出现于从k e r r 黑洞提取能量的p e n r o s e 过程的研 究1 1 ，因为在该过程中不可约质量可以增加或保持不变，但它决不会减少。1 9 7 1 年h a w k i n g 2 1 证明了黑洞的不可约质量与黑洞视界面积成正比。并且发现：当其它 物质或辐射进入黑洞时黑洞视界面积总是增加；当两颗黑洞碰撞而合并成一颗黑洞 时，该黑洞的视界面积比原先两颗黑洞视界面积之和还大。h a w k i n g 2 1 由此严格地 证明了黑洞视界面积决不会减少。很显然，这一规律与普通热力学第二定律类似。 b a r d e e n 、c a r t e r 和h a w k i n g 3 1 在1 9 7 0 年就已发现了黑洞动力学具有类似于普通 热力学第零、第一和第三定律的其它规律，即稳态黑洞事件视界上的表面引力为常 数、黑洞视界面积的微小改变会引起该黑洞的质量成比例地改变、以及通过物理过 程不可能使表面引力变成零。这些现象都暗示黑洞物理与热力学之间有某种内在的 联系。1 9 7 3 年b e k e n s t e i n 4 1 指出黑洞具有熵，并进行了如下论证：如果一黑洞是由 引力坍缩而形成，它会迅速趋于稳态，这种态仅由质量、电荷和角动量这三个参数来 表征。这就是著名的“黑洞无毛定理”。无毛定理表明，在引力坍缩中大量信息被丢 失。例如，黑洞与坍缩物体是否由物质或者反物质组成以及坍缩物体是何种形状都 没有关系。这就是说，一颗给定质量、电荷和角动量的黑洞可由物质的大量不同形态 中的任何一种坍缩而成。如果忽略量子效应，由于黑洞可由无限多的具有无限小质 量的粒子云的坍缩形成，所以形态的数目是无限的。然而，量子力学的不确定性原理 指出，一个质量为m 的粒子的行为就象一束波长为h m c 的波。当粒子云坍缩形成 黑洞，该波长必须比它们形成的黑洞的尺度更小。于是，形成给定质量、电荷和角动 量的黑洞的形态数目虽然非常巨大，却是有限的。b e k e n s t e i n 4 建议把形态数目的对 数解释成黑洞熵，并发现黑洞熵与黑洞视界面积成比例。但是，在经典理论中，用热 力学描述黑洞物理引起了矛盾。因为在经典理论中，黑洞只吞食物质，进入黑洞的任 1 第章绪论 何物质( 包括光子) 都不能逃离黑洞。用热力学观点，如果黑洞仅吞食物质，那么， 当黑洞的温度比外界的温度低时，黑洞自外界吸取热量，这符合热力学第二定律； 但是，当黑洞的温度比外界的温度高时，黑洞仍只能从外界吸取热量显然违背热力 学第二定律。在1 9 7 4 和1 9 7 5 年中，h a w k i n g 5 6 】通过研究一颗塌缩星形成黑洞时 的量子效应时发现黑洞象黑体一样具有热辐射，称之为h a w k i n g 辐射或h a w k i n g 蒸 发。由此得知，黑洞即可吞食物质，也可通过h a w k i n g 辐射蒸发。这一重要发现不仅 解决了由于经典黑洞只能吸热而不能放热而引起的热力学矛盾，而且深刻地揭示了 量予理论、热力学和引力理论之间的内在联系。后来的研究发现，不仅正在塌缩的黑 洞具有h a w k i n g 辐射，而且完成了塌缩的稳态和静态黑洞也同样具有h a w k i n g 辐射 ” 1 4 1 。对于各种静态和稳态黑洞的研究表明，黑洞的h a w k i n g 温度t 都与其表面 引力一成正比，即 t = 2 7 f c l k b ， ( 1 1 1 、， 其中h 为普郎克常数、一为黑洞的表面引力、c 为光速、k s 为波尔兹曼常数。在 自然单位制中，t = 砉。 通过研究由塌缩星形成黑洞时的量子场论，h a w k i n g 发现黑洞熵s 与黑洞面 积a h 的比例系数在自然单位制中为四分之一 6 】，即s = 业4 ，称之为b e k e n s t e i n - h a w k i n g 熵。后来的进一步研究 1 5 j _ 1 9 】发现这一比例系数对各种稳态和静态黑洞都 是普适的。在非自然单位制中，黑洞b e k e n s t e i n - h a w k i n g 熵为 s = 篆 ( 1 2 ) 其中g 为万有引力常数。有趣的是几个重要的自然常数，如波尔兹曼常数、普郎克 常数、光速和万有引力常数同时出现于黑洞熵的表达式中，这表明要给出黑洞熵的 统计力学起源就得用量子引力。l i b e r a t i 和p o l l i f r o n e 2 0 j 发现黑洞熵与时空的拓扑结 构密切相关。他们认为黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵公式应为s = 丝8 h ”g 3 x q 4 - h ，其中x 是时空的e u l e r 特征数。由于一般普通四维黑洞的e u l e r 特征数等于2 2 0 ，此时， l i b e r a t i 和p o u i f r o n e 结果 2 0 与( 1 2 ) 式一致。 2 应该注意的是，描述黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵的公式( 1 2 ) 对于有些极端黑洞 不适用。最近，w a n g 和s u 2 1 2 5 通过对极端黑洞经典和量子熵等研究发现：自 然界存在两种极端黑洞，一种极端黑洞具有零熵和与非极端黑洞完全不同的拓扑性 质，这种极端黑洞只能在宇宙早期成对生成；另一种极端黑洞的熵仍正比于视界面 积，它与非极端黑洞有着相同的拓扑，可以通过相变由非极端黑洞演化而来。这些 结果解决了近来极端黑洞研究中h a w k i n g 学派与弦理论家和黑洞相变理论之间的矛 盾。本文仅限于考虑非极端黑洞。 黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵与视界面积成正比是当代引力物理学最重要的发现 之一。这一发现使得黑洞物理与热力学、量子场论和引力理论之间有了密切的联系， 但也使物理学面临一些疑难问题的挑战。其中最重要而又未解决的是与黑洞熵有关 的黑洞熵的统计力学起源和量子信息丢失问题。这是关系到在普郎克尺度下基本动 力学过程预言能否成立的生死攸关的问题。对它们的讨论将可能会导致人们对自然 力的更深入认识。 在e i n s t e i n 广义相对论中，黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵是纯几何量。黑洞热力学 定律是用经典e i n s t e i n 场方程和微分几何导出的。如果我们把著名的s c h w a r z s c h i l d 黑洞与普通热力学系统比较，就会发现一个重要差别：s c h w a r z s c h i l d 黑洞外部是具 有很强引力场的真空，而普通的热力学系统由原子分子等物质组成。我们知道，对于 普通热力学系统，其微观结构使我们能用统计力学方法解释系统的热力学性质。因 此，人们也期望能找到黑洞热力学的微观描述。那么，黑洞是否具有产生b e k e i t s t e i n h a w k i n g 熵的动力学自由度? 这是黑洞物理中有待解决的关键问题。由于黑洞熵的 微观描述需要引力的量子理论，因此，黑洞熵的研究有助于量子引力理论的建立。这 也是黑洞熵的研究为何如此重要的原因之一。 黑洞熵的研究另一重要性是它与黑洞信息丢失问题相关。h a w k i n g 2 6 认为，如 果一黑洞是由引力塌缩而形成的，由于黑洞的h a w k i n g 蒸发，量子场的演化可能是 非么正的。即在黑洞的演化过程中会丢失一些信息。黑洞演化过程中的信息丢失暗 示了传统的量子场论不能用于引力场量子理论，其原因是传统的量子场论基于么正 3 第章绪论 变换。这就是说，如果黑洞的h a w k i n g 蒸发真实发生并导致信息丢失，那么，我们就 得放弃么正性。因此，要使研究继续深入，我们就必须弄清黑洞的h a w k i n g 辐射是 否导致信息丢失。由于在信息论中熵与信息相联系，因此，黑洞熵的研究有助于信息 丢失问题的研究深入。 以上讨论表明黑洞熵的研究是当前理论物理研究中最重要的课题之一。近年来， 许多物理学家和物理工作者都致力于黑洞熵的研究【2 7 h 4 8 】。有关研究大体可分为 如下几个方向：半经典量子场论，诱导引力，量子几何，弦理论和m 理论，以及共 形场论理论等。 在经典和半经典量子场论中，g i b b o n s 等人 3 6 _ f 3 9 】发现，e u c l i d e a n 引力中 黑洞熵与黑洞的瞬子拓扑性质相联系。w a l d 等人1 4 0 1 4 3 证明：黑洞熵就是与分叉 k i l l i n g 视界相联系的n o e t h e r 荷。th o o f t 4 4 认为黑洞熵就是在黑洞视界外给定的两 边界中的量子激发态的统计力学熵。p r e t o r i u s 等人 4 5 】指出：黑洞熵就是壳( s h e l l ) 与引力导致的加速辐射热平衡且壳形成黑洞极限时的热力学熵。b o m b e l l i 、s r e d n i c k i 和f r o l o v 等人认为黑洞熵就是缠绕熵 4 6 4 7 】 4 8 。缠绕熵是统计力学熵，它度量了 由于系统空间分区而引起的信息丢失 4 6 。缠绕熵仅依赖于空间分区，尽管各种计 算用到具体模型，但是它与具体的理论是无关的。各种计算表明：所得的缠绕熵与空 间分区的边界面积成正比 4 6 4 7 t 4 8 】。 研究黑洞统计力学熵的另一种方法是s a k h a r o v s 4 9 1 诱导引力。诱导引力的基本 假设是引力场就是由量子激发引起的动力学场。如在最简单的诱导e i n s t e i n m a x w e l l 引力场理论中 5 0 ，光子场a 。的作用量完全是由真空极化引起的，且在低能极限下 所得的诱导作用量与m a x w d l 作用量相等。f r o l o v 和f u r s a e v 5 0 】在引力常数为负的 三维时空中用诱导e i n s t e i n m a x w e l l 引力计算了统计力学熵。他们发现，当产生诱导 引力的量子标量场和自旋场满足一定的约束条件时，各种场引起的发散就会自动抵 消，得到的结果与黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵相等。 在超弦理论 5 1 1 5 2 i 中，d b r a n e 的引入使人们找到了超对称黑澜与弦的联系， 从而使得用弦的态计数解释黑洞熵成为可能。s t r o m i n g e r 5 3 】和m a l d a e e n a 5 4 】等人 4 堡圭主堡i 篁墨墨! 垦垫垄堂塑! 曼丛生i 塑! q q q ! 旦 利用d b r a h e 技术 5 5 给出了黑洞熵的微观推导。在这种方法中，黑洞熵等于接触 d b r a n e 的无质量弦的态数的对数。此时，d b r a n e 构型和弦沿某方向的总动量得 与相应的黑洞一致 5 3 5 4 1 。以上方法被推广到m 理论 5 6 】。特别是，利用在有限 动量时的m 理论与1 0 维v ( n ) 超对称y a n g - m i l l s 理论在一。 5 7 时维数降为 ( 0 + 1 ) 维的对应，利用y a n g m i l l s 理论可计算黑洞熵。对于b p s 黑洞，所得结果与 b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵一致 5 8 5 9 。 在量子几何【6 0 中，人们认识到，通过在四维黑洞视界加上合适的边界条件， e i n s t e i n 引力作用量附加的视界表面项可精确地由c h e r n s i m o n s 作用量来描述。量 子化后发现，c h e r n s i m o n s 态( 不同自旋态数) 的总态数是按黑洞视界面积指数地增 加。由于黑洞熵等于不同自旋态总态数的对数f 6 1 1 ，由此得出，除一常数因子外，所 得的统计力学熵与黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵相同6 1 1 。 用量子引力理论进行黑洞熵的研究依赖于量子理论的细节。然而，人们认为：黑 洞熵与视界面积成比例是普适的，他应于理论的细节无关。因此，我们能用与理论细 节无关的推导得出黑洞的统计力学熵或热力学熵。 人们知道c h e r n s i m o n s 理论是一非常优美的模型。1 9 8 6 年a c h u c a r r o 6 2 1 以及 几年后w i t t e n 6 3 1 发现，( 2 + 1 ) 维广义相对论可由c h e r n s i m o n s 理论描述。在三维 a n t i d es i t t e r ( a d s 3 ) 时空中，c h e r n s a m m o s 形式使我们能够把复杂的微分同胚群 变成相当简单的规范群，由此就可非常容易地建立起v i r a s o r o 代数f 6 4 _ 6 7 ，并用 c a r d y 公式得到黑洞的统计力学熵。 另一方面，b r o w n 和h e n n e a u x 6 8 1 指出：“a d s 3 的渐近对称群是由v i r a s o r o 代 数生成。因此，在a d s 。中的任何引力量子理论都是共形场理论”。由此，s t r o n f i n g e r 6 9 1 发现，对于视界邻域几何具有局部a d s 结构的黑洞，当找出v i r a s o r o 代数本征 值与黑洞的质量和角动量之间的关系，用共形场的渐近态密度可得到统计力学熵。 所得结果与黑洞的b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵相同。这一发现具有非常重要的意义，它指 出( 2 + 1 ) 维a d s 黑洞的统计力学熵可由时空的经典对称性得到。同时也提醒人们， 通过在黑洞时空边界上建立起共形场论，我们可对黑洞熵进行统计力学解释。 5 第章绪论 c a r h p 7 0 把这种方法推广到( n + 1 ) 维类s e h w a r z s c h i l d 时空。他发现，通过选取黑 洞视界面邻域中的合适的渐近边界条件，从h a m i l t o n 量出发，可建立起了v i r a s o r o 子代数，并由c a r d y 公式得到与黑洞b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵一致的的统计力学熵。 s o l o v i e v 7 1 和d a s ，g h o s h ，m i t r a 7 2 也用此方法对黑弦和黑洞熵进行了研究。 在文献【7 3 中，c a r h p 发现，对于真空引力场，当采用协变相空间技术 4 2 h 4 3 ， 由一组自然的边界条件也可在视界上建立起具有中心荷的v i r a s o r o 子代数。而后， 利用共形场理论，c a r l i p 7 3 1 计算了r i n d l e r 时空、静态d es i t t e r 时空，t a u b n u t 和t a u b b o l t 时空，以及二维d i l a t o n 引力的统计力学熵。 纵观现有的研究得知，用半经典量子理论和共形场论对黑洞熵的研究有待继续 深入。在半经典场论方法中，人们对静态黑洞的热力学熵、统计力学熵及其关系有了 一定的了解【7 4 】。但是，对于稳态黑洞，正如p r o l o v 和f u r s e a v 7 4 】指出的：“由于 稳态