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圆锥滚子轴承滚子与滚道接触应力分析及优化 摘要 本文从工程应用角度首次对圆锥滚子轴承的内部受力状况和滚 子的接触应力进行了系统深入的研究。 从圆锥滚子轴承的内部受力状况分析入手给出了滚子各个方向 上的受力状况和各分力的计算公式。介绍了h e r t z 线接触理论的推 导过程，并对圆锥滚子轴承这种实际存在的有限长变直径线接触问 题进行了详细的分析讨论。建立了简化的一维数值求解的数学模型。 编制了求解该问题的计算机应用程序。 首次采用压痕实验方法对圆锥滚子轴承的实际接触应力进行实 验研究，并将实验结果和计算结果进行对比分析。验证了圆锥滚子 接触应力计算模型的正确性。 给出了两种常用圆锥滚子凸度的设计方法，并对这两种凸型滚 子的应力分布状况和直母线滚子进行了对比分析。给出了在不同载 荷作用下的应力分布变化情况和滚子在倾斜时的应力分布状况的计 算结果。并对两种凸型滚子的优缺点和特点进行了详细的分忻。 关键词：圆锥滚子接触应力分析实验凸型设计 a n a l y s i so n t h ec o n t a c ts t r e s sb e t w e e n t a p e r e dr o l l e ra n d “r a c e w a y o f t a p e r e dr o l l e rb e a r i n g s a b s t r a c t t h e s y s t e m a t i ca n dd e e p r e s e a r c h e so nt h ef o r c es t a t u sa n ds t r e s s e si n t h et a p e r e dr o l l e rb e a r i n gh a v eb e e nm a d ef i r s t l yf r o mt h ee n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n a c c o r d i n g t oa n a l y z i n gr e s u l t so ff o r c e si nt h et a p e r e dr o l l e rb e a r i n g ， t h ef o r c e ss t a t u s s u p p o r t e db yr o l l e r s i nd i f f e r e n td i r e c t i o na n di t s c a l c u l a t i o nf o r m u l a sh a v eb e e ng i v e n t h ei n d u c i n gp r o c e s so fh e r t z s i i n e a rc o n t a c tt h e o r yi si n t r o d u c e d t h ed e t a i l a n a l y s i s a n dd i s c u s s i o n h a v eb e e nd o n ef o rv a r i a b l ed i a m e t e rc o n t a c tp r o b l e mo f t a p e r e dr o l l e r b e a r i n g t h es i m p l i f i e do n ed i m e n s i o nm a t h e m a t i c a lm o d e lh a s b e e n e s t a b l i s h e d ，t h ec o m p u t e r s o f t w a r eh a sb e e n p r o g r a m m e d f o rs o l v i n gt h i s p r o b l e m t h ei n d e n t i o nt e s tm e t h o dh a sb e e na d o p t e df i r s t l yf o rt h et e s t r e s e a r c ho l lp r a c t i c a lc o n t a c ts t r e s s e so ft h et a p e r e dr o l l e rb e a r i n g ，t h e c o m p a r i n ga n a l y s i sh a sb e e nm a d ef o rt h et e s tr e s u l t sw i t hc a l c u l a t i o n r e s u l t s t h ec o r r e c t n e s so fc o n t a c ts t r e s sc a l c u l a t i o nm o d e lo ft a p e r e d r o l l e rb e a r i n gi sv a l i d a t e d t h et w oc r o w n i n gd e s i g nm e t h o d so ft h eg e n e r a lt a p e r e dr o l l e r s a r eg i v e n ，a n dt h e c o m p a r i n ga n a l y s e s o ns t r e s sd i s t r i b u t i o no ft w o c r o w n i n gf o r m sr o l l e rw i t hs t r a i g h tg e n e r a t r i xr o l l e rh a v eb e e nm a d e t h es t r e s sd i s t r i b u t i o nc h a n g es t a t u sa tt h ed i f 挹r e n tl o a d sa n dc a l c u l a t i o n r e s u l t so fs t r e s sd i s t r i b u t i o na t 血et i l to ft h er o l l e rh a v eb e e ng i v e n t h e d e t a i la n a l y s e so na d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo ft w oc r o w n i n gf o r m r o l l e rh a v eb e e nd i s c u s s e d k e y w o r d ：t a p e r e dr o l l e r ；c o n t a c ts t r e s s ；a n a l y s i s ；e x p e r i m e n t ； c r o w n i n gf o r md e s i g n 独创性声明 本人声明所璺交的学位论文是本人谯导师搬学下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特剐加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 纸入已经发表或撰写过的谤究成粱，也不包含为获褥垒避王业太坐或其他教 育机构的学位或诞书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 黉麸均已在论文巾器了麓骥豹说爨著表示谢意。 攀位论文穆者签名：孑嘭签字蹶地歹锅- 蝈 学位论文版权使用授权啪 本学也论文作者完全了解台吧王此逡坐有关保冒、使用学位论文的规 裳，毒校绦蟹著淘蓬家毒关帮门袋疆秘遴交论文的复翠静箨磁盘，竞诲论文霰查 阅和借阅。本人授权金肥工业太堂可以将学位论文的金部或部分内容缔入有 关数据瘁避哲捡索，可鞋袋爆影印、缨印袋扫攒等复割手段保存、汇绽学位论文e ( 保密的学位论文在解密麝适用本授权书) 学位论文作者签名 箍字日期年夕月一铝 学位论文作者圭莓娩后去商； 工作单位 通讯地址： 黼签名：嘞固 签字目期：孵r 月三，目 电话； 邮编： 致谢 本文的选题和研究工作得到了曹文钢教授和罗继伟博士的悉心 指导。论文中的有关成果是和罗继伟博士共同完成的。洛阳轴承研 究所和国家轴承质量监督检验中心的许多同事对论文工作给于了大 力的支持和帮助。在此，谨向他们致以最诚挚的谢意。 符号清单 a 接触区半宽度( 下标：i 一单元序列) b 轴承内圈宽度 b l 滚子修形圆弧部分长度 c 轴承外圈宽度 c ，轴承额定动负荷 d 轴承外径 d t滚子大端有效长度和轴承外滚道接触处直径 d 。1 滚子小端有效长度和轴承外滚道接触处直径 d 。滚子大端设计直径 d 。i 滚子大端有效直径 d 。l 滚子小端有效直径 d 。滚子节圆直径 d i j 柔度系数 d 轴承内径 d 滚子大端有效长度和轴承内滚道接触处直径 d i滚子大端设计长度和轴承内滚道接触处直径 d 。1 滚子小端有效长度和轴承内滚道接触处直径 e 材料弹性模量 e 材料当量弹性模量丢：与互+ 与兰 c d 1c 2 f 滚子所受的力( 下标：o 一外滚道：卜一内滚道；a 一轴向；卜 径向) h 接触单元半宽 l 滚子有效母线长度 l 。i 滚子有效长度 l l滚子与外滚道作用力合力距滚子圆锥顶点的距离 l 2滚子与内滚道作用力合力距滚子圆锥顶点的距离 滚子与外滚道作用力合力距滚子大端的距离 滚子与内滚道作用力合力距滚子大端的距离 滚子长度 圆弧修形滚子直线部分长度 滚子所受分布力的合力 滚子接触应力( 下标：o 一中心应力；i 。r 单元序列) 轴承最大滚子载荷 滚子修形的圆弧半径 滚子与滚道接触点综合曲率半径( 下标：i j 一单元序列) 滚子与滚道接触点法向截面椭圆长轴( 下标：i j 一单元序列) 滚子与滚道接触点法向截面椭圆短轴( 下标：i j 一单元序列) 滚子端部到凸度计算点的距离 圆锥滚子轴承装配高 弹性体内部位移位移 接触表面法向位移 坐标轴 坐标轴 坐标轴 轴承外滚道与轴线的夹角 轴承内滚道与轴线的夹角 滚子弹性趋近量 滚子半锥角 内部应力点与x 轴夹角 内部应力点与z 轴夹角 内部应力 内部切应力 材料波松比 k k k k p p q r r&岛t t u w x y z 口万占 ，兄 盯 f y 第一章绪论 1 1 、圆锥滚子轴承及接触力学的发展 人类发明了车轮以后便懂得，在平面上滚动一个物体比在同样表面滑动同样 物体明显省力。但滚动轴承的真正发展是从十八世纪中叶以后欧洲和北美的资本 主义工业革命开始的。1 7 7 2 年英国人v a r l o 在一份小册子中介绍了一种车辆用球轴 承，并说明了它的优点和使用情况。1 7 9 4 年英国已经有了第一个关于轮毂球轴承 的专利1 1j 。1 8 5 0 年以后是滚动轴承蓬勃发展的时期，这期间发明了圆锥滚子轴承、 自调心球轴承和圆柱滚子轴承等新型结构轴承，并开始使用球磨机大量生产精密 钢球。轴承的专业化生产也开始形成。一些著名的轴承公司如r h p ( 1 8 9 8 英国) 、 t i m k e n ( 1 8 9 8 美国) 、s k f ( 1 9 0 7 瑞典) 、f a g ( 1 9 0 9 德国) 等公司都是在这 一时期发展起来的。 在滚动轴承中圆锥滚子轴承是仅次 于深沟球轴承而被广泛使用的一类轴 承。圆锥滚子轴承具有承载能力大、刚 性好、可同时承受轴向和径向载荷、速 度性能好等诸多优点而被广泛应用于汽 车、机床、铁路、冶金、矿山等各种机 械设备中。 1 8 0 2 年法国人发明了一种带有保 持架的推力圆锥滚子轴承( 图1 1 ) 。1 8 9 8 年在美国的德国移民h t i m k e n 发明了 第一套具有现代意义的圆锥滚子轴承 f 图1 2 ) ，并创立了 2 1 。从此，圆锥 滚子轴承作为滚动轴承的一种主要的结 构类型得到了蓬勃发展，并应用于诸多 领域( 图1 3 ) 。 与近代轴承工业诞生的同时，作为 滚动轴承分析理论基础的弹性接触理论 也取得了突破性进展。1 8 8 1 年】月h e r t z 向柏林物理学会提交了一篇关于弹性 接触的论文 3 】。阐述了著名的h e r t z 点接触理论。这个日子通常被引用为 h e r t z 理论发表的日期，尽管文章的正式 图1 2 德国人h t i m k e n 发明圆锥滚子轴承 图1 3 装在铁路车辆中双列的圆锥滚子轴承 发表是在1 8 8 2 年【4 j 。紧接着他又于1 8 8 2 年1 1 月发表了第二篇论文。将第一篇文 章中的点接触理论推广到二维线接触情况【5 j 。从而奠定了以他的名字命名的弹性接 触理论的基础。 在滚动轴承中，接触问题均可归结为点接触问题和线接触问题。球轴承属于 点接触问题，而圆柱和圆锥滚子轴承属于线接触问题。h e r t z 对点接触问题的弹性 趋近量，接触椭圆尺寸和接触表面应力的分布获得了圆满的解答并部分解决了线 接触的有关问题。对于接触表面下的应力状态则在本世纪三十年代进行了深入的 研究瞄一12 1 ，s m i t h 13 】和k a l k e r 1 4 】等人考虑了表面切向力( 摩擦力) 对应力分布的影 响。特别需要指出的是l u n d b e r g 和p a l m g r e n t l 5 1 提出了次表面的最大正交剪应力及 其作用深度是引起接触疲劳的主要原因。他们在s k f 公司进行了大量的疲劳寿命 试验，确定了滚动轴承疲劳寿命的统计规律。并在此基础上建立了滚动轴承的额 定动负荷与寿命计算理论。这个理论至今仍然是指导滚动轴承设计与应用的主要 依据。也是我们分析轴承接触应力的原因所在。 h e r t z 理论在处理线接触问题时会碰到特殊困难，首先是如何计算两个接触体 弹性趋近量；其次是对实际存在的有限长线接触问题如何考虑端部效应理想的 线接触在弹性理论中属于平面应变问题，此时物体的应变随着离开接触点的距离 r 呈r _ 1 递减，积分以后位移为l nr 的函数。当r o o 时，位移是无界的，因此 无法确定物体内部某一点的绝对位移量。这个情况与事实不相符合。对此h e r t z 的 解释是线接触问题的弹性趋近量不仅取决于局部的接触情形，而且还与物体的整体 变形有关。然而在h e r t z 所处的时代，同时考虑局部接触变形与整体变形的计算是 不可能的。即使在今天除了个别情况可以找到理论解外i 旧。18 】一般情况只能依靠数 值方法才能完成。因此在相当长一段时间内人们致力于近似公式和经验公式的研 究，获得了很多实用的结果【1 9 也2 1 。 h e r t z 理论发表以后，很快便在滚动轴承受力分析中得到应用。s t r i b e c k 【2 3 j 首先 将这一理论应用到球轴承的静力分析中，他于1 9 0 1 年推导出钢球的最大滚动体负 荷q m a x 与轴承径向载荷f 之间的关系。g 0 0 d m a n 2 4 i 也为滚动轴承分析理论的早 期发展做出了贡献。他首先注意到轴承的疲劳破坏，并认为这与接触区的剪应力 交替改变方向有关。p a l m g r e n 伸2 7 】等人对轴承在轴向、径向和力矩负荷作用下 的变形与滚动体负荷分布进行了分析。j o n e s 2 8 】在分析中考虑了高速运转而带来的 离心力和陀螺力矩效应，并在五十年代建立了高速运转球轴承的沟道控制理论。 这个理论后来被h a r r i s 2 9 - 3 2 1 等人加以完善，并成功地应用于许多重要的场合。七十 年代后期g u p t a ”】迸一步建立了高速轴承的动力学模型，完成了复杂的计算程序并 求解了轴承的瞬态响应过程。 圆柱或圆锥滚子与滚道的接触属于有限长接触的范围。此时滚子端部的应力 集中( 或应力奇异性) 常常引起轴承的早期疲劳破坏。由于这个问题在实际工程 中的重要性，六十年代以来受到各 国学者的普遍重视，成为摩擦学研 究的一个重要领域1 3 。d u n d u r s 和 l e e 3 5 】分析过直母线滚子端部的应 力奇异性程度( 图1 4 ) 。对于具有 一般母线形状的滚子的接触问题， 人们已用不同的数值方法成功地进 行了分析。这些分析方法大致可分 为两类。类是直接对弹性接触问 题的基本方程进行离散处理 3 6 - 4 5 】， 这实际上是在二维区域上进行求 解，因此计算量较小；另一类是基 于有限元法【4 6 5 0 ，它的特点是可以 获得内部的应立场，并易于处理摩 擦接触问题以及弹性接触问题。罗 图1 4 滚子的应力分布 继伟博士在1 9 9 3 年提出了一种更为 简化的一维计算方法 5 1 对圆柱滚子 轴承进行分析，并获得了满意结果。 该方法计算量特别小，使得计算速 度大大提高，特别适用于对整套轴 承进行分析计算。 通过对线接触问题的理论和实 验研究人们发现在滚子接触区的端 部存在明显的应力集中。这种应力 集中是导致此类轴承产生早期疲劳 剥落的主要原因。为了消除滚子两 端的应力集中将滚子加工成带凸度 的形状以减小滚子端部的应力集 中。根据不同的加工方法加工出的 凸度滚子其应力分布见( 图1 5 ) 。 l u n d b e r g 5 2 】认为存在一种滚子轮廓 可以产生沿轴向均匀横向椭圆接触 印痕为的矩形压力分布，这种理想 的轮廓符合一个对数方程。目前， 具有对数素线的滚子已被广泛应用 在实际的轴承中。 1 2 、论文工作的意义及概况 图1 5 不同凸型滚子应力分布 目前凸度滚子设计已被广泛应用于圆柱滚子轴承和圆锥滚子轴承中，在以往对 滚动轴承中滚动体和滚道线接触情况的应力分析只是局限于圆柱滚子轴承。对于 象圆锥滚子轴承这种变直径接触问题的研究目前还未见报道。随着技术的发展， 对轴承性能和可靠性提出了越来越高的要求，尤其在车辆轴承中其性能和可靠性 显得更加重要。因此、对圆锥滚子轴承滚子和滚道间接触应力进行分析研究，从 而对其接触母线进行优化设计，对提高圆锥滚子轴承的性能和可靠性具有重大的 理论意义和实际意义。 滚动轴承中接触力学的分析与计算是一个理论性和实用性均较强的课题。本 论文从工程应用角度首次对圆锥滚子轴承的内部受力状况和滚子的接触应力进行 了系统深入的研究。 a ) 对于圆锥滚子轴承的内部结构特点和受力状况进行了详细系统的分析给 出了滚子各个方向上的受力情况和各分力的计算公式。 第二章圆锥滚子轴承的结构特点和受力分析 2 1 、圆锥滚子轴承的结构及特点 圆锥滚子轴承由于其几何形状和设计上的特点，具有若干重要和独一无二的 性能优点，因此能满足广泛应用的要求。 图2 1 圆锥滚子轴承的四个基本部件 圆锥滚子轴承由四个基本 部件组成，它们是内滚道( 内 圈) 、外滚道( 外圈) 、圆锥滚 子( 滚动体) 及保持架( 滚子 护圈) ( 见图2 1 ) 。在通常的运 转情况下，内滚道、外滚道和 滚子承受载荷，而保持架为滚 子起分离及保持稳定的作用。 内圈、滚子和保持架通常被装 配在一起( 内圈组合) 与外圈 分离，以便于设备的安装。 圆锥滚子轴承装配后的 结构见( 图2 2 ) 。圆锥滚子轴 承的滚道和滚子几何表面被设 图2 2 圆锥滚子轴承结构 计成有公共的顶点，这个点就 在旋转轴上( 见图2 3 ) 。这样 虢使褥滚子沿着滚道的舔一点 都是纯滚动。带倾斜角的滚道 憝傻落镶滚子辘承承受缎囱秘 轴向联合负荷。外滚道和轴承 中心线之阉豹蹙发越大，零受 轴向和襁向负荷之比的能力就 越大( 见图2 。4 ) 。滚子与滚道 的线性接触使圆锥滚子轴承具 有很大的承载能力。这贱特点 便因锥滚子轴承谨许多场合成 为最理想的选择。滚予具有正 确靛引譬是嚣壤滚予辘承戆主 要特征之一。圆锥滚子轴承的 内塑有两个挡边，且具有不同 的功能：小挡边与保持聚一起 将滚子与内圈组成一体；大挡 边可以承受蘑镥滚子的辅离分 力。滚予的圆锥结构不仪保证 了潜接皴嚣懿承载线套缝滚 动，而且也产生“反座力”，将 滚予接淘滚道豹大挡边。反座 力是随外闺和内豳角度变化的 ( 见图2 5 ) 它防止滚子镳离顶 点。使篡相对于内圈挡边保持 精确的同心和定位。圆锥滚子 程滚道上滚动，褥时也漆着大 挡边滑动。为使滑动处便于形 藏涵貘，豢将滚予錾瑟设计藏 球面，并使挡边以较小的吻合 蓑率与滚子蠛蠢相适配。 以上这臻使圆锥滚子轴承除具 禽其他类型轴承的优点外，还 其有以下优点： 1 能够承受较大的径向 图2 3 顶点设计使滚子个点均为纯滚动 圈2 4 锥旁对轴承琢载髭力豹影响 图2 5 内圈挡边的反作力保证滚子没肖偏斜 和轴向鞭合负葡，或只 承受轴向负荷。 2 。藏耱溺尺寸瑟衰，稿对 寿命更长。就相同承载 能力瑟言，只寸更小。 3 易于拆卸，内外圈可分 别安装，有利于调整最 佳工俸游隙。 不足之处是：在挡边和滚 予之阗存在潘动摩擦，影响蓑 高速性能。 瑟键滚子继承鬻藏对使 硝，如在汽车的轮毂中( 图 2 + 6 ) 。必了提意轴承豹径是承 载能力甄及简化因两端辅承的 图2 6 汽车轮被中的圆锥滚子轴承 间距所弓l 起的轴向调整问题， 常将单剜函锥滚子轴承缀合藏双掰或再将双弼缝合成圈弼，丽激承受较重受蓊。 如铁路聋凼承、轧机轴承簿( 见图2 7 ) 。 甏2 7 牟0 辊露醑列蟊锻滚子辘承 2 。2 、圆锥滚予的载翁计算 在圆锥滚子轴承内部，载荷是通过滚动体幽一个套圈传递到另一褰圈。备个 滚动体承受载荷的大小取决于轴承内部的几何尺寸以及作用在轴承上的载荷类 型。圆锥滚子的受力状况如图2 2 所示。轴承内圈作用在滚子上的合力f i ，轴向分 力为f 。，径向分力为f i a o 轴承外圈作用在滚子上的合力f 。，轴向分力为k ，径 向分力为f 。轴承内圈挡边作用在滚子上的合力f d ，轴向分力为f d r ，径向分力为 f d a 。 则假如轴承受径向载荷f 则产生下列载荷： f ：旦( 2 1 ) 。c o s f l f , o = 只，- 卵 ( 2 2 ) 力的平衡方程 或 图2 8 圆锥滚子的受力状况 f 。+ f h f t = 0 瓦+ 屹一圪= 0 f 一f d c o s p f o c o s o r = 0 f ，t g f l f o s i n o f o - s i n o t = 0 求解式( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，得： c 峨譬帮 b 咄，鼍群 由径向载荷引起的推力载荷为： ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 屹= f ，；些_ ( s i n 妒+ t g , 8 c o s 9 ) s i n l a + pj 同样假如轴承受推力载荷f i a ，则产生下列载荷： 只吨譬等 乃= 屹，鲤嚣铲 e = 盎 将： f , = f ，凡= b ，辔妒带入方程()得：ot g f l 2 4 ? 。? t g , 8 + ? * 。t g 妒一 ? 。= 0 将：式( 2 3 ) ，( 2 1 3 ) 联立得： f ：f - f o , t g 声 。t 9 8 + t g 妒 f ：f o a + f o , t g , ”t g p + t g 口 ? 髓；f o ? = r o - c o s c r f 。= f ，s i n z ，f h = f d c o s f p ，f ，= f4 c o s f l 代入( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 得： 巧= e 兰s i 粤n ；j j 等6 9 ；* 只s t n ( 口一) +) f 2 e 兰s i n 竺嬲( “e s i n ( a + p ) 口+ 口j 由力矩平衡方程： 只厶+ e l 2 = 0 咒三l 只l 2 c o s ( a 一) 一乃h = 0 南( 21 9 ) 得： 量：墨：! i 呈丝盟 l 2cs i n ( f l + 妒) 滚子与外圈合力作用点到顶点的距离： 上：墨：互：1 et f f 0 2 c o s ( a 一) s i n ( o r 一) h s i n ( m ) ( 1 一唑等 - 1 0 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) l “型竺二丛1 1 c o s ( a - p ) j _ w 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ h h 。 s i n ( a ! 十妒) 滚子与内圈合力作用点到顶点的距离： 铲砰等南 s i n ( a 一筘) - h s i n ( + 妒) 一c o s ( 瑾一卢) s i n ( p 十p ) 厶。s i n ( a - p ) , h l c o s ( 窿一国 e 距滚子大端的距离 三。5 砰d w 一工l 距滚予大端的距离 五，2 j i 羁v w 一三。 2 s i n ( = 乇) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 第三章h e r t z 线接触理论 3 1 、弹性半平面表面作用有法向负荷问题 当半空间表面上某一轴线( 如y 轴) 作用有无限长均匀分布的压力p 时，这个问题可以简化为平面应变问 题( 图3 1 ) 。由弹性理论可知，平面 内的应力分量为： 盯。：一望c o s ( 3 1 a ) + z r = = 0 ( 3 1 b ) 在直角坐标系中，相应的应力分量为 妒叩i n 2 肚一等高 ( 3 ：a ) 盱叩o s 2 旯一警南 ( 3 2 b ) 铲叩i n 抽s 五一警燕 ( 3 2 c ) 位移分量为： 旷娶2 胛s 2 1 n r 一坠跫业加i n 旯+ c 1 s i n + c 2 c o s 旯( 3 3 a ) 旷等z 删川一掣2 p s i n 2 + 一号掣z 肌砌，。， + ( 1 - 2 v ) = ( 1 + v 一) p s i n aj rc ic o s 兄+ c 2s i n a + c 3 r 由于对称，在z 轴( 九= o ) 上应有u 产0 ，因此必须有c l = c 3 = 0 ，在 = 2 的表 面上，位移为： 开j i ：。，2 ：一! ：掣p ( 3 4 a ) w ：万。：一百，i：三兰2 p i n ，+ c (34bt ) w 2 “ 2 - x 22 叫 k 22 f h 。 ”。7 当分布负荷p ( s ) 作用在区间【一b ，a 上时( 图3 2 ) ，应用叠加原理，并用x s 代替( 3 2 ) 式中的x 。得： 妒一等妫 对于表面的法向位移，用x s 代替( 3 式中的r ，并进行积分，得：图3 2 分布压力 w = 一警l n 一陋+ c ( 3 6 ) 位移梯度d w d x ： 警= 一警罢 h l 陋 ， 由于上式右边的积分在s = x 时变为c o ，因此简单地利用含参数微分公式是不正确 的。为此必须从积分区间消去x s j x + s 这一段，然后再进行含参微分运算 并取极限，令占斗0 ，这样( 3 7 ) 式中的微分可写成： 罢 p ( s ) l n 卜一s 陋 = l 。i m 。d m 一i 。p ( s ) l n ( x s ) 出+ ，p ( s ) 1 n 。一z ) 出 = 熘 x 二- ( 一p ( s ) 凼州一) 1 n 针量磐出叫) l n s 由于磐扫( 一) l n s - p ( ) i n s = 蟛一巫芝型- 2 。g 幽占 = 一p 。0 ) 2 0 = 0，所以( 3 7 ) 式写为： 坐：一坠箬1 i m 了戡+ j 峨 d x 庙8 + o 、土x sx e x s | 。 一兰( ! 二塑p 旷随 魈 j x s ( 3 8 ) 黼 幻一厅 一 = 仃 黼 鲨牙 一 吒 式中刖2 呼了辔斛，罄p ( 趔d s 称为积分抱 3 2 、h e r t z 问题的基本假设 1 8 9 2 年，b o u s s l n e s q 利用极座标求解了如图3 ，1 所示半无限大固体内简单的 径向应力场问题。在表面没有剪应力的边界条件下，径向应力的解为： o r ：- 2 p c o s y ( 3 9 ) 胛 由式( 2 1 ) 明显可以看出，当r 一0 时，0r 一。显然，这种情况是不可能 存在的，否则将引起表面材料的严重屈服或失效。 图3 3b o u s s i n e s q 分析模型 对此h e r t z 曾经解释，此时一定要形成一个小的接触面积以代替点或线接触， 载荷分布在这个接触面上，这样也就消除了无限大应力。h e r t z 在求解分析中，采 用了如下假设： 1 应力不超过材料的比例极限，即所有变形均发生在弹性阶段； 2 载荷与表面垂直，即不考虑表面切向应力； 3 与受载物体的曲率半径相比，接触面积的尺寸很小； 4 与接触面积的尺寸相比，接触面的曲率半径很大； 弹性力学理论问题的解可以利用假定一个或几个应力函数，使它们单独的或 组合在一起满足协调方程与边界条件求得。 3 3 、线接触问题的基本方程 线接触问题研究的是两个圆柱体沿母线相互接触的情况( 图3 4 ) 。设m 、n 应满足协调方程：照3 4 线接触示意图 w 1 + 毗。占一( ”= 2 ) = 艿一彖 3 1 2 在上猫方程中6 的僮不能被难一毯确定，僵是绶融交澎是可以确定静。为诧， 将方程对x 求导，得： 堕；堕：一曼 ( 3 1 3 a ) 出幽虎 利用( 3 8 ) 和軎= 三二蔷二+ 生丢，并注意到积分区间为 一a a ，上式可 写为： 2p v 肆：三 ( 3 1 3 b ) 加1ix sr 考虑饕与辫力瓣平餐，渡皴应力p ( s ) 盛满足： b ( s ) 幽= p ( 3 1 4 ) 方程( 3 + 1 3 b ) 和( 3 1 4 ) 即为线接触问题的基本方程，这样线接触问题归结 为在区闯【。a ，a 上寻找一个分布疆力p ( s ) ，使之满跫方程( 3 ，1 3 b ) 和 3 1 4 ) 。h e r t z 假定沿纵向接触应力为半椭圆函数： p ( j ) 。笠厨 ( 3 ，1 5 ) 奎( 3 1 4 ) 燕可以磁定： p o = 三二 ( 3 1 6 ) 将( 3 1 5 ) 代入( 3 1 3 b ) ，得： 一2 p 矿1 生二! ：拈三( 3 1 7 ) , r e a 二x s r 为了计算上式中的积分主值，先给出不定积分： 晖专咄2 ，赢+ 铸+ x 皓 ：厅了1 。竺：二竺堂! ：二塑! 二堕 + xa r c s i n 兰_ 、孵+ c 于是 删簪= 觋乜孚+ 童孚) = 仃了陋 x 2 ) _ l l n a + x a r c s i n 言+ 争一仃了 + ：可i n ( 一日) 一l n 2 ( a 2 _ x 2 ) + 1 n ( _ s ) 一z a r c s i n 言+ 三x + ：i ：j 丁 这样( 3 1 7 ) 式变成： 一2 p o x ：一1x ( 3 1 8 ) p o ( 3 1 9 a ) ( 3 1 9 b ) 当两个柱体具有相等的长度，且承受的负荷为q 时，用q 取代上式中的p ，得： 口：掣 ( 3 2 0 a ) 弘、翥 u 引 一一2 q p o 一_ 一 刀口f ( 3 2 0 b ) 厝僭 亘删 ，v 第四章有限长线接触问题的数值解 4 1 非h e r t z 问题的数值求解的一般方法 无限长柱体之间的理想线接触情况在实际问题中是不存在的。在滚子轴承中， 滚子的长度一般小于滚道的宽度。当滚子的母线不是一条直线以及滚子相对于滚 道产生倾斜时，问题将变得更加复杂。这样的问题已经超出了h e r t z 线接触理论的 范围。由于这类问题在实际工程中具有重要意义，因此自六十代以来便受到人们 的广泛重视。对于这一类非h e r t z 接触问题，可以用有限元法求解，但由于是三维 应力集中问题，解题规模就比较大；另一种方法是在二维区域内对接触问题的积 分方程进行数值求解，其解题规模较小，但如果要对轴承中的每一个滚子都进行 计算，则工作量也非常大。 对于两弹性接触体的初始间距为z ，在载荷p 作用下，其弹性趋近量为6 ，产 生的接触区为s 。，此时接触应力p 应满足以下方程： p ( x ，y ) d x d y = p ( 4 1 ) 去螈驽粉乖孙川 ( 4 1 2 ) 式中e + 为当量弹性模量古= 生+ 生差。方程( 4 1 ) 和( 4 2 ) 分别是平 衡方程和变形协调方程。( 4 2 ) 式左边的被积函数是弹性力学中的b o u s s i n e s q 解， 它表示集中力p 作用在半空间表面一点( 工，y ) 而在( x ，y ) 点产生的位移。这就隐含 了一个基本假设，即接触区域的尺寸应远小于接触体的曲率半径，否则b o u s s i n e s q 解就不适用。在一般情况下方程( 4 2 ) 不可能找到理论解而只能借助于数值计算 求解。 作为最简单的一种数值方法，可将接触区域划分为m n 个矩形单元( 图4 1 ) 。 假设每个单元上作用有均匀分布的法向接触应力，2 a j 和2 b j 分别是单元j 的长和宽。 p j 为单元形心处的应力。由于均布压力p j 作用在单元j 上而在单元i 的形心处产生 的位移为： 肾鲁_ x j + a ，j 竹y j ! - b ，j 丽零巷南2 扣岛3 ) 式中： 卟瓢丽赫 ：( ；。+ 。，) i n j ! ! 旦二：! i 叫! ! ! ：! ! ! ! ：呈：! ! ! ! ! i 。【( y f b j ) + ( y u b j ) 2 + ( + d ，) 2f 嘶一鸲m f 筹a j 蒜筹b ja jfi ( x f 一) + ( y f + ) 2 + ( z 口一) 2 l + ( x o + a j ) l n 掣坚丝塑三! 纠 i ( y f + 6 ，) + ( ，“+ 6 ) 2 + ( z ”一a j ) 2i + c v _ m f 筹等鬻b jf 。， i ( x f + 口) + ( y 一) 2 + ( z f + a ) 2l 其中 ；f ：k z ，；歹沪l y , 一y ， 这样方程( 4 1 ) 和方程( 4 2 ) 可以写成求和的形式： m x h p ，口，b ，= p j = l 面1 缶m x n p ，。“= j z 胁只) 同时还应满足非负压力条件： p 0 ( 4 7 ) 方程( 4 5 ) 和( 4 6 ) 构成m x ”+ 1 阶线性方程组，当p 和z i 已知时， 可以从中解出： p ，j = 1 , 2 ，m 胛和6 共 x + 1 个未知数。在求解时应注 意求解区域应稍大于实际接触区 域，在迭代过程中如果p j 出现负 值，则表明该单元已经脱离接触， 在下一次迭代时应注意排除这些 单元。图4 2 式求解过程的粗框图。 ，i = l ，2 ，一，m ( 4 5 ) ( 4 6 ) 图4 1 矩形单元的划分 图4 2 计算过程粗框图 4 + 2 弹性接熬游题的一维模邀 方程( 4 6 ) 足关于接触表面= 维积分方程( 4 2 ) 的域简单的数值形式之一。 - 1 9 * 但计算工作量较大。罗继伟博士提出了一种简化的一维计算方法，同样是基于对 积分方程的数值求解，其不同之处是对滚子横向的接触应力按h e r t z 分布进行假 设，该方法计算量较小，特别适用于对整套轴承进行计算分析。上述方法已成功 地应用于圆柱滚子轴承滚子与滚道的接触应力计算，并获得了满意的结果。下面 我们将用这种方法对圆锥滚子的接触问题进行研究。 h e r t z 为求解方程( 4 1 ) 和( 4 2 ) 进一步作了两点假设，即z ( x ，y ) 可以用二 次函数表示，以及p ( x ，y ) 呈半椭球函数分布，即： z ( x ，y ) = a x 2 + 毋2 ( 4 - 8 ) r = 一 p ( x ，y ) = p 。l o d ) 2 一o b ) 2 ( 4 9 ) 式中a ，b 是与接触体表面几何参数有关的系数，a ，b 分别是接触椭圆的半长轴 与半短轴。将( 4 8 ) 和( 4 9 ) 代入( 4 1 ) 和( 4 ，2 ) ，经一系列积分变换，可以完 成解析积分并得到点接触问题的h e r t z 理论解。 如果放弃假设( 4 8 ) 和( 4 ，9 ) ，方程( 4 1 ) 和( 4 2 ) 就具有普遍意义。但 此方程在一般情况下将找不到理论解而只能进行数值求解。基于对线接触问题的 理解，我们沿滚子素线方向( y 轴) 将接触区域化分为n 个条形单元，在单元j 内 假定接触应力p 沿素线为均匀分布，沿横向( x 轴) 为h e n z 分布( 图4 3 ) 图4 3 单元上的接触应力分布 p j ( 五y ) = p o j 1 一( x d ) 2 ( 4 1 0 ) 式中p 。是位于中心处的最大接触应力，2 a ，和2 ，分别是单元的长边和短边。根据 h e r t z 接触理论可以得到： o i e = 2 r i p 式中r j 是单元j 的当量曲率半径。 ( 4 1 1 ) ( 4 1 1 ) 式表明，只要能确定p 。沿y 轴的分布，日，也就随之而定。这样就只 须求解接触应力p 。沿滚子素线的分布，而这是一个一维问题。将( 4 1 0 ) 式代入 方程( 4 1 ) 和( 4 2 ) 得： 厅q h ，p 。= p 万i 蔷n 岛p j = f i - z 一( h ，2 ，n 式中d 口称为柔度系数，它是个二重积分函数： 驴鞭景训 将d , j 对y 积分一次得 d f =i 丽 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 寸麟糯卜a ， ( 4 1 4 ) 式的进一步计算只能借助数值积分来完成。滚子的修型以及倾斜可以在函 数z ，( y ，) 中加以描述。方程( 4 1 2 ) 和( 4 1 3 ) 构成n + l 界线性方程组，可以解出 p 。，= 1 ，2 ，玎和占共n + 1 个未知数。在求解中还必须满足非负条件 p 。0 ( 4 1 5 ) 由于未对x 方向划分单元，因此方程( 4 1 2 ) 和( 4 1 3 ) 的阶数远低于方程( 4 5 ) 和( 4 6 ) 。这就大大地提高了求解效率。应用着一方法已成功地解决了圆柱滚子轴 承应力分布的求解。下面我们将应用这一方法来进一步分析圆锥滚子轴承的应力 分布状况。 4 3 圆锥滚子轴承接触问题的几何描述 圆锥滚子轴承与圆柱滚子轴承最大的区别在于其相互接触的滚子和滚道是两 个圆锥体。相对于每一个接触单元其接触处的曲率半径均不相同。垂直于素线的 切面是大小不同的椭圆见( 图4 4 ) 。这些椭圆在接触点附近的曲率各不相同。为 了求解这类问题，我们必须先导出各接触点的曲率。 由几何关系知： 第i 点圆锥截面的直径 d 。= d 。l + 2 厶s i n 0 = ( 一拿卜+ 缸 式中d 。，d 。和l 分别是滚子小端直径，大端直径和滚子素线有效长度a 第i 点椭圆切面的长轴 晶= 圭d fc 。s 臼+ 圭口s i n 口嚼口 = 圭d ( c 。s m i n 臼t 9 2 0 ) ( 4 ”) 第i 点椭圆切面的短轴所在圆锥截面的直径 巧= d 。十2 s 。s i n 0 t 9 0 = d ，+ d ( c o s 0 + s i n 0 t 9 2 0 ) s i n 0 t g o = 口( 1 + s i n2 0 + s i n 2 0 留口- t 9 2 0 ) = d f ( 1 + s i l l 2 0 + 2 c s 。i n s 4 2 0 万) ( 4 18 ) 第i 点椭圆切面的短轴与圆锥截面的直径的距离 6 ：堕一土 c o s 02 = 1 d 。( 1 + t g o t 9 2 0 ) 一去谚 = 1 2 d , ( 1 + t g o t 9 2 0 ) 一圭。，( 1 + s i n 2 口+ 2 。s 。i n 。4 2 0 百) = j 1w 曙t 曙舻s m 2 f 一2 丽s i n 4 0 ) ( 4 1 9 ) 第i 点椭圆切面的短轴 s b 。= 图4 4 圆锥滚子轴承几何关系 ：! d 2 i i 4 2 4 2 ：三q 再赢丽石i i 蕊荔 ：圭b 再磊而磊墨码z 。， 由于0 角度较小( 一般情况下0 = 2 。) s i n 2 0 c o s 2 0 “s i n 20 ，s i n 4 0 0 民，“1 d x 1 + t g o t 9 2 0 ( 4 2 1 ) 椭圆截面在接触点的曲率半径为： r j = s b j s 。t 当己知弹性趋近量6 后接触宽度的初值可用下式计算 2 3 ( 4 2 2 ) ，= 4 2 r ) 4 4 圆锥滚子轴承接触应力计算过程 计算过程如下： ( 1 ) 选取参数：j p ，d 1 ，d 2 ，l ，0 ，f ，, v 。 ( 2 ) 利用公式( 4 1 6 ) ( 4 2 2 ) 计算接触椭圆曲率半径扭，) 。 ( 3 ) 用( 3 2 0 a ) ，( 3 2 0 b ) _ - l - g a ，l 扫j ) 初值。 ( 4 ) 划分单元 ：三，用 z 竹 ( 5 ) 用( 4 2 3 ) 计算妇，) ， ( 4 2 3 ) 计算j 初值 p ，) = 眵一z ，) 。 (