（基础数学专业论文）双圆盘上一类解析toeplitz算子的约化子空间.pdf

摘要 本文给出了双圆盘上锯析t o e p l i t z 算子正? 的约化子空间的等价形式和正。：。 的极小约化子空间的具体形式。一般来说对于任意h i l b e r t 空间h ，m 是h 闭 线性子空间，尸m 是日到m 的投影算子，丁是日上的有界线性算子，则m 是 丁的约化子空间等价于f h t = t p m 。所以丁是否有非平凡的约化子空间等价于 t l7 ： s b ( h 1 l s t = t s 中是否有非平凡的投影算子人们最初考虑的是 h a r d y 空间上的解析t o e p l i t z 算子，并且得到了许多深刻的结论但是对于与h a r d y 空间十分相似的b e r g m a n 空间，解析t o e p l i t z 算子的约化子空间问题就十分的困 难，结论不多在 1 0 中，z h u 通过研究正z 的换位得出e 。只有唯一的一对非平 凡的约化子空间。但是另一方面对于b e r g m a n 空间瑶( d ，d a ) 中的任意元素，存 在唯一的f ，m 及，2 m 1 使得f = ，i + i s 同时m 是已n 的约化子空间，所 以，= z r t f j + z n 止也是z “，关于m 的正交分解，即有等式( z “，l ，z n ，2 ) = 0 本 文就是通过这个等式来展开问题的。 关键字：双圆盘、b e r g m a n 空间、解析t o e p l i t z 算子、约化子空间 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h er e d u c i n gs u b s p a c e so fa n a l y t i ct o e p l i t zo p e r a t o rt z pa n d 正l 。2 o nb i d i s c g e n e r a l l y ，f o ra n yf i x e dh i l b e r ts p a c eh ，mi sac l o s e ds u b s p a c eo f 日， p mi st h ep r o j e c t i o nf r o mho n t om ，ti s ab o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ro nh ，t h e nm i sa r e d u c i n gs u b s p a c eo ft i fa n do n l yi fp m t = t p m ，s ot h ep r o b l e mw h e t h e rtc o n t a i n s n o nt r i v i a lr e d u c i n gs u b s p a c ee q u a l st h ep r o b l e mw h e t h e rt h ec o m m u t a n to ftc o n t a i n s n o nt r i v i a lp r o j e c t i o n f o rt o e p l i t zo p e r a t o r so nh a r d ys p a c e s ，t h e r ea r em a n yd e e pd e v e l o p m e n t sb u tf e wr e s u l t sa p p e a rf o rt o e p l i t zo p e r a t o r so nb e r g m a ns p a c e s i n 1 0 ，z h u p r o v e dt h a t 正2h a so n l yt w on o nt r i v i a lr e d u c i n gs u b s p a c e sa n dg a v et h ec o n c r e t ef o r m o fm ec o m m u t a n to fe 2 o nt h eo t h e rh a n d ，f o ra n y ，i n 瑗( d ，d a ) ，t h e r ee x i t su n i q u e ，l ma n du n i q u e 止m 1s ot h a tf = f l + ，2 i f mi st h er e d u c i n gs u b s p a c eo f e n ， t h e nz “f l ma n dz “f 2 m 1 ，t h a ti st os a y ( z “f l ，z “f 2 ) = o a l lo ft h i sp a p e ri sb a s e d o i lt h i se q u a t i o n 2 5 0 引言 b e r g m a n 空间是函数理论和算子理论中一种重要的函数空间，包含了丰富的内 容二十世纪七十年代初可以看成是b e r g m a n 空间函数理论研究的开端。七十年代 中期s h i e l d 的文章”w e i g h t e ds h i f to p e r a t o r sa n da n a l y t i cf u n c t i o nt h e o r y ”反映了当时 的情况。到t 十年代，与b e r g m a n 空间相关的算子理论繁荣起来，其进展在1 9 9 0 年z h u 的”o p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c e s ”得到了体现到了九十年代，关于 b e r g m a n 空间的函数理论和算子理论都得到了突破。 我们知道对于h i l b e r t 空间h 上的有界线性算子t ，h 的闭线性子空间m 是 丁的约化子空间当且仅当m 对应的投影算子b d 满足尸m t = t p m 所以，丁是否 有非平凡的约化子空间等价于 丁) 中是否有非平凡的投影算子许多研究约化子 空间的文章都是从这个角度入手的，首先研究 丁) 。关于b e r g m a n 空间上的解析 t o e p l i t z 算子的约化子空间问题最初是在单位圆盘上的h a r d y 空间上进行研究的。 由于h a r d y 空间上的函数有内外函数分解，所以人们很自然的考虑： 如果咖h ”( d ，d a ) ，并且= ) ( f 是它的内外函数分解，则f 死y = & ) n t f ) 成立的条件是什么? j a m e sa d e d d e n s 和t i nk i nw o n g 在【3 中给出了一类充分条件： 对于西h 。( o ，d a ) ，毋= x f 是它的内外函数分解，如果存在a c 使 得x 可以分解为x = x x 2 ，其中每个船都是内函数，并且如果f a 能够被每个) ( 。整除，则( ) = 取 n 野) 作为这种情况的推广，在 5 中j a m e se t h o m s o n 得出： 如果是有限b l a s c h k e 积，中h 。，d a ) ，则( ) n ) = 乃) ， 其中，是个有限b l a s c h k e 积，曲和是的函数 接下来，他还证明了： 如果f h 。( d ，d a ) 是单叶的，并且恒不为零，则 7 _ 。) + = 咒) ；如 果西在闭单位圆盘d 上解析且不为常数，则存在一个有限b l a s c h k e 积b 和 妒h ”( 皿，d a ) 使得咖( z ) = 妒( b ( z ) ) ， ) = t b 在 9 中，孙善利和王悦健将上述的部分结论推广到了b e r g m a n 空间，即： 若毋h 。( d ，d a ) 是单叶的，则有( d ) = ( l 4 ； 若= f 2 ，f h 。( d ，d a ) 是单叶且恒不为零，则有 乃，= 正) 。 并且得出： ) = ( 7 1 f + t g ? ，+ a 尬( 。一。) ( i - c b ，) ：fg 且。o ( d ，d a ) ，a c ) ， 其中。，卢d ，b 。= 芒薏，口。= 尝蓑，= b 。昂，r = 竺型车堆驴，b ( z ) = 1 篇，若，= 0 ，则c = o ；若r 0 ，则c = 三坞型 在 1 0 】中，z h u 给出了疋。和以两个b l a s c h k e 因子乘积为符号的t o e p l i t z 算子的约 化子空间的具体形式。记三：。( d ，d a ) 和l ：。( 皿，d a ) 分别为珑( d ，d a ) 的偶函数全体 和奇函数全体，则 设a ，b d ，面= 矽。6 是以a ，b 为零点的b l a s c h k e 积，m 是a ，b 的测地 中点。则 x 。= fo 西。女。：f l ：。( d ，d a ) 知 x 。= f 。毋。：f l ：。( d ，d a ) 是算子唯一的一对非平凡约化子空间。 联( d ，d a ) 的非平凡闭线性子空间x 是疋。的约化子空间当且仅当x = ：。( d ，d - 4 ) 或着x = l ：。( d ，d a ) 。 本文是从另一个角度出发的。对于任意f 鹾( d ，d a ) ，存在唯一的 m ，2 m 1 ，使得，= ，l4 - f 2 。如果m 是疋n 的约化子空间，则z n f l m ，z “f 2 m 1 ， 所以z “f = z “f l + z n f 2 恰好是扩，关于m 的正交分解这样就有对于任意自然数 f ，( z 州，t ，z “，2 ) = 0 ，通过这些关于2 的方程我们可以唯一的确定 和止，从而 也就决定了m 。通过这种方法，我们简化了关于正。的约化子空间的证明，得到了 双圆盘上的解析t o e p l i t z 算子e ? 的约化子空间的等价形式： 设m 是l ：( d d ，d a d a ) 的闭线性子空间，m 是疋? 的约化子空间 当且仅当：如果对任意的f m ，g m 1 ，( 盈，z 2 ) = a pz 2 ) z f ， p = o o o 9 ( z l ，z 2 ) = b q ( z 2 ) z ? ，则有v p ，q z 十，a p ( z 2 ) 。 m ，6 口( z 2 ) z m 1 ， q = o 一厂一 并且当卫是整数时，a p ( z 2 ) 6 q ( z 2 ) d a ( z 2 ) = 0 j 血 和e 。的非平凡极小约化子空间的刻画： 设m 是l ：( d d ，d a d a ) 的闭线性子空间，m 是正。：。的极小约化 子空间的充分且必要条件是：存在一个非负整数，使得 或者 m = s 丽 z t ( z l z 2 ) “，n z 十) m = 万丽 劣( z i z 2 ) “，nez + ) d 本文的第一节给出了文中需要的定义和记号，第二节给出了瓦。的极小约化子 空间的简化证明，在第三节和第四节中分别通过两个引理给出了本文的两个主要定 理 5 1 基本概念和记号 1 双圆盘上的b e r g m a n 空间 在本文中我们始终令z + 表示非负整数，c 表示复平面， d = ( z c ： 1 ) 表示复平面c 上的单位开圆盘。d 上的规范化的面积测度记为d a ( z ) ，用直角坐 标和极坐标表示分别为 d a ( z ) = ；d z d = ；r d r d o ，z = z + i g = r e l p 双圆盘上的b e r g m a n 空间瑶( d d ，d a d a ) 为d d 上平方可积的解析函 数全体，即对于d d 上的解析函数，l ：( d d ，d a d a ) 当且仅当 ：( d 皿，d a d a ) 作为l 2 ( d d ，d a d a ) 的子空间继承后者的内积和范数，即 对于任何，9 l ：( d d ，d axd a ) ， ，和g 的内积为 9 ( 钆z z ) = b 。z 2 ) z ? n = 0 ( ，g ) = ，( 钆z 2 ) 可( 钆z 2 ) d a ( z 1 ) d a ( z 2 ) o 。a n ( z 2 ) b 。( z 2 ) d a ( z 2 ) 一r ! 墅 厶 m 0 ，n 0 ，如果，l ：( d d ，d a d a ) 且 。：( 皿，d a ) 满足： ( a ) 表专( o ，z 2 ) = o ， ( b ) o ( 。2 ) z t + f ( z l ，z 2 ) m ， ( c ) ( z ；一( z 2 ) ) z p 一，( z 1 ，z 2 ) m 1 ， 则f ( z l ，z 2 ) = 0 。 证明：由( b ) 和( c ) 可以得到 再由( a ) 得 所以 ( 。( z z ) z t + f ( z 。，z 2 ) ，( z ；一n ( z 2 ) ) z p 一，k t ，z 2 ) ) = 0 ( q ( z 2 ) z t ，f ( z l ，z 2 ) ) = ( ( z ；一q ( z 2 ) ) z ，f ( z l ，z 2 ) ) = o ( 9 ) 日 器茁 。删 = 砚 妒 塑+ 量| + 虹叶随叶 唧咖 = | | 圳 川 、j 沈 z g 才、j 现声 | | ，钎、j 沈 。 一 、j 沈 g ， 得印(和)盯由 另外，m 是 ： 的约化子空间，由( b ) 和( c ) 得对任惹的自然数2 。，( ( z 2 ) z p + ，( 钆z 2 ) ) e m ， 。f ( ( z ；一。( z z ) ) z p 一，( 。，z 2 ) ) e m l ， 由此得到z ? z ：关于m 和l k l l 的正交分解 。2z k i2 + m = 而k 2 ( q ( 动) 名p + f ( z l ，z 2 ) ) + z ( ( z 墨一q ( z 2 ) ) z p 一，( z 1 ，z 2 ) ) 再由 ( z ：l + m n ( z 。) ，z f ) = 0 ， ( z 。k + m ( z ；一a ( z z ) ) ，z f ) = 0 及下式 ( z l k 2 ( ( z 2 ) z p + ，) ，z ? ( ( z ；一n ( z 2 ) ) z ，一，) ) = 0 ， 得g r j ( 。( 。) ，z 。7 1 , 一q ( 。) ) l l z f h ”暖= 憎刘； ( 1 0 ) 由( 9 ) 和( 1 0 ) 得 临“俐州2 _ l i z r l l ；l l z f 2 川；， i i f if ! = 等竿憎刷参 ) 设，= 登n 。( 勿) z i ，其中n 。( z z ) = 0 ，那么z ：，( 钆z 。) = o oo ；( 砘) z r “，则 i = 0 t = u 忖崦= 等半姜上紫 ， 蕃上譬i 觜1 ik l4 - = ；塞。z 等i 辫1i k l1 ， 彳d( + ) ( + 1 ) 鲁】d ( + ) ( + ) 、。 取自然数f 1 f ，得 善j e 簪i 觜4 -= ，耋。上鲁i 糌1 ， 台皿( + 1 ) ( z 女f 1 + 1 ) ，一】d ( + 1 ) ( i + 2 1 + ) 由( 1 3 ) x 斫b 一( 1 4 ) 南得 篓j e 群1 僻i 帮d - 糌= 。妻。正群高等黼彳d ( z + ) ( + 盘f l 1 ) “+ 惫f 十1 ) 。：刍弄】d ( t + 1 ) ( 。+ 免f 1 十1 ) ( 。+ 恕f + 1 ) f1 1 i 再取自然数1 2 l ，1 2 l l 得 掣， z ( m z ) j o 。z 。) 2 d a ( z 2 ) 一1 i ( i m ) i 。( 。z ) 1 2 d a ( z 2 ) 垂_ j o ( i + 1 ) ( z + 七fl + 1 ) ( 。+ 七2 2 + 1 )；，一1 d ( i 十1 ) ( j + 七2 1 + 1 ) ( i + 七f 2 + 1 ) ( 1 6 ) 由( 1 5 ) 干忘可一( 1 6 ) 再音订得 以此类推，存在m 个互异自然数l l ，1 2 ，l 。，使得 即 j 似纠阳喇2 南量二 d“。，- _ j 但是对于任一固定的，和某个f ， ( 1 8 ) f ，是增函数，所以，关于l 是增函数，故，= 0 ( 1 9 ) i m 关于 有了上述引理，我们来考虑任意a ( z 2 ) 鹾( d ，d a ) ，则o ( z 2 ) z r = a n z ；g r n = o 其中每个a n z ：n z m 的关于m 的正交分解为 a n z 2 “z m i = n n q n ，m ( z 2 ) g ? + ( a n z 2 “一o n n ，m ( z 2 ) ) z p 所以对于o ( z 2 ) ，存在唯一的卢。( z 2 ) l ：( d ，d a ) ，使得 ( a ) 卢。( 动) z ? m ， ( b ) ( a ( z 2 ) 一卢。( z z ) ) z p m 1 这里给出本节的中心定理： 1 2 口 ，一u 现一 + 0 a 一 强一 + 剑嘶 啦一 + m 一 肼 l ； + 0 0 掣扭 跑一+ ，恼 。一 = 。 ，佃 州瑚 ，佃 定理3设m 是l ：( d d ，d a d a ) 的闭线性子空间，m 是疋p 的约化 子空间当且又当：如果对任意的，m ，9 m 1 ，( z t ，z 2 ) = o ，z 2 ) z 7 ， 口= u 9 ( 轧赴) ：主b q ( z 2 ) z ；，则有vp ，q z + ，n ，( z 。) z ，6 q ( z 2 ) z m 1 ，并且当 巴是整数时，二n p ( z z ) 百两4 a ( z 。) = o 证明：充分性是显然的，我们只证明必要性 设：( 皿，d a d a ) 的闭线性子空间m 是疋 的约化子空间。如果 ，m ，= a p ( z 。) 砰， p = o g m 1 ，g = b q ( z 2 ) z ， 由引理可取岛( z 2 ) l ：，d a ) ，使得。( z 。) z ? 关于m 正交分解是 a p ( z 。) = 岛( z z ) z f + ( a p ( z z ) 一体( z z ) ) 才， 于是，关于m 的正交分解是 o 。 。 f = 岛( z 2 ) z ? + ( n ，( z 。) 一岛( z 。) ) z p = 0p = 0 这导致 ( 0 p ( z z ) 一岛( z z ) ) z = o ， p = 0 也就是 。口( z 2 ) 一卢p ( z 2 ) = o ，v p z + 这说明 口口( 。2 ) z m ，v p z + 同理可得 b q ( z 2 ) z ? m 上，vg z + 由于m 是疋? 的约化子空间，故 ( a p ( z 2 ) 嚣z b q ( z 2 ) z z y ) = 0 ，v i ，j z + 因此当卫是整数时 。，( z 。) 琢i d a ( z ：) = o d 1 3 证毕。 由定理2 的证明我们很容易看出 然数i 礼，d 。= d ，q = d l d 2 们有如下定理： 一 如果设n 为任意固定的自然数，对于任意自 d 。l ：( q ) 表示q 上的b e r g m a n 空间，我 定理4 设m 是瑶( n ) 的闭线性子空间，m 是疋? 的约化子空间当且仅 当：如果对任意的厂m ，g m 1 ， o o m ，z 2 ，z 。) = 。，( 屯z 3 ，) z p = 0 则有v p ，q z + ，a pz 2 ，动，z 。) z m ，b q2 2 ，z 3 ，) z ：m 1 ，并且当卫 是整数时， o p ( z 2 ，z 3 皿 z , o b q ( z 2 ，z 3 ，z 。) d a ( z 2 ) d a ( z 3 ) - d a ( z 。) = 0 。 u 通过定理2 我们可以给出疋? 的约化子空间的几个例子，它们有些与咒z 的约 化子空间有着紧密的联系，有些则有很大的不同 例1 m = ( ，l i ( d d ，d a d a ) f = a 2 p ( z 2 ) z ；9 ，a 2 p ( z 2 ) l ：( d ，d a ) ) p = 0 o o 与m 1 = g l ：( d d ，d a d a ) g = b 2 q + 1 ( z 2 ) z ：叶1 ，b 2 q + l ( z 2 ) 工i ( d ，d a ) ) 。 q = 0 它与单位圆盘上的情况十分的类似 例2 m = f l ：( d d ，d a d a ) f = a 2 p ( z 1 ) z 尹，a 2 p ( z 1 ) l ：( d ，d a ) ) p = o o o 与m 1 = ( g l ：( d d ，d a d a ) l g = b 2 q + l ( z 1 ) z ；9 + 1 ，b 2 q + 1 ( z 1 ) l ：( d ，d a ) ) 这个例子就是单位圆盘上没有的情况了事实上，在这个例子中，我们把m 和m 1 的函数都看成是z 2 的函数，只要它们在l ：( d ，d a ) 意义下正交，它们就是 的约 化子空间。 另一方面我们以n = 2 为例来说明定理3 是 1 0 中关于l ：的约化子空间的定 理的推广在 1 0 中我们知道l 。的唯一的一对非平凡约化子空间是 m = ，磋( d ，d a ) j ，= 。印z 2 d ，。印c ) p = o 1 4 钝 =b 删 = 0 和 m 1 = 9 磋( 皿，d i _ i ) l9 = b 2 q + l z 2 ，b 2 q + 1 c 。 q = o 对于任意f m 9 m 1 ，f a 2 p z 2 m ，b 2 叶1 2 2 q + 1 m 1 o p b q = 0 。 o c = 0 2 p z “，9 = b 2 9 “。2 4 “，我们同样能够得到 p = oq = o 如果我们再令0 2 ，+ 1 = b 2 。= 0 ，则当卫= 0 时， 5 4e 。的极小约化子空间 类似于t ? 的情况，我们首先得考虑z ；关于m 正交分解的情况 引理5设瑶( dxd ，d a d a ) 的闭线性子空间m 是正。的约化子空间 并且n 为非负整数，如果磋( d ，a a ) ，f 磋( d d ，d axd a ) 满足： 则o z = f = 0 显然，由对称性我们很容易得出引理对于z ? 也成立，即 引理5 设：( dxd ，d a d a ) 的闭线性子空间m 是疋。的约化子空 间，并且几为非负整数，如果q l ：( d ，d a ) ，f l ：( d d ，d a d a ) 满足： ( a ) ，( 现，0 ) = 0 ， ( b ) d ( z 1 ) 4 - ，( z 1 ，z 2 ) m ， ( c ) ( z ? 一q ( z 1 ) ) 一f ( zl ，z 2 ) m 1 ， 则= f = 0 。 我们同时给出以上关于z ? 和霉的论证。 证明：设q ( z 2 ) ，f ( z 1 ，z 2 ) 满足引理要求，f ( z l ，z 2 ) = o 。( z 2 ) z i ，c r ( z 2 ) = b j z 。 4 = u j = u 我们用数学归纳法来证明。 当n = 0 时，由 ( 乜( z 2 ) + f ( z l ，z 2 ) ，( 1 一n ( z 2 ) ) 一f ( z l ，z 2 ) ) = 0 ， 得 ( n ( z z ) ，l o ( z 。) ) = j i f l l ；， 1 5 m ，力 m p 曲， z o 乱”= “ 0 + 口0 一 邶心 陋 所以 6 0 = l i i i ! + 恻b 另一方面，m 是疋。的约化子空间，所以 ( 。( z z ) z ! ，( 1 一。( z 。) ) z 圳z = f l ( 乱z z ) 。川i ， 即 ( 丽b o 一z 。) z l z 2 = z z ) 州；， 所以， ，i i ；+ i i o r l l ；= ( 1 十1 ) 2 ir ( z - 。z ) ，惦+ ( f + 1 ) i | z 5 血i i ； 类似于前面引理3 最后一部分的证明可以得出( f + 1 ) 2 i i ( z 。z 2 ) f ie ；和( f + 1 ) l l 咖l l ； 关于2 都是增函数，所以o l = = 0 假设n ，引理4 和4 对于z 和z 2 都成立。则当k = n + 1 时， 如果( z z ) ，f ( z - ，z 2 ) 满足引理要求，则由 ( a ( z 2 ) + ( z l ，z 2 ) ，( z 2 “+ 1 一q ( z 2 ) ) 一，( zl ，z 2 ) ) = 0 ， 可得 ( ( z z ) ，( z r l 一a ( z z ) ) ) = l i f l i ! 即 而b n + l = ；+ ； ( 2 0 ) 由于m 是e 。：。的约化子空间，由( b ) 和( c ) 可得 ( n ( z ：) ( z ，。) 2 + ，( z ，z 。) ( 。z 2 ) ，( z ；+ 1 一a ( z z ) ) ( z - z z ) 一f ( z - ，z 2 ) ( 钆z 2 ) ) = 0 ， 即 ( n ( z 。) z ! ，( z 2 ”1 一血( z z ) ) z 圳z ；t 恐) 2 f l l ； 也就是 者造= ( f + 1 ) 1 1 ( 郴。) f l l ；+ i i z 钏 ( 2 1 ) 由( 2 0 ) 和( 2 1 ) 可以得 ( 凡+ 2 ) ( i l f l l i + 1 l 血腥) = ( n + f + 2 ) ( f + 1 ) 1 1 ( z ，z z ) ，旧+ ( 礼+ 2 + 2 ) l l z 扛l l ； 用，和。的系数表示就得下式 ”z 川l 川川川国= ，塞。持箭端k 一2 十姜黼慨艮z z ， 由归纳假设我f r i t h 道引理对于z p l z 2 q ，z q l 。2 p ，o p ，q n 都成立如果z p l 。2 q m ，则 吖1 中的元素的解析展开式中一定不含z p l 。2 q ，如果。f 。；m 1 ，则1 1 4 中的元素的解析 展开式中一定不含z p 旧q ，综合上述两种情况我们可以知道，的解析展开式中的a 。= 0 。通过完全相同的讨论我们可以知道，当0sisn ，0sp ，q n ，b 。= 0 ，a m = 0 。 又因为，当z n + l ，p ，q 中至少有一个大于n 时，攒和专号手 苦黼 关于f 是增函数，所以( n + f + 2 ) ( f + 1 ) ( z z 2 ) 川；十( n + f + 2 ) i 惕。憾关于f 是增 函数，故f = = 0 所以，由数学归纳法我们知道引理成立。 口 现在可以给出关于l 。的约化子空间的定理。 定理6设m 是联( d d ，d a d a ) 的闭线性子空间，m 是正。的极小 约化子空间的充分且必要条件是：存在一个非负整数，使得 m = 面丽 z ：( z l 。2 ) “，扎z + ) 证明：设l i ( d d ，d a d a ) 的闭线性子空间m 是疋。的非平凡的极小约化 子空间。 一方面，且露= 覃丽 z ；( z l z 2 ) 2 ，f z + ) ，z + ，i = 1 ，2 是e 。：的不变子空 间，并且l ：( d 皿，d a d a ) = 00 孵，所以孵是疋。：。的约化子空间。另一 方面，m 是疋。非平凡的极小约化子空间，由引理4 和4 知道至少存在某个k 和 i ，使得。m ，则m ? m ，再由m 的极小性可得出k 和i 是唯一的，所以 m = m ? 。证毕 口 参考文献 1 h a a k a nh e d e n m a l m ，b o r i sk o r e n b l u m ，k e h ez h u ，t h e o r yo fb e r g m a ns p a c e s ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，2 0 0 0 2 r d o u g l a s ，b a n a c ha l g e b r at e c h n i q u e si no p e r a t o rt h e o r y , a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 2 3 j a m e sad e d d e n sa n d t i n k i nw o n g ，t h ec o m m u t a n to fa n a l y t i ct o e p l i t zo p e r a t o r s ， t r a n s a m e r m a t h 、s o c 1 8 4 ( 1 9 7 3 ) ，即2 6 l - 2 7 3 4 i nb a k e r ，j a m e sa d e d d e n s ，jl u l l m a n ，at h e o r e mo ne n t i r e f u n c t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n sl o t o e p l i t zo p e r a t o r s ，d u k em a t hj ，4 1 ( 1 9 7 4 ) ，p p7 3 9 - 7 4 - 5 5 j a m e s et h o m s o n ，i n t e r s e c t i o n so fc o m m u t a n t so fa n a l y t i ct o e p l i t zo p e r a t o r s ， p r o ca m e r m a t hs o c5 2 ( 1 9 7 5 ) ，p p3 0 5 3 1 0 1 7 0 zn 沈k丽 =m 苦或 f 6 6j a m e s e t h o m s o n ，t h ec o m m u t a n t s o fc e r t a i n a n a l y t i ct o e p l i t z0 1 ) 8 r