（计算数学专业论文）pseudospectral+s+for+delay+differential+equations.pdf

m a s t e rd i s s e r t a t i o n 摘要 滞时微分动力系统在神经网络、光学、生态学、自动控制等许多领域具有广泛 的应用。滞时微分动力系统的特点是，当前状态的变化率不仅依赖于当时的状态， 而且依赖于过去一段时间的状态。近2 0 年来，在滞时微分动力系统解的基本理论、 稳定性理论、收敛性理论、分歧理论等许多方面都出现了重要的成果。 本论文主要研究求解滞时微分方程长时间收敛的数值方法。首先，我们构造了 基于修正的l a g u e r r e r a d a u 插值多项式的拟谱方法，建立了该数值方法的全局收敛性 理论。其次，构造了基于修正的l a g u e r r e 插值函数的拟谱方法，也建立了该数值方法 的全局收敛性理论。最后，我们讨论了上述计算格式的改进算法。这些数值计算方 法十分适用于动力系统的长时间数值模拟。数值实验表明这些方法具有较高的谱精 度，这和我们的理论分析是一致的。 关键词：滞时微分方程，数值积分，修正的l a g u e r r e - r a d a u 插值，拟谱方法，谱精 度，全局收敛性。 第i 页 a b s t r a c t d e l a yd i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m sh a v ea p p e a r e di na r e a so fa p p l i c a t i o n sa sd i v e r s e a sn e u r a ln e t w o r k s ，o p t i c s ，b i o l o g y , a n da u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r y , e t c t h ef e a t u r eo f d e l a y d i f f e r e n t i a ls y s t e m si st h a tt h ed e r i v a t i v eo ft h ec u r r e n ts t a t ed e p e n d so nn o to n l yt h ec u r r e n t s t a t eb u ta l s ot h ep a s ts t a t e i nt h er e c e n t2 0y e a r s ，s i g n i f i c a n tp r o g r e s so nb a s i ct h e o r yo f s o l u t i o n ，s t a b i l i t yt h e o r y , p e r i o d i cs o l u t i o nt h e o r ya n d b i f u r c a t i o nt h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n t i a l s y s t e m sh a sb e e na c h i e v e d i nt h i sp a p e r , w ep r o p o s et w ol o n g - t i m ec o n v e r g e n tn u m e r i c a li n t e g r a t i o np r o c e s s e s f o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ef i r s tc o n s t r u c ta ni n t e g r a t i o np r o c e s s e sb a s e do nm o d i f l e dl a g u e r r e r a d a up o l y n o m i a l sa n de s t a b l i s hi t sg l o b a lc o n v e r g e n c ei nc e r t a i nw e i g h t e d s o b o l e vs p a c e t h e nw ep r o p o s ea n o t h e ri n t e g r a t i o np r o c e s sb a s e do nt h em o d i f i e d l a g u e r r e r a d a uf u n c t i o n sa n dp r o v ei t sg l o b a ls p e c t r a la c c u r a c yi nt h es p a c el 2 ( o ，o o ) w e a l s od e v e l o p e dat e c h n i q u ef u rr e f i n e m e n to fm o d i f i e dl a g u e r r e r a d a ni n t e r p o l a t i o n s n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h es p e c t r a la c c u r a c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o da n dc o i n c i d ew e l l w i t ha n a l y s i s k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n u m e r i c a li n t e g r a t i o n s ，m o d i f i e dl a g u e r r e - r a d a ui n t e r p o l a t i o n s ，p s e u d o s p e c t r a lm e t h o d s ，s p e c t r a la c c u r a c y , g l o b a lc o n v e r g n n e e 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了 特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成 果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了 谢意。 作者签名：) 尘生越 日期： 础p - k m a s t e rd i s s e r t a t i o n 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：甚幽虱 日期俨 第i v 页 导师签名： 日期： 喇冈 皆 m a s t e rd i s s e n a t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) l ，( t ) = f ( t ，( t ) ，口( t r ) ) ，t 2 t o ， | ，( t ) = o ) ，t o r s t t o o rm o r eg e n e r a l l yf u n o t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( f o e s ) h a v eb e e ns t u d i e dr a t h e re x t e n s i v e l yi n 血ep a s tt h i r t yy e a r sa n da r eu s e da sm o d e l st od e s c r i b ed i v e r s ep h e n o m e n ai nb i o s c i e n e e s ，e c o n o m i c m a r k e t s ，c h e m i c a lr e a c t i o n s ，p o p u l a t i o nd y n a m i c sa n ds oo n ad i s t i n g u i s h i n gf e a t u r eo f d d e su n d e r c o n s i d e r a t i o ni st h a tt h ee v o l u t i o nr a t eo ft h ep r o c e s s e sd e s c r i b e db ys u c he q u a t i o n sd e p e n d so nt h e p a s th i s t o r y w en o wg i v es o m ee x a m p l e so f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hc a nb ef o u n di nt h eb o o k sb y k o l m a n o v s k i i m y s h k i s 【1 8 ，b e l l m a na n dc o o k e 4 ，a n dh a l ea n dv e r d u y nl u n e l 【1 6 m o d e l1 e v o l u t i o ne q u a t i o no fas i n g l es p e c i e s t od e s c r i b es p e c i e sp o p u l a t i o n ss t r u g g l i n gf o r ac o m m o nf o o d ，n u m e r o u sm o d e l sw i t ha f t e r e f f e c th a v eb e e np r o p o s e d o n eo ft h es i m p l e s t s u c hm o d e l s f o rt h ec a s eo fl i m i t e ds e l f - r e n e w i n gf o o dr e s o u r c e s ，i st h el o g i s t i cm o d e l t ( t ) = 7 u ( t ) ( 1 一k 一1 u ( t r ) ) ， w h e r et h en o u n e g a t i v ep a r a m e t e r s1a n dka r ek n o w nr e s p e c t i v e l ya st h ei n t r i n s i cg r o w t h r a t ea n dt h ee n v i r o n m e n t a lc a r r y i n gc a p a c i t y h e r eu ( t ) i st h ep o p u l a t i o nn u m b e r ( n u m b e ro f s p e c i e si nt h ep o p u l a t i o n ) 。r e g a r d e da sac o n t i n u o u sq u a n t i t y , a n dri st h ep r o d u c t i o n , t i m e o f f o o dr e s o u r c e s ( w h i d li ss o m e t i m e si n t e r p r e t e da st h ea v e r a g e a g eo fp r o d u c e r s ) t i f f sm o d e l h a sb e e ng e n e r a l i z e di uv a r i o u sd i r e c t i o n s t a k i a gi n t oa c c o u n tm i g r a t i o n ，i n h o m o g e n e i t , a n d s t o c h a s t i cp r o p e r t i e so f t h ee n v 诬o n m e n t , d i f f u s i o n i n c u b a t i o n , e t e i nf a c t , a l t h o u g ht h ee q u a - t i o na p p e a r sa tf i r s ts i g h tt ob cs i m p l et h es o l u t i o nc a nd i s p l a yc o m p l i c a t e dd y n a m i c s m o d e l2 m a t h e m a t i c a lm o d e l so ft h es u g a rq u a n t i t yi nb l o o d t h em a c k a y g l a s sm o d e lo f b l o o dp r o d u c t i o nh a st h ef o r m “) = 端一 a n u m e r i c a l t r e a t m e n t o f t h i s e q u a t i o nh a s b e e n g i v e n ，i n w h i c ha l s o t h e a p p e a r a n c e o f c h a o t i c a t t r a c t o r s h a s b e e ns h o w n a n a n a l y s i s o f t h e b l o o d c o n t r o l m e c h a n i s m i s b a s e d o n t h e e q u a t i o n t ，( d = 再k u 面v ( t 可- 葡 r ) 一酬) w h e r ek ，a n dk la r ec o n s t a n t s ，pa n dqa r ep o s i t i v ei n t e g e r s 第1 页 m a s t e rd i s s e r t a t i o n m o d e l3 i n f e c t i o u sd i s e a s e s t h ef o l l o w i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sb e e nu s e dt om o d e li n f e c t i o u s d i s e a s c s ： 以( t ) = 一y l ( t ) v 2 ( t 一1 ) + 忱( t l o ) ， 鹕( t ) = y l ( t ) y 2 ( t 一1 ) 一v 2 ( t ) ， ( 1 1 ) 站( t ) = z n c t ) 一u 2 ( t 一1 0 ) h e r ew ( t ) m e a s u r e st h es u s c e p t i b l ep o r t i o no ft h ep o p u l a t i o n ，v 2 ( t ) t h ei n f e c t i o u sa n du 3 c t ) t h er e m o v e d ( e g i m m u n i s e d ) p o r t i o n 1 1 1n u m e r i c a lm e t h o d sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m o s td d e sd o n th a v ea n a l y t i cs o l u t i o n ，s oi ti s g e n e r a l l yn e c e s s a r yt or e s o r tt on u m e r i c a l m e t h o d s i nt h i ss e c t i o nw ep r e s e n ts o m et e e h n i q u e sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd d e s o t h e r s u r v e y so ft h i sa r e aa r ea v a i l a b l e ：s e ec r y e r 9 】，b a k e r , p a u la n dw i 难 1 】，b e l l e n 【2 】，a n dz e n u a r o 【2 2 】 w c b e g i nw i t ho n eo ft h ef i r s tm e t h o d s a l s ok n o w na st h em e t h o do fs t e p s d e v e l o p e db y b e l l m a n ( s e eb e l l m a n 【3 】a n db e l l m a na n dc o o k e 【4 】) w ea i eo n l yi n t e r e s t e di nd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o i l so ft h ef o r m n ，( ) = ，( ( ) ，w ( t 一7 ) ) ，t t o w ( t ) = ( t ) ，t o r s t t o ， ( 1 2 ) w h e r e 锄，咖r “，f ：rx r “x r “h 舯，t r ，a n d r 0 i s ac o n s t a n t w e a s s u m e t h a t f o r a n y g i v e ov e c t o rn o l m i i f ( t ，u l ，t ) 1 ) 一f ( t ，撕，吨) 0 l 1 1 1 1 一u 2 0 + 工2 口l 一也l l( 1 3 ) h o l d sf o ra l l “ ，仉r “，i = 1 ，2w i t hc o n s t a n t sl x ，- , 220 f r o mt h i sl i p s c h i t zc o n d i t i o n , t h e e q u a t i o n1 2h a sau n i q u eo n t o f ，o 。1 f o ras c a l a re q u a t i o nw i t hac o n s t a n tl a g ，i ti sr e l a t i v e l ys i m p l et oc o m p u t ean u m e r i c a ls o l u t i o n b ye m p l o y i n ga n yr o b u s to r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( o d e ) c o d ea n du s i n gt h em e t h o do f b e l l m a n 【3 】h o w e v e r , t h em e t h o db e c o m e sm o r ec o m p u t a t i o n a l l ye x p e n s i v ea st h ed i m e n s i o no ft h es y s t e m o f o d e s i n c r e a s e s b e s i d e s w e a 坤o b l i g e d t or e c o m p u t e m a n y t i m e s t h es a m e p i e c e s o f t h e s o l u t i o n r e l a t e dt ot h ep r e v i o u si n t e r v a l s t h er e d u c t i o nt oas y s t e mo fo d e sa v o i d st h et y p i c a lc o m p l i c a t i o n sd u et ot h ep r e s e n c eo ft i i e d e l a y e da r g u m e n t 。b u tb e l l m a n sm e t h o di sn o tt h em o s te f f i c i e n ta p p r o a c hf o rs o l v i n gd d e s 。a n da m o r ep r o m i s i n ga p p r o a c hi st oe m u l a t et h em e t h o do fs t e p sb a s e do nt h es e c o n dp o i n to fv i e w w e s h a l l u s 矿( 力= f ( t ，( ) ，v ( t - r ) ) t o m o t i v a t e o u r d i s c u s s i o n i t i s c l e a r t h a t t h e d i s c o n t i n u i t y p o i n t s a 靠= t o + k r o n t h e i n t e r v a l 【t o ，t o + r 】t h e d d e b e c o m e s y l o ) = f ( g ，( t ) ，咖0 一f ) ) ，a n d i s t h u s r e d u c e dt oa no d e a p p l i c a t i o no fas u i t a b l ev a r i a b l es t e ps i z eo d ec o d ee m p l o y i n gd e n s e - o u t p u t y i e l d saf u n c t i o n 费l ( t ) d e f i n e do n 【t o ，t o + 7 1 o nt h ei n t e r v a l 【t o + l t o + 2 r 1 ，t h ed d eb e c o m e s ”似) = f ( t ，( t ) ，口1 0 r ) ) ，w h i c h a g a i n m a y b es o l v e d b y a d e n s e - o u t p u t o d es o l v e r , t o p r o d u c ea f u n c t i o n 仍0 ) d e f i n e d o n t o + 下，t o + 2 r t h e m e t h o d p r o c e e d s i n as i m i l a r m a n n e r o v e rs u c c e s s i v e i n t e r v a l s t o + j r ，t o + o + 1 ) 卅，j = 2 ，3 ，b ys o l v i n g t h e o d e ”( t ) = f ( t ，o ) ，易o r ) ) o n e a c hi n t e r v a l a te a c hs t a g ew er e c o r ds u f f i c i e n ti n f o r m a t i o nt oc o m p u t e # a t ) o n p r e v i o u si n t e r v a l s w en o t et h a tt h et r u es o l u t i o nv ( t ) i sa n a l y t i co ne a c hi n t e r v a li t o + j l t 0 + 0 + 1 ) r 1 第2 页 - k m a s t e rd i s s e n a t i o n t h e r ei sal a r g ev a i l e t yo fm e t h o d sa v a i l a b l ef o rt h ef i r s tt w os t e p s u s u a l l y , t h eo d em e t h o d s a r ec h o s e ni nt h ew e l lk n o w nc l a s s e so fr u n g e - k u t t aa n di i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d s r e c e n t l y , g u o ，w a n g ，t i a na n dw a n g 【1 2 】p r o p o s e dt w oi n t e g r a t i o np r o c e s s e sf o ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb a s e do nm o d i f i e dl a g u e r r e r a d a ui n t e r o o l a t i o n s w h i c ha r ev e r ye f ! f i c i e n tf o r l o n g - t i m e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s o f d y n a m i c a ls y s t e m s f u r t h e r m o r e t h e s e a u t h o r s d e v e l o p e d a t e c h u i q u ef o rr e f i n i n gn u m e r i c a lr e s u l t s 1 2t h es t r u c t u r eo ft h et h e s i s i nt h i st h e s i s ，w ec o n s t r u c tt w on u m e r i c a li n t e g r a t i o np r o c e s s e sb a s e do nm o d i f i e dl a g u e r r e - r a d a ui n t e r p o l a t i o nf o rs o l v i n gd d e sw i t hac o n s t a n tl a g i nc h a p t e r2 w ep r o p o s et h ef i r s ta l g o - r i t h mb yu s i n gt h em o d i f i e dl a g u e r r e - r a d a up o l y n o m i a l s 1 1 1 i sp r o c e s sp r o v i d e st h eg l o b a ln u m e r - i c a ls o l u t i o n sa n dt h eg l o b a lc o n v e r g e n c ei nc e r t a i nw e i g h t e ds o b o l e vs p a c e i na d d i t i o n w em a y a d j u s tap a r a m e t e ri nt h i sp r o c e s st oe n l a r g ei t sa p p l i c a t i o n se s s e n t i a l l y i nc h a p t e r3 ，b yt a k i n gt h e m o d i f i e dl a g u e r r ef u n c t i o n sa sb a s ef u n c t i o n s ，w ed e s i g nt h es e c o n di n t e g r a t i o np r o c e s s ，w h i c hh a s t h es a m em e r i t sa st h o s eo ft h ef i r s tp r o c e s s m o m o v e r , i tp o s s e s s e st h eg l o b a lc o n v e r g e n c ej nt h e s p a c e ( 0 ，o o ) t h i si m p l i e st h a tt h ep o i n t - w i s en u m e r i c a le r r o r sd e c a yt oz e f 0r a p i d l ya st i m eg o e s t oi n f i n i t y t h e r e f o r ei ti sm o r es u i t a b l ef o rl o n g t i m ec a i c u l a t i o no fs t i f rp r o b l e m s w ea l s od e v e l o p am e h n i q u ef o rr e f i n i n gn u m e r i c a lr e s u l t si nc h a p t e r4 i no t h e l w o r d s w eu s et 1 1 ea b o v em e t h o d s w i t hm o d e r a t ent oo b t a i no r i g i n a ln u m e r i c a ls o l u t i o n s 。a n dt h e na p p l yt h es h i n e dl a g u e r r ea p p r o x i m a t i o nt or e f i n e m e n to f n u m e r i c a lr e s u l t s w ec o n d u c ts o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t si nc h a p t e r5t o d e m o n s t r a t et h es p e c t r a la c c u r a c yo fp r o p o s e dm e t l l o d s 第3 页 m a s t e rd i s s e n a t i o n c h a p t e r 2n u m e r i c a li n t e g r a t i o nb yu s i n gm o d i f i e dl a g u e r r e r a d a u i n t e r p o l a t i o n i n t h i sc h a p t e r , w ec o n s t r u c tan e vi n t e g r a t i o np r o c e s s e sb a s e do nm o d i f i e dl a g u e n e - r a d a n p o l y n o m i a l sa n de s t a b l i s hi t sg l o b a lc o n v e r g e n c ei nc e r t a i nw e i g h t e ds o b o l e vs p a c e n u m e r i c a l r e s u l t sd e m o n s t r a t et h es p e c t r a a c c u r a c yo f t h ep r o p o s e dm e t h o da n dc o i n c i d ew e l lw i t ha n a l y s i s 2 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r , w ep r o p o s et h ef i r s ti n t e g r a t i o np r o c e s s l e t v a ( t ) = e - a t ，卢 0 ，a n dd e f i n e t h ew e i g h t e ds p a c e 工乙( o ，o 。) a su s u a l ，w i t ht h ef o l l o w i n gi n n e rp r o d u c ta n dn o r m 。 ( “，”) 。，= z 。u ( t ) ”( t ) c 即( t ) d t 0 。= ( ”) 孟 t h em o d i f i e dl a g u e r r ep o l y n o m i a lo fd e g r e eli sd e f i n e db y ( o f 【1 3 】) f o re x a m p l e ， c m ) = ；e a t 刍( f i e - a t ) ， f o ( t ( t ( t = 1 = 1 一犀， 一2 3 t + 譬t 2 t h em o d i f i e dl a g u e r r ep o l y n o m i a l ss a t i s f yt h er e c u r r e n c er e l a t i o n 象c 尹o ) = 象c f 2 ( t ) ，f l r 。( 一口) 。t 味l 1 ( 2 1 ) t h es e t o f l a g u e r r e p o l y n o m i a l s i sa c o m p l e t e l l ( o ，o o ) - o r t h o g o n a ls y s t e m ，n a m e l y , ( c ，c 鼎) 叩= 施。 w h e n 而mi st h ek r o n e c k e rf u n c t i o n t h u s 。f o ra n y l ：a ( 0 ，o 。) 0 0 口( t ) = 。l ( t ) ， 仍= 卢( 仇) 。， 1 = 0 ( 2 2 ) l e tnb ea n yp o s i t i v ei n t e g e r , a n d7 n ( o ，) b et h es e to fa l la l g e b r a i cp o l y n o m i a l so fd e g r e e a tm o s tn w ed e n o t eb yt 如t h em o d i f i e dl a g u e r r * 一r a d a ni n t e r p o l a t i o np o i n t s i n d e e d ，t 如= 0 ， a n d t 嫠j ( 1sj ) a r e t b ed i s t i n c tz e r o s o f 面d c 熄1 ( t ) b yu s i n g ( 2 1 ) a n d t h e f o r m u l a ( 2 1 2 ) o f 【1l 】，t h ec o r r e s p o n d i n gc h r i s t o f f e ln u m b e r sa r ea sf o i l o w s ， 喝2 万丽1 ，喝2 而面酾丽1 蕊雨，- j ( 2 - 3 ) 第4 贞 群群够 m a s t e rd i s s e r t a t i o n f o r a n y p p 2 n ( 0 ，o o ) ， n 薹“n n 2 j c v ( t ) o j e ( t ) 疵 3 = u 。 n e x t , w ed e f i n et h ef o l l o w i n gd i s c r e t ei n n e rp r o d u c ta n dn o r m n ( ，口) 邮，n = u ( 毵) ( t p n j ，岬n j j = o f o r a n y 以妒乃v ( o ，o o ) ， 呻，n = ( 弘 ) 乙， ( ，妒) w = ( ，妒) 。，n ，0 0 “口= l i 庐1 1 u ，n ( 2 4 ) f o rv 口l 帅2 ( o ，o o ) ，t h em o d i f i e dl a g u e r r e - r a d a ni n t e r p o l a n t 如，n v p n ( 0 ，o o ) ，i sd e t e r m i n e d b y 如， ( t 如) = ( t 如) ，0 j s b y ( 2 4 ) ，f o ra n y p n ( o ，o o ) ( 如，口，纠w = ( 妇，n u ，妒) 。口，n = ( ”，) u 口，n t h ei n t e r p o l a n t1 8 ，n uc a nb ee x p a n d e da s b yv i r t u eo f ( 2 2 ) a n d ( 2 4 ) ， n 如，n v ( t ) = 印- - - n ，h ( 所( t ) 1 = 0 锩i = 卢( 如，掣，c ；口) u ，= a ( v ，c f 钟) w ，n ( 2 5 ) ( 2 6 ) 2 2m o d i f i e dl a g u e r r e - r a d a ui n t e r p o l a t i o n sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n l 爰( t ) = ，( ( 氓w ( t r ) ) ， t o ， ( 2 7 ) 1w ( t ) = 雪( t ) ，一r t 0 f o ra n yf i x e dp o s i t i v ei n t e g e rn ，w ed e f i n e u ( t ) = w c t t f f , ) = t 堪盼 t h e ns y s t e mo f ( 2 7 ) c a nb eh - a r t s f o r m e di n t o 僻竺i 嚣u 端：船 洲， 第5 页 ( 2 8 ) g 嫠1 ( t ) = 五di 卢，u ( t ) 一妇，象u ( t ) 景如，u ( t 妊) = 手，( u c t 聋k ) ，垂( ( t z k t 嫠) f ) ) + g 肌n 饥n k ) ， l ks ( 2 9 ) l e t 饶b e t h e c o e f f i c i e n t s o f i 序，u i n t 咖s o f c 朋( t ) b y v i r t u e o f ( 2 1 ) a n d ( 2 6 ) ，w e d e d u c e t h a t 如三x 荔- n o 筮n 碡dl ( o ) t 诋t 、j 筝篙篱 m 量= o 薹豁m 、1 1 啪 = 一俨墨o ( 些。c l c a e 、；。口n ，j ) ( = oc 臻( f ) ) ) u ( t 聋，) 呓 ni - - 1 n 如j = 一p 2 喝( t 鲫n ) ( c 船( t 缸) ) ，1 sk 0 s j ( 2 1 1 ) i = 1 m = 0 d e n o t e 冱d 口州剀n = j 妻= o 。如。呻如) ，l k ( 2 1 2 ) u n = ( u ( o ) ，u c t g , 1 ) ，t r c t 釜, ) ) t ， f 多( u ) = ( f c v c t 嫠, o ) ，如) ，亍，( ，( t 嫠1 ) ，妒1 ) ，e ( u ( t g , n ) ，) ) t 也= 圣( 亍( t 嫠i 一缓) ) ，i = o ，1 ， g 嫠l = ( g 嫠1 ( t 嫠1 ) ，g 嫠1 ( r e n , 2 ) ，g 爱l ( t 嫠) ) 7 ， 磷= t h e r e f o r e ，( 2 9 ) c a nb er e w r i t t e na s n 矍l ， o 嫠2 ， - - n 餐， 彬u = 略( u ) + g 嫠t ( 2 1 3 ) w ea r en o wi np o s i t i o no f c o