（计算数学专业论文）二维抛物型方程的正交样条配置法.pdf

山东大学硕士学位论文 二维抛物型方程的交替方向正交样条配置法 刘立松 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 配置法是2 0 世纪7 0 年代以来发展起来的以满足纯插值约束条件的方 式，寻求算子方程近似解的数值方法，通过分片多项式近似求解，使之在某 些特定的点即配置点上满足微分方程及其边界条件配置法无需计算数值积 分，较之有限元方法具有计算简便以及收敛精度高等优点，广泛应用于数学物 理及工程问题其中，利用高斯数值积分公式的节点( 高斯点) 代替自然节点 进行配置的方法称为正交样条配置法( o s c 方法) ，较之普通的配置法精度 更高，收敛速度更快 对于高维的抛物型方程，差分方法隐格式虽然绝对稳定，但计算量增加许 多；显格式虽然计算简单，但稳定性条件极为苛刻，于是人们构造了一种无条 件稳定的格式，即交替方向隐式法交替方法隐式法具有能够将高维问题转化 为低维问题，缩减工作量的特点，因此这种方法在工程计算中有广泛的应用 本文采用了正交样条配置法和交替方向隐式法相结合的办法来求解一类 抛物型方程，建立了一个双层的配置格式，不但证明了数值解的存在唯性， 而且作了格式的稳定性证明及收敛性分析 本文分为四章 第一章是引言考虑二维抛物型方程 瓦o u 怕( 删象怕( 砌脚券训删一如删q 三qx ( 0 m 牡( z ，y ，0 ) = 加( ：f ，3 1 ，) ，( z ，y ) q ， u ( x ，y ，t ) = 0 ，( z ，y ，t ) a q ( 0 ，卅， 其中， q = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，a q 代表q 的边界，而且0 0 ，配置格式有且只有唯一的解 第四章给出了配置格式的稳定性分析以及l 2 一模误差估计 关键词t 二维抛物型方程；正交样条配置法；交替方向法；误差估计 山东大学硕士学位论文 n u m e r i c a lm e t h o do fc o m b i n i n go r t h o g o n a ls p l i n e c o l l o c a t i o nm e t h o da n da l t e r n a t i n gd i r e c t i o n i m p l i c i tm e t h o df o rt w o - d i m e n s i o n a l p a r a b o l i cp r o b l e m so nr e c t a n g l e s l i s o n gl i u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t t h ec o l l o c a t i o nm e t h o di so n en u m e r i c a lm e t h o dw h i c hs e a r c h e 8f o rt h ea p p r o x - i m a t es o l u t i o no ft h eo p e r a t o rf u n c t i o nb ys a t i s f y i n gp u r ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n ， a n di tw a si n v e n t e di nt h e1 9 7 0 s c o l l o c a t i o nm e t h o d sa r ee s s e n t i a l l yi n v o l v e di nd e - t e r m i n i n ga l la p p r o x i m a t es o l u t i o nb yp i e c e w i s ep o l y n o m i a lb yr e q u i r i n gi tt os a t i s f y t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o ne x a c t l ya tc e r t a i np o i n t s t h ec o l - l o c a t i o nm e t h o dn e e d n tc o m p u t en u m e r i c a li n t e g r a l ，s oi th a se a s i e ri m p l e m e n t a t i o n a n dh i g h e rc o n v e r g e n c er a t et h a nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d a n di ti 8w i d e l yu s e d f o rs o l v i n gb o t he n g i n e e r i n ga n dc o m p u t i n gm a t h e m a t i c s s p u n ec o l l o c a t i o nm e t h o d u s i n gt h en o d e so fg a u s sq u a d r a t u r ef o r m u l a ( g a u s sp o i n t s ) a sc o l l o c a t i o np o i n t si s n a m e do r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d ( o s c ) ，w h i c hh a sb e t t e rp r e c i s i o na n d f a s t e rt h a nt h en o r m a ls p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s f o rh i g h e r - d i m e u s i o n a le q u a t i o n s ，i m p l i c i ts c h e m e sa r ea b s o l u t e l ys t a b l e ，b u t i n c r e a s i n gt h ea r i dw o r k l o a d w h i l ee x p l i c i ts c h e m e sa r ee a s i l yc o m p u t e d ，b u ti ti s d i f f i c u l tt oe s t a b l i s bt h es t a b l ec o n d i t i o n t h e r e f o r e ，s o m er e s e a r c h e r se s t a b l i s ho n e a b s o l u t e l ys t a b l es c h e m e a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d a n di t i se a s y t om a k eat r a n s f o r mf r o mh i g h e r - d i m e n s i o n a le q u a t i o n st ol o w e r - d i m e n s i o n a lo n e s a n dd e c r e a s et h ew o r k l o a db yu s i n ga l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d a n di t i i i 山东大学硕士学位论文 i sw i d e l yu s e di nt h ee n g i n e e r i n gf i e l d s o n em e t h o dc o m b i n i n gt h eo r t h o g o n a ls p l i n em e t h o da n da l t e r n a t i n gd i r e c t i o n i m p l i c i tm e t h o di sg i v e ni nt h i sp a p e r w ee s t a b l i s ho n et w o - l e v e lp i e c e w i s eh e r m i t e b i c u b i co r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o n s c h e m e a n dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f n u m e r i c a ls o l u t i o na r ep r o v e d ，o p t i m a le r r o re s t i m a t ea n dt h es t a b i l i t yr e s u l ta r e a l s od e r i v e d t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s s e c t i o n1i si n t r o d u c t i o n t i l et w o - d i m e n s i o n a lp a r a b o l i cp r o b l e m si sg i v e nb y 瓦o u + 0 1 ( 删朋象+ 0 2 ( 剐脚雾_ ，( 剐，( 刚q 兰q ( 0 ，t 】， u ( x ，y ，0 ) = g o ( x ，耖) ，( z ，y ) q ， u ( x ，y ，t ) = 0 ，( 茁，y ，t ) a qx ( 0 ，列， w h e r eq = ( 0 ，1 ) x ( o ，1 ) ，a qi st h eb o u n d a r y o f ，a n d0 o t h ec o u o c a t i o nm e t h o dp o s s e s sau n i q u es o l u t i o n i nt h ef o u r t hs e c t i o nt h el 2 _ n o r me r r o re s t i m a t ei sd e r i v e da n dt h es t a b i l i t y r e s u l ti sa l s op r o v e d k e y w o r d s ：t w o - d i m e n s i o n a lp a r a b o l i ce q u a t i o n ；o r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a - t i o n ；a l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d ；e r r o re s t i m a t e ； v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：主至查茎日期：兰! 盈：尘翌 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：童尘垂查茎导师签名： 山东大学硕士学位论文 第一章引言 在诸多科学和工程领域的数值模拟中经常涉及到微分方程的数值求解， 而选择收敛精度高且计算量不大的数值方法成为研究者的研究对象配置法 不需要计算数值积分。具有计算量小。收敛阶高等优点，而交替方向法具有 能够将高维问题转化为低维问题并且缩减工作量的特点，因此这种方法在工 程计算中有广泛的应用 在1 9 9 3 年，r i f e r n a n d e s 和g f a i r w e a t h e r 6 】应用了交替方向正交样 条配置法求解了满足齐次边值条件的热传导方程( l 1 乱= 一u 。霉，l 2 u = 一u 鲥 及g o = 0 ) ，对空间变量采用了任意次的多项式插值来进行离散 同年，在文【4 】中，b b i a l e c k i 和r i f e r n a n d e s 采用了分片双三次h e r m i t e 插值进行空间离散的正交样条配置法求解了l 1 缸= - ( a 1 ( z ，y ，t ) ) 。，l 2 u = 一( 眈( z ，y ，) ) b , - f f 均抛物型方程，得到的误差估计表明了该方法中得到的配 置解在时间上具有2 阶精度。在空间上具有强于l 2 一模弱于日1 一模的3 阶 精度 考虑二维抛物型方程： 警+ 口l ( 训筹扣2 ( 训券训硼y 味( y 舴q 绷( 0 ，卅， u ( x ，y ，0 ) = g o ( x ，y ) ，( z ，y ) q ， u ( x ，y ，t ) = 0 ，( z ，妙，t ) a q ( 0 ，刁，( 1 1 ) 令 伽= 咄( 训象 u = _ 0 2 ( 则t g 9 2 矿u ， ( 1 2 ) 其中，q = ( o ，1 ) ( 0 ，1 ) ，a q 代表q 的边界，而且 0 a m i 。a l ( x ，y ，t ) ，a 2 ( x ，y ，t ) n 伽，( z ，y ，t ) q ( 1 3 ) 本文提出了一种不同于 4 的交替方向配置格式，采用了分片双三次h e r - m i t e 插值多项式空间作为空间变量的逼近函数空间，建立了正交样条配置的 双层格式，同时证明了配置解的存在唯一性和配置格式的稳定性，最后作了配 置解的收敛性分析 1 山东大学硕士学位论文 2 1 一些基本的定义 第二章预备知识 对空间区域q 作如下剖分， x o = 0 x l x n x 一1 z ； 1 ，y o = 0 y l 秒m 一1 秒m 1 ， 令娥= x k z 七一1 ，衅= y t y l 一1 再令 = m 七i n h ，h 茁= m r a x h ：，如2m l i n佗拧 w ，瓦= m 。a x h i ，h = m a x ( 一h x ，瓦) 假定对空间区域的剖分【z 奄) 丝o 犰) 盘是正则的，即存在正常数o 1 ，0 2 及0 3 使得： 一 l o 1 瓦乜，a l h vsh z , ，0 2 半c r 3 o 叼 对空间区域【0 ，t 】做剖分t o = 0 1 0 ；= ( 口， 垡r 2 2 壬 j = l i l v l l l 。( 瑶) c ( 瓦) 一1 2i l v l l l 。( 巧) ，t ，p ( i d m i l 2 ( j 嚣) c 瓯) - 1 l z ( ) ，u p ( 瑶) | l v t 川l z ( 瑶覃) c h 一1i i v l l l ：( 雒掣) ， u p ( 善芦) 秒) 9 ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) m - ，q y j 川吼2 ( 2 3 ) 对于札c 1 ，1 ( 西) ，如下定义其分片双三次h e r m i t e 插值u h m ： ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 帮_ 0 ，幻她1 0 s 七肌，0 f 也 ( 2 8 ) 3 删 m m 汹 山东大学硕士学位论文 显然，每一个u c 1 , 1 ( 西) 对应唯一的插值u 引理2 1 假定0 i ，j 2 ，u h ( q ) ，这里m = m a x ( 4 ，i + 歹+ 2 ) ，那 么 i 铲峪驴叫肛忆邮， | 1 罐铲| l 2 ( q ， _ c h 4 - i - j 峙唧， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 证明：利用【2 】中推论4 2 的第一部分，以及s o b o l e v 嵌入定理和b r a m b l e - h i l b e r t 推论可以得到i + j l 时的不等式( 2 9 ) ，剩余i ，j ( 2 1 0 ) 的证明可 以类似得出 引理2 2 假定l u = 一n 1 ( z ，y ，t ) u 。一a 2 ( x ，y ，t ) u 鲫( z ，y ，t ) q ，那么 ( l v ，叫) 9 = a g ( u ，叫) 十a ( f ( u ，似) ， ，w m o ，t f o ，卅， 这里，a ”i = 0 ，l ，t ( o ，卅为定义在m o m o 到r 的双线性形式， a g ( 钉，伽) = a g ( 伽，u ) ， ，w 朋o ，t 【0 ，刁， a m i 。( 一玩口) 口a ，口) o ( 一a v ，u ) 口，u m o ，t 【0 ，卅， l 错d ( u ，秒) 一a 9 2 ( 砂， ) f kf l l t 2 i ( 一a v ，u ) g ， m o ，t o ，卅， i a ? ( 口，牡州c 石( 一a v ，口) y 2l l t i , i i g ，u ，似，m o ，t 0 ，t 】， 这里，石= 。m ( 。a x 。( 0 1 a i o 2 i i c ( - ) ，a 2 o y 2 i b ( _ ) ) 证明：由【l 】中引理( 3 3 ) ，利用两点g a u s s - l e g e n d r e 积分余项的p e a u o 表示式以及l e i b n i t z 公式，三角不等式和g a u c h y - s c h w a r z 不等式可得结论 引理2 3 对任意的u m ，若有 v ( x i m0 ) = 秽( 觑，詹，1 ) = v ( o ，协。1 ) = v ( 1 ，缈，z ) = v ( o ，0 ) = v ( o ，1 ) = v ( 1 ，0 ) = v ( 1 ，1 ) = v ( x i ，岛，协，z ) = 0 ，i = 1 ，虬；j = 1 ，m ，ok ，f = 1 ，2 则 = 0 引理2 4 若o l 缸，成，k = 0 ，t 为使得凤觑+ 1 以及o l k 觑+ 南一l 7 o l 。，k = 0 ，t 成立的非负数，7 0 ，那么 n = 0 4 o l n e t n 风，礼= 0 ，批 山东大学硕士学位论文 2 3 几个重要符号的说明 本文中，c n q 7 ) 表示满足伊q + 詹v l a x o y j o t k ( os i p ，0 歹sq ，0 k r ) 在虿上连续的函数v ( x ，y ，t ) 构成的集合对于口c p m 7 ( 虿) ，定义。 i i v l l c 州，r ( 砀 = m a x m a x o i p ，o j q ，o s 七7 ( x , y 。) 虿 + j + k v 如o y 3 & i ( z ，y ，亡) l ， l c ( 【o ，t 】，h ( q ) ) 表示满足u c ( 虿) 三c o , o , o ( 劲。且口( ，) h 2 ( q ) ，t f o ，t 】，i l v l l c ( 【o ，卅，刖( n ) ) 兰。m 。a “xi i v ( ，圳日( n ) ( 2 0 的函数集合 本文中出现的常数均为正数，且与h 和7 无关 第三章解的存在唯一性 3 1 建立交替方向配置格式 用? 和鹾+ 1 2 ( i = l ，2 ) 分别表示t 。和t 。+ 1 2 三+ 1 2 ) 1 - 处的微分算 子记 沪= 扩( z ，y ) = v ( x ，y ，t n ) ：7 _ = 叫n ，t 。= 钎；f ”= f ( z ，y ，k ) ； 唬沪+ m = ( u 蚪m 一u “) o 5 r ，d t u 计1 = ( u “+ 1 一u n + m ) o 5 丁 我们建立如下交替方向配置格式：求u ： t o ，t l ，t n 一朋， 也沪+ 1 2 一n n l + 1 2 茹1 2 一a n 2 + 1 7 2 u 品一厂”+ 1 2 ) ( 已j ) = 0 ， d t u ”+ 1 一o ? + 1 2 譬1 2 一f z 2 n + l 2 。lt ! ，n + 1 一f n + l 2 ( i ，j ) = 0 ， i = 1 ，虬；j = 1 ，帆；n = 0 ，n 一1 u o ( z ，y ) = t 3 ，6 9 0 ( z ，秒) ，( z ，y ) q ， u “( o ，y ) = u n ( 1 ，y ) = u ”( z ，0 ) = u “( 茁，1 ) = 0 ，n = 0 ，n ( 3 1 ) 5 曲 0 妨 山东大学硕士学位论文 3 2 解的存在唯一性证明 我们引入g a l e r k i n 方法 0 ，对于足够小的r ，只要证明矩a 非奇异，则( 3 5 ) 有唯一解 而对b = ( ) 4 帆4 z ，= 乙心) 在b 下= o 中，解向量r 满足 方程组等式 4 n x 心 乃( 乇) 乃= 0 ，i = 1 ，4 帆 j = l 将此解代入a t 中，从而有 所以b 7 - ：0 的解即为a r = 0 的解，那么，若a 非奇异，则b 非奇异， 所以对于足够小的r ，( 3 4 ) 有唯一解 这样，( 3 4 ) 与( 3 5 ) 等价，且有唯一解 引理3 1 矩阵a 非奇异 证明：反证法 若结论不成立，则有4 乙m 维向量丁存在，丁0 使得 a t = 0 ( 3 6 ) 令( z ，! ，) = 磊( z ，y ) n ，下= ( t i ) 4 n z n y 从而由( 3 6 ) 得( w ji v ) = 0 ，因此7 ) = o ，z = 1 ，4 札m 由引理2 3 得到w ( x ，) = 0 ，所以f = 0 与假设丁0 矛盾，故原 结论成立 ( 3 1 ) b ) 与其对应的g a l e r k i n 格式作同样地处理，类似于( 3 4 ) 和( 3 5 ) 可得 r p 叶1 + g l 矿+ 1 2 = r l ， ( 3 7 ) a 矿+ 1 + d 1 p n + 1 2 = & ( 3 8 ) 由于( 3 4 ) 和( 3 5 ) ，( 3 7 ) 和( 3 8 ) 系数矩阵都是非奇异矩阵， ( 3 4 ) 和 ( 3 7 ) 式消去矿+ 1 2 可得 f 一1 g ”一g f lf l 矿+ 1 = f r g f l r i ( 3 9 ) 7 m心 4= 0 = 巧dk乙 吣芦 dk 磊 哪胁 = 巧dk 磊0k 乙 岫腻 呲芦 山东大学硕士学位论文 ( 3 5 ) 和( 3 8 ) 消去伊+ m 可得 c 一1 d e n d 1 1 c 1 p “+ 1 = c 一1 s d f l 岛( 3 1 0 ) 类似于证明( 3 4 ) 与( 3 5 ) 等价的过程，可得到( 3 9 ) 与( 3 1 0 ) 等价，且具 有唯一解。这样就证明了配置解的存在唯一性 综上所述，有如下定理： 定理3 1 对于充分小的7 ，( 3 1 ) 有且只有唯一解 4 1 截断误差项 第四章误差估计 令 k ) 丝。为【0 ，卅的一个剖分，其中t 。= 竹，丁，丁= 叫n t ，再令 t n + l 2 = t 。+ 7 - 2 ，n = 0 ，肌一1 ；用曰和l ? + 1 2 = 1 ，2 ) 分别表示t 。 和t n + l 2 三( r t + 1 2 ) r 处的微分算子 为了方便起见，我们将交替方向配置格式写成如下形式：求札嚣m ，n = l ，札， 十l ：+ 1 n u ”h + 1 2 + l ；+ 1 2 u z( ) = 厂( ，t + 1 2 ) ， f 夕，佗= 0 ，批一1 + l ：+ 1 7 2 域+ 1 7 2 + 己；+ 1 7 2 钍笼+ 1l ( ) = ，化，t n + l 2 ) ， 9 ，几= 0 ，n t 一1 ( 4 1 ) 这里“2 a 4 ，仳z i a q ，佗= l ，m 分别为用h e r m i t e 插值来逼近方程初 值和边值条件的插值函数 对于每一个p 吼，u l 九r t + 1 2 ( ，p ) m 。，并且 u ：+ 1 2 ( q ，秽) = 【( 1 2 ) ( u ：+ 1 7 2 + u z ) + ( t 4 ) l ；+ 1 2 ( u ：+ 1 一仳z ) 1 ( o ，”) ：q ：0 ，1 8 ( 4 2 ) 矿一 -。l学 _。l 山东大学硕士学位论文 利用h e r m i t e 插值来逼近初边值条件，得到。 帮= o 幻姐1 0 七冬邶s z m 对于仃= 1 ，札， 警( n ) - o t _ 0 1 ，。七虬，q _ 0 1 筹( 啪) - 0 t = 0 1 j 0 z m 舻0 1 1 对9 ，( 4 1 ) 的两个方程对应的截断误差分别为s 咒t ( ) 冠z ( f ) ：i o u 。、，+ 1 2 一 + ( l ? + 1 2 + 鹾+ 1 2 ) 札“+ 1 2 一l 7 + 1 7 2 仳寸1 2 一碹+ 1 7 2 u 售】 ) ， 刮铲班一学 + ( l ? + 1 2 + l ；+ 1 2 ) 乱n + 1 2 一贯+ 1 7 2 仳寸1 2 一l 7 + 1 7 2 u 铲1 】 ) ， ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 这里钆备为u ( ，k ) 的分片双三次h e r m i t e 插值对于每一个吼，我们 如下定义，瘩。1 2 ( ，f 掣) 川。( 类似于( 4 2 ) ) u n h + l 2 ( z ，v ) = ( 1 2 ) ( 仳铲1 + 赡) + ( 7 - 4 ) ( z n + 1 一z ”) ( z ，f ) ， ( 4 7 ) 这里扩( ，毛f ) m 。为对鹾+ 1 7 2 u “( ，p ) 满足如下条件的分片三次逼近值； z n ( a ，) = l ；+ 1 1 2 让备( q ，) ， 口= 0 ，1 ， 扩( z 奄，p ) = 霹+ 1 2 u ”( z 七，p ) ，k = l ，肮一1 ， 筹( ：下o l ；+ l 2 u n ( ，七- 0 ，风 4 2 两个重要的引理及格式稳定性的证明 ( 4 8 ) 下面给出一个对截断误差项冠1 和磁2 在离散范数上进行约束的引理 9 山东大学硕士学位论文 引理4 1 假定a l c 1 , 0 , 0 ( 虿) ，以及a 2 c o ，1 ，2 ( 虿) n 伊，l ，1 ( 虿) 若 乱c ( o ，丁】，h 5 ( s2 ) ) n ( 只，2 ，1 ( 虿) nc 2 , 0 2 ( 虿) dc o ，2 2 ( 虿) n e o 0 ，3 ( 虿) ，l 2 “ c s , o , o ( - 0 ) ， a u l a t c ( f 0 ，丁】，h 3 ( q ) ) ，和伊珏( “，) o y 5 & c ( i o ，1 1 0 ，t i ) ，“= 0 ，1 ，那么 丁川冠。惦+ | 磁：旧 c 7 _ 4 【i i u l l 吝。岛z ( - ) + i | 乱i i 当。0 ，。( 劢+ l l u l l 吝。盔z ( 虿) + i l u 。2 o ，o ，s ( 虿) 】 + 6 删见5 ( n ) ) + 慨u 叩( _ ) + 喏嗍胪( n ) ) + 一m a r x 圳 | 纂( q ，训1 1 f 0 彬 ( 4 9 ) + 删，1 脚，1 “丽( q ，训 f 0 ，卸) j ( 4 9 ) 证明z 从( 4 5 ) 一( 4 7 ) 可得 冠。( f ) = 砖 ) + 舅 ) + 露 ) 一( 丁4 ) 露 ) ， 咒。 ) = 露妊) + 舅( ) + 露岱) 一( 7 - 4 ) 露 ) ， 1 0 这里， 玳) _ ( 甓r l 2 一型， 露 ) = l ：+ 1 7 2 u n + 1 2 ( ) 一( 1 2 ) l ：+ 1 7 2 u y l + “翻( ( ) ， 舅( ) = l ；+ 1 7 2 u ”+ 1 2 ) 一l ；+ 1 7 2 u 备( ) 一( 1 2 ) ( z n + 1 一z n ) ) ， 鬈( ) = l ；+ 1 2 让“+ 1 2 ) 一l ；+ 1 7 2 “铲1 ( f ) + ( 1 2 ) ( z n + 1 一z n ) 代) ， 露( ) = l ! + i 2 ( z ”+ 1 一少) ( f ) ， 其中，z n ( ，”) 朋。由( 4 8 ) 定义由泰勒定理， 傺州2 ( 沪兰卜知i i 。砀， 同时，由【4 中( 3 1 3 ) ，利用三角不等式可得 ；蚓丁4 矿 6 纛嗍】 ( 4 1 0 ) 因为， 碍( f ) = 己：+ 1 7 2 u “+ 1 2 ) 一( 1 2 ) l ：+ 1 2 ( 乱“+ 1 + “) ) + ( 1 2 ) 己? + 1 2 ( 乱”+ 1 一札铲1 + t ，一“备) ) ， 山东大学硕士学位论文 又由f 2 】中引理4 2 与其证明可得，对于k = o ，l ，2 ， l 掣| | c h 3 肌协“一o ，七 由以上两式，利用泰勒定理， 恽幢c 仳噘叩+ h 6 1 u l l 吾( 【o ，q 日5 ( n ) ) 】 显然有， 露( ) = 以( ) + 露( ) 一( 1 2 ) 露( ) + ( 1 2 ) 碟+ l ， 这里。 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 以( f ) = 甾+ m u 计1 2 ( f ) 一( 1 2 ) l 尹m ( 仳计1 + 矿) 】( ) ， 。露代) = 霹+ 1 2 u “ ) 一l ；+ 1 2 乱备( f ) ，嘏( ) = 甾+ i 2 u ”( ) 一矿代) 由( 4 1 1 ) 和泰勒定理。 i 以 ) i c t 2 i l u l l 伊a ：( _ ) ，i 砖 ) i c h 3 i l u t l c ( 【o 。刀，日s ( n ) ) 对于= ( f ? p ) ，这里f 。i x l ，x n x 一1 】。利用【1 5 】中的( 2 1 7 ) ( 取m = 2 ，p = 3 ，q = r = o 。) ， i 嘏( ) i c h 3i i l 2 u l l c 3 o ，。回) 为了约束p 不属于陆1 ，x n = 一1 】时的以( f ) ，我们利用【1 】1 中的( 9 4 ) 和 ( 9 5 ) ( 取7 = 3 ，p = 1 ，以及q = 2 时) t 若口c 5 【0 ，1 】，铅m 。为t ，的分 片三次h e r m i t e 插值，那么 i 一u 日) 。) is c h 3 i i v ( 5 ) l l g l o ，1 】，。瓯 ( 4 1 3 ) 现在，若p 【0 ，z 1 】u k 心一1 ，1 】，利用( 4 1 3 ) 式， i 嘏( f ) i 0 ，格式( 4 1 ) 关于初始条件和右端项 是稳定的。 引理4 2 假定a 1 c 5 , o , o ) ，a 2 c o , 5 , o ( 劢，并且0 0 ，使得i = l ，2 时， l a i ( z ，y ，t 1 ) 一a i ( x ，g ，t , 2 ) i k i t l 一t 2 i ，( z ，y ) 豆，t 1 ，t 2 【0 ，t 】 1 2 令v ”，伽 一j 譬a 4 0 满足， n = 0 ，j 一1 ， 山东大学硕士学位论文 1 3 n + i 2 一t ，n 0 5 下 + l i + 1 2 n + 1 2 + 厶；+ 1 2 ”j 廷) = ? g ) ，9 ， n + l 一1 3 n + 1 2 0 5 t 十l ? + i 2 u “+ 1 2 + l ；+ 1 7 2 u ”+ 1 l 恁) = 伽； ) ，f 9 ， ( 4 1 6 ) 这里，对于每一个p 吼，同样有t ，竹+ 1 2 ( ，p ) m o ，那么，对于充 分小的下， 躐川叫l 甄n 一砉等筹雠t ， ，一1 ) l | 羔z ( o 。) 】 洲1 + 0 5 下拶i l + t 互t 刭哪+ i i 蚓吼 证明t 由( 4 1 6 ) ，利用三角不等式， ( 4 1 7 ) i i ( 1 + 0 5 t l ：+ 1 2 ) 口n + 1 2 1 1 分1 1 ( 1 一o 5 丁鹾+ 1 7 2 ) 钉“| 1 9 + o 5 7 1 0 w ? l b ， i i ( 1 + 0 5 7 - l ；+ 1 2v n + 1 i i 口1 1 ( 1 0 5 t l ? + 1 7 2 ) 移”+ 1 2 l k + o 5 7 - 9 叫引l 口，( 4 1 8 ) 对于充分小的r ，【2 】中的不等式( 4 1 4 ) 表明 ( l ：+ 1 2 u ， ) g 0 ，钞m o ，( l ；+ i 2 t ，：v ) a 0 ，u m o 因为 i i ( 1 + 0 5 t l 2 ) 训：i i 口惦士丁( 斧1 2 ，移) 驴+ 训7 - 2 l 7 + 1 2 3 慨 由( 4 1 9 ) 第一个不等式， 1 1 ( 1 0 5 t l ? + 1 2 ) v i i 9 1 1 ( 1 + 0 5 t l 7 + 1 7 2 ) 钞0 9 ，u m o 类似地， ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 1 0 5 t l ；+ 1 2 ) v i i g 1 1 ( 1 + 0 5 m l ；+ 1 7 2 ) u i i 口，口m o ( 4 2 1 ) 所以由( 4 1 8 ) ，( 4 2 0 ) 和( 4 2 1 ) 可得 ( 1 十0 5 7 - l ；+ 1 2 ) u n + 1 1 1 9 1 1 ( 1 + 0 5 7 - l 7 + 1 2 ) u ”1 1 9 + o 5 丁( 1 i 叫? l i 多+ | i 硼1 1 9 ) ， 1 3 ，l rl 山东大学硕士学位论文 所以，对于n = 0 ，j ， j1 1 1 ( 1 + o 5 丁l 尹1 7 2v - 峙1 1 ( 1 + o 5 7 - l ：) 护1 1 9 + o 5 t ( m 怯+ 黼恸( 4 2 2 ) n = 0 对于充分小的r ，由 1 3 】中的( 2 6 ) ，f 2 】中的( 4 1 4 ) 以及【1 】中的( 3 2 ) 联立可得， t t ( 1 + 0 5 r l 2 ) 州娅哪：诵+ 丁喜等争筹嵫) | i 甄) 】- ( 4 2 3 ) 由( 4 2 2 ) 和( 4 2 3 ) 式可得结论( 4 1 7 ) 最后，我们给出收敛性定理 4 3 收敛| 生定理 定理4 1 假定a l ，a 2 满足引理4 1 和4 2 的条件令u 为( 1 1 ) 满足引理 ( 4 1 ) 的假定条件的解令让嚣3 , 4 ，佗= l ，j ，为( 4 1 ) 的数值解，其中 醒a 4 ，扎嚣i a n ，n = 1 ，j 分别满足( 4 3 ) 和( 4 4 ) 那么，对于充分小的 嘶m a x 眇 1 1 ”钏甄矿丁耋等笃产雠训甄) 】l 肛 c 7 2 i l l , , t i c ：盈- ( _ 习- i - i l u l l c z ，o z ( 虿) - t - i l u l l c o ，。z ( i 劢+ i l u l l c o ，o s 而) j + 3 1 t u t l c o ，习，s ( n ) ) + | i l 2 u i i c 咯0 f 。( - ) + l i 雾| i g ( f o ，刀，日。( 。) ) +删ilip。x，ii瓦a5丽+ku(a，)111 k = 01 g ( 吣m n = ：0 ， ”1 0 ，玎a 1 0 嘭詹、 v 。叫，、p j ，。 证明s 令 n = u z u 备，礼= 0 ， 秒n + 1 2 = u ：+ 1 2 一u 寸1 2 ， n = 0 ，厂一1 ，这里缸铲1 7 2 由( 4 7 ) 定义，那么( 1 1 ) 和( 4 1 ) 表明护，u n - - 1 2 满足彬 ( f ) = 磁- ( f ) ，叼( ) = 磁。( f ) 时的( 4 1 6 ) ，其中磁l ( e ) 和磁2 ( f ) 分 别由( 4 5 ) 和( 4 6 ) 定义给出显然，俨m o ，u o = 0 ，且口1 2 ( ，暂) 朋! 综合( 4 9 ) ，( 4 1 7 ) ，【4 】中的( 3 3 3 ) ，利用三角不等式可证明结论 1 4 参考文献 1 1 1 j d o u g l a s ，t d u p o n t ，c o l l o c a t i o nm e t h o d sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n si nas i n g l e s p a c e ，l e c t u r en o t e si nm a t h 3 8 5 b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 4 f 2 】2 b b i a l e c k ia n dx c c a i ，h i - n o r me r r o rb o u n d sf o rp i e c e w i s eh e r m i t eb i c u - b i co r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o ns c h e m e sf o re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ， s i a mj n u m e r a n a l ，3 1 ( 1 9 9 4 ) ，p p 1 1 2 8 - 1 1 4 6 【3 l b b i a l e c k ia n dg f a i r w e a t h e r ，m a t r i xd e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m si no r t h o g o n a l s p l i n ec o l l o c a t i o nf o rs e p a r a b l ee l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，s i a mj s c i c o m p u t ，1 6 ( 1 9 9 5 ) ，p p 3 3 0 - 3 4 7 【4 1 b b i a l e c k ia n dr i f e r n a n d e s ，o r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o nl a p l a c c - m o d i f i e d a n da l t e r n a t i n g - d i r e c t i o nm e t h o d sf o rp a r a b o l i cp r o b l e m so nr e c t a n g l e s m a t h c o m p u t ，6 0