（机械工程专业论文）城轨车辆轮对与辙叉接触的有限元研究.pdf

摘要 摘要 当前世界铁路正朝着高速重载的方向发展，随之而来的列车牵引对轮轨粘着的要 求也越来越高，轮轨的波浪形磨耗、轨道侧磨、轮缘踏面磨耗等一系列轮轨磨耗问题 解决与否直接影响铁路的快速发展。由于铁路运输具有节约空间、载运量大、经济环 保等优点，近些年来，轨道交通越来越多的应用到城市交通事业。 我国人口密度大，相对集中，尤其在一些大城市存在着交通拥挤、事故频发的现 象，给城市建设和道路维护等带来一系列的问题。城市轨道客车是城市中比较先进的 载运交通工具，在我国的一些大城市，如北京、上海、大连等都修建了地铁或轻轨， 用来运输大量的乘客。正因为如此，它的安全问题比较突出。在实际运营过程中出现 了一系列问题，大连金马快轨的轮轨间出现了非正常磨耗现象。这一问题的解决虽然 涉及到很多学科，但是都必须以轮轨接触为基础来研究，轮轨接触应力和接触位置是 其核心的研究内容。本文按照轮轨实际几何关系建立了真正的三维模型，完全避免了 传统的解析或半解析法中的h e r t z 假设和弹性半空间假设。 经过实地考察和分析，大连金马轮轨( 磨耗型踏面和5 0 k g m 1 2 辙叉) 磨耗问题主 要出现在辙叉上，本文建立了二维和三维有限元计算模型。根据计算结果比较分析了 锥形踏面和磨耗型踏面在辙叉不同的接触位置的接触应力，以及磨耗位置。最后得出 产生这一问题的原因。 关键词：轮轨接触；有限元法；锥形踏面；磨耗型踏面；辙叉 大连交通大学工程硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n tt e n d e n c yo ft h er a i l w a yc o n s t r u c t i o ni nt h ew o r l dt o d a yi ss e r v i n gh i g h s p e e dt r a i n s a n dc a r r y i n gh e a v yl o a d t h ed e v e l o p m e n tt e n d e n c yo ft h e r a i l w a y c o n s t r u c t i o ni nt h ew o r l dt o d a yi ss e r v i n gh i g hs p e e dt r a i n sa n dc a r r y i n gh e a v yl o a d a n d t h ec o m i n gr e q u i r e m e n t sf o rw h e e l r a i la d h e s i o nf r o mt r a i nt r a c t i o na r eh i g h e ra n dh i g h e r t h ew a v e - s h a p e da b r a s i o n ，s i d eg i nd i n ga n ds om a n yp r o b l e m ss o l u t i o nd e c i d e st h e d i r e c t i o no fo u rc o u n t r y sr a i l w a yd e v e l o p m e n t i nr e c e n ty e a r s ，t r a c kt r a f f i ch a sb e e nu s e d i nm o r ea n dm o r ec i t i e sf o ri t sa d v a n t a g e ss u c ha ss a v i n gs p a c e ，l a r g ec a p a c i t y ，e c o n o m i c a n de n v i r o n m e n t a l o u rc o u n t r yh a v eal a r g ep o p u l a t i o nd e n s i t y ，t h e yh a v eb u s yt r a f f i ca n dt h e r ea r el o t so f a c c i d e n t se s p e c i a l l yi ns o m el a r g ec i t i e s ，a n di t b r i n g sas e r i o u so ft r o u b l et oc i t y c o n s t r u c t i o na n dr o a dm a i n t a i n m e t r oi sam o r ea d v a n c e dc a r r y i n gt r a n s p o r ts u p p l i c a n t f o rt h e s ea d v a n t a g e s ，i ns o m eb i gc i t i e s i nc h i n a , s u c ha sb e i j i n g ，s h a n g h a i ，d a l i a na n d s o m eo t h e rc i t i e sh a v eb u i l tas u b w a yo rl i g h tr a i l r o a dt ot r a n s p o r tl a r g en u m b e r so f p a s s e n g e r s t h a ti sw h yt h es e c u r i t ym a k e si tm o r ec o n s p i c u o u s b u tt h e r ec o m e sas e r i e s o fp r o b l e m si nt h e p r a c t i c a lo p e r a t i o n t h e r eh a sb e e ns o m ee m e r g ep h e n o m e n o no f i r r e g u l a ra b r a s i o ni nd a l i a nj i n m ar a i l w a yc o m p a n y a l t h o u g ht h es o l u t i o no ft h i sp r o b l e m i n v o l v e sm a n yp r o f e s s i o n a ls u b j e c t s ，b u tt h i sm u s tb eb a s e do nw h e e l - r a i lc o n t a c ts t u d y ， a n dt h ec o n t a c ts t r e s sa n dc o n t a c tp o s i t i o ni st h em o s ti m p o r t a n tp a r to ft h er e s e a r c h i nt h i s p a p e r ，t h em o d e li sb u i l ta c c o r d i n gt ot h ea c t u a lg e o m e t r i cr e l a t i o n t h eh e r t za s s u m p t i o n a n dt h ee l a s t i c h a l f - s p a c ea s s u m p t i o ni nt h ec l a s s i c a la n a l y t i c a lo rh a l f - a n a l y t i c a lm e t h o d a r ec o m p l e t e l ya v o i d e d a f t e rt h el i v ev i s i ta n da n a l y s i s ，w ef i n dt h a tt h ee m e r g ep h e n o m e n o ni nd a l i a nj i n m a r a i l w a yc o m p a n ym o s t l yh a p p e n e do nr a i l w a y s ow ef o u n dt h e2 da n d3 dm o d e lo ft h e w h e e l r a i lc o n t a c t a n dw ea n a l y z et h ec o n t a c ts t r e s si nd i f f e r e n tp a r to ft h ew h e e la n dr a i l t h r o u g ht h ef i n a lr e s u l t s a n df i n a l l yf i n dt h er i g h tr e a s o n s k e yw o r d ： w h e e lr a ilc o n t a c t ；f e m ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ；c o n e - t r e a d ； w o r n - t r e a d ；f r o g i l 大连交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解太蓬塞通太堂有关保护知识产权及保 留、使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的 知识产权单位属太整塞通太堂，本人保证毕业离校后，发表或使用 论文工作成果时署名单位仍然为太蓬塞通太堂。学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件及其电子文档，允许论文被查 阅和借阅。 本人授权太莲交通太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者妊物仁导黼：限争 日期：2 们年l 月力，日日期： z 叩一年乙月、幻日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电子信箱： 电话： 邮编： 大连交通大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢及参考 文献的地方外，论文中不包含他人或集体已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得太整塞通太堂或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 本人完全意识到本声明的法律效力，申请学位论文与资料若有不 巴之赶亩聿神= 项相关责任。 学位论文作槲! 牺、是 日期：乞一7 年，l 月，7 日 绪论 绪论 随着我国经济的高速发展，我国的铁路、城市轨道交通也进入到了一个快速发展 的时期，高速和重载已成为铁路运输业发展的主题。但随着客运列车运行速度的日益 提高以及货运列车牵引重量的不断增加，轮轨系统的工况日趋复杂，轮轨磨耗问题日 趋严重，每年都给铁路运输业造成巨大的经济损失。 近年来，大连市城市轨道交通的发展速度很快。大连城市轨道交通试验线路( 2 0 2 路) ，由兴工街至北河口，全长1 2 6 公里，是大连市城市轨道交通路网规划的一号线 南段工程，于1 9 9 9 年1 0 月1 5 日开工建设，2 0 0 2 年1 2 月建成通车。这是我国第一条 采用7 0 低地板轻轨电车的城市轨道交通线路。 2 0 1 、2 0 3 路有轨电车线路改扩建工程，由沙河口火车站至东海公园，全长1 1 6 4 公里。其中，大连火车站至东海公园路段，即2 0 3 路有轨电车线路，于2 0 0 3 年7 月 开工建设，2 0 0 4 年7 月1 日竣工通车。 大连城市快速轨道交通三号线，由金石滩至大连火车站，全长4 9 1 5 公里。2 0 0 0 年9 月开工建设，2 0 0 4 年9 月2 9 日全线建成通车。这是目前我国一次建成通车里程 最长、造价最低、设备国产化率最高的城市快轨交通线路，也是大连市建市以来投资 最大的城市基础设施之一。 在大连市轨道交通快速发展的同时，轮轨系统出现的问题也比较突出，例如：2 0 2 路新型有轨电车曾经发生了多次脱轨事故，其原因是由于轮轨磨耗所致。到目前为止 仍然不能从根本上解决磨耗问题，只能被动地采取限速和在桥上加护轨等措施加以解 决。 目前，大连城市快速轨道交通三号线车辆车轮踏面的沟槽磨耗问题非常突出。由 于沟槽磨耗的速度很快，为了车辆的安全运行，维修部门不得不频繁的镟削轮对，大 大缩短了轮对的使用寿命，甚至影响快轨车辆的运用。 本文正是针对这一沟槽磨耗问题展开研究，全面分析造成沟槽磨耗的根本原因， 并且提出具体的解决方案。 大连交通大学t 程硕士学位论文 第一章轮轨关系的研究现状 1 1 轮轨关系的研究 轮轨关系的研究是铁路技术研究中最重要的环节之一，如轮轨的粘着、接触疲劳、 脱轨和波浪形磨耗等等问题一直是困扰着铁路工业发展的难以解决的问题。对于轮轨 粘着问题的研究还是以试验为主要手段，并且没有考虑其他综合的因素【l j 。对于轮轨 疲劳磨耗的研究主要是从两个方面来分析的，一是从力学角度进行数值分析和试验研 究，二是从金属学角度进行试验研究。通过以上的研究，减少轮轨疲劳磨耗的有效措 施为：优化轮轨几何型面，尽可能降低接触应力；研制新型轮轨材料，提高材料的强 化性能，都可以减轻疲劳破坏，延长轮轨的接触使用寿命。近十年来，脱轨事故在我 国铁路行车重大事故中的比例一直很高，严重影响了铁路运输的经济效益和社会效 益。脱轨的具体原因目前还是不大清楚，因为脱轨都不是单一的因素引起的，现在只 能以脱轨准则来评判脱轨的危险性。这其中最著名的要数n a d a l 公式。1 8 9 6 年n a d a l 根据爬轨所需要的最小q p 值( q 轮轨的横向力，p 垂向力) ，定义了公式。我国和日 本等国家除采用脱轨系数之外，还将轴重减载量a p p 作为辅助的评价指标。 1 2 铁路道岔的发展 道岔是把一条轨道分支为两条或两条以上轨道设备，道岔结构复杂，零件较多， 过车频繁，技术标准要求较高，是轨道设备的薄弱环节。 常用的道岔有：单开道岔、双开道岔、三开道岔、菱形交叉、交叉分线等等。7 0 年代后期，我国已经开始生产6 0 k g m 钢轨，6 0 a t 道岔的研制也随即开始。a t 型道 岔在1 9 9 2 年通过鉴定，因此也称为9 2 型道岔，其中高锰钢铸造翼轨可动心轨单开道 岔用于广深准高速铁路时，将转换设备改为外封闭，并在转辙器部分将转换杆设置在 钢叉枕内，技术标准有很大提高，但仍不适应提速道岔的需要。为提高铁路运输能力 和在运输市场上的竞争实力，我国研制了6 0 k g m 1 2 号提速道岔。目前这种道岔广泛 用于各大干线，为我国的列车大提速做出了突出的贡献。 现在我国主要采用9 2 型道岔、提速道岔、9 9 型道岔。 9 2 型道岔：9 2 型道岔的平顺性以及结构强度与7 5 型道岔相比有了很大的改善和 加强。但9 2 型道岔的直、侧向过岔速度仍分别限制在1 2 0k m h 和4 5k m h 之内。 2 第章轮轨关系的研究现状 图卜1 辙叉 f i g1 1 f r o g 提速道岔：1 9 9 5 年底，为适应铁路提速的需要，针对我国既有繁忙干线7 5 型、 9 2 型6 0k g m 钢轨1 2 号单开道岔在设计、制造、养护中存在的问题，以及与国外同 类道岔存在的差距，设计中引入我国高速道岔前期研究的技术，特别是广深线6 0k g m 钢轨1 2 号可动心轨辙叉单开道岔的设计及使用经验，提出了新型道岔的设计原 则和技术标准。 9 9 型道岔：是在提速道岔的基础上，针对提速道岔存在的问题，对结构设计进行 了多方面优化井采用了许多新的工艺研制成功的。 不足：道岔理论体系还是以“几何+ 经验”的静态模式为主要手段，不免存在片 面性；关键部件工艺落后，每个部件作为道岔系统的一部分对整体结构所发挥作用的 研究深度不够，满足不了运输的需要；客运专线道岔存在问题不少。 国外道岔芨展：日本新干线和法国t g v 为代表的高速铁路，直向过岔速度，达 到与区间正线完全相同的水平道岔侧向过岔速度较高的大号码道岔得到迅速发展，已 达到2 3 0k m h 。侧向导曲线半径逐渐增大，平面线型由初期的圆曲线变为抛物线或 更复杂的线型。基础由木枕发展到预应力混凝土枕，又发展到无碴整体道床。安装了 道岔安全监测系统，对尖轨密贴状态、转辙机工作状态等各项直接关系行车安全的参 数进行监测并将数据通过网络传送到管理中心。 查垄至翌查兰= ! 堡堡圭兰些丝三 提高速度是提高铁路运输能力的主要措施之一，而道岔的过岔速度是制约行车速 度的一个关键因素。道岔由于构造原因在平面、剖面及纵断面上都存在着几何不平顺 因此，随着列车速度的增加而使轮轨之间动力作用增大，这就限制了过岔速度。我国 目前采用的通过道岔速度的确定方法有：道岔侧向通过速度和道岔直向通过速度。提 高道岔通过速度的途径有：采用大号码道岔，以增人导曲线半径； 采用对称道岔； 适当增加直尖轨长度，合理确定侧线轨距加宽；采用轨线连续的可动心辙叉： 采用高锰钢整铸辙叉： 采用不等长护轨，加长直向护轨等。 1 3 国内外对轮轨磨耗问题的认识和研究 大连金马快轨的车轮外侧踏面磨出一道沟槽，这是一种异常磨耗如图1 2 。 图1 2 磨耗的车轮 f i gi - 2 t h e w e a r w h e e l 在现场针对这种情况，我们考虑了闸瓦和辙叉因素。金马快轨用的是橡胶踏面制 动，由于是踏面整体磨耗和橡胶硬度要远远低于车轮硬度，所以不可能在外侧踏面磨 出一道沟槽；金马快轨用的是磨耗性踏面车轮，与之相互配合使用的是5 0 k g m 9 第一章轮轨关系的研究现状 号钢轨，在车轮经过的转辙器和辙叉区，我们观察到在叉心有两道明显的擦痕，在中 间是没有经过磨耗的。5 0 k g m 钢轨的踏面是l ：2 0 的斜度，而车轮的踏面是圆弧形的， 这就导致车轮轮缘和踏面外侧与轨面接触冲击而踏面中间和轨面接触少或者不接触， 所以这种磨耗可能是由于这个原因导致。通过这次进行的课题，一方面可以解决现实 中遇到的问题，另一方面能够得到轮轨互相配合问题，这对于整个的车辆修造和检修 都有重要的意义l z 4 j 。 减少径向转向架的轮轨磨耗主要是通过使用斜率较大的车轮踏面来实现，而不是 通过车轮的径向运动来产生，为减轻钢轨侧磨，技术人员采用了轮轨润滑、调整轨底 坡和曲线超高、采用磨耗性踏面等等不同的方法。轮轨的磨耗涉及许多学科，如轮轨 材料、轮轨几何形面、车辆轨道结构、路基性能、滚动接触力学、动力学、摩擦学、 固体力学、传热学等等。 将转辙器区尖轨与基本轨以及辙叉区心轨与翼轨轨头离散，在充分考虑它们的空 间结构和布置之后，利用空间轮轨接触几何关系，可模拟计算轮对与钢轨之间动态或 静态的轮轨接触参数变化特点，可初步了解转辙器区轮轨接触特性。道岔系统应用动 态轮轨接触几何关系之后，不仅可以生成道岔区的几何不平顺和各种轮轨冲击，而且 能够较为准确地反映道岔系统复杂的轮轨接触关系，能够比较真实、自然地反映道岔 区轮轨系统的冲击振动，得到比较真实的系统轮轨力以及轮轨系统其它各种振动响 应。 轮轨磨耗是轮轨接触区内摩擦功积累的结果，所以要想降低磨耗就要减少接触区 内的摩擦功。调研发现，辙叉区轨面与车轮踏面的匹配存在着问题，其原因在于现用 的辙叉是5 0 k g m 的辙叉，轨面是l ：2 0 的斜面，而车轮的踏面是锥形踏面，锥形踏 面是一种有两个斜度的踏面，即1 ：2 0 和l ：l o ，前者位于轮缘内侧4 8 - - 1 0 0 m m 范围 内，是轮轨的主要接触部分，后者为离内侧1 0 0 m m 以外部分。踏面最外侧做成r = 6 m m 的圆弧，其作用是便于通过小半径曲线，也便于通过辙叉，这就导致车轮轮缘和 踏面外侧与轨面接触冲击而踏面中间和轨面接触少或者不接触。基于这点，是否是这 个原因造成的有待于我们今后的分析研究。 本课题是非线性问题运用a n s y s 软件来分析的。a n s y s 是关于结构、热、流体、 电磁、声学于一体的大型通用有限软件，可广泛用于核工业，铁道，石油化工，航空 航天，能源，电子，造船，汽车交通，国防工业，土木工程等等一般工业及科学研究。 a n s y s 软件能与大多数c a d 软件实现数据共享和交换，它是现代产品设计中高级 大连交通大学 程硕士学位论文 c a d c a e 软件之。a n s y s 软件提供的分析类型有：结构静力学结构动力学，结 构非线性分析，动力学分析，热分析，电磁场分析，流体动力学分析，声场分析，压 电分析。可以运用a n s y s 进行建模，分析和计算，它能够融前后处理与分析求解一 身，具有强大的非线性分析功能和快速的求解器。 正确分析计算轮轨之间的接触应力对于提高铁路运输安全性与经济性都具有重 要意义。本课题是关于轮轨接触的非线性分析，利用a n s y s 软件建模，分别做出 5 0 k m 和6 0 k g m 钢轨的辙叉与轮轨接触的模拟效果图。然后采取分段加载荷，通过 比较车轮强度和钢轨强度的计算结果，得出足否是由于轮轨的匹配问题造成的。利用 a n s y s 软件建立模型后，对其进行有限元分析，在极限情况下，对其施加相应的力， 得出它的受力图，从而进行结果的对比分析，找出磨耗问题的原因所在。 14 解决问题的方法 考虑到各种影响因素，在建模时分别建立锥形踏面和磨耗型踏面同5 0 k 钢轨接 触的二维和三维模型。同时每一截面结合又考虑到三个不同的接触位蜀。根据轮对与 道行处翼轨接触横向位置分三种情况考虑：外侧牟轮靠近护轨，内侧车轮与翼轨接触 状态，称其为位黄1 ；外侧车轮靠近基本轨，内侧车轮与翼轨接触状态，称其为位置 3 ；外侧车轮处于前两位置之间，内侧车轮与翼轨接触状态称之为位置2 。轮对与道岔 处翼轨接触在纵向截取不同截面进行研究。本文中主要对不同截而三种接触位置进行 研究。轮对轨道二维、三维模型的3 种接触位置分别如图1 3 所示； _ 第一章轮轨关系的研究现状 位置2 卜j i 位置3 图1 3 车轮和辙叉接触的三个位置 f i g l 一3t h r e es i t e so ft h ec o n t a c * lo fw h e e la n df r o g 轮轨磨耗问题已经引起了世界各国注意的热点问题。各国铁路工作者在理论分 析、线路试验、计算机模拟仿真等方面都进行了大量的研究工作。轮轨磨耗是轮轨之 间互相反复作用的过程，它关系到铁路业的末来和发展。 15 本章小结 本章首先介绍国内外铁路轮轨关系的发展现状；然后介绍当今道岔发展和认识， 主要介绍国内道岔的发展及现阶段的问题和以后的研究方向：同时介绍了国内外对轮 轨磨耗问题的认识和研究；最后提出将如何分析大连金马快轨公司问题。 占 第二章接触理论与有限元方法 第二章接触理论与有限元方法 2 1 接触力学 接触力学是研究可变形接触体在外载荷或其它因素作用下的应力分布和变形规 律的学科。接触问题大量存在于机械工程、土木工程等领域。这类问题的特点是具有 单向边界条件和未知接触区域，其接触区域的确定依赖于加载方式、荷载水平以及接 触面性质等因素，属于边界待定问题。机械相互作用有时必须通过物体间相互接触进 行传递。接触体之间的接触性质在很大程度上决定了结构的变形、运动和应力分布， 因而完整地建立一个反映结构接触性质的数学、力学模型并对它进行分析是实际工程 所面临的问题。接触问题的高度非线性以及接触体之间的摩擦力使得接触问题在数学 处理上变得相当困难，远比经典线性结构力学复杂的多。 接触力学的研究工作可以追溯到1 8 8 2 年h e r t z 在柏林大学发表的学术论文“论弹 性体的接触 ( “o nt h ec o n t a c to f e l a s t i cs o l i d s ) 。文中被称之为赫兹问题的表述如 下：把两个物体压到一起，使它们之间形成一接触区；假定接触区无摩擦，它们的曲率 半径基本上为常数，且接触区相对两物体的特征直径较小，也就是说，两物体可近似 视为半空间；那么，接触区呈椭圆形，而接触压力则呈半椭球分布。实际上，h e r t z 理论仅限于理想弹性体的无摩擦接触。本世纪下半叶接触力学便超出了这个限制，开 始对接触体表面摩擦进行合理处理，使弹性理论扩展到滑动和滚动接触；同时，随着 塑性理论和粘塑性理论的发展，非弹性体的接触应力和变形分析也受到人们的关注【5 j 。 按所采用的数学工具，接触问题可分为经典接触力学和非经典接触力学两大类。 l a g a l i n 是一位接触力学专家，他在力学的其它分支中也占有重要地位。他在1 9 5 3 年的著作中对二维接触理论作了论述。1 9 8 0 年他又对该理论的新发展作了论述，并突 出地将研究扩展到粘弹性问题，但却未涉及到三维滚动接触问题。g m l g l a d w e l l 是西方第一位撰写专著全面论述接触力学的人。他于1 9 8 0 年著书对经典接触力学理 论作了较为完整的论述，但对有限元法，以及诸如滚动等复杂的摩擦载荷问题，却没 有包括在内。k l j o h n s o n 对于弹性和非弹性固体的法向、滑动和滚动接触作了讨论， 但对两维、轴对称及三维问题的几何形状未作明确区分。他的研究是对g l a d w e l l 很好 的补充【6 1 。 9 大连交通大学工程硕十学位论文 经典接触力学的求解方法大都采用解析法，该法能得到较好的结果，但所能解决 的问题却很有限。近3 0 年来随着数值解法的兴起和发展，出现了大量的接触力学非 经典解法。1 9 3 3 年提出关于线弹性体与无摩擦刚性基础的接触力学模型。并于1 9 5 9 年推测了无摩擦接触问题的这一变分( 或“弱”) 虚功表述的可能性。而f i c h e r a 于1 9 6 4 年则对这一问题作了严格的表述，证明了解的存在性和唯一性，并证明了与无摩擦接 触问题的等价性，给出了s i g n o f i n i 问题平衡方程的变分思路。有限元法的问世大大促 进了接触问题研究工作的发展。接触问题的变分表示是其有限元离散化的基础，因而 构造弱形式的变分等式或不等式方程成为接触问题有限元求解的必要步骤。尽管有限 元法并不是空间离散的唯一手段，但在现有各种可能的空间离散化方法中，有限元法 的应用最为广泛，并己被大量实例证明是一种有效的方法。f i c h e r a 首先从数学角度建 立了刚性体与弹性体单边接触问题的变分原理。n k i k u c h i 和j t o d e n 在g d u r a n t 和j l l i o n s 的工作的基础上，讨论了无摩擦和有摩擦接触问题的变分理论和以此为 基础的有限元法。但他们给出的例子只是二维的。随后，以有限元离散化为基础，接 触问题的数值求解便沿着两个主要方向一迭代法和数学规划法发展【7 卅。 迭代法是解决非线性问题普遍采用的方法，s k c h e n 和t s t u b a 曾提出用修改 的有限元方法求解弹性接触问题。这一方法首先对小荷载下接触区域作初始接触状态 估计，然后根据接触条件对工作荷载下的接触状态不断地修改，直至收敛。用这种迭 代法来研究接触问题，计算工作量相当大。因而，此后人们把对迭代法的研究重点放 在如何减少计算量、加快计算速度上来。如f r a n c a v i l l a 和z i e n k i e w i c z 发现接触问题 在变形过程中的非线性本质主要表现在可能的接触边界上，因此可将系统柔度阵凝聚 到可能接触边界上，再根据接触边界上的协调条件迭代求解，从而大大节省了计算时 间。f r e d f i k s s o n 考虑到构造系统柔度阵相当麻烦，于是采用超单元技术将由有限元位 移法得到的系统刚度阵凝聚到接触边界上，再根据边界正则关系，建立增量正则方程， 然后迭代求解。o k a m o t o 和n a k a z a w a 用接触单元法来减少计算工作量，他们将接触 点对的位移和接触力以“接触单元”的形式来表示。接触单元同普通单元一样可以组 装到总刚度阵中。所形成的总刚阵同样可以向可能的接触面上凝聚，这样就可以使得 方程阶数大大降低，从而只需对已缩聚的刚度方程进行修正和求解，大大减少了计算 工作量。陈万吉提出应用有限元混合法求解弹性接触问题以提高计算速度并节省存贮 空间。同时，j t s a n g 和d o l s o n ，s a c h d e v a 和r a m a d r i s h n a n 、李润方、郭仲衡等也 1 0 第二章接触理论与有限元方法 提出了类似的基本思想。目前使用迭代法求解弹性接触问题已经有了较成熟的发展 1 0 - 1 3 o 所谓“试验一误差一迭代 ，即首先假定一种接触状态，然后不断地迭代修改。 然而迭代法往往伴随着较大的计算工作量：如果接触状态的线性增量不能适应结构变 化时，还可能导致错误的解。所以，迭代法的增量步长也受到了一定的限制。 对于这类单边约束接触问题，数学规划法几乎是平行于迭代法发展起来的一种解 法。由于这一方法是基于势能或余能原理推导出来的，因而是理论上比较严格和直观 的一种方法。1 9 6 7 年，vm f r i d m a n 和vs c h e m i n a 在用有限元法来研究无摩擦接 触问题时指出：离散后的无摩擦接触问题可以转化为二次规划问题，即转化为在线性 等式和不等式约束条件下的正定二次型的极小化问题。他们所考虑的二次规划问题是 对一个凸的二次变分原理进行离散，并对线性等式和不等式约束条件下的一个凸二次 函数进行极小化【1 4 1 。建立在二次规划基础上的方法，其优点是经过严格证明的算法， 可在有限步内完成。1 9 7 2 年j j k a l k e r 和y v a nr a n d e n 也用二次规划的表述方法， 并采用p w o l f e 的算法。c o n r y 和s e i r e g 、c h a n d 和h a u g 、h a u g 和s a x c e 、f i s c h e r 和m e l o s h 等都利用无摩擦接触弹性体的互补条件和非穿透条件，并借助现代泛函分 析的新概念( 如广义微分和变分不等式) ，建立了无摩擦接触问题的数学规划法1 1 5 1 8 j 。 成熟的数学规划算法，如二次规划、序列线性规划法等都可以保证解的收敛性。数学 规划法有时有不易作力学解释的缺点，但确有可被严格证明的优点，或者至少是对可 经过严格证明的算法的改进。 无摩擦接触问题对求接触区所用的方法并不敏感，大多数方法最后都能得出解。 其目标是要找到一种有效、易懂，而又在所有可能情况下都收敛的方法。 p a n a g i o t o p o u l o s 自19 7 5 年起逐步应用凸分析理论对带有线性库伦( c o u l o m b ) 摩擦的小 变形问题求解变分理论进行了研究。他从单边约束接触问题和库伦摩擦问题入手深入 地对力学中不等式的理论和应用进行了系统研究；并在他的专著和论文中对无摩擦接 触问题和库伦摩擦问题及切向力给定接触问题所对应的变分不等式的形式和解的性 质进行了论述。其中给定切向力的弹性接触问题的变分不等式方程是建立在惩罚因子 基础上的。进入8 0 年代，摩擦接触问题的研究愈来愈受到重视。具有代表性的是o d e n 与他的同事们的研究工作。o d e n 等研究了非经典摩擦弹性接触问题在准静态荷载下 的解，并通过引入惩罚因子建立相应的变分不等方程。o d e n 和p i r e s 用变分原理继续 研究弹性接触问题的非局部、非线性摩擦定律。他们认为当摩擦表面在受力后表面层 大连交通大学t 程硕士学位论文 带有塑性变形时，会使摩擦问题成为弹塑性，必须用一组非线性式子表示这种摩擦规 律【1 9 1 。 接触问题由于存在未知的接触区域，所以是固有的非线性问题，在考虑塑性变形 时将使问题更加复杂。当考虑接触体为非线性材料时，迭代法要从塑性增量理论出发， 利用体系刚度阵的变化体现出非线性的影响，然后结合边界非线性的接触判据，才能 进行迭代求解。由于两种非线性的双重作用，使增量步长受到了限制，即不允许在一 个增量步长内出现两种非线性藕合。陈曼琪提出了拟弹性叠加双重迭代法，这种方法 的实质是模拟弹性叠加原理建立有限元方程，再利用内外循环迭代求出方程的近似 解。这种方法在整个计算过程中不改变接触体刚度阵，仅增加平衡力修正项，所以快 速、简便。弹塑性接触问题的数学规划法，早在7 0 年代m a i e r 在对近海海底管线的 结构分析中就有描述，文中将管道作为弹塑性梁与刚性海底无摩擦接触，用线性互补 法求解【2 0 1 。1 9 8 4 年b y u n g 等又在弹塑性小变形假设基础上，利用增量步描述边值问 题，然后类似于弹性接触问题导出与弹塑性无摩擦接触问题相等价的最小化问题，最 终成为求解标准二次规划问题口1 2 3 1 。 对于空间接触问题而言，把二维领域的研究成果直接向三维推广并非易事。1 9 7 9 年，o k a m o t o 和n a k a z a w a 用增量法求解三维接触问题，然而摩擦条件用得比较粗糙。 c h a u d h a r y 和b a t h e 先用空间c o u l o m b 摩擦定律估计一个接触状态，对假定接触状态 求解一个线性问题，采用迭代方法求解，直至解满足边界条件时为止【凇6 1 。其后， a k l a r b i n g 将三维接触问题的库伦摩擦条件分段线性化，并用这个线性化的关系建立 了接触问题的线性互补方程，求解了法向无脱离的沉陷问题【2 7 3 1 1 。 在国内，许多学者对接触问题数值求解方法进行了非常有价值的研究，并取得了 大量成果。大连理工大学钟万勰院士根据最小势能原理和最小余能原理将参变量变分 原理运用于摩擦接触问题，并采用有限元参数二次规划法进行求解。钟院士等人提出 的接触问题参数二次规划法是研究平面空间弹性、弹塑性接触问题的一个强有力的工 具，具有划时代的意义f 3 2 3 3 】。 1 2 第二章接触理论与有限元方法 2 2 有限单元法简介 2 2 1 有限元的发展 有限元方法是五十年代随着电子计算机的发展而发展起来的一种求解偏微分方 程的数值计算方法。从应用数学的角度考虑，有限元的基本思想可以追溯到c o u r a n t 在1 9 4 3 年的工作。他首先尝试应用在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最 小位能原理相结合，来求解s t v e n a n t 扭转问题。此后，不少应用数学家、物理学家 和工程师分别从不同的角度对有限元法的离散理论、方法及有用进行了研究。有限元 法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是t u r n e r ，c l o u g h 等人于1 9 5 6 年将钢架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并用于飞机结构的分析。他们首 先给出了三角形单元求解平面问题应力问题的正确解答。三角形党员单元的特性矩阵 和结构的求解方程是由弹性理论的方程通过直接刚度法确定的。他们的工作开始了利 用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新阶段。1 9 6 0 年c l o u g h 进一步求解了平面弹 性问题，并第一次提出“有限单元法”的名称，使人们更清楚的认识到有限单元法的 特性和功效。 2 0 世纪7 0 年代以来，有限单元法进一步得到蓬勃发展，其应用范围扩展到所有工 程领域，成为连续介质问题数值解法中最活跃的分支由变分法有限元扩展到加权残 数法与能量平衡法有限元，由弹性力学平面问题扩展列空间问题、板壳问题，由静力 平衡问题扩展到稳定性问题、动力问题和波动问题，由线性问题扩展到非线性习题， 分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，由结构分析扩展 到结构优化乃至子设计自动化，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。 有限单元法的发展借助于两个重要工具：在理论推导方面，采用了矩阵方法；在 实际计算中，采用了电子计算机。有限元、矩阵、计算机是三位一体的。由于有了现 代化的、先进的计算工具，使得有限单元法近年来以惊人的速度骤然崛起。 2 2 2 有限元基本思想 有限单元法的基本思想是里兹法加分片近似。将原结构划分为许多小块( 单元) ， 用这些离散单元的集合体代替原结构，用近似函数表示单元内的真实场变量，从面给 出离散模型的数值解由于是分片近似，可采用较简单的函数作为近似函数，有较好 大连交通大学_ 下程硕+ 学位论文 的灵活性、适应性与通用性当然有限单元法也有其局限性，如对于应力集中、裂缝 体分析与无限域问题等的分析都存在缺陷。为此，人们又提出一些半解析方法如有限 条带法与边界元法等。有限元法的物理实质是：把一个连续体近似地用有限个在节点 处相连接的单元组成的组合体来代替，从而把连续体的分析转化为单元分析加上对这 些单元组合的分析问题。 在结构分析中，从选择基本未知量的角度来看，有限单元法可分为三类：位移法、 力法与混合法。其中位移法易于实现计算自动化( 力法的单元插值函数也难以寻求) ， 在有限单元法中应用范围最广。依据单元刚度矩阵的推导方法可将有限单元法的推理 途径分为直接法、变分法、加权残数法与能量平衡法。 2 2 3 有限单元法分析过程 1 结构离散化 结构离散化就是将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通 过结点连接。结构的离散化是有限单元法分析的第一步。关系到计算精度与计算效率， 是有限单元法的基础步骤，包含以下两个方面的内容：单元类型选择和单元划分。 离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状、单元结点数与结点自由度数等的 内容。离散时网格划分越细，结点越多，计算结果越精确。对边界曲折处、应力变化 大的区域应加密网格，集中载荷作用点、分布载荷突变点以及约束支承点均应布量结 点，同时要兼顾机时、费用与效果。网格加密到一定程度后计算精度的提高就不明显， 对应力应变变化平缓的区域不必要细分网格。单元形态应尽可能接近相应的正多边形 或正多面体。 2 单元分析 位移法分析结构首先要求解的是位移场。要在整个结构建立位移的统一数学表达 式往往是困难的甚至是不可能的。结构离散化成单元的集合体后，对于单个的单元， 可以遵循某些基本准则，用较之以整体为对象时简单得多的方法设定一个简单的函数 为位移的近似函数，称为位移函数。位移函数一般取为多项式形式，有广义坐标法与 插值法两种设定途径，殊途同归。最终都整理为单元结点位移的插值函数。 根据所选定的单元位移模式就可以导出用节点位移表示单元内任一点位移的关 系式，因此它也决定了相应的位移插值函数，其矩阵形式为 1 4 第二章接触理论与有限元方法 l e 。- - n 盼 ( 2 1 ) 式中 o 。为单元内任一点的位移阵列； 6 ) 。为单元的节点位移阵列； n 】称为形 函数矩阵，它的元素是位移的函数。 在选择了单元类型和相应的位移模式后，就可以进行单元特性的分析，它包括下 面三部分内容： 利用几何方程，由表达式( 2 1 ) 导出用节点位移表示应变的关系式 占) = 吲p r ( 2 2 ) 式中 e 是单元内任一点的应变列阵； b 】称为应变矩阵。 利用物理方程，由应变的表达式( 2 2 ) 导出用节点位移表示单元应力的关系式 p = 【d 】吲r = p 】p y ( 2 3 ) 式中 仃) 是单元内任一点的应力矩阵；【d 】适用于材料相关的弹性矩阵；【s 】称为 应力矩阵。 利用虚功原理、变分法或其它方法建立各单元的刚度矩阵，即单元节点力与节点 位移之间的关系。其刚度方程为 忸 8 = k rp 8 ( 2 4 ) 式中 尺) 。单元的节点力矩阵；【k 】。是单元刚度矩阵，它是单元节点位移和单元 节点力之间的转换矩阵。可以导出 k 】= f j 陋】7 【d 】陋】a x a y a z ( 2 5 ) 在以上三项中，导出单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容。 3 计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实 际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单 元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节 点力来代替所有作用在单元上得力。 4 整体分析 整体分析的基础是根据所有相邻单元在公共节点上的位移相同和每个节点上的 节点力和节点载荷保持平衡这两个原则。它包括两方面的内容：一是由各单元的刚度 1 5 大连交通大学t 程硕士学位论文 矩阵集合成整体结构的总刚度矩阵 k 】；二是将作用于各单元的等效节点力集合成总 的载荷矩阵 r 。这两项就组成了整体结构的总刚度矩阵方程，又称为结构平衡方程 组 泳 = k 】p ( 2 6 ) 其中 r i = q i ) + p i 。) ，其中 q i ) 为节点i 上的集中力； p i 。) 为各单元在节点i 处的等效节点载荷的和。 5 约束处理总刚度方程组 引进边界约束条件，修正总刚度方程后，消除总刚度矩阵的奇异性，就可求得节 点位移； 求解未知节点位移； 求解有限元方程式( 2 6 ) 得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合 适的计算方法。 线性代数方程组的解法可以分为两大类【5 4 】，即直接解法和迭代解法。直接解法的 特点是，选定某种形式的直接解法以后，对于一个给定的线性代数方程组，事先可以 按规定的算法步骤计算出它所需要的算术运算操作数，直接给出最后的结果。 迭代解法的特点是，对于一个给定的线性代数方程组，首先假设一个韧始解，然 后按一定的算法公式进行迭代。在每次迭代过程中对解的误差进行检查，并通过增加 迭代次数不断降低解的误差，直至满足解的精度要求，并输出最后的解答。 对于非线性的问题，则要通过一系列的步骤，逐步修正刚度矩阵和载荷列阵，才 能获得解答。 通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是”一分一合”，分是为了就进 行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。 2 3a n s y s 软件介绍 2 3 1a n s y s 系统简介 a n s y s 是融结构、热、流体、电磁和声学于一体的大型通用有限元软件，也已 广泛用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军 工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利以及日常家电斯等一般工 1 6 第二章接触理论与有限元方法 业及科学研究。该软