（计算数学专业论文）抛物型偏微分方程最优控制问题区域分解算法及其先验误差估计.pdf

c o n e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u n l b e r ：51 0 8 0 6 0 1 0 5 0 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y ad o m a i nd e c o m p o s i t i o n a 1 9 0 r i t h ma n dt h e p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t 鹤f o ro p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sg o v e m e d b yp a r a b o l i c e q u a t i o n s d e p a n m e n t ： m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：c o n l p u t a t i o n a lm a m e m a t i c s d i r e c t i o n ：n u m e r i c a ls 0 1 u t i o no fp d e s a d v i s o r ： p r o f d a n p i n gy a n g n a m e ： z h a n g b o m a y ，2 0 1 1 s h a n g h a i 郑重声明： 其先验误差估计 导下进行的研究 华东师范大学学位论文原创性声明 程最优控制问题区域分解算法及 请勾选) 学位期间，在导师的指 明引用的内容外，本论文不包含 其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：嶂日搜身f i 只汐日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 其先验误差估计系本人在华东 请勾选) 学位论文，本论文的研 据相关规定保留和使用此学位论 文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网”送交学位论文的印刷版和 电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学 位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘 要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文幸，于年 月 本人签名3 邕盛 j 。j 1 年5 月丛日 范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过 的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有 效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公 开学位论文，均适用上述授权。 张博硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 王元明教授华东师范大学主席 张向韵副教授华东师范大学 郭学萍副教授华东师范大学 摘要 本文研究如下抛物型偏微分方程的最优控制问题 勰哇r ( 旷圳乞( q ) + i i 圳乙) 妣 m ( 五d d 似口v y ( 五f ) ) = ( 厂+ g “) ( 五f ) ，石q ，f ( o ，r 】， y ( 五d = 0 ，工讹，f 【o ，刀，) ，( 工，o ) = y o ( 曲，工q 其中丁 o ，y d 和厂c ( 0 ，丁；驴( q ) ) ，y 0 y = 硪，“口( o ，r ；r ，) ) ，口= 口，且 存在两个正数口。和口l 满足o 伽 口( 力 o ，y d 锄d ，c ( o ，丁；r ( q ) ) ，如y = 砩( q ) ，“l 2 ( o ，丁；l 2 ( q u ) ) ，口= 口( 力， 觚d 也e r ee x i s t 铆op o s i 舭曲m 1 ) e r s 口。锄d 口i 蛐c h l a to 伽 口( 曲 日1 i nt h e 仃a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，m r c o u p l e d e q u a t i o n si no p t i m a l i t yc o n - d i d o n sb r i n gal a 玛e 孤n o u n to fc o m p u 谢o n 1 1 l e r e f o r e ，w es m d ym ed o m a i nd e c o m p o s i t i o na l g o r i n l m e x t e n dt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o na l g o f i t h m0 fas i n g l ep a f a t 0 h c p a i t i a l 删f 巩n t i a le q u a t i o nt 0c o n 仃o lp r o b l e i i l s ，撒dp r o p o s en l ed o m a i nd e c o m p o s i t i o n 眦e d u r eo f t i l e 叩t i m a lc o n t r 0 1p r o b l e m 队行= 1 ，2 ， ( 譬川州狮) _ ( 口烈聃r 一吣m ) r 扩+ g 磁，) ，v w 脚 y ( x ，o ) = 如( 力，工q p n p n i 一( 孚，纳) + a ( 劬，尸；：_ 1 ) 一( 口b ( 群) ，【锄】) r o 召( 劬) ， 群】) r = ( 瑶一蜴，纵) ，v 劬肿 n ( 五丁) = 0 石q ( 叼+ g 片，一磁) ，o ，w 岛，v 凰c 巩n 臣 i i lt l l ef o u r 吐lp a r to fn l i sp a p e r w ed e r i v ea p r i o r ie r r o re s t i m a t e s ，a i l dg a i nm ec o n - v e 唱e n c eo r d e r ：( f + 炉+ 磅+ 日；) i nt h ef i n a lp a r t ，w eg i v et h ei t e r a t i o nf o rd o m a i nd c c o m p o s i t i o np r o c e d u r c l e t 足b e t l l es t 印0 ft t l ei t e m d o n ，g i v e n l ei i l i 吐a lv a l u e ，m e n ： s t e p l ：b y t l l e f c ，教 笔1c a l c u l a t ef + 1 ) 丝l ； s t e p 2 ：b yt l l e 佗s u l t so ft l l ef i r s ts t e p + 1 ) 丝lc a l c u l a t ef e 舢1 ) o = r 1 ； s t e p 3 ：l e t + ；= 一p ( + g l 凇雏d + 1 = q + w cc 锄f i n d + 1 刚：r 印e a ts t e p s o f o n e t o t l l r e e f i n a l l y w ep v em ec o n v e r g e n c e0 ft h ei t e r 撕 t h ea d v 觚t a g e0 ft l l ea l g 嘶t h 】 i li sn l a tt h ea r c ac 强b ed e c o m p o s e di n t 0s e v e r a ls m a l l s 啦d o m a i l l s ，r e d u c i n g0 p l e r 撕o n 矗m e 觚di m p m v ee 伍c i e n c yh la d d i t i o n ，l ea l g o d m m h e i ei so n ag e n e r a ld o m a i na n di t sd e c o n l p o s i t i o n sa i l ；eg e n e r a l k e y w o r d s ：p a r a b o l i cp a n i a ld i 能r e n t i a le q u a t i o n s ，0 恤m a lc o n 仃0 lp r 曲l e m ，d 0 m a i n d e c o i r 邺s i t i o n 灿g 嘶t l l i n ，蹦矾跏re s t i m a t c s ，c o n v e r g e n c eo r d e r 1 引言 目录 1 2 研究的问题3 2 1 符号说明3 2 1 1基本符号说明 3 2 1 2 有限元空间3 2 2 研究问题及最优性条件4 2 2 1 问题提出4 2 2 2 最优性条件4 3 区域分解格式5 3 1 格式5 3 2 收敛定理7 4 先验误差估计7 4 1 预备引理7 4 2 收敛定理的证明9 5 迭代法及收敛性 6 参考文献 7 致谢 v 1 6 2 0 2 3 1 引言 科学与工程中，许多问题都可以用基于偏微分方程的最优控制问题来描述因 此，最优控制问题成为研究中的非常重要的领域 有限元逼近是一种很有效的求解最优控制问题的方法在【1 1 ，1 2 ，1 3 ，2 8 ，2 9 ， 3 0 】中，系统的介绍了求解偏微分方程和最优控制问题的有限元方法目前已有很 多讨论有限元离散控制问题收敛性的工作( 【1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 】等) 在实际操作中，采用 自适应有限元方法它的优点在于，既能增加有限元离散求解的精度，又能提高运算 的效率通过后验误差指示子，自动在难于逼近真解的地方增加网格点数或提高有 限元基函数的阶数其依据是看前一步求解出的近似解与真解之间的误差 然而，尽管自适应有限元方法已经在工程数值计算中被广泛应用，但在求解最 优控制问题时，面对最优性条件中三个时空耦合的方程所带来的庞大的计算量，往 往显得很乏力随着并行计算的出现，计算规模越来越大与精度要求越来越高之间 的矛盾逐渐开始被解决在诸多方法中，区域分解算法是一类特别适合于并行计算 的数值求解方法通过将求解区域划分为若干个子区域，把复杂的或大规模的计算 化为若干个小规模的计算，小规模计算之间存在独立性，可以同时独立求解，达到并 行计算的目的，大大地缩短了计算时间区域分解方法正在蓬勃发展起来( 相关著作 如【3 ，6 ，2 1 】) 在最优控制问题中，基于抛物型偏微分方程的最优控制问题是很重要的一部 分【1 4 ，1 5 】等文章中，介绍了关于抛物型方程最优控制问题的有限元方法的先验误 差估计【8 】中，分析了抛物型方程最优控制问题的有限元方法的后验误差估计，并 给出了后验误差指示子但应用区域分解方法求解这类问题的文章，我们暂时并未 有所了解 为了得到抛物型方程最优控制问题的区域分解算法，我们首先对单个抛 物型偏微分方程的区域分解算法进行学习和研究目前已有很多相关文献，如 【2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 】本文主要借鉴的是【9 ，l o 】两篇文章 两篇文章研究的问题都是以下初边值问题( 文章【l o 】取右端项，= o ) 设q 是 l 肛中的有界区域，a q 是它的边界，考虑以下初边值问题： 窑- v 巾砌) 舻，瞅( o ，巩 竺= o ，讹( o ，列； n一，一一一、一7 一j 7 “( 五o ) = ，q 其中，系数n = 口( 曲满足o 口0 口( 力口l ，6 = 易( 曲，= 八工，力，及呦= l l o ( 曲是给 定的实值函数 文章【l o 】中，研究区域q 及分解的子区域均为矩形区域，给出的算法为， ( 4 扩，叻+ d ( 扩，功+ ( b ( u 川) ，【y 】) r = o 在给定初值的前提下，一旦有了b ( 扩_ 1 ) ，便可以由上式分别在两个子区域上进行计 算了 文章中得到的收敛结果是：当址等时， m a x i i 矿一u n l 2 ( 固c ( f + 铲5 + f l i 仇口( q ) 出+ 日一圭i i 硎i p ( q ( o 刃) ) 一 j 0 各函数及符合的定义详见【l o 】 以上估计式中，存在一个小缺憾，即存在日一 这项虽然经过数值结果检验，该 项是不存在的，但作者当时并未找到办法证明后来，d 锄p i n g g 在文章【9 】中对 这个问题重新进行了研究，做出了改进没有限定区域为矩形或分解成矩形子区域， 同时证明了日一；项是不存在的并给出了改进的算法( d d p ) ： ( 盈扩，叻+ a ( 扩，叻+ ( 乩尸，”一( 口b ( 扩一1 ) ，【) r 一0 b ( 叻，【u 舻1 】) r = 扩，”，v ，胛 算法的收敛阶是d ( 址+ i 1 2 + 俨5 ) 本文在【9 ，1 0 】两篇文章基础上，将解决单个抛物型偏微分方程的区域分解算 法应用到求解抛物型最优控制问题上，并给出了算法的先验误差估计和误差阶行 文安排为：第二部分，研究问题提出；第三部分，区域分解格式给出；第四部分，先验误 差估计第五部分，迭代算法及收敛性推导 2 2 研究的问题 2 1 符号说明 2 1 1 基本符号说明 设q 和q ，为砰中的有界开集，其对应边界分别为讹和a q u ，满足l i p s c l l i t z 连续我们用w m ( q ) 表示q 上的标准的s 0 b o l e v 空间，其中的范数和半范数分别用 1 1 0 w 咖( q ) 和i i 咿哥( 表示记昭坷( q ) = 胪岬( q ) ：甜k = o j 将驴略( q ) 和 w 扩( q ) 简记为驴( 9 和啄( q ) 我们用f ( o ，r ；胪叮( q ) ) 表示全体从( 0 ，丁) 映射到胪坷( q ) 的口可积的函数组 成的b a n a c h 空间，其中的范数如下定义：m i p ( o 疋忡( 锄= ( rm i 赫出) 类似地， 可以定义日1 ( o ，r ；胪灯( q ) ) 和( o ，丁；胪砑( q ) ) ，细节可参见【1 6 】 文章应用区域分解算法，因此我们将q 分割成若干个无重叠的子区域 q f l 名l ， 满足，q = u 名1 磊设r i = a q f a q ，用r = u 冬l l 表示区域内边界的集合，并假 设r f ，f = 1 j 是分片线性的竹表示r 的外法向量下面我们定义函数的跃度： 【u 】( 力= “姆u o 一眠) + j 姆u o 一册n ) ，v 石r f nd i l ， 当，l r j = 卯； b = 咒r l 。疗r = t 一- ， 当咒n = 一，印 其中，姆v o 一册r t ) 是函数抄沿着外法向量札的内极限 2 1 2 有限元空间 对f = l ，j ，设矸为q f 的一族三角剖分，满足壶f = u 卅1 每个单元至多 有一条边在a q f 上若1 - 和亍矸，那么f 和亍最多有一个共同的顶点或一条整公 共边设o = f o f 1 o ，y d 和，c ( o ，z ；奶，如y = 瑞( q ) ，“x ，口= 口( 力，且存在两个正 数口。和口l 满足o 伽 口( 功 口1 2 2 2 最优性条件 注意到： i li 一( d 如( 口即) ，v ) q = 勖，v v ) q 一 v y 慨，毗 扛l扛l扛l ， ( 口w 札，v ) r j = ( 口助- m 【，】) n 吗= ( 口v y m 【，】) r 扛l f 4 并定义双线性形式a ( ，) ： 地计= 喜j ! ：删砒 地w ) = 口v y v 砒 诘1o - q 因此，我们的模型问题可重述为：( q c p ) 躲哇r ( 护妇，州i 乙) 讥 ( 饥们+ a ( ) ，w ) 一0 跏即，m ) r = 叮+ g h ，w ) ，v w 朋 ) ，( 五0 ) = y o ( 力，z q 我们知道，控制问题( q c p ) 有唯一解，“) ，且，“) 是( q c p ) 的唯一解当且仅 当存在一个对偶状态p 日1 ( 0 ，r ；r ( q ) ) r 、w ，使得，p ，“) 满足下面最优性条件 ( q c p o p d ： ( 劬，忉+ a ( ) ，们一( 口v y 仰，【w 】) r = ( 厂+ g “，w ) ，v w 肿( 2 1 ) y ( 工，o ) = y o ( 力，x q 一( 4 p ，咖+ a ( 留，力一0 v p 竹，【鼋】) r = 一蚴，留) ，v g 脚( 2 2 ) p ( x ，7 ) = 0 ，工q ( 以+ g 。p ，v 一“) ，0 ，“墨v 1 ，kcu( 2 3 ) 从( 2 1 ) 和( 2 2 ) 出发，我们将在下面两章中推导出区域分解算法并做先验误差估计 3 区域分解格式 3 1 格式 对v o 日( 可参见【9 】) ，我们定义如下函数： 妒c丁，=三，二：二三三薹 5 及 似d = 旷1 妒( 寺) ，f 尺1 该区域分解算法的关键一步是定义法向导数的一个逼近( 【9 】) ： n h b ( 们( 力= 一f( 1 - ) 沙 + 铆r ) 妃工n nl ，1s f 歹j 通过分部积分，我们即可看出烈们为法向导数的加权平均，为权函数： v + 研一竹打= 妒蜘+ 仰r ，打= 一认下，帅+ 仲r ，打 在时间方向应用向后欧拉方法进行离散，我们得到了如下逼近框架( q c 尸) 址： 黝 三荟训肾跳固圳嵫胁l ， ( 堕暑呈，) + a 雠，) 一( 口b ( ) 7 ；：。1 ) ，】) r 一( 日b ( 帆) ，【) 7 ；：。】) r = ( 尸+ g 磁，) ， v 胛 ) ( 工，o ) = y o ( 工) ，工q n = 1 ，2 其中，0 = f 0 f 1 = r ，广= 护一，一，f = m a ) 【l g s 广 我们知道，对f = 1 ，控制问题( q c p ) 敝存在唯一解( y 三，以) m 畅， 当且仅当存在存在一个对偶状态礞1 m ，使得( 砭，砟1 ，叱) 脚脚，满 足如下最优性条件：( q c p d 尸丁) 从： ( 翌云芋，) + a ( 瑶，) 一( 口曰( 瑶- 1 ) ，【】) r 一( 口以) ，【瑶- 1 】) r = 扩+ g w ，) ，v m ( 3 1 ) h ( x 。0 ) = v 0 ( 曲，工q p n f m 一1 一( 警，劬) + a ( 劬，群- 1 ) 一( 口b ( 焉) ，】) r 一( 口b ( 劬) ，【尸；：】) r = ( 瑁一蜴，铂) ，v 劬m ( 3 2 ) 6 n ( 五丁) = 0 x q ( 磁+ g + 群，一w ) ，0 磁硒，v 瓦c 巩n 置( 3 3 ) 在( 3 1 ) 式中，l = 1 ，；在( 3 2 ) 式中，n = ，1 3 2 收敛定理 定理3 1 ( 收敛定理) 假设f q c p d p 习问题厅懈( ) ，p ，“) 足够光滑设( 磁，e 一，q ) 是算法( q 卯一d p r 严的解且初值进为，朋，1 1 0 ) 的插值或酽投影，当fs 筹 肘，有以下先验误差估讹 思嚣 i i 矿一w i i 弘( q t ，) + i i ) ，l 一瑶忆( n ) + 矿一群忆鳓) c f ，+ 2 + 刍+ 日 l ( 3 4 ) 定理的证明我们将放在下面一章 4 先验误差估计 在给出定理3 1 的证明之前，我们将在本章的第一节中做些准备工作，给出几 个引理 4 1 预备引理 引理4 1 肘v 缈朋 ，下面不等式成立f ，9 办 ( 以b ( 缈) 口b ( 砂) ) r 2 2 一；口1 月一2 一；i r l l 一；i l 沙乙( n ) ，2sp5 ( 4 1 ) 其中| r i 是r 的长度： 7 证明：对v 工r fnd ，l f ( 1 一物扣州卅毒妻( 椰q 刊怫c 锄( 4 2 ) 证明可参见【9 】中的l e 删5 为了得到定理3 1 的结论，下面我们将引入单个抛物方程的区域分解算法 ( d d p ) 及结论( 9 】) 设q 是肛中的有界区域，弛是它的边界，考虑以下初边值问 引理4 3 假设方程解“足够光滑设f 扩 丝l 是算法嗍序懈扩朋 为脚的 插值或。投影则存在一个s h ，& 。h 无关的常数c 使得当& s 蕞q 一圆时 以t 不等式成立： 毒嚣矿一扩弘( q ) c 缸+ 2 + 日 ( 4 5 ) 4 2 收敛定理的证明 式： 证明：首先，我们引入辅助问题设( m ( “) ，p ( “) ) 是下面方程的解： ( 咖( 跖) ，w ) + a 饥( “) ，w ) 一( 口取蝴( “) ) ，【w 】) r 一( 口联们，帆( “) 】) r = u + g “，们，v w 胛 ( 4 6 ) m ( “) ( 工，0 ) = y o ( 劝，石q 一( ( a f j ( “) ，g ) + a ( 留，p l i l ( “) ) 一( 口b ( p ( “) ) ，【g 】) r 一( 口b ( 9 ) ，p ( “) 】) r = ( ) ，一y d ，留) v g m ( 4 7 ) 胁( “) ( 五r ) = o ，x q 时间方向应用向后欧拉方法进行离散，取，l = l ，2 ，得到如下离散逼近格 ( 塑铲，) + a ( ) ，：( 吐) 一( 口b ( ) i ：- 1 ( 妫，】) r 一。b ( m ) ，【) ) ；：1 ( 训) r = ( 尸l + g 矿，) ，v 脚 ( 4 8 ) 朔 ) ( 五o ) = y o ( 力，工q 一( 坐等巡州+ a ( 铂席b ) ) - ( 口b ) ) ，r 渊诎【p ；：( 纠) r = ( ) i ，l 一蝠，吼) ，v 劬脚( 4 9 ) p ( “) ( 五r ) = o ，x q 9 下记：秒= 簪将( 3 1 ) ，( 3 2 ) 与( 4 8 ) ，( 4 9 ) 分别对应相减，得到： ( a ( 瑁一) i ；：( “) ) ，) + a ( 瑶一) ，；：( “) ，) 一0 b ( 瑁一) i ；：- 1 ( “) ) ，【】) r 一( 口曰( ) ， 瑁一) i ：- 1 ( “) 】) r = ( g ( w 一矿) ，) ， ( 4 1 0 ) 一( a ( 尸；：一硝( h ) ) ，劬) + a ( 劬，尸：一硝- 1 ( “) ) 一( 口b ( 尸；：一西( “) ) ，【吼】) r 一( 口烈锄) ，【尸：一瑞( “) 】) r = ( 瑁一少，劬) ( 4 1 1 ) 在( 4 1 0 ) 中取= 只一磁一1 ( “) ，在( 4 1 1 ) 中取劬= 磁一) 7 ；：( “) ，然后将两式相减得： ( a ( 瑁一) ，；：( h ) ) ，群一磁- 1 ( h ) ) + ( 夙( 尸；：一优( “) ) ，瑶一) i ；：( “) ) 一( 口b ( 瑁一) ，；：一1 ( “) ) ，【p ；：一p ：1 ( “) 】) r + 0 b ( 群一所( h ) ) ， 瑶一) i ；：( “) 】) r 一( 口b ( e 一以- 1 ( h ) ) ，【瑶一) i ；：_ 1 ( “) 】) r + 0 b ( 瑶一) i ；：( “) ，【只一硝( “) 】) r = ( g ( 硼一矿) ，群一磁_ 1 ( “) ) 一( 瑁一) ，i ，瑶一赡( “) ) ( 4 1 2 ) 整理( 4 1 2 ) 式，得到： ( 夙( 瑶一) ，；：( “) ) ，群一1 二西一1 ( m ) ) + ( 夙( 群一p ：( h ) ) ，瑶一) i ；：( “) ) 一0 b ( 瑁一) ) ；：一1 ( “) ) ，【群一p ：- 1 ( “) 】) r + ( n b ( 群一所( “) ) ，【磁一) ，；：( 比) 】) r 一 b ( 尸；：一硝一( 甜) ) ，【瑁一一蜣- 1 ( “) 】) r + 0 b ( 瑶一) i ；：( “) ， 尸；：一西( h ) 】) r = ( 硼一矿，g + ( 尸；：一p ；：- 1 ( m ) ) ) 一( 瑶一_ ) j ；：( “) ，瑁一) i ；：( “) ) 一( ) ) ；：( 比) 一少，瑶一_ ) 】；：( “) ) ( 4 1 3 ) 移项，并在上式两端添( 叼一l l ，i ，w l l ，1 ) 项，得： ( 瑶一赡( “) ，瑁一) i ；：( 比) ) + ( w l l ，l ，w 一矿) + ( 巍( 瑁一) ，；：( “) ) ，尸；：一一讲- 1 ( m ) ) + ( a ( 焉一硝( “) ) ，瑶一蛾( “) ) 一0 b ( 瑁一一) 7 ；：一1 ( “) ) ，【群一一群- 1 ) 】) r + b ( 尸；：一成( “) ) ，【瑶一) i ；：( “) 】) r 一0 b ( 尸；：一露。( “) ) ，【瑁一一) i ；：- 1 ( “) 】) r + ( 口j 5 f ( 瑶一) i ；：( “) ，【尸；：一硝( “) 】) r = ( 嵋一f ，i ，g + ( 群一p ；：- 1 ( “) ) + w 一矿) + ( ) ，i 一) ，；：( “) ，瑶一) 7 ；：( “) ) 1 0 下面我们将分别对( 4 1 4 ) 式两端( 分别记为： 和如) 进行分析： 注意到： ( 夙( 瑁一) 7 ；：( “) ) ，尸；：一一磁- 1 ( “) ) ( 翌 + ( + ( 4 ( 焉一硝( m ) ) ，瑁一) j ；：( “) ) 一掣片前b ) ) l ，i甜 n“l “ 群一磁( “)尸；：一以- 1 ( “) 酣心 ，瑶一) ) ；：( h ) ) 击 ( 瑶一) i ：( “) ，群一露- 1 ( “) ) 一( 瑶一) i ；：( “) ，e 一一所- - ) ) + ( 瑶一) i ；：( “) ，一一所( “) ) 一( 瑕一) i ；：_ 1 ( “) ，e 一露一1 ( “) ) l 及瑶一) i ；：( “) = o 和砰一硝( “) = o ，因此我们有： nn ，- 广= ( 瑶一) i ；：( “) 乞) + w l l ，l 嵫( 。) ) 广 厅= ln = l 记白为函数f 插值函数，则： 如= ( 吲一矿，g + ( 群一露_ 1 ( “) ) + w 一矿) + ( ) ，l 一蜕( 甜) ，瑁一) ，；：( “) ) = ( 曜一矿，g + 群1 + 曜) 一( 嵋一矿，g 矿一1 + 矿) + ( 曜一矿，g + 抄一p ；：- 1 ( “) ) ) + ( ) i ，l 一) i ；：( “) ，瑶一) i ；：( “) ) ( 4 1 4 ) = 一( 嵋一w ，g 。群一1 + 曜) + ( 嵋一矿，g 群一1 + 睇) 一( w 一矿，g 矿一1 + 矿) + ( 磁一l l ，i ，g ( 矿一一蹦- 1 ( “) ) ) + ( ) i ，i 一) j ；：( “) ，瑶一) ，；：( “) ) o + ( 叼一矿，g p ；：一1 + w ) + o + ( w l l ，l ，g 0 ，一一以一1 ( h ) ) ) + ( 少一蚝( “) ，瑶一醒( “) ) = ( 叼一矿，g + ( 群一群- 1 ( “) ) ) + ( 嵋一矿，g ( 群一1 ( 蹦) 一矿一1 ) ) + ( 嵋一矿，g + 仞卜1 一抄一1 ) ，) ) + ( 曜一矿，g + ( 矿一硝一1 ( “) ) ) + ( ) ，l 一) i ；：( 蹦) ，瑶一) 7 ；：似) ) c ( 6 ) f i l 嵋一矿：z ( q ) + l i 少一) i ；： ) o ：) + 矿一p ：一1 似) i | 乙( q ) + 面矿一抄一1 ) 川：z ( q ) + 酬。研一扩：( q ) + i i 霸一) i ；： ) i i ：( q ) 1 1 + 尸；：一西- 1 ( h ) o 乙( n ) l 将( 4 1 4 ) 式两边i 司乘p ，整理化简，并对n 求和，当取6 充分小时，得到： ， ( 瑁一) 瑶( “) | i 乙( q ) + 一矿乙( q ) ) 广 ， c ( 回( 叼一矿乙+ 1 1 ) ，l 一) j ；：( “) 乞( 囝+ i i 矿一一露一1 ( 蹦) 刍( n ) ) + 南i 矿一( 矿- 1 ) ，| 刍( n ) + 6 尸；：一以一1 ( “) 刍( 锄l 广( 4 1 5 ) 接下来，我们的任务是估计：q 一磁一1 ( “) 吣( 回 令矿= 一一磁( “) ，将( 3 2 ) 式与( 4 9 ) 式分别相减，得： 一( 况矿，劬) + a ( 飘，矿一1 ) 一( 口b ( 矿) ，【劬】) r 一( 口b ( 劬) ，【】) r = ( 瑶一) ，l ，劬)v 锄肿一 ( 4 1 6 ) 上式两边同时加上“矿，劬) ，取足2 ( 侗l 知。，( q 矿。+ 1 ) 得： 一( 夙，劬) + a ( 纵，矿一1 ) + “矿，劬) 一0 b ( 矿一1 ) ，【铂】) r 一( 口b ( 劬) ，【矿一1 】) r = 一( 口占( 一矿) ，【劬】) r 一( 口b ( 劬) ，【一一矿】) r + ( 瑶一) ，l ，铂) + “矿，劬) 取锄= s ，l 一一矿= 毛，尸代入上式，得： 广( 两，a 矿) + a ( 矿，矿一矿) + “矿，矿一8 ，1 ) 一 b ( 矿一1 ) ，【矿一一矿】) r 一( 口b ( 矿一矿) ) ，【矿一1 】) r = 一2 ( 口b ( s ，l 一) ，【矿一一矿】) r + ( 瑶一矿，s ，l 一矿) + “矿，矿一矿) 由于： 及 a ( 矿，矿一矿) = 三f a ( 一，矿- 1 ) 一a ( ，矿) + a ( 矿一矿，矿一一矿) l “矿，矿一矿) = 三 “矿一，8 ，l - 1 ) 一“矿，矿) + “矿一矿，8 ，l 一矿) 0 曰( 矿一1 ) ，【矿一矿】) r + ( 口召( 矿一矿) ，【矿一l 】) r 1 2 得到： = ( 口联矿一1 ) ，【矿一1 】) r 一( 口b ( ) ，【矿】) r + ( 口b ( 矿一一矿) ，【矿一矿】) r 广( 况矿，a s ，1 ) + 三 似( 矿一，矿1 ) + 叫，矿一1 ) 一2 ( 口烈矿一1 ) ，【矿一1 】) r ) + ( 广) 2 ( a ( 夙矿，否，矿) + 玩矿，a 矿) 一( 口b ( 夙矿) ，【反矿】) r ) ) = 三似( 矿，矿) + “矿，矿) 一2 。b ( 矿) ，【矿】) r 一兰( 广) 2 ( 口b ( 夙矿) ，唠矿拚+ 眇一瑕，霭矿) 广一戈( 矿，a 矿) 广 上式两边对刀求和，得： 客砍碱袖+ 知一+ 舻1 一_ 2 ( 删1 ) 啪 + ( 产) 2 ( 夙矿，a ) + k ( 夙矿，夙) 一( 口b ( 夙) ，【夙】) r ) = 昙( a ( ，) + 足( ，) 一2 ( 口b ( ) ，【】) r ) + 产卜主。曰( 夙) ，【a ，】) r + ( 矿一璐，a t ，) 一“矿，a ) l t = 一 = 厶 下面我们将逐项分析厶，江3 ，4 6 ： 易知，厶= o 对厶，我们利用引理4 1 ，有： = 三砷( 似秽“酣】) r l 3 产、五盈一i0 西l | l 2 ) 0 诟【夙】i i l ： 日- 1 ( 如九【a 咖r + 口t h - 2 l 恳枷乙。固 对j 1 5 和如，我们采用通常的范数估计，得到： i 如l = i o 产一瑶，玩) i c ，i 旷一瑶乙( q ) + 三i i 夙l l ：( q ) 1 3 i 厶i = l 一“矿一，霭) l c 2 ，1 0 乞( 固+ 丢磊矿。乞( n ) 另一方面，在引理4 2 中，取卢= 2 ，得： ( 一十丢妻( 删_ 1 ) q + 丢础】【跏r a ( 矿一，矿一1 ) + “矿，矿一1 ) 一2 ( 口以矿一1 ) ，【矿一1 】) r 同理，取卢= ；，得： ( 夙矿，酣) + 器日一1 ( 口【秽】，【a 矿】) rs 施矿，夙矿) + “a ，秽) 一( 口b ( a s 七) ，【巍】) r 至此，当；产口1 日- 2 ；时，我们就得到了： ( 矿，矿一1 ) 产 c 2 s 七一1i l ：( q ) + c li b 产一磁乙( q ) l t = j 由贝尔曼不等式司得： 黔群一删i 乙( q ) 娲荟产i 旷一q ) 注意到：i 旷一磺忆( q ) i 旷叫( “) i i l 2 ( 囝+ 瑶珐( “) 忆( n ) ，下面只需估计：| i 磺嘲( “) ( 蛳 令矿= 增一) i ；：( “) ，将( 3 1 ) 式与( 4 8 ) 式分别相减，得： ( a ，7 ，l ，) + a ( 矿，) 一b ( 矿一1 ) ，【w 】) 一( 口b ( 协) ，【矿一1 】) r = ( g ( w l l ，1 ) ，) ，v 脚一 ( 4 1 7 ) 在( 4 1 7 ) 式中，取= 矿一矿一1 = a 矿严，并采用类似处理( 4 1 6 ) 式的方法，容易推 出： ( a 矿，a 矿) f ，l + 昙 ( a ( 矿，矿) + “矿，7 ，1 ) 一2 。b ( 矿) ，【矿】) r ) + ( ，) 2 ( a ( 夙矿，西矿) + k ( 夙矿，夙矿) 一 烈夙矿) ， 夙矿】) r ) ) = 三 a ( 矿一，矿_ 1 ) + 戈( 矿，矿- 1 ) 一2 ( 口b ( 矿- 1 ) ，【，7 ，l - 1 】) r 1 4 + ( g ( 磁一矿) + ，霭矿) ，一兰( ，) 2 ( 口b ( ，7 ，l 1 ) 【矿一1 】) r 上式两端关于甩求和，得： ( 夙矿，夙矿) + 吉 似( 矿，矿) + 戈( 矿，矿) 一2 ( 口b ( 矿) ，【矿】) r ) 七= l 一 + ( 产) 2 ( a ( 夙矿，反矿) + 戈( a 矿，夙矿) 一o b ( 夙矿) ，【夙矿】) r ) ) 七= l = 去似( 矿，矿) + “矿，矿) 一2 0 b ( 矿) ，【矿】) r ) + 产 ( g ( 磷一矿) + 灯严，夙矿) 一吾产o b ( 夙矿) ，【a 矿】) r l 再次利用引理4 1 和引理4 2 对上式两端逐项分析，易得： 所以， 懋雾瑶一) i ：( “) 嵫( q ) q 枷磷一矿嵫( n ) l ( 4 1 8 ) 七= l n n 船群一硝( “) 嵫( n ) c 5 f 枷磷一矿嵫( n ) + ，i 旷一) ，：( “) l l l 2 ) 量= l 七= l 将以上分析代入( 4 1 5 ) 式，我们得到： 船暇一矿嵫q 们 黔 c ( 6 ) ( 嵋一l l ，l 玉( n ) + 1 1 ) ，l 一醒o ) 乙( 嘞+ 矿一p ：一1 似) 乙( q ) ) + 南矿一( 矿_ 1 ) ，i l ：( q ) l 注意到，( 4 1 8 ) 式和( 4 1 9 ) 式分别等价于以下两个式子： 及 船霸一) ) ；：( 比) 国c 6 船矿一w i l l 2 ( 啦) 思甄尸；：一p ：( “) c ( o 丑驴( n ) ) c 7 恶嚣川矿一叼l 2 ( n 们+ i i ) i ，l 一_ ) 7 ；：( “) 口( 囝) 1 5 ( 4 1 9 ) 另一方面，我们知道： i 矿一瑁忆( q ) 1 1 ) ，l 一) 7 ；：( 甜) 忆( 卿+ i i 瑶一) 7 ；：( “) 忆( q ) 矿一p ；：忆( n ) 矿一p ；：( 比) 忆( n ) + l l 群一硝( “) ( n ) 同时，由于我们采用的是分片线性有限元，有： f 一白l 2 ( q ) i 1 2 a i 肛( n ) 最终，我们利用引理4 3 ，当垃罢时，得到： 懋姿 l l l l ，l 一磁她( q u ) + l 旷一瑶| l l 2 ( q ) + 0 矿一群( 妨 c 缸+ 炉+ | l 乞+ 日；l 5 迭代法及收敛性 对区域分解算法中的三个时空耦合的方程( 3 1 ) ，( 3 2 ) 及( 3 3 ) ，我们采用如下迭 代算法计算：设疗= 1 ，2 ，。 py 雄一1 ( 二皇铲，慨) + a ( + l ，耽) 一( 口b ( 磙：1 ) ，【】) r 一( 口召( ) ，【瞄l 】) r = 旷+ g ，w ) ，v 肿 ( 5 1 ) 蚝( 工，0 ) = ) ，o ( 石) ，x q 矽 一f m 一1 一( 尘生产，吼) + a ( 劬，群暑1 ) 一( 口召( e 灯1 ) ，【吼】) r 一( 口b ( 劬) ，【尸；：灯l 】) r = ( 魄+ l 一嵋，劬) ，v 劬m ( 5 2 ) n ( z ，z ) = 0 ，工q 曜 + = w 一p ( + g + 群若1 ) + t = q + ； 其中，七为迭代步数，p 为常数，p o ，q 为从巩到闭凸集如的口投影算子 1 6 ( 5 3 ) ( 5 4 ) 当给定迭代初值后在，运算可按下面的步骤进行： 第一步：将f ) 丝。代入( 5 1 ) 中，计算f + 。毖1 第二步：将第一步计算得到的 + l 毖l 代入( 5 2 ) 中，计算 群n l l ：圳- l 第三步：将第二步得到的 露暑l l 代入( 5 3 ) 和( 5 4 ) 中，计算+ 1 第四步：重复步骤一至三步 最后，我们讨论一下以上迭代算法的收敛性： 定理5 1 ( 迭代算法收敛定理) 送代算法序9 解y 缸，一，七，收敛到( q c p o p r 严的 精确解( p ，p ，扩) 即存在常数o 6 l 及e ，使得? f 1 1 一矿嵫( n u ) + 壤一p 嵫+ 群j p 嵫( q ) 广 开= l s e 矿一扩嵫尸 ( 5 5 ) 证明。 由扩= 一q g 。严1 及q 的意义，可记： 扩= q ( 扩一p ( 扩+ g p 叫) ) = 扩一p ( 扩+ q ( g p 一1 ) ) 我们知道，投影算子q 为非扩张算子，则： nn w 川一扩u ) 广= i i q ( 一p ( + g p ；：如) 一q ( 扩一p ( 扩+ g + p 一1 ) ) 玉u ) 广 i i ( 一p ( + g 。群加) 一( u 厅一p ( 扩+ g + p 一1 ) ) i i 乙u ) f ，l = l l ( 1 一p ) ( 一矿) 一j d g ( j p ；：尚一p 一1 ) 嵫广 n = 1 = ( 1 一p ) 2 一扩嵫q u ) 广 1 7 舻l i g ( 嗽。一p 一1 ) u ) 广 n = l 一取l - p ) ( g ( 一扩) ，尸；：暑l 一尸，l 一1 ) 广 ( 5 6 ) 下面我们逐项分析( 5 6 ) 式右端项： 由( 3 1 ) 式，( 3 2 ) 式，( 5 1 ) 式，和( 5 2 ) 式得： ( a ( + l p ) ，)