（课程与教学论专业论文）弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究——在“情境——问题”教学模式中应用的探索.pdf

摘要 教育要面向世界、面向未来。不同的社会，教育承载着不同的内容。进入新 世纪，新一轮课程改革承载着新的理念在我国基础教育领域轰轰烈烈地展开。顺 应新一轮课程改革的理念，中小学数学“情境问题”教学模式作为一种以创 新为基本价值取向的教学模式在我国西南地区被广泛地实践着，并取得了良好的 收效。与此同时，荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔的数学教育思想也再次在 我国基础教育领域得到了广泛的关注和体现，成为了许多数学教育研究者注目的 焦点之一。 然而对诸多文献的学习和对实践的观察与思考却让我们发现：弗赖登塔尔的 数学教育思想在理论层面上具有较强的生命力，但在实际应用中却困难重重。为 此本文以“情境问题”教学试验为载体，对弗赖登塔尔数学教育思想应用 于实际教学展开研究。 在论文中，首先，对弗赖登塔尔的“数学现实”、“数学化”、“再创造”、“反 思”等数学教育思想和“情境问题”教学进行综述。其次，在理论上探讨了 “数学现实”思想如何应用于情境设置；“数学化”思想如何应用于问题提出、 问题解决；“再创造”和“反思”思想如何应用于整个“情境问题”教学。 再次，在具体的教学案例中对此进行了实践层面的分析和研究。最后，通过论证 得出，将弗赖登塔尔数学教育思想应用于中小学数学“情境问题”教学在 一定程度上是可行且必须的。 关键词：数学现实；数学化；再创造；反思；“情境问题”教学 a b s t r a c t e d u c a t i o nm u s tf a c e st ot h ew o r l da n dt h ef u t u r e i nd i f f e r e n ts o c i e t y ，t h e e d u c a t i o nl o a d sd i f f e r e n tc o n t e n t s i nt h en e wc e n t u r y ，t h en e wc o l r s er e f o r mw h i c h l o a d st h ec r e a t i v ep r i n c i p l ea s t o u n d i n g l yl a u n c h e da to u rf o u n d a t i o n a le d u c a t i o n a c c l i m a t e dt h ep r i n c i p l eo fn e wc o u r s er e f o r m ，t h et e a c h i n gm o d eo fm a t h e m a t i c a l s i t u a t i o n sa n dp o s i n gp r o b l e m si nh i 【曲s c h o o la n dp r i m a r ys c h o o la sak i n do f t e a c h i n gm o d ew h i c ht a k e si n n o v a t i o n a si t sb a s i c ，i sw i d e l yp r a c t i c e di nt h e s o u t h w e s to fc h i n a ，a n do b t a i n e dg o o dr e s u l t s a tt h es a m et i m e ，h o l l a n d m a t h e m a t i c i a na n dm a t h e m a t i c se d u c a t o rh a n s f r e u d e n t h a l sm a t h e m a t i c a l e d u c a t i o nt h o u g h ti sa l s og e tw i l d l yc o n c e r na n da g r e e m e n ti no u rf o u n d a t i o n a l e d u c a t i o n ，a n db e c a m eo n eo ft h ef o c u s e st h a tm a n ym a t h e m a t i c a le d u c a t i o n a l r e s e a r c h e rc o n c e r n e d h o w e v e r , t h es t u d i e so fm a n yd o c u m e n ta n dt h eo b s e r v a t i o n sa n dt h i n k i n go f t h ep r a c t i c el e tu sd i s c o v e r e d ：h a n s f r e u d e n t h a l sm a t h e m a t i c a le d u c a t i o nt h o u g h t h a v et h es t r o n g e rv i m l i t yo nt h et h e o r e t i c a ll e v e l ，b u tt h e r ea r em a n yd i f f i c u l t i e si n a c t u a lp r a c t i c e f o rt h i s ，t h i st h e s i st a k e ss i t u a t i o n s p r o b l e m st e a c h i n ge x p e r i m e n ta s i t sc a r r i e r ，a n dd e p e n d so nt h i st ol a u n c har e s e a r c ho nt h ea p p l i c a t i o nt h a t h a n s f r e u d e n t h a l sm a t h e m a t i c a le d u c a t i o nt h o u g h tu s e di nt h ea c t u a lt e a c h i n g i nt h e t h e s i s ，f i r s t ，i t m a d eas u m m a r yo f r e a l i s t i cm a t h e m a t i c s m a t h e r n a t i z a t i o n r e i n v e n t i o n r e f l e c t i v et h i n k i n g t h o u g h t sw h i c ha r eb e l o n gt o h a n s 。f r e u d e n t h a la n dg i v eao v e r v i e wo f t h es i t u a t i o n s p r o b l e m st e a c h i n g s e c o n d ， i te x p l o r e dh o wt oa p p l i e dt h e r e a l i s t i cm a t h e m a t i c st h o u g h t i nt h es i t u a t i o n s m a k i n g ；h o wt oa p p l i e d “m a t h e m a t i z a t i o nt h o u g h t i nt h ep r o b l e m sm a k i n ga n d s o l v i n g ；a n dh o w t ou s e d r e i n v e n t i o na n dr e f l e c t i v et h i n k i n gt h o u g h t ”i nt h ew h o l e s i t u a t i o n s p r o b l e m st e a c h i n g t h i r d ，i tm a d et h ea n a l y s i sa n dr e s e a r c h e so f t h i si nt h e c o n c r e t et e a c h i n gc a s eo nt h ep r a c t i c el e v e l f i n a l l y ，t h r o u g ht h ea r g u m e n t ，i to b t a i n e d ac o n c l u s i o nt h a tu s e dh a n s f r e u d e n t h a l sm a t h e m a t i c a le d u c a t i o nt h o u g h ti nt h e s i t u a t i o n s - p r o b l e m st e a c h i n gi sf e a s i b l ea n dm u s to ns o m ee x t e n t k e yw o r d s ：r e a l i s t i cm a t h e m a t i c s ；m a t h e m a t i z a t i o n ；r e i n v e n t i o n ； r e f l e c f i v et h i n k i n g ；s i t u a t i o n s - p r o b l e m st e a c h i n g 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行 的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 学位论文作者签名：旁写花 2o o 年r 月彳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：旁雪花 b o 年s 只8b 指导教师签名：姒 7 易年s 月 日 驰敖 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 在“情境问题”教学模式中应用的探索 o 、引言 本文的写作主要基于以下两个方面的考虑： 其，教育服务于社会的发展，在不同的社会，教育承载着不同的内容，完成不同 的教育目标，与之相适应的应有不同的教育、教学理念和形式。工业经济时代，学校需 要向社会培养大批量的“标准件”人才，学习的目的是为了掌握丰富的科学、生活等基 础知识，主要强调学习的结果；现代信息社会，科学技术突飞猛进，“把一切知识教给 切人”的教育理念日益更新，现代教育提倡在促进人个性全面和谐发展并推动社会发 展的价值取向下，把获取知识的方法教给学生，让自主学习的新型理念深入人心。为此 培养具有较强学习能力( 学会学习) ，创新能力和实践能力的新型人才成为了当前教育 的核心和教育改革的根本任务之一。 数学教育作为教育的一个子系统，也面对着同样的机遇和挑战。进入新世纪，我国 中小学数学教育改革虽已取得了长足进展，但学校数学教育尤其是数学课堂教学仍存在 一些问题并未得到根本解决。据2 0 0 5 年9 月笔者和同学们合作完成的云南省基础教育 情况调查结果( 调查问卷及结果见附录一至四) 显示，当前我省基础教育一线数学教学还 存在以下问题： ( 1 ) 、在学生数学学习方面，存在的问题是：学习的积极性和主动性较低，学习兴 趣不高，对数学怀有排斥或惧怕心理的学生不在少数。在被调查的3 0 0 名学生中，虽有 超过7 0 的学生认为数学是其它学科的基础，数学可以培养一个人的思维品质和意志品 质，但初中和高中却分别有4 4 2 和2 8 7 的学生表示不喜欢数学。学习习惯和学习 方法存在不足。虽然大多数学生表示有课前预习、课后复习的习惯，但能积极思考的学 生只占极少数( 初中占6 ，高中占1 9 ) ，且绝大多数学生习惯于遇到问题直接向老 师或同学请教，对老师讲授的内容或课本内容很少有自己的想法。调查中初中学生只有 近1 0 8 ，高中学生只有近2 1 3 的学生表示碰到无法理解的知识或上课未听懂的知识 会自己思考弄清楚，而对于数学难题1 6 9 初中学生和1 6 1 的高中学生表示会自己思 考得到解答。对于学习方法，在调查中不论是初中还是高中都有超过8 0 的学生认为自 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 己的学习方法一般或不好，只有近7 的学生认为自己的学习方法很好。对于自己学好 数学的毅力也有近6 5 的学生认为一般。 ( 2 ) 、在数学课堂教学方面，存在的问题是：课堂气氛沉闷，课堂教学效果不太理 想。调查中分别有5 7 8 的初中学生和6 3 2 的高中学生表示对自己的数学学习效果不 满意，有2 0 的教师表示对自己的课堂教学不满意。学生差距较大，对教学内容的要 求差异很大，这给课堂教学带来较大的难度，也成为教师最为困惑的难题。对此调查中 我们发现有的学生建议上课时老师多讲，有些问题还应“多重复讲几遍”，有的则希望 老师在课堂上“多留些时间给学生自由思考”，还有的希望老师将课堂时间多用于讲授 比较具有难度和深度的内容和题目。 通过分析，我们认为存在上述问题的原因在于：一、受应试教育的影响，使得长期 以来，相对于数学的探究、创造和应用而言，我们的数学课堂教学更多重视理性知识的 传授，概念、运算、推理能力的训练和提高，基本知识和基本技能的传递、识记和“机 械的模仿”，强调教师对教学的控制，注重知识和结论的准确、清楚讲解和学生的被动 接受学习，忽视了作为学习主体的学生的兴趣与主动性，使数学课堂教学中教师太过主 动，学生太过被动。而知识的学习却尤如吃饭，是没有谁能教会给谁的。要真正掌握知 识，将知识变成自己的能力和财富，只能靠学生自己，教师和书本的作用只是将学生领 到一桌丰盛的宴席旁，告诉学生这个菜如何好吃，如何有营养，如何吃方便易行，但吃 与不吃最终还在于学生自己。二、课程内容脱离实际，学生感受不到数学有趣、有用。 这样致使不少学生感到数学枯燥无味，神秘难懂，把数学学习当作一种负担，一看到数 学就头痛。此外，还由于这种过于被动的教学在很大程度上阻碍了学生创新能力和实践 能力的培养，只为社会输送了大批“标准考生”，而社会实际需要的却往往是会学习的 “学生”。为此，在新时期优化滞后的数学课堂教学，帮助学生改变原有被动接受学习 的教学改革势在必行。中小学数学“情境问题”教学模式作为一种新型的教学模式 就是在此迈出了新的一步，并在实践中取得了很好的成效，被广泛认为是一种具有较强 生命力的教学模式。 其二，我国新出版的数学课程标准，在基本理念部分明确指出： ( 1 ) 义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育 面向全体学生，实现：人人学有价值的数学； 人人都能获得必需的数学： 不同的人在数学上得到不同的发展。“”1 2 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 ( 2 ) 学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有 利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现方 式采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需要。有效的数学学习活动不能单纯地依 赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生 所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生 动活泼的、主动的和富有个性的过程。啪” ( 3 ) 学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，数学课程还应倡导 自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学 生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”2 ( 4 ) 注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。” 这些理念在很大程度上与荷兰数学教育家弗赖登塔尔的数学教育思想遥相呼应，这 就预示着对广大数学教师而言，弗赖登塔尔的数学教育思想有着重要的价值。然而对诸 多文献的分析和对实践的观察与思考却让我们发现：弗赖登塔尔的思想在理论层面上具 有较强的生命力，但在实际应用中却困难重重。为此本文拟在对弗赖登塔尔思想进行阐 述的基础上，以“情境问题”教学为载体，采用文献分析法、理论探讨法、案例分 析法等方法，对弗赖登塔尔数学教育思想在中小学数学“情境问题”教学模式中 的应用，进行理论和实践两个层面的初步探讨和分析，以期为弗赖登塔尔思想的学习和 研究提供一片新的视角，为“情境问题”教学的更进一步完善提供一些思考，同时 也为广大中小学数学教师提供一些参考和借鉴。 1 、弗赖登塔尔数学教育思想概述 1 1 弗赖登塔尔评述 汉斯弗赖登塔尔( h a n s - - f r e u d e n t h a l ，1 9 0 5 1 9 9 0 年) 是荷兰著名数学家、数学教育 家，是2 0 世纪最伟大、最具影响的国际数学教育权威。作为一名数学家，他的主要研 究领域是拓扑学和李代数，同时也涉及其他数学分支及哲学和科学史领域。早在2 0 世 纪三、四十年代，他就以拓扑学和李代数方面的卓越成就而为世人所知。作为一名数学 教育家，他非常关注教育问题，很早就把学习和教学作为自己思考和研究的对象，并简 单地解释说：“我一生都是做教师，之所以从很早就开始思考教育方面的问题，是为了 把教师这一行做好”。【4 】p 9 6 在随后长期的数学教育研究实践中，他逐步形成了适应儿童 3 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 心理发展，符合教育规律，经得起实践检验，并具有自己独特风格的数学教育思想体系。 他的这一体系，不仅在很大程度上改变了荷兰数学教育的面貌，也通过世界范围内的相 互交流，极大地推动了国际数学教育研究的发展，尤其是他的“数学化”和“再创造” 思想对各国中小学数学教育的改革产生了巨大的推动力。作为具有国际盛名的数学教育 家，他从1 9 5 4 年起担任荷兰数学教育委员会主席，1 9 6 7 年又担任国际数学教育委员会 主席，并主持召开了第一届国际数学教育大会( i c m e ) ，创办了世界性数学教育杂志数 学教育研究( e d u c a t i o n a ls t u d i e si nm a t h e m a t i c s ) ) ) 。鉴于他在数学教育方面的巨大成 就和贡献，人们把他和伟大的几何学家f 克莱因( f k l e i n ，1 8 4 9 1 9 2 5 年) 相提并论， “认为对于数学教育，在2 0 世纪上半叶是f 克莱因做出了不朽的功绩，而在下半叶则 是弗赖登塔尔作出了巨大的贡献。”f 4 1 p 3 3 2 ，_ 弗赖登塔尔关于数学教育的论述，主要收录在他的三本巨著中： 1 、作为教育任务的数学( m a t h e m a t i c s a sa l le d u c a t i o nt a s k d r e i d e l p u b l i s h l i n gc o m p a n y ，1 9 7 3 ) ，一 2 、除草与播种一数学教育学的序言f ( ( w e e d i n g a n d s o w i n g - - - p r e f a c e t oa s c i e n c eo fm a t h e m a t i c a le d u c a t i o n d r e i d e lp u b l i s h l i n g c o m p a n y , 1 9 7 8 ) 3 、数学结构的数学现象学( ( ( d i d a c t i c a l p h e n o m e n o l o g y o fm a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e s ) ) d r e i d e lp u b l i s h l i n g c o m p a n y , 1 9 8 3 ) 在这些著作中，弗赖登塔尔详细论证了为什么必须对传统数学教育进行改革，系统 阐述了其数学教育思想的理论体系，具体探讨了如何按其观点设计数学课程，编写数学 教材以及教学方法等方面的问题。以下将对其数学教育思想作较为详尽的阐述。 1 2 弗赖登塔尔的数学教育思想 弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学本质和今日数学特征的特殊认识，以及 对数学教育的用处、目的和任务的特殊认识而产生的。 1 2 1 弗赖登塔尔数学教育思想的基础 ( 1 ) 对数学本质的看法 弗赖登塔尔认为：“数学是系统化了的常识”【1 l p 2 而常识并不等于数学，“常识要成 为数学，必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则( 如加法交换律) 。这些法则在高 一层次又成为常识，再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常 识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷。这样，数学的发展过程就显出层次性，构成许 多等级，同时也形成诸如抽象、严密、系统等特性。” 1 p 2 即数学是现实世界的抽象反 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 映和人类经验的总结。 “数学是一种相当特殊的活动”，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭记在 脑子里的东西”。他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好 的状态”，也即“数学的形式”是数学家将数学( 活动) 内容经过自己的组织( 活动) 而形成的：但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为 他们需要应用数学。这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容， 从而学会相应的( 应用数学的) 活动。 ( 2 ) 对今日数学特征的看法 数学教育研究不能离开它的对象一一数学的特有规律。为此，弗赖登塔尔在其巨著 作为教育任务的数学中，对今日数学的特征作了详细的论述。他从数学发展的历史 出发，深入研究了数学的悠久历史以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点， 是否应该以现代实数理论的诞生和约当o o r d a n ) 置换群的产生作为标志；或者是以著名 的布尔巴基( b o u r b a k i ) 理论的出现，作为一个新时期的开端。基于这一分析，弗赖登塔 尔从现代数学的变化：方式的改变变量，函数，句法结构的前后不连贯，日常用语 满足不了数学的精巧要求，形式化的工作，外延性抽象，公理化的抽象，思辩数学与算 法数学，组织与数学化等方面逐步对今日数学的发展进行了深入的分析，并对几何直观 在整个数学中的渗透以及数学应用的广泛性进行了讨论。 我国著名学者张奠宙教授也对此问题进行了讨论，并在其数学教育学中，将弗 赖登塔尔对现代数学的看法归结为以下几个方面：【6 】p 1 8 7 d 9 4 数学表示的再创造与形式化活动。数学变化更多的是形式的变化，而非实质内 容的变化。 数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统 的抽象化，承认隐含形式的定义。 传统的数学领域之间界限日趋消失，一贯奉为严密性典范的几何，表面上看来似 乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用。 正如康德( k a n t ) 所说：缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的。 相对于传统数学中对算法数学的强调，现代数学更重视概念数学，或者说是思辨 数学。 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 综上，不难看出弗赖登塔尔对现代数学的认识，主要是从数学方式描述的形式化、 传统数学分支的综合化、数学组织的结构化、现代数学应用的多元化等方面来分析现代 数学的特性。 ( 3 ) 对数学教育的用处和目的的看法 学习数学究竟为了什么? 进行数学教育，最终要达到什么效果? 是人们议论最多， 也常常困扰学生、家长、和教师的问题。对此，弗赖登塔尔从数学教育的角度，通过对通 常提到的数学教育的用处和目的进行了仔细的分析和探讨后指出：“数学教育最大的问 题就是用处和目的之间的分歧，任何一个其它的教育领域，都不像数学教育那样，在无 用处的目的与无目的的用处之间有着如此大的距离。”o i l s 3 他指出：“数学教育的目的很难确切地表达”，1 1 1 p 6 5 一方面，因为数学应用广泛，又 有高度的灵活性，且每个人将来究竟需要用到哪些数学难以预测，因此数学教学必须从 数学内在的体系出发，通过整个数学教育让学生掌握数学的整个结构，但又不能忽视社 会和学生的实际需要，一味地为培养数学家而进行数学教育。对此他强调说：“除了未 来的数学家，还有许多人必须学数学，其中只有少数人会用到比较复杂的数学，大多数 人只用一些简单的数学，而即使是那些从不应用数学的人，也应该学习数学，因为数学 已经成为了人类生存所不可缺少的一个方面。”【1 】p 6 7 另一方面，由于从过去、现在一直到将来，教数学的教室都不可能浮在半空中，学 数学的学生也必然属于社会，【1 】l ”1 因此认真考虑数学在社会中的角色，应该成为数学教 育的首要目的。即数学教育必须让学生学会数学在解决实际问题中的作用，会运用数学 于具体现实。 再者，他指出通常人们认为数学是“智力的磨刀石”，对所有的人而言，数学都是 必不可少的思维训练，甚至强调数学可以训练人们的逻辑思维，把数学作为测量学生智 力和可能的一种方法，但究竟什么是逻辑思维? 是否存在思维训练? 数学又是否是其中 一种? 甚至是最好的一种? 以及数学学好了就等于一切都有可能学好了吗? 这些都是 很难回答的问题。 最后，他指出：人们也常常因数学可以解决许多问题，而对数学产生极高的信念， 以为数学可以给人们提供解决各种问题的手段、背景、以及思维方法，这就为综合地分 析各种因素，顺利地解决各种问题创造了条件，从而形成了能力。但数学究竟能培养哪 些能力? 数学与这些能力培养之间有多么密切的联系等也都是难以确切回答的问题。 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 对于数学教育的任务弗赖登塔尔认为每个人都有自己的“数学现实”，每个人在数 学上能达到的层次因人而异，这决定于先天与后天的条件，但是，一个为多数人都能达 到的层次是必然存在的。因此数学教育的任务就在于帮助多数人去达到这个层次，并努 力不断提高这个层次和指出达到这个层次的途径。 弗赖登塔尔在以上认识的基础上，提出了他对数学教育的看法。在他看来，数学教育 具有以下五种特征： 7 1 9 1 “ 情境问题是教学的平台 数学化是数学教育的目标 学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分 “互动”是主要的学习方式 学科交织是数学教育内容的呈现方式一 这些特征又可概括为数学现实，数学化，再创造，具体如下： 1 2 2 弗赖登塔尔的数学教育思想 ( 1 ) 数学现实( r e a i s t i cm a t h e m a t i c s ) 数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实( s t a r tf r o m ，s t a yi na n da p p l yt o r e a l i t y ) 。这是弗赖登塔尔“数学现实”思想的基本出发点。【4 】p 3 3 2 他从巴比伦的数学，到埃及的数学，再到希腊的数学，逐一作了分析和思考后发现， 在巴比伦时代，数学是平民、商人、工匠、测量员以及天文学家的数学；在希腊，占星 家和航海人员等都需要数学，虽然那是极为贫乏的数学应用。同时得出：“如果没有应 用的推动，数学会变得多么贫乏! 数学起源于实用，它在今天比任何时候都更有用! 但 其实，这样说还不够，我们应该说：倘若无用数学就不存在了。”【l 】p 1 6 的论断。 在以上认识的基础上，弗赖登塔尔形成了他关于“现实数学”的数学观和数学教育 观。 数学观现实的数学 对此，他指出，方面根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算 与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成，数学不是符号的游戏，而是现实世界中 人类经验的总结。数学来源于现实，因而也必须扎根于现实，并且应用于现实。数学不 能脱离那些丰富多彩而又错综复杂的背景材料，否则就将成为“无源之水，无本之木”。 另一方面，数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系， 不断地充实和丰富着数学的内容。与此同时，由于数学本身内在的联系，形成了自身独 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。 因此，数学是现实的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。它的过去、现在 和将来都属于现实世界，属于社会。 数学教育观现实数学教育 在作为教育任务的数学中，弗赖登塔尔曾说：“数学的整体结构应该存在于现 实之中。只有密切联系实际的数学才能充满着各种关系，学生才能将所学的数学与现实 结合，并且能够应用。”【1 】p 1 2 2 并指出：“对非数学家而言，与亲生经历的现实的联 系将是至关重要的”。 1 r r 2 他主张数学应该属于所有的人，为此必须将数学教给所有人。 但人与人之间的差别可能很大，不同的人需要不同的数学，也就联系着不同的现实世界。 即不同的人有不同的“数学现实”，其中包括每个人接触到的客观世界中的数学规律以 及有关这些规律的数学知识结构。 根据英国考克罗夫特( w h c o c k c r o f t ) 报告，他们在进行了广泛的调查，分析了 一些比较实际的资料后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平：【8 l p 2 9 第一种是日常生活的需要。从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都要涉及各种 数字、图表、测量问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的。 第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要。从工程技术人员、农业技师到各行 业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作的人，从各个不同方 向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同的部分。 第三种是为进一步学习并从事高水平研究的需要。这部分包括的范围很大，差别也 很大。未来的科学家、企业家、管理家等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知 识，它们也许有共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容。 这也就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。即“每个人都有自己生活、工 作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规则和 有关的数学知识结构”，【6 】p 2 0 1 其中既含有客观世界的现实情况，也包含个人用自己的数 学水平观察这些事物所获得的认识。从这个意义上说，这里所谓的“现实”不一定限于 具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说， 每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实世界可能只限 于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较 复杂的几何，至于一个数学专家的现实世界可能就要包含希尔伯特( h i l b c r t ) 空间的算 子，拓扑学以及纤维丛等等。 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 因此，数学教学必须从学生的数学现实开始，现实在不断地扩展，教师的任务就在 于，确定各类学生在不同阶段所必须达到的“数学现实”，并随着学生们所接触的客观 世界越来越广泛，了解并掌握学生所实际拥有的“数学现实”，从而据此采取相应的方 法，予以丰富，予以扩展，以逐步提高学生所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。 数学教育本身也应该是以这些不同的数学现实为基础构建课程体系，并通过这些课程不 断地扩展每个人的“数学现实”，使每个人在数学上都获得最大的发展。 最后，在“数学现实”思想里，弗赖登塔尔还主张把客观现实材料和数学知识溶为 一体，使数学教学过程经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力的培养。 以下在一个具体的例子中说明“数学现实”思想在数学教学中的应用。如：小学学加法， 可以有很多不同的实际途径引入，举例来说，可以通过公共汽车经过各个停靠站时上下 车的人数来讲，假定汽车里原来有5 个人，在第一个停靠站上来了3 个人，在第二个停 靠站又上来了2 个人等等，这时汽车里人数就该是5 + 3 个，5 + 3 + 2 个，这样小学生 就可以自己形成加法的概念，并找出加法运算的规律。在这里乘公共汽车就是小学生所 接触过的“现实”，自然数2 ，3 ，5 就是他们拥有的现实数学知识。教师就是根据这两 方面的“现实”，帮助学生学习加法这一“现实的数学”知识，并用这些知识扩充学生 的“数学现实”。【8 】p 3 0 ( 2 ) 数学化( m a t h e m a t i z a t i o n ) 何为数学化? 弗赖登塔尔认为数学化，就是数学地组织现实世界的过程。即人们在 观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界 的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程。【1 1 】p 2 2 在他看来，数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程。先人从手指或石块的集 合形成数的概念；从测量、绘画形成图形的概念都是数学化。此外当数学家们从具体的 置换群与几何变换群抽象出群的一般概念时，也是一种数学化。甚至可以说整个数学体 系的形成就是一个数学化的过程。而人们学习数学的过程，实际上又或多或少地遵循着 历史发展的规律。为此，数学教育应该尊重数学的传统，按照历史的本来面目，根据数 学的发展规律来进行。即应将数学与它有关的现实世界紧密联系在一起，通过“数学化” 的途径来进行数学的教与学，使学生真正获得充满关系的、富有生命力的数学知识，使 他们不仅理解这些知识，而且能加以应用。当然，这期间也必须注意数学教育与数学发 展史毕竟不是同一回事。因此没有必要也没有可能把每个人学习数学的过程变成机械地 重复历史的过程，只是人们可以也需要从历史的发展中获得很好的借鉴。 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 在作为教育任务的数学中，弗赖登塔尔在研究了“数学传统”之后，对“今日 的数学”即对现代数学的本质特征进行了深入的分析研究，发现从常量数学到变量数学、 函数等，数学“方式的改变”日益趋向“形式化、公理化、模式化”。他认为形式化、 公理化及模式化等这些发展数学的过程都是数学化的过程，并认为：“任何数学都是数 学化的结果，不存在没有数学化的数学，不存在没有公理化的公理，也不存在没有形式 化的形式”。【删 他据此指出：一方面数学教学不能停留在让学生的头脑成为形形色色公理系统的仓 库，更重要的任务是教会学生能运用自己的数学思维，对一个领域进行加工、整理，从 而独立地建立起一个公理体系来；另一方面，数学教学不能为形式而形式，只让学生死 记硬背那些形式符号与逻辑体系，只作机械的而无内涵、无意义的运算操练，必须使学 生学会用正确的数学语言来组织并表达数学的现实内容及内在联系，从而构成严谨的体 系。即“与其让学生学习公理体系，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体 系，不如让学生学习形式化。一句话，与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化。” 6 p 2 0 4 他还特别指出，数学本身同样属于现实世界，因而在数学发展的过程中，必然要 面对数学自身的数学化。 在这里，他强调的数学化对象有两大类，一类是现实客观事物，另一类是数学本身 的内容，包括数学符号、各种观点、概念以及它的运算方法和规则等。其中对客观世界 的数学化，形成了数学的概念、运算法则、规律、定理以及为解决实际问题而构造的数 学模型；对数学本身的数学化，是深化数学知识，或者是数学知识的系统化，形成不同 层次的公理体系和形式体系。 由于每个人都有自己特有的“数学现实”，因此数学化就有不同的层次和特征。根 据特莱弗斯( t r e f f e r s ) 和哥弗里( g o f f r e e ) 的提法，可以将数学化的过程区分为水平的 和垂直的两种成分。其中从现实中找出数学的特性，用不同的方式将同一个问题形式化 或直观化，在不同问题中识别其同构的方面以及将一个现实问题转化为数学问题或已知 的数学模型等，都是将同一个问题在水平方向扩展，称为水平数学化。【9 】p 3 5 可图示如下： 水平数学化过程： 从背景中识别数学+ 图式化呻形式化+ 寻找关系和规律+ 识 别本质+ 对应到己知的数学模型( 现实的，经验的) 而用公式表示出某个关系，证明了一个定律，采用不同的模型或对模型进行加强或 调整，以及形成一个新的数学概念或建立起由特殊到一般化的理论等，则是将某一问题 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 垂直地加以深入，这一过程称为垂直数学化。 ”也可图示如下： 垂直数学化过程： 猜想公式证明一些规则+ 完善模型+ 调整综合模型形成新的数 学概念+ 一般化过程( 现实的，构造的) 即水平数学化：从“生活”到“符号”的转化过程。 垂直数学化：“水平数学化后的数学化”，从低层数学到高层数学的数学化。 当然在数学化的过程中，以上两方面的作用是错综复杂地纠缠在一起，不能截然分 开的。 借助数学化的两种成分，我们可以用下列图表来比较四种不同类型的数学化途径 9 p 3 5 水平的数学化垂直的数学化 现实的( r e a l i s t i c )+ 经验的( e m p i r i c i s t ) + 构造的( s t r u c t u r a l i s t ) + 机械的( m e c h a n i s t i c ) 表1 “数学化”下的教学途径 其中“+ ”号表示对这方面给以更多的注意，而“一”号表示较少注意或根本未 加注意。 数学教育最早的传统做法就是机械的途径，教师将各种结论灌输下去，学生被动 地接受这些结果，死记硬背，机械模仿，不知道它们的来龙去脉，所获得的只是知识 的形式堆砌，既不考虑它们有什么用处，也不问它们互相之间是否有内在联系，可以 说很少包含数学化的成分。以后逐渐有所进步，比较多地考虑到实际的经验，也建立 了不少现实的模型，从而进入了经验的途径，即较多地顾及水平的数学化，使所获得 的数学知识具有一定的实用价值，可以解决一些客观现实中的问题。但这些知识又往 往流于琐碎、零星、不成体系，忽视了数学本身的内在联系，尤其是忽略了数学的逻 辑演绎结构，较少注意数学化的纵深发展。为了纠正上述偏向，以布尔巴基观点为代 表的“新数学”运动的做法，就采用了构造的途径，强调数学的演绎结构，重视逻辑推 理的论证，企图以结构主义的思想来组织整个数学教育，以提高抽象的逻辑思维水平， 形成严谨的演绎结构体系作为唯一的目标，从而又由一个极端走向了另一个极端，忽 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 视了数学的现实性，忘却了数学教育的根本目标还是要为现实世界服务，而且一味追 求抽象，强调严谨，也不符合教学规律与认识规律。 从历史的经验教训，可以得出这样的结论：数学教育的正确途径应该是现实的数 学化途径，为学生准备的课程体系应该全面而完善地体现数学化的正确发展，既要强 调现实基础，又要重视逻辑思维，既要密切注意数学的外部关系，也要充分体现数学 的内在联系，要能将这两者有机地结合在一起，才是数学教育所必须遵循的正确路线。 关于数学化思想的研究还很多，除了以上关于数学化层次的划分外，人们也对实现， 数学化过程的教学理论进行了大量的实践和研究。首先对数学化进行教学理论研究的是 荷兰的范希尔( v a nh i e l e ) 夫妇。他们从中学的几何教学出发，对学生在几何学习中表 现出来的问题和困难，在理论和实践两个方面进行了探索、实验和总结，概括出关于几 何学习思维水平的理论体系，这对如何通过数学化途径进行数学教学是个很好的借鉴。 他们把几何思维划分为五个水平( 1 e v e l s ) ：1 9 】p 3 4 o 一水平：直观阶段( v i s u a l i z a t i o n ) 其特征是学生借助直观，笼统地从整体外表上 接受图形概念，但不理解其构造、关系，也不会比较。如学生知道也会画矩形、正方形， 但认为这些图形是完全不同的。 1 一水平：分析阶段( a n a l y s i s ) 其特征是学生开始识别图形的构造、互相之间的关 系，也借助于观察，作图等方法非正式地建立起图形的许多性质，但并未掌握其间的必 然联系。如他知道矩形有四个直角、对角相等、对角线相等，但并不知道这些性质互相 之间的联系性。 2 一水平：抽象阶段( a b s t r a c t i o n ) 其特征是学生形成了抽象的定义，能够建立图形 概念与性质之间的逻辑次序，但还未抓住演绎的实质含义，可能混合使用逻辑推理与实 验观察的推导方法，还没有理解公理的作用。如他知道矩形的定义，也能在矩形的性质 之间互相推导，并且还知道正方形是矩形，也是平行四边形，但还没有掌握整体的逻辑 联系。 3 一水平：演绎阶段( d e d u c t i o n ) 其特征是学生抓住了整个的演绎体系，能在以不 定义的基本关系和公理为基础的数学体系内，在定义、定理之间进行形式推理、理解构 造和发展整个体系的逻辑结构，能理解并分析相互之间的逻辑关系。如他会从不同的定 义出发来研究平行四边形的所有性质与特征构成的整个系统。 4 一水平：严密阶段( r i g o r ) 其特征是学生领会了现代公理系统的严密性，对于几 何对象的具体性质以及几何关系的具体含义都可以不作解释，而是完全抽象地建立一般 冯育花：弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究 化的几何理论，这实质上已经将几何提高到一个广泛应用的领域。如他能比较各种不同 的公理体系并能不用具体的几何模型来研究各种几何学。 根据儿童的思维发展与学习过程提出来的这一思维水平理论，正好相应于前面所谈 的数学化思想。一般来说，在某一个水平上进行的组织活动，往往成为下一个水平的研 究对象，通过重新组织又提高到一个新的水平。因此，数学教学这一活动过程，就应该 是教师根据社会现实的需要与儿童认知过程的发展规律，在不同阶段提出学生应该达到 的不同水平，并引导学生不断地攀登新的水平。在这个不断提高水平的过程中，学生研 究着各种不同的数学现实，学会了各种不同层次的数学化，从而通过这条途径掌握数学。 ( 3 ) 再创造( r e c r e a t i o n ) 弗赖登塔尔指出，一个学科领