（概率论与数理统计专业论文）呼叫中心的性能分析.pdf

摘要 一个典型的呼叫中心包括电话干线( t e l e p h o n e t r u n k l i n e s ) 、声讯互动 ( i n t e r a c t i v ev o i c er e s p o n s e 简记为r v r ) 服务台( a g e n t s ) 这篇论文的主题是带i v r 呼叫中一l - 的马尔可夫模型因为本文中所 考虑的模型都是不可约有限状态马氏链，所以平稳分布总存在在第二 章中考虑一个串联的二级排队首先，用建立二状态m c 的方法给出没 有不耐烦顾客时，平稳状态概率有积形式其次，仍用此方法给出顾客 的一l - 急时间是指数分布时，平稳状态概率仍有积形式，并由此导出呼叫 中心的一系列性能指标，包括遇忙概率、等待时问分布延迟概率，从 而使模型更接近于实际在第三章中考虑一个串联的三级排队我们将 对模型进一步改进一考虑顾客在遇忙音时有重拨的情况，此时系统的积 形式解被破坏，但是我们可以建立一个q b d 过程给出它的矩阵形式的 算法 关键词：呼叫中心，马尔可夫模型，心急顾客，积形式，i v r ，重试， q b d 过程，串联排队 a t i p i c a l c a l l c e n t e r c o n s i s t s o f t e l e p h o n e t r u n k l i n e s ，i n t e r a c t i v e v o i c e i k 印o n ，i v r f o rs h o r t ，a n da g e n t s t h es c h e m eo f t h i st h e s i si st h a tw ec o n s i d e rac a l lc e n t e rb yu s i n gm a r k o v m o d e l b e c a u s et h em o d e l st h a tw ec o n s i d e ra r ea l li r r e d u d b l ef i n i t em c ，s t a t i o n a r yd i s - t r i b u t i o nm u s te x i s t i nc h a p t e r2w ec o n s i d e raq u e u ei nc o n d e mw i t ht w on o d e s f i r s t b y m e a n so f c o n s t r u c t i n gat w o - s t a t em ci i ip r o v et h a tw h e nt h ei m p a t i e n tt i m eo ft h ec i 睁 t o m e r 8i si n f i n i t e ，i t ss t a t i o n a r yp r o b a b i l i t yh a sap r o d u c t - f o r ms o l u t i o n s e c o n d ，u s i n g t h es a f n em e t h o di l lp r o v et h a tw h e nt h ei m p a t i e n tt i m eo ft h ec u s t o m e r sh a sa n e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，i t ss t a t i o n a r yp r o b a b i l i t ya l s oh a sap r o d u c tf o r m h e n c e ，n s e r i e so fp e r f o r m a n c ei n d e x e si nnc a l lc e n t e rc 眦b ed e d u c e d i n c l u s i v eo fb u s yp r o b a - b i l i t y , w a i t i n gt i m ed i s t r i b u t i o n ，a n dd e l a yp r o b a b i l i t y t h e r e f o r e ，t h em o d e lw i l lb em o r o c l o s e rt ot h ea c t u a ls i t u a t i o n kc h a p t e r3w ec o n s i d e raq u e u ei nc o o d e m 而出t h r e e n o d e s w e 1 1b e t t e rt h em o d e lf u r t h e r - - c o u s i d e rt h a ta 山；t o m 螂m a y b er e t r i a lw h e nt h e y g e tb u s ys i 印a 1 8 a l t h o u g ht h ep r o d u c t - f o r ms o l u t i o no ft h es t a t i o n a r ys t a t ep r o b a b i l i t y w i l lb ed e s t r o y e d ，w es t i l lc a ng i v ei taq b d a l g o r i t h m k e yw o r d s ：c a rc e n t e r tm a r k o vm o d e l ，i m p a t i e n tc u s t o m e r ，p r o d u c tf o r m j v r 。 r e t r i a l ，q b d ，q u e u ei nc o n d e m 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：张化清 强似漕 日期：2 0 0 7 年4 月1 5 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 学位论文作者签名：张化清 弘化清 日期：2 0 0 7 年4 月1 5 日 第一章引言 什么是呼q 中心 呼叫中心常被分为两种，即呼入和呼出中心呼入中心一般是顾客 为获得信息。投诉，寻求帮助或进行一项交易等而呼出中心与呼入中心 完全不同，大多数的呼出中心的目的是向顾客销售产品或提供服务，但 有时也提供信息或回顾客打来的电话通常所说的呼叫中心指的是呼入 中心 一个呼叫中心由一系列设旎组成，典型的是员工，计算机和互动设 施。并通过电话提供服务大多数的呼叫中心可以被想象成一个能容纳 无穷人的空间，即等待空间无穷。服务员坐在电脑前戴着耳机为他们看 不见的顾客提供服务大多数的呼叫中心还有一个声讯互动的系统，也 称为是声讯系统但是，更一般的趋势是传统的呼叫中心将被新的”接 触中心”所代替新的”接触中心”将结合多媒体( 包括般的声讯互动 系统) ，电子邮件，传真或聊天工具等为顾客提供服务 今天，呼叫中心已经成为服务业的一个流行词语r a f a e l i 1 l 】在近来 的一个研究中，报告说在i s r a e l 大约有5 0 0 个呼q 中心，而最大的2 0 0 个呼 叫中心中雇员的数目接近1 1 ，0 0 大约是整个劳动力的百分之一点八 i s r a e l 大多数的呼叫中心存在于银行，保险，旅游，交通，紧急情况服务 和食品卫生等p u r d u e 大学 5 l 也在近来的一个研究中指出百分之九十 二的美国人靠他们在公司的呼叫中心中接受的服务水平来判断一个的公 司的信用更令人吃惊的是的消费者会因为一次不愉快的电话服务而停 止使用公司的产品，而对于1 8 岁一2 5 岁的消费者这个比例更是高达百分 之百由此可见。呼叫中心的地位不容小觑 呼叫中心的建模与研究 一个自然的办法是将呼叫中心看成排队系统此排队中，打电话者 即是顾客，而服务器或互动设备则是服务员最简单且最常用的模型 是m m c 排队，也称之为e r l a n g c 模型但是对于大多数的应用而言， e r l a n gc 显然过于简单，因为此模型假设顾客的耐心无穷大，等待空间无 限大，也没有考虑重拔的顾客，具体见图 1 1 而现在的呼叫中心经常是 第一章引言、 z e b m 图l ： 3 一个更复杂的排队网络一较为简单是，在顾客进入服务器之前，带有一 个i v r ，形成一个串联的二级排队，当然更复杂的是多个节点相互连接的 呼叫中心【9 】且不同类的顾客有不同的服务时间本文第二章考虑一个串 联的二级排队，第三章考虑一个串联的三级排队 在文献【5 】中考虑了仅带i v r 且没有不耐烦顾客的呼叫模型。并将此 模型看作是一个闭j a c k s o n 网给出了此模型的乎稳状态概率，文献1 1 ) 【2 】又 给出了此模型的其他性能指标但是实际中顾客的耐心不会是无穷大。 重拔也应予考虑文献 3 】中虽考虑了不耐烦顾客和重拨但是没有考虑带 i v r 本文中将分别对文献【5 】和【3 】中的模型进行改进并参照文献 1 l ( 2 l 3 l 给出经改进后的模型的性能指标和类似算法 因为本文中所考虑的模型都是不可约有限状态马氏链，所以平稳分 布总存在其中，第二章中将通过建立一个二状态的m c 的方法给出仅 带i v r 的呼叫中心的平稳状态的积形式解及其他性能指标然后将对模 型进行改进使顾客的心急时间服从指数分布时，呼叫中心的平稳状态仍 有积形式勰并给出它的一系列的性能指标本文的第三章将对模型进一 步改进一考虑顾客有重拨的情况，此时系统的积形式解将被破坏，但是 我们仍可以建立一个q b d 过程给出它的矩阵形式的算法 第二章顾客不耐烦且带i v r 的呼叫中心 2 1仅带i v r 的呼叫中心 本节考虑顾客的心急时间是无穷大时，呼叫中心的平稳状态概率及 其他性能指标 模型的描述 考虑如下的呼叫模型t 来到过程是参数为a 的p o i s s o n 过程，有个 电话干线，s 个服务台( ss ) 首先顾客接受声讯互动服务假定每个 服务器的服务时间是独立同分布的指数分布，参数是p t 若所有的线路 被占，则顾客遇忙音；否则顾客进入第一级排队完成声讯互动服务后 顾客以1 一p 的概率离开系统或以p 的概率进入下一级排队其次，假定 服务台的服务时间是独立同分布的指数分布，参数是p 2 顾客进入下一 级排队时，若所有的服务台被占，则a c d 提示顾客需等待在等待过程 中，顾客的耐心是无穷大另外假设重拨发生在第一次拨打的足够长时 间之后，以至于不影响来到过程的p o i s s o n 性，即重拨不考虑【9 】服务规 则是f c f s 具体见图( 2 ) ”，f 欲” ”，q 掣鼢“ 图2 j 令”( m ，n ) 表示系统中有m 个顾客处于第一级排队n 个顾客处于第二 级排队的平稳状态概率 在文献【5 】中将此模型看作是一个闭j a c k s o n 网，如图所示t 在此闭j a c k s o n 网中总共有个顾客，第一节点的服务率是p i ，第二， 第二章赢客不耐烦且带v r 的呼叫中心 5 第= 节点的服务翠分别是，a ，且服务员的个敢分别是，s 和1 凼此梗 型简化为三节点( m m n ，m m s ，m m 1 ) 的闭j a c k s o n 网因而有如下的平 稳分布的积形式解 。“，u ：j 芝：耋：；笔，t + ，+ t = ； 。o ( 1 ，五) ； 斛例”1 ( n ) 矿) ”3 ( 7 ) 一” 【o ， 其它， 其中一( ) 是第1 节点的平稳状态概率，l = l ，2 ，& 所以在i v r 处有 个顾 客a g e n t s 处有j 个顾客的平稳概率”( i ，j ) 可以写成如下的积形式 f 丌o ；( 去) i 刍( 等) ， ，s ，。s t + ，曼； 邢2 知；( 去) 击( 黔m 。外俐； 【o ， 其它， 其中知- 【i 毛s - 1 乞n - n 而1 ( 去) ”刍( 筹) ”+ 塞蓑刍( 去) ”南( 等) t 1 以下将通过建立二状态m c 的方法给出此积形式解 引理2 1 在上述的模型中，顾客的平稳状态概率是 f 知刍( 去) ”五1 ( 塞) ”， n 墨。s m + n ； 椰，5 知嘉( 去) ”南( 黔峭； 【o ， 其它， 其中仰= 瞻s - t 乞n - n 丽1i 石a ) ”刍( 老) ”+ 三nn 互- n 刍( 去) ”南( 笼) 一 证明 6曩士毕业生毕业论文2 d 0 7 年 s 心蚶 1 0 ，n ) 由图( 4 ) 并由流守恒方程得 1 对15 m n 一1 ，n = 0 ， 3 l 图4 ： f 两 丌( m ，1 ) p 2 + 丌( m + l ，0 ) ( 竹t + 1 ) p l q + 7 r ( m 一1 ，0 ) a = 7 r ( m ，0 ) ( a + m j $ i p - _ - m # l q ) 2 对m = 0 ，n = 0 ， ( 0 ，1 ) p 2 + i r ( 1 ，o ) m q = 7 r ( o ，0 ) a ； 3 对m = 0 ，1 n s 一1 ， 丌( 0 ，竹+ 1 ) ( 礼+ i ) 1 1 2 + i r ( 1 ，n ) m q + , k x ，住一1 ) # 1 p = 丌( o ，n ) ( a - i - ，l 也) 4 对m = 0 ，l = n 5 对”= n ，n = 0 ， ( 1 ，n 一1 ) p l p = 7 r ( o ，n ) s u 2 ( 一1 ，o ) a = ( o ) n m 第二章赢客不耐烦且带n 倪的呼叫中心 6 对m + n = ，l s s 丌( 竹l + l ，t l 1 ) ( m + 1 ) p l p - i - r ( m l ，n n = 丌( m ，竹) ( 仇p l + n p 2 ) 7 对m = 0 ，s sn s n 一1 ， 丌( d ，竹- i - 1 ) s “2 + 丌( 1 ，n ) p l q + 丌( 1 ，n 一1 ) p i p = 丌( 0 ，n ) ( a + s p 2 ) 8 对t 7 1 21 ，s s n s n 一1 ， 丌( m ，n + 1 ) s z 2 + 丌( m + 1 ， 一1 ) ( 价+ 1 ) m p + 丌( ，n + 1 ，n ) ( m + 1 ) p i q + 丌( m 一1 ，n n = 丌( m ，n ) o + 研2 + m 肛1 ) ； 9 对m + n = n ，s ，l n 一1 ， 1 r ( m + 1 ，竹一1 ) ( m + 1 ) p i p + r ( m 一1 ，n n 畜 r ( m ，n ) ( l + s p 2 ) l o 对其它情况， r ( m ，n + 1 ) m + 1 ) + 丌( m + 1 ，仃一1 ) ( m + 1 ) p i p + 霄( m + 1 ，n ) ( m + 1 ) p l q + 7 r ( m 一1 ，他) = 7 r ( m ，n ) n + m p 2 + m l j l ) 设霄( m ，n ) = z 仇铷，由5 得霉一。y o a = z g o n l l ，从而有 z ，= 面) t , t n i _ l 由1 ，取m = n 一1 ，并将( 1 ) 式代入得 所以 x n - 1 掣1 ，2 + $ r y o n p l q + x n - 2 i 1 0 a = z 一l l ，o p l + ( n 1 ) p l l 札。= 剑坐焉产型删 由6 ，取m = n l ，n = 1 ，并将( 1 ) 式代入得 所以 茁n y o n p l p + x 一2 y l a = z 一1 l n ( 一1 ) p l + p 2 】， 札。= 剑业毯产些幽 7 ( 1 ) ( 3 ) 8 结合( 2 ) ( 3 ) 得 磺士毕业生毕业论文2 0 0 7 午 匦塑二丝丝! 盟二! ! 塑竺! ! ! 1 0 a= 地型华， ! ，1 所以 丝：竺 ( 4 ) 抛船 将( 4 ) 式带入( 2 ) 得 ，：纽学 若设。m - - 1 ：_ m # l ，则由1 ，并将( 4 ) 式带入得 正m 茁m y l d 2 + 辑时l 珈( m + 1 ) # l q + a n t y o a = z m 珈n + r a m ， 所以 + 1 2 丽而 z m a 即有 旦：! 竺! ! 些! 茹m + 1 入 由2 得x o y l # 2 + x l y o f l q = x o y o a ， 并将“) 带入得 跏a 研2 百 综合( 1 ) ( 5 ) ( 6 ) 得对一切1 m 有毒告= 去 不妨设跏= ，则对一切- 墨m n ：有x m = k ( 去) “而1 由4 得x l y n l d l p = x o y 8 # 2 ， 并将( 6 ) 带入得 y n _ i = 百y n s p 2 由8 ，取n = n 一1 ，得 x o y s 比+ x t y n - i # l q + x l y n 一2 # t p = z o 暑，一ld + 毋1 2 ) 并将( 7 ) 式带入得忉，一。+ 柚一。+ 蚧一。= y n 一。协+ 8 # 2 ) 所以 y ，- 2 = 学 ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 第= 章属客不耐爆且带i v r 的呼叫中心 若设y n - a ：挲，则由8 得 砷 茁o + l s p 2 + x l y n # t q + l 协l 一1 p l p = 知聃i 协+ 研1 2 ) 并将( 6 ) 式代入得z o 鼽+ 1 8 # 2 + x o y n a q + x o y n 一1 如= $ o o + 跏2 ) 所以 弘 p 鼽件1 。瓦 若设y s = k 1 ，则对一切s ，l n 有 y n = k t ( 篙) 妒1 由3 ，取n = 1 ，得x o y 2 2 【1 2 + x l y l # l q + z l y 0 p l p = x o y l ( , x + p 2 ) 并将( 6 ) 代入得y 2 2 # 2 + 口l 抽+ l = ”l 协+ 舰) ， 所以 掣1 a p 抛。瓦 对1 n s 一1 ，若设可y n _ - 1 = 面n # 2 ，则由3 得 x o y n + l ( 行+ 1 ) 抛+ x l y n p l q + 霉1 掣h l p l p = z o 鼽( a + n p 2 ) ， 并将( 6 ) 代入得 所以 + l ( n + 1 ) p 2 + 撕抽+ n p 2 = 鲰( a + n p 2 ) ， + 1 2 百玎沥 若设y o = k o ，则对于一切0 n s 有 鲰= 硒( 等) ”。1 ： 9 ( 8 ) ( 9 ) 习 h l 伊 枷一比 p k s 产偿有 o k 时，) ：一n 01 萎x ( k 册釜牢；2 t 时，u ( ) = 一，j ) 业兰手二； k = s + l j = s l = 0 3 延迟概率p o ) = 盘5 1 蜀n ：- 。i x ( i ，j ) ； 4 平均等待时间胁。两1 。妻。薹心j ) 。- s + 1 ) ， 其中x ( ，j ) = 夏急( k - 磊j ) ”二( k - 而j j ) 引理2 5 ( 见 2 1 ) 令l 表示队长，则有l i t t l e s 公式得e = a p e w ( 1 一p ( 、r ) ) 2 2顾客不耐烦且带i v r 的呼叫中心 本节考虑顾客的心急时间服从指数分布时，呼叫中心的平稳状态概 率及其它性能指标 模型的描述 考虑如下的呼叫模型t 来到过程是参数为 的p o i m o u 过程，有个 电话干线，s 个服务台( s ) 首先顾客接受声讯互动服务假定每个 服务器的服务时间是独立同分布的指数分布，参数是p z 若所有的线路 被占，则顾客遇忙音；否则顾客进入第一级排队完成声讯互动服务后 穰士毕业生毕业论文 2 0 0 7 越 顾客以1 一p 的概率离开系统或以p 的概率进入下一级排队其次。假定 服务台的服务时间是独立同分布的指数分布，参数是触顾客进入下一 级排队时。若所有的服务台被占，则a c d 提示顾客需等待在等待过程 中，顾客的耐心服从指数分布，参数是0 ，且独立与顾客的服务时问也独 立于他在队列中的位置做这样的假设是合理的，因为通过电话提供的 服务排队是不可见的，即顾客并不知道他处于队列中的位置【1 0 】所以顾 客有可能在服务开始前因耐心耗尽而离开队列另外假设重拨发生在第 一次拨打的足够长时间之后以至于不影响来到过程的p o i s o n 性，即重拨 不考虑 9 1 咀篮蜘l i 5 1 且w 、口口冒倍珂圃 ”乃r ” t 姆酣 记号 令”( m ，n ) 表示系统中有m 个顾客处于第一级排队n 个顾客处于第二 级排队的平稳状态概率 令x ( k ，j ) 表示在一j ) 个处于第一级排队中有一个即将结束服务的 情况下。系统处于( k ，j ) 的概率 注记本章所有的公式和量均在马氏过程处于平稳状态下给出和研究 定理2 6 在上述的模型中，顾客的平稳状态概率是 ( m ，n ) = 砌刍( 去) ”刍( 拼 耶刍( 去) ”刍( 垆妻 0 ， 塑 i s p 2 + o s ) o n 冬s 0 m + n s n ，l s 0 m + n 其它 一 p 队 p 叩 图 。阡” 其中 证明 第二章顾客不耐烦且带n 吼的呼叫中心 仰= 匡s - 1 n 刍- n l 石1 p ) ”嘉( 去) ”刍+ 量笺 ( 去) ”嘉( 等) 8 丽1 ，立l 跏2 + u s ) o 趣) 冬 占 、h 互噩至三巫i 一声 上誓 0 ，) 、 由图( 6 ) 并由流守恒方程得 1 对1 s m s 一1 ，n = 0 ， 3 h i 囹6 ： 。硒 丌( m ，1 ) p 2 - 1 - 丌( m + 1 ，o ) ( 仇+ 1 ) p l q + 丌( m l ，o ) a = 霄( m ，o ) ( + m p q p + m l t l l q ) 2 对 r r , = 0 ，n = 0 ， 丌( 0 ，1 ) ，2 + 丌( 1 ，o ) g l q = 7 r ( 0 ，0 ) ； 3 对m = 0 ，1 n s 一1 ， 曩士毕业生毕业论文班耵7 年 ，r ( o ，n + 1 ) 加+ 1 ) 舰十丌( 1 ，n ) p l q + ，r ( 1 ，1 7 , 一1 ) p l p = 丌( o ，n ) o + n # 2 ) 4 对m = 0 ，n = f ( 1 ，n 一1 ) p l p = ( o ，n ) s m + ( 一s ) o l 5 对n = ，n = 0 ， 6 对m + 件= n s ( 一1 ，o ) x = 7 r ( 0 ) n p i 7 r ( m + l ，l 一1 ) ( m + 1 ) p l p + 丌( m 一1 ，n ) a = 7 r ( m ，n ) ( m p l + 扎p 2 ) ； 7 对m = 0 ，s 茎疗一1 丌( o ，竹+ 1 ) f s p 2 + ( 住+ 1 一s ) o l + 霄( 1 ，n ) m q + 7 r ( 1 ，n 一1 ) p l p = 丌( 0 ，t 1 ) 协+ s 缸2 + ( 扎一s ) o 】 8 对m 1 ，s ，善n 一1 ， 9 1 0 丌( m ，n + 1 ) 【s 忆+ ( ，l + 1 一s ，卅+ 丌( m + l ，n 一1 ) ( m + 1 ) g l p + 7 r ( m + 1 ，礼) ( m + 1 ) p l q + ，r ( m l ，竹n = 7 r ( m ，n ) 队+ s 缸2 + m m + 伽一s ) 卅； 对m + n = ，s n s n 一1 ， 丌( ”l + l ，竹一1 ) ( ，h + 1 ) 卢l p + 丌( m l ，n ) a = 丌( m ，n ) 【m p l + s p 2 + ( 竹一s ) 研； 对其它， 霄( 仇，t l + 1 ) 协+ 1 ) 抛+ 订( m + 1 ，n 一1 ) ( m + 1 m l p + ，r ( m + l ，n ) ( m + 1 ) m q + 霄( m 一1 ，n ) a = 丌( m ，n ) ( a + m p 2 + l p l ) 设7 r ( m ，n ) = z m 鼽，由5 得x n - 1 珈 = 珈p l ，从而有 z 。= 坠n # t 由1 ，取m = n 一1 ，并将( 1 ) 式代入得 z 一l 可1 十z y o n # z q + j g n - 2 蛐a = x n - 1 珈协+ ( n l m l 】， ( 1 ) 第二章顾客不耐旗且带v r 的呼叫中心 1 5 。= 剑业鼍孚坚必 由6 ，取m = n l ，n = 1 ，并将( 1 ) 式代入得 x n y o n p l p + x n - 2 y l a = 霉1 掣l 【( 一1 ) p 1 + p 2 1 ， 所以 札。= 剑唑毯字虼幽 结合( 2 ) ( 3 ) 得 l 塑生二! ! 丝l 翌二! ! 塑些! ! ：匦! ! ! 二! ! 坐! ! ! 丝二! 塑旦 y o ay i a 所以 讥抽 一 珈，屹 将( 4 ) 式带入( 2 ) 得 讯：塾等坐 若设鼍 = 半，则由l ，并将( 4 ) 式带入得 x m y l p 2 + 踢叶l 狮( m + 1 ) p i 口+ 3 - m l y o a = z m 蜘协+ r a m ， 所以 而n a 。”+ 1 2 ( m + 1 ) j l 即有 研。 ( m + 1 ) p l x , m & l2 r 一 由2 得x o y l 2 + x l y o # l q = x o y o a ， 并将( 4 ) 带入得 。：型 - h 综合( 1 ) ( 5 ) ( 6 ) 得对一切ls m 有蠹三= 去 不妨设翱一k ，则对一切- m s 有= k ( 去) “而1 由4 得x l y n - 1 p l p = z o y n 8 p 2 + ( n s ) 卅， 并将( 6 ) 带入得 y n - 1 = 鲤气 型 ( 5 ) 由8 ，取n = 一1 ，得 硬士毕业生毕业论文 2 0 0 7 年 x o y p i 2 + ( 一s ) 刎+ z l f 一l p x q + x l y n 一2 p i p = 却一l 肛+ 5 砸2 + ( 一1 一s ) o l ， 并将( 7 ) 式带入得栅，一，+ a 删，一。+ 咖，一，= 一。协+ 跏+ ( 一1 一s ) 卅，所以 = 划型掣 若设等= 匦警逖，则由8 得印 茹。弘件1 【5 忆+ m + 1 一s ) o l + x x y n p l q + 。1 ；h l p l p = z o 执l 协+ 5 忆+ ( n s ) o l ， 并将( 6 ) 式代入得 x o y n + l s m + ( t l + 1 一s ) 川+ x o i l n a q + z o y n l 蛔= 茹。鲰协+ s + ( 佗一s ) o l ， 所以 鼽。和 + 1 。面i 可再两 若设= k 1 ，则对一切s n n 有 y n = k i ( 计，婴。瓦而1 面 由3 ，取n = 1 ，得 并将( 6 ) 代入得 x o y 2 2 # 2 + x l y l p l q + x t v o p t p = x o y l ( x + p 2 ) 掣2 2 ，1 2 + 可l a q + 玑p 2 = w ( a + ，上2 ) 所以 们a p 抛2 面。 对l s n s s 一1 ，若设专 = 等，则由3 得f n7 1 p x o y n + l ( n + 1 ) m + x l y n p l q + x x y n l p l p = x o v , , ( a + n 肛2 ) 并将( 6 ) 代入得 + l ( 竹+ 1 ) p 2 + v n a q + 鲰n = 协+ n z 2 ) ， ( 8 ) 所以 第二章废客不耐烦且带v r 的呼q 中心 鼽j 协 鲰+ 1 = 石面历 若设抛= t o ，则对于一切0 s 有 鲰= ( 等) “砉 对比( 8 ) ( 9 ) 得对一切s n n 有 归一化有 鼽= 硒( 塞) 8 刍，囊。志 。磊咖，n ，= 三s - 1 ( 等) ”刍硒笺k 侩) ”刍+ 其中1 t o = k o k 所以 塞，囊。丽志( 等) 8 刍硒n 三- n 耳( 去) ”刍 = 薹笺珊( 等) “去( 去) ”刍+ n 壹= s 誉m = 0 珊刍( 去) ”刍( 矿囊。丽 将”( m ，n ) 代入l 一1 0 可以验证均满足 ( 9 ) 釜l | 哪蓬葛丽 土州 瓦 盯坦 聆玎一比(氧聆匡侩 俨 所以 ( m ，t 1 ) = 其中 壤士毕韭生毕业论文2 0 0 7 年 知烈1 石a ) ”去( 黔 住s s 0 ，n + n 墨n 蜘嘉( 去) ”丽1 ( 矿塞。丽南，n s , o o ) = 2 等一1 篓乎一1 x ，j ) i i i 虚等待时问分布有 u ( t ) = x ( j ) 1 ，( z ) d z + ，( o ) ，o 其中，( z ) 是j + 1 个独立的参数分别是s p 2 ，s # 2 + p ，跏2 + 0 一s 妒的 指数随机变量和的分布密度； 平均虚等待时间e u , = f 【1 一w ( t ) l d t 定理2 1 l 令l 表示队长，则有l i t t l e s 公式得e i l l = a p e w ( 1 一p ( ) ) 以上定理证明见【1 1 2 1 特殊情况 以下给出p = 1 时，由模型导出的特殊情况t i 当服务台的数目等于电话干线的数日即s = n 时，上述呼叫中心 模型简化为m g n n 损失系统，其中服务率是p 1 + p 2 此时系统的遇 忙概率是 也可有0 0 ) 式给出此时系统中有k 个顾客的概率； i i 令m o 。，即i v r 处的服务时间相对于a g e n t s 处的服务时间忽略 不计时。上述呼叫中心模型简化为m m s n + m 系统此时系统的遇 一土删 广一书撇 竺旦氢矿脚 聊 忙概率是 p ( ) = 硬士毕业生毕业论文 ( 去) 8 丽1 鱼l 【跏2 + 0 一s ) 研 薹( 去) “葡1 + 塞( 去) “1 ，豪。而志 2 ( 0 7 皇 同理可由( 1 0 ) 式给出此时系统中有k 个顾客的概率； i i i 令肛2 一o o ，即a g e n t s 处的服务时间相对于i v r 处的服务时间忽略 不计时，上述呼叫中心模型简化为m m n n 此时系统的遇忙概率是 p ( 净苏n - x - - m 1 a i 酉j 而 ”l = u ” 同理可由( 1 0 ) 式给出此时系统中有k 个顾客的概率； i v 令口一o o 并令p = 弘即顾客的耐心时间是无限大时，上述呼叫中 心模型简化为仅带i v r 的呼叫中心此时系统的遇忙概率是 即卜畿措， 也可有( 1 0 ) 式给出此时系统中有k 个顾客的概率 盟盼芝南盟盯 立嚣德笪瓣攀骆 第三章顾客重试且带i 的呼叫中心 在第二章中，我们给出了不考虑重拨时。呼叫中心的性能指标文 献【4 l 中给出不考虑重拨会深深地影响呼叫中心的最优设计，从而导致资 源的浪费所以，本章中我幻将对模型进一步改进，考虑顾客重拔的情 况我们仍可以写出此时系统的流守恒方程( 变为三维) ，观察发现此时呼 叫中心的积形式解被破坏下面将分别对第二章中提出的模型并经改进 后通过建立一个q b d 过程给出顾客的心急时间分别是无穷大和服从指 数分布时，呼叫中心的平稳状态概率的算法 模型的描述 考虑如下的呼叫模型t 来到过程是参数为a 的p o i s s o n 过程。有个 电话干线，s 个服务台( ssj v ) 首先顾客接受声讯互动服务假定每个 服务器的服务时间是独立同分布的指数分布，参数是蛐若所有的线路 被占，则顾客遇忙音，此时顾客以l r 的概率离开呼叫中心以r 的概率 进入重试区( o r b i t ) 设在重试区的顾客延误时间服从指数分布，参数是6 ， 最大容量是耳；否则顾客进入第一级排队完成声讯互动服务后顾客以 1 一p 的概率离开系统或以p 的概率进入下一级排队其次，假定服务台 的服务时间是独立同分布的指数分布，参数是顾客进入下一级排队 时，若所有的服务台被占，则a c e ) 提示顾客需等待在等待过程中。顾 客的耐心是无穷大服务规则是f c f s 具体见图( 7 ) 记号 令”( m z ) 表示系统中有m 个顾客处于第一级排队n 个顾客处于第 二级排队1 个顾客处于第三级排队的平稳状态概率，其中将i v r 处看作 第一级排队，a g e n t s 处看作第二级排队，o r b i t 处看作第三级排队 在给出下面的定理之前，首先给出此时呼叫系统的q 矩阵q 矩阵的写法以平稳状态向量中第三个元素作为水平进行转移，故q 为 坚! 掣( + 1 ) 的方阵状态按字典顺序排列，其中毋取，q 山a 耳 艿固 磺士毕韭生毕业论文 2 0 0 7 年 均为塑坐掣阶的方阵 其中 口； c = 其中l m s n + 1 图7 4 0c b 1 a t c 0 b 2a 2c b 一la k 一1c b ka k q + 1 ) x ( + 1 ) g t m = c n x n 凸1 b t = 第三章赢客重试且带n 凰的呼叫中心 虽n + u x ( + 1 )b ( + 1 ) x n b n x n b n x ( 一l 其中毋= i b l ，1 l s k ；1 s m 曼n + i a = f 。 m = l 。 i 、l 6 ( 1 一r ) b m ( m 1 ) = 0 b 1 x l a ( + 1 ) x ( + 1 )a ( n + i ) x n a n ( + 1 ) a n x n a n x ( n 1 ) a ( n 1 ) x na ( n 1 ) x ( n 一1 ) a ( n 1 ) ( 一2 ) 其中0 z k i 当2 兰m s n + i 时 a 1 x 2 a t l 2 3 其中 硬士毕业生毕业论文 2 0 0 7 年 a m x ( m 一1 ) = a m m = a o 口1c l a 2c 2 n sc s o a s c n = 三：- 舾一( + 1 一m m “! 三；i ：；曼 一n # 2 一a 一晒一( n + i m ) m ， i n s 岛= 一s 化一a 一聒一( + 1 一m ) m ， s + 1 s n s n 一1 ； 一s 化一a r t 6 ( t r ) 一( + 1 一m ) m ，n = ， k x ( t 1 ) h 0 其中 a k = 第三章麒客重试且带n 傲的呼叫中心 a m = ( n + l m ) “l q ；k = ( n + l m ) p l p ， j 4 ( + 1 ) ( + 1 )j 4 ( + 1 ) x a n ( + 1 ) a n x na n x ( i v 1 ) a ( n 一1 ) na ( n 一1 ) x ( 一1 ) a ( n 一1 ) x o v 一2 ) 其中2 m s n + l 时 a f ，i x ( m 1 ) ； a m m = a n = 口0 口lc l 0 2 晚 8 sc 8 o a i x 2 口sc n a k 6 一( + i m ) p 1 ，n = 0 ； n # 2 s _ 2 ， l 几s s ； s + l t l s ， a i l 硪士毕业生毕业论文 2 0 0 7 年 一讹一 一k 6 一( + 1 一m ) m ， 1 n s ； 岛= 一s 心一a k 6 一( n + 1 一m ) ，上l ， s + 1 住n 一1 ；， 一s 一j r 5 ( 1 一r ) 一( + 1 一m ) p 1 ，n = n a m x ( m + 1 ) 2 锄 ) i k i i 1 0 a m = ( n + 1 一m ) 肛1q h m = ( n + 1 一，n ) p i p 定理3 1 令r i = ( ”( o ，n i ) 7 r ( o ，i v , t ) ) ，0 isk 为平稳状态概率，则 知= 努，以= 丌0 足，( 1 ) ， 其中r 1 = 一a 。b f l ，j k = 一：( c + a 1 r 1 ) b f l 忌；一( c 忍一2 + a 一1 r 一1 ) 巧1 ，3 k 矗为方程z j ( c r k 一1 + a k r k ) = o 的一个基解，= “：( 最) e i = 0 证明因为仉满足以下方程 所以 怪轰一 知 o + r b 1 = 0 丌0 c + 7 r i a l + 丌2 8 2 = 0 啦g + 巩+ 1 a + l + 7 + 2 b i + 2 = 0 ( 1 ) ( 2 ) 第三章废客重试且带v r 的呼叫中心 2 7 。i t k 一1 g + _ ，r k a k 2 0 因为b i 可逆， 所以 w l = 一丌0 山町1 = 丌0 r l ，其中r i = 一山b f l 将( 3 ) 式带入( 2 ) 式得 他= 一，r o ( c + a l 研) i 1 町1 = 1 t o j b 其中忍= 一够+ a 1 r 1 ) b 1 1 依次类推得仉= 7 ：o 毋 因q 的秩为暇+ 1 ) 尘! 学一l ，则以q 为系数阵的齐次方程有且仅 有一个基解 令( 矗，* k ) 为方程( 1 ) 中第一式的基解，则 吱一1 e 十”二a x = 0 ， 即：( 置a + r k l g ) = 0 ，由此可解出矗 取= 而( 皿) e ，霄o = - 丌0 f f ，则+ i = o 霄0 ( 忍) e = 1 ， 从而满足归一化条件 故 珊= 斋，以= r 。r ，( 1 i s k ) ， 其中r 1 = 一a 。b 1 1 ，飓= 一；( g + a 1 冗1 ) b f l ， r = 一；( g r 一2 + 一l 忍一1 ) 町1 ，3 i k 下面将给出顾客重拨、不耐烦且带i v r 的呼叫中心平稳状态概率的 算法 模型的描述 硬士毕业生毕业论文 2 0 0 7 把 考虑如下的呼叫模型；来到过程是参数为入的p o i s s o n 过程。有个 电话干线，s 个服务台( ss ) 首先顾客接受声讯互动服务假定每个 服务器的服务时间是独立同分布的指数分布，参数是p - 若所有的线路 被占，则顾客遇忙音，此时顾客以1 一r 的概率离开呼叫中心以r 的概率 进入重试区( o r b i t ) 设在重试区的顾客延误时间服从指数分布，参数是6 ， 最大容量是k ；否则顾客进入第一级排队完成声讯互动服务后顾客以 1 一p 的概率离开系