（运筹学与控制论专业论文）二维线性切换系统的能稳性.pdf

摘要 二维线性切换系统的能稳性 专业名称：运筹学与控制论 作者：杨彩芳 指导老师：黄煜教授 摘要 本文主要研究了由稳定的子系统组成的二维线性切换系统的能稳性，找到了 切换路径和一类简单的反馈控制器，使得系统是二次稳定的 本文分为两个部分 第一部分是综述，我们介绍了有关切换系统稳定性的研究现状，特别对于由 两个二维的子系统组成的线性切换系统，综述了有关其稳定性方面的分类性结 果 第二部分我们首先利用系统状态矩阵的标准型，讨论了系统是渐近稳定的切 换路径；其次对于由两个二维的子系统组成的线性切换系统，当系统存在不稳定 的切换序列时，通过十分简单的反馈控制，使得系统达到渐近稳定；同时还利用 李雅普诺夫定理得到了所添加的反馈控制使得系统也是二次稳定 进一步，我们找到了当状态矩阵是般形式时，要使系统得到渐近稳定和 二次稳定时所需要添加的反馈控制 关键词：能稳性反馈控制渐近能稳二次能稳l y a p u n o v 定理 a b s t r a c t s t a b i l i z a t i o nf o r p l a n a rl i n e a rs w i t c h e d s y s t e m s m a j o r ：o p e r a t i o nr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s n a m e ：y a n gc a i f a n g s u p e r v i s o r ：h u a n g y u o e r v l s o r ：h u a n g9 a b s t r a c t w em a i n l ys t u d yt h es t a b i l i z a t i o no ft h ep l a n n e rs w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s c o m p o s e do ft w os t a b l es u b s y s t e m s w ef i n dt h es w i t c h e dp a t ha n dt h es i m p l e s t f e e d b a c kc o n t r o l l e rt os t a b i l i z et h es y s t e m t h i sa r t i c l eh a sb e e nd i v i d e di n t ot w op a r t s t h ef i r s tp a r ti ss u m m a r y ，i tm a i n l yi n t r o d u c e st h es t u d yo f s w i t c h e ds y s t e m s ，a n d w ek n o wt h a tt h eg e o m e t r i cm e t h o dc a nb eu s e dt os t u d yt h es t a b i l i t yo fl i n e a r s w i t c h e ds y s t e m sw i t ht w o d i m e n s i o n a ls u b s y s t e m ，h e r e ，w er e v i e w e dt h es t a b i l i t y o fi t sr e s u l t s t h es e c o n dp a r ti st h em a i nc o n t r i b u t i o no ft h i sa r t i c l e i nt h e f i r s tp l a c e ，w e m a k eu s eo ft h en o r m a lf o r mo ft h es t a t em a t r i c e st od i s c u s st h es w i t c h i n gp a t ht o m a k et h es y s t e m sa s y m p t o t i cs t a b l e ；m a k i n gt h en o n - a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h e s y s t e mt oa c h i e v ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l es t a t e ，w ef i n dt h a ta n yo ft h es u b s y s t e m w i l l b ea b l et of i n daf e e d b a c kc o n t r o lt oa c h i e v ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，b yt h el y a p u n o v t h e o r e mi ti sa l s oq u a d r a t i cs t a b l e f u r t h e rm o r e ，w eg i v et h eg e n e r a lf o r mo ft h ef e e d b a c kc o n t r o l ，f o rs y s t e mt o a c h i e v ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dq u a d r a t i cs t a b l en e e dt ob ea d d e d k e yw o r d s ：f e e d b a c k ，q u a d r a t i cs t a b l e ，a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ，l y a p u n o vt h e o r e m i i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：朽韵易 日期：矶o l 年f 月) 7 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定 机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢 利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室 被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。、 学位论文作者签名：锡私葛 导师签名： 勿瓷f ， 日期：协o7 年s 月刁日 日期：伽0 7 年j 月i 7 日 第一章绪论 第一章绪论弟一早三百比 1 1 切换系统的研究背景 “切换 作为一种思想，其实早己引入到控制理论中，如经典控制理论中的 开关伺服系统，最优控制中著名的b a n g b a n g 控制原理，受继电系统的相平面方 法启发而发展和完善起来的变结构控制近几年来，关于切换系统分析和切换控 制设计的研究越来越受到人们的关注 1 - 1 0 切换系统( s w i t c h e ds y s t e m s ) 是混合系统中一类重要系统切换系统的动态 由有限个子系统或动态模型描述，同时有一个切换法则，使之在子系统之间进行 切换切换系统的一个显著特点是：在子系统之间进行切换的瞬时，系统的状态 不发生跳跃，而是保持连续性如果所有的子系统都是线性系统，那么称这个切 换系统为线性切换系统一般来说，线性切换系统是一类形式较为简单的混合系 统切换系统有着许多实际应用的背景 首先，切换系统可以被应用于受已知或未知的突然参数变化支配的模型系 统：如同步切换系统，网络周期变换开关：或者系统结构受多方面原因影响突然 发生改变的系统，在许多不同的切换结构之间的切换是许多工程和现实世界系统 的特征 其次，当我们通过控制一个多控制器的单个过程时，整个系统可以被描述为 一个切换系统，这种多控制切换策略也被称为混杂控制结构这种多控制器策略 在处理高度复杂系统或高度不确定性的系统时是有效的工具，即使对于简单的线 性时不变系统( l t i ) ，也可以通过控制器的切换来改进例如，解决l t i 系统的能 稳性就是一个经常用的实践，当系统的状态远离平衡态的时候，并且近似于一个 时间最优控制器时，我们选择一个与时间最优或者近似时间最优的控制器，这种 方法可以使得系统尽快地到达平衡状态，并且没有高频率的振动或者是脱离实际 的致动器频带 另外，对线性切换系统的研究还可应用到以下几个方面的研究： ( 1 )电力系统和电力电子技术：在电网控制系统中，由很多个机组同时 运行，每个机组都是一个连续动态模型系统检测不同的机组，对应不同的动态 二维线性切换系统的能稳性 过程，一次可以看成在多个甚至更大的动态过程中切换 ( 2 ) 自动控制：自动控制是一个集合体，通常由被控对象，传感器， 控制器和执行机构等环节组成这种系统在完成预定的任务时，可以不需要 人的直接参与，有传感器系统替代人的感知机能来观测被控量( 或状态) 的实 时变化，由控制器对给定量与被测量进行比较，综合信息处理，并给出控 制量，最后由执行机构来对被控对象施加某种设置或调整，以达到自动控 制的目的 ( 3 ) 网络和拥塞控制：网络控制系统是指将传感器、执行器和控制单元 作为网络节点连接起来，通过计算机网络和总线性成闭环控制回路，共同完成控 制任务的反馈控制系统，在网络控制系统的背景下，可以建立起一类n c s 的数 学模型，解决包括数据包丢失、网络通信限制下的网络控制系统的控制问题，使 n c s 能够稳定并且具有良好的动态性能 1 2 切换系统稳定性的研究内容及现状 稳定性问题是控制论最基本的问题，离开了稳定性，其他的一切问题也就无 从谈起，因为稳定性是系统存在、运行的基础，不稳定的系统通常是不能付之使 用的所谓稳定性，是指系统受到外界的干扰后，虽然它原来的平衡状态被打破， 但当扰动消失后，系统能够自动返回原平衡状态或是趋于另一个新的平衡状态， 然后继续运行切换系统作为一类特殊的混杂系统，研究其稳定性是非常有必要 的由于切换系统包含若干个子系统和切换路径，因此切换系统的稳定性研究有 两个比较特殊的情况，一：虽然切换系统的每个子系统都是稳定的，但是在按照 某一切换路径进行切换时，可能会导致整个系统不稳定；二：也可能存在这样的 情形，即尽管每个子系统都是不稳定的，但是可以通过切换路径的选择而使整个 系统达到稳定 1 2 1 稳定性的研究内容 我们一般把切换系统的稳定性方面的问题的研究总结为三类： 寻找在任意的切换路径下稳定的切换系统； 研究切换系统在某一类切换之下的稳定性问题； 寻找一个切换使得切换系统为稳定的 2 第一章绪论 1 2 2 稳定性的研究现状 在近一二十年中对于切换系统的稳定性有了大量的研究，其中比较常见的方 法有：公共l y a p u n o v 函数法，多l y a p u n o v 函数法，分段l y a p t m o v 函数法，类 l y a p u n o v 函数法，l i e 一代数，驻留时间( d w e l l t i m e ) ，平均驻留时间( a v e r a g e d w e l l t i m e ) ，矩阵不等式( l m i ) 等 ( 1 ) 基于任意的切换的研究成果 显然，切换系统要想在任何的切换之下稳定，一个必要条件是：每个子系统 是稳定的 在基于任意的切换之下的研究方面，比较典型的方法是公共l y a p u n o v 函数 法 1 9 9 9 年d a y a w a n s a 和m a r t i n 在文章【2 】中利用了公共l y a p u n o v 函数法证明 了：如果切换系统有着公共的l y a p u n o v 函数，那么这个切换系统在任何的切换 之下是渐近稳定的问题的关键在于公共l y a p u n o v 函数是否存在以及如何构 造；2 0 0 3 年l i b e r z o n 在【3 】中证明了切换系统有着公共的l y a p u n o v 函数是一个切 换系统在任何的切换之下为渐近稳定的充要条件由于公共的l y a p u n o v 函数的 优点，有着大量的文章来设法构造公共l y a p u n o v 函数( 如【4 】 5 】) 此外，文章【6 】发现：如果切换线性系统的每个子系统是稳定的，且状态矩 阵两两可交换，那么该切换系统在任何的切换之下为渐近稳定的文章【7 】给出： 如果切换线性系统的状态矩阵的l i e 一代数可解，那么切换系统在任何的切换之下 渐近稳定 在任意的切换路径之下稳定，不需要考虑系统对于切换的控制，这是这类切 换系统的一大优点在任意的切换之下稳定方面，已经有了一些很好的研究但 是，在实际中，很多切换系统无法满足，尤其是对于非线性切换系统因此人们 不再针对任意的切换序列，而是开始寻求系统在某种特定切换序列下的稳定性， 或者是构造一种切换序列而使系统达到稳定，即能稳性问题的研究 ( 2 ) 在某个或某类切换之下的稳定性的研究成果 p e l e t i e s 和d e e a r l o 于1 9 9 1 年在【9 】中以二次型形式的类l y a p u n o v 函数为研究 工具，给出了系统渐近稳定的一个充分条件b r a n i c k y 于1 9 9 4 年在【l 】中研究了切 换非线性系统的稳定性，并提出了多l y a p u n o v 函数的概念，多l y a p u n o v 函数法 3 二维线性切换系统的能稳性 的主要思想是：为切换系统定义一组类l y a p u n o v 函数 k ，江1 ，2 ，m 公共 l y a p u n o v 函数法研究切换系统对于任意切换序列是否稳定，而多l y a p u n o v 函数 法研究系统对于一类切换序列是否稳定当切换系统只有一个子系统时，多 l y a p u n o v 函数法即退化为常见的l y a p u n o v 直接法，当各子系统l y a p u n o v 函数 相同时，可视作公共l y a p u n o v 函数法，随后这种方法成为研究切换系统稳定性 的主流( 见 1 0 - 1 4 ) 此外，文 1 5 - 1 7 利用分段l y a p u n o v 函数研究了一类切换系统的稳定性 1 8 3 研究了一类子系统不稳定但有着稳定的子系统的线性组合的切换系统的稳定性 文 1 9 研究了带有多面体不确定性的切换线性系统的二次稳定性 以上所研究的大部分是连续切换线性系统的稳定性 2 0 2 1 j 研究了离散的 切换线性系统的稳定性而文 2 2 研究了包含连续和离散子系统的切换系统的稳 定性 最近， m o u s s ab a l d e ，u g ob o s c a i na n dp a o l om a s o n 在文 2 3 中利用几何 的方法研究了具有两个稳定的子系统的二维线性切换系统的稳定性问题，此文把 平面系统分为了四类，已经完全解决了此类系统的稳定性的判别问题 由文 2 4 ，我们知道对于一般的高维切换系统或具有3 个或3 个以上子系统 的二维切换系统稳定性的问题是n p 问题因此，我们现有的一些比较好的结果是 针对具有两个子系统的二维线性切换系统来做的 1 3 本文的主要结构及创新点 ( 1 ) 主要结构： 第一章绪论，主要介绍关于切换系统的研究背景，研究现状和研究内容 第二章切换线性系统的一些基础知识，介绍了有关切换系统基本概念及其 稳定性方面的一些性质 第三章一类切换系统的稳定性，是本文研究工作的基础，该部分主要介绍 了二维切换系统已有的一些结果，在对二维切换系统子系统的状态矩阵标准化的 基础上讨论了使得系统是渐近稳定的切换路径 第四章一类使系统渐近稳定的反馈控制，是本文的核心部分在子系统状态 4 第一章绪论 矩阵标准化的基础上研究添加反馈控制使得系统达到渐近稳定我们找到了一 类十分简单的反馈控制 第五章是对本文的总结和展望，指出了本文的有待解决的问题 最后是参考文献与致谢部分 ( 2 ) 创新点 本文的创新点在于： 第一，给出了文 2 3 中标准化二维线性切换系统的子系统的状态矩阵的过 渡矩阵的具体形式 第二，在文 2 3 中对二维线性切换系统的分类的基础上，找到了使得所有系 统达到二次稳定的切换路径的一般形式 第三，我们找到了一类具有简单形式的反馈控制，使得系统达n - 次稳定的 形态 5 二维线性切换系统的能稳性 第二章切换线性系统的理论基础 本章主要介绍切换系统及其稳定性的一些基本的概念 2 1 切换系统的描述 定义2 1 ( 连续切换线性系统) 2 s 1 形如： 受( f ) = 4 ( ，) x ( f ) + 忍( ，) ”( f ) y ( t ) = g ( ，) x o ) + q ( ，) “( ，) 所描述的系统为连续切换线性系统 定义2 2 ( 离散切换线性系统) 【2 5 l 形如： x ( k + 1 ) = 4 ( ，) x ( 忌) + 骂( ，) “( 忌) y ( k ) = e ( ，) x ( 尼) + 口。) ”( 七) 所描述的系统为离散切换线性系统 其中，x r ”、甜r 脚、y r p 分别为系统的状态向量、输入向量和输出向量， 4 ( ，) r ，忍( ，) 戤“，e ( ，) 火舢，口( ，) r p “f ( f ) l ，2 ，掰) 为切换序列 定义2 3 ( 切换信号序列的描述) 1 2 5 l 切换线性系统通常可以简写为( 4 ( f ) ，e ( f ) ，c l ( ) ，口) 。，其中m 表示切换 子系统的个数t k = t o ，t l ，t 2 ，表示切换时刻序列切换信号f ( f ) 在切换时刻是右 连续的，把它在切换时刻的取值按照切换时刻的顺序进行排列，排列成一个序列 = f ( 岛) ，i ( t i ) ，i ( t 2 ) ，称为一切换( 信号) 序列，也称切换策略、切换律等 定义2 4 ( 切换信号的适定性w e l l d e f i n e d ) 1 2 5 l 称一个切换信号f ( f ) 在【，r 2 】上关于初态是适定的，如果满足： ( 1 ) f ( ，) 在 ，2 ) 内在x = x o r ”点是确定的， ( 2 ) 砸) 在【，f 2 ) 内有定义， ( 3 ) 对于，m ，乞) ，f ( f ) 的左右极限存在( 在f = ，躲i o ) = i “) ) ， 6 第二章切换线性系统的一些基础知识 ( 4 ) 在有限时间内有着有限次的切换 如果对于任意的r ”，砸) t i ，2 ) 上关于初态x o 是适定的，则称砸) 在 i t , ，t 2 ) 7 越- 定的 如果f ( ，) 在任何区间阮，r 2 ) ，咖 f 2 o o 上是适定的，则称f ( f ) 是完全适 定的 显然，切换信号的适定性避免了抖振现象( z e n op h e n o m e n o n ) ( z e n o p h e n o m e n o n 是指在有限的时间内有着无限次切换的现象) 的出现，任何的离散 型的切换系统都是适定的 定义2 5 ( 良态性w e l l p o s e d ) ：【2 5 】 对一切换系统，如果在任何分段连续输入信号u j ( t ) 的作用下，f ( ，) 在瓯，乞) 关于r 一是适定的，则称该切换系统在哦，f 2 ) 关于彤是良态的 如果对于任何的而r ”，系统在【，2 ) 关于而r ”是良态的，则称该切换系 统在【f l ，t 2 ) k 是良态的 如果对于任何区间【f 1 ，f 2 ) ，一 乞 o ，存在舣岛，占) 使当l l x o 万时， x ( ，f o ，x o ) 1 1 - - t o 0 时，对定义域中所有的都有 i l x ( f ，乇，而) 1 1 0 ，使得函数y ( x ) ：，戥的导数矿( x ) ：鱼里( x ，f ) 何 一占l i x i l 2 o ，则称零平衡点为二次稳定的。 下面简要介绍一下切换系统的稳定性的一些定义 考虑一下切换系统 戈( r ) = a k t ) x ( t ) ，其中f o ) 1 ，2 ， ) ，工o ) r ”，4 ( ，) r “” ( 2 1 ) 定义2 1 3 ( 切换收敛) 【2 5 1 如果切换系统对于任何状态x o r ”，存在一个切换信号t ，使得以x ( o ) = 为始点出发的状态轨道收敛到原点，即 ：骢矽( f ；o ，x o ，) 2 0 。 那么，我们说该切换系统是切换收敛的 定义2 1 4 ( 切换系统的能稳性) 1 2 6 l 8 第二章切换线性系统的一些基础知识 如果存在切换信号使得系统为良态的且为全局( 渐近，指数) 稳定的，则 称切换系统( 2 1 ) 为( 渐近，指数) 能稳的 定义2 1 5 ( 切换系统的一致能稳性) 1 2 6 1 如果存在切换信号露使得系统为良态的且关于初始时刻一致( 渐近，指数) 稳定的，那么称切换系统( 2 1 ) 为一致( 渐近，指数) 能稳的 对于单个的线性系统而言，其二次稳定性等价于渐近稳定性但对于切换系 统，二次能稳是渐近能稳的一个特例 定义2 1 6 ( 切换系统的二次能稳性) 【2 6 j 如果存在切换信号磊与一正定二次函数v ( x ) = ，p x ，使得系统为良态的并且 矿( 曲 0 ，则称切换系统( 2 1 ) 为二次能稳的 定理2 1 7l y a p u n o v n 函数存在的充要条件1 2 9 l 动力系统a i ，4 具有公共的l y a p u n o v 函数的充要条件是： o a a l ，a 2 = f z 4 + ( 1 - o o a 2 ， 4 ，4 。1 = c z a z + ( 1 - a ) a 2 v o _ 0 当x = 0 当x 。，系统c ) 的 稳定性不变，又由【2 3 】知对4 ，4 同时做相似变换，分别得到新的状态矩阵墨，岛， 此时系统变为 i ( ，) = 甜( ，) 墨x ( ，) + ( 1 一甜( ，) ) 色x ( f ) ，x = ( 五，而) r 2 ( 2 ) 则系统的稳定性不变 3 1 1 标准化状态矩阵 我们这里定义【4 ，4 】为4 ，4 的l i e 括号，即【4 ，4 】= 4 4 - a 2 a 。本节的 目的是介绍系统( 1 ) 的状态矩阵的标准化过程，为了识记的方便，我们这里仍 将标准化后的矩阵对应标记为4 ，4 结论l ：依据d e t ( 【4 ，4 】) 的符号，可分为如下的情形： 9 , u 果d e t ( 4 ，4 】) o ，由坐标变换，正规化，可以化为如下的标准型 1 3 二维线性切换系统的能稳性 4 = ( j 茹) 三 ( a ) 若d e t ( 4 ，4 】) o ，那么有 = 2 k 4 ：f ，砭咖( 髟、1 l f 乞j 曩 o ，i = l ，2 ，k ( 一1 ，1 ) 4 = r f 吒一岳) 下面我们只就第一种情况的标准化进行说明 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 1 ) 当，中至少有一个大于0 时，先设瓯 o ，不失一般性，可设 4 = ( 芝) ，a ，五是两个互异的特征值，4 = ( ：三) ，以玩c ，d r ，则 删屯三，“苫) ， 有 当d e t ( 【4 ，4 】) o 时，取过渡矩阵 丁= 心辱 赢一班p 1 4 丽2lt - t a t = 【； 1i 2 | l【， ( 3 4 ) 孚吃 第三章一类切换系统的稳定性 = 一高批6 蜃+ 掣磁一l 如果以 0 ，这时可改变4 ，4 的 那么： ( 2 ) 当瓯 4 = ( s 赢) ( 口 4 = i l c 仆口 贝, l j d e t a i ，4 】= 一c 2 0 ，此处c 0 那么： 当吮= o 时，取 名，a ，b ，c ，d r 一俨s 飙矗， 一班 詈靴4c l ll 口+ di i 2 1 5 书 ( 3 5 ) n 冷 矧咏1 置 谤 q f ，j。l 、 ， 乙 、， 6 j 设卜 妣州 刁 十1 名0 o = = q 分 4 7 警， l 0 ，。l 川j阪r吃遨乏 则 二维线性切换系统的能稳性 t = 压口一di 噍| - i i ； 2 c压 i 屯l - 啦 每丁一4 r = 川 1 赢一矽= o l 阪l _ 压 三竺 1 l l 0 三坠 蚓 口+ d 同 4 c 川 吮 4 c 以+ d 侗 ( 3 6 ) 当 - 2 x d e t ( a 1 ) d e t ( 4 ) ，那么 系统存在一个二次l f 如果一x d e t ( a i ) d e t ( a 2 ) - 2 4 d e t ( a , ) d e t ( a 2 ) 自动满足因此系统有二次l f 1 6 、 q、_ 、 q 蛾 忉 s ，。_ i i 等 第三章一类切换系统的稳定性 s 2 如果1 1 ( 4 ，4 ) - j d e t ( a i ) d e t ( a 2 ) , r o ( 4 f l l 2 ) o ，少( 仃) 0 由上可知纵仃) 0 当且仅当r ( 4 ，4 ) 0 或者( 3 8 ) 的判别式 是负的类似的， ( 力 o 当且仅当护( 4 4 ) 0 或( 3 9 ) 的判别式 护( 4 4 ) 2 4 d e t 4d e t a ： o 时， 由1 ( b ) 可直接计算得r ( 4 ，4 ) = q 砭一k 0 ， 护( 4 4 ) = 2 ( 砭+ 后) 0 ，因此满足s 1 的条件d e t a t ，4 】= 0 时，在【3 2 】中证明 二维线性切换系统的能稳性 3 2 使得系统全局渐近稳定的切换路径 由3 2 的讨论我们知道对于d e t ( 【4 ，4 】) o 的线性切换系统，在任何的切换 路径下都是渐近稳定的，所以我们这里只讨论d e t ( 【4 ，4 】) o 的情况 由于在s 1 的情形下切换系统( 1 ) 是全局一致渐近稳定的，我们在此不加以 讨论我们主要的工作是在s 2 ，s 3 与s 4 情形下，系统不是全局一致渐近稳定 的 我们注意到，若( 1 ) 是稳定的凸组合，当且仅当对任意的万【o ，1 】( 3 8 ) _ - 0 ，由二次函数抛物线的性质我们可以得到：对于 v o - 【o ，l 】，且仃o - o ，有矽( 盯) - 0 ，即( 3 8 ) 在零点处有两个互异实根，此时 一d e t 4 - r ( 4 ，4 ) 一r ( 4 ，4 ) 2 - d e t 4 d e t 4 c l = 二二- 二二- 一 1 d e t 4 + d e t 4 2 r ( 4 ，4 ) 以：d e t a 2 - r ( 4 , 4 ) + 4 r ( 4 , 4 ) 2 - d e _ t 4 d e ta 一2 2 d e t 4 + d e t 4 2 f ( 4 ，4 ) 可以得到：对于v1 3 【o ，吼) u ( 吒，1 ) ，有( 仃) o 因此，我们有 定理1 ：我们可以找到一类切换路径 1 8 第三章一类切换系统的稳定性 = ( 1 ，o - p ) ( 2 ，( 1 - o - ) , o ) ( 1 ，o - p ) ( 2 ，( 1 - o - ) p ) ) ， 使得： a ：在s 3 的情形下，对于v 仃【o ，l 】，_ r o - o - 0 ，系统( 1 ) 对应于是渐近 稳定的 b ：在s 4 的情形下，对于v 盯【o ，q ) u ( 吒，l 】，系统( 1 ) 对应于t 是渐近 稳定的 引理l ：设4 ，以是刀刀实矩阵，那么存在一个正实数7 7 ，使得 p a = t e 钿，e “i = l 舢h ，v f 刀，矩阵以中的向量是可分析的和有界的而且， 它的范数的上界可以确切地估计出来证明见【2 】 定理1 的证明：由己知对于v 盯【o ，l 】，r o - o - o ，凸组合盯4 + ( 1 0 - ) 4 是稳 定的，由引理1 可知，存在一个正实数p ，使得 妒( p 毗j 卜口) t t a ) 一乞( f o ) ，( f ) x ( ，) ，( o ，1 ) ，f m m = 1 ，2 使得系 统( 1 ) 是渐近稳定的 若集合为空集时，取f l = 0 0 ，否则，定义切换指标为： 盯( ，1 ) = 鹕础 ，( ) q x ( ) ，( ，1 ) q x ( ) ) 我们分别递归的定义切换时间与切换指标序列： 气+ ，= i l l f l l 气：，( ，) q ( ) x ( f ) o d x r ( t ) x ( ，) ) 1 9 二维线性切换系统的能稳性 盯( 气+ 。) = a r g m i n x r ( 如) q x ( 气+ ，) ，x 7 1 ( 气+ 。) q 2 x ( + 。) ) k = l ，2 其中a r g m i n 表示m 中最小的指标，如果有不止一个符合条件的指标，我们就选 择最小的那个指标其中：o k = 4 7 尸+ ，k m ，p 为方程 ( a 4 + ( 1 一4 ) r p + p ( c r a , + ( 1 一仃) 4 ) = - 1 2仃【o ，1 】 的解，我们可以得到p 为正定的对称矩阵 下面我们证明，上述切换路径是适定的，并且是二次稳定的 首先，证明切换信号的适定性： 气和气+ 。是两个递归的时间变量，令f = 盯( 气+ ) ，由前面的切换信号的定义可 以得到： ，( t k ) q , x ( t k ) = m i n j 洲 x t ( 如) g x ( 气) ( 3 1 0 ) x r ( 气+ 1 ) q x ( 气+ 1 ) 吒x r ( 缸+ 1 ) x ( 气+ 1 ) ( 3 11 ) 当_ g = 一l ，且叶= l ，由( 3 1 0 ) 可得： j 幽j 幽 x 7 ( t d q , x ( t d x 7 ( 气) x ( 气) ( 3 1 2 ) 我们记瓦= x ( 气) ，黾+ ，= x ( 气钉) ，令d 是任意比1 大的实数 首先考虑 的情形 定义函数 l i x ( t ) l l - _ ( 1 - r i ) x k + , r x k + l ( 3 1 4 ) 通过简单的计算可以得到 i a g ( r ) = ，( f ) ( ( q ：+ l ) + ( q + 厶) r 4 ) x ( f ) 记k = 0 4 r ( q + 厶) + ( q + 厶) r 4 l ，由不等式( 3 1 3 ) 可得 与( 3 1 4 ) 联立，可得 即： 第三章一类切换系统的稳定性 阻) p 以。v ，吼“】 u 2 e ( 气+ l 一气) ( 1 一，；) 厶+ l t k - 0 一，：) ( d 2 k ) 其次，若( 3 1 3 ) 不成立，即j t + 【t k , l ) 满足 l i x ( t l l - v l l 磁+ 。 ( 3 1 5 ) 由( 3 1 0 ) 等式可得，怍舭。吨8 少i - 。 由此可得 气+ 。一气+ ，一广 m o 1 1 4 1 i 综上可得： t k + lm 气 r 三s 。u ，p 。m ，。肘i n ( ( 1 一) ( 。2 q ) ，i n 。i i a , i i ) 因此，切换信号有正的滞留时间刀，所以说是适定的 下面我们证明切换系统在此切换路径下是二次稳定的 我们考虑l y a p u n o v 函数法设v ( x ) = x t p x ，由系统可以导出轨道 i d v ( x ( ，”= ，( ，) q ( ，) x ( f ) st ( f i 一似，) 嗍7 1 ( 似f ) 其中，= m i n r ， ，因此，二次函数矿( 曲= ，a 是切换系统的l y a p u n o v 函数， 由l y a p u n o v 定理知，切换系统是二次稳定的 2 1 第四章二维线性切换系统的反馈能稳性 第四章二维线性切换系统的反馈能稳性 下面我们讨论二维切换系统 x ( f ) = 以( ，) x ( ，) + b ( ，) 仃( ，) l ，2 ( 3 ) 我们的问题是找到反馈z ，= g x ，使得闭环系统x ( f ) = ( 4 ( f ) + b a ) x ( t ) 是二次稳 定的b 及g 的具体形式其中曰是增益 为了简化问题，我们这里首先在第三章对二维线性切换系统的状态矩阵的标 准化基础上，找到矩阵c = b g 使得系统x ( f ) = ( 厶，1 + c ) x ( ，) 是二次稳定的，再利 用第三章对状态矩阵标准化过程中的过渡矩阵，得到一般的c ，进而得到控制g 和增益易 4 1 具有简单形式的一般的状态反馈控制 证明：由第三章的讨论我们知道当d e t ( 4 ，4 1 ) o 时，系统是二次稳定的， 我们可以取控制g = ( 00 ) ，所以我们只讨论d e t ( 【4 ，4 】) 0 。此时状态矩阵为 4 = r l 劬c 瓯) q 1 4 = ：s i g 乞n f ( a 4 , ) c t ，令c = ( 三三) = ( ：1 ) c c 。) 尽= 五1 卜p 当满足如下不等式组时可以得到系统( 2 ) 是属于s 1 的情形的，即添加反馈控制后 二维线性切换系统的能稳性 ，( e ) = 护( 4 ) + c 0 护( 骂岛) = 护( 4 4 ) + ( 吃弦+ c 2 o r ( 局，垦) = 去( 五+ 吃) c + f ( 4 ，4 ) o c m i n _ 半，一t d e t a z ，迎塑虹2 地卅椎吡) ，晋竽 i 毛乞 。 + 吃 f 即：只要c 满足如上的条件，就可以使得系统( 2 ) 是渐近稳定的，进一步，我 c 2 ，另一方面还可以令c = ( 三兰) = ( ? ) ( 。c ) ， 最= 岛= ( i s i g n ( a , , ) 当满足如下不等式组时可以得到系统( 2 ) 是属于s 1 的情形的，即，添加反馈 印( 局) = 护( 4 ) + c 0 驴( 置b ) = 驴( 4 4 ) + ( 吃沁+ c 2 o r ( 马，色) = 寺( 气+ 砭) c + r ( 4 ，4 ) o 解得 斗半，一t d e t a 2 ，塑尘畸地州4 ) ，毗x 百- 2 r ( 4 , 么 i f 2 2 。 + 乞 对于一般的带有两个稳定的子系统的线性切换系统，由第三章对状态矩阵标 准化的过程可以知道，要达到的渐近稳定所需要添加的反馈控制为： 第四章二维线性切换系统的反馈能稳性 当，吒中至少有一个大于0 ，且。o 的时候 b = 嬲州一降锕豆2 厕 脯州一降锕豆2 厕 或者 或者 当= o ，吼= o 时 当= o ，屯0 时 当 0 护( e 最) = t r ( a , a 2 ) + c ( f + s 劬( 暖) ) 0 1 r ( 尽，岛) = r ( 4 ，4 ) 一专c ( f + s 纫( 瓯) ) o 解得 ( a ) 当系统( 1 ) 属于s 2 ，s 3 的情形时，f 1 ，此时可得 当s 忉( 瓯) = o 时， 一竺! 丛生2 c 2 r ( 4 , 4 ) f j 当j 劬( 颤) = 1 时 一w ( 4 4 ) c 婴丝! 型 ，+ l ，。+ l 由于 第四章二维线性切换系统的反馈能稳性 前( 4 4 ) 2 f ( 4 ，4 ) ( 4 1 ) 所以上述两式总不为空集 当s 忉( 暖) = - 1 时 一吼一訾 掣 但是，此时因为- d e t 4 2 r ( 4 ，4 ) 并不总是成立的，所以不能保i i e c 的范围 总是存在的例如：对于系统( 1 ) ，当状态矩阵分别是 那么： 4 =刘一 2 i。 一l一! l 2 4 4 = 11 24 4一1 2 訇 从而得到：护( 4 鸣) = 4 + ；，r ( 4 ，4 ) = 一i 1 5 ， 一4 d e t4 d e t4 = 一丢，所以， r ( 4 ，4 ) 一0 蟊而属于s 2 的情形 但是： 一d e t 4 ：一三，2 r ( 4 , 4 ) ：一三，2 f ( 4 , 4 ) ：一d e t 4 4 f 一1 4 f 一1 1 ( b ) 当系统( 1 ) 属于s 4 的情形时，f c t r ( 4 f 4 ) 当s 咖( ) = l l t i j - m a x t 学，雩掣心 一掣 当s i g n ( t ) = 一1 时 一 4+ 3 2 一4 一 二维线性切换系统的能稳性 m a x 一a e t 4 ，等，琴竿心 一丛趔，此时c 无解 ff c 2 ，令c = ( 兰三) = ( ：1 ) c 。c ， 巨= + f 乜f 掣f 当满足如下不等式组时可以得到系统( 2 ) 是属于s 1 的情形的，即，添加反馈控制 护【戗) 2 t r ( 4 ) 2 0d e t & = 一c 三二生 j 护( 置垦) ：护( 4 4 ) + c ( 1 + 堕掣) o 1 1 ( e ，岛) = r ( 4 ，4 ) 一三c ( 1 + 翌墨笔掣) 。 ( a ) 当系统( 1 ) 属于s 2 ，s 3 的情形时，f 1 ，此时可得 当吒o 时， 一汪t r ( 4 而a , ) c l + 塑! 型l + ! 塑! 型一一 当噍 o 时， 一 一砸t r ( a , 4 ) , - f - d e t 4 c 砸2 f ( 4 , 4 ) ff c 的取值并不总是有解得，可能会是空集这是因为： 廿d 吣