（基础数学专业论文）几类非线性schrodinger型方程组的初边值问题.pdf

几类非线性s c h r 5d i n g e r 型方程组的初边值问题 摘要 本文考虑了几类非线性s c h r s d i n g e r 型方程组的初边值问题，在适当的条件下， 我们证明了这些问胚整体解的存在性文献【3 1 3 中提出了形如 瑟二篙m 罄删 i 也一妒+ 2 妒= 9 i 皿r ” 的耦合的非线性s c h r s d i n g e r - k l e i n - g o r d o n 方程，这是国际上首次开展这方面的研究 工作，作者在舻中研究了它的c a u c h y 问题，获得了该问题整体解的存在、唯一性 文献【4 、1 41 中研究了一类非线性s c h r 5 d i n g e r - b o u s s i n e s q 型方程组，获得了一 类具有磁场效应的这类方程组的初边值问题的整体适应性结果 文献【7 】中b r e z i s - g a l l o u e t 在中研究了如下一类较一般的s c h r s d i n g e r 方程的 c a u c h y 问题； t 毗一面+ ，( 1 d 1 2 ) 面= 0 ( 2 ) 对它的解及其性质进行了详细探讨t s u t s u m i 应用g a l e r k i n 方法扩充了他们的结果 1 0 、1 1 】以上这些方程或方程组有很强的物理应用背景【6 、7 、8 、9 1 ，对它 们进行深入研究足有意义的 在第二章，我们研究了一种新的模型； f i 面+ a f t = a 珈+ p l 面| 2 面+ 町( 丽( 矗x 动) ， uu-，加au+q(u巩=邶-alff2；,(t嘶,x)e，r+frou t ( o ，集吣) ，。咄 ( 3 ) l 面( o ，z ) =( z ) ，( o ，z ) = = l ，0 ( z ) ，o ) = q ( z ) ，z n ， 、。7 【司a n = 0 ，p 旧n = 0 我们采用g a l e r k i n 方法，获得了如下定理： 定理设而( z ) ，帕( z ) ，u l ( x ) h o ( n ) ，nc r 3 且q o ，卢0 ，口20 ；或者设面( 功， 蜥( z ) ，u l ( x ) 弼( n ) ，ncr 2 若下列条件之一满足 ( i ) ，0 ，7 1 o ，仉a 足实数，且，| 面f 2 d x 4 ； ( i i ) o ，”，q ，a 足实数，且” o ，( 净+ ；) 上1 2 出 2 ； ( i i i 徊 0 q o ，q ，a 足实数，且( 峥+ ) 上l 而1 2 出 2 ； ( i v ) z 0 ，7 兰o ，q ，a 足实数，且( 学+ 2 + ) 上l 面1 2 出 2 或者设而( z ) ，( z ) ，v l ( x ) h o ( n ) ，f tcr 1 ，若下面条件之一成立 ( i 阳2o ，q 2o ，玑a 足实数，且d ( n ) i n i 面1 2 如 1 ； ( i i ) 口2o ，仉玑a 是实数，且q 0 ，( + 1 ) d ( o ) 1 2 d x 1 ； ( i i i ) 3 0 ，q 20 ，q ，a 是实数，且( 蚓+ 1 ) d ( n ) ，| 砺1 2 出 1 ； ( i v 妒 0 ，7 1 0 ，吼a 足实数，且( 例+ + 1 ) d ( 2 ) ，| 面1 2 d x 0 ，卢2o ，q20 ；或者设而( z ) ， ( z ) ，l ( z ) 嘲( n ) ，ncr 2 ，若下列条件之一满足 4 且 ( i ) ，o ，o ，q ，a 足实数，且，| a o l 2 d x _ 0 , 7 1 , q , a 足实数，且q o ，( 粤+ ；) 上i 痂1 2 如 2 ； ( i i i ) 口 0 ，q 0 g ，a 足实数，且( 粤+ ) 上i 面1 2 如 2 ； ( i v ) f l o ，”0 q ，a 足实数，且( 掣+ 2 + ；) 上l 而1 2 如 2 或者设而( 。) ，峋( z ) ，v l ( ：r ) 础( n ) ，ncr 1 ，若下面条件之一成立 ( i 妒20 ，q 兰o ，q ，a 是实数，且d ( n ) i 面1 2 d ：r 1 ； ( i i ) 口0 ，目，q ，a 是实数，且q 0 ，( 1 , 7 i + i ) d c n ) f a o l 2 d ；r l ； ( i i i ) 3 0 ，q o ，q ， 是实数，且( 蚓+ 1 ) d c n ) ，| 西| 2 d ：r 1 ； ( i v ) f l 0 ， o ，q ，a 足实数，且( 例+ + 1 ) d ( n ) ，| 面1 2 如 0 ，z n ，1 i o ，1 f ! n ， ( 5 ) 【啦( z ，o ) = “眦( z ，o ) ，z n ，1 i n 其中q r 2 具有光滑边界，面= ( “l ，u n ) ，c 2 ( r n ，r ) 满足； 0 f ( s t ，一，s ) c 1 乏二1 乳l ，v s r 掣( 6 ) 怕r 型 s ) s ；勺c 3 i 品l 宇，v s r # t = 1 5 ( 8 ) 呼 s q 一 8 8 利用g a l e r k i n 方法、算子半群方法与紧致性原理，我们证明了问题( 5 ) 解的 存在唯一性获得如下结果； 定理设条件( 6 ) 一( 8 ) 成立，且f ( s l ，s n ) = f ( s l + + s ) ，面i h 2 ( f 1 ) n 础( n ) ， o p 曼2 ，h 上l 函1 2 d x o ，卢o ，町0 ；o r 吕e t 面( z ) ，( z ) ，【z ) 础( n ) ，nc r 2 u n d e ra s s u m p t i o no n eo ft h e s ec o n d i t i o n sh o l d ： ( i ) 卢2o ，口o 确aa r er e a la n dj ( 1 2 d x o 删，a a r er e a la n dr o ，( 粤+ ) 2 晰出 2 ； ( i i i ) 卢 o ，q o 确a a r er e a la n d ( 垮+ ) 上1 面1 2 出 0 ，删，a ”er e a la n d q o “q i + 1 ) d ( n ) 正吲2 如 1 ； ( i i i ) f 0 a r er e a la n d ( 1 卢l + 1 ) 御) f 2 1 ； ( i v ) z 0 , 7 1 20 , q , a r e a la n d ( 吲+ i q i + 1 ) d ( n ) 五i 面1 2 如 1 w h e r ed ( 1 2 ) r e p r e s e n t i n gi n t e r v a lnm e a s u r e t h e np r o b l e m ( 3 ) e x i s tt h eg l o b e lw e a k s o l u t i o n d ( x ，t ) ，n “，$ ) ，妒( ，z ) s u c ht h a t ： a ( t ，z ) l ( o ，t ；础( n ) ) n g o 暑( o ，t ；l 2 ( q ) ) v “，z ) l ( o ，t ；础( o ) ) n c o 考( o ，r ；l 2 ( n ) ) 8 i nc h a p t e r3 w ec o n s i d e rac l a s si n i t i a lb o u n d e dp r o b l e mo fn o n l i n e a rs e h r s d i n g e r - f 西+ x g + n ( z ) ，培+ 卢q ( 1 司2 ) f 十t ( f 动= 0 ， lt l t = 妒， 忱= n + ，( n ) + 1 m + a a n + a 扛) i 司2 ， ( 4 ) i 司忙0 = 而( z ) ，nj 扛o = ，( 。) ，妒i t - 0 = 妒o ( ， 【司d l = 0 ，n l o n = 妒b n = 0 s e t 面( z ) ，坳( z ) ，1 ( z ) 上醋( n ) ，nc 彤u n d e ra s 8 u m p t i o no n eo ft h e s ec o n d i t i o n sh o l d ： ( i ) 口0 ，q 0 ，q ，aa r er e a la n d i 谝1 2 d x 4 ； j n ( i i ) 一0 q ，q ，a a r er e a ia n d | ， o ，( 掣+ ；) 2 1 面1 2 d 。 2 ； ( i i i ) l o ，7 o ，q ，a a r er e a l a n d ( 学+ ) j ( 2 i 砀1 2 如 2 ； ( i v ) f l 0 ，忙，a a r er e a la n d ( 2 世1 + + ) 2 2 如 2 o r ! ；e t 而向) ，蜥( z ) ，1 渖) 日 ( n ) ，nc r l ，u n d e r a s s u m p t i o n o n e o f t h e s ec o n d i t i o n s ( i ) 卢o ，q o ，q ，) 、a r er e a la n d d ( 1 2 ) f 面2 d x 1 ； j n ( i i ) z 0 ，聃q ，a a r er e a la n d y 0 ，( h + 1 ) d ( f 1 ) ，| 面j 2 d x 1 ； j - l ( i i i ) 3 0 ，叩2o ，q ，aa r er e a l8 n d ( j 卢j + 1 ) d ( n ) i a o l 2 d x 1 ； j l ： ( i v ) p 0 ，町兰o ，玑aa r er e a la n d ( 1 p l + 川+ 1 ) d ( f 1 ) ，| 面1 1 2 d x 0 1 蚝哦1 0 ，1s s n ， l 啦( 茁，0 ) = u o i ( x ，o ) ，z q ，1 i s n 0 0 ，z n ，1 i i 1 三i n ， ( 1 5 ) 【u i ( x , o ) ：蛳( z ，o ) ，z n ，1 i n 其中n r 2 具有光滑边界，矗= ( “l ，_ ) ，c 2 ( r 掣，r ) 满足； v s r 掣( 1 6 ) 爿0 l ，8 _ ) s t c 2 i 墨i 宁，v s r 掣 = 1 0 l ，一，8 ) s 8 j c 3 f 如l 孚，v s r # ( 1 7 ) ( 1 8 ) 利用g a l e r k i n 方法算子半群方法与紧致性原理，我们证明了问题( 1 5 ) 解的 存在唯一性 1 3 e 2 s c 一 8 第二章一类广泛耦合s c h r s d i n g e r k l e i n - g o r d o n 方程组 1 问题和记号 文献【3 】中提出了形如 f i 皿t + = g 皿毋， i 抛一毋+ m 2 = 引皿1 2 j 的耦合的非线性s c h r s d i n g e r - k l e i n g o r d o n 方程，这足国际上首次开展这方面的研究 工作，作者在r 3 中研究了它的c a u c h y 问题，获得了该问题整体解的存在、唯一性 本章，我们研究了一种新的模型； 褫+ 证；a 1 匠+ p i 面1 2 面+ 町( d x ( 矗动) ， u t 一王，+ g = 一a i 矗1 2 ，( t ，z ) r + n ， 硪o ，z ) = 而( z ) ，( o ，z ) = 峋p ) ，n ( o ，= v l ( x ) ，z n ， 面l a n = 0 ，p l o n = 0 我们采用通常的记号，日”( n ) 表示具有模数( i i d 。嵫( n ) ) 2 的s 。b o l e v 空 、a l m 7 问，h 酽( n ) 表示c 矿函数在h ”( n ) 范数意义下的完备化空间，h o ( n ) = l 2 ( a ) ，l ，( n ) = fl i f l 9 出 o 。) ，l 。( n ) 表示以模 i l u l i l 。= e 8 8 s u p1 ( 圳 0 ，满足如下条件； ( i ) f f ( t ，z ) l ( o ，t ；日0 ( n ) ) ni 矿曼( o ，t ；h 一1 ( n ) ) c i c o , ；( o ，t ；l 2 ( q ) ) ， p ( ，。) l ( o ，t ；日0 ( n ) ) n w 三( o ，t ；日一1 ( n ) ) n c o ，g ( o ，t ；l 2 ( n ) ) 1 4 i ( 面，妒) d r 一o ( 面，妒) d t t ( d ( o ) ，妒( o ) ) = a z 7 ( 西，纠d t + 芦z 7 ( 阿1 2 斌l p ) 疵+ 口0 7 ( 矗何砀，纠出， “蝴+ f 叱嘴+ q j ( 丁( t , 2 , f f l 肛( 峨删们t ( o 胁) = 一a ( 1 a i 2 ，皿( z ) ) 如 其中 妒c 1 ( o ，t ；l 2 ( n ) ) n c ( o ，t ；础c a ) n h 2 c a ) ) 皿c 2 ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 1 - 3 c 1 ( o ，r ；硪( n ) c i h 2 ( n ) ) 坩) = m ( t ) = 叭t ) = 叽( 叩) = 上v v p 如 这里伊，1 ( n ) 表示h 6 1 d e r 空间，孵= f 0 “fel o o , i a ism 1 记u ，是问题 畸= 屿，c o j l o n = 0 ( 2 1 ) 对应于特征值的特征函数，i b i l l 2 “2 ) = 1 ，j = 1 ，2 ，由【9 】可知， 吣) ( j = 1 ，2 ，) 足l 2 ( n ) 的标准完备正交系， 屿 足础( n ) 的完备正交系， 岣 构成了h , l ( a ) n h 2c a ) 的完备系 设问题( 1 3 ) 的近似解足 _ 幽( ，z ) = 历( t ) 叶 ( 2 2 ) j = l n ( t ，z ) = q j nc t ) 。j j = l 1 5 ( 2 3 ) ri c o n t ，“。) + ( v 妇，v q ) = ( a d n u n ，屿) + p ( i 西i 幽，屿) + ( 讪( f f - n 鼬) ，屿) ， ( “，竺一! v z ：v 屿) + q ( ，叼) = 一1 ( i 矗n 1 2 ，岣) ， ( 2 4 ) lg n ( o ，z ) = 砺( z ) ， i ，( o ，。) = 峋_ v ( ) ，n t ( o ，石) = 1 _ ( z ) 其中( ，g ) = ，( 司g - 两d x ，当n o 。时有 j n s u p ，i i 订nc t ，z ) 嵫( n ) e o ( 2 5 ) 0 t o ，卢0 ，叩20 ，则有t 。；笛1 i t 嵫( 1 ”局，。! s u 。! p ti i v n i l 2 ：( ”s 玩，。茹 v 咐哦( n ) 岛, s u p r i i v 妇屹( f 1 ) 岛 ( 2 7 ) 其中晶不依赖于n ，而( z ) 础( n ) 表示每个分量属于础( n ) 证明：分别用嚣 ，( t ) ，v ( t ) 乘以常微分方程组( 2 4 ) 的两个式子，然后对j 从1 到n 求和得： i ( 妇 ，f f n t ) + ( v 妇，v f f n ) = a ( 妇，f i n ) + 卢( 1 妇| 2 f i n ，f i n t ) + q ( 西x ( f i n - ) ，f i n ) ，( 2 8 ) 注意到， ( m1 n t ) 一( v t n ，v n t ) + q ( v n ，t ) = 一a ( i 疗n 1 2 ，n ) ，( 2 9 ) r e ( 面，- # n 。) = j l 面di 踟1 2 ， 丢i 面_ 1 2 = 2 _ i 妇鼬t + 2 幽西虱- t 冗e ( ( 妇，妇) 而- 。) = ；差l 如- 1 2 1 7 在( 2 8 ) 式两边取实部得： 一；丢旧面幢种) - i 1 a 丢上1 面1 2 如一j 1 a 上l a n l 2 t 出+ 将( 2 9 ) 变形得 ；口丢上i 鼬1 4 如+ i 1 ”忑d 厶l “1 4 出一j 1 ”磊d 厶“v - 1 2 出 ( 2 1 0 ) ；d l l v n 川i ：( 1 2 ) + 2 1 以d v v , 2 州啪+ 五i 口面dl i 州l 2 。m ) = 一a 上i 嘶1 2 t 如 ( 2 1 1 ) 将( 2 1 0 ) 代入( 2 1 1 ) 式得 两边对t 积分得 ；扣酬，】+ i i w n i l 2 ：( 。) + 口l b n i l 2 。( n ) ) + 磊d1 1 v 幽嵫( n ) + 1 夏d 厶i “1 2 咐如+ j l p 面d 厶l 1 4 如+ ；”1 a n l 4 出一i 1 ”要上l 讪- 1 2 出= o i i p w c i | 2 。( 【”+ i l v v n i l 2 2 ( ”+ q l l v _ v 1 | 2 。( n ) + 2 | | v 订1 | i 。( 1 ) + 2 a 上i 面1 2 如+ n i l 面幢球 + q ( 1 i 讪1 1 2 州”刈研- 1 1 2 ：( 【j ) ) i l w g x ) l l 主。( f ! ) + i | v 峋 ) j 1 2 。( n ) + q | | 1 1 2 ：( n 】+ 2 1 1 w o l l 2 。( n ) + 2 a 五i 西1 2 如+ p t l a o ( 刮i 色( n ) + q ( | i 面。乞( 1 1 ) 一。面葡i i i 2 ( n ) ) ( 2 1 2 ) 注意到础( f 2 ) 一l 4 ( f 1 ) 与j j 矗v - 悒。( n ) i l 1 1 , 。( n ) ，则( 2 1 2 ) 式就变成 t 屹( 。) + i i v 屹( 。) + q o 吃( 。) + 2 | i v l 7 n i l e , ：( n ) - 2 ) t s ai f f n l 2 v n d z i + 岛( 2 1 3 ) 因为 a 正i 妇1 2 出i i l a n i i 圳f 2 ) 1 1 1 1 吲n 州i 忆。( 盼 ( 2 1 4 ) 布q 用s o b o l e v 不等式得： i i 西c i i v 幽吃( n ) o 妇幢( n ) ( 2 1 5 ) i n i i l 6 ( n ) c i i v v n i i l 。( n ) ( 2 1 6 ) 于足将( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 代入( 2 1 4 ) ，并用h s l d e r 不等式得： l a 上i 如1 2 如i i 1 ( 4 4 c 4 ) + 到iv 哪l 。2 2 i n ) + 扣v 讪幢：( n ) ( 2 1 7 ) 将( 2 1 7 ) 式代入( 2 1 3 ) 式即得引理2 证毕 引理2 3 设而( z ) ，峋( z ) ，i ( z ) 础m ) ，ocr 2 ，若下列条件之一满足 ( ) 卢o ，q o ，q ，a 是实数，且z l l 砺1 2 出 4 ； ( n ) 一o , z l , q , a 足实数，且q 。，( 掣+ ；) 上i 而1 2 如 2 ； ( i i i ) p 0 q o ，q ，a 足实数，且( 譬+ ) fi 届0 1 2 如 2 ； ( j v ) 0 ，q 0 ，g ，a 足实数，且( 学+ 2 + ) z 1 2 如 2 则有估计式( 2 7 ) 证明：类似于引理2 2 的推导过程，可推得( 2 1 2 ) 式，在此基础上，注意到 愀圳2 。( j ) 2 胫2 ( t 1 ) + 2 t z o tl 魄( r ) 嘎( n ) d r ， ( 2 1 8 ) 1 2 a 五i 面1 2 d 。f 上l 面| 4 如+ a 2 上i 1 2 如， ( 2 1 9 ) 上l 妇1 4 如j 五1 2 如上l v 妇1 2 如，n c r 2 ( 2 2 ( j ) 即得引理2 3 ，这里e o 依赖于t o 证毕 引理2 4 设面( 。) ，峋( z ) ，b 1 ( 。) 硎( n ) ，ncr 1 ，若下面条件之一成立 ( o f f o ，q o q a 足实数，且d ( 2 ) 以l 硫1 2 如 1 ； 0 0 , 6 0 ，玑q ，a 足实数，且1 0 ，( + 1 ) d ( f 1 ) ，| 面1 2 d x 1 ； j n ( i i i ) p 0 ，q 0 ，q ，a 足实数，且( 俐+ 1 ) d ( f ) ，| 面1 2 d x 1 ； j n ( i v ) ， o ，口，a 足实数，且( + 1 1 i + 1 ) d ( n ) n l 矗0 1 2 如 1 其中d ( n ) 表示区间n 的测度，则有估计式( 2 7 ) ，此时( 2 7 ) 式中的e o 依赖于 证明：类似于引理2 2 的证明，此时注意到 i l u l l l 。讵匕1 ) 嘎1 ( n ) ，ncr 1 ，础( n ) ( 22 1 ) 以及( 2 1 2 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 式即可推得引理2 4 证毕 引理2 5 若引理2 2 、引理2 3 引理2 4 之一条件满足，则 。器o 讪小，z ) l l h - , ( m + 惭冰，刮k - ( n 矗e - 其中e 1 不依赖于n 证明：对v i 础c n ) ，有 令 由( 2 4 ) 式的第一个方程得 o o i = ( i ，哟) u j 硪( n ) j = t b = ( i ，q ) 吣， 繇= ( 元，屿) 屿 j = n + i ( t 础f ，稀) + ( v 鼬，b ) = a ( 础，“) + 口( i 面1 2 面，秘) + n ( g n ( g n - ) ，h n ) 从而 ( 如办”) l i i v 丽n i i 吲n ) 恽删础( 锄+ i ( a 妇，商) l + i h ( i g n l 2 如，“) h q ( 讪( 面i ) ，办) j ( 2 2 2 ) 2 0 下面就n = 1 ，2 ，3 的情形分别讨论( 2 2 2 ) 式 “) 当n = 3 时，利用s o b o l e v 不等式 从而有 i a n i l 。( n ) c i v 面n i i l 2 ( o ) c 0 办0 础( n ) ( 2 2 3 ) i ( a 霄n i n ，is i i d n i i 洲) i i v n i i 圳) i l l i i 吲n ) 剑讣i n n i i h o ，( 0 ) 1 v n i h o i 忡刊两( i l ) 。如1 2 妇，b ) i - o ，j ( 。q ( s ) d s o ，r ，( ) 妇芝o ，i d ( 刮n 。，0 0 是常数； ( i i ) 磊) ( z ) ，n o ( z ) ，妒o ( 。) 日3 ( n ) ，z ncr 2 ； ( i i i ) n ：；l | 而屹“1 1 o ，1 0 ，a 0 ，k ( s ) i a i , i ，f ，( 。) 出0 ，i 乜( 。) i 咖，n o 是常数； ( i i ) 而( z ) ，n o ( z ) ，咖( 。) 硪( n ) ，且( 2 席+ 口a ) 0 而( z ) 屹( n ) 0 ，1 i n ， 【u i ( x ，0 ) = u o i ( x ，0 ) ，x n ，1s i n 其中n r 2 具有光滑边界，面= ( u l ，u n ) ，f c 2 ( r 掣，r ) 满足 0 f ( 8 1 ( 8 1 ，- ( s l ， n ，8 n ) c 1 g ， = l n s v ) s 。c 2 蚓咛， 。) 毛c 3 登kj 孚 v 8 r 型， v s 趔， v s r 型 利用g a l e r k i n 方法、算予半群方法与紧致性原理，我们证明了问题( 1 5 ) 解的存在 唯一性。 2 引理及证明 3 1 引理4 1 ( 吲) 若矗h 2 ( n ) ，且俐l 片t ( n ) c ，则 i i 面i l 划n ) c1 + 乒而丽1 ( 4 1 ) 引理4 2 ( 【1 0 】) 若面h 2 ( n ) ，则 1 1 1 矗1 2 丽0 h ：( n ) c | | 面1 1 2 。( n ) i i 面i i h 。( n ) 引理4 3 设( s l ，s ) 满足( 1 6 ) 一( 1 8 ) 且1 p 2 ，则v 7 7 日2 ( n ) ，有 ( 4 2 ) i l f ( 1 u d 2 ，r ，l u n l 2 ) “k l l m 。( n ) c ( 1 + 面1 1 2 。“”) 1 1 矗1 1 ：( n ) ( 4 3 ) 证明；设d h 2 ( n ) ，则 杀( 川计i 磐，7 ：1 ，2 ( 4 4 ) z 一 鑫( 川北剧叫= 三n 著n 跏沌，慨渺( 螈，怖剖u t + 。蚤n 伽池，讹，咖一，篱 + 2 z ( 岍。，+ 蛳。，i ；) ，+ ，岳岩 2 = i + ( “ 面妇，。，+ t ，z ，啦+ 2 1 啦卸1 2 ) u k ， 7 = 1 ，2 ( 4 5 ) 去f ( i 耶i ( 奶z 2 + 嘶z 2 町) u k o u k o x l o x 2 + 姜爿( 。；。+ 。动差+ n 爿( u ；。+ 啦羽；) 籍 ( 4 6 ) + 薹爿( “；t + “。- 动差+ 薹爿( u t 。+ 啦羽t ) 罄 ( 4 6 ) ， + 啦 研 + 卸 玩 址 片 ：i = 、， k “ 2 一 + 一“ 谚 埘 = 2 ， + k u 现 一“ h + 2 口z tu十 却 f 一“u + 一u m + 由( 1 6 ) 一( 1 8 ) 、( 4 5 ) 及( 4 6 ) 我们得； i i ( 1 u d 2 ，1 “1 2 ) “k l i x 。( n ) sc 1 i l a l l ：, 。( n ) i i 订i i l ：( 【1 ) + c 2o 矗。艺；1 ) l j 订j l 知”( n ) + c 3 】j 硎2 。( i i a d i i h 。( n ) + c 4 i i 面i i 岛m | l 面1 l 静- ( n ) + c 5 情怩。( n ) i i 硎一：( n ) 十c 6 0 硎2 。( n ) 川百差鼍o k ( n ) ( 4 7 ) 又由g a g l i a x d o - n i r e n b e r g 【7 1 不等式推出， 1 1 订1 1 - t ( n ) c i i d l i 。( n ) i l 矗| i 互1 。( n ) ( 4 8 ) 因此 i i ( 1 u 1 1 2 ，l u n l 2 ) u i i h 。( n ) c ( i i d i l 2 。( n ) + i f 订o z n ) + | i 矗| l 厶。( o ) ) 1 1 面1 1 。( n ) ( 4 9 ) 注意到1 p 2 ，从而有 i l l ( 1 u l l 2 ，i v 1 2 ) u k l l 俨( m c ( 1 + 0 订2 。( 1 ) ) i i 疗l l u ：( n ) ( 4 3 ) 证毕 引理4 4 ( 5 】) 设h 足一个h i l b e r t 空问，a ：d ( a ) 一a 足一个m 增生算子， f 足d ( a ) 到自身的映射，且在d ( a ) 中的每个有界子集上为l i p s c h t i z e 连续的，则 v 面d ( a ) ，方程 黥篆地 存在唯一解“( t ) ，t f 0 ，。) 满足 疗c 1 ( o ，2 备。，h ) n e ( 【0 ，霉m 。，d ( a ) ) ， 这里丁舰。具有性质：或者。= o o 或者。co 。且 。一l i m 。( 1 1 删i h 圳硎h ) 。0 。 3 定理及证明 定理4 1 设条件( 1 6 ) 一( 1 8 ) 成立，且f ( s l ，8 n ) = f ( s l + + 8 ) ，面k 俨( n ) n 日8 ( q ) ，o p 2 ，h 上1 面1 2 d x 2 则问题( 1 5 ) 存在唯一解硪z 朋满足 缸( 。，t ) c ( 【0 ，。o ) ；h 2 ( n ) ) n c l ( o ，o 。) ；l 2c n ) ) 证明：令日= ( l 2 ( n ) ) na f t = i 矗，d ( a ) = ( 日2 ( n ) ) n ( 日? ( n ) ) ， f f f = ，( 1 u l | 2 ，i t n 1 2 ) 矗+ a ( j g j g + 截面回) ( 4 1 0 ) 由引理4 2 - 引理4 4 可知，为完成定理的证明，只需证明j i 矗( 刚h 。是任一有 限时间段内有界即可 首先，用诧乘( 15 ) 中方程的两边，然后对i 从1 到n 求和，并在n 上积分得： i a ( t ) l l l 。( n ) = l i 面i l l 。( n ) ( 4 1 1 ) 其次，用鲁乘( 1 ，5 ) 中方程的两边，对i 从1 到n 求和，再在n 上积分得 丢( i i v 丽f 1 2 。 2 】+ 正z 蚓2f ( s ) d s 如+ ；五( j 矗1 4 一i 面矗1 2 ) d z ) = 。 ( 4 2 ) 征【0 ，tj 上秘贫上瓦侍： 啊硎2 ：( n ) + 五z 司f ( s ) d s 如+ ；上( 1 d 1 4 一i d i 1 2 ) 如 = 怜面1 1 2 。【n ) + 二z ，( s ) d s d x + ；上( 1 面1 4 一i 而砺门如 由此可以推得 ( 一；上l 面i 如) 正i v 订1 2 出+ 上j ( 旧2 f ( s ) a s 如 - i i v 驯- 1 2 纠f 2 ) + 上z i 面f f f ( s ) d s 如+ ；上( i 而1 4 一i 面面n 如 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 因此 0 矗0 h 1 f n l e o 这里岛足不依赖于t 的常数设s ( ) 是由一a 生成的算子半群，由( 1 5 ) 得 因而 d ( t ) ：8 ( t ) f f o + l ，。s o l i a r ( 圳l 】 i i a a o l l ) + z 2 ( 怕y ( i 训2 ， 再由引理4 2 和引理4 3 可得s ( 4 1 5 ) ，l u n l 2 ) 矗+ n ( | 司2 面+ 敢缸- 回) 1 打 ( 4 1 6 ) f “j 2 ) 矗+ n ( j 面1 2 辨云( 面a ) ) l i l 。( n ) ) d r ( 4 1 7 ) 、 i i a ( i 百1 2 面+ 敢矗回) 1 1 如( n ) c l l 面( 0 1 1 2 。( n ) i i 订( t ) l l n z ( n ) a f ( 1 u * 1 2 ，l u n l 2 ) a l l l ：( n ) sc o + i l a c t ) 1 1 2 。( n ) ) i l a ( t ) l l 舻( a ) 由( 4 1 8 ) 式和引理4 1 导出 令 则 即 ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) i | 硪驯i 伊( 脚e + c f 0 2 ( 1 + i i 矗( r ) 幅。( n ) ) i 硪r ) | | 舻( 脚打 g + c o 。( 1 + i n ( 1 刊硪刮k ( n ) ) ) 慨r ) 1 1 明n 少 ( 4 2 0 ) g = e + c j ( 。( 1 + l n ( 1 + i i m ) 1 1 2 ( 神) 悔汀) 1 1 刖n 肛 ( 4 j 2 1 ) g ，( t ) = c l l a ( t ) l l 讲c ) ( 1 + l n ( 1 + 1 l 面( 圳日。( n ) ) ) c g ( t ) ( 1 + l n ( 1 + g o ) ) ) ， ( 4 2 2 ) 磊d l n ( 1 + l n ( 1 + g ( ) ) ) s c 3 5 所以存在常数o t ，卢使 0 硪圳舻( n 1se a e l t ( 4 2 4 ) ，这就完成了定理4 1 的证明 证毕 类似于定理4 1 的证明，还可证明： 定理4 2 令x = 俐订h 2 ( n ) n 础( q ) ，v 订础( n ) ) ，设条件( 1 6 ) 一( 1 8 ) 成立，且 f ( 8 l ，8 n ) = f 扣1 + + 8 n ) ，2 p 3 , 1 i i 面1 2 如 2 则对v 而k x ，0 k n ， ，l ： 问题( 1 5 ) 存在唯一解截z ，t ) l 。( o ，t ；x ) 且碗l 。( o ，t ；础( n ) ) ，其中t 为任 意正数 参考文献 1 】m a k h a k o v ，v g ，p h y s i c sr e p o t s ( s e c t i o nco fp h y s i c sl e t t e r s ) ，3 5 ( 1 9 7 8 ) 2 1c h a d a m ，j ma n dg l a a s e y , r t o nt h em a x w e l l d i r a ce q u a t i o nw i t hz e r o m a g n e t i cf i e l da n dt h e i rs o l u t i o ni nt w os p a c ed i m e n s i o n s j ) j m a r k a n a l a p p l ，5 3 ( 1 9 7 6 ) 3 1 j b b u l l i o na n dj m c h a d o m ，t h ec a u c h yp r o b l e mf o rc o u p l e ds c h r s d i n g e r - k l e i n - g o r d o n - e q u a t i o n s c o n t e m p o r a r yd e v e l o p j c o n t i n u mm e c h a n d p a r t i a ld i i fe q ，3 0 ( 1 9 7 8 ) 4 】g u ob o l i n g i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ro n ec l a s so f s y s t e mo f m u l t i d i - m e n s i o n a ln o n l i n e a rs c h r s d i n g e r - b o a s s i n e s qt y p ee q u a t i o a s l j ，j ，m a t h a a s a n de x p o s i t i o n ，1 ( 1 9 8 8 ) 5 1 p a z y a s e m i g r o u p so fl i n e a ro p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n st op a r t i c a ld i 胁 e n t i a le q u a t i o n s 【m 】s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 6 】l i o n s j q u e l g u e sm e t h o d sd er e s o l u t i o nd e sp r o b l e m e sa n dl i m i t e sn o n l i n e a r i r e s d u n o d ，p a r i s ，1 9 6 9 7 jb r e z i s h ，g a l l o u e t t n o n l i n e a ra n a l y s i s ，4 ( 1 9 8 0 ) 【8 】r e a d ，m a n ds i m o n b m e t h o d so fm o d e mm a t h p h y s f o u r i e ra n a l y s i s ，s e l f - a d i o n t n e s e 1 9 7 5 【9 】l i o n s j a n dm a g e n e s e n o n - h o m o g e n e o n sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n d a p i i c a t i o nif m ls p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n h e i d e l b o r g ，n e wy o r k ，1 9 7 2 f 1 0 jt s u t s u m i ，m o ns m o o t hs o l u t i o nt