（计算数学专业论文）一类非线性发展方程的一种有效的高阶算法.pdf

摘要 本文对一类维和三维非线性发展方程做数值逼近分析研究。第一章，我们介绍 了论文中需要用到的一些预备知识。第二章，我们运用二阶导数的紧致型有限差 分格式和差分算子逼近分裂方法对二维非线性发展方程构造新的有限差分格式。 它在时间和空间上分别具有二阶精度和四阶精度。我们运用r i c h a r d s o n 外推法 提高算法在时问上的精度，从而新算法在时问和空问上都是四阶精度的。算法简 便，运算量小，它每次只需求解三对角方程组。根据离散的v o n n e u m a n n 稳定性 分析方法，算法是无条件稳定的。数值实验检验了算法的精度。第三章，受第二 章工作的启发，我们对j 维非线性发展方程构造一种有效高阶的数值逼近方法。 新算法在时间和卒间上都具有四阶精度，并且运算简便。理论分析和数值结果表 明算法具有良好的数值稳定性。 裂。 关键词：非线性发展方程；紧致差分格式；有限差分算法；稳定性；逼近分 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ed os o m er e s e a r c ho fn u m e r i c a la p p r o x i m a t ea n a l y s i sf o r8c l a s so ft w o - d i m e n s i o n a la n dt h r e e - d i m e u s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o - d u c et h ep r e l i m i n a r i e sw h i c hw i l lb eu s e di nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，b a s i n go na p p r o x - i m a t ef a c t o r i z a t i o no fd i f f e r e n c eo p e r a t o r s ，w ea p p l yt h ec o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c ef o rt h e s e c o n dd e r i v a t i v et od e r i v ean e wf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ew h i c hi ss e c o n do r d e ri nt i m e a n df o u r t ho r d e ri ns p a c ef o rt h i sk i n do ft w o - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n r i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o ni sa p p l i e dt oi m p r o v eo na c c u r a c yi nt h et e m p o r a ld i m e n s i o n a sar e s u l t ，t h en e wa l g o r i t h mi se a s i l ye x t e n d e dt of o u r t h - o r d e ra c c u r a t ei ub o t ht e m - p o r a la n ds p a t i a ld i m e n s i o n s t h en e ws c h e m ei ss i m p l e ，a n di t sc o m p u t a t i o n a lc o s ti s c h e a p i to n l yr e q u i r e ss o l u t i o n so fs y s t e m so ft r i - d i a g o n a le q u a t i o n sa te a c ht i m el e v e l i ti ss h o w nt h r o u g had i s c r e t ey o nn e u m a n na n a l y s i st h a tt h em e t h o di su n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e n u m e r i c a le x p e r i m e n t sf i l ec o n d u c t e dt ot e s tt h eh i g ha c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo f t h en e wa l g o r i t h m i nc h a p t e r3 ，m o t i v a t e db yt h ew o r ko ft h es e c o n dc h a p t e r ，w ed e - v e l o pa ne f f i c i e n th i g h e ro r d e rf i n i t ed i f f e r e n c ea l g o r i t h mf o rs o l v i n g3 dn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n t l l en e wa l g o r i t h mi sf o u r t h o r d e ra c c u r a t ei nb o t ht h et e m p o r a la n ds p a t i a l d i m e n s i o n s a n di t sc o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r ei ss i m p l e n u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e d t oi n d i c a t eo u rn e wa l g o r i t h mi sr o b u s t ，a n dh a v eg o o dn u m e r i c a ls t a b i l i t y k e yw o r d s ： n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；c o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e ；f i n i t e d i f f e r e n c ea l g o r i t h m ；s t a b i l i t y ；a p p r o x i m a t ef a c t o r i z a t i o n 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： p r e f a c e i no r d e rt oo b t a l ns a t i s f a c t o r yh i g h e ro r d e rn u m e r i c a lr e s u l t sw i t hr e a e o n a b l ec o m p u t a - t i o n a lc o s t ，t h e r eh a v eb e e na t t e m p t st od e v e l o ph i g h e l c o m p a c t ( h o c ) s c h e m e s ，w h i c h u t i l i z eo n l yt h e 鲥dn o d e sd i r e c t l ya d j a c e n tt ot h ec e n t r a ln o d e o v e rc l a s s i c a lh i g h e ro r d e r m e t h o d si tp r e s e n tt h ea d v a n t a g eo fu s i n gl e s sn o d e s ( t h r e ei n s t e a do ff i v e ) a te a c hp o i n t o fc o m p u t a t i o n a lg r i d m o r e o v e r ，t h ee r r o ri nd i s c r e t i z a t i o no ft h ed e r i v a t i v ei su s u a l l y f o u rt os i xt i m e ss m a l l e rt h a nt h ee r r o ro fc l a s s i c a lh i g h l ya c c u r a t es c h e m e so ft h es a m e o r d e r 【1 - 4 】a l m o s ta tt h es a m et i m e ，a n di nr a t h e rd i f f e r e n tw a y , a d a m 1a n dh i r s hf 2 】， d e v e l o p i n ga ni d e ao fk r a s s 【3 】h a v es t u d i e dt h ep o s s i b i l i t yo fs o l v i n gp d eb yh e r m i t i a n c o m p a c tt e c h n i q u e s ，a n dh a v es h o w ns e v e r a la d v a n t a g ea n da l s os o m ep r o b l e m sa r i s i n g f r o mt h e i re f f e c t i v eu s e a d a mu s e dd i f f e r e n tm e t h o d sa n db o u n d a r yc o n d i t i o nt os o l v e t h eo n e - d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o na n dat w o - d i m e n s i o n a lc o n v e c t i v e - d i f f u s i v eh e a t e q u a t i o ni n 4 1 h ec o n c l u d e dt h a tt h ea d v a n t a g e so fc o m p a c th i g h l ya c c u r a t em e t h o d s o v e rc l a s s i c a ls c h e m e sa r es h o w no f f ，m a i n l yf o rm o d e r a t ea n dh i g hr e y n o l dn u m b e ra n d t h ep r o b l e mo fi n t e g r a t i o no nan o n u n i f o r mc o m p u t a t i o n a lg r i di sa l s ot r e a t e dw e l l r e c e n t l y , t h e r eh a sb e e nar e n e w e di n t e r e s ti nd e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no fc o m p a c t h i g h - o r d e ra c c u r a t e ，f i n i t ed i f i e r e n c em e t h o d sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ep d e ，f o r e x a m p l e ，a f t e rd e r i v i n gs e v e r a lh i g h e ro r d e ri m p l i c i ts c h e m e sf o ru n s t e a d yo n e - d i m e n s i o n a l c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s 【5 】，n o y ea n dt a n 【6 】p r o p o s e dan i n e - p o i n th o ci m p l i c i t s c h e m ef o ru u s t e a d y2 dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s t h e s c h e m ei st h i r d o r d e ra c c u r a t ei ns p a c ea n ds e c o n d - o r d e ra c c u r a t ei nt i m ea n dh a sa l a r g ez o n eo fs t a b f l i t y r o k i e k ia n df l o r y a n 吲e m p l o y e dt h ev o r t i c i t y - s t r e a m f u n c t i o n f o r m u l a t i o na n dn i n e - p o i n ts t e n c i l s i nt h e i rs t u d i e so ft w o - d i m e n s i o n a l ，i n c o m p r e s s i b l e f l o w sa n da n a l y z e ds e v e r a lt y p e so fb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt h ev o r t i c i t ya tt h es o l i d w a l l sw h i c he m p l o ys i x - p o i n ts t e n c i l s an i n e - p o i n ts t e n c i lw a sa l s ou s e db ym a r i n o s 【8 】 i nh i ss t u d i e so ft h et w o - d i m e u s i o n a lh i h a r m o n i ce q u a t i o ni nr e c t a n g l e s af o u r t h - o r d e r a c c u r a t e ，c o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dw i t han i n e - p o i n ts t e n c i lh a sa l s ob e e np r o p o s e d b ys p o t za n dc a r e y 【9 】f o rt h ev o r t i c i t y - s t r e a m f u n c t i o nf o r m l l l a t i o no f t h et w o - d i m e u s i o n a l 1 n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s m u r l im g u p t aa n dj u nz h a n g 【1 1 】p r e s e n ta ne x p l i c i tf o u r t h - o r d e rc o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o ra p p r o x i m a t i n gt h et h r e e - d i m e n s i o n a lc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n dd e s i g nap a r a l l e l i z a t i o n - o r i e n t e dm u l t i g r i d m e t h o df o rf a s ts o l u t i o no ft h er e s u l t i n gl i n e a rs y s t e m t h e s es c h e m e sh a v eg o o dn u m e r i c a l s t a b i l i t ya n dp r o v i d eh i g ha c c u r a c ya p p r o x i m a t i o n s m e a n w h i l e ，b e c a u s et h ef o u r t h - o r d e r c o m p a c ts c h e m e si sa b l et os u p p r e s sn u m e r i c a lo s c i l l a t i o n s ，t h e ya r ea p p u e ds u c c e s s f u l l y i l l 【1 2 】t os o l v e2 dc o n v e c t i o nd i f f u s i o np r o b l e m sw i t hs i n g u l a r i t yi nt h es o u r c et e r m h o w e v e r ，a ss t a t e da b o v e ，t h ec o m p a c t ，f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sp r e s e n t e di nr e f s 1 一l6 j r e s u l ti n s t e n c i l sw i t ha tl e a s tf i v eg r i dp o i n t sf o rt w o - d i m e u s i o n a lp r o b l e m sa n d s e v e ng r i dp o i n t sf o rt h r e e - d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ；t h e r e f o r e t h e i rc o m p u t a t i o n a ls o l u t i o n i sa l s oe x p e n s i v eb e c a u s ea l lt h ed e p e n d e n tv a r i a b l e sa r ec o u p l e da n df o r mav e r yl a r g e s y s t e m t h e r e f o r e ，a p p r o x i m a t ef a c t o r i z a t i o nm e t h o dm a yb ed e v e l o p e d8 0a st of u r t h e r a l l e v i a t ec o m p u t a t i o n a lc o s t f o re x a m p l e ，a ni t e r a t i v ep r e d i c t o r - c o r r e c t _ o rt e c h n i q u ef o r t h ee l i m i n a t i o no ft h ea p p r o x i m a t ef a c t o r i z a t i o ne r r o r sw h i c hr e s u l tf r o mt h ef a c t o r i z a ， t i o no fi m p l i c i t ，t h r e e - p o i n tc o m p a c t ，l i n e a r i z e d0 - m e t h o d si nm u l t i d i m e n s i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n si sp r o p o s e db yj i r a m o si n 【1 3 s a m i rk a r aa n dj u nz h a n g 1 4 l p r o p o s e dah i g ho r d e ra l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i ts o l u t i o nm e t h o df o rs o l v i n gu n s t e a d y 2 dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m s ，t h ea d im e t h o di ss e c o n do r d e ri nt i m ea n df o u r t ho r - d e ri ns p a c e i n 1 5 ，1 6 ，a ne f f i c i e n th i g h e ro r d e ra l g o r i t h mw h i c hi sf o u r t h o r d e ra c c u r a t e i nb o t ht i m ea n ds p a c ew a sd e v e l o p e df o rs o l v i n g2 da n d3 dr e a c t i o n - d i f f n s i o ne q u a t i o n s ， r e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t hn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nt on e r v ec o n d u c t i o n e q u a t i o n 锄一a u t a u = f ( u ) u t + g ( u ) + h ( x ，t ) ，( z ，t ) q o ，卅 u ( x ，t ) = ( z ，t ) ，( z ，t ) 0 1 2 【o ，卅 ( 0 0 1 ) t t ( z ，0 ) = v o ( x ) ，“( z ，0 ) = t 上o ( z ) ，z 0 ， w h e r eni sr e c t a n g u l a rd o m a i n ，i o ，习i st h ei n t e r v a l ，a n d 币( z ，t ) ，u 0a n dv 0a r eg i v e n f u n c t i o n so fs u f f i c i e n t l ys m o o t h n e s s i nt h ep r o c e s so fn e r v ec o n d u c t i o n ，n e r v ec o n d u c t i o ns i g n a lua n di t sv a r i a b i l i t yw i t h r e s p e c tt ot i m ea n ds p a c ec a nb ec h a r a c t e r i z e dt h et w o - d i m e u s i o n a lp s e u d o - b y p e r b o l i c e q u a t i o n 【1 7 】i nm a t h e m a t i c s s o m er e s u l t sa b o u tt h eu n i q u e n e s sa n de x i s t e n c e ，a n d a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rt h i sc l a s se q u a t i o nc a nb ef o u n di n 【1 8 - 2 0 1 t h e r e a r ea l s os o m en u m e r i c a lr e s u l t sf o re q ( 0 0 1 ) i n 【2 2 2 5 s i n c et h i sl 【i n do fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o nc a nb ed e s c r i b e dm u c hp h y s i c a lp h e n o m e n aa n dp o s s e s ss t r o n gp h y s i c a l b a c k g r o u n d ，t h u si t i sn e c e b f l a l yf o ru st od e v e l o pt h es t u d i e sa e r e s w t h e - b o a r da n dd e e p l y 2 f r o mt h et h e o r e t i c a lp o i n to fv i e wo rf r o mn u m e r i c a la n a l y s i s v a r i o u sn u m e r i c a lm e t h o d s 【2 2 2 5 】h a v eb e e np r o p o s e dt os o l v ee q ( 0 0 1 ) p r o b l e m s a p p r o x i m a t e l y m o s to ft h e s es c h e m e f la r ee i t h e rf i r s t + o r d e ro rs e c o n d - o r d e ra c c u r a t ei n s p a c e a n dh a v ep o o rq u a l i t yi ft h em e s hi 8n o ts u f f i c i e n t l yr e f i n e d f o rm a n ya p p l i c a - t i o np r o b l e m si t i sd e s i r a b l et ou s eh i g h - o r d e rn u m e r i c a la l g o r i t h m st oc o m p u t ea c c u r a t e s o l u t i o n s h o w e v e r ，h i g h e ro r d e rd i s c r e t i z a t i o na r eg e n e r a l l ya s s o c i a t e dw i t hl a r g e ( n o n - c o m p a c t ) s t e n c i l sw h i c hi n c r e a s et h eb a n d - w i d t ho ft h er e s u l t i n gm a t r i xa n dl e a dt oa l a r g en u m b e ro fa r i t h m e t i co p e r a t i o n s ，e s p e c i a l l yf o rh i g h e rd i m e n s i o n a lp r o b l e m s i nt h i st h e s i s ，m o t i v a t e db yt h ew o r ko f 【1 5 - 1 6 ，w ep r o p o s eah i g ho r d e ri m p l i c i ts o l u - t i o nm e t h o df o rs o l v i n ge q ( 0 0 1 ) i no r d e rt oo b t a i ns a t i s f a c t o r yh i g h e ro r d e rn u m e r i c a l r e s u l t sw i t hm u c hl e s sc o m p u t a t i o n a lc o s t t h i 8n e ws c h e m ei sb a s e do na p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o no ff i n i t ed i f f e r e n c eo p e r a t o r s ，w h i c ho n l yr e q u i r e ss o l u t i o n so fs y s t e m so f t r i d i a g o n a le q u a t i o n s m e a n w h i l e t h e r ei sn on e e dt oi n t r o d u c ea p p r o x i m a t i o n st ot h e b o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h es e c o n dd e r i v a t i v e s g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h e r ea r em u c hd i f f i - c u l t i e sf o rm i x e dd e r i v a t i v et e r m si nb o t ht e m p o r a la n ds p a t i a ld i m e n s i o u st oc o n s t r u c t h i g hp e r f o r m a n c es c h e m eb a s i n go nf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d w eo v e r c o m et h ed i f f l c u l t y w h i c hc o m e sf r o mt h em i x e dd e r i v a t i v et e r m ，r e d u c et h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t ya n d s a v ec o m p u t a t i o n a lw o r k s i np a r t i c u l a r ，t h i sl m e t h o dc a no b t a i na n o t h e rp h y s i c a l p a r a m e t e ru tw h i c hi st h es a n l ei m p o r t a n ta sp a r a m e t e r “ t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nt h ec h a p t e r1 w ei n t r o d u c ep r e l i m i n a r i e s i n c h a p t e r2 ，w ep r o p o s eah i g ho r d e ri m p l i c i ts o l u t i o nm e t h o df o rs o l v i n ge q ( 0 0 1 ) i nt w o - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a lr e s u l t sa r ec o n d u c t e dt ot e s tt h ea c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo ft h e n e wm e t h o d i nc h a p t e r3 ，w ed e v e l o pah i g ho r d e ri m p l i c i ts o l u t i o nm e t h o df o rs o l v i n g ( 0 0 1 ) i nt h r e e - d i m e n s i o n a l t h ee f f i c i e n c yo ft h ea l g o r i t l m ai st e s t e db ys o m en u m e r i c a l r e s u l t s i nc h a p t e r4 ，c o n c l u d i n gr e m a r k sa r eg i v e n 3 c h a p t e r1 pr e l i m i n a r i e s 1 1 c o m p a c td f i f f e r e n c es c h e m ef o rt h es e c o n dd e r i v a t i v e w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs e c o n do r d e rc e n t r a ld i f f e r e n c eo p e r a t o r 砖= u j 十1 2 u j + u j 一1 ( 1 1 1 ) i fw ea p p l yi t sv a r i a t i o n t oe x p a n du i + 1a n d 嘶一1a tx j ，t h e nw eo b t a i n 5 ：u j = u j + t - - 2 u 3 + u j - l = a x 2 ( 象) ，+ 扣4 ( 象) ，州矾m 化， w h e r ea xi sm e s h s i z e s e t t i n g 岛= a x 2 ( 静0 2 u ) ja n da p p l y i n g 岛t oa p p r o x i m a t e t h ef o u r t h d e r i v a t i v eo f ( 1 1 2 ) ，w ec a l ls h o wt h a t 甜( 0 丽4 u ，= n z 2 差( 砰象) ，= 岛+ t 一。岛+ 岛- 1 + 0 ( m ( 1 - 1 3 ) s u b s t i t u t i n g ( 1 1 3 ) i n t o ( 1 1 2 ) ，w eh a v e 壶岛+ 1 + 百5 岛+ 击岛一l = 6 ：u j + o ( 5 x 8 ) ( 1 1 4 ) i fb o t hs i d e so f ( 1 1 4 ) d i v i d e db ya x 2 ，( 1 1 4 ) c a nb ew r i t t e n 拍 壶卷+ ；岳+ 壶器= 磐删幽 ( 1 拍) h e n c e ，w ec 锄t h a t 岳a p p r o x i m a t e s ( 貉) jt o t h ef o u r t ho r d e ri na x t h e r e f o r e ( 象) ，“轰= w h i c hi so f t e nc a l l e dp a d e a p p r o x i m a t i o n 4 1 2r i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o n w ea s s u m et h a tt h e r ee x i s t san u m e r i c a ls o l u t i o nm e t h o dw h i c hi sa p p l i e dt os o l v et h e f o l l o w i n gp r o b l e m f 毗+ l u = f ( x ，t ) ， 恤，6 】，t 【o ，刀 u ( a ，t ) = c ，u ( 6 ，t ) = d ，t 【0 ，卅， ( 1 2 1 ) iu ( x ，0 ) = 妒( z ) ，a ，b l ， a n dt h i sm e t h o di sp - o r d e ra c c u r a t ei nt e m p o r a ld i m e n s i o nw h e r eli sp a r t i a ld i f f e r e n t i a l o p e r a t o r w ed e n o t et i m em e s h e i z eb ya t s e t t i n ga t = h w ed e n o t et h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o nt ou ( x j ，t n ) a tt h em e s hp o i n t ( z j ，“) b y 屹h i fw el mi t sv a r i a t i o nht oe x p a n d 吩 a t ( 唧，k ) ，t h e nw ec a n s h o wt h a t 略 = “( 巧，t 。) + 如胪十籼l p + 1 + ( 1 2 2 ) r e d u c i n gt h et i m em e s h s i z eht o ，w eh a v e 吆= u ( x j ) + 1 ，a p h p + 击籼l p + 1 + ， ( 1 2 3 ) w h i c hc a nb ew r i t t e na s 2 p u 地n h2 2 p u ( x j ，如) + a p h p + ；a p + 1 h h l + ( 1 删 t h ed i f f e r e n c eb e t w e e n ( 1 2 2 ) a n d ( 1 ，2 4 ) i s 2 p u j n ，i h 一略2 ( 2 ”1 ) u ( x j ，t n ) 一i a p + 1 1 + 。 ( 1 2 5 ) d i v i d i n gb y2 p 一1t ob o t hs i d e so f ( 1 2 5 ) ，w eo b t a i n 鉴2 2 - 墨1 刮删一赤枷州 ( 1 2 6 ) r 2 p u 惦n h 一吆“ 甜( q ，k ) “并 ( 1 2 7 ) o fw h i c ht r u n c a t i o ne r r o ri so ( p + 1 ) i nt e m p o r a ld i m e n s i o n t h i si sr i c h a r d s o ne x t r a p o - l a t i o na p p r o a c h 5 c h a p t e r2 h i g h - o r d e ra l g o r i t h mf o rs o l v i n g t w od i m e n s i o n a lp r o b l e m t w o - l m e n r od i e m 2 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w ed e r i v ean e wf i n i t ed i i r e r e n c es c h e m ew h i c hi se a s i l ye x t e n d e dt o f o u r t h o r d e ra c c u r a t ei nb o t ht e m p o r a la n ds p a t i a ld i m e n s i o n st os o l v ee q 【0 0 1 ) i nt w o - d i m e n s i o n a l w ec h o o s er e c t a n g u l a rd o m a i nn = 【n ，b 】e ，d 】 t h i sc h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nt h en