（基础数学专业论文）图递归受控moran结构集的开集条件的刻画.pdf

摘要 自相似集及图递归自相似集的开集条件、强开集条件及s 维的h a u s d o r f f 测度 为正的等价性已经被证明本文主要讨论一类相当广泛的非自相似的称之为图递归 受控m o r a n 集的分离问题 在第二章，研究了一类图递归m o r a n 结构集球条件、有限族性质及s 维 的h a u s d o r f f 测度为正的等价性得到了一个重要的结论( 定理2 1 4 ) ：对于一个易 处理的图递归受控m o r a n 结构及其极限集，下列条件是等价的，( 1 ) 球条件t ( 2 ) 一致球条件；( 3 ) 有限族性质；( 4 ) 一致有限族性质；( 5 ) 乡( k ) 0 ；其中t 为拓 扑压力p ( t ) 的根 ， 在第三章，讨论了由有向图迭代函数系生成的图递归受控m o r a n 集的开集条 件、强开集条件、球条件、有限族性质及s 维的h a u s d o r f f 测度为正的等价性并 得出：对于一个同余的有向图迭代函数系 妒。：e e ，若边界条件成立，则球 条件、开集条件、强开集条件与j ( k ) 0 是等价的，其中t 为拓扑压力e ( t ) 的零点 关键词：图递归受控m o r a n 结构；开集条件；拓扑压力；球条件；有限族性质 a b s t r a c t t h ee q u i v a l e n c eo f ”s e p a r a t i o np r o p e r t i e s “t h a ti n c l u d e st h eo p e ns e tc o n d i t i o n ，t h e s 臼o n gs e tc o n d i t i o na n dt h ep o s i t i v i t yo ft h eh a u s d o r f fm e a s u r ef o rs e l f - s i m i l a rs e t sa n d g r a p h d i r e c t e ds e l f - s i m i l a rs e t sh a v eb e e nw o r k e do u t i nt h i sa r t i c l e 。w em a i n l yc o n s i d e r s e p a r a t i o np r o p e r t i e s ”f o rac l a s so fn o n s e l f - s i m i l a rs e t st h a tw ec a l li tg r a p h d i r e o e d c o n t r o l l e d - m o r a nc o n s t m c t i o n ss e t s i nt h es e c o n d c h a p t e r ，w ep r o v et h ee q u i v a l e n c eo f t h eb a l lc o n d i t i o n ，t h ef i n i t ec l u s - t e r i n gp r o p e r t y , t h eu n i f o r mb a l lc o n d i t i o n ，t h eu n i f o r mf i n i t ec l u s t e r i n gp r o p e r t ya n dt h e p o s i t i v i t yo ft - d i m e n s i o nh a u s d o r f fm e a s u r eo fg r a p h - d i r e c t e dc o n t r o l l e d - m o r a nc o n - s t r u c t i o n ss e t s w ed e r i v ea ni m p o r t a n tc o n c l u s i o n ( t h e o r e m 2 1 4 ) ：f o rat r a c t a b l eg r a p h - d i r e c t e dc o n t r o l l e d - m o r a nc o n s t r u c t i o n sa n di t sf i m i ts e t ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r e e q u i v a l e n t ：( 1 ) t h eb a l lc o n d i t i o n ：( 2 ) t h eu n i f o r mb a l lc o n d i t i o n ；( 3 ) t h ef i n i t ec l u s t e r i n g p r o p e r t y ；( 4 ) t h eu n i f o r mf i n i t ec l u s t e r i n gp r o p e r t y ；( 5 ) 3 9 ”t ( k ) 0 ，w h e r eti st h ez e r o o ft h et o p o l o g i c a lp r e s s u r e i nt h et h i r dc h a p t e r , w ep r o v et h ee q u i v a l e n c eo ft h eo p e ns e tc o n d i t i o n , t h es t r o n g o p e n s e t c o n d i t i o n ，t h e b a l l c o n d i t i o n a n d t h e p o s i t i v i t y o f t - d i m e n s i o n h a u s d o r f f m e a s u r e o fg r a p h d i r e c t e dc o n t r o l l e d m o r a nc o n s t r u c t i o n ss e t st h a tg e n e r a t e db yg r a p h - d i r e c t e d i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m w ed 舐v e ：f o ra c o n g r u e n tg r a p h - d i r e c t e di t e r a t e df u n c t i o ns y s t e mw h i c hs a t i s t i e sb o u n d e dc o n d i t i o n ，t h eb a l lc o n d i t i o n ，t h eo p e ns e tc o n d i t i o n ，t h e s t r o n go p e ns e tc o n d i t i o n ，a n d 魂( k ) 0a r te q u i v a l e n t , w h e r eti st h e f oo ft h e t o p o l o g i c a lp r e s s u r e k e y w o r d s ：g r a p h d i r e c t e dc o n t r o l l e dm o r a nc o n s t r u c t i o n s ：o p e ns e tc o n d i t i o n ； t o p o l o g i c a lp r e s s u r e ；b a l lc o n d i t i o n ：f i n i t ec l u s t e r i n gp r o p e r t y 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作 及取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任 何他人撰写过的已公开发表或未公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明并表示谢意本学位 论文原创性声明的法律责任由本人承担 学位论文作者签名： 年5 月 日 学位论文使用授权声明 扫 啦 本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定同意如下 各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用映印、缩 印、扫描、数字化和其他手段保存论文有权将学位论文用于非赢利目的的少量复 制或全部内容用于学术活动并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学 位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：知 龟也珏师签名： 。r 6 月j 日 叩6 月j 日 第一章引言与预备知识 第一章引言与预备知识 h a u s d o r f f 维数和h a u s d o r f f 测度【4 】是分形几何研究中两个非常重要的量而开 集条件是研究h a u s d o r f f 维数和h a u s d o r f f 测度时的基本条件开集条件是m o r a n 1 1 】 在1 9 4 6 年研究自相似集的h a u s d o r f f 测度为正时提出的1 9 8 1 年，h u t c h i n s o n 【7 】 对自相似集进行了系统地研究，并证明了如果开集条件成立，则自相似集的8 维h a u s d o r f f 测度为正1 9 9 2 年，b a n d ta n dg r a t l 2 】对于有正h a u s d o r f f 测度的自 相似集给出了进一步的刻画随后，在b a n d ta n dg r a f 工作的基础上，s c h i e f 1 4 】 在1 9 9 4 年证明了欧氏空间中自相似集的正h a u s d o r f f 测度与开集条件、强开集条 件是等价的在2 0 0 1 年及1 9 9 7 年，p e r e s 1 3 】和w a n g 1 6 1 分别将正h a u s d o r f f 测度 与开集条件、强开集条件等价性的结果推广到自共形集和图递归自相似集上最 近，k i i c n m a l da n dv i l p p o l a i n e n 8 】在受控m o r a n 结构上讨论了这类问题 本文将再深入研究这一类问题我们将通过有向图结构来定义受控m o r a n 结构 的分离性问题，在此基础上讨论由有向图迭代函数系定义的受控m o r a n 结构的极 限集的正h a u s d o r f f 测度、开集条件、强开集条件的等价性问题从而我们把上述 等价性的研究推广到了更加广泛的一类集合上 下面我们给出本文中将用到的符号设( y ，d 为多重有向图，其中矿 是图中的顶点集，e 为图中的边集，y 中的元素个数是有限的对任意 两个顶点让，移v ，集合e 唧表示e 中所有从乱到 的边所组成的子集 以j 0 = u 。y j k 记所有从u 出发的边 图中的路径是指边的一个有限串a = e l e 2 “，其中每条边e i 的终点都是下 一条边e i + 1 的起点，路径o t 的起点即为初始边e l 的起点，记为i ( q ) 或t ( e 1 ) ，路 径o l 的终点即为终边的终点，记为t ( n ) 或t ( e k ) 一条路径a 的长度即为其中边 的个数，记为1 0 1 而e 表示所有从u 到”且长度为七的路径或表示所有从u 出发且长度为七的路径皖表示所有从u 出发且长度有限的路径，f 表示所有长 度有限的路径类似的，点表示所有从让出发且长度无限的路径，e * 表示所有 长度无限的路径 若n e ，卢点，则我们以。卢表示o t 与卢合并所成的路径，且口p 第一章引言与预备知识 磁“我们在矿上定义一个偏序，记d p 当且仅当n 是p 的前缀，即存在 路径，y ，使得p = 口1 设路径o tee + u e ”，七为满足女i o t l 的非负整数，则我 们定义o i k = ( q 1 ，o r 2 a k ) 若n e 。，则【a 】= 盯l 严：o t 口 称为由口生 成的柱集若路径o ，卢中的任何一个都不是另一个的前缀，则o t ，口称为互不相 容的，记为n 上口如果一个集合中的任意两个元素都是不相容的，则我们称这个 集合为不相容的对路径仃= e l e 2 e k ，令盯一= e l e ：z 钆小若对于任意两个顶 点“，口v ，都存在路径o t 跣，则称有向图( y ，日强连通 最后，我们给出在后面的证明中将用到的结论 引理1 1 【3 】设e c p 是b o r e l 集，p 是p 上有限的b o r c l 测度，0 c o o 如果对所有z e ，l i ms u p ，。o p ( z ，r ) ) r l c ，则舻( e ) s2 。p ( e ) c 引理1 2 n 设s 为取“的子集，：s 一靴为l i p s c h i t z 函数，则，有一 个l i p s c h i t z 扩张9 ：r ”_ p ，其中l i p ( g ) = l i p ( ，) 引理1 3 1 1 0 】设a 为舻的一个非空有界子集，如果存在一个定义于舻上 的b o r e l 测度p 及正数口，b ，r o 及s ，使得0 p ( a ) p ( p ) o o ，且对任意ze a 及0 r r o ，有0 0 ：盯p ) ，当p ( t ) = 0 时，对一切竹n ，有 d 。墨f 岛d ( 2 1 ) f f “ 4 第二章图递归受控m o r a n 结构集 事实上，由引理1 4 得：对任慈n n ，有 p ( t ) l o g 菇+ l o g d ) ， a e e 即 2 d 。e 时“ 口e ” 又因为p ( t ) = 0 ，所以对任意n n ，有 另一方面， 即 芝d 。 o e e 霹d 。e 廿 ，f 同样因为p ( t ) = 0 ，所以对任意n n ，有 s d f j 曰” ( 2 2 ) ( 2 3 ) 兵次，征e ”上嗣遁一个 琥翠制度，嬗辽该硼度进一步嗣适满足条仟明通仂棚厦 p 对每个盯驴及行n ，定义 咖，= 嚣 则由( 2 1 ) 及( s 1 ) 知， 嘶卜蓦 d ，。，躁 一z t f ” d 2 ，。，砖礴 = 工声母，。，群 5 影 一 d 唱 1 一n f | 广霹 一 一 d 昭 i 蔓 吕8h 舻 一 为 p 因 第二章图递归受控m o r a n 结构集 类似可证， 嘶) 竽母 令l i r a 为定义在由所有有限实数列组成的线性空间上的b a n a c h 极限记p ( 仃) = l i m v ( a ) ，则对任意的盯e + ，由b a n a c h 极限的性质有 p ( 删 e e t ( f ) 2 曼骢( 一) e e 毋 一。e e e r e 。，影e r 2 恕e e e 。- i + i o 萨l ”1 ” 乙ro ； ：舰寒慧 “一厶r 俨+ 1 + o ； 竽砖纠一) d 3 t s t a ( 2 4 ) 对每个盯驴，指定( 川) = p ( 盯) ，则为e 。上的概率测度 对任意n n ，令一：蒿ot 。，则为俨上的概率测度设p 为 ) 。n 在弱拓扑意义下的聚点 由于对一切盯驴，有 l ( p 】) 一p 。( r 一1 p 1 ) i = 元1 i p ( p 】) 一v ( r l p 】) i ：一o m o 。) ， 所以“为t - 不变测度 对任意的盯j 严，由( 2 1 ) 及( 2 4 ) 知 删。黔( 舻恕：萎v o t - ( = 。l i m 。元1 ( m ) 一舢备，篇：和) “ d 甜l i m ie ，一j -一 胪砖，熙： 研s d 5 t s t ( 2 5 ) 第二章堕垄塑鐾篓塑堕塑塞一 一一 另一方面有 从而由( 2 5 ) 和( 2 6 ) 得， 删) 之字霹 对任意的仃矿。有 ( 2 6 ) 坐霹p ( h ) 萨霹 ( 2 7 ) 下证弘是遍历的( 反证法) 假设存在胪可测集a c e o 。，使得t - l ( a ) ；a t 且o 一7 ，o a p p 口凡，百历= t c c o ! ：翌燮砖 o 7 ，o 口 之坐掣p 【渊) ! ：里：竺些韭业弘( ( 矿a ) n 臻) ) 因此 p ( t 一1 ( a ) r 1 陋1 ) ；p ( b ；a fi 正碌) 】) ；p ( b 1 ) 一p ( 陋；( e ”a ) n e 鑫) 】) ( 1 一2 - , d - - m 8 p ( 趴a n 蹄) ) ) p ( 1 0 4 ) ( 2 8 ) 令1 ：l 一璺二学p ( ( 酽a ) n e 不) ) ，) = ( 1 + 一y 一1 ) 2 同样可找到互不相容 集rc 驴，使得a c 望且身( b 1 ) 墨卵弘( a ) 则姑6 椰8 知 删：妻彬m = ( t 弋a ) 脚狞蚋以舢卅卜 口r o t “ 。一 第二章图递归受控m o r a n 结构集 此为矛盾即不存在抄可测集a c e o o ，使得t 一1 ( a ) = a ，且0 p ( a ) 0 ，存在盯；( 0 1 ，o 2 ，) e 。，使得7 r ( 盯) = z 设扎为满 足j 0j 。c 最。 r ) = d ：l ! ，一圳 r 的最小整数，则由( 2 9 ) 与( c 2 ) 知， r e ( b ( 。，) ) m ( x i 。) = p o7 r 一1 ( k h ) p ( p i 几1 ) c d i a m ( x 。i 。) 之c - 1 d d i a m ( x o i ，1 ) d i a m ( x o 。) c 一1 d m 。i 。n d i a m ( x e ) r t e 廿 令= ( 2 t m ( k ) ) ( c 一1 d m 。i 。n d i a m ( x e ) 。) ，则由引理1 1 知，对任意的卜可测 集a c k ，有( a ) m ( a ) 证毕 8 第二章图递归受控m o r a n 结构集 定义2 6 设i ：盯e + 为一个图递归受控m o r a n 结构，对任意r 0 ，令 z ( r ) = 盯e 。：d i a m ( x ) r d i a m ( x o 一) 对任意。k ，令 z ( z ，r ) = 盯z ( r ) ：j o r 、i b 忙r ) 咖) 若s u p z e k l i m s u p n o z ( z ，r ) o z ( z ，r ) o o ，则称此图递归受控m o r a n 结构满足一致有限族性 质 定义2 7 称图递归受控m o r a n 结构 托；盯e l 满足球条件，若存在常 数0 6 1 ，使得对任意z 甄存在r 0 0 ，对一切0 r r o ，存在一个集 合 z ，ec o n v ( x ，) ：盯z ( x ，r ) ) ，使得集合 甄。打) ：口z ( z ，r ) 中的元素是互 不相交的若对任意的z k ，可找到无穷大的r 0 满足上面的条件，则我们称此 图递归受控m o r a n 结构满足一致球条件 定理2 8 设 k ：盯e 是一个图递归受控m o r a n 结构，则球条件( 一 致) 与有限族性质( 一致) 是等价的 证明：我们这里仅证明非一致的情况，对于一致的情况可类似的证明 假设球条件成立，任取z k 及0 r 0 ， 满足对任意0 r r 0 成立带z ( 。，r ) m 取j = ( 4 m d ) 一1 嘧d i a m ( 五) ，并固 9 第二章图递归受控m o r a n 结构集 定k 及0 r r 0 ，设z ( x ，r ) = 盯1 0 2 ，) ，其中n = 睾z ( z ，r ) ，我们 将用归纳法找出满足球条件的点z 。z 。取z ，。为c o v ( x 。) 中的任意一点 假设已经找出k 个满足球条件的点。，。，其中k l ，2 ，n 1 ) ， e o n v ( x ，, ) ，i l ，2 ，耐由【8 ，l e m m a 3 4 】知，可从c o v ( 恐。) 中找出2 n 个点讥，2 ，y 2 。c o n y ( x 0 + 。) ，使得 口( 鲫( “) _ ，d i a t n ( x ，。) ) 。j 1 ，2 ，2 佗 中的集合是互相不交的又因为对任意盯z ( x ，r ) ，有 打( 4 m d ) 一1 2 窖d i 锄陇) d i 锄( 墨一) ( 4 m ) d i a m ( x ，) 再次利用【8 ，l e m m a 3 4 】， b ( 嘲，抒) 。i 1 ，2 ，后，至多与 域蜥。渤) d i a m ( x a ) ) 。 j 1 ，2 ，2 n ) 中的2 后个元素相交，从而可取z ，。 v l ，驰，现。 ，使得 对任意的i l ，2 ，七 ，有 虽仇+ l ，渤) 一- d i 。( ) ) nb ( 唧打) 命题得证 定理2 9 如果一个图递归受控m o r a n 结构1 ：盯驴 满足一致有限族性 质，则存在0 7 o o 使得对任意z k 及0 r 7 o ，有 m l r t r e ( b ( ”) ) 如一， 其中m = t o ，r ，肛为定理2 4 中的测度，t 为p ( t ) = ! i r a ：l o g d i a m ( 托) = - o 。 口驴 0 的根进而有d i m j = r k = t 证明：任取$ k ，则存在盯e ”，使得丌( 盯) = $ 对任意0 r r o ，取，l 为满足墨i 。c 虽。 r ) 的最小正整数，则 m ( 虽。，) ) m ( l 。) = p ( 7 r 一1 ( k h ) ) 弘( p l 叫) c 一1 d i m n ( x ，i 。) c 一1 d d i a m ( x ，i 。一1 ) d i a m ( 五。) c 一1 d _ 1 一d i a m ( x o 。) c 一1 d 一1 m i n d i a m ( x , ) r 。垒m s ， e e e 即，m ( b 1 r ) ) 2m t r 1 0 第二章图递归受控m o r a n 结构集 另一方面，因为? r - 1 ( b ( 。) ) cup 1 ，所以 口五$ r ) r e ( b ( 。，r ) ) p ( up 】) s p ( p 1 ) c d i a m ( x , , ) 襻z ( 马r ) g 一 口盈# 一 4 盈；一 a e z ( x , r ) 又因为此图递归受控m o r a n 结构满足一致有限族性质，所以存在常数蟛，使 得带z 扛，r ) s 故孝z ( z ，r ) c r m 2 c r 垒m 2 r 由引理l - 3 知，d i m 日k = t ，其中t 为p ( t ) = 0 的唯一解，证毕 推论2 1 0 若图递归受控m o r a n 结构 ；盯ee 满足有限族性质，则 0 澎“( k ) ( 3 0 证明：由定理2 9 的证明过程知，把一致有限族性质换成有限族性质，结论还 是成立的，即 尬r tsr n ( b ( 。r ) ) ， 所以由引理1 1 知：0 0 ( 反证法) 假设一致有限族性质不成立，即对任意n n ，都存在西k 及略 0 ，使得睾z ( 略，略) n 固定n n ，取盯z ( 靠，略) ，使得 z ，= ”( ) ，其中n e i c 1 令 q ，= r e ”：存在无穷多个n n 满足了”- 1 ( r ) 1 任取r q ，及n n ，使得p ( 7 | ) 川，记= 7 r ( 下) ，7 = r h 取o i l ，o r 2 ，q z ( 略，略) ，使得对任意l ，j 1 ，2 ，一，) ，当t j 时，有m 则因为对 任意的i 1 ，2 ，) ，有d i s k k ，托。) 略，且此图递归受控m o r a n 结构是 易处理的，所以d i s t ( j 【，x m ) c d i a m ( x , ) 略又因为z j ，所以对任意的 第二章图递归受控m o r a n 结构集 i l ，2 ， ，有 霄( 【叩q d ) c x 矗cb ( 2 ，d i m ( x w ) + d j s t ( x 妒，x 帕) + d j a m ( x q 。i ) ) cb ( 毛( 2 d + c ) d i m m ( x ，) r j v ) 因此，若令r n = ( 2 d + c ) d i a m ( x ，i 。) 略，则7 r ( u 墨1 加q j ) cb ( 。，。) ，从而 竺! 鱼坠韭 兰! 丛匦1 2 嚏 一 吒 g ：墨璺! 竺( 墨丝z 一 嚏 一 里：望：璺! 竺墨! = 兰! 垒! 塑! 垫! 登 ( 2 d + c y d i a m ( x n ) 。r 岛 因为当n 一0 时，有l0 ，所以对任意z 7 r ( q ，) ，有 l i r as u l z 掣c o n n _ o r 由引理1 1 知，j ( 丌( q ，) ) 2 c 守1 n - 。m ( t r ( f 2 。) ) 注意到1 = j 工( q ，) m 何( q ，) ) 1 ，则 j ( k ) 。，( 7 r ( q ，) ) + 澎”( k 7 r ( ) ) 钌1 n _ 1 m ( f b ) ) + c m ( k 7 r ( r k ) 2 t c 手1 一1 _ 0 ( n o o ) 这与。，( k ) 0 矛盾，所以此易处理的图递归受控m o r a n 结构满足一致有限族 性质证毕 推论2 1 3 对于一个易处理的图递归受控m o r a n 结构及其极限集，下列条件 是等价的： ( 1 ) 球条件； ( 2 ) 一致球条件； ( 3 ) 有限族性质； ( 4 ) 一致有限族性质； ( 5 ) j 纱( k ) 0 ，其中e ( t ) = 0 证明：由定理2 8 、推论2 1 0 、定理2 1 2 知，结论是显然的 1 2 第三章有向图迭代函数系 第三章有向图迭代函数系 为了证明正h a u s d o r f f 测度与开集条件的等价性，我们在这一章主要研究由有 向图迭代函数系生成的极限集的分离性得到了由同余有向图迭代函数系生成的极 限集的测度的正性与开集条件、强开集条件是等价的由于自相似与自共形迭代函 数系为同余的，因而本章的结果推广了【5 】与【1 5 】中的相应结论 假设 吼c 耐：口y 为一族非空有界集合，且对每个e e ，存在一个定 义于q t ( 。) cr 4 上的压缩映射仇：1 2 t ( 。) 一g ( 。) ，并存在非空紧集墨。cq 。，使 得u ( 五( 。) ) c 托 定义3 1 若定义于 q t ( 。) ：e e 上的压缩映射族 ：e e 满足： ( 1 ) 对任意的“v ，五。c r 8 为满足x ；面，的非空紧集， ( 2 ) 对任意的e e ，映射妒。：q t ( 。) 一f i ( 。) 都是压缩的 则称此压缩函数族 ：e e ) 为有向图迭代函数系 对于有向图迭代函数系及任意的v ，存在唯一的非空不变集j 乙cx 。，使 得玩= uu ( k ，) ，极限集k = u 段。 定义3 2 我们称有向图迭代函数系为受控的，如果它定义一个图递归受 控m o r a n 结构，即：存在一列紧集( 托) 。y ，使得 ( 五t ( ，) ) ) ：盯f ) 是一个 图递归受控m o r a n 结构，其中= 1o 。，盯= m 叻4 定理3 3 一个受控的有向图迭代函数系定义一个易处理的图递归受控m o r a n 结构 证明：取紧集列( ) 。y ，使得 ( 五( ，) ) ：盯e 是一个圈递归受 控m o r a n 结构对任意盯e ，令影= i n f s o ：i ( z ) 一( ) iss i z 一 | 比，! ，瓦( ，) ) 因为x t ( ，) 为紧集，所以存在$ ，x t ( ，) ，使得k 一训= d i a n a ( 五( ，) ) 又因为 所以 ( 。) 一( ) i d i a m ( ! a , , ( x t c ，) ) ) = d i a m ( x t ( 计) 一1 d i a m ( p , , ( x t ( ，) ) ) i z y 彤d i a m ( x t ( ，) ) 一d i a m ( ! a ，( x t ( ，) ) ) 1 4 第三章有向图迭代函数系 取c = m m c v d i a m ( x , , ) - 1 ) ，从而对任意口，卢& ，) ，有 d i s t ( ( x t ( 。) ) ) ，( 口( x t 【口) ) ) 影d i s t ( ( 五( 。) ) ，即( 五( 口) ) ) d i a m ( x t ( ，) ) “d i 锄( ( 五扣) ) d i s t ( i ，o a ( x t ( 。) ) ，咖( 五) ) ) c d i a m ( g o ，( x t ( ，) ) ) d i 8 t ( ( x t ( 。) ) ，即( 五( 口) ) ) 证毕 定义3 4 ( 1 ) 对于图递归受控m o r a n 结构 托：口e + ) ，若存在常数c 1 使得对任意盯驴，o l ，p & ，) ，有 c d i a m ( x ，) d i s t ( x a ，洳) d i s t ( x ，。，托p ) c c 地a m ( x a ) d i s t ( 托，如) ， 则称此图递归受控m o r a n 结构 k ：口口 同余 ( 2 ) 对于有向图迭代函数系( 妒。：e e ，若d i a m k 0 且对任意盯e 。，存 在常数0 瓦 0 ，由( c 3 ) 知，存在n n ，使 得d i a m ( x ，( 。i 。) ) + d i a m ( x ， z i 。) ) 又因为此图递归受控m o r a n 结构同余，g il a l r ( a a ) 一7 r ( 口口) i sd i a m ( x ，( 。i 。) ) + d i s t ( x ，( 。m ) ，x o ( 口l 。) ) + d i a m ( x ，( a l 。) ) c d i a m ( x ，) d i s t ( x ( 。帅五口曲+ s c d i a m ( ) 已) 1 7 r ( a ) 一7 r ( p ) i + 己 1 5 第三章有向图迭代荫数系 另一方面，选取n n ，使得d i a m ( x o l 。) + d i a m ( x 口i 。) 0 的非空紧集族 墨c 豫d ：口 p l ，如果 ( 1 ) 对任意的盯驴，e e t 0 ，所以对任意盯e + ，有 d i a m ( x , , ) sc d i a m ( k t ( 。) ) d i a m ( ( k t ( ，) ) ) ( 3 1 ) 对任意口p ，r 。) ，由定理3 5 知， d i a m ( ( 冠( ，) ) ) =s u pj 铷( 竹( z ) ) 一( 竹( f ) ) i o ”k t ( f 1 俨d i 锄( 兄) d i 咖隅) s u pb 一! ，l 。，y e k ( t j = 俨d i 锄( ) d i 锄( 墨) d i m ( 尬( ，) ) 。 所以由( 3 1 ) 式知， d i 锄( ，) c a a m ( g ，) ) 一d i a m ( ，( ( ，) ) ) 伊d i a m ( ) d i 啪( 墨) 另一方面，对任意盯驴。有 d i a m ( 妒o ( k t ( ，) ) ) = s u pi ( z ) 一( ! ，) i # ，p 爿t ，) c d i a m ( x = ) s u pk y l z , y e k t ( = ) = c d i a m ( x o ) d i a m ( g , ( 。) ) 所以 d i 锄( 托) c d i a m ( k t ( ，) ) 。1 d i 锄( ( ，) ) ) 对任意盯护，r 。) 及一切牙，k t ( ，) ，有 d i a m ( ，( j ( ，) ) ) =s u pi ( 妒，( 寥) ) 一妒，( 妒，( g ) ) i ，y e k t ( r c 一2 d i a m ( x , , ) d i a m ( x ，) s u pl 一y i # ，y e k t ( f = c d i a m ( x ，) d i a m ( x t ) d i a m ( k t ( ，) ) 所以对任意盯驴，r ，) ，有 d i a m ( x ，) c d i a m ( k t ( ，) ) 一1 d i 呦( ，( k ( ，) ) ) c d i a m ( x ) d i a m ( x ，) 1 7 第三章有向图迭代函数系 从而( c 2 ) 成立 - f i 正( c 3 ) 对任意n n ，令；翼譬d i 枷( k ) 并从e ”中选取盯l ，o 2 ， 使得对任意n n ，有 厶= d i a m ( x ，1 。) 因为e 。是紧的，所以序列 “) 。e n 存在收敛子列设盯e * 为此收敛子列的极限点，则对任意j n ，存 在n ( j ) n ，使得n c i ) j 且o n o ) i l l j 因而对任意j n ，有o ) d = 口j j ， 由( 1 ) 、( 3 ) 知， j l 厶