（应用数学专业论文）用规范变换求解akns系列及其超对称化.pdf

摘要 本文研究用规范变垫求解a k n s 和一 及其塑堕至曼化第一，基于a k n s 系列与克= l 的约束k p 系列的等价性，我们建立一个用两种类型规范变换求 解a k n s 系列的统一框架为了保持a k n s 系列的l a x 算子形式，两种类型 规范变换都存在两种选择，这正好导致用于制作规范变换的两类函数我们仔 细讨论第二种选择的规范变换( 含两种类型) 的多种递推，以及两种选择的联 合特别地，利用规范变换，我们从”自由”l a x 算子l ( o ) = 0 生成了a k n s 系列第二，为了对上述工作进行超对称化，首先介绍与o r a s s m a n n 代数相 关的分析技巧和k p 系列的两种超对称化：m r s k p 系列和s k p 。系列然 后，基于超a d l e r - - g e l f a n d - - d i c k e y 框架，我们建立了m rs k p 系列的k w 定理、s k p 2 系列的k w 定理以及超m i u r a 变换第三，类似于纯玻色情 形，对于由s k p 。系列的约束所定义的a k n s 系列的超对称化- - s a k n s 系 、列，我们提出一个用两种类型规范变换求解它的统一方式为了保持s a k n s 系列的l a x 算子形式，两种类型规范变换都存在两种选择，但它们都不能保 持宇称我们讨论了规范变换的三种递推( 仅限两步) ，以及从“自由”l a x 算于 l = a 生成s a k n s 系列 a b s t r a c t s o l v i n ga k n sh i e r a r c h ya n di t ss u p e r s y m m e t r i z a t i o nb yg a u g et r a n s f o r m a r i o na r es t u d i e di nt h i sp a p e r f i r s t ，b a s i n go nt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e n t h ea k n sh i e r a r c h ya n dt h ec k p h i e r a r c h yw i t h = 1 w ee s t a b l i s hau n i f i e d f l a m et os o l v ea k n sh i e r a r c h yb yt w ot y p e so fg a u g et r a n s f o r m a t i o n i no r d e rt ok e e pt h ef o r mo ft h el a xo p e r a t o rf o ra k n sh i e r a r c h y ，t h e r ea r et w o c h o i c e sf o re a c ht y p eo f g a u g e t r a n s f o r m a t i o n s ，w h i c hj u s tr e s u l t si nt , w oc l a s s e s o ff u n c t i o n su s e dt ot r i g g e rt h eg a u g et r a n s f o r m a t i o n w ed i s c u s ss o m ec a s e s o fs u c c e s s i v et r a n s f o r m a t i o n sw i t ht h es e c o n dc h o i c e ( i n c l u c d e st w ot y p e so f g a u g et r a n s f o r m a t i o n ) i nd e t a i l ，a n dt h eu n i o n so ft w oc h o i c e s i i lp a r t i c u 一 1 a r b yu s i n gg a u g et r a n s f o r m a t i o n w eg e n e r a t ea k n sh i e r a r c h yf r o m “f r e e ” l a xo p e r a t o r 工( o ) = 0 s e c o n d i no r d e rt oo b t a i nt h es u p e r s y m m e t r i z a t i o no f a b o v ew o r k ，w er e v i e ws o m eb a s i cr e s u l t sa b o u ta n a l y s i so ng r a s s r n a n na l g e b r a a n dt w os o r t so fs u p e r s y m m e t r i z a t i o n so fk ph i e r a r c h y ：m r s k pa n ds k p 2 t h e n ，a c c o r d i n gt ot h es u p e r s y m m e t r ya d l e r g e l f a n d d i c k e yf l a m e ，w ep r o v i d et h ek wt h e o r e ma n dt h es u p e r m i u r at r a n s f o r m a t i o nf o tm r s k pa n d s k p 2 t h i r d ，s i m i l a rt ot h ec a s eo fp u r eb o s es y s t e m ，f o rs a k n sh i e r a r c h y d e f i n e db yt h ec o n s t r a i n t so fs k p 2h i e r a r c h y ，w ep r e s e n toneu n i f i e dw a yt o s o l v es a k n s h i e r a r c h yi nt e r m so ft w ot y p e so fg a u g et r a n s f o r m a t i o n i no r d e r t op r e s e r v et h ef o r mo fl a xo p e r a t o rf o rs a k n s h i e r a r c h y ，e a c ht y p eo fg a u g e t r a n s f o r m a t i o nh a v et w oc h o i c e s ，w h i c hc a n tm a i n t a i nt h ep a r i t y w ea l s o d i s c u s st h r e ec h a i n so fs u c c e s s i v eg a u g et r a n s f o r m a t i o nw i t ht w os t e p s ，a n d g e n e r a t es ak n sh i e r a r c h yf r o m “f r e e ”l a xo p e r a t o r = 0 v 致 谢 本文是在李翊神、程艺教授精心指导下完成的在这三年里，两位导师 给予了我极大的关怀与鼓励，给我们全面地讲授了孤子方程、k p 理论等可 积系统知识，这是本文得以完成的坚实基础特别是他们的宽容和耐心让我非 常感动在此，我表示最衷心的感谢同时，感谢田畴教授、李尚志教授、成 立庚书记、黄稚新老师的帮助和鼓励还有邓建松，陈长松，李立斌、田涌波 等同学给了我大量热诚的帮助和支持，讨论班的同学给我很多帮助并对论文 提出许多有益建议，在此我表示深深的谢意 我来到合肥之后，一直受到我的同学刘学军全家的热情帮助和关心在 此表示诚挚的感谢 最后，感谢我的父母、妻子及家人对我所作的无私奉献正是他( 她) 们 的关心和期待，激励我认真学习，早日完成学业 一九九九年五月 第一章引言 在可积系统理论中，一个十分重要的问题是求解可积非线性方程( 簇) ，为此发展了一 些方法，如反散射方法 1 】，h i r o t a 方法 2 1 ，d a x b o u x 变换 3 】，b g c k l u n d 变换【4 ) 规范变 换 5 等等最近十年来，由于以拟微分算子为基础的k p 6 ，7 和约束k p 理论 8 ，9 ，1 0 的发展，人们对用规范变换求解k p 系列和约束k p 系列及其相关问题产生了浓厚的兴 趣本文研究用规范变换求解a k n s 系列及其超对称化 规范变换是为了研究不同类型的相对论可积系统的关系( 规范等价) 而引入f 5 1 ，当 时定义为保持零曲率方程不变的变换后来在1 + l 维可积系统的求解中得到一些应用 11 ，1 2 _ 9 0 年代初，基于用拟微分算子表述的k p 可积系统理论，c h a u 等人 1 3 从k p 系列的z s 方程及其相联系的线性系统出发，首次具体地给出了两类十分广泛的规范变 换算子毋d 和母，这里皿d 和j 为保持z s 方程不变的变换用来制作规范变换田d 和 皿，的函数分别为k p 系列的波函数、共轭波函数( 称之为第一类生成函数，把生成函数 简记为g f g t ) 反复利用上述两种类型的规范变换算子，给定一个初始解，就可以得到 k p 系列的一个新解这个求解方法不只是原则性的，而且有很强的可计算性特另地， 由此可以统一地导出到目前为止已知的k p 系列的解例如，、v r o n s k i a n 解1 5 ，1 6 ，1 7 1 ， n a k a m a r a 行列式解 1 8 ，1 9 1 等等 最近，约束k p ( c k p ) 系列在可积系统研究中受到高度关注 8 - 1 0 ，2 04 3 所谓c k p 系列f 9 ，i o j 是k p 系列通过对称约束得到的子系列，这种对称约束是k p 系列到广义 k d v 系列约化程序的一种推广利用s a t o 6 ，7 的k p 理论，文献 9 ，1 0 给出了c k p 系 列十分简洁的表达方式c k p 系列包含了许多重要的孤子方程 9 ，1 0 1 ，例如a k n s 系列 4 4 ，4 5 】，y o 系列 4 6 ，4 7 等等c k p 系列仍具有可积系统的许多共同特征，例如双哈 密顿结构、递归算子和无穷多守恒量 9 ，l o ，2 4 ，4 3 】k w 定理和m i u r a 变换 1 0 ，4 1 ，1 4 1 ， 双线性型表示( 3 1 ，3 2 ，3 7 】，等等当然，它有其独特性 2 2 ，8 ，9 ：可以通过由k p 系列 约束所得到的( 1 十1 ) 维可积系统的解来构造相应的( 2 + 1 ) 维k p 系列的解文献【2 2 给 出了一个十分具体的范例，即由k p 系列约束得到a k n s 系列，并由a k n s 系列的前 两个流的方程：广义n l s 方程和广义m k d v 方程的解构造了k p 方程的两个新解( 孤 立子类型解和。方向的周期解) 同时，k p 系列、c k p 系列也深深植根于理论物理这是近十年里可积结构成为理 论物理中一个日益活跃且重要领域的主要原因矩阵模型含有丰富的可积结构9 0 年代 2 史国整堂拉盎盘堂噩究生院堙士堂焦论盅 初，利用所谓“双标度极限”技巧，由矩阵弦模型给出了2 一d 量子引力的非微扰结果特 别地，对于单厄密矩阵弦模型【4 8 】，其配分函数为k d v 系列的r 函数，其弦方程等价于 配分函数上的v i r a s o r o 约束紧随其后的研究表明拓扑场论 4 9 】和k o n t s e v i c h 5 0 模型 中也有可积结构基于这些成功，几位作者都猜测多矩阵模型由高阶k d v 方程决定f 5 1 但是，把上述“双标度极限”方法用到多矩阵模型并不成功针对此困难，l b o n o r a 和c s x i o n g 2 5 ，5 2 ，5 3 1 提出一个不须作任何极限就可由矩阵弦模型得到可积系列的 方法对单厄密矩阵弦模型 5 2 ，从其配分函数出发十分自然地导出离散系列一t o d a 格 子，然后用第一个流的方程来消去其他流中的差分运算，从而得到双玻色k p 系列类 似地，上述方法可推广到多矩阵模型 5 3 ，与之相应的离散系列是广义的约束t o d a 格 子，得到的微分系列是多玻色k p 系列特别地，( 多) 矩阵模型 5 2 的配分函数就是与 之相应的多玻色k p 系列的r 函数这种多玻色k p 系列与c k p 系列的等价性由文献 5 5 j 给出 因此把规范变换用于求解c k p 系列就十分自然了 5 4 6 a o e v e l 5 4 利用t v ( x ) ( 第 一类型的规范变换) 求解矩阵c k p 系列，并得到了多次迭代的纯微分规范变换算子瓦 的形式表达他所采用的规范变换生成函数为c k p 的b a 函数( 称为第二类生成函数) c h u u 等人 6 0 补充了c k p 系列的第二类型规范变换算子乃( p ) ，并给出与乃联合 规范变换所得c k p 的r 函数的行列式表达，其生成函数为c k p 的“本征函数”( 称之为 第一类生成函数) 值得指出的是由规范变换所得到的c k p 系列r 函数可以给出( 多) 矩 阵模型的配分函数的非微扰解( 详见 5 8 及其文献) 目前据我们所知，两种类型的生成函数、两种类型的规范变换算子( 有四种组合) 的 讨论是不完整的特别是两类生成函数的出现、与乃联合时多次递推所致的拟微分 规范变换算子瓦+ 女的行列式表达等都缺乏讨论本文基于a k n s 系列与= l 的c k p 系列的等价陛，将提供一个用规范变换求解a k n s 系列的统一方式为了保持a k n s 系 列的l a x 算子形式，规范变换存在两种选择，这正好导致用于制作规范变换的两类生成 函数我们将仔细讨论第二种选择的规范变换( 含两种类型规范变换算子7 1 d 、乃) 的 多种递推，以及两种选择的联合最后，从“自由”l a x 算子l o ) = 0 生成a k n s 系列 另一方面，众所周知可积系统的发展一直受到理论物理的强大推动近2 0 年来，这 方面典型的例子是超对称可积系统的出现超对称f 6 4 1 起沿于粒子物理的超对称大统一 理论，是指一个物理体系中所具有的玻色子与费米子之间的对称性超对称变换的生成 元构成超对称代数，它是一种阶化李代数 6 5 ，6 6 超可积系统的共同特征是双哈密顿结 第一章 3 构、超孤立子解、无穷多守恒量等等在物理方面，人们对超可积系统感兴趣主要在于 如下原因：( 1 ) 纯玻色情形中，由于可积系统在物理中的重要地位，人们坚信超可积系 统在超对称物理中也应如此( 2 ) 类似于( 非超) 可积系统的情形，文献( 6 7 ，6 8 ，6 9 1 由 超弦的矩阵模型的极限得到了新的超对称k d v ；( 2 ) 正如人们所期望的那样，许多低维的 超可积系统可以由超对称的自对偶杨一密耳斯方程的适当约化得到【7 0 ，7 1 ，7 2 这个事 实与著名的w a r d 7 3 ，7 4 】猜想一致在数学方面，超可积系统提供了阶化李代数 6 5 ，6 6 和超流形理论f 7 5 1 的用武之地，同时其哈密顿结构、泊松括号与超w 代数【7 07 8 】有密 切的联系 鉴于超可积系统的重要性，几乎所有重要的可积系统的多种超对称类似已经建立起 来，如超s i n g o r d o n 8 5 ，8 6 ，8 7 ，超k d v 6 7 ，8 8 ，8 9 ，9 0 ，超m k d v 8 8 ，超n l s 9 1 ，超 b u r g e r s 方程 9 2 ，超h d 9 3 ，超a k n s 系列 9 4 】，超b o u s s i n e q 系列 9 5 ，9 6 ，9 7 ，超双玻 色子系列 9 8 ，超t o d a 格子 ? 9 等等特别是超k p 理论 8 9 的建立大大推动了超可积 系统的研究，这主要体现在惭究( 非超) 可积系统的方法被移植到了超可积系统中，建 立了针对后者的b g c k l u n d 变换【8 6 ，1 0 0 】，p a i n l e v e 分析 9 2 ，1 0 1 ，1 0 2 ，1 0 3 ，p r o l o n g a t i o n 方法1 1 0 4 ，1 0 5 ，d r i n f e l d s o k o l o v 约化 1 0 6 ，对称性分析1 9 l ，i 0 7 ，1 0 8 ，1 0 9 ，11 0 ，111 等 等自然地，规范变换方法求解超k d v 、超k p 系列、超约束k p 系列等也倍受关注 1 1 2 ，1 1 3 ，1 1 4 】这个事实启发我们把前面所述的用规范变换求解a k n s 系列的工作超对 称化，即用规范变换求解超a k n s 系列，这也是本文的一个目的为此，下面对超k p 系列与超a k n s 系列做个简单介绍 在m a n i n 和r a d u t 8 9 提出基于奇的超拟微分l a x 算子a = d + u o + “一l0 d _ 1 + “一2 。 d - 2 + 的超k p ( m r - s k p ) 系列之后，相继出现了另外两种超k p 系列：s k p 。 1 1 5 1 和 j k p 11 6 本文仅涉及m r - s k p 和s k p 2 系列m r - s k p 系列的超c l r a s s m a n n 流形描述 1 1 7 】、其偶流对应的哈密顿结构 t 1 8 、附加对称 1 l l 】等等的建立似乎表明m r s k p 十 分容易处理，因为我们处处有k p 系列为参照事实并非如此，建立m r - s k p 系列的哈密 顿结构所遇到的困难就是一个证明：( 1 ) 由w a t a n b e 1 i 9 定义的m r s k p 的第一哈密顿 结构不能退化为k p 的第一哈密顿结构 1 2 0 j ( 也是由他提出) ；( 2 ) 由f i g u e r o a o f a r r i l l 等人f 7 9 1 在超对称a d l e r g e l f a n d d i c k e y ( a g d ) 框架基础上，利用广义的超k d v ( s k d v ) 系列的k w 定理所提出的第二哈密顿结构不能真正作为广义s k d v 系列、sk p 系列的 哈密顿结构，只能理解为相应超对称算子空间上的东西因此，f i g u e r o a o f a r r i l l 等人 f 11 5 1 基于超a g d 框架，提出具有偶的超拟微分l a x 算子的s k p 2 系列，并讨论了s k p ! k 4 主国叠堂拉盎盘坐妥究生院墁堂焦诠袁 系列的第二哈密顿结构事实上，它们所定义的第二哈密顿结构对整个s k p ：系列都是成 立的这被后来f y u 1 2 1 用变分技巧给出的结论、j b a r c e l o s n e t o 等人 1 2 2 用超a g d 框架所给结论证实本文将对超a g d 框架作一详细介绍，并推广f i g u e r o a - o f a r r i l l 的工 作，建立m r - s k p 系列的k w 定理f 1 2 3 1 、s k p z 系列的k w 定理以及相应的超m i u r a 变换【1 2 4 我们采用的方法完全与程艺教授【l o 在研究k p 系列的k w 定理的方法一 致 由于a k n s 系列在可积系统中的重要性，超的a k n s 系列( s a k n s ) 的建立 9 4 及 其性质为人们所感兴趣例如，双哈密顿结构 1 2 5 ，1 2 6 、零曲率表示 1 2 7 ，1 2 8 等等 a k n s 系列有两种直接进行超对称化的方案：第一是直接对矩阵形式的a k n s 系列进行 f 9 4 ；第二种是基于a k n s 系列与自= 1 的c k p 系列的等价性，通过对s k p 2 系列进行 类似于纯玻色情形的约束来完成本文涉及的s a k n s 是a r a t y n 等人 1 2 9 由第二种方 案建立的，且等价于物理上重要的超可积模型一超对称双玻色子系列9 s 构造了超对称可积系统之后，一个自然而且重要的问题是如何求解如前所述，规 范变换是求解k p 系列、c k p 系列a k n s 系列的有效方法，那么自然希望能把这个 方法用到超可积系统( 我们主要关心s a k n s 系列) 最近，l i u 1 1 2 1 在求解m a n i n r a d u l 超k d v 方程( m r s k d v ) 和m a n i n r a d u a l m a t h i e u 超k d v 方程( m r m s k d v ) 时率先 引入了针对超可积系统的规范变换算子他所引入的是一个一阶超微分算子，且以m r s k d v 或m r m s k d v 相联系的线性系统的超波函数为生成函数( 仍称之为第二类生成函 数) 其后，l i u 等人f 1 3 0 利用这个超规范变换算子，得到了m r - s k d v 的c r u m 变换、 矢量d a r b o u x 变换、解的超行列式表达 s h a w 等人 1 3 1 】针对整个m r - s k d v 系列， 构造两个规范变换算子( t 和s ) ，其中t 是超微分规范变换算子，且与l i u 11 2 一致 反复利用这两个规范变换，他们给出了m r - s k d v 系列的w r o n s k i a n 解、超行列式解 s h a w 等人的规范变换生成函数仍是第二类的，而且不保持宇称受没有超对称( 即：纯 玻色) 情形的启发，本文提供一个用上述两类规范变换求解s a k n s 的统一框架，并且指 出规范变换存在两种选择类似于纯玻色情形，这两种选择正好导致两类规范变换生成 函数其中一类是s h a w l l 3 1 1 、l i u 1 1 2 等人讨论的，另一类( 称为第一类) 是文献中没 有引入的我们将讨论规范变换的递推( 仅限两步) ，以及两种选择的联合，并从“自由” 的l a x 算子生成s a k n s 系列 本文的具体安排如下：第二章，在总结文献中已有结果基础之上，建立了一个用规 范变换求解a k n s 系列的统一框架我们指出规范变换存在两种选择，而且着重研究了 第一章 5 相应于第二种选择的规范变换再讨论规范变换的多种联合，并由此得到了一些新解 第三章是为研究超a k n s 系列进行的准备，主要介绍了g r a s s m a n n 值函数相关的分析 知识，然后建立m r - s k p 系列和s k p 2 系列的k w 定理及超m i u r a 变换第四章主要 是对第二章主要结果进行超对称化本章先讨论s a k n s 系列t ：流与t 。的几个方程， 并指出它们与第三章的超k p 方程的关系在5 4 2 中，我们将给出一个用规范变换求解 s a k n s 系列的统一框架为了保持s a k n s 系列的l a x 算子形式，类似于纯玻色情形，规 范变换存在两种选择我们将讨论规范变换的递推和两种选择的联合，并由“自由”l a x 算子l = a 经规范变换生成s a k n s 系列最后本文将给出一个具体的例子 第二章用规范变换求解a k n s 系列 2 1a k n s 系列 7 a k n s 系列及其推广阻4 ，4 5 1 在可积系统理论中具有十分重要的地位，它包含了许 多重要的可积方程例如，n l s ，k d v ，m k d v ，s i n e g o r d o n ，s i n h g o r d o n ，h a r r y d y m 等等同时，a k n s 系列等价于b = l 的约束k p 系列 8 ，9 ，l o 具体地讲，a k n s 系 列可以表达成如下形式 挲：刚，州， ( 2 川 a 2 ” 17 其中 l ( o ) = a + ( o ) oa 一1o 砂( 叭， b 。) 兰( ( o ) ；，( 2 1 ，2 ) 任意一个拟微分算子a = a + + a 一，a + 代表a 的微分部分，4 一代表a 的积分部分 对于l ( 0 1 ，l 粤) = a ，l 竺) = 咖( o ) oa 一1o 砂( 这里l ( o ) 中的西( o ) 和妒( o ) 满足如下方程 筹= 趔0 ) 1 筹- - - - b 。* 州 ( 2 ) 其中”。”表示算子积，“”表示算子仅作用在紧随其后的目标上所得结果任取两函数， 和g ，则a 2 0 f = 厶。+ 2 l o o + f 0 0 2 是算子；a o f = f o o _ 。一厶0 0 - 2 + l 。0 0 _ 2 + 也是 一个算子但0 2 f = 。是一个函数；a f = f f d x 是函数显然f o o = ，0 ，f o g = - 厂- g ， 函数，可以看作零阶算子 + 代表共轭运算： ( aob ) + = b oa + ，a = 一a ，f ( z ) = ，( z ) ，( f 。a 。夕) 。= 一g 。a 0f ，这里a ，b 是微分算子，是函数可以证明方程 ( 2 1 3 ) 与( 2 1 1 ) 自恰例如，t z 和t 3 流， 咖等= 粤+ 2 ( ( o ) 2 砂( “ 妒 ? = 一妒婴+ 2 咖( o ( 砂( o ) 2 西等= $ 盟上+ 6 咖( o 妒( 咖字1 舻等= 吵翳+ 6 咖( o 咖( o 砂箩 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) f 2 1 6 1 f 2 1 7 1 我们采用 6 0 】的记号方程( 2 1 3 ) 的解一币( 0 1 和妒( o 】分别称作a k n s 系列的“本 征函数”和“共轭本征函数_ b a k e r - a k h i e z e r ( b a ) 函数定义为 a x ( 。( a ，z ) ，望兰! ；二三2 = 日p x ( 0 ，( a ，z ) ( 218 ) 8 生国疆堂拉苤盘堂噩宜生院谴堂篮诠交 共轭b a 函数定义为 l ( 。) p ( 。) ( a ，z ) = a 卢( 。) ( ，z ) ，皇些! ；三竺2 = 一日：) 肛( 。( a ，z ) ( 2 1 9 ) 另一方面，l ( o ) 可改写为 l ( 0 ) = a + “于1 。o 一1 + “字。a 一2 + “乎。o 一3 + ，( 2 1 1 0 ) 则u ，“字，“5 0 ，由动力学变量曲( m ，妒( o ) 及其导数唯一地表达成 u 于= 西( o ) 妒( ，“字= 审( o ) 妒? ) ， u ) = 咖( o ) 砂婴，( 2 1 1 1 ) 根据s a t o 的k p 理论 6 j ， 7 ，集合( u ! o ) 统一地由r 一函数r ( o ) 生成， “= 等 ( 2 1 1 2 ) u 5 0 = ；( 以侥：一霹) i nr ( o ( 2 1 1 3 ) 等等通过( 2 1 1 2 ) 和( 2 1 1 3 ) ， ( ，妒( o ) ) 也可由r ( o ) 给出，这提供了a k n s 系列解的 另一种表达方式在这一章里，对于( 2 1 1 ) 定义的a k n s 系列，我们提供一个用规范变 换求解该系列的统一框架 作为本节的结束，我们列出在后文中将反复用到的公式 0o f = fo a + 厶，( 2 11 4 1 a 一1 。f = 厂。d 一1 一a 一1o 厶oa 一1 ， ( 2 1 1 5 ) 乃( x ) = 一( 巧1 ( x ) ) + = ( ( ) ( ) ) 一1 ，( 2 1 1 6 ) 码( p ) = 一( t r l ( p ) ) + = ( 巧( 肛) ) 一1 ，( 2 1 1 7 ) ( ( x ) oa o 殇1 ( x ) ) + = 0 ( 2 1 ，1 8 ) 此外，由于r 一函数可以相差一个整体的常数因子，本文忽略由调换r 一函数的行或列所 致的负号 2 2a k n s 系列的规范变换 首先，我们对a k n s 系列的规范变换算子及其性质作一总结设丁l 是任取的一个合 理的拟微分算子，且 l 1 ) = t 。l ( o ) 。t 一1 ，b 1 1 ) 三( ( 1 ) 罩，( 2 2 1 ) 5 2 2a k n s 系列的规范交换 便得变换后的l 仍然满足 杀2 = 州 则称t 是规范变换算子根据上述定义，我们有 引理2 1t 是规范变换算子，如果 ( to b 。丁一) + = t 。剐。丁一1 + 瓦o t 。t l 虫 ( t 。b o t “) 成立 证明利用( 2 21 ) ，我们有 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 瓦o t 。丁一， ( 2 2 4 ) 筹= 瓦o t ot - 1otol ( 。) ot - 1 + to 非丁_ l o 丁洲0 ) o 一矿。卯) ot - i - t ol ( 。) ot - lo 筹汴 _ b ! ，l ( 1 = b 9 ) 。to l ( o ) 。丁一1 t 。l ( 。) 。t 一1o 磷， 代入( 2 2 2 ) ，则 另一方面 t 。b ( o ) ot - i + 瓦o t 。t 一1 b 1 1 ) 三( 工( 1 ) 罩= ( t 。畔) ot - 1 ) + 比较日：的两种表达式即得引理 口 这个结果与 1 3 ，6 0 一致，他们是从z a k h a r o v s h a b a t ( z s ) 方程出来考问题的我们的证 明是与l ( o ) 的形式无关，故对广义k p 系列【1 3 3 ，5 9 】也成立为了证明两类规范变算子 的存在性，需要如下引理 引理2 2 ，j 口习设，和g 是好定义的函数，a 是任意一个合理的拟微分算子，则有下面 两恒等式成立 ( 1 ) ( ，。0 。，一l 。a 。，。0 1 。，一1 ) + 1 0主国整堂拉苤太堂噩究生院i 蔓堂焦设塞 = ，。0 。，一1 。a + 。，。a l 。，一，一t 。 盈( ，一( a + ，) ) 。a l 。， ( 2 2 5 ) ( 2 ) ( ，一l 。a l 。，。a 。，一l 。a 。，) 一 = ，一l 。0 1 。，。a 一。，一l 。a 。，一，一l 。0 1 。，。盈( ，一l ( a ；，) ) ( 2 2 6 ) 证明( 1 ) 因为( 2 1 1 8 ) ，第一个恒等式的左边为 f s = f ，。0 。，一1 。( a + + a 一) 。，。a 一1 。， = ( ，。，一1 。a + o ，。0 一l 。i - 1 ) + 不失一般性，a + 可取成 则 由此得 因此 4 + = 。k 。0 = 。+ 。l 。a + 。2 。a 2 + + n 。0 “ k = o 舢，= c ”卅静协丽o k - i f o 3 + a k ( ：) 驴c 9 k - 2 f 卜咖t ( 七h o o k - l + a k 朋 o o f 一1o a o fo0 1 = 盈( ，一1 ( h + ，) ) 。a 一1 + ，一1 ( a + - ，) 拙广。塾* ( ：) 萨o k - i f 。”巾“ 1 f o o 。f 一1oa 。foa 一1 。，一 = ，以( 厂1 ( a 十。a 一1 。厂1 + 厂1 ( 4 + 。，) + f c gof - lo 卦t 。( ：) 萨a k - l f 卅帆，卟汁。1 5 2 2a k n s 系列的规范变换 可见其第一项是纯拟微分算子，第二项和第三项之和是纯微分算子，故 ( f o a 。，一1 。a + 。f0 0 1 。，。1 ) ； = ，。a 。，_ 1 0a + 。，。0 - 1o ，一， 以( ，( 4 - 。a l 。，一l 把上式代入lh s 得( 2 25 ) ( 2 ) 对( 2 2 6 ) 式，其左边为 同时，从 我们有 于是 由此有 。一1 。，。a = ( ，。a 一1 一a 一1 。lo a 一1 ) 。a ( 。f o 0 ) 一_ ( _ ) k 0 - 10 面o k f = 扩1 0 ( 叫。券 ( 0 。1 。- ，蚀) 一 甜1 。壹k = o ( _ 1 ) - - 0 - 10 ( 夸，) ( ，一1 。a 一1 。，。4 + 。，一l 。a 。，) 一 = ( ，一1 。a 一1 。( a ；_ 厂) 。，一l 。a 。，) 一 = ( a ；，) 。，一厂1 。一。况( ( 门，) 。厂1 ) 。， _ = 一，一1 。a 一1 。盈( ，( ”，) ) 。，= 一厂1 。0 - to ，。以( ，一( 门，) ) 把上式代入( 2 2 6 ) 的1 h s 得其右端 口 4矿沙 o o 0 ， 一 班广h a ， a 舢 卜 十 卜 o 一 0 舢 阻 州 吣 n ， ， o 0 0 a a 一 0 0 a 一 ， | i = l | 定理2 1 声吖a k n s 系列有两类规范变换算予 类型 类型 主国整堂拉盘盘堂丑究生院懂堂焦论塞 i ：丁b ( _ ) ( ) = ) ( o0 。) ( 一1 ， i i ：乃( p ) = 肛一1 。0 1 。p 这里x 和肛分别是( 2 12 ) 所给l ( o ) 的本征函数”和哄轭本征函数” 证明首先对( 2 2 7 ) 中的类型i 算子， _ - - ( l ) ：= ( t oo ( l w ) “o 巧1 ) + ：码。( l ( 。) 华。巧一) ( 以一( ( l ( 。) ；) ) ) 。a 一1 。x 一1 = 。b 。殇1 一x 以( ) ( ( b 辨x ) ) 。x l = 码。b 。巧1 一( x 。a 。等汁1 o x - 1 一x 。等。a 。ox - 1 ) = 码。b 。巧1 + 等一) ( 。a 。等。x 上面推导过程中用了( 2 2 5 ) ，b 乎) = ( l ( o ) 华，弛。= b 紫x 和( 2 1 ，1 4 ) 另一方面 因此 篑。巧= x oa o x - i ) o t 5 1 = 锄。) ( 。1 。) ( 柏ox - 1 一x 。等。) ( _ l 。x 。1 ：独一x 。a 。独。a 一1 。x - t x 掣三( ；= t oo b 。巧1 + 瓦o t d 。t 5 1 ( 2 27 ) ( 2 2 8 ) 这表明t d ( x ) 的确是规范变换算子其次，对类型i i 我们想证明( 22 4 ) 成立利用 ( 2 2 6 ) ，( 日1 0 ) 一= 0 ，卢。= 一b ：“p ，则 ( 乃。b 。町1 ) 一 = ( p 。1 。_ 1 。p 。磷。肛_ l 。a 。p ) 一 = p l 。a 一1 。肛。( b 9 ) 一。p l 。肛一p l 。0 1 。p 。以( 卢( ( 或) 十) ) = 肛。护。p 。如( 肛m 。) 5 2 2a k n s 系列的规范变换 此外，由( 2 1 1 5 ) 一箦州 = 一杀( p 。卢) ) 。p 。1 。a 。肛 2 警。卢。p “。o o # - # - io 扩。一。a 。p = 鲁一p 。( 。卢。一。( 旷1 ) 。a _ 1 ) 。a 。p = 警一告+ 。矿。如( 咿1 ) 。p = p 。1 。0 “。肛。良( 。p 。1 ) 这两个式子表明n ( p ) 满足( 2 2 4 ) ，故乃( p ) 是规范变换算子 口 尽管定理2 j 中的规范变换算子保持l a x 方程，但这不足以保证由审( 、妒( o ) 变换得 到的函数是a k n s 系列的新解为此，规范变换子要保持l a x 算子的形式除去“本征函 数”西( o ) 和“共轭本征函数妒( o ) 外，我们再选择三( o ) 所对应的a k n s 系列的n 个b a 函 数 x = x ( a ，z ) ，i = 1 ，2 ，n ) 和n 个共轭b a 函数 肛。c u j = ( a 。z ) ，i = l ，2 ，n 引理2 3 在( 2 2 7 ) 中类型i 规范变换算子作用下，l ( o ) 变成如下l o ) j l 1 = a + x ( i n ) 。a 一1 。x 一1 + x x1 ( j 5 ( 。，妒c 。，x ) 。a l 。x l x ( x 1 砂( 。) 。a l 。( 厂妒( 。) x ) o x - i = 0 + 铝1 ) 。a 一1 。如1 + 而。0 。面 硝1 = x ，( 1 n x ) 。+ x - ( x l 西( 。) - ( 矽( 。) x ) ) 。= ( t o x ) 。三( 。) x w ( 0 1 ) = x ， 面= x ( x ) 。= ( x ) ， 面= 吖1 ，( x ) = 咧抄 证明变换后的l a x 算子三f 1 ) = 而( x ) 。己( o ) 。( 砀( x ) ) _ 1 可分成两部分表达 ( a ) 第一部分是 l = 而( x ) oa o ( 殇( x ) ) 一1 ( 2 2 ，9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 22 】1 ) ( 2 21 2 ) ( 2 2 1 3 ) 史国整堂技盘太堂噩究生院堙堂焦论塞 = ( a - 等) 阳。) ( 。10 x _ 1 ：a 2 。x 。a l 。x - z 一兰三。a 。) ( 。a l 。x - t x = ( ) ( 。+ 2 x 。oa + xoa 2 ) o a 一1o ) ( 一1 一等。( x r + x 。a ) 汁1 ox - 1 = ( x 。+ 2 x 。a ) 0a 一10 x 一1 + ) ( 0a0 ) ( 一1 一篮。a l 。x - t 一) ( 。) ( 一1 ) ( = 胁蝴川一警) oo - o x - l _ 2 x ) ( = = a + ( k 一等) 汁1 。x 。 = a + x ( i n x ) 。oa 一1ox 一1 上述推导过程中，我们反复使用了( 2 1 1 4 ) ( b ) 利用( 2 1 1 , 5 ) 和( 2 1 1 4 ) ，第二部分为 l 日= 丁d ( ) ( ) o ( o ) oa 一1o 砂( o ) o ( 丁b ( x ) ) 一1 = x 。ao ) ( 一1o 西( o ) 。a 一1o 妒( o ) 。xoa 一1 。x 一1 = x 。d 。x l 。妒( 。) 。( ( 妒( 。) ) ( ) 。a l a 一1 。( 妒( 0 ) - x ) ) 。x l = x ( x 一1 西o ( 妒o x ) ) 。a 一1 。x 一1 + x x 一1 咖( o ) 1 ( 妒( o ) x ) x 一1 一) ( ( ) ( 一1 硝( 0 ) 。a 一1 。( 砂( 。) x ) 。) ( 一1 一) ( ) ( 一1 西o ) 1 ( 妒x ) 。x 一1 = ) ( ( x 一1 莎0 1 ( 妒o - x ) ) 。a 一1 。x 一1 一x ( x 一1 审( 0 ) 。a 一1 。( 矽( o ) x ) 。x 一1 由( a ) 和( b ) 相加得( 2 2 9 ) 的( “此外 毋3 l = x ( i n x ) 。+ ) ( ( ) ( 一1 ( 。) ( ，砂( 。) 5 2 2a k n s 系列的规范变换 = ) ( ( 1 n x ) 。+ x 一1 ( 。) ( ，妒( 。) x ) 。 甜 沁埘- ( 妣 睾 。 = ( 而( x ) 。l o ) x 引理2 了的其他结论是显然的 u 这