（通信与信息系统专业论文）小波变换在图像边缘检测和降噪中的应用.pdf

摘要 图像边缘包含了一幅图像的绝大部分主要信息，边缘的提取在图像处理和机 器视觉中占据着非常重要的作用。在图像的获取、传输和存储过程中往往会因各 种原因引入噪声，因此，如何改进这些图像的质量，就成为数字图像处理中的一 个重要任务。小波分析是一种有效的分析工具，近年来随着小波理论的不断发展 完善，小波理论己经被应用到图像处理的几乎所有的分支，如：图像降噪、边缘 检测、图像压缩、图像分割等。本文主要研究其在图像边缘检测和降噪领域的应 用。 本文对小波变换理论进行了系统的学习、研究与总结，介绍了连续小波变换、 离散小波变换、多分辨分析、小波基构造和二进小波变换，并给出离散二进小波 变换的快速分解与重构算法( m a l l a t 算法) 等。 本文介绍了传统的边缘检测算法并分析其优缺点；重点研究了基于m a l l a t 算 法和多孔算法下的小波边缘检测，在此基础上针对多孔算法边缘检测提出改进方 案，大大降低了算法复杂度；本文还研究了数字形态学在边缘检测中应用，分别 针对边缘检测算子和采取的结构元提出改进方案。最后，本文提出了一种新的小 波与形态学相结合的边缘检测算法，实验证明该方法得到的边缘细节丰富，且抗 噪性能较好。 针对传统的图像降噪方法，在去除噪声的同时往往会造成边缘的模糊的问 题，本文提出基于边缘检测的图像降噪法，在检测出图像边缘之后，将图像分为 “边缘区”和“噪声区”，针对它们的特点分别采用不同的方法进行处理，最后 将两种小波系数相结合的方法，达到既保护了图像边缘又有效去除噪声的目的。 关键词：小波边缘检测降噪数字形态学 a b s t r a c t i m a g ee d g ec o n t a i n sm o s to ft h ei m p o r t a n ti n f o r m a t i o no fa ni m a g e ，d e t e c t i o no f e d g ep l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ni m a g ep r o c e s s i n ga n dm a c h i n ev i s i o n n o i s ei sa d d e d t ot h ei m a g ed u r i n gt h ea c q u i r e m e n t 、t r a n s m i s s i o na n dd e p o s i tf o rm a n yr e a s o n s s o h o wt oi m p r o v et h eq u a l i t yo ft h ei m a g eb e c o m e sav e r yi m p o r t a n tt a s ki ni m a g e p r o c e s s i n g w a v e l e ti sa l lu s e f u lk i n do fa n a l y t i ct 0 0 1 a l o n gw i t ht h ei m p r o v e m e n t a n dp e r f e c t i o no ft h et h e o r yo fw a v e l e ti nr e c e n ty e a r s ，i th a sb e e na p p l i e do na l m o s t a l lt h ee m b r a n c h m e n t so fi m a g ep r o c e s s i n g ，s u c ha si m a g ed e n o i s i n g ，e d g ed e t e c t i o n , i m a g ec o m p r e s s i o na n di m a g ed i v i s i o ne t c t h i sa r t i c l em a i n l ys t u d i e st h ea p p l i c a t i o n o fw a v e l e to ne d g ed e t e c t i o na n di m a g ed e n o i s i n g t h i sa r t i c l es y s t e m i c a l l yi n t r o d u c e sa n ds u m m a r i z e st h et h e o r yo fw a v e l e t c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m , d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m , m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s w a v e l e tb a s e sa n dd y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r ma r ei n t r o d u c e d t h ef a s t a l g o r i t h mo fd i s c r e t ed y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r mi sa l s og i v e n t h ec l a s s i cm e t h o d so fe d g e d e t e c t i o na r ei n t r o d u c e da n da n a l y z e d a l g o r i t h mo f e d g ed e t e c t i o nb ym o d u l u sm a x i m u m sb a s e do nm a l l a ta n dt r o u si sd e e p l ys t u d i e d b a s e do nt h ea b o v ea n a l y s e s ，as i m p l i f i c a t i o nm o d u l u sm a x i m u m se d g ed e t e c t i o n a l g o r i t h mb a s e do nt r o u sw h i c hr e d u c e st h ec o m p l e x i t yg r e a t l yi sp r o p o s e d a n di t a l s os t u d i e st h ea p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yo ne d g ed e t e c t i o na n d p r o p o s e ss o m ei m p r o v e m e n t so nt h em o r p h o l o g ye d g ee x a m i n a t i o no p e r a t o ra n d s t r u c t u r ee l e m e n t t h e ni tp r e s e n t san e we d g ed e t e c t i o na l g o r i t h mc o m b i n e sw a v e l e t a n dm o r p h o l o g yt o g e t h e r ，w h i c hi sp r o v e dt ob ee f f i c i e n to ne d g ep r e c i s i o n , d e t a i l e d g ed e t e c t i o na n dr e s t r a i n i n gn o i s eb ye x p e r i m e n t s t r a d i t i o n a lm e t h o d sf o rd e n o i s i n gw i l lr e s u l t i nd i me d g ew h i l et a k i n go u tt h e n o i s e t h i sa r t i c l ep r o p o s e sam e t h o do ni m a g ed e n o i s i n gb a s e do ne d g ed e t e c t i o n w h i c hd i v i d e st h ei m a g ei n t o e d g ea r e a a n d n o i s ea r e a ”a f t e re d g ed e t e c t i o n a p p l yd i f f e r e n tm e t h o df o rd i f f e r e n ta r e a ，t h e nc o m b i n et h et w ok i n d so fm o d u l u s t o g e t h e rt oa c h i e v et h eg a i nt h a tp r o t e c tt h ee d g ew h i l ed e n o i s i n g k e y w o r d s ：w a v e l e t ，e d g ed e t e c t i o n ，d e n o i s i n g ，m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 关琼 签字日期：工口口矿年多月多e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞鲞盘鲎 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫洼盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 关掠 导师签名： 签字日期：如口占年多月 莎e t签字日期： 晰 多月莎e t 第一章绪论 1 1 小波发展史 第一章绪论 传统的信号分析理论，是建立在傅立叶( f o u r i e r ) 分析基础上的，而f o u r i e r 变换作为一种全局性的变换，具有一定的局限性。在实际应用中人们开始对 f o u r i e r 分析进行改进，小波分析由此产生了。在经典信号分析中，f o u r i e r 变换 无法同时得到信号的时域和频域特性，而小波采用可变的时、频窗口可以对信号 进行局部性分析，弥补了f o u r i e r 分析的不足，原则上讲，以往一切f o u r i e r 变换 的应用领域均可以通过小波变换来加以应用。在小波的发展历程中，不同领域的 许多学者做出了大量杰出的贡献。 小波分析是由ym e y e r ，s m a t t l a t 及d a u b e c h i e s 等奠定基础并迅速发展起来 的。1 9 1 0 年，h a r r 提出了最早的小波规范正交基，但当时并没有使用小波这一名 称。1 9 4 6 年，g a b o r 弓i 入了窗口f o u r i e r 变换也称短时f o u r i e r 变换。1 9 8 1 年，m o r l e t 仔细研究了g a b o r 变换的方法，对f o u r i e r 变换和加窗f o u r i e r 变换的异同、特点及 函数构造性的研究，首次提出了小波分析”( w a v e l e t ) 的概念，对地震波信号进 行分析，并建立了以他的名字命名的m o r l e t d 、波1 4 j ，之后与理论物理学家g r o s s m a n 共同提出了连续小波变换的几何体系。1 9 8 6 年，m e y e r 第一次构造出具有衰减性 的小波，该小波的二进伸缩、平移可构成厶( r ) 空间的规范正交基，打破了人们 认为这是不可实现的设想，从而掀起了小波研究的热潮【5 j 。1 9 8 6 年，m e y e r 和m a l l a t 合作，将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入n d , 波分析中小波函数的构 造，提出了多分辨分析的理论框架，为正交小波基的构造提供了一般的途径，多 分辨分析的思想是小波的核心，它是理论与应用的结晶，至此，小波分析才真正 形成为- - i 1 学科【5 ，6 】。1 9 8 8 年，女数学家d a u b e c h i e s 给出了具有紧支集和任意有限 正则度的小波函数的一般构造方法 7 1 。1 9 8 9 年，m a l l a t 仓0 造性地把计算机视觉领 域中的多尺度分析方法引入到小波基的构造中，统_ 了s t r o m b e r g 、m e y e r 、 l e r r n a r i e 、b a t t l e 等人提出的各种小波的构造方法，并研究了小波变换的离散形式， 提出了m a l l a 躇式分解和重构算法，为小波应用铺平了道路，使小波变换完全走 向实用化1 8 】。同年，m e y e r 、c o i f m a n 等人提出了小波包的概念，并与1 9 9 0 年在日 本东京召开的世界数学家大会上提出了一种半正交小波m a l v a r d 、波。1 9 9 0 年， 崔锦泰和王建中构造出了基于样条函数的正交小波函数，并讨论了具有最好局部 化性质的多尺度分析生成函数及相应的小波函数【l 9 】。同年，b e y l k i n ，c o i f i n a n 第一章绪论 等人把小波变换应用到算子理论中取得了满意的效果。1 9 9 1 年，j a f f a r d 及 l a u r e n c o t 将小波变换应用于求解微分方程领域中，而w i c k e r h a u s e 等人将m a l l a t 算法进一步深化得到小波包算法，使得小波变换的分析性质有了很大的改善 1 0 , 1 1 。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人在r 元多分辨分析基础上建立了多重小波的基本理 论框架，进一步丰富了小波理论【1 ，2 ，3 1 。 1 2 小波的特点 近年来，小波理论因具有良好的时频局部化特性，因而在图像降噪、分割和 压缩等领域得到了广泛的应用。小波变化以下几个方面的特性使小波域统计图像 处理具有吸引力【l2 j ： 1 、 时、频局部化特性。 每一小波系数都能同时表征图像在时域和频域的局部内容，是一种窗口大小 固定不变，但其形状可变，时域和频域的窗口都可以改变的局部化分析方法。而 f o u r i e r 变换是一种全局变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法同 时表征信号的时频局域性质。 2 、 多分辨率特性 图像经过一系列小波变换可以得到不同尺度下的图像特征，能较好地刻画图 像的非平稳性，而短时f o u r i e r 变换是一种单一分辨率的信号分析方法。 3 、 边缘检测特性 图像经小波变换后，边缘等奇异点的小波系数幅值较大，而平稳区域的小波 系数幅值较小。因此图像的边缘可以在相应的位置用较大的小波系数来表征，而 在降噪时对这些边缘点有所回避，从而达到降噪和保护边缘的目的。而传统的低 通滤波的方法，在降噪的同时使图像的边缘模糊 1 3 】。 4 、能量紧支撑性 图像经小波变换后，在小波支撑范围内，边缘等非平稳区域幅值较大的小波 系数较稀疏，大多数平稳区域的小波系数的幅值趋向于零，这样可以利用信号的 能量来确定阈值，从而可以对图像进行自适应阈值降噪。 5 、 去相关性 图像经过正交小波变换后得到的小波系数近似去相关，去相关性表明小波系 数在局部区域有较弱的依赖关系。而空域在一定范围内，周围点像素的相关性较 强。 6 、 非高斯分布特性 图像经小波变换后得到子带的小波系数呈现出重脱尾的非高斯分布，从而可 第一章绪论 选用相应的概率分布函数来逼近小波系数的联合概率分布。 7 、 小波系数的持续性 图像经小波变换后，幅值较大的小波系数延尺度进行传播，这样有利于形成 尺度间的依赖关系，为尺度间小波系数模型的建立提供可能。 1 3 小波的应用 小波变换的应用是与小波变换的理论研究紧密地结合在一起的，在小波变换 的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。在工程实践中，对于信号其性质随 时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶变换；但是实际应用中的 绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波变换。 小波分析的优越性在于它是一个有效的分析工具，并且己经在许多学科、领 域中取得了卓越的成效。例如，在数学领域中有：求解微分方程，与分形数学相 结合做函数数值逼近，在非线性系统及随机过程中做多分辨分析【1 61 7 ；在信号检 测与模式识别领域中有：利用小波分析的时频特性和多分辨率功能进行非平稳信 号分析与检测，信号的滤波去噪，地质勘探，机械故障分析，地震检测等 1 8 , 1 9 , 2 2 】； 在二维信号处理中有：图像边缘信息提取与检测，图像去噪，图像编码，数据压 缩传输，信息保密等【2 0 ，2 1 2 2 ，2 3 】；在通信中的应用有c d m a ，自适应均衡，扩频通 信，分形调制等；其他的应用还有：小波神经网络( w a v e l e tn e u t r a ln e t w o r k s ) 的研 究及其应用【2 4 j ；在人类社会发展中的应用；脊波理论及其在图像处理方面的应 用等1 5 。 1 4 本文主要工作 本文以小波变换为理论基础，以图像的边缘检测和降噪为研究对象，研究了 小波在图像的边缘检测和降噪中的应用。 第一章为绪论，简单介绍了小波变换的发展史，小波的特性以及小波变换在 图像处理中的应用。 第二章介绍连续、离散小波变换的基本理论、二进小波与框架理论、多分辨 率分析以及著名的m a l l a t 算法，为以后几个章节奠定理论基础。 第三章介绍了传统的边缘检测算法，分析了各自的优点和不足；并深入研究 了小波及形态学这两种工具在边缘检测中应用，分别提出了多种改进算法；然后 将这两种数学工具相结合，提出了一种新的小波及数字形态学相结合的边缘检测 第一章绪论 算法。 第四章提出种基于边缘检测的自适应阈值小波图像降噪方法。此方法在第 四章边缘检测的基础上，将与噪声相关的小波系数和与边缘相关的小波系数区别 对待。前者进行小波收缩降噪，在每个分辨层次，与噪声和边缘有关的梯度的幅 度分布m r a y l e i g h 概率模型化出来，基于此模型，得到该层的收缩函数，为充分 利用尺度间相关性，各层的收缩函数被合并起来，进一步保持图像边缘；后者进 行c o n t e x t 分类模型进行降噪。经实验分析，该方法既能有效去除噪声，又能很 好的保持边缘。 第五章为发展与展望，总结和本文的主要创新点，及未来研究方向。 第二章小波基本理论 2 1 连续小波变换 第二章小波基本理论 定义：设”r 似) ，其f o 研e r 变换为痧) 满足容许条件( 完全重构条件或 恒等分辨率条件) 。= 挚力 踯3 ， 式中不仅t 是连续变量，a 和b 也是连续变量，因此称为连续小波变换 ( c w t ) 。 其重构公式( 逆变换) 为： 几) = g 1 。fd 口a r w ( a ，6 耽一o 协 公式( 2 4 ) 几点说明： 1 ) 尺度因子的作用是将母小波沙o ) 作伸缩，口越大沙( 丢) 越宽。对于一个 持续时间有限的小波，不同尺度下小波的持续时间随a 加大而增宽， 幅度则与i 成反比，但波形不变。 2 ) 母小波沙o ) 可能是复数信号，特别是解析信号。 3 )公式( 2 3 ) 的内积往往被不严格的解释成卷积，由于： 第二章 小波基本理论 内附m = 南肌砂出 5 ， 卷积朋饥翮2 丽1 砌【、等户 娥2 柳 公式( 2 5 ) 和公式( 2 6 ) 式相比，计算方法无本质区别。 公式( 2 3 ) 的频域表示是： 吩2 尝耍) 瓣埘d 缈 公郁- 7 ) 由此可得小波变换在频域上的特点： 1 ) 若妒) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分 析信号贾如) 频域上局部性质的能力 2 ) 采用不同的尺度因子时，痧g 国) 的中心频率和带宽都不一样，但品质 因数q 不变。 总之，从频域上看，对函数o ) r 似) 用不同的尺度因子口作小波变换相当 于用一组带通滤波器对信号进行处理。当a 较小时，时间轴上的观察范围小，在 频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细节观察；当口 较大时，频率轴上的观察范围小，在频域上相当于用低频小波做概貌观察。分析 频率有高有低，但在各分析频段内的品质因数q 却保持不变。 连续小波变换有以下重要性质： 1 )线形叠加性：一个多分量的小波变换等于各分量的小波变换之和。 2 ) 平移不变性：若厂o ) 的小波变换为矿，g ，b ) ，则厂o 一气) 的小波变换为 坼q ，b 一岛) 。 3 ) 伸缩共变性：若o ) 的小波变换为( 口，b ) ，则厂似) 的小波变换为 百1 哆似，肋) 2 0 4 ) 自相似性：对应不同尺度参数口和不同平移参数b 的连续小波变换之 间是自相似的。 5 )冗余性：连续小波变换中存在信息变数的冗余性。为了完全满足小波 第二章小波基本理论 容许条件，矿p ) 必须在原点等于o ，即痧( o ) = y o 净= o ，这就说明 能用母小波o ) 的必须是正负交替的震荡波形，使得其平均值为零， 这便是称为“小波( w a v e l e t ) ”的原因。 实际上对；f ，o ) 还要施加所谓的“正规性条件 ，使沙在频域上表现出较 好的局部性能。要求少o ) 具有行阶消失矩，且门值愈大愈好，即：厂f p o 枷= 0 ， p = 1 玎，相应的频域表示是沙0 ) = + 1 甄0 ) ，甄( o ) 0 2 5 。 2 2 离散小波变换 在实际的应用中，尤其是计算机实现，连续小波必须加以离散化。这一离散 化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的， 故离散小波变换其实是离散a ，6 栅格下的小波变换。 在连续小波中，考虑函数： 删2 南攻爿咖猷几知 娥2 固 这里，口，b r 且a 0 ，是容许的，在离散化中，总限制a 只取正值a 0 ， 这样相容条件就变为： 勺= j c o 挚 娥2 柳 通常，把连续小波变换中的尺度参数口和平移参数b 的离散化公式： a = a d ，b = * b o a 5 ，a o 1 ，j z f f 式( 2 1 0 ) 因此，对应的离散小波函数。o ) 为： 吩，。o ) ：萨- j 沙k f 一蛾l 1 ，z 公式( 2 1 1 ) 对于任意的函数厂o ) r ) 的离散小波变换为： c f 。= 厂o 胁厂，吩，。 公式( 2 1 2 ) 公式( 2 1 2 ) 称之为离散小波变换( d w t ) 。其重构公式( 逆变换) 为： 第二章小波基本理论 凡) = c 勺。o ) = o 公式( 2 1 3 ) c 是一个与信号无关的常数。 在实际中采用的是动态的采样网格，最常用的是二进制的动态采样网格，即 a o = 2 ，= 1 ，每个网格点对应的尺度为2 7 ，而平移为k 2 7 。由此得到的小波为： 。( f ) ：2 了- j 少( 2 - q - k ) j ，七z 公式( 2 1 4 ) 成为二进小波，该小波广泛的应用与语音与图像处理领域，二进小波对信号的分 解，恰似人类的视觉和听觉特性，同时使得快速算法得以实现【3 1 。 2 3 小波的多分辨分析与分解重构 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简称心) ，又成多尺度分析，它是 m a l l a t 在研究图像处理时建立的理论。m r a 不仅为正交小波的构造提供了一种简 单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。同时，它的思想又 和多采样滤波器组不谋而合，使得我们又可将小波变换和数字滤波器的理论结合 起来。因此，多分辨分析是小波理论中的精髓，具有非常重要的地位。多分辨分 析的思想是先在能量有限函数空间r 伍) 的某个子空间中建立基底，然后利用简 单的伸缩与平移变换，把子空间的基底扩充到r 伍) 中。我们下面就来建立多分 辨分析的一般概念。 定义：e j 间是空间r 似) 中的一子空间序列，如果杉l 。z 和函数r 伍) 满足如下条件： 1 、 单调性：s + l 巧巧一l 量z ； 2 、 逼近性：n 巧= o ) u ，= f q ) ； 3 、伸缩性：厂g ) lj ( 2 7 j ) ，w z ； 4 、 平移不变性：厂g ) j 厂g n ) v o ，v n z ； 5 、 砌e s z 基存在性：7 9 7 生g v o ，使得k g n ) t 行z 构成v o 的m s e z 基。 则称e 0 ；z 是由函数 f ，o ) r q ) 生成的一个正交多分辨分析( m 队) ，其中 第二章小波基本理论 妙o ) r ) 称为尺度函数。从多分辨率分析的定义可以看出，它与人类视觉有着 惊人的相似。当人在观察某一目标时，可设它与目标之间的距离为尺度，当他 在远处观蔡目标时，对应大尺度罕i 司，只能看到目标的概貌；当他走进目标时， 对应小尺度空间，可以对目标进行细致观察。由远及近，尺度相应的由大变小， 可以对目标进行多尺度的由粗到精的观察，这就是多尺度( 多分辨率) 的思想。 从上面的分析可知，多分辨分析的所有尺度空间e j 越都是由同一尺度函数 g ) r q ) 在不同的尺度下张成的，但由于e j 越相互包含，不具有正交性，因 一， 此尺度函数在不同尺度下的伸缩和平移詹o ) = 2 丁妒( 2 7 f 一七) 不能构成r q ) 的 正交基。为此，我们定义形为巧在巧一，中的正交补空间，即巧一。= 巧。嘭，即 巧上形，因此 彤t 。z 构成了r 陋) 的一系列正交子空间，即r q ) = 是，设 ，女= 5 f ，o - k ) i 七z j 是空间的一组正交基且满足小波容许性条件，则它的伸 缩和平移的集合 蚧，。( f ) = 2 2 l y ( 2 - j r - 七l ，k z 必然构成p ) 的一组正交基。 lj 其中少肼称为小波函数，e 称为尺度空间为的小波空间【8 2 6 】。 2 4 双尺度方程和正交小波基的构造 双尺度方程是多分辨率分析赋予尺度函数和小波函数的最基本特征，它反映 的是两个相邻尺度空间或相邻尺度空间和小波空间基函数之间的内在联系，也是 由尺度函数构造小波函数的桥梁。 尺度函数和小波函数的双尺度方程如下： 缈o ) = 矗。纯h = 拒五。9 ( 2 f - - n ) 沙o ) = g n 让= i 矿( 2 f 一以) 公式( 2 1 5 ) 公式( 2 1 6 ) 双尺度方程存在于任意相邻尺度，+ 1 之间。尺度函数和小波函数的系数 h 。和g 。称为滤波器系数，它们的频域表示日0 ) 和g 0 ) 分别对应了一个低通滤 波器和高通滤波器。由于尺度函数嘶) 和小波函数 f ，o ) 满足双尺度方程，因此， 第二章小波基本理论 可以通过尺度函数构造小波函数，它们的系数和岛满足如下关系： 邑= ( - 1 y 垃川 f f 式( 2 1 7 ) 因此，由尺度函数构造的小波函数为： y o ) = 岛纯。，。o ) = 互岛伊( 2 f 一聆) = 互( - 1 y 九川t p ( 2 t - ”) 公式( 2 1 8 ) 从而由y o ) 的二进伸缩和平移便可形成整个r q ) 的标准正交基3 2 7 1 。 2 5m al ia t 算法 正交小波快速分解和重构的快速算法，也称m a l l a t 算法，是m a l l a t 在多分辨 分析的基础上提出的。它在小波分析中的地位就相当于f f t 在经典f o u r i e r 变换中 的作用。正是由于快速算法的提出，才使得小波变换的优良特性得以充分发挥， 从而在众多领域有广泛的应用。其算法的基本思想是：信号o ) 的某层小波分解 是将o ) 以某个尺度变换到空间r 似) 的两个正交子空间吩和上，由_ 得到 离散逼近值4 - f ，由形得到离散逼近值口厂；下一层分解中是以尺度+ 1 再将 4 f 分解到子空间一+ 。和彬+ 。中，这样按照公式( 2 2 2 ) 不断分解下去，从而对信号 进行了多分辨率的分解。其分解过程如图2 - 1 所示，其中h 和g 是双通道滤波器组， 4 f 称为逼近信号或概貌信号，它对应着信号的低频成分：口厂称为细节信号， 它对应着信号的高频成分。 设缈和沙分别为尺度与小波函数，则信号厂o ) 在分辨率2 7 下近似4 厂和细节 口厂分别假设为： 4 s ( d = 勺，。纺加q g ) = 嘭。吩。 k z - - 七暑- 公式( 2 1 9 ) 公式( 2 1 9 ) bc s ，。与d m 分别为分辨率2 7 下概貌系数与细节系数。而分辨率2 7 下信号厂o ) 的近似4 厂可以直接表示为 a , f = a j “f + d j “ 公式( 2 2 0 ) 第二章小波基本理论 其中，a s + 。s ( x ) - - - 勺扎。纺+ j 。，d s + 。g ) = y d s “。i t s + l 。 公式( 2 2 1 ) 膏= 七专 则信号厂g ) 相应的多尺度分解的过程为( 分解示意图如图2 - 1 所示) ： 吣= a if d 。f = 七d 。 七d h f = = a h 七d n + d n i 、- 丰七d 1 七d h 炙t ) h g a 寸d d h g a 毒d 季 h g i 爿矿d 图2 1信号厂g ) 的多尺度分解结构示意图 公式( 2 2 2 ) 从公式( 2 - 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 、( 2 - 2 1 ) 及( 2 - 2 2 ) 不难看i ：1 ：i ，研究信息4 厂与4 + 。厂以及 q + 。f 的关系可以转化为找出系数勺，。与勺+ l 。以及嘭+ 1 。的关系。为此，我们从双 尺度方程开始，此时有： 缈o ) = 吃劫亿一，z ) 将此式对时间进行伸缩和平移： 伊( 2 一i t 一七) = 而。劫( 2 小i 卜2 k 一”) 另m = 2 k + n ，贝0 ： 伊( 2 一，f 一七) = k 硪动( 2 小l f m ) 由多分辨分析，我们定义： 巧一。= 印口胛乜( 一+ l v 2 伊( 2 + l f 一尼) k 那么任意厂o ) 巧一，在巧一，空间的展开式为： 厂o ) = 。2 ( - j + 1 ) 2 伊( 2 小l f 一尼) ) k 公式( 2 2 3 ) 公式( 2 2 4 ) 公式( 2 2 5 ) 公式( 2 2 6 ) 公式( 2 2 7 ) 第二章小波基本理论 将o ) 分解一次( 即分别投影到巧和髟空间) ，则有： o ) = o 。2 一胪伊( 2 一，f 一尼) ) + d 从2 一s 1 2 v ( z y t 一七) ) kk 勺，。d j ，。分别为尺度上的展开系数，且： c j ，。= d s ，。_ 一般称勺，e 为剩余系数或尺度系数，d j ，。为小波系数。 将公式( 2 2 5 ) 代入公式( 2 2 9 ) 得： c y 户h 。埘。 同理可得： 嘭广g 。埘d s - l ，。 公式( 2 2 8 ) 公式( 2 2 9 ) 公式( 2 3 0 ) 公式( 2 3 1 ) 公式( 2 - 3 2 ) 将l 的尺度系数勺，。进一步分解下去，可分别得到巧+ 。和形+ 。为剩余系数 q + l 。和小波系数d 川，。： c j + 1 女= h 。啦勺，l 哆+ 。= g 肫。d s ，。 公式( 2 3 3 ) 公式( 2 3 4 ) 同样将尺度空间巧+ 。继续分解下去，可以得到任意尺度空间巧，这就是著名 的m a l l a t 塔式分解算法，其分解过程如图2 2 所示，图中c 7 表示的是空间的尺度 系数，d 7 表示的是空间的小波系数： 图2 2小波分解示意图 d + c + n 重构过程是分解的逆过程，相应的重构方法为( 图2 3 ) ： 勺女= 删 t + 硪d f + l 女 f f 式( 2 3 5 ) 第二章小波基本理论 一：7 _ _ 一 则信号厂o ) 相应的多尺度重构的过程为： a n f + d n f + d n - 、f + + d 2 f + d l f = f 吣 公式( 2 - 3 6 ) 以上给出了对信号7 r ( f ) 作分析时的尺度系数和小波系数之间的关系，这些离 散系数间的关系可用多采样滤波器组通过“二插值”、“二抽取”的形式实现， 便于从数字信号处理的角度进行分析。 以下先从理想滤波器的角度引入多分辨分析。当信号的采样率满足n y q i u s t 要求时，归一的频带必将限制在一万万之间。此时可分别用理想低通与理想高 通滤波器 。和g 将它分解为( 对于正频率部分而言) 频带在0 万2 的低频部分 和万2 万的高频部分，分别反映信号的概貌与细节。处理后两路输出必定正交 ( 因为频带不交叠) ，而且由于两种输出的带宽均减半，因此采样率可以减半而 不致引起信息的丢失( 带通信号的采样率决定于其带宽) 。这也是m a u a t 算法中 滤波后“二抽取”环节的理由。所谓二抽取就是对输入序列每隔一个输出一个， 组成长度减半的新序列。类似的过程对每次分解后的低频部分再重复进行下去， 即：每一级分解把该级输入信号分解为一个低频粗略逼近( 概貌) 和一个高频的 细节部分。而且每级输出采样率都可以减半。这样就将原始信号进行了多分辨分 析。信号重建的分解的逆过程，分解所得的每一支路首先做“二插值”，然后为 平滑补零后的波形做相应的低通或带通滤波，并逐级重建 8 2 5 1 。 2 6 二维图像小波变换的分解与重构 在图像处理中，图像是一个能量有限的二维函数厂g ，少) r 伍2 ) ，可方便的 将一维小波变换的概念推广到二维空间r 伍2 ) ，这样就可以对图像进行小波变换 了。 第二章小波基本理论 定义：函数的子空间哆= 巧。哆，则向量空间的分解可以概括为： 曙。= 心。嘭) 。以。髟) = 眈圆) 。e 。) 。慨圆巧) 。慨。) 公式( 2 37 ) 定义尺度函数为： 伊g ，y ) - - 缈g ) 伊) 公式( 2 3 8 ) 令妨。j 、以，。j 分别是_ 和形的正交基，此时，矢量空间乃分解为三个正 交矢量子空间叼、哆和叼，它们分别对应二维平面的三个方向：水平、垂直 m g ，y ) = 以砂) g ，y ) = 5 c ，g 砌) i g ，y ) = 少g 砂) 公式( 2 3 9 ) 那么，图像厂g ，y ) 的二维小波分解为： 4 m = - - x e h 。k i 一2 挖。弦，i f 一2 ，z ：) x j - l , k t , k 2 f k lt 2 公式( 2 - 4 0 ) 巧 抛= = x x h 。k i 一2 n 1 ) g ，k 一2 ，z ：p 川 如 - k z 公式( 2 - 4 1 ) 磁。：= = k i - 2 n i 谚，化一2 咒：h 吐“。：厂 lk z 公式( 2 - 4 2 ) 巧川m g ，y l v ( x 一2 ，z p 一2 ：n 2 ) = k i 一2 k ，k - 2 ，z ：净川 岛厂 k lk 2 公式( 2 - 4 3 ) 因此，图像f ( x ，y ) 的级小波变换可以用一系列的子图像来表示 “厂，融，巧，巧】i = o ，1 ，2 ，) ，其中4 厂表示尺度2 川的近似部分，巧、巧、巧 分别表示了水平，垂直和对角三个方向上的高频子图像，每一次分解均使得图像 的分辨率变为原信号的1 2 。 相应的，重构算法也可以推导出来： 第二章小波基本理论 心厂= 2 2 矗。( k i - 2 n 弦，化- 2 n ：h + 1 k l , k 2 f + 2 2 z z h 。( k , - 2 n 。k ，化- 2 n 2 h + 1 k l , k 2 f + 2 z 圭兰岛瓴一2 刀。弦，化一2 咒：p 川 也厂 公式( 2 - 4 4 ) + 2 2 矗。( k i - 2 n 培，化- 2 n ：p 川 岛厂 其分解和合成的结构图见图2 4 和图2 5 ，其中，h 和g 分别为一维的低通滤 波器和高通滤波器，a y f 为原始图像，4 一。f 为低一级分辨率的低频轮廓信息， 叫厂为垂直方向的高频细节信息，巧为水平方向的高频细节信息，巧为对 角方向的高频细节信息。 原 始 图 像 哦| 玻i d 、2 i f a p 。 图2 _ 4二维小波分解算法 图2 5二维小波重构算法 l l 2 h l ， l l ih l lh l i lh l h 2h h ， l h li - i h ll h ii - i h i 图2 6图像的小波二层多分辨分解结构图 第二章小波墼车理论 经过二维小波变换，可以将原图像运级分离，分离成具有不同尺度的子图像 ( 图2 6 ) 原图像经小波变换后生成四个分量部分：低频分量l 。保留了原图的 大部分信息；高频分量l h 、i l l 、肼，均包含了边缘、区域轮廓等细节信息。 ( 1 ) 分量h h 是由两个方向利用高通小波滤波器卷积后产生的小波系数， 它表示图像的对角边缘特性。 ( 2 ) 分量h l 是在行方向利用低通小波滤波器卷积后，再用高通小波滤波 器在列方向卷积产生的小波系数，它表示图像的水平方向奇异特性。 ( 3 ) 分量l h 是在行方向利用高通小波滤波器卷积后。再用低通小波滤波 器在列方向卷积产生的小渡系数它表示图像的垂直方向奇异特性。 ( 4 ) 分量工e 是由两个方向利用低通小渡滤波器卷积后产生的小渡系数，它 图像的近似表示。 此时还可以对进行第，级小波分解蚍得到2 ，分辨率下的图像表示，实 际图像的二级小波分解见图2 7 ，左图为图像，右图为二级分解示意图【啦”。 豳慝 27 本章小结 闰2 7l e n a 图像的小波二层多分辨分解图 本章是对小波变换理论进行了系统的学习、研究之后的一个总结，介绍了连 续小波变换、离散小波变换、多分辨分析、小渡基构造和二进小波变换，并给出 离散二进小波变换的快速分解与重构算法( m a l l a t 算法) ；在此基础之上，广泛 了解小波及其应用，尤其是在图像处理中的应用，为深入进行小波变换在图像边 缘检损4 和降噪领域中的研究奠定理论基础。 第三章小波与形态学相结合的图像边缘检测 第三章小波与形态学相结合的图像边缘检测 图像边缘是一种重要的视觉信息，图像边缘的提取在图像处理和机器视觉中 占据着非常重要的作用。边缘包含了一幅图像的绝大部分主要信息，计算机视觉 中，特征提取的基本过程也是物体识别的重要一环。图像边缘检测的实质是采用 某种算法提取图像中研究对象与背景间的交界线及对象间的分界线。图像的边缘 就是图像灰度函数的奇异点和突变点，也就是图像灰度发生剧烈变化的区域。这 种变化情况可以用图像灰度函数的梯度来反映，因此图像的边缘检测算法可以由 图像局部微分技术来得到。根据上述图像边缘的特性和梯度理论，众多学者在研 究图像处理时提出了许多传统的和经典的边缘检测算子。常用的边缘检测算子包 括：r o b e a s 边缘检测算子、s o b e l 边缘检测算子、p r e w i t t 边缘检测算子、k i r s c h 边缘检测算子 2 9 1 ，零交叉边缘检测算子、差分边缘检测算子等；随着计算机硬 件技术的发展，显示器的分辨率越来越高，必然引起边缘灰度变化带的减小。图 像的边缘总是产生在不同的尺度范围内，形成不同的边缘，而在图像处理之前这 些信息是未知的。传统边缘检测方法没有自动变焦的功能，不可能完全检测出图 像的真正边缘并且传统方法没有建立一套评价一种边缘检测方法优劣性的定性 标准。随着图像处理的发展和新兴技术的研究应用，又涌现了很多新的边缘检测 算子，如：c a n n y 边缘检测算子，小波边缘检测算子，广义模糊算子【3 5 1 ，结合误 差图像的边缘检测算法 3 酬，数字形态学边缘检测算法等等。 本章首先介绍了传统的经典边缘检测算子，分析了其优势与不足：然后重点 研究了小波边缘检测算法和数字形态学边缘检测算法，并分别对两种算法做出了 改进，然后将小波及形态学这两种数学工具相结合，提出了小波与数字形态学相 结合的图像边缘检测算法。 3 1经典的边缘检测算法 3 1 1r o b e r t s 边缘检测算法 r o b e r t s 边缘检测算子是利用图像内任意一点取任意互相垂直方向的向后差 分来计算梯度的原理，采用对角线方向相邻两像素之差。 第三章小波与形态学相结合的图像边缘检测 实验表明：用对角线方向相邻像素的差分来近似图像梯度的r o b e , s 边缘检测 方法检测水平和垂直方向特别是具有陡峭的低噪图的效果较好，边缘定位比较准 确。但是对有一定倾角的斜边效果不太理想，并且存在较多漏检，在有噪声干扰 的情况下，r o b e , s 边缘检测算子不能有效的去噪并伴随一些伪边缘【3 0 1 。 3 1 2s o b ei 边缘检测算法 s o b e l 边缘检测算子的原理为：考虑图像她，枷厂g ，埘内的每一个点，取每个 点的上下