（机械电子工程专业论文）汽轮机转子碰摩的非线性振动研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 论文主要针对转子碰摩的非线性振动展开了研究，建立了转子碰摩的非线性振 动方程并用数值方法进行求解，基于转子故障诊断的时频分析方法，运用小波分析 理论研究了转子非线性故障的特征提取问题，以常见的碰摩故障为研究对象，提出 了基于离散小波变换( d w t ) 的碰摩故障特征提取的方法。 结合数值实验对目前常用的几种改进b p 算法原理及性能特点进行了比较研 究，提出了弹性b p 算法的改进策略。在此基础上，详细介绍了基于改进弹性b p 算法的转子状态的诊断方法，通过实验验证了其有效性。 采用虚拟仪器技术结合本特利转子实验台、调理模块和采集模块，采用基于 d w t 碰摩故障特征提取方法和改进弹性b p 算法，对振动信号进行了采集和数据处 理，设计了转子振动状态识别系统。 关键词：转子碰摩，非线性振动，故障诊断，改进弹性b p 算法，小波分析 a b s t r a c t n o n l i n e a rv l b r a t l o nb e h a v l o ro far u b - i m p a c tr o t o ri ss t u d i e d i h en o n l i n e a r v i b r a t i o ne q u a t i o ni se s t a b l i s h e da j l ds o l v e db yu s i n gn u m e r i c a lm e t h o d s b a s i n go nt h e t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o do ff a u l td i a g n o s i sa n du s i n gt h ew a v e l e tt h e o r y ，t h i s p a p e ra i l a l y z e st h ep r o b l e mo fc o l l e c t i o nt h en o n l i n e a rv i b r a t i o ns i g n a l 0 nt h eb a s eo f t h es t u d y i n go ft h er u b i m p a c tr o t o r ，t l l ec h a r a c t e “s t i c sd r a w nb yd w tm e m o da r e r a i s e di nt h i sp a p e r i nt h i sp a p e r t h em e t h o d so fi m p r o v i n gr e s i l i e n tb a c kp r o p a g a t i o na r ep r e s e n t e d o nt h eb a s eo fc o m p a r i n gt h ev a r i o u si m p r o v e db pa l g o r i t h m sa 1 1 dt h er e s i l i e n tb a c k p r o p a g a t i o ni m p r o v e m e n t sa r ep r o p o s e d o nt h eb a s eo ft h ei m p r o v e dr e s i l i e n tb a c k p r o p a g a t i o n ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e si nd e t a i l st h ec l a s s i f i e ro fr o t o rc o n d i t i o n sa n df u r t h e r u s e ss i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sm e a s u r ed a t at oc e n i f i c a t ei t se f f e c t i v e n e s s b r a t i o ns i g n a li sc o l l e c t e da i l dp r o c e s s e db yv i r t u a li n s t m m e n tt e c h n o l o g y c o m b i n e dw i t hb e n t l yr o t o re x p e r i m e n tp l a t f o mm o d u l e ，t h eu s eo fd w ta n dt h e i m p r o v e dr e s i l i e n tb a c kp r o p a g a t i o na l g o r i t h m a n da ne x p e r i m e n t a ls y s t e mo fr o t o r v i b r a t i o ns t a t u sm o n i t o r i n gi sd e s i g n e d w a n gj i - x u a n ( m e c h a t r o n i ce n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db ya s s o c i a t ep r o f z h ux i a o y a n k e yw o r d s ：n i b i m p a c tr o t o r ，n o n l i n e a l rv i b r a t i o n ，磊m l td i a g n o s i s ，i n l p r o v e dr e s i l i e n t & l c l ( p r o p a g a t i o 玛w a v e l e tt l l e o 巧 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 论文主要针对转子碰摩的非线性振动展开了研究，建立了转子碰摩的非线性振 动方程并用数值方法进行求解，基于转子故障诊断的时频分析方法，运用小波分析 理论研究了转子非线性故障的特征提取问题，以常见的碰摩故障为研究对象，提出 了基于离散小波变换( d w t ) 的碰摩故障特征提取的方法。 结合数值实验对目前常用的几种改进b p 算法原理及性能特点进行了比较研 究，提出了弹性b p 算法的改进策略。在此基础上，详细介绍了基于改进弹性b p 算法的转子状态的诊断方法，通过实验验证了其有效性。 采用虚拟仪器技术结合本特利转子实验台、调理模块和采集模块，采用基于 d w t 碰摩故障特征提取方法和改进弹性b p 算法，对振动信号进行了采集和数据处 理，设计了转子振动状态识别系统。 关键词：转子碰摩，非线性振动，故障诊断，改进弹性b p 算法，小波分析 a b s t r a c t n o n l i n e a rv l b r a t l o nb e h a v l o ro far u b - i m p a c tr o t o ri ss t u d i e d i h en o n l i n e a r v i b r a t i o ne q u a t i o ni se s t a b l i s h e da j l ds o l v e db yu s i n gn u m e r i c a lm e t h o d s b a s i n go nt h e t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o do ff a u l td i a g n o s i sa n du s i n gt h ew a v e l e tt h e o r y ，t h i s p a p e ra i l a l y z e st h ep r o b l e mo fc o l l e c t i o nt h en o n l i n e a rv i b r a t i o ns i g n a l 0 nt h eb a s eo f t h es t u d y i n go ft h er u b i m p a c tr o t o r ，t l l ec h a r a c t e “s t i c sd r a w nb yd w tm e m o da r e r a i s e di nt h i sp a p e r i nt h i sp a p e r t h em e t h o d so fi m p r o v i n gr e s i l i e n tb a c kp r o p a g a t i o na r ep r e s e n t e d o nt h eb a s eo fc o m p a r i n gt h ev a r i o u si m p r o v e db pa l g o r i t h m sa 1 1 dt h er e s i l i e n tb a c k p r o p a g a t i o ni m p r o v e m e n t sa r ep r o p o s e d o nt h eb a s eo ft h ei m p r o v e dr e s i l i e n tb a c k p r o p a g a t i o n ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e si nd e t a i l st h ec l a s s i f i e ro fr o t o rc o n d i t i o n sa n df u r t h e r u s e ss i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sm e a s u r ed a t at oc e n i f i c a t ei t se f f e c t i v e n e s s b r a t i o ns i g n a li sc o l l e c t e da i l dp r o c e s s e db yv i r t u a li n s t m m e n tt e c h n o l o g y c o m b i n e dw i t hb e n t l yr o t o re x p e r i m e n tp l a t f o mm o d u l e ，t h eu s eo fd w ta n dt h e i m p r o v e dr e s i l i e n tb a c kp r o p a g a t i o na l g o r i t h m a n da ne x p e r i m e n t a ls y s t e mo fr o t o r v i b r a t i o ns t a t u sm o n i t o r i n gi sd e s i g n e d w a n gj i - x u a n ( m e c h a t r o n i ce n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db ya s s o c i a t ep r o f z h ux i a o y a n k e yw o r d s ：n i b i m p a c tr o t o r ，n o n l i n e a l rv i b r a t i o n ，磊m l td i a g n o s i s ，i n l p r o v e dr e s i l i e n t & l c l ( p r o p a g a t i o 玛w a v e l e tt l l e o 巧 声明尸叫 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文汽轮机转子碰摩的非线性振动 研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取 得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：日 期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播 学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：导师签名： 华北电力大学硕士学位论文 1 1选题背景及意义 第一章绪论 转子系统是代表一类广泛工程应用背景的复杂机械的关键部件。在转子系统运 行过程中，弹性元件、间隙、外力、摩擦等会对其运行状态产生影响，使其线性或 非线性地偏离理想运动状态，从而会使系统产生异常振动或故障行为，如不断发生 碰摩可能引起转子振动、不平衡、裂纹，其疲劳裂缝会随载荷变化可能逐渐传播至 系统的其它元件l lj 。显然振动特性进行研究对转子系统的设计、使用、维护等将具 有非常重要的意义。由于旋转机械系统中各种异常振动的存在，其原因很难用线性 理论来解释，线性理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数 成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数微分方程【2 1 。自从二十世纪初，基于 线性理论的转子动力学获得了很快的发展并且其理论已较为成熟，在实践中也获得 了广泛成功的应用，如( 不平衡响应计算、临界转速确定、运转稳定性、参数识别 及转子平衡等) 。随着科学技术的进步与发展，旋转设备朝着高速、轻型、智能化 方向发展。转子系统中出现的复杂的动力学行为日益引起人们的关注1 3 】。过去，用 线性动力学理论能比较简单地研究和解决转子系统的一些故障问题。在很多的实际 问题中，合理的线性化能显著地减少分析与计算的工作量，降低理论上和技术上的 难度，并且所得的结果与实际系统的测试结果基本上一致【l 】。然而，实际转子系统 中广泛存在着各种非线性因素，如果采用近似的线性模型和线性系统的分析方法， 将不可避免地忽视掉许多系统固有的非线性动力学现象，从而造成主观分析的结果 与实际系统的客观动力学行为之间存在不可忽视的定性和定量上的差异。在转子系 统故障诊断和状态监测中，振动问题许多都是非线性的，有些也异常复杂的现象无 法用传统经典的线性理论来解释。如果采用线性动力学理论，那么此时其建立的数 学模型是不完善的，这样将会导致低频分量过大，振动幅值超标，不可避免的导致 旋转机械被破坏的事故。因此本文开展转子碰摩系统的非线性动态特性问题的研 究，是实际工程问题的需求。 1 2 振动信号处理及研究现状 转子与定子间碰撞的研究已经引起了许多学者关注，非线性理论始于1 9 世纪 末，由h p o i n c a r 奠定了理论基础。其开辟了定性理论，讨论了二阶系统奇点的分 类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数， 还研究了分岔问题。1 8 9 2 年a m l y a p l l n o v 给出了稳定性的严格定义，并提出了研 究稳定性问题的直接方法【2 1 。 华北电力大学硕士学位论文 在非线性振动的近似解析方法中，1 8 3 0 年泊松研究单摆振动时提出摄动法的基 本思想。1 8 8 3 年林滋泰德解决了摄动法的久期项问题。1 8 9 2 年由庞加莱建立了摄 动法的数学基础。1 9 5 5 年y a m i t r o p o l s k y 将此方法推广到非线性定常系统最终形 成k b m 法。1 9 6 5 年a h n a y f e h 等完善了多尺度法。1 9 3 3 年j g b a k e r 的工作表明 有能源输入时干摩擦会导致自激振动。非线性振动的研究还使人们认识到了混沌运 动【。 m u s z y n s k a 【2 】综述了与碰撞相关的振动现象并写出了有关的论文，碰摩转子混 沌运动的数学模型。c h o i 和n o a h l 4 】考虑了一个带轴承间隙因而产生碰摩的刚性轴 转子系统，基于谐波平衡法、d f t 和i d f t 分析了系统的次谐波、谐波和超谐波周 期振动。c h u 【4 j 对油膜轴承支承的碰摩转子系统进行了数值研究，观测到了周期的、 拟周期的和混沌运动。褚福磊【5j 等用数值积分研究了油膜轴承转子系统发生动静件 碰摩时的振动特征。陈安华【3 j 等数值分析了具有线性支承和非线性刚度转轴的 j e f f c o t t 转子系统发生动静件径向接触摩擦时的振动特征，揭示了多吸引子共存、拟 周期运动、次谐波振动以及分叉等非线性动力行为，得出的结论有助于旋转机械摩 擦类故障的准确诊断。 刘献栋和李其汉【6 j 从经典碰撞理论出发，建立了考虑静止件本身刚度的不对中 质量偏心转子碰摩的动力学方程，分析表明系统除了具有各种形式的周期运动、拟 周期运动外，还具有丰富的混沌运动与分叉现象。褚福磊和张正松1 5 j 分析了一个由 油膜轴承支承的转子系统在发生动静件碰摩时的振动特性。 振动信号分析处理是对检测到的各种振动信号进行加工、变换，以提取故障征 兆。目前，应用最广泛的故障信号处理方法是傅立叶分析和相应的快速算法( f f t ) 。 借助于f f t 算法实现信号处理有频谱分析、相关分析、相干分析、传递函数分析、 细化谱分析、时间序列分析等。这些分析方法在故障诊断过程中起到了重要作用， 但其只适于分析连续的、平稳的时域信号，在分析瞬态非平稳振动信号时显示出其 局限性。 近十年来小波技术成功地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和 频率域里都有很好的局部化性质。随着小波分析理论的完善及其快速算法的出现， 小波技术的应用越来越广泛。它可以用于边界的处理与滤波、图像压缩、时域分析、 信噪分离与提取弱信号、求分形指数、地震数据处理、机械故障信号特征提取与识 别等。 小波分析在振动分析与特征检测等领域的应用受到了广泛的关注。1 9 9 6 年， w j w a n g 和p d m c f a d d e n 运用小波分析对齿轮箱振动信号进行分析，提出了基于 小波分析的齿轮箱故障特征检测方法。1 9 9 7 年r o b e r tn o w a i ( 和r i c h a r db a r a n i u k 将小波变换应用于非线性信号处理，研究表明基于小波分析的非线性特征分析大大 2 华北电力大学硕士学位论文 优于传统的时域、频域分析方法。1 9 9 9 年，b l i u 和s f l i n g 提出了基于小波分析 的机器故障诊断方法，用于内燃机的检测。 作为分析处理工程领域中的非平稳信号的有效工具，小波分析的理论和应用研 究在故障诊断领域中将获得越来越广泛的应用。 1 3 非线性理论基础 1 3 1振动故障的非线性特性分析 在振动微分方程中，或者阻尼项呈现非线性，或者刚度呈现非线性，亦或者两 者都是非线性项1 7 】。系统的非线性特征可能是由以下因素引起的：( 1 ) 滚动轴承中的 间隙和恢复力；( 2 ) 转轴各向异性力学特性的非线性，如裂纹或缺陷；( 3 ) 支撑间隙 变化引起的干摩擦以及工质的相互作用。 线性振动与非线性振动的区别取决于该系统在激振力作用下的振幅大小。非线 性振动具有以下特性：( 1 ) 固有频率随振幅而变化；( 2 ) 振幅和相位跳跃变化；( 3 ) 分 谐波共振；( 4 ) 高次谐波共振；( 5 ) 组合共振。 次谐波与超谐波共振，对具有多项式形式的非线性刚度强迫振动微分方程，用 谐波平衡方法进行分析，在非线性系统中，若以频率接近固有频率整数倍的激励作 用于非线性系统时，系统发生共振的频率为激励频率的整数分之一，即分谐波共振。 当激励频率接近系统线性固有频率的整分数倍时，也会引起共振。在一定的参数范 围内，其振幅甚至大于基频振幅。裂纹轴的振动会出现上述情况。即便是非基频振 动不占主导成份，它们也可能激发出系统中某些零部件的共振，从而导致系统的故 障。例如动静件的碰摩。 由于非线性因素不可避免地存在，因而振动故障的存在往往伴随有强烈的非线 性特征。当系统的非线性较为明显时如果仍采用基于线性振动理论的建模分析方 法，不仅所得的结果在定量上误差太大，更为重要的是无法对系统出现的故障现象 正确解释。 1 3 2 非线性基本理论 振动系统的动力学系统【8 】【9 】可以通过数学模型建立，产生的故障则通过振动模 型及其相应的数学工具解释。对于物理规律的研究，也是基于数学工具的发展。非 线性振动系统的数学模型因问题的不同而不同，对弱非线性系统采用摄动法，可是 很难得到非线性系统的精确解。数值解法虽可以提供一些重要的数值结果，却往往 局限在某一局部领域，其结论也要以实验结果为基础。 混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动。由于确定性混沌的存在，人们对 华北电力大学硕士学位论文 复杂非线性系统有了更深入的认识：并非所有貌似随机的行为都是由复杂系统产 生，在非线性作用下，少数自由度即有可能产生复杂行为，这些行为是由少数几个 分量的简单非线性间相互作用所导致的复杂现象，可以采用简单的法则加以解释和 描述。如果能从测量到的实验数据中识别出这种混沌行为，甚至重构隐含的动力系 统，将深刻地揭示出各类复杂现象的本质。 1 4b p 神经网络研究现状 1 9 7 4 年p w e r b o s 在其博士论文中提出了第一个适合多层网络的学习算法i l ， 但该算法并未受到足够的重视和广泛的应用，直到2 0 世纪8 0 年代中期，美国加利 福尼亚的p d p 小组于1 9 8 6 年发表了p a r a l l e ld i s t r i b u t e dp r o c e s s i n g 一书，将该算法 应用于神经网络，称之为b p 神经网络。在人工神经网络的实际应用中，b p 网络广 泛应用于函数逼近、模式识别、模式分类、数据压缩等，8 0 9 0 的人工神经网络 模型是采用b p 网络或它的变化形式，它也是前馈网络的核心部分，体现了人工神 经网络最精华的部分。 1 5 b p 神经元及b p 神经网络模型 输入神经元 厂_ 、厂_ 、 1 、1 - j 图l 一1b p 神经元的一般模型 b p 神经元与其它神经元类似，不同的是b p 神经元的传输函数为非线性函数， 最常用的函数是l o g s i g 和t a n s i g 函数，有的输出层也采用线性函数( p u r l i n e ) 。其输 出为： a = l o g s i g ( w p + b ) b p 网络一般为多层神经网络，b p 网络的信息从输入层流向输出层，因此是一 种多层前馈神经网络。 如果多层b p 网络的输出层采用s 形传输函数( 如l o g s i g ) ，其输出将会限制在一 个较小的范围内( o ，1 ) ；而采用线性传输函数则可以取任意值。 在确定了b p 网络的结构后，要通过输入和输出样本集对网络进行训练，亦即 对网络的阈值和权值进行学习和修正，以使网络实现给定的输入输出映射关系。 4 华北电力大学硕士学位论文 b p 网络学习分两个阶段： 第一个阶段是输入已知学习样本，通过设置的网络结构和前一次迭代的权值和 阈值，从网络的第一层向后计算各神经元的输出。 第二个阶段是对权值和阈值进行修改，从最后一层向前计算各权值和阈值对总 误差的影响( 梯度) ，据此对各权值和阈值进行修改。 以上两个过程反复交替，直到达到收敛为止。由于误差逐层往回传递，以修正 层与层间的权值和阈值，所以称该算法为误差反向传播( b a c kp r o p a g a t i o n ) 算法，这 种误差反传学习算法可以推广到有若干个中间层的多层网络，因此该多层网络常称 之为b p 网络。标准的b p 算法和w i d r o w h o f f 学习规则一样是一种梯度下降学习 算法，其权值的修正是沿着误差性能函数梯度的反向进行的。 1 6 本文主要研究内容 非线性科学的发展在故障诊断领域、监测技术领域，研究者可以利用比以往更 加可靠、更加完善的信息为故障诊断研究提供坚实的理论基础。基于汽轮机转子碰 摩的非线性振动现象，本文主要做了以下几方面的工作： ( 1 ) 建立碰摩方程并对其进行数值求解，通过分叉图和实验对碰摩现象做进一步 解释；( 2 ) 通过讨论经典傅立叶变换的理论缺陷，论述了发展时频分析理论在故障诊 断领域的重要性，分析了短时傅立叶变换等几种常用时频分析方法，并指出它们的 局限性；( 3 ) 分析小波技术在信号处理中的应用并提出运用小波变换算法对信号进行 分析并提取故障特征向量；( 4 ) 建立故障样本集；( 5 ) 设计神经网络结构以实现对所 提取的信号进行故障诊断；( 6 ) 建立故障诊断系统为后期的故障诊断提供有益的参 考。 5 华北电力大学硕士学位论文 2 1引言 第二章转子动静碰摩故障研究 转子与定子的碰摩可以分为四个阶段：无碰摩、带有局部碰摩的初始阶段、摩 擦相互作用全周碰摩阶段和分离阶段。其中每个阶段所表现的物理现象是不同的， 而有些碰摩现象只是包含其中的部分阶段。因此，研究分析碰摩力的产生有助于对 碰摩现象的理解，下面将推导出相应的数学表达式并通过数值仿真对碰摩现象进行 研究。 2 2 运动方程的推导 研究如图所示的j e f f c o t t 转子： 么纪么乙定子 z 2 2 2 2 转子 z z z 乙 7 1 7 7 77 7 7 7 7 定 7 7 7 7 = 乃，_ 一 图2 1j e 疏o t t 转子模型图 i y 碰摩点 转子 砦x a 弋纠、f t x 于 图2 2 碰摩简图 进行问题的研究时，假定：由于碰摩发生的时间间隔很短，转子与定子的碰撞 为弹性碰撞，形变为弹性形变，转子与定子的摩擦符合库仑定律 即摩擦力与接触面的正压力成正比。对于该系统，设转子的偏心距为p 、转子 的角速度为彩、在静止时转子与定子之间的间隙为6 ，则碰撞时的法向碰摩力凡与 6 华北电力大学硕士学位论文 切向碰摩力辱可表示为： f n i 心啦k c ( ，豁万 b = 瓜 ( 2 1 ) 式中厂为转子与定子间的摩擦系数，k 。为定子的径向刚度， ，：抓i j i f _ 弋丽为转子的径向位移，其中和为转子的初始位移，只 和e 分别为转子碰撞定子时的x 方向和j ，方向的碰摩力其为： 每= 一字e ( 多 一= 一一 l 厂 l f x = f y = o 一厂丫x 、1 ( ， 万) 1 八y j ( 厂 万) ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) 对于具有弹性支承、非线性的刚度转轴、可能发生动静件碰摩的转子系统，则 可建立转子的碰摩方程【1 】为： 篙：多：笛：惫荽：；三彩盏豁：爱一尥 c 2 q 秒”+ + 五+ k ，( x 2 + y 2 ) y = 朋叠w 2s i n ( w f ) + r 一 匆 、。v 其中m 为转子质量，k g ；c 为轴的阻尼，n s m - 1 ；七为轴刚度，n m l ；k ，为 轴刚度非线性项系数，n s m l ；p 为转子偏心量，m ；缈为转子角速度，r a d s 一1 ；x ，y 为转子中心相对初始位置的位移，m ；。皱。七m 将式( 2 2 ) 代入( 2 4 ) 得： 缸一+ “，+ 孟x + k ，( x 2 + y 2 ) x + 羔二二丛( x 一痧) ：a 妃w 2c 。s ( w r ) 蜘，+ 钞，+ 矽+ e ( x z + j ，z ) y + 血何一j ，) ：胁w ：s i n ( w r ) 一馏 2 - 5 式( 2 5 ) 即为碰摩时转子的运动方程 2 3 非线性方程组求解 对于非线性系统方程来说，可求出精确解的极少，因此除了采用数值计算方法 外，只能采用近似解析方法。非线性系统的近似解析方法很多，如谐波平衡法、正 7 华北电力大学硕士学位论文 规摄动法、林滋泰德一庞加莱法、平均法、多尺度法、渐进法等等。下面就其中的 一些方法作进一步介绍。 2 3 1 近似解析法简介 所谓正规摄动法【l l 】实际上和摄动法的思想差不多，也是将非线性系统的解按小 参数s 的幂次展开，先求出派生系统的解，再依次代入方程组求出各阶近似解，最 后合并在一起便得到原来系统的解。1 8 9 2 年庞加莱证明了此方法的合理性，该方法 适合于弱非线性系统。实际在使用此方法式，由于计算机工作量随着幂次的增高而 迅速增加，因此往往只取级数的前几项。 林滋泰德一庞加莱法【1 2 】【1 3 】最早是林滋泰德在1 8 8 3 年提出的，1 8 9 2 年庞加莱为 其合理性进行了数学证明，故该方法被称为林滋泰德一庞加莱法。它的基本思想是 认为非线性系统的固有频率彩并不等于派生系统的固有频率，而也应该是小参数 s 的未知数。因此在将基本解展开成的幂级数的同时，应将频率缈也写成占的幂级 数，幂级数的待定系数根据周期运动的要求依次确定。 平均法是利用两种不同的时间尺度，将系统的振动分解为快变和慢变两种过 程。平均法的物理本质是：在每一个运动周期中认为运动是简谐振动，但第二个周 期的振幅和初相角与第一个周期相比，已经发生了微小的改变，在计算过程中，近 似认为振幅和初相角在一个周期内保持不变，以它们的平均值代入方程求解。 多尺度法的概念最早是1 9 5 7 年由斯特洛克提出的，经过奈弗等人的发展和完 善，与摄动法相比，多尺度法的明显优势是不仅能计算周期运动，而且能计算耗散 系统的衰减振动；不仅能计算稳态响应，而且能计算非稳态过程；也可以分析稳态 响应的稳定性，描绘非自治系统的全局运动的状态变化过程。 渐进法的基本思想最先是由克雷洛夫和包戈留包夫于1 9 3 7 年提出的，此后包 戈留包夫和米特罗波尔斯基给出了严密的数学证明并加以推广，因此也成为克雷洛 夫一包戈留包夫一米特罗波尔斯基方法。渐进法其实是将平均法与摄动法相结合而 形成的一种新的非线性方程的解法。 上述的这几种近似解析方法不仅使用于单自由度弱非线性系统，对于弱非线性 的多自由度系统和连续系统，上述的几种方法都可以用。但对于强非线性系统来说， 正规摄动法、林滋泰德一庞加莱法、平均法、多尺度法、渐近法就显得不是很适用 了，因为这些解法的精确度跟小参数s 的取值有关，与它们相对应的是，谐波平衡 法则不存在小参数s 取值问题，因此，对于强非线性系统，采用谐波平衡法进行近 似求解，是完全可行的。 在各种近似解析方法中，谐波平衡法是概念最明确的，适用最简便的近似方法， 8 华北电力大学硕士学位论文 应用范围广，其基本思想是将振动系统的激励项和方程的解都展开成傅立叶级数。 从物理意义上考虑，为保证系统的作用力与惯性力的各阶谐波分量自相平衡，必须 令动力学方程两端的同阶谐波的系数相等，从而得到包含未知数的一系列代数方 程，以确定待定的傅立叶级数的系数。谐波平衡法的另一种表达式称为伽辽金法， 其主要的思想也是利用级数展开的方法求解非线性方程。在利用谐波平衡法求解方 程时，将非线性方程的解假设为各次谐波叠加的形式，然后将方程的解代入非线性 方程中，消去方程中的正弦项与余弦项，即可得到能求出含有未知系数的相应多个 代数方程式，进而可求得方程的解。 对于本文研究的碰摩现象，碰摩方程在发生碰摩之前，系统是线性的，它的运 动仅为不平衡响应的同步涡动，测到的振动为同频分量。由于发生碰摩，系统中产 生了一个附加的非线性刚度k 。( 1 一艿p ) 。相对于转轴的刚度系数后来讲，定子的径 向刚度系数k ，要大得多，因而当发生局部摩擦时，这个附加刚度的值可以在很大的 范围内变化。该系统具有异号的交叉刚度，这样的系统常常会出现运动不稳定，造 成损坏，故该系统被认为是多自由度强非线性系统。下面将利用谐波平衡法，对该 系统进行近似求解。 2 3 2 方程组求解 对于方程组( 2 5 ) ，利用谐波平衡法【1 1 】【1 纠，先计算一次谐波，令= 耐， 岳2 茎誓豸，并假定吖，。为。洲得到影= ， 髓：；，代入方踟2 铆，得到： 令l = 志，2 = 嘉，3 = 嘉，4 = 嘉，代入上面的方程组，并化简得： 对于( 2 6 ) ，由于4 3 这项数值比较小故取其为零，则比较各个方程的两边c o s 矽，s i n 矽 的系数便可得到： 9 垤矿 2 n彩虹拖矿h 胞 矿= n )吼痧 厂g 印灿婶| ； 万u ”巧 疋“”矽 彳血 e 寸也k 舢卫 矽 酝江 + 鼢矽卜 出嘭 p 一嘶 矿叼 彤 葺 讹矾 一m ，、 石 q 痧垤 e n= 甜痧p n = 豇矽怒 厂 以 1 m + “m 3 矿 洫 m 彳 2 万+ m 芦 一 + m 矾 + 卜 ， 。k 、 华北电力大学硕士学位论文 e + n 、6 铲瓦再j 对于式( 2 7 ) ，把相应的参数代回可得到x ，y 的近似周期解： m e 分+ k c 6c o s 研 2 + 3 1 m e 1 + k 6 k + k 一m z 七s l n 纠 此解是基于一次谐波的，为了得到精确点的解，现进行二次谐波计算： 令矽一仁j 篡糍盏，假蝴巧，州都她同样令 ( 2 7 ) ( 2 8 ) l = 志，：= 嘉，3 = 斋，4 = 嘉，代入方程( 2 5 ) 并化简，得到如下 方程组： 一1c 。s 矽一4 厂2c 。s 2 矽一1 ls i n 矽一2 l 厂2s i n 2 矽+ 2 1c 。s 矽+ 2 厂2c 。s 2 + 3 ( 1 一至) ( 1c o s + 吃c o s 2 一 s i n 矽一见s i n 2 矽) = p c o s 矽 一s i n 一4 ，2s i i l 2 + 。c o s + 2 ，厂2c 。s 2 + ：1s i i l ；+ 2 ，2s i l l 2 矽+ 3 ( 1 一事) ( 办c o s 矽+ ac o s 2 矽+ s i n + ，2s i n 2 矽) = e s i i l 一 绍 其中，厂= 扛7 ：屑了i 丽 比较方程组( 2 - 9 ) 两边c o s 矽，s i n 的系数，可以得到： 一1 + 厂2 1 + 一 ，3 至：p ， 把式( 2 7 ) 代入( 2 1 0 ) ，解出厂2 得： ，2 = 一c o s ：乒鬲巧 对于( 2 1 1 ) ，代回相应的参数，可得到x ，j ，的近似周期解： l o ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 一1 1 ) = ： 壮 垆 ，(l 华北电力大学硕士学位论文 x ：2 坐墼c o s 耐s i n 2 研+ k + k 一m 2 一 一黟s i n s 2 纠： 1 ，= 一一1 1 1 疗m c n s z 疗) f k + k ，一m ( i ) 2 一 c o s 2 改玎 ( 2 - 1 2 ) s i n 2 耐 式( 2 1 2 ) 的解是基于二次谐波的。利用谐波平衡法求解非线性方程的近似解时，计 算谐波的次数越高得到的结果越精确，但在实际计算过程中，往往只计算开始的几 次谐波就可以了。因为高次谐波往往是无穷小量，它们在整个系统的能量中所占的 比例极小，因此可以忽略不计。此外，当谐波计算的次数增加时，运算量在迅速增 大，这就使得在求解时只能计算有限的几次谐波。 2 3 3 计算机数值仿真计算 针对方程( 2 5 ) 令_ = x ，x 2 = x ，z 3 = y ，- = j ， 引入参数f2 耐，并写成一阶微分方程形式，则式( 2 5 ) 为： x ；5x 2 铲去一卺一每一笋唰亿 扣去一急一鲁一警叫一素 式中 厂= 厄i 了瓦j 了 c ：业! 鳖一堑必 ， f v ：堑盟+ 堂兰鉴 。 ， 2 3 3 1 下面针对方程( 2 1 3 ) 进行数值计算 转子在没有碰摩时其碰摩力只= o ，= o ，可得到其轴心轨迹图如图2 3 所示； 转子在碰摩力作用下轴心轨迹图如图2 4 所示d 华北电力大学硕士学位论文 图2 3 无碰摩力时轴心轨迹图图2 4 有碰摩力时轴心轨迹图 结论：通过数值仿真分析得出转子分别在无碰摩力作用下和有碰摩力作用下时 的轴心轨迹图，从图中可知当没有碰摩力作用时其轴心轨迹为不连续的近似椭圆的 形状，而在碰摩力作用下轴心轨迹为比较紊乱的近似椭圆的形状。 2 3 3 2 用标准四阶r u n g e k u t t a 算法 对( 2 一1 3 ) 进行数值计算1 1 儿12 1 ，可求得系统的振动响应，在计算中采用参数： ，= 2 0 置g ，后= 6 1 0 6 锄一1 ，c = 1 2 1 0 3 商m ，k 。= 4 1 0 7 7 加一1 ，k 。= 6 1 0 砌一1 厂= o 0 6 ，万= 1 1 0 - j 聊， 当转子偏心量不同时作出的各个情况下的转子分叉图如下所示： 图2 5e = 0 2 衄 1 2 华北电力大学硕士学位论文 由以上分叉图可知系统响应运动形式为周期1 、拟周期、次谐波、混沌等现象。 ( 1 ) 由图2 7 知当s = 国国，小于1 ( 即缈5 0 0 时) ，系统的响应表现为周期1 振 动。随着转速的增加，出现周期l 往转速增加的方向移动。 ( 2 ) 拟周期振动：在偏心量较小的情况下，系统响应的非周期运动主要表象为拟 周期运动。 ( 3 ) 次谐波振动：由以上图可以看出，一般出现较多的是分频。 ( 4 ) 当偏心量较大且转速很高时出现混沌振动。 2 4 模拟转子试验台实验分析 2 4 1转子在8 4 0 r m in 点碰摩时的时域波形图、频谱图、轴心轨迹图 固 g 书 知 和 啪 * 啾 一 月 i 嚣- t i 叠 、 盆。t 6 叫一t 0 、 l 水平方冉堂1 i d 生， 图2 98 4 0 r m i n 时的波形图图2 一l o8 4 0 r m i n 时频谱图 图2 1 18 4 0 r m i n 轴心轨迹图 实验结果分析：由于动静碰摩而产生的振动具有丰富的频谱特征，上图是在本 特利试验台上用n i 公司的6 2 1 0 采集卡、l a b v i e w 编制的软件采集信号所做的点碰 摩的时域波形图、频谱图以及轴心轨迹图。 ( 1 ) 从时域图上可以看出波形明显的有消波现象并伴随有奇异信号产生，从而确 定为碰摩故障。 ( 2 ) 从频谱图上可以看出其丰富的频谱特征，根据资料并结合实验可知：既有 1 3 华北电力大学硕士学位论文 ，( 工频) 、 ，、六，、六，成份，又有不是很明显的大于六，的高频成份，同时还有分频 等低频成份。 ( 3 ) 从轴心轨迹图上可以看出点碰摩时其轴心轨迹有明显的折角。 2 4 2转子在2 0 0 0 r min 全周碰摩时的波形图、频谱图、轴心轨迹图 7 扣 书 ；币 嗡 m 舯剃，蚋啪艄” 捌嘲f 一，：j ： ， ：麓 ，叁 ： ，秀 i 薅 蚕： l臻 l砑 i t ： l量谚。 5 妒 l 、4 矽 s + 月l ) 图2 一1 22 0 0 0 r m i n 时的波形图图2 1 32 0 0 0 r m i n 时的频谱图图2 1 42 0 0 0 r m i n 轴心轨迹图 实验结果分析：上图是在本特利试验台上用n i 公司的6 2 l0 采集卡、l a b v i e w 编制的软件采集信号所做的全周碰摩的时域波形图、频谱图以及轴心轨迹图。 ( 1 ) 从时域图上可以看出波形明显的有消波现象并伴随有奇异信号产生，从而确 定为碰摩故障。 ( 2 ) 从频谱图上可以看出其丰富的频谱特征，根据资料并结合实验可知：既有 ，( 工频) 、五，、六，、工，成份，又有不是很明显的大于石，的高频成份，同时还有 ( o 0 3 9 ) ，、( o 4 0 4 9 ) ，、o 5 ，及( o 5 1 o 9 9 ) ，等低频成份。 ( 3 ) 从轴心轨迹图上可以看出全周碰摩时其轴心轨迹为椭圆形或近似椭圆形且 轴心轨迹比较紊乱。 2 5 本章小结 1 本章在对碰摩故障进行研究时，对初始条件做了一些假定，并建立了简单的 碰摩模型，给出了碰摩的基本方程组。 2 列举了求解非线性方程的几种解法，并简要的介绍了它们各自的基本思想。 3 在分析比较几种非线性方程的解法的基础上，选用谐波平衡法对碰摩的基本 方程组进行了求解计算，得到了相应的近似解。 4 运用龙格库塔法对碰摩方程进行了数值仿真计算，得出转子的轴心轨迹图， 验证碰摩方程的正确性，同时也有效的说明了转子碰摩的特点。 5 作出分叉图并运用分叉图进一步解释碰摩的特点。 6 通过模拟转子试验台的实验，做出其不同转速下的波形图、频谱图和轴心轨 迹图进一步阐述碰摩的现象。 1 4 华北电力大学硕士学位论文 3 1 概述 第三章信号的时频分析 本章介绍傅立叶变换并指出傅立叶理论的发展，然后列举实例说明几种常见的 时频分析方法的局限性，提出运用小波变换进行信号分析的方法与步骤。 3 2 傅立叶变换的局限性 法国工程师傅立叶于1 8 0 7 年提出了傅立叶级数的概念【2 】【14 1 ，即任一周期信号可 分解为复正弦信号的迭加。1 8 2 2 年，傅立叶又提出了非周期信号分解的概念，这就 是傅立叶变换。经过1 0 0 多年的发展，傅立叶变换不但已经成为了一个重要的数学 分支，同时也在信号分析与处理领域起到了里程碑意义的作用。正是由于傅立叶变 换，原本对人们来说比较抽象的“频率”概念才变得具体化，但是在傅立叶变换理 论发展的过程中，人们也逐渐发现了它的一些不足。 时间和频率是研究信号最重要的两个物理量，傅立叶变换理论