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基于析冈设计的汽车车身的多变量抗掩件优化 摘要 抗撞性是汽车被动安全性研究的重要内容。汽车是由成千上万个零部件组成 的复杂整体，各个部件所包含的几何参数、材料参数等因素对于汽车的被动安全 性都会产生一定的影响，然而不同的参数对汽车抗撞性的影响程度却不尽相同， 如何选取对抗撞性指标影响显著的因子是汽车多变量抗撞性优化设计中亟待解决 的问题。在现有的文献中常有两种情况存在：一是基于设计经验选取有限几个因 子作为抗撞性优化问题的设计变量，这样可能漏掉一些重要的因子：二是不加筛 选将所有可能的因子都定义为设计变量，这样可能造成计算效率低下。无重复饱 和析因设计方法是一种高效的因子筛选方法，它可以研究任意多水平的试验设计 问题，并可以分析观测指标与研究因子之间的复杂关系，包括各因子之间的交互 效应以及各因子的所有可能组合。 本文基于汽车正碰和侧碰的法规要求，在整车开发的初始设计阶段，运用无 重复饱和析因设计方法，从大量可能的因子中筛选出对整车抗撞性影响最显著的 因子，并将这组敏感因子定义为抗撞性优化问题的设计变量，进行寻优分析，从 而达到了减少设计变量，缩短设计周期，降低开发成本的效果。所得敏感因子和 敏感部件对汽车抗撞性能的提高具有一定的参考价值。 本文首次运用无重复饱和析因设计方法进行汽车的多变量抗撞性优化，克服 了仅凭经验选取设计变量的局限性，同时还解决了对所有变量不加筛选就直接进 行优化设计的效率低下问题，为今后多变量抗撞性优化设计问题的变量确定提供 了一种有效途径。 关键词j 抗撞性；优化设计；无重复饱和析因设计；正面碰撞；侧面碰撞 i i 硕上学位论文 a b s t r a c t c r a s h w o r t h i n e s si sa ni m p o r t a n tc o n t e n tf o ra u t o m o b i l ep a s s i v es a f i yr e s e a r c h i t i sk n o w nt h a tt h ea u t o m o b i l ei sc o n s i s to ft h o u s a n d so fc o m p o n e n t s ，t h eg e o m e t r i c a n dm a t e r i a lp a r a m e t e r so ft h e s ec o m p o n e n t sm a ya f f e c tt h ea u t o m o b i l ep a s s i v es a f i y h o w e v e r ，a l lt h ep o t e n t i a lp a r a m e t e r sh a v ed i f f e r e n td e g r e eo fi n f l u e n c e o nt h e a u t o m o b i l ec a r s h w o r t h i n e s s h o wt os i n g l eo u tt h em o s tr e m a r k a b l ef a c t o r sf o rt h e a u t o m o b i l ec a r s h w o r t h i n e s si sap r o b l e mt ob e s o l v e d d u r i n g m u l t i v a r i a b l e c a r s h w o r t h i n e s sd e s i g nf o rt h ev e h i c l eb o d y t h e r ea r et w oc o m m o np h e n o m e n a e x s i t i n gi nt h ea v a i l a b l er e s e a r c h ，o n ei st h a tal i m i t e dn u m b e ro ff a c t o r sa r es e l e c t e d t ob ed e s i g nv a r i a b l e sf o rc a r s h w o r t h i n e s so p t i m i z a t i o nd e s i g n ，w h i c hm a ym i s ss o m e i m p o r t a n tf a c t o r s ；a n o t h e ri st h a tr e s e a r c h e r sb l i n d l yr e g a r da l lt h ep o t e n t i a lf a c t o r s a sd e s i g nv a r i a b l e sw i t h o u tf a c t o rs c r e e n i n gp r o c e s s ，w h i c hm a yl o w e rt h ec o m p u t i n g e f f i c i e n c y h o w e v e r , t h eu n r e p l i c a t e ds a t u r a t e df a c t o r i a ld e s i g ni saf a c t o rs c r e e n i n g m e t h o dw i t hh i g he f f i c i e n c y , i tc a ns t u d ya n yl e v e lo fe x p e r i m e n t a ld e s i g np r o b l e m ， a n da n a l y z et h ec o m p l i c a t e dr e l a t i o n s h i pb e t w e e no b j e c t i v ei n d i c a t o r sa n da n a l y s i s f a c t o r s ，a l lt h ep o t e n t i a lc o m b i n a t i o n so fa n a l y s i sf a c t o r sc a nb ec o n s i d e r e d ，i n c l u d i n g t h ei n t e r a c t i o ne f f e c t s t h i sm e t h o dh a sb e e nw i d e l yu s e di nb i o l o g i c a l ，m e d i c i n e ， c h e m i s t r ya n do t h e rf i e l d s t h e r e f o r e ，t h i sp a p e r , b a s e do nt h er e g u l a t o r yr e q u i r e m e n t so ff r o n t a la n ds i d e i m p a c t ，e m p l o y su n r e p l i c a t e ds a t u r a t e df a c t o r i a ld e s i g nt od e f i n et h em o s tr e m a r a b l e f a c t o r sf o rf r o n t a la n ds i d ei m p a c tl o a da tt h ei n i t i a la u t o m o b i l ed e s i g ns t a g e ，a n dt h e n ， t h es e l e c t e df a c t o r sa r er e g a r d e da sd e s i g nv a r i a b l e sf o rt h ef o l l o w i n gc a r s h w o r t h i n e s s o p t i m i z a t i o nd e s i g n t h u s ，t h ed e s i g nv a r i a b l e n u m b e ri sr a t i o n a l l yr e d u c e d ，t h e w h o l ed e s i g nc y cl e i se f f e c t i v e l ys h o r t e n e d ，a n dt h ed e v e l o p m e n tc o s t sa r el a r g e l y l o w e r e d t h em e t h o do fu s i n gu n r e p l i c a t e ds a t u r a t e df a c t o r i a ld e s i g nt os o l v et h ef a c t o r s c r e e n i n gp r o b l e m s i nt h ea u t o m o b i l ec r a s h w o r t h i n e s so p t i m i z a t i o n d e s i g ni s p r o p o s e di nt h i ss t u d y , t h el i m i t a t i o n so fs e l e c t i n gd e s i g nv a r i a b l e si nt e r m so ft h e r e s e a r c h e r s e x p e r i e n c ea r eo v e r c o m e ，a n di n e f f i c i e n c i e so fs e l e c t i n ga l lt h ep o t e n t i a l f a c r o r sw i t h o u tf a c t o rs c r e e n i n gp r o c e s sa r es u c c e s s f u l l ys o l v e d s ot h i ss t u d y p r o p o s e da ne f f e c t i v ef a c t o rs c r e e n i n gm e t h o df o rt h ec r a s h w o r t h i n e s so p t i m i z a t i o n d e s i g ni nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：c r a s h w o r t h i n e s s ；o p t i m i z a t i o nd e s i g n ；u n r e p l i c a t e ds a t u r a t e df a c t o r i a ld e s i g n ； f u l l - s c a l ef r o n ti m p a c t ；s i d ei m p a c t i i i 硕士学位论文 第1 章绪论 汽车交通安全事故是目前的一大社会公害，表1 1 为我国新世纪以来道路交 通事故数据统计情况n 1 ，数据表明，虽然自2 0 0 0 年以来，我国交通事故统计数据 明显下降，但由此所造成的人员伤亡和经济损失仍然很大。 表1 12 0 0 0 2 0 11 上半年全国道路交通事故统计数据 随着汽车保有量的逐年增长和交通事故的频繁发生，考虑如何提高整车的安 全性能仍是科研工作者需要重点研究的内容。汽车的安全性分为主动安全性和被 动安全性两大类，其中主动安全性是指汽车避免发生意外事故的能力；被动安全 性是指汽车在发生意外事故时对乘员进行有效保护的能力，我们通常所说的汽车 碰撞安全性属于汽车被动安全性的研究范畴心1 。因此，如何提高汽车在碰撞事故 中的抗撞性已成为汽车被动安全性研究的一个关键环节1 。汽车是由成千上万个 零部件组成的复杂整体，各个部件所包含的几何参数、材料参数等因素对汽车的 被动安全性都会产生一定的影响，然而不同的参数对汽车抗撞性的影响程度却不 尽相同，如何选取对抗撞性指标影响显著的因子是汽车多变量抗撞性优化设计中 亟待解决的问题。在现有的文献中常有两种情况存在：一是基于设计经验选取有 限几个因子作为抗撞性优化问题的设计变量，这样可能漏掉一些重要的因子；二 是不加筛选将所有可能的因子都定义为设计变量，这样可能造成计算效率低下。 无重复饱和析因设计方法是一种高效的因子筛选方法，它可以研究任意多水平的 基于析因设计的汽车车身的多变量抗撞性优化 试验设计问题，并可以分析观测指标与研究因子之间的复杂关系，包括各因子之 间的交互效应以及各因子的所有可能组合。 1 1 汽车抗撞性优化设计的国内外研究现状 在被动安全中，汽车的正面碰撞和侧面碰撞是两种最常见的事故形式。图1 1 是我国道路交通事故统计分类图h 1 。为了提高汽车的被动安全性，尽最大可能的 保证乘员的人身安全、避免财产损失，国内外已经做了大量的研究工作，针对这 两种碰撞形式的法规也都相继颁布实施。 其他 口翻车 4 口追尾事 19 侧面碰撞 3 2 正面碰撞 2 4 图1 1 我国道路交通事故统计分类图 1 1 1 汽车正面碰撞的国内外研究现状 对汽车的正面碰撞安全性的研究要遵循两个方面的考虑：( 1 ) 车辆发生碰撞 时，要保证乘员有足够的生存空间，即驾驶室不应发生过大的碰撞变形( 包括车 轮、发动机、变速器等刚性部件不得侵入驾驶室) ；( 2 ) 驾驶室前部结构应发生尽 可能多的变形，以合理的吸收撞击能量，使得作用于乘员身体上的力和加速度值 不超过人体的耐受极限等心1 。针对这两个方面的要求，许多研究人员分别从整车 碰撞、车身零部件抗撞性以及优化方法方面做了大量的研究工作。 研究整车的正面抗撞性能主要从整车的加速度、侵入量两个性能指标方面考 虑。对于加速度，一般要求其峰值哺1 、均值和均方根值1 的大小控制在一定范围 内，这些安全性指标大小会因车型的不同而不同，另外峰值出现的时刻、总的碰 撞时间h 1 等也是研究整车正面碰撞安全性时经常考虑的因素，除此之外一般还会 要求整车加速度曲线比较平滑，尽量避免有大的波动，以确保乘员的安全性；对 于侵入量，主要控制防火墙和转向管柱等处的侵入量 1 们，从而避免或尽量减小 对驾驶员腿部和胸部造成的伤害，如果考虑汽车4 0 偏置碰撞工况，则须严格控 制驾驶员侧脚踏板的侵入量j 副，防止由于该处侵入量过大对驾驶员带来的伤害。 从车身关键零部件的抗撞性的角度研究整车的抗撞性也是一个被研究者广为 2 硕十学位论文 接受的方法。汽车发生正面碰撞时前纵梁是最主要的吸能部件，为了对汽车结构 的耐撞性进行优化设计，改迸前纵梁的结构( 截面形状、诱导槽的结构形状、位 置和尺寸等) ，往往可以达到很好的效果n 3 1 们。另外金属薄壁构件作为最传统、最 有效的缓冲吸能装置，在汽车车身吸能体系中得到广泛应用n5 川，薄壁构件除了 本身材料特性以外还与其横截面积形状、壁厚n 7 2 们等几何参数密切相关，因此研 究薄壁构件的抗撞性与这些参数之间的关系对于提高汽车的抗撞性具有重要意 义。 此外，代理模型和优化算法在汽车抗撞性优化设计中得到广泛应用。运用代 理模型构造汽车抗撞性性能指标关于设计变量的显式函数，在一定程度上降低了 抗撞性优化设计的难度，常用的代理模型有r s m 、r b f 和k r i g i n g 。一般用r s m 方法近似汽车碰撞时的吸能量，用r b f 方法近似高非线性的峰值加速度心。经 典的r s m 方法与k r i g i n g 的主要区别在于它们在处理性能指标的真实值与近似值 之间的误差的方式不同心别，充分了解各种代理模型的特点有利于更好的解决汽车 抗撞性优化设计问题。 1 1 2 汽车侧面碰撞的国内外研究现状 汽车的侧面碰撞可分为直接碰撞和二次碰撞两种类型：直接碰撞是指两车以 一定角度直接撞击，而且又含有同向或相向行驶的碰撞条件；二次碰撞是指汽车 在发生直接的侧面碰撞后，车厢内部的固定物( 如方向盘、内饰件等) 由于侧滑 等原因对乘员产生的撞击心引。因为汽车在碰撞发生后通常会产生侧滑，所以有比 较大的概率出现二次碰撞心钔。由于汽车的侧面结构比较薄弱，在发生侧面碰撞时 给乘员带来的危害也较大，因此越来越多的研究人员选择从加强车身侧面结构的 角度出发以提高汽车侧面碰撞安全性。 研究整车侧面碰撞时，一般通过分析碰撞变形、碰撞吸能、碰撞力和关键点 的加速度值等方面评价汽车的侧面碰撞安全性心5 2 引。首先，要考虑控制车门的变 形和碰撞侧两车门内板相对距离的变化情况，尽量减小车门紧锁的可能性；其次， 应控制一些关键位置( 如b 柱下端、座椅下部等) 的加速度峰值、均值、均方根 值、峰值出现时刻和总的碰撞时间等，全方位确保乘员的安全性。汽车的侧面空 间很小，一旦发生侧面碰撞对乘员的伤害很大，为了增强汽车的侧面抗撞性，可 以从提高侧面刚度的角度考虑，如提高b 柱的弯曲刚度，增加顶盖边梁的弯曲刚 度，提高门槛梁弯曲刚度等心7 2 引，都可以达到令人满意的效果。 除了加强车辆本身的侧面结构，不少国外研究者致力于运用合理的研究方法 提高汽车侧面碰撞安全性。m a r k l u n d 对比研究了局部近似方法和全局近似方法， 总结出对于汽车侧面碰撞这样的瞬间冲击问题应该使用全局近似方法处理睢们。 y o u n 在研究中考虑了汽车侧面碰撞载荷下的不确定性因素，建议进行基于可靠性 基于析因设计的汽车车身的多变量抗掩性优化 的抗撞性优化设计( r b d o ) ，并有算例验证了其可行性0 1 。 1 2 析因设计的国内外研究现状 1 2 1 汽车碰撞中的多变量优化设计和因子筛选的研究现状 在研究汽车抗撞性优化设计的相关文献中，部分文献考虑了十个左右或更多 的参数作为设计变量，却没有因子筛选的过程。w a n g 提出了一种基于时间的代 理模型技术，将八个部件的厚度作为设计变量，对汽车的抗撞性进行优化设计口。 f a n g 在r s m 和r b f 两种代理模型方法比较的基础上，考虑了十个参数作为设计 变量心，研究汽车的抗撞性。f o r s b e r g 将二十五个参数作为设计变量，研究在解决 抗撞性优化设计时如何确定试验样本点的个数等问题n2 1 。在这些文献中由于没有 因子筛选的过程，会在一定程度上造成计算过程中的效率低下问题。 在另一些文献中，有的凭借以往的设计经验选取少数几个参数作为设计变量， 这样容易漏掉一些敏感因子。s u n 等人基于三个设计变量，运用鲁棒性优化设计 方法研究了汽车抗撞性阳3 3 钔；l i a o 等人基于五个设计变量，采用逐步回归模型对 汽车碰撞进行了多目标抗撞性优化口5 。引；a c a r 等人基于四个设计变量对锥形薄壁 构件进行了轴对称缩进式的多目标抗撞性优化7 1 。 c r a i g 提出了一种基于响应面法和方差分析技术的变量筛选方法，并运用到汽 车正面碰撞优化设计中，但是由于筛选过程较为繁琐，并没有得到较为广泛的应 用3 剐。 本文首次将无重复饱和析因设计方法应用到汽车碰撞的多变量抗撞性优化设 计问题，克服了确定设计变量时仅凭经验选取有限几个因子的局限性，以及不加 筛选对所有可能的因子进行优化设计的效率低下问题，为今后的多变量抗撞性优 化问题的变量筛选提供了一种有效的途径。 1 2 2 析因设计方法的分类及其应用 根据分析因子水平数的多少，析因设计可以分为2 水平析因设计、3 水平及 以上水平的多水平析因设计和混合水平析因设计等。研究者可以根据需要，选择 对自己的研究试验比较有帮助的析因设计类型。 在试验工作的早期阶段，往往会涉及到2 七析因设计，它只需要最少的试验次 数就可以研究完全析因设计的k 个因子，因此，这些设计可以广泛应用于因子筛 选试验( f a c t o r i a ls c r e e n i n gd e s i g n ) 钔。当因子个数k 比较小时，一般会采用有重 复的2 七析因设计，即每一个组合重复多次试验，这样就会有多余的自由度估计误 差方差，可以采用标准的方差分析( f 检验或f 检验) 检验因子的显著性；当因 子的个数k 增多时，可能因为实验室资源不足而不能做重复试验，就涉及到2 七析 因设计的单次重复，即无重复析因设计；当因子的个数k 再继续增多时，以至于 4 硕士学位论文 一些因子之间的高阶交互效应可以被合理忽略，那么关于主效应和低阶交互效应 的信息就可以通过做完全析因设计的一部分求得，一般称这种析因设计为分式析 因设计( 或部分析因设计) ，而饱和析因设计是分式析因设计的一种，它是指被考 虑因子的个数( 效应个数) 多到使得需要估计参数的个数达到可估参数的上限， 也就是说如果试验次数为，那么考虑因子的个数产- n - 1 ，饱和析因设计已被广 泛应用于因子筛选过程中。2 七析因设计在很多领域得到广泛应用，研究者可以运 用2 无重复完全析因设计方法优化某类树脂的合成h 引，制备聚( d v b ) 型h 13 整体 柱，优化数字x 射线摄影后处理参数n2 1 ，运用2 x 2 析因设计研究某药物炮制工艺 对其内成分的影响n 3 4 们等，以提高研究问题的效率。 除了常见的2 水平析因设计以外，经过一些推广和变形还可以得到3 水平、4 水平等多水平析因设计，另外，针对一些在一次试验中考察因子水平数不同的情 况，又会涉及到混合水平析因设计。研究者可以采用3 水平的析因设计h 5 3 优化某 产品的制造工艺，也可以用于确定各个因子之间哪种水平的组合形式可以使观测 指标达到最优h 6 7 1 ，如某补气药1 2 个水平、补血药6 个水平，采用析因设计分 析各个方剂的补气活血作用等，具有很好的实用价值h 引。 析因设计方法已经在生物、医药、化学等领域得到了广泛应用，并取得了很 多令人满意的成果，在一定程度上提高了研究的效率，降低了研究成本。基于对 析因设计方法的认知，并且参考已有的研究成果，发现运用无重复饱和析因设计 解决本课题的因子筛选问题具有很好的可行性，可以有效的避免有重复、不饱和 的析因设计带来的计算成本增加的问题。本文运用无重复饱和析因设计可以达到 运用尽可能少的试验次数考虑尽可能多的因子数的目的，但是，由于这种设计方 法没有多余的自由度估计误差，因此不能用标准的方差分析检验因子的显著性， 这就需要有专门的分析方法( 将在第二章中详细介绍) 解决检验因子显著性的问 题。 1 3 本文的选题背景和主要研究内容 在现有的文献中常有两种情况存在：一是基于设计经验选取有限几个因子作 为抗撞性优化问题的设计变量，这样可能漏掉一些重要的因子；二是不加筛选将 所有可能的因子都定义为设计变量，这样可能造成计算效率低下。无重复饱和析 因设计方法是一种高效的因子筛选方法，它可以研究任意多水平的试验设计问题， 并可以分析观测指标与研究因子之间的复杂关系，包括各因子之间的交互效应以 及各因子的所有可能组合。 本文的研究课题以汽车的多变量抗撞性优化设计为主要研究内容，结合国家 9 7 3 计划项目“复杂装备研发数字化工具中的计算力学和多场耦合若干前沿问题中 的车身钢板轻量化与碰撞安全性的数字化设计( 2 0 1 0 c b 8 3 2 7 0 5 ) 课题，研究基 5 基于析冈设计的汽车车身的多变量抗撞性优化 于无重复饱和析因设计的汽车正碰和侧碰的多变量抗撞性优化设计问题。 本文的主要研究内容如下： ( 1 ) 研究析因设计与数理统计的相关理论以及汽车碰撞安全中的有限元仿 真技术，着重研究了析因设计中经典的无重复饱和析因设计方法，并提出了一种 基于该方法的汽车多变量抗撞性优化设计的新思路。 ( 2 ) 在n h t s a 提供的福特金牛汽车1 0 0 障碍壁正面碰撞有限元模型的基 础上，进行穿透和单元质量的调整，并验证调整后的有限元模型的有效性；选取 1 9 个汽车前端的主要变形吸能部件，并将其厚度作为分析因子，运用无重复饱和 析因设计方法筛选出对汽车正面碰撞的抗撞性指标影响显著的一组因子，该组因 子所对应的敏感部件分别为长纵梁、前部子框架、脚踏板梁、防护罩、发动机内 盖和发动机外盖；并运用d 最优设计选择试验样本点，构造各性能指标的响应面 模型，将正面碰撞过程中的整车吸能量和b 柱下端加速度作为目标函数，以转向 管柱的上移量作为约束函数建立多目标抗撞性优化问题，结合多岛遗传算法和序 列二次规划优化方法得到该优化问题的p a r e t o 最优解集，为设计者提供了可供选 择的设计空间，对实际车型的设计具有一定的指导意义。 ( 3 ) 参考欧洲e c e r 9 5 法规，对可移动变形壁障车有限元模型的有效性进 行验证，在此基础上建立该福特金牛汽车的侧面碰撞有限元模型；选取1 9 个侧面 碰撞中的主要变形吸能部件，并将其厚度作为分析因子，运用无重复饱和析因设 计方法筛选出对汽车侧面碰撞的抗撞性指标影响显著的一组因子，该组因子所对 应的敏感部件分别为一体式框架、前门加强筋、b 柱内板和左侧b 柱外板的厚度； 运用最优拉丁方试验设计选择试验样本点，构造各性能指标的响应面模型，将侧 面碰撞过程中碰撞侧的b 柱最大变形量和b 柱腰线处的侵入速度作为目标函数， 以非碰撞侧b 柱下端加速度的第一个峰值和1 9 个部件的总质量作为约束函数， 建立多目标抗撞性优化问题，并通过n s g a i i 算法得到该数学优化问题的p a r e t o 最优解集，为设计者提供了可供选择的设计空间，对实际车型的设计具有一定的 指导意义。 6 硕上学位论文 第2 章析因设计理论及响应面法 2 1 析因设计的理论基础 大多的试验都要求研究两个或多个因子的效应，通常情况下，析因设计 ( f a c t o r i a ld e s i g n ) 对这种试验是最有效的。所谓析因设计是指：在这类试验的每 一次完全试验或每一次重复中，因子水平的所有可能的组合都能够被研究到 ， 通过分析每种组合得到的响应值，确定各个因子对响应的影响大小的一种设计方 法。例如，当a 因子和b 因子分别有a 和b 个水平时，则每次重复都包含全部a b 个组合，当某一析因设计中同时包含这些因子时，通常称为是交叉的。所谓 因子的效应是指当该因子的水平改变时所引起的响应的变化，此效应通常称为主 效应，因为它是试验设计中感兴趣的基本因子。在一些试验设计中，如果改变某 一因子的水平会引起另一个因子各水平间的响应差的变化，那么这些因子之间就 存在交互作用。例如：a 因子的效应依赖于b 因子所选择的水平，即a 与b 之间 存在着交互作用，可以用图解说明交互效应的存在。图2 1 是a 因子对b 因子的 各水平响应数据图，可以看出直线b 。1 与直线b 1 几乎是平行的，也就表明a 因子 与b 因子之间没有交互效应；相似地，图2 2 中直线b 。与直线b 1 不平行，就表 明a 因子与b 因子之间存在交互效应。上述两因子之间的交互效应一般称为一阶 交互效应，当因子个数大于2 的时候，也可以得到二阶交互效应、三阶交互效应 等等。如果存在交互效应，在统计分析时必须逐一分析各因子的单独效应；反之， 如果不存在交互效应，则说明两因子之间的作用效果相互独立，逐一分析各因子 的主效应即可旧引。 析因设计被广泛应用于涉及到多个因子的试验，因此需要研究这些因子对响 应的联合的效应。然而，一般析因设计有几种很重要的特殊情况，因为它们不仅 被广泛应用于研究工作而且还是其他一些有重要实践价值的设计的基础。这些特 殊情况中最重要的一种是，有k 个因子，每个因子只有两个水平，这些水平可以 是定量的，如两个压强、两个时间值和两个温度等；也可以是定性的，如两位操 作员、一个因子的“高 水平和“低水平 、两台机器或者一个因子的出现或不出 现，这类设计的一个完全的重复需要2 2 2 = 2 七个观测值并称之为2 2 析因设 计口9 】。2 析因设计的统计模型包含七个主效应，( 兰 个二因子交互作用，渺三 因子交互作用，和一个k 因子交互作用，换句话说就是，对于2 后析因设计，完 整的统计模型含有2 1 个效应。例如有三个因子a 、b 、c ，那么2 3 设计的效应 有：a 、b 、c 三个主效应，a b 、a c 、b c 三个二因子交互作用，以及a b c 一个 7 基于析冈设计的汽车车身的多变量抗撞件优化 三因子交互作用。 但是，即便是对于中 3 v d , 的因子个数，2 七析因设计的处理组合的总数也是 相当大的，例如2 5 设计有3 2 个处理组合，2 6 设计有6 4 个处理组合等，由于试验 资源、成本、时间等的限制，往往只允许研究者进行2 设计的单次重复即无重复 析因设计。 图2 1 无交互作用的析因试验 图2 2 有交互作用的析因试验 2 2 正交表及其分类 本文将采用基于正交表的析因设计，此处对正交表的一些相关概念做简要介 绍。通常将使用正交表做数据分析和试验设计的方法称为正交设计h 9 1 。其中，正 交设计的重要工具是正交表，下面对它进行介绍。 2 2 1 正交表及其特征 正交表的种类有很多，表2 1 就是一个有4 行3 列的正交表，可以记为厶( 2 3 ) ， 其中“三 表示正交表的符号，的下标“4 表示表的行数，“3 表示最多可以 设计3 个分析因子，括号中的底数“2 表示这张表的主体只有两个不同的数字( 1 和2 ) ，它们分别代表试验中因子的编号，也就是说用这张表设计试验时应取两个 8 硕士学位论文 不同的水平，称这张表为一张2 水平的正交表引。 表2 1 ；4 ( 2 3 1 正交表 因子个数 试验次数 l23 ll1l 2212 3l22 4221 正交表具有正交性，即具有下面两个特征： ( 1 ) 每一纵列中不同数字出现的次数都是相同的，如表厶( 2 3 ) 中，每- - y o 数字“1 和“2 各出现2 次： ( 2 )任意两个纵列，其横方向构成的有序数字对中每种数字对出现的次数 是相同的，如表厶( 2 3 ) 中任意两列都有4 种可能的数对：( 1 ，1 ) 、( 1 ，2 ) 、( 2 ，1 ) 、 ( 2 ，2 ) ，每一对各出现1 次。 2 2 2 正交表的分类 通常按正交表的水平数分类，记正交表为n 钔厶( g 户) ，那么就称其为g 水平的 正交表，例如： 2 水平正交表：厶( 2 3 ) ，厶( 2 7 ) ，厶。( 2 1 5 ) ，厶：( 2 1 1 ) ，厶。( 2 1 9 ) 等； 3 水平正交表：厶( 3 4 ) ，厶，( 3 3 ) ，厶。( 3 7 ) 等； 然而，常用的正交表也可以按其列数p 、行数以和水平数g 之间的关系分为 两大类：一类正交表的p 、刀和g 同时满足式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) h 引， 刀= q k = 2 ，3 ， ( 2 1 ) p ：盟 ( 2 2 ) p 2 五 旺2 ) 称这类正交表为完全正交表，例如上面列出的厶( 2 3 ) 就是一张完全正交表。根据 这张表进行试验设计的话，因子间的交互作用将可以被考虑到，每张正交表还附 有一张交互效应列表；第二类正交表只满足两个关系式中的一个，或者两个都不 满足，例如：k ( 2 ”) 只满足式( 2 2 ) ，一般不能用来考察交互效应，但在某些场 合也可能涉及到，本文采用了基于厶。( 2 1 9 ) 正交表的析因设计。 在应用正交设计时，首先要确定因子的个数和相应的水平数，然后再根据需 要选择适当的正交表，并对表头进行设计，选定正交表之后把各因子放到正交表 的每一列上，称为表头设计0 1 。在设计表头时，要注意是否需要考虑交互效应， 如果不需要考虑交互效应，就可以把因子放在正交表的任意列上，一个因子占一 9 基于析因设计的汽车车身的多变量抗撞性优化 列；如果需要考虑交互效应，那么就按照相应的交互效应表进行设计，做到不混 杂就可以。 基于正交表的析因设计的数据统计分析，一般有多种方法，如直观分析法， 方差分析法和贡献率分析法等，一般最常用的方法就是方差分析法，要想做方差 分析，必须要有误差平方和存在，那么就会要求在正交表中有空白列或者做重复 试验，否则做数据分析时就不能使用方差分析。 2 3 无重复饱和析因设计 2 3 1 无重复饱和析因设计的研究背景 2 3 1 1 无重复饱和析因设计概述 在开发新产品和改进产品设计或生产过程的初始阶段，经常会涉及到筛选试 验，即基于析因设计试验确定出在大量的分析因子中哪些对研究过程具有显著影 响，由于试验时间、成本和资源等的限制，一般不考虑重复试验。为了解决这样 的问题，无重复的试验就变得很重要，但是由于完全实施的无重复析因设计也需 要有大量的试验次数，例如：要考察后个因子那么试验次数为2 七次，所以当要考 察的因子数很多，且试验成本高、消耗时间比较多、资源有限时，这种析因设计 方法是无法实施的；然而当因子的个数后较多时，以至于一些因子之间的高阶交 互效应可以被合理忽略，那么关于主效应和低阶交互效应的信息就可以通过做完 全析因设计的一部分求得，这种析因设计方法被称为分式析因设计( 或部分析因 设计) ，而饱和析因设计是分式析因设计的一种，它是指被考虑因子个数( 效应个 数) 多到使得需要估计参数的个数达到可估参数的上限，也就是说，如果试验次 数为，那么考虑因子的个数k = - n - 1 ，饱和析因设计被广泛应用于因子筛选过程 中。 因此无重复的饱和析因设计方法脱颖而出，这种方法可以达到运用尽可能少 的试验次数考虑尽可能多的分析因子的目的。这时虽然能通过试验得到的咒个观 测值估计各个因子的效应( 包括总平均) ，但鉴于在饱和设计中没有进行重复试验， 各因子的自由度之和等于总的试验次数减1 ，然而不再有剩余的自由度可以用于 估计误差，因此也就不能用标准方差分析( f 检验、f 检验) 检验因子的显著性，因 此针对饱和设计的统计分析具有很大的挑战性。 2 3 1 2p i a c k e t t - b u r m a n 饱和析因设计 分式析因设计主要用于筛选试验，其中p l a c k e t t b u r m a n 饱和设计就是一种分 式析因设计，它是一种在次设计中研究c = - n - 1 个因子的2 水平分式析因设计， 其中是4 的倍数且不是2 的幂，如- 1 2 、2 0 、2 4 、2 8 、3 6 ，由于这些 设计不能表示为立方体，有时也把它们称为非几何设计口钔。因此，对于那些试验 l o 硕十学位论文 周期长、试验费用高的试验，如果想要考察的因子个数刚好略多于2 七个，这时如 果采用2 七设计必将造成时间和经济上的巨大浪费，而运用p l a c k e t t b u r m a n 饱和 设计就可以在很大程度上降低试验成本、提高经济效益。本文将应用基于k ( 2 1 9 ) 的p l a c k e t t b u r m a n 无重复饱和析因设计方法解决汽车的多变量抗撞性优化过程 中的因子筛选的问题，此时忽略因子之间的交互效应而只考虑主效应的作用。 2 3 2 统计模型 在分析无重复饱和析因设计时通常使用的统计模型为： y = 肛+ g ( 2 3 ) 1 = 0 其中： y = ( m ，此) 7 为观测向量，l 为试验次数；屈，卢：，卢。为待定参数，风为观 测值的平均，而届，岛，凡在本文中是因子的主效应，m = n - 1 ；列向量x o ，耳，x m 已知，x o = l 为元素都是1 的刀维列向量，矩阵x = ( 而，) 7 称为设计矩阵，由 试验设计( d o e ) 确定，在本文讨论中，x 为基于厶。( 2 1 9 ) 的p l a c k e t t b u r m a n 设计 阵；s = ( l ，一，e 。) 7 为误差向量，假设， ( 1 ) s = l ，行) 是相互独立的随机变量，它们的均值都为0 ，且具有相同 的方差仃2 ； ( 2 ) s ，( 待l ，n ) j j l 从正态分布，即s u ( 0 ，仃2 厶) ； ( 3 ) 在m 个因子中最多有r ( 1 r m ) 个效应不为零的因子，即风，届，几中 最多有，个不等于零； 当涉及到的试验设计是正交设计，且满足假设条件( 1 ) 时，容易得到 ，= x 7 y ( # 薯) ，l f 册 ( 2 4 ) 是屈的最优线性无偏估计( b l u e ) ，如果此时也满足条件( 2 ) ，那么后也是正态 的，它的期望为屈，方差为f 2 = 仃2 ( # 葺) 。 当析因设计中考虑的因子是2 水平时，f 2 = 仃2in 。此外，反，参l ，一，成还是相 互独立的随机变量，后( f 1 ) 是一个因子或称作效应，如果应的期望不为零， 现有的数值分析方法通常认为屈因子是活动的。 我们分析的目的就是利用聆个观测值乃，儿，借助某个方法判断，在聊个 效应中是否存在着显著效应，也就是对假设 i - i o ：届= 色= = 几= 0 ( 2 5 ) s s , ：各个屈不全为零 ( 2 6 ) 进行检验，如果凰被拒绝，则说明有显著因子存在，然后再确定哪些因子是显著 的5 。 基于析因设计的汽车车身的多变量抗撞性优化 2 3 3 无重复饱和析因设计的分析方法 根据实际经验可以知道，在筛选试验阶段效应稀疏原理( s p a r s i t yo fe f f e c t p r i n c i p l e ) 通常是正确的。也就是说，过程或系统的波动主要是由一小部分因子 ( 一些主效应和低阶交互效应) 引起的，即非零效应的因子只占少部分，而大部 分因子的效应( 高阶交互效应) 都为零。在效应稀疏原理的假设下，人们提出了 一系列的无重复试验饱和析因设计的分析方法，可以大体分为图形法和数值分析 法两大类。 2 3 3 1 图形分析法 图形分析法简单来说就是利用图来分析是否存在显著因子的方法。第一个可 以接受的并且达到一定实用程度的方法是正态或半正态概率图的方法，由 d a n i e l 2 1 在1 9 5 9 年最早提出，后来z a h n 畸3 5 们对d a n i e l 的方法进行了改进。由于 因子的效应估计值可能有正有负，分布在正态概率图上的点就相对分散，对于正 的效应估计值远离直线和负的效应估计值远离直线之间的比较会出现视觉上的误 差，而半正态概率图取效应估计值的绝对值与某一直线比较，显著性影响大小一 目了然，因此被广泛应用于2 水平正交饱和析因设计中，下面对半正态概率图的 原理做具体介绍。 l 、半正态概率图法 定义2 1 若一个随机变量x 的概率密度为 p ( x ) ： 2 ( ，玎2 ) y 2e x p 一x 2 ( 2 3 2 ) x 0 ( 2 7 ) 【0 x 0 则称随机变量x 服从参数为r 2 的半正态分布，记为x 删( r 2 ) ，分布函数记为 以曲，那么有j p ( x ) = 2 * ( x r ) - i ，其中( x ) 为正态分布函数。显然当j ，n ( o ，r 2 ) ， 则x = m 服从半正态分布n n ( r 2 ) ，那么在统计模型( 2 3 ) 下，当( 2 5 ) 中的风成 立时，各个屈的估计量彦， ( o ，f 2 ) ，那么就会有： ( 1 ) l 厦i h n ( r 2 ) ，f = 1 ，2 ，m ，或者说i 卮l ，i 声：i ，i 声。i 表示来自半正态总体 h n ( r 2 ) 的一个样本，m 为因子的个数； ( 2 ) l 吼n 表示该样本的第，个次序统计量，则有 尸| 叱) = 2 ，) 产) 一1 = 2 ( 吩) 一1 ( i - 0 5 ) 坍 ( 2 8 ) 1 2 硕l 学位论文 那么例是该样本的a = ( f 一0 5 ) 聊分位数； ( 3 ) 标准半正态分布h n ( 1 ) 的o t = ( f 一0 5 ) m 分位数是 g ，= 一( 詈+ o 5 ) = ( - z 聊0 5 + o 5 ) ( 2 9 ) ( 4 ) 在( 2 5 ) 中的风成立时，l j 彦l ，吼) ，i = 1 ，2 ，聊应大约排列成一条过原 点的直线，称为判断直线。 2 、半正态概率图的做法与显著因子的判断方法 ( 1 ) 计算各因子效应的估计值声。，度，夕。； ( 2 ) 取效应估计值厦，声：，声。的绝对值，然后将其按从小到大的顺序排列， 得到的次序统计量为i 声l ( 1 ) - j 彦f 。：，f 口i 。，； t 一- 、 ( 3 )根据式( 2 9 ) 计算a = 型的标准半正态分布的分位数玑； ( 4 ) 将效应估计的绝对值作为横坐标，对应的标准半正态分布分位数作为 纵坐标，在直角坐标系将点( | 属l ，q ，) ，i = 1 ，2 ，小描出； ( 5 )判断，如果这m 个点都位于某判别直线的附近，那么就认为式( 2 5 ) 中的i - i o 是成立的，没有显著因子；如果有一点或几点明显的偏离判别直线，那么 就认为这一点或几点所对应的效应与零相差很大，判断为显著效应，对应的因子 为显著因子5 幻。图2 3 为一张半正态图( 数据来源于t a g u c h ia n dw u ( 1 9 8 0 5 5 1 ) ) ， 从图中可以判断出有两个显著因子。 0o 5l1 522 533 5 a b s o l u t ee f f e c t 图2 3 半正态概率图诣1 图2 4 效应的半正态概率图m 1