（光学专业论文）飞秒脉冲光束通过自由空间、色散介质和透镜的传输特性研究.pdf

p 姻杏6 飞秽脉冲光束通过自由窆闻、色散介囊秘 透镜的传输特性研究 光学专业 研究生刘志军指导教j | ig 吾达教授 貔蓉飞移艨狰激光技术静迅速发震，实验塞已经能够产生几个光周期 和接近一个光周期的超短脉冲。这类超短脉冲光束的传输变换引起了广泛 靛研究兴趣。本论文对飞移踩渖光束逶过自由空间、绒性色散介蒺和单遂 镜的传输特性作了深入研究。主爱具有创新性的工作包括： 1 往角复解析信号法秘稳稻法攉导出了等衍射长度超瓶脉冲高斯光 柬在自由空间远场非近轴传输方程，可用来处理自由空间远场大角度的传 输。复辩丰厅信弩解会密琥光谱红移、变窄、脉冲变宽簿与脉冲包络解不同 的时空特性。 2 献瑞辎衍射弦分公式出发，利掰复解析信号法推导出了等衍射长 度超短脉冲高斯光束在自由空间邋场非j 眨轴传输方程，在近皴近似祭件下 与文献已有的近轴结果致。数值计算例说明在近场随衍射角的增大会出 现脉冲变形、加宽、谱红移、变形、变窄等特燃，脉 申形状在近场隧传竣 距离变纯而交化，德在远弱保持不变。 3 对超短脉冲贝塞尔光束在近轴邋似和非近轴情况下囊出空阀中蛉 传输襻了眈较，以数值计算例讨论了菲邋轴效斑对其传输特性的影响。当 空间参数硅小时超短脉冲贝塞尔光束的时间波形不受非近车壶效应影嗨； 然而当空间参数矗较大时，非近轴皴应影响超斑脉冲贝塞尔光束的时间波 形。给出了近轴近似成立的条件。 4 从瑞利衍射积分公式出发，未律慢变振幅近似和近轴近似的条件 下，导出了等衍射长度超短脉冲赢斯光束在色数贪震中j # 近皴传辕方程， 可用来处理色散介质较大角度的传输。数值计算例说明了在色散介质中会 出现谱红移、变窄、及脉冲形变等捷竣效应；蠢且对禳始光谱弓l 入簸叛丞 数可以避免“j # 光束”行为。 5 朱作避轴近似的条传下，趣簿立蛄积分变换法详细磺究了趣短熬 冲贝塞尔光束在正、负色散介质中的传输特性。脉冲光束的空间形状在传 输过程中保持j 。形状不变，时间波形依赖于材料色散和衍射。在负色散介 质中传输时，脉冲会变宽、带有负啁啾；而在正色散介质中传输时，脉冲 会变宽、带有正啁啾或负啁啾，当光束和色散参数满足一定条件时能实现 “无衍射无色散”传输。数值计算给出了高阶色散可忽略的条件。 6 使用傅立叶积分变换法，在考虑透镜色差和高阶色散效应的较为 一般情况下，分别研究了等束宽超短脉冲高斯光束和等衍射长度超短脉冲 高斯光束通过硅玻璃透镜的聚焦特性。对于几个光周期的超短脉冲，除透 镜色差外，、还应当考虑群速度色散，且其影响依赖于透镜材料和光束参数。 一般说来，透镜色差和群速度色散会使焦平面上脉冲光束的时间、空间光 强分布展宽，峰值光强降低。更高阶色散的影响较小。 关键词：飞秒脉冲光束传输变换时空行为复解析信号 p r o p a g a t i o np r o p e r t i e s o ff e m t o s e c o n d p u l s e db e a m s i n f r e es p a c e ，d i s p e r s i v em e d i a ，a n dt h r o u g hl e n s e s m a j o ro p t i c s g r a d u a t el i u z h i j u ns u p e r v i s o r l 岱b a i d a w i t hr a p i da d v a n c e si nf e m t o s e c o n dp u l s e dl a s e rt e c h n i q u e s ，u l t r a s h o r t f e w - c y c l e e v e ns i n g l e - c y c l ep u l s e s e o 瞰b ep r o d u c e di n l a b o r a t o r y t h e p r o p a g a t i o no f s u c hk i n du l t r a s h o r tp u l s e db e a m sh a sa t t r a c t e dm u c hi n t e r e s t 。 t h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt o s t u d y i n gt h ep r o p a g a t i o no ff e m t o s e c o n d p u l s e db e a m s 遮f r e es p a c e , l i n e a rd i s p e r s i v em e d i a , a n dt h r o u g hl e n s 蛙。t h e m 艇nr e s u l t sa c h i e v e di nt h i st h e s i s 蝴b es u m m a r i z e da sf o f l o w s ： ! b yu s i n gt h ee o m p t e xa n a l y t i cs i g n a lr e p r e s e n t a t i o na n dt h em e t h o do f s t a t i o n a r yp h a s e ，t h ep r o p a g a t i o ne q u a t i o no fu l t r a s h o r tp u l s e si nt h ef a r - f i e l d t i n sb e e nd e r i v e db e y o n dt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n ，w h i c ha l l o w sf o rl a n e a n g l e si nt h em r 妊e 疆，a sc o m p a r e dw i t h 氆es o l u t i o nu s i n gp u l s ee n v e l o p e r e p r e s e n t a t i o n ，t h e p r o p a g a t i o ne q u a t i o nu s i n gc o m p l e xa n a l y t i cs i g n a l r e p r e s e m a t i o nr e v e a l sd i f f e r e n ts p a t i o t e m p o r a lb e h a v i o r ss u c ha ss p e c t r u m r e d s h i r i n g ，n a r r o w i n g , a n dp u l s eb r o a d e n i n g , e t c 。 2 s t a r t i n gf r o m 酝r a y l e i g h d i f f r a c t i o ni n t e g r a la n d u s i n ga n a l y t i cs i g n a l c o m p l e xr e p r e s e n t a t i o n ，t h ep r o p a g a t i o ne q u a t i o no fu l t r a s h o r tp u l s e si nf r e e s p a c eh a sb e e nd e r i v e di nt h en e a r - f i e l db e y o n dt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n ， w h i c h 氧c o n s i s t e n tw i t ht h ep a r a x i a lr e s u l t si n p r e v i o u sl i t e r a t u 羚si ft h e p a r a x i a la p p r o x i m a t i o ni sm a d e ，n u m e r i c a l e x a m p l e s s h o w t h a t 。p u l s e d e f o r m a t i o na n db r o a d e n i n g , s p e c t r u mr e d s h i 是n g , n a r r o w i n ga n dd i s t o r t i o n t a k ep l a c ew i t hi n c r e a s i n gd i f f r a c t i o na n g l ei nt h en e a rf i e l d , a n dt h e p u l s e f o 燃lc h a n g e sw i t hp r o p a g a t i o nd i s t a n c ei nt h en 黼r f i e l d , b u ti sp r e s e r v e di n t h ef a rf i e l d ， 3 。h l e p r o p a g a t i o no fu l t r a s h o r tp u l s e db e s s e lte a m si nf r e es p a c e b e y o n dt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n 巍豁b e e ns t u d i 糕ia n d c o m p a r e dw i t ht h a t w i t h i nt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n 。t h e n o n - p a r a x i a te f f e c tw a sd e m o n s t r a t e d w i t hn u m e r i c a l e x a m p l e s w h e nt h es p a t i a l p a r a m e t e r 掰i ss m a l l ，t h e n o n - p a r a x i a le f f e c td o e s n ta f f e c tt h et e m p o r a lp r o f i l eo ft h eb e a m 。h o w 自e v e r , w h e n 口b e c o m e sr e l a t i v e l yl a r g e r , i ti n f l u e n c e st h et e m p o r a lp r o f i l eg r e a t l y t h ec o n d i t i o n ，u n d e rw h i c ht h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n i sv a l i d ，i sg i v e n 4 s t a r t i n g f r o mt h e r a y l e i g h d i f f r a c t i o n i n t e g r a l ，t h ep r o p a g a t i o n e q u a t i o no fu l t r a s h o r tp u l s e db e a m si nd i s p e r s i v em e d i ah a sb e e nd e r i v e d w i t h o u t m a k i n gt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n a n ds l o w l y v a r y i n ge n v e l o p e a p p r o x i m a t i o n ( s v e a ) ，w h i c ha l l o w s f o rr e l a t i v e l yl a r g ea n g l e s n u m e r i c a l e x a m p l e si l l u s t r a t e dt h es p a t i o t e m p o r a lp r o p e r t i e ss u c h a ss p e c t r u m r e d s h i f l i n g ， n a r r o w i n ga n dp u l s ed i s t o r t i o n ，e t c i ti ss t r e s s e dt h a tt h e “a n t i b e a m b e h a v i o r o fu l t r a s h o r tp u l s e db e a m sc a l lb ea v o i d e d ，i fas u i t a b l et r u n c a t i o nf u n c t i o ni s i n t r o d u c e dt ot h ei n i t i a lp u l s es p e c t r u m 5 w i t h o u tm a k i n gt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n ，ad e t a i l e ds t u d yo nt h e p r o p a g a t i o n o fu l t r a s h o r tp u l s e db e s s e lb e a m si nl i n e a rn o r m a la n da n o m a l o u s d i s p e r s i v em e d i a h a sb e e np e r f o r m e du s i n gt h em e t h o do ff o u r i e rt r a n s f o r m t h es p a t i a lp r o f i l eo ft h ep u l s e dj n - b e a mr e m a i n sj n - s h a p eu n c h a n g e du p o n p r o p a g a t i o n ，w h e r e a s i t s t e m p o r a lp r o f i l ed e p e n d s o nd i f f r a c t i o na n dt h e m a t e r i a l sd i s p e r s i o n t h ep u l s e sc a nb eb r o a d e n i n ga n db e c o m en e g a t i v e l y c h i r p e d w h i l e p r o p a g a t i n g i na n o m a l o u s d i s p e r s i v e m e d i a i nn o r m a l d i s p e r s i v em e d i a ，t h ep u l s e s c a nb eb r o a d e n i n g ，p o s i t i v e l yo r n e g a t i v e l y c h i r p e d ，o re v e nt h ed i s p e r s i o n f r e ep r o p a g a t i o nc a l lb ea c h i e v e d ，i f t h eb e a m a n dm a t e r i a l p a r a m e t e r s a r e s u i t a b l y c h o s e n t h ec o n d i t i o nu n d e rw h i c h h i 曲e r - o r d e rd i s p e r s i v e e f f e c t sc a l lb e n e g l e c t e d i sa l s od i s c u s s e dw i t h n u m e r i c a le x a m p l e s 6 b a s e do nt h ef o u r i e r o p t i c s ，t h ef o c u s i n go f u l t r a s h o r tp u l s e sb yas i l i c a l e n si nb o t hc a s e so fc o n s t a n tb e a mw a i s ta n dc o n s t a n td i f f r a c t i o nl e n g t hi s s t u d i e dc o n s i d e r i n gd i s p e r s i o no f f i r s t ，s e c o n da n dh i i g h e ro r d e r , r e s p e c t i v e l y f o ru l t r a s h o r t f e w - c y c l ep u l s e s ，t h eg r o u pv e l o c i t yd i s p e r s i o ns h o u l db e c o n s i d e r e d ，w h o s ei n f l u e n c ed e p e n d so nt h ep a r a m e t e r so ft h eb e a ma n dt h e m a t e r i a l i n g e n e r a l ，t h e l e n sc h r o m a t i ca b e r r a t i o na n dt h e g r o u pv e l o c i t y d i s p e r s i o n l e a dt oa b r o a d e n i n g i nt h e t e m p o r a l a n d s p a t i a li n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n sa tt h ef o c a lp l a n ea n dad e c r e a s eo f t h e p e a ki n t e n s i t y t h ee f f e c t o f t h e l l i g h e r o r d e rd i s p e r s i o ni sr e l a t i v e l ym i n o r k e y w o r d s ：f e m t o s e c o n dp u l s e db e a m ，p r o p a g a t i o n ，s p a t i o t e m p o r a lb e h a v i o r , c o m p l e xa n a l y t i cs i g n a l 四川大拳项士牛隹论土 第一章引言 1 1 超短超强脉冲激光的发展过程及发展趋势 在近十年来，超短脉冲激光技术已取得了巨大的进步。目前激光脉冲的脉 宽已达到了1 0 f s 以下，峰值功率达到1 0 0 t w ( 1 t w = 1 0 1 2 w ) ，这种激光束聚焦 后的功率密度可高达1 0 ：o w c m 2 _ ”，其电场已远大于原子内部的库仑场。 y e a r 图1 】1 激光脉冲峰值功率随年代发展示意图 大致说来，超短超强脉冲激光的发展经历了自由运行、调q 、锁模、啁啾 脉冲放大( c p a ) 四个阶段( 如图1 1 1 所示) 。在自由运行阶段，脉冲峰值功率为 千瓦o ( w ) 级，脉宽为微秒( 旧量级；q 开关技术产生的巨脉冲峰值功率为兆瓦 似w ) 级，脉宽为纳秒( 璐) 量级；锁模技术的出现将脉冲峰值功率提高到吉瓦 ( g w ) 级，脉宽缩短到皮秒o s ) 及亚皮秒( 1 0 1 3 s ) 量级。此后，随着新型激光介质 掺钛蓝宝石晶体及新的自锁模锁模方式的出现，脉冲宽度进一步减小到飞秒( 鼬 量级。从钛宝石自锁模激光器输出的脉冲宽度达到几个飞秒，已接近一个光周 期。此时，尽管脉冲宽度在减小，但与强度有关的非线性效应却使峰值功率维 持在吉瓦( g w ) 级a 8 0 年代末出现的啁啾脉冲放大技术解决了这一问题【旧，其 基本思想如图1 1 2 所示。先将从振荡器出来的飞秒脉冲在时域上展宽，然后 通过放大器进行放大，最后再将脉冲压缩回原来的脉宽。啁啾脉冲放大协调着 两个明显相矛盾的要求：即具有最高通量以满足有效能量提取和最小光 jaf垂 奄妒基呻竞裹莲蓬毒矗圭携、色毫夸麓和遣螺墙蒋羹糟杖霹竞 强( 鼢锰1 2 ) 以避免非线性效瘦，扶恧馊褥峰俊功率上野翌j 太瓦g 聊级t 圈i 园i 圈i 圈 圜1 1 2 啁啾脉冲放大原理示意图 掺钛蓝宝石自锁模激光器输出的脉冲宽度达到几个飞秒后，继续缩短脉宽 避至l 根本性障碍。为获得更短踩宽的超短脉冲，必须在紫步 或者受短波袄迸行 搽索。一神被普遍看好的方法是高次谐波辐射，用可见或避可见飞秒强激光脉 冲照射惰性气体时可以产生商次谐波，如聚把所祷产生的高次谐波的相位锁 定，男5 么戢有可毙实骥可敬l 拶1 嚣s 涮e 冲激光运转。剩翅爨激光场裹次谐波产 ，土新型的x 射线光源戆当前研究热点之一。 1 2 产生超短超强脉冲激光的典型实验装鬻 由予钛宝石其有大的增益带宽( 7 0 0 - 1l o o m ) 、离饱和髓量卜l 讹m 2 ) 、以及 大热导率和高撰坏域巍基予蜩啾脉i 中放大技术的掺钛蓝裳石激光系统成为产 擞飞秒、太瓦激光脉冲的主流实验装鬣。它通常由四个部分组成：l 谪i 斑脉冲 援荡嚣；2 ) 辣 孛展宽嚣；3 瓣；串敖大器；4 ) 躲冲篷缀器。 1 、超短脉冲振荡器。一热型装簧为棱镜色散补偿自锁模钛定石激光器， 麴圈i - 2 。1 ，舞示。羟墼为折叠黢。泵溃源舞连续氢辫子激滗，壤德一般为1 w ， 自锁模功率范l 司为4 一- l o w ，腔长1 5 m 2 m , 钛宝石踌钵切成布如斯特角，棱镜 对稼放鬣与光辆成布如新特角，两棱镜间的距离一般为4 0 c m 。整个装置由 转线性光克尔效瘦产生周期性损耗，扶褥实现囊锬摸竣出超短秘予辣冲 ( n f s - l p s ) m 2 、默冲展爨器。骥嗷辕争羧大接零懿辣跨曩宽器般壶毙撵移一令残像 2 图1 2 1 棱镜色散补偿的自锁模钛宝石激光光路图 光学元件如凸透镜、球面镜或抛物镜构成，其原理如图1 2 2 所示。入射的激 光首先被光栅衍射，造成不同频率的色散，光栅方程为s i n r e - s i n 0 = 3 d o 光栅对 的放置使得脉冲中的蓝光( 高频成分) 比红光( f 氐频成分) 的光程长，结果其中的红 光要先离开该系统，这样通过引入正啁啾使初始脉冲得到了展宽( 1 0 3 1 0 4 倍， l o o p s ) 。 图1 2 2 典型光栅展宽器的结构及原理 3 、脉冲放大器。脉冲经光栅展宽后，再用多级放大器进行放大。脉冲放 大器通常采用再生和多通放大结构( 如图1 2 3 ( a ) 和( b ) 所示) 。所谓再生放大就是 从锁模光脉冲序列中选出一个种子脉冲，注入再生放大器的谐振腔，在达到饱 和之前来回振荡( ，2 0 往返) ，在适当时间用调制元件取出放大了的脉冲。该方 奄妒意冲竞皋遣进鼍空域、毛重务蕞毒i 连镌蚺诤謦持牲研竞 法的突线优点是禽效能取出。缺点是瞧于脉冲多次通过普壳耳斯鑫和偏振片， (a)(b) 鞠1 2 ，3 典型( 鑫) 篝生放大和渤多透放大继构及淼理 会萼| 入离汾色散效应，健稼冲滩良舔缩鼙初始的菰宽。荐生弥冲敖大结稳常应 用于较长脉冲( s o - t o o l s ) 、高功率激光系统。多通放大则是让光脉冲在几f 唾上按 一定光路多次通过增葫介质( 一般为8 l o 次) ，从而使增靛介质粒子反转数得 以充分幂i 用。其突出优点是可有效搀划囊发辐射敦大、离黔色教效应、以及菲 线性相位调制，有利于更短飞秒脉冲的压缩。多通放大结构的效率约为1 5 ， 低予再生放大绩掏疆5 争翁。 4 、脉冲压缩器。脉冲压缩器通常采用光栅对结构，其典型示意图如图1 2 4 掰示。澎褥辩的放置俊褥赫冲中静缀毙( 低灏成分) 蓝笼( 高频成分) 的光程长， 结果其中的蓝光要先离开该系统，即产生了负啁啾。当引入的负明瞅量与由脉 冲展宽器产生的正啁嗽囊相等时，脉冲得到有效压缩。原理上来讲，光栅对压 翻1 1 2 4 典型魏巍撵对嚣缨结激壤理 反射摸 瘁 田川太晕嘎士季往岳文 缩器是可以完全补偿由光栅展宽器引起的时间展宽效应，得到与原来脉宽相同 的压缩脉冲。但实际上，在放大过程中其它光学元件要引入附加的色散，因此 这种补偿不可能是完全的。 最后，图1 2 5 给出一个完整的利用啁啾脉冲放大技术激光系统的例子【l ”。 从振荡器出来的种子脉冲由1 2 0 0 线，m m 的光栅展宽后，经再生放大器到6 m j 左右，最后由末级放大器4 程放大，达到2 8 0 m j 的输出，末级放大器由y a g 激光器输出的倍频光l j 腮冲泵浦。输出的脉冲由光栅对压缩，最终输出为重 复频率1 0 h z 、脉宽3 0 f s 、峰值功率2 t w 的脉冲。 、 图1 2 5 利用啁啾脉冲放大的儿太瓦级钛宝石激光系统。从振荡器产生的超短脉冲经过脉 冲展宽器、再生放大器、4 通放大器放大后。再进行脉宽压缩。 pc 普克尔斯盒；te p 偏光膜板：er 法拉第旋转器；pr 旋光器 1 3 飞秒脉冲光束传输理论模型的研究进展 几个光周期、甚至一个光周期超短脉冲的产生使建立合理理论模型以描述 这类新对象成为需要。在过去十几年中，超短脉冲光束传输理论模型的建立引 起了广泛的研究兴趣。 c h r i s t o v 和z i o k o w s k i 及j u d l d m 首先研究了初始时、空可分离的飞秒脉 冲高斯光束在自由空间的传输，发现传输过程中其时间空间耦台在起吣1 6 1 。 此外，b o r 等人和k e m p e 等人分析了初始时、空可分离的飞秒脉冲通过透镜的 聚焦，发现脉冲光束的时间、空间、光谱之间存在耦合，透镜色差及群速度色 屯妒孽冲光束通迁酋由空同、色t 介质和连镜曲件斡廿性研竞 散会影响聚焦特性【1 7 - 1 9 1 。随后，针对飞秒脉冲聚焦过程中由于透镜色差而存在 的传输时间差别这一问题，人们纷纷提出了不同的补偿方案【1 1 州。1 9 9 7 年， w a n g 等人考虑到共焦腔中高斯光束光腰与频率有关，提出了初始时、空有耦 合的一类新的脉冲高斯光束【l1 3 】。然而，这类脉冲光束解中存在空间奇异点， 出现光束发散行为。为克服这一问题，p o r r a s 用复解析信号的方法避免了“非 光束”行为，并将他的解命名为超短脉冲高斯光束【lh 1 5 】，也即是h e y m a n 、 f e l s e n 和m e l a m e d 、f e l s e n 所研究的同衍射脉冲光束 i 1 6 , l 1 7 】。此外，l i u 等研 究了近轴条件下脉冲贝塞尔光束的传输特性【l 瑚。随后，p o r r a s 又提出了超短脉 冲贝塞尔高斯光束模型和“无色散无衍射”传输模型【l l ”2 0 l ，f e n g 等人研究 了脉冲高阶高斯光束的传输特性和同衍射超短脉冲经过无色散二次型相位光 学元件的变换i l 孔1 ”j 。此外，b m b e c 等人建立了描述大于一个光周期的脉冲在 非线性色散介质中的传输微分方程1 2 3 1 ，在此基础上l j i l 等人【1 2 4 1 和p o r m s 1 2 5 1 分别得到了在线性色散介质中传输的特解。 除了上述在近轴近似条件下开展的工作外，一些研究者还进行了超短脉冲 光束非近轴传输的研究。a g r a w a l 在未作近轴近似条件下讨论了超短脉冲在线 性色散介质中远场的衍射【1 2 6 1 。f u 等人用傅立叶变换的方法对超短脉冲在自由 空间中传输作了非近轴修正【也月。h u 等人讨论了非近轴超短脉冲贝塞尔光束在 自由空间中的传输i i ”j 。 在过去十几年间尽管超短脉冲传输的理论研究已取得了很大进展，但到目 前并未建立起类似处理单色光束一样简单有效的方法，各课题组所用的方法不 尽相同，且所得结果间也存在一定差异，因此还有很多理论上的问题尚待研究。 1 4 飞秒脉冲相关的基本概念及定义 1 脉冲光场的复数表示 正弦振荡脉冲的实数表示为： e 0 ) = 4 ( t ) c o s ( a , 。，+ y )( 1 4 1 ) 其傅立叶光谱为 1弋 瞰2 击p ) e x p ( 一耐) d r 6 田j i l 大季嘎士季隹论文 = 昙k ( o 一。) + g ( _ 国一珊。) 】 ( 1 4 2 ) 其中 g g ) 2 去p 啉p ( - 栅胁 ( 1 删 严格说来脉冲的复数表示为复解析信号【1 捌，可由单边逆傅立叶变换得到 f ( f ) - 1 赢j 以叻馘p ( 泐 2 去肛。咀) + g ( - 也) 1 e x p ( 耐) d 卯 ( 1 1 4 - 4 ) 对于大于一个光周期的脉冲，上式中9 0 一。) 仅在国。附近一小段范围取 值，因此可以忽略g ( _ 国一卯。) 项，且可将积分下限从0 扩展到o 。【i1 4 1 ，因此 ( 1 4 4 ) 式化为： f ( r ) _ 击p 叫加x p ( f 如 = a ( t ) e x p ( i c o 。t )( 1 4 5 ) 即为通常的脉冲包络复表示式，它是复解析信号的近似。对于很多类型的脉冲 光束传输，这种近似( 使用脉冲包络复表示式) 是合理的，此时脉冲包络复表示 解与复解析信号解一致，但由于脉冲包络复表示式在数学上更简洁，故而选择 脉冲包络复表示。然而对另外一些类型的脉冲光束( 例如等衍射长度超短脉冲 高斯光莉“1 4 1 ，这种近似是不合理的，脉冲包络复表示解出现发散行为，此时 应选择复解析信号表示。因此，选择脉冲包络复表示还是选择复解析信号表示 要跟据具体的脉冲光束类型而定。下面举出实饲加以说明。 ( 1 ) 等柬宽超短脉冲高斯光束、 等束宽超短脉冲高斯光束可看成是很多具有相同束宽的高斯光束的叠加， 解析信号表示为 曲川) 2 去r 如一q ) + g 。( - 国一q 帆詈e x 导 e x 牛，) 喙一庐+ 硼 x e x p ( i a g ) d c a ( 1 4 6 ) 飞扩重冲光束逼垃由空间、毛t 介质和迁镜的讳謦昔性研充 其中，w 0 为与频率无关的常量，w 2 w o l l + ( 焉) 2 ，对于几个光周期的脉 冲而言，g 一) 仅仅在附近的一段区间取值，在这种情况下， g ( 一m 一) 项可以忽略，并且积分下限可取为一o o 。于是，( 1 4 6 ) 式可化为 毗二扣劢1 r g ( a o q 地詈e x ( _ 告 e 母，陈一庐+ 瑚e 碘甜胁。 此时，上述近似是成立的，( 1 4 7 ) 式与( 1 4 6 ) 式一致。 ( 2 ) 等衍射长度超短脉冲高斯光束 等衍射长度超短脉冲高斯光束可看成是很多具有相同衍射长度的高斯光 束的叠加，解析信号仍可用( 1 4 6 ) 式表示，不同的是，衍射长度= i li o ) w ；为 一与频率无关的常剐岍j 鲁正面了羽- 4 6 ) 式中咖p f - 引化 为麟吐一五i 南j 这时若将积分下限取为一则 e x 一2 c z o 而竺一1 j 随r 增大趋于o 。，出现光束发散行为【l l4 1 ，这在物理 上是不可行的，因此对于这种脉冲光束，只能用解析信号表示。 2 脉冲宽度 脉冲宽度的定义有很多种，一般采用的是脉冲强度的半高全宽( f u nw i d t h a th a l f m a x i m u mo f t h e p u l 瞄定义，即 ，( r m 2 ) = i m 。2( 1 4 8 ) 3 中心频率 脉冲中心频率。的定义为： 四川太季磺士孽往论文 p i e ( 珊) | 2 d c o o = 旦_ 一 ( 1 4 9 ) j 1 e ( 国) 1 2 0 其中e ( c o ) 是脉冲的傅立叶光谱。 4 载波频率 对于作正弦振荡的脉冲，其实数表示为( 1 3 1 ) 式，其中国。称为载波频率。 可以证明，对于大于一个光周期的脉冲，载波频率和中心频率相差无几。 5 周期数 脉冲的周期数m 定义为 m = l f _ w f t m( 1 4 1 0 ) c 其中疋为载波频率。对应的振动周期。 1 5 研究飞秒脉冲光束传输的基本分析方法 1 傅立叶变换方法 首先将脉冲光束在时间域的传输问题转化为频率域的问题，利用亥姆霍兹 方程“捌或与其等价的积分方程( 如瑞利衍射积分公式1 等) 求出每一单色成 份的传输表达式，然后作逆傅立叶变换得到时间域上的传输方程。该方法是使 用最为普遍的一种方法， 其优点是概念清晰，易于操作，缺点是有时难以得 到解析的传输公式，且仅限于处理线性传输问题。 ( 1 ) 时间频率变换 时间域光场e ( ，f ) 和相应的频率域表示式e ( ，脚) 满足下面傅立叶变 换关系 1吧 耳 奶2 赢璺 r ) 。x p ( _ 彳耐) d t ( 1 5 1 ) 1弋 以 o 2 击p p 徊) e x p ( i o ) t ) d a ( 1 1 5 2 ) ( 2 ) 空间波数变换 9 飞妒摩叶光束通避酋空闻、毛t 介质和噩镜崎件謦着性研究 光场在空间域的表示式e ( r ，国) 与波数域表示式e ( 七，k ，z ，c o ) 满足下 面傅立叶变换关系 e ( ， 国) = 瓦i p ( 咖) e x p x + k y y ) d x d y ( 1 删 e ( r , o o = 万1 f e ( k ，k y ，z ，c o ) e x p - i ( k ，x + ，j ，眦，出，( 1 5 4 ) ( 3 ) 基本的出发点公式 a h e l m h o l t z 方程及等价的积分公式 频率域中波动方程为： ( v 2 + i 2 l e ( r ，) = 0( 1 5 5 ) 与其等价的角谱形式解为 即删：了_ 仁o ，) e x p _ ，k x 屿y + 肛= 再可：胁砘( 1 5 _ 6 ) 其中a ( k ，k 。，0 ，) 与初始光场分布有以下关系 4 以，七，o ，珊) = 芎1 i p 0 ，y ，o ，) e x p 0 ，x + j t ，y ) 蚴( 1 5 7 ) 与h e l m h o l t z 方程等价的还有瑞利衍射积分公式 心删一三- x x ! u 。( r o , c o ) 鲁( 钟2 r on s 固 b 近轴近似下频率域波动方程及等价的积分公式 频率域波动方程为( 1 5 5 ) 式，在近轴近似下，即每一单色成份都满足近轴 条件，h e l m h o l t z 方程化为： ，e ( ，国) 一2 艟! 塾! i 曼乎生+ 2 k 2 e ( r ，) = o ( 1 5 9 ) 如果取 e ( r ，) = 庐( r ，t o ) e x p ( 一i k z )( 1 5 1 0 ) 则( 1 5 9 ) 式化为： 地国) 一2 i k o c k ( 出r , 0 9 ) = 0 ( 1 5 1 1 ) 四川太幸嘎士幸位论文 上式即是熟知的近轴波动万程。 与近轴波动方程等价的有惠更斯一菲涅耳积分公式 e ( x 2 , y 2 , 0 ) ) = 瓦ie x p ( 一龇) 肛，( x i , y i , ( o ) e x p 差虹：一一) 2 + c y ：一h ) 2 d s ( 1 5 1 2 ) 和角谱形式的积分方程 岫狒骀，o ，吐x 将铲l ( c c o ) ( k ，2 蝴z ) x e x p i m ( t z c ) a k ，d k 。( 1 5 1 3 ) 上式由( 1 5 6 ) x 蒯e 近轴近似 k ：= 水2 一( + 尼；) = c o c 一寺( c ) ( + 髟) ( 1 5 1 4 ) 下得到。 2 直接求解时间域微分形式的波动方程 该方法使用复空间移动”、变量代换1 捌、数学变换【1 碉等数学技巧，在 一定近似条件和初始时空分布条件下直接求解时间域微分波动方程。其优点是 直接得到时间域的传输方程解，缺点是求解微分方程时难度较大。 真空中波动方程为： 弘吉鲁= o ( 1 5 1 5 ， 引入流动坐标r 。= f z l c ，z 。= z ，n 5 1 5 ) 删j e + 警丢筹= 。 s - 。 上面两式是未作任何近似的微分方程。 若作慢演化波近似( s l o ，l ye v o m n g 、 愠v e 印p 咖( i i r 璩畦0 ns e w a ) i 割 渊 s 旧 则( 1 _ 5 1 6 ) 式中罢学可略去，( 1 _ 5 1 6 ) 式简化为n 1 5 】 0 2 。 ! 竺苎! 查查墨兰! 皇苎：垒兰尘茎皇垦苎竺苎! 苎兰! ! 生 。e 一：2 丽3 2 e = o ( 1 5 1 8 ) 上式也可以写成等价形式 舻一i 2 丽0 2 e 弓窘= o ( 1 5 1 9 ) 实际上，s e w a 就是p 雅i ) 【i a la p p r o x i m a f i o n ( p a ) t 1 1 ”，( 1 5 1 8 ) 式和( 1 5 1 9 ) 式描述 了近轴条件下任意脉宽的脉冲光束传输。上述s e w a 就是p a 的结论可从角谱 方法得到说明，( 1 5 1 5 ) 的角谱形式解为： e h = ，) 2 面2 廿( k x , k y , 0 9 , 0 ) e x 州( k - r x + k y y + 何c 2 一e 一蚴 e x p ( i c o t ) d k ，d k ，d c o ( 1 5 2 0 ) 若p a 成立，即满足( 1 5 1 4 ) 式，( 1 5 2 0 ) 式化为： e 纠= 喜4 2 1 r t o - m 一灏 删e 卅啦q ) ，一言云( 霹+ e x p i c o ( t z c ) 珊，d d c o ( 1 5 2 1 ) 可以验证( 1 5 2 1 ) 式满足( 1 5 1 9 ) 式【1 3 ”。因此( 1 5 1 4 ) 式与( 1 5 1 7 ) 式等价，即 s e w a 与p a 等价。 对于脉宽大于一个光周期的脉冲可引入脉冲包络表示式 e = y o ，y ，z ，t ) e x p i t o o ( f z c ) 】 ( 1 5 2 2 ) 将( 1 5 2 2 ) 式代入( 1 5 1 7 ) 式和( 1 5 1 8 ) 式分别得 对于准单色近似有 限y 1 七o m 嘲詈专嘉= o n 5 ，2 4 ) 删t 1 1 5 】 i a 。矿l 。i 妒i ( 1 5 2 3 ) ( 1 5 2 4 ) ( 1 5 2 5 ) 四川支幸嘎士幸隹论文 。妒一2 i k 。警= o ( 1 5 2 6 ) w f 1 5 2 6 ) 式是s e w a ( 1 5 2 3 ) 式和准单色近似( 1 5 2 5 ) 式同时成立下的波动方程， 可描述准单色脉冲光束近轴条件下的传输，其解时空可分离。由s e w a ( i 5 2 3 ) 式和准单色近伙1 5 2 5 ) 式可以推出慢变振幅近似( s 认) ，即 p ：y l = p ：y 一( 1 c ) a 。- y l k o l i ( 1 5 2 7 ) 由此可知s v e a 可分解为两部分：准单色近似和p a 1 矧，且( 1 5 2 6 ) 式满足 s v e a 。 因此，对于非近轴超短脉冲光束的传输，应用( 1 5 1 5 ) 式或( 1 5 1 6 ) 式；对于 近轴超短脉冲光束的传输可使用( 1 5 1 8 ) 式或( 1 5 1 9 ) 式，且只能作s e w a ( s e w a 与p a 等价) ；而对于准单色脉冲光束的传输，可作p a 和准单色近似，两者加 在一起等价于s v e a ，s v e a 酝含p a 和准单色近似，此时可用( 1 5 2 6 ) 式a 3 近似计算方法 对于某些类型的脉冲光束，不能得到解析的传输公式，但有时可以采取微 扰方法【1 3 2 1 、级数展开 1 3 3 1 等手段求出近似的解析传输公式。 1 6 几种常见的初始时间、空间分布 1 初始时间分布 a 高斯脉冲 即) = e x p - ( a g 去) 2 1 c o s 。，) ( 1 6 1 ) 其中为止丽，r 为脉冲宽度。其包络e x p 【一( 口菩2 】的傅里叶频谱为 m ) = 击e x p ( _ 等) ( 1 6 2 ) 高斯脉冲( 1 6 1 ) 式的复解析信号为 f o 卜去乒，( 铲哝) + 厂( - - 0 ) - - r o e ) 】喇鳓如 飞秒摩冲光束噩避自由空阍、色t 介质和连镜的件謦特性研竞 7 | 砸一节a 2 f 2 ) e x p ( i c o c t ) 1 - e 卅等一，- - 等) + e x p