（理论物理专业论文）双模纠缠相干压缩态正规二分量正则分布的研究.pdf

摘要 近些年来，在量子力学中创造和发展了有序算符内的积分技术( 简称为i w o p ) 使得 狄拉克的符号表示更加完善，能很好地表达很多的物理规律，并逐渐得到应用和推广， 应用i w o p 技术可以构造新表象、导出算符恒等式、研究相干态和压缩态的完备性及量子 力学转动等问题，并发展了量子力学的变换论，虽然涉及到这种理论的文献很少，但是 它已经渗透到许多领域，在群表示论、分子振动理论、固体理论及量子场论中都有一些 重要应用n 圳。在文献 2 0 中运用了i w o p 技术及在相似变换下w e y l 编序不变性说明了具 有纠缠的双模混合态二分量正则分布能够变成正规形式，并且还分析了它的边缘分布。 本文给出一个复杂的双模压缩算符，并得到其密度矩阵，进一步对文献 2 0 进行了推广。 本文给出的双模耦合纠缠相干压缩算符为 r 厂， 1、 1 1 岛( 旯) = e x p 钏lc o s o a ；a ；一i s i n p 矸2 + 寺s i n 臼e - i # a 2 2i h 伊i ll 。二 _ l j ( 办c - - c o s o a l a 2 一i 1s i n 蚀一矽a f + 互1s i n 陇彬) 得到它的密度矩阵表示，分析了其纠缠性，然后通过运用i w o p 技术及在相似变换下w e y l 编序不变性，研究了具有相干纠缠压缩的双模混合态二分量正则分布形式，表明量子统 计中的密度算符和数学统计中的密度算符有类似之处，可以运用数学的方法进行处理， 并且分析了边缘分布，对变量进行了计算，从而把量子统计中的密度矩阵原理与数学统 计中的密度矩阵原理紧密的联系在一起。针对结论进行分析并与文献 2 0 比较，可以得 出，本文中的结论更具有广泛的应用。 关键词：双模；量子纠缠；密度矩阵；二变量正则分布；i w o p 技术；边缘分布 a b s t r a c t i nr e c e n tt e ny e a r s ，i w o pt e c h n o l o g ym a k e sd i r a c ss y m b o l i cm e t h o db em o r e c o m p l e t e ， a n di tc a ne x p r e s sb e r e rt h ep h y s i c a ll a w s ，s oi t sa p p l i c a t i o ni sg r a d u a l l y w i d e s p r e a ds u c ha s i n v e n t i n gn e wr e p r e s e n t a t i o n , d e r i v i n go p e r a t o ri d e n t i t i e s ，s t u d y i n gc o h e r e n ta n ds q u e e z e d s t a t e c o m p l e t e n e s sr e l a t i o na n dr o t a t i o no fq u a n t u ms oo n a n di td e v e l o p e st r a n s f o r m a t i o n t h e o r yo fq u a n t u mm e c h a n i c s a l t h o u g hf e wo ft h ea r t i c l e si n v o l v ei nt h et h e o r y ，t h et h e o r y h a si n f i l t r a t e di n t om a n ya r e a sa n dh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o no nt h e g r o u pr e p r e s e n t a t i o n ， m o l e c u l a rv i b r a t i o n ，s o l i da n d q u a n t u mt h e o r y i nt h ep a p e r 2 0 ，o nt h eb a s i so ft h ei w o pt e c h n o l o g ya n dt h e w e y lo r d e r i n g i n v a r i a n c eu n d e rt r a n s f o r m a t i o n s ，i th a ss h o wt h a tt w o m o d e d e n s i t yo p e r a t o r w i t h e n t a n g l e m e n ti n v o l v e dc a nb ep u ti n t on o r m a l l yo r d e r e df o r mi nt h eb i v a r i a t en o r m a l d i s t r i b u t i o na n dt h ea u t h o r a n a l y s e si t sm a r g i n a ld i s t r i b u t i o n i nt h i sp a p e r ，w eg i v eac o m p l e xt w o m o d es q u e e z e do p e r a t o r , a n dd e r i v ei t sd e n s i t y m a t r i xa n df u r t h e re x t e n dt h ep a p e r 2 0 w ec o n s t r u c tat w o - m o d es q u e e z e ds t a t ei n v o l v e de n t a n g l e m e n ta n dc o h e r e n c e 弱 f o l l o w s ： ) - e 冲心叫q 1 咖州咛1 眈w 卜 ) ( 办咿= c o s o a l a 2 - 专s i n o e 一肇彳+ i 1s i n o e 。# a 2 ) a f t e r d e r i v i n g i t s d e n s i t ym a t r i x ，w ea n a l y s e i t s e n t a n g l e m e n t ，s t u d y i t so r d e r e d b i v a r i a t e - n o r m a l d i s t r i b u t i o nf o r m s ，i ti sc l e a rt h a td e n s i t yo p e r a t o ro fq u a n t u ms t a t i s t i c sc a n b ea n a l o g o u st ot h a to fm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ，w ec a nu s em a t h e m a t i c a lm e t h o d st od e a lw i t h i t ，a n da n a l y s ei t sm a r g i n a ld i s t r i b u t i o n ，s i m u l t a n e o u s l y , t h ev a r i a n c e sc a nb ec a l c u l a t e d ，t h u s t h ed e n s i t ym a t r i xo fq u a n t u ms t a t i s t i c st h e o r yh a sc l o s er e l a t i o nw i t ht h a to fm a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s ，t h ec o n c l u s i o nw h i c hw eo b t a i n e df r o mt h ea b o v ec a l lb ec o m p a r e dw i t ht h a to ft h e p a p e r 【2 0 ，a n ds h o w sw i d e ra p p l i c a t i o ni nm yp a p e rt h a nt h a to ft h ep a p e r 【2 0 k e yw o r d s ：t w o - m o d e ；q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；d e n s i t ym a t r i x ；b i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n ；i w o p t e c h n o l o g y ；m a r g i n a ld i s t r i b u t i o n i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位做储始姜差 日期：少z 、j 三一一 ， 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：二磕 日 飙钟 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：徭盈奎筮 日期： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 近些年来，在量子力学中创造和发展了有序算符内的积分技术( 简称为i w o p ) 便得 狄拉克的符号表示更加完美，并能很好地表达很多的物理规律，并逐渐得到应用和推广 1 。1 w o p 技术能很方便地把如f 睾l q 甜) ( 鼋l o ) 这样的复杂积分进行简化，使计算 二v 缸 过程变得更加简单。在该式子中，我们知道当u = 1 时，其积分值是1 ，当材1 时，它表 示一个算符。应用i w o p 技术对f 睾i g “) ( g l ( “ o ) 进行积分，我们能够得到下列结果， 取m = 国= 壳= 1 。 = 一“r l 一弘专) + 压譬一。办唧h 一譬 = j 去：e 冲阳，+ 卦画睁口h + ) 2 ： m ， ：s e c 秃；名：e x p ( 一罢；鼬二+ ( s e c 砝一1 ) 口+ 口+ ! 季t a n h 允) ： = “s e c 址鲁u 鼬旯= 器u )1 + l + 利用算符恒等式e 肋“= ：e x p p 名一1 ) a + 口】：把上式改写为： 埔m | 一e x p 鼬a h ( 如+ 争刚五h 譬鼬刁 兰s ( 五) 这就是量子光学中的单模压缩算符“吲。 可以再利用( q l q ) = 万( q 一9 ) 得到 东北师范大学硕士学位论文 墨矸= 喱掣b q q 州) = f q l q q 2e o s h 2 + q ls i n h 2 可以映射为量子力学中的双模压缩算符。 我们运用i w o p 技术还能够把纯态( 例如坐标本征态、动量本征态和相干态) 的完备 性变成正规高斯形式。也就是说，在( 1 1 ) 式中令u = 1 ，并注意到竺等= o ，得 v 二 仁d q l q p l = ，二隽印嵋) 2 ：= l 其中q = ( q + 才) l 眉= ( q 一对) 互i ，聊= 国= 壳- 1 ，并且q ，矸是玻色子湮灭算符 和产生算符，它们满足 口。，吖 = 1 量子力学中的坐标和动量是不对易的，所以经典函数 h ( p ，q ) 过渡到量子力学算符的对应也是不确定的。这种情况下，需要有一个对应规则， 并且这个规则是否正确要接受实验的检验。我们知道n 们 = 一2 瓦a 万( q - q ) = 仁去加 p + 羔生二 墨拿兰j i j 铲( q 一恐) 2 一兰望羔暑；三辩( 鸟一薯) ( q 一砭) 第五章双模纠缠相干压缩态密度矩阵中的变量的计算 计算了( 昱一儿) 2 、( q 一而) 2 、( 皇- y 0 2 、( 0 1 一五) 2 、( 是一m ) ( 一兄) 、( 骇一x o ( q ：一x o 、 ( 墨+ 忍一m 一乃) 2 及( 骇+ 奶一而一恐) 2 的平均值为下列各式 j 警j 础训2a y 2 , a 万y _ _ _ z = 丢c 咖- 2 2 c o s h 2 2 _ 丢c 。m 雩 7 s i n o c o s 姆曲2 力 量警j 岛c q 训2 警7 1 。m z c o s h 2 2 + 三c 劬孚如啪；血2 z j 铡删训2 百d y l d y 2 = 1 2 c o t h - 2 a , c o s h 2 2 + 丢e 。t h 等 s i n 8 e o s 姆一 j 警j 哟训2 警= 三c 劬- 等2 2 c o s h 2 2 - 丢c 。m 孚s ；n 姆曲2 旯 j 警j c 棚肥训仍d y 2 l 万d y 2 = - c o t h - 2 彳 c o s o s i j 警j ( g 训( q 2 训仍警一o t h - 2 2 c o s o s i n n 2 1 警j c 毋吩乃训2 段警m - 2 2 c o s h 2 2 - c o t h - 2 a c o s o s i 一 ! 警! c q + q - x 。- x 2 炮警m 等c o s h 2 肌o m 等c o s o s i n n 2 五 8 东北师范大学硕士学位论文 第二章双模纠缠相干压缩态密度矩阵的w e y l 编序形式 我们首先构造相干压缩态密度算符为： ) - e 冲m 。s 啊吒1s m 蛳哮眈w ) 坼c ) ( 厅c o , - - c o s 纸砺一! sn一昂彳+ 。n01 io es ip 舻z )( 厅 c o s 钒呸一i sn 一昂彳+ np 舻) 然后可以写出双模位移相干压缩混沌场的密度矩阵口3 删 仍三( 1 - e v ) 2d 1 ( 口) 岛( 夕) s ：( a ) p z ( 矸q + 虻口2 ) 墨1 ( 力) 研1 ( ) 研1 ( 口) ( 2 1 ) 其中砬( ) = e x p ( p - ( 1 - e v ) 謦p 。扫2 = 1 l z 是相干态，满足f 兰l z 、召= g 或e ( 7 = ，2 ) 。 先计算是( a ) q 曼一1 ( 允) ，b = q l = 鱼孚 v 二 b ：蟛 4 2 【伽】2 击 一s 乡( 口2 + 西) “n 口( p 叫q 引 彳， 彳，b 】 = 每( q + 才) v 二 么州邮明= 羞 _ c o s 秒( 吃棚+ ) + s i n o ( p 一矽q 才) 彳m 批砌小丢( q + 对) 亿3 ， 小 彳州伽】 _ 身- c o s t 9 ( 吒+ a ；) + s i n s ( p 一才) m 小 批m 叨 - 丢( q + 才) 经过计算整理可以得到 曼( 兄) q 迎( 旯) = g ( c o s h l + s i n 8 s i n h t c o s # ) + ( p , s i n o s i n # - qc o s 8 ) 同理可得 最( 五) q 2 墨1 ( 旯) = q 2 ( c o s h t - s i n 8 s i n h t c o s # ) + ( p 2s i n 8 s i n # - q lc o s o ) s i n h 最( 名) # s 1 ( 五) = 暑( c o s h a - s i n o s i n hi c o s ) + ( p 2c o s o + q l s i n 8 s i n 痧) s i n hi ( 2 4 ) 1 0 塾避塑燮生 岛( 名) 墨墨1 以) = 罡( c 。s h z + 咖乡s i n h 名c 。s 矽) + ( 日c 。s 秒+ qs i n 口s i n ) s i n h 元 上面式( 2 4 ) 可以表示成矩阵形式如下： 厂鸟1 时。)= f c o s h “s i n 口萌n h 五咖一 一c o s o s i n h z s i n 口蛞n s i l l h 五 一雠口蛐 c o s h 名- s a 6 s i n h 彳螂，o 咖8 s i n ，曲l h 五0 o s i n o s i n s i 日b 名 从上面的矩阵可以看出下列结果： o h 丑一s i n s i n h 五螂 c o s 护耐l i i i z = s i n 0 s i n c o s h s i n0挑sinh 一枷z l j 口 铋口s i n h 毒l lp 丑+ 五瑚儿| p 研f雪js(l亏二：罨：耋二三三：页萋j+st曲五l。ss：iniocos二ii-co二s0_一s：ino三s：in声妒三兰。三j!(耋0=3 意墓耋詈二萎苎亨翼茎：竺苎誓纠孳押干态得到的结果见文献 2 0 ，而等式右侧第二项 贝j j 体现出双模耦合纠缠相干态的效应吣1 4 】。 一”一剐爿一似 从( 2 4 ) 式同时还可以看出下列结果： 是( 彳) ( 奶+ q ) 逆- 1 ( 名) = 蜴( c o s h 2 + s i n 秒s i n h z c o s 一c o s o s i n h 力1 + q ( c o s h 彳, 一s i n e s i n h 2 c 。s 矽- - c o s 秒s 讪名) + ( 露+ p 2 ) s i n e s i n # s i n h , z 1 岛( 兄) ( 曰+ ) ( 五) = 名( c o s h 2 一s i n 秒s i n h 名c o s 矽+ c o s 目s i i l l l 名1 一 + 忍( c o s h 五+ s i n 汐s i n h 2 c 。s + c o s 秒s i n h 名) + ( 鸟+ 鲛) s i n o s i n # s i n h 2 我们知道e x p 7 ( 对q + 西呸) 的w e y l 编序形式是： 嘞k e x p 降c 椰州 由于霉2 + 碍+ 骈+ g = 计q + q 才+ 吃+ 呸西 而玻色子在：中是可对易的，则 p 瓤州叱岛) ? 唧瞵心母绷) ! j 东北师范大学硕士学位论文 根据相似变换f 的w e y l 编序不变性和( 2 4 ) 及( 2 5 ) 可得 是( 力) e x p ( 吖q + 霹口2 ) 墨1 ( 彳) = ( 南) 2 ；唧铸e - 1 ( c o s h a - s i n 8 s i 嘶) + ( 罡c o s s + q , s i n 8 s i n # ) s i n h i 2 + 昱( c o s h 见+ s i n 乡s 加办旯c o s ) + ( 墨c o s 秒+ q 2s i n o s i n 矽) s i n h a 2 + q ( c o s h t + s i n o s i n h i c o s # ) + ( p is i n o s i n 一q ：c o s 乡) s i i l l l 名 2 + q 2 ( c o s h i s i n o s i n h l c o s # ) + ( p 2s i n o s i n # 一qc o s p ) s i n h 2 ； 2 石了ie x o 。e z t - 1 ( p 1 2 + 碍+ 研+ q ；) + 2 c o s s s i n h 2 旯( 露一蜴q 2 ) + s i n 8 c o s # s i n h 2 1 ( q f 一饼一砰+ 碍) + s i n 秒s i n 矽s i i l l l 2 名( # g + g 露+ e q 2 + q 昱) 】 ； 2 丽4 蚓彳( 毋2 + 露+ 骈+ 鳗胭( 舅最一q l q ) + d ( 骈一谚一露2 + 碍) + 2 e ( 置q + 最q 2 ) ； ( 2 6 ) 在上式中么：t a n h 兰c 。s h 2 见、召：t a l l l l 型c 。s 9 s i n h 2 2 、d ：t a i l l l 互s i n 口c 。s 矽s i n h 2 以及2 22 。， 。 点= t a n h 等s i n 觚n 矽s i n h 2 a 。 由于d l ) q 研： ) = q 一而 砬 ) q 2 研1 ) = q 2 一屯 利用( 2 6 ) 、( 2 7 ) 式我们能把密度矩阵仍变成w e y l 二分量正则分布形式 见= 4 t a n h 2 詈；e x p 彳 ( 弓一乃) 2 + ( 最一此) 2 + ( q l 一五) 2 + ( 0 2 一娩) 2 + 2 b 【( 号一咒) ( 一款) 一( q j c l ) ( q 一而) 卜d ( 日一咒) 2 一( 足一儿) 2 ( 2 8 一( 幺一五) 2 + ( q 一吒) 2 + 2 e 【( 名一舅) ( 鸟一而) + ( 罡一儿) ( q 一) 】 ； 这就是密度矩阵岛的w e y l 编序形式旧1 町 把彳= t 础詈c 。s h 2 名、曰= t a n h 一筹c o s o s i 血2 元、。= t 柚鲁s ；n p c 。s 矽s t 血2 允 22 。 一 一一2 一。r 。 及e = t a n h 等s i n p s i l l 矽s i n h 2 a 代入( 2 8 ) 式可得 1 2 麓嬲 东北师范大学硕士学位论文 岛= 4 伽 1 1 1 2 竺2i e x p 彳 ( 墨一乃) 2 + ( 最一奶) 2 + ( q l 一五) 2 + ( 0 2 - x ：) 2 + 2 b 【( 丑一乃) ( - y o - ( q , 一五) ( q - x 2 ) 】 一t a 】f l l l 每s i n h 2 2 s i n 口c 。s 矽 ( # 一乃) 2 一( 最一y 2 ) 2 一( g 一而) 2 + ( q 2 一屯) 2 + 2 t a 】 1 i l 鲁s i n 8 s i n # s i n h 2 2 ( p 。一m ) ( q 一五) + ( 一奶) ( q 一) 】 ； o j 我们可以看到，当0 = 2 k x 时 t a n l , 竺1s i n h 2 2 s i l l 秒c o s ( 丑一m ) 2 一( 最一y 2 ) 2 一( q l 一五) 2 + ( q 2 一x 2 ) 2 = o t a n h 尘1s i n o s i n s i n h 2 1 , ( p l 一乃) ( q 一五) + ( 一奶) ( q x o = o 则上式的结果恰好还原为文献【2 0 1 中的( 1 5 ) 式。 1 3 东北师范大学硕士学位论文 第三章双模纠缠相干压缩态密度矩阵的正规形式 我们知道w i g n e r 算符的w e y l 编序形式是 。( a ，9 1 ) = ；万( g l q ) 万( 见一眉) w e y l 量子化规则可以表达为 i h ( e , ，g ) i = ，d p d q h ( p ，q ) a 。( p ，g ) 即w e y l 的正规算符；h ( p l ，q 1 ) ；的经典对应可以通过简单的替换 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( q 专q ，眉专p ) 得到，反过来也是正确的。因此在式( 3 6 ) 中的密度算符p 2 的经 典w e y l 对应( a ，q l ：p 2 ，垡2 ) 可以表示为嘲 形( a ，g 。：仍，g ：) = 4 t a l l l l 2 7 ”e x p 彳 ( a 一乃) 2 + ( 仍一y 2 ) 2 + ( 纺一而) 2 + ( 9 2 一而) 2 一d ( a m ) 2 - ( p 2 - y 2 ) 2 - ( q i 一五) 2 + ( 9 2 - x 2 ) 2 ( 3 3 ) + 2 召【( a - y 1 ) ( p 2 - y 2 ) - ( q l 一五) ( g ：一恐) 】 + 2 e 【( 局一m ) ( 吼一五) + ( 岛- y 2 ) ( q 2 一恐) b 双模w i g n e r 算符的正规形式为 ( 局，g ，：p ：，q 2 ) = e ) 2 ：e x p 一( q l q ) 2 一( a 一日) 2 一( 仍一珐) 2 一( n 一最) 2 ： ( 3 4 ) 根据式( 3 3 ) 、( 3 4 ) 和下式 h ( q l ，丑；q 2 ，最) = ：d q , d p l d q 2 d p ：h ( q i ，p i ；q 2 ，p 2 ) a ( q l ，p i ；q 2 ，仍) 我们可以得到密度矩阵, 0 2 的正规形式 仍= ，二由l d p , d q 2 呶形( 马，q ) ；p 2 ，9 2 ) ( 级，p l ；q 2 ，p 2 ) ；7 4t a i l l l z 拳2 了奶呶 刀 ! 。 + ( q 2 - - x 2 ) 2 + 2 b ( d q l ：c x p a ( p 。一只2 + ( 段一儿) 2 + ( 吼一而) 2 p l 一乃) ( p ：二y 2 ) - ( q 。一五) ( g ：- x 2 ) 1 4 ( 3 5 ) 东北师范大学硕士学位论文 一d ( a 一乃) 2 一( 仍一儿) 2 一( 吼一五2 + ( 吼一恐) 2 , 2 e i - ( p , - y 1 ) ( q l - x 1 ) - ( p ：- y 2 ) ( q 2 - x 2 ) 一( a 一# ) 2 一( 见一最) 2 一( g l q 1 ) 2 一( g ：一q 2 ) 2 ) ： = 昙鼬2 兰2 ：e x p 等 ( 丑训( 昱一y 2 ) - ( q i 训( q 训 + 箭( 丑一乃) 2 + ( q x 2 ) 2 + h 川p ：一奶) 2 + ( g 一薯) 2 + 算( 棚) ( q i 一五) + ( 昱一耽) ( q 2 一恐) ) ： 其中f = ( 1 4 ) 2 一b 2 一d 2 一e 2 g = a a 2 + 曰2 + d 2 + e 2 一d h = a a 2 + b 2 + d 2 + e 2 + d 把彳=taulh型c。sh2允、召=伽111型c。s秒sinh2允、d=蛐型sill秒c。ssinh2a以及222 ， e = t a n h m 筹s i n 秒s i l l s i l l l l 2 名代入上式可得 见2 7 一鼬：能p 了一 ( 1 - 爿) 2 一丑2 一t a l i l h2 三s i l l l l 2 2 2 s i n 2 矽 2 l ( 1 - 彳) 2 一占2 一伽m 2 互s i n h 2 2 2 s i n 2 护 一a + b ，+ 鼬t ! s i n h 22 2s i n ，0 一t 觚h 生s i n o c o s 西s i n h 2 五 【( 暑一y ) ( e y ：) 一( q i 一) ( q j ：) 】+ 至l 了至一 ( 1 一彳) 2 一b 2 一t a n h 2 s i n h 2 2 2 s i n 2 0 ( 3 6 ) 彳一彳t + 曰，+ 鼬。兰s i n h z2 五s i n ：口+ 鼬兰s i n 秒c 。s 矽s i n h2 丑 ( 暑一只) 2 + ( q 一) 2 + l 了一 ( 置1 ) 2 + ( 2 一) 1 ( 1 一彳) 2 一b 一t a n h 24 s i n h 2 2 2s i n 20 +一2tanh 0 s i n s i n h 2 2 ( 1 - a ) ccc一只，cqi一工，+c只一咒，cq一工。，： 一s i nf + 三7 一【( c 一只) ( q l 一) + ( 只一咒) ( q 一工。) 】 ： 砌2 一“孝s 甜2 舢n 勺j 我们可以看到，当0 = 2 k n 时，上式中 t a 】c l h 2 尘s i l l i l 22 五s i n 20 ：0 2 t a n h 2 型s i n h 22 2 , s i n 20 + 伽 1 l l 型s i n o c o s 彩s i n h 2 1 , ：0 22 t a n h 尘s i n 目s i n 矽s i n h 2 , z = 0 t a i l l l 2 等s i l l l l 22 2 s i n 2 口一t a i l h 等s i n 臼c 。s s i l l l l 2 五：o 2 2 1 5 东北师范大学硕士学位论文 那么( 3 6 ) 式就转化为下式 岛= 商矗鼬2 等：e x p 商备阶训( h ) ( q 2 刊 + 乏 三：i 蓐 ( 毋一咒) 2 + ( 最一奶) 2 + ( q 一五) 2 + ( q 2 一屯) 2 ) ： 这恰好是文献 2 0 1 中的( 2 1 ) 式。 1 6 东北师范大学硕士学位论文 第四章 双模纠缠相千压缩态密度矩阵的边缘分布 我们利用( 2 8 ) 式可求得密度矩阵岛的边缘分布 j 仍如觑= 4 t a n h 2 詈；e x p p ( e m ) 2 + ( 一此) 2 + 2 召( 异一乃) ( 芝一) 一。 ( 互一y 。) 2 一( 昱一奶) 2 ) 了e x p 爿 ( g 一西) 2 + ( 0 2 一恐) 2 - 2 b ( q l 一_ ) ( q 2 一x 2 ) + d ( q l 一而) 2 ( 0 2 一t ) 2 + 2 e ( 置一乃) ( q 一五) + ( 最一儿) ( q 一而) 幽呶； 嘞鼬2 - 等( b 2 _ a 2 + d 2 声唧 一 ( 么一d ) ( 墨一y 1 ) 2 + ( a + d ) ( 昱一y 2 ) 2 + 2 b ( p i m ) ( 昱一儿) 岛呶呶= 4 t a n h 2 鲁；e x p 彳 ( q l 一_ ) 2 + ( q 一屯) 2 一2 b ( g 一而) ( q 一屯) + d ( 蜴一而) 2 一( q _ t ) 2 ，e x p 彳 ( 眉一乃) 2 + ( 8 - y 2 ) 2 + 2 b ( p 。- y , ) ( p 2 一y 2 ) 一d i ( 量一m ) 2 一( 最一奶) 2i + 2 e 【( 鼻一乃) ( g 一而) + ( 最一奶) ( q 2 一毛) 】 嘲呶； 嘶鼬2 - 等( b 2 _ a 2 + d 2 旷ie x p 鬻 ( 彳+ d ) ( g 训2 + ( 么一d ) ( q 2 一恐) 2 2 a ( q 。一而) ( q 2 一屯) 通过上面的( 4 1 ) 、( 4 2 ) 式可以得到： j 岛警警= 在计算过程中我们可以看到式( 4 1 ) 、( 4 2 ) 及( 4 3 ) 的积分条件为： 1 7 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 j a - d 0 a 0 ( a 为实数)( 为买数) ia 1 弋0 粤c o s h 2 a 0 - - 靼 o j 名， r c 。s h 2 a + ! c 。t l l - 2 s i n 矽c o s 矽s i n h 2 2 2222 。 同理可得： 东北师范大学硕士学位论文 ! 警j 删训2 警 ：三c o m 二笙c o s h 2 , 无+ 一1c o t l l - 2 s i n 口c o s 西s i n h 2 2 2222 ( 5 3 ) ! 警! 棚训2 警 ：三c o t h 二兰c o s h 2 2 1 c o t h - 旯 s i n 秒c o s 彩s i n h 2 2 ( 5 4 ) 2 222 从( 5 1 ) 一( 5 4 ) 式子的结果可以得出它们是不同于单模混合态的情况的，当0 值 取为 口= 2 后石时，三c 。t l l 等s i n p c 。s