（基础数学专业论文）齐性纤维丛somg上的诱导g结构.pdf

摘要 设m 是可定向的n 维黎曼流形，, 9 0 ( m ) 是m 上的与定向相符的单位正交标架 丛，g 是结构群s o ( n ) 的任一个给定的连通闭子群，7 r ：s o ( m ) g _ m 是一个齐性 纤维丛本文我们主要从两个方面研究齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导几何结构首先 是研究s o ( m ) g 上的诱导gxs o ( n ) 结构；其次是在黎曼流形m 具有g - 结构的前 提下，讨论s o ( m ) g 上的诱导gxg - 结构和g - 结构 第一章，简要介绍一般g _ 结构的相关背景知识，并提出本文所要讨论的问题 第二章，我们主要研究齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导gxs 0 ( 豫) 一结构首先介绍了 s o ( m ) g 上的自同态丛e n dt s o ( m ) g ，o ( s o ( m ) g ) 上的诱导丛铲o ( s o ( m ) a ) 以及o ( s o ( m ) g ) ( gxs 0 ( n ) ) 上的内积( 详见2 1 ) ；其次，定义了s o ( m ) g 上的 gxs o ( n ) 一联络亏a x s o ( n ) = 驴ov u ，其中v 。及v u 的具体定义见2 1 且定义张量 s o ( n ) 为 一2 ( 殁x s o ( n ) z ) = ( 严s o ( n ( x ，y ) ，z ) 一( 产s 。( n ( y ，z ) ，x ) + ( 于g s o ( 几( z ，x ) ，y ) ， 其中于a x s o ( n ) 为联络寺g x s o ( n ) 的通常的挠率张量并得到如下结论： ( 1 ) 齐性纤维丛s o ( m ) c 上的黎曼联络v 口：影g x s d ( n + s o ( n ； ( 2 ) 张量g x s o ( n ) 和丁g x s o ( n ) 互相确定，即有： 产s o ( n ( x ，y ) = - 虿j 第三章，在黎曼流形m 具有一个指定的g - 结构的前提下，我们运用与第二章同样的方法 进一步研究齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导g x g - 结构和g - 结构，并得到, s o ( m ) c 上 的这种诱导g - 结构和m 上原给定的g _ 结构的联络形式之间具有如下关系：( p r 墨) 4 u g = ( p r 2 i d ) + 叫g ，其中g ，u g ，p r g 和p r 挚的定义详见1 2 和3 2 关键词：内蕴挠率，极小联络，g s o ( n ) 一结构，g g 一结构，g 结构 a b s t r a c t l e tmb ea no r i e n t e dr i e m a n n i a nn - m a n i f o l da n d , 9 0 ( m ) b et h eo r i e n t e do r t h o n o r m a lf r a m eb u n d l eo v e rm gi sa na n yg i v e nc o n n e c t e da n dc l o s e ds u b g r o u po fs o ( n ) ， s u c ht h a t 万：s o ( m ) g _ mi sah o m o g e n e o u sf i b e rb u n d l e t h ei n d u c e dg - s t r u c t u r e s o nt h eh o m o g e n e o u sf i b r eb u n d l es o ( m ) gh a v eb e e ns t u d i e di nt h ef o l l o w i n gt w oa s - p e c t si nt h i sp a p e r ：f i r s t l y , w es t u d yt h ei n d u c e dg x s o ( n ) 一s t r u c t u r eo v e rs o ( m ) g ； a n ds e c o n d l yw ec o n s i d e rt h ei n d u c e dgxg - s t r u c t u r ea n dg s t r u c t u r eo v e rs o ( m ) g w h e na no r i e n t e dr i e m a n n i a nm a n i f o l dm i se q u i p p e dw i t hag - s t r u c t u r e i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h eg - s t r u c t u r e a l s o ，w e p u tf o r w a r dt h ep r o b l e mc o n s i d e r e di nt h ep r e s e n tp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w ef o c u so nt h ei n d u c e dgxs o ( n ) 一s t r u c t u r eo v e rh o m o g e n e o u s f i b r eb u n d l es o ( m ) g a b o v ea l l ，w eg i v ea ni n t r o d u c t i o no ft h ee n d o m o r p h i s mb u n d l e e n d t s o ( m ) g o v e r8 0 ( m ) g ，t h ei n d u c e db u n d l e 斧o ( $ o ( m ) a ) o v e rd ( s p ( m ) g ) ， a n da ni n n e rp r o d u c to no ( s o ( m ) g ) ( g s 0 ( n ) ) t h e n ，w ed e f i n dag xs o ( n ) 一 c o n n e c t i o na 8 亏g x s d ( 凡) = v 。o v u ，w h e r ev 。a n dv us e e 2 1f o rt h ed e t i a l ，a n dat e n s o r s d ( 哟b y 一2 ( 爵s o 仰y ，z ) = ( 严s o ( n ( x ，y ) ，z ) 一( 于g s o ( y ，z ) ，x ) + ( 俨s d ( z ，x ) ，y ) ， w h e r e 彳话s o ( 几) i st h eu s u a lt o r s i o no f 亏g s o ( f u r t h e r m o r e ，w eg e tt h a t ( 1 ) t h el e v i c i v i t ac o n n e c t i o no fh o m o g e n e o u sf i b r eb u n d l es o ( m ) g i s ： v 口_ 亏g s o ( n + x s o ( n ； ( 2 ) t h et e n s o rp s o ( n ) a n d 弘x s d ( 川d e t e r m i n ee a c ho t h e r t h a t i s 于g s d ( n ( x ，y ) = 嚣s d ( n x 一爵s d n y f i n a l y , w ed e f i n dt h ei n t r i n s i ct o r s i o no ft h eg x s o ( n ) 一s t r u c t u r ea u sc a x s o ( n ) = o x s o ( 礼) 一 ( s o ( n ) 石t * nq 而a n dt h em i n i m a lc o n n e c t i o nv 否= v 口一。i nt h i sr e s p e c t ，w e i i i m u s tc a l c u l a t et h et e n s o r g x s o ( 川，w h i c hi s ： 嚣 电7 g s 州弓 g x s o ( n ) f ( ，玩 i o l 专7 e g 。xs o ( n ) - d i 一三( 矿v 刍。昂一v 移既一 每弓 v ， 三( 陬，或】，既) 瓦， 一丢( 陈，矾】，鼠) 瓦 玩，昂】) = 一互1 于, a x s o ( n ) ( 既， w h e r ev ，鼠，或，咖s e e 2 1f o rt h ed e t i a l m e a i n w h i l e ，w eo b t a i nt h es p e c i f i ce x p r e s s i o n o ft h el e v i c i v i t ac o n n e c t i o nv qo fh o m o g e n e o u sf i b r eb u n d l e8 0 ( m ) g ，t h a ti s ： v k 昂= 三( 一1 v 刍。咖昂十一1 丌c ，e e n ，昂】) ， v 邑弓= 可历+ 主限，弓】v ， v 邑鼠= 一1 v 毛既一三( 臣，弓】，玩) 弓， v 刍。弦= 一三( 限，弓】，玩) 弓 i nc h a p t e rt h r e e ，i nc a s et h a tt h eo r i e n t e dr i e m a n n i a nm a n i f o l dm i se q u i p p e dw i t h a g - s t r u c t u r e ，w eg of u r t h e rt oc o n s i d e rt h ei n d u c e dg xg s t r u c t u r ea n dg - s t r u c t u r eo v e r h o m o g e n e o u sf i b r eb u n d l es o ( m ) gb ym e a n so ft o o l sc l o s e l yr e l a t e dw i t ht h es t u d yo f t h eg s o ( n ) 一s t r u c t u r e a tt h es a m et i m e ，w eg e tt h ef o l l o w i n gr e l a t i o nb e t w e e nt h e c o n n e c t i o no ft h ei n d u c e dg s t r u c t u r eo ns o ( m ) ga n dt h ec o n n e c t i o no ft h eg i v e ng - s t r u c t u r eo nm ：( p r 要) 4 u g = ( p r 2 i d ) + u g ，w h e r eu g ，叫g ，p r ；a n dp r s e e 1 2a n d 3 2f o r t h ed e t i a l k e yw o r d s ：i n t r i n s i ct o r s i o n ，m i n i m a lc o n n e c t i o n ，gxs o ( n ) 一s t r u c t u r e ，gxg s t r u c t u r e ，g - s t r u c t u r e i v 独创性声明和论文使用授权说明 独创性声明和论文使用授权说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 签名：趱为日期：塑洚昱 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保 签名：弛蓟导师签名： 文在解密后适用本授权书) 2 9 第一章绪论 第一章绪论 在这一章中，我们主要介绍g - 结构的相关背景知识，并提出本文要讨论的问题 1 1 背景知识 二十世纪初，微分流形上的g - 结构问题成为国内外广大数学家关注的对象，而且 它对物理学中电磁学的研究具有重要意义在微分几何中，佗维流形m 上的一个g - 结 构是指m 的线性标架丛l ( m ) 的一个约化g - 主丛( 详见1 2 ) ，其中g 是一般线性群 g l ( n ，r ) 的李子群这是1 9 5 3 年c h e r n 在文献 1 】中给出的定义 g - 结构的概念包括了许多流形上的其他结构比如辛结构，它是在一个流形m 上 指定一个非退化的2 形式u ( 等价于m 上的一个s p - 结构，或殆辛结构) ，附加额外条件 d o ；= 0 ，后者称为可积性条件还有复结构【2 ，3 ，到，g 2 一结构【5 ，6 一，切触结构【8 一，叶状结 构【3 ，1 0 ，1 1 ，1 2 】等而没有相应的可积性条件的结构称为“殆”结构，比如殆复结构，它是 一个偶数维流形的结构群a l ( 2 n ，r ) 约化为g l ( n ，c ) 的结构这样的约化是由一个满 足了2 = - 1 的c 。o 线性自同态了e n dt m 所唯一确定的更多关于g - 结构的一般 理论可参考文献 1 】， 1 3 】， 1 4 】 流形m 上的g - 结构的存在性与m 上的拓扑有关【1 5 】2 0 0 7 年，j c g o n z 磊1 e z d a v i l a 和f m a r t f nc a b r e r a 对于n 维可定向黎曼流形( m ，( ，) ) 上是否存在g 结构做 如下陈述：如果齐i 生纤维丛, q o ( m ) g = s p ( m ) x gs o c 是正交标架丛s p ( m ) 关于子群gcs o ( n ) 的作用的商丛，那么魁上存在g - 结构等价于存在整体截面玎： m _ 8 0 ( m ) g 记为m 上的g - 结构的内蕴挠率，它的消失等价于g - 结构的可 积性张量g 对g - 结构的调和性和定义在截面空间r o o ( s o ( m ) a ) 上的能量泛函等 的研究起着至关重要的作用，是研究g - 结构的基础( 参考文献【1 0 】) 。 $ o ( m ) g 作为可定向黎曼流形( 参见1 2 ) ，它上面存在一些自然诱导的几何结构 本文就是在参考文献 1 0 】的基础上，详细的讨论了齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导g s o ( n ) 一结构，g g 结构和g - 结构目前，作者还尚未见到有人做过这方面的研究 1 齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导g 一结构 1 2 问题的提出 设m 是n 维可定向黎曼流形，s o ( n ) 是几阶特殊正交群，对于任意的点m m ， 令 s o m ( m ) = m 在点m 处与定向相符的单位正交切标架) ， 定义 s o ( m ) = us o m ( m ) ， m e m 则s o ( m ) 是m 上的正交标架丛，它是一个s o ( n ) 一主丛，相应的丛投影记为7 r s o ( 竹、： s o ( m ) _ m ( 参考 1 6 】) 假定g 是s o ( n ) 的一个r 维连通闭子群，其李代数记为g ，则g 自然地右作用在 丛空间s o ( m ) 上，相应的g _ 轨道映射7 r g ：s o ( m ) _ s o ( m ) g 是一个g - 主丛，且 7 r s o ( n ) = 7 r0 丌g ，其中7 r ：s o ( m ) g m 是一个以齐性空间s o ( n ) a 为纤维的齐性纤 维丛( 详细参考文献 1 0 】) 考虑g 一主丛7 r g ：s o ( m ) _ s o ( m ) g ，因为t s o ( m ) 可分解为铅垂部分和水平 部分，即：t s o ( m ) = 可。一7 - 1 ，其中可= k e r7 r s o ( 咖再= k e r w ，u 是s o ( n ) 一主丛的联 络形式定义t = yo 咒= 7 r g 。可o7 r g + 一7 - 1 ，则7 r + v = 0 ，矶咒= 丁m 设s o ( n ) 为s o ( n ) 的李代数，它具有自然的不变内积( ，) 设m 是李子代数g 在 直o ( n ) 中的正交补，则有如下的g - 模直和分解s o ( n ) = gom 取m 的单位正交基 。：( 凸q ) m ，其中q 为双指标，且l a 掣，则它诱导了s o ( m ) 上的基本向 量场a 8 为 = 知卸e x 曲巧， 目 7 1 g + p ( o ；) = 7 1 g + 阳( a d ( g 。1 ) n 品) = a d ( g 一1 ) 7 r g 。p 9 ( n 品) ，v g g 定义映射砂：v m s o ( m ) 如下： ( 7 r g 。p ( o ；) ) = ( p g ，n 巧p ( u i ) “op ( ) ) ， 其中m s o ( m ) 及b 的具体定义见参考文献 1 0 】 2 第一章绪论 为叙述方便起见，约定= $ o ( m ) g ，否= g s o ( 礼) ，r = d i mg ，元= 丛一 r ，己为e i 关于m 上的黎曼联络的水平提升 命题1 2 1 设m 是可定向的黎曼流形，g 是s o ( n ) 的连通闭子群，则n 是瓦维 黎曼流形，且g 是o ( 元) 的连通闭子群( 参考 1 7 ， 1 0 】) 对于任意的点歹n ，令 纬( ) = 在点f 处的全体单位正交切标架) ， 定义 p ( ) = u 嗥( ) ， 每 则o ( n ) 是上的0 ( ) 一主丛，称为齐性纤维丛上的正交标架丛，相应的丛投影记 为丌d ( 元) ：o ( n ) _ 在g 是0 ( 元) 的连通闭子群的前提下，商空间d ( 元) g 是一个齐性黎曼流形设 o ( 冗) 为0 ( 元) 的李代数，在o ( 元) 上定义内积( - ，) ，使得( x ，y ) = t r a c e x y 。此内积可确 定d ( 元) g 上的一个双不变黎曼度量，使之成为正规齐性黎曼流形 作为0 ( 瓦) 的连通闭子群，g 自然地右作用在丛空间o ( n ) 上，相应的轨道空间记 为o ( n ) g 设u 5 ：o ( n ) _ o ( n ) g 是自然投影( 即轨道映射) ，则确立了o ( n ) g 上的一个g - 主丛，且丌d ( 元) = 亓o ，其中牙：o ( n ) g _ 是一个以0 ( 元) g 为纤维 的纤维丛显然，0 ( 元) 自然地左作用在光滑流形d ( 元) g 上，因而有相配丛 d ( 元) ：召= o ( n ) o ( 元) 0 ( 元) g _ 命题1 2 2 令 圣( 【( ea g ) 】) = ，咯( f 4 ) ，v ( ea g ) b ，a 0 ( 元) ， 则圣：b _ o ( n ) g 是一个纤维丛同构 定义1 2 3 设( 只，必，仉，g t ) ( i = 1 ，2 ) 分别是必上的 一主丛，如果存在一个 光滑映射西：r _ b 和李群同态咖：g 1 _ g 2 ，使得圣( p g ) = 圣) 矽( 夕) ，对任意的 p p 1 ，g g l ，则称圣：只一b 是一个主丛同态 3 齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导g 一结构 特别地，如果丛同态圣：p 1 一尸2 是嵌入，且咖：g 。一g 2 是单同态，则称主丛 ( p 1 ，m 1 ，7 1 1 ，g 1 ) 是( 岛，m 2 ，7 f 2 ，g 2 ) 的子主丛 更特别地，如果尬= ，且诱导映射圣：m 1 _ m 2 是恒同变换，则称p l 的结构 群可约化为g 2 ，此时子丛( p l ，尬，丌1 ，g 1 ) 称为主丛( 岛，m 2 ，7 r 2 ，g 2 ) 的约化丛 令 卢： 既，砭) ： e i ) s o ( m ) ，既p g ) ：7 r g 堋( 畦( 阳) ) ，l q 掣一r ， l i 礼，9 g ，p g ， ( 1 - 1 ) 则尸是上的g - 主丛，d ( 元) 一主丛o ( n ) 可约化为g - 主丛p ，因而具有g _ 结构 ( 详见2 2 ) 定义映射孑：_ p ( ) g ，使得y ( p g ) = 略( 西，其中歹e p ，且丌d ( 元) ( 刃= p g ，则孑 是n 上的光滑截面，且p = 吆1 ( 孑( ) ) 齐性纤维丛上的g 一结构与主丛o ( n ) 的配丛1 3 = o ( n ) o ( 元) 0 ( 元) g 的整体 截面之间有如下关系： 命题1 2 4 主丛丌d ( 元) ：o ( n ) _ 的结构群可以约化为其闭子群g 的充分必要条 件是相配丛而：召一具有整体截面孑：n o ( n ) g 证明必要性：假定0 ( 元) 可约化为其闭子群g 令( p ，g ) 为其约化丛，则存在 单射f ：尸_ p ( ) 如e 矿在p 的同一条纤维上，则存在歹g ，使得f = 歹虿 因此7 c 否( f ( f f ) ) = ( 厂( 刃劲= ( ，( 刃) ，即o ，作用在p 的每一条纤维上都是常 数则诱导映射孑：n _ o ( n ) g ，使得 5 ( p g ) = ( ，( 刃) ，其中p g = 7 r d ( 元) ( ，( 刃) 而 亓o y ( p g ) = 亓。孑( 丌0 ( 元) ( ，( 刃) ) ，亓o ( ，( 刃) = 丌0 ( 元) ( 厂( 回) ，故亓。孑= i d ，即孑是o ( n ) g 的一个截面 充分性：给定一个整体截面孑：n _ o ( n ) g ，令 p = 万p ( ) ，丌o ( 劫= 孑( 7 r 0 ( 元) ( 动) ) ， 即声= 丌占1 ( 孑( ) ) 对任意的点p g ，因7 r 舌1 ( 孑( p g ) ) 非空，故存在歹p ，使得 丌0 ( 元) ( 刃= p g 设曩为o ( n ) 同一条纤维上的两点，如f p ，则歹7 p ，当且仅当存 4 第一章绪论 在歹g ，使得= 歹玩这是因为( 刃= ( 万7 ) 当且仅当存在歹g 使得= 歹歹 因此易证p 是o ( n ) 的闭子流形，且是p 嵌入在o ( n ) 上的主纤维丛 口 定义1 2 5 一个标架f o ( n ) 称为g - 标架，如果歹孑o7 r o ( 元) ( 刃，或等价地 p pcp ( ) 要研究齐性纤维丛上的诱导g - 结构，首先要解决的问题是确定g 结构的内蕴 挠率g ，它的消失等价于g - 结构的可积性内蕴挠率g 是刻划g - 结构几何的很重要 的基本不变量，比如它对g - 结构的调和性的研究及对定义在截面空间f o o ( o ( n ) g ) 上 的能量泛函等的研究起着极为重要的作用因此，它是研究g - 结构的基础在文献 1 0 】 中， j c g o n z 五1 e zd 磊v i l a 和f m a r t f nc a b r e r a 是通过m 上的黎曼联络来确定内蕴挠 率的，而我们要讨论的黎曼流形上的黎曼联络还未知，故不能直接用那种方法，必须 另辟新径由于齐性纤维丛具有g - 结构，故存在g 一联络v g ( 详见2 2 ) 先通过v g 定义一个张量f g ，以它为桥梁计算出上的黎曼联络之后，再求g - 结构的内蕴挠率， 具体参见2 3 特别是，在m 具有一个指定的g - 结构的前提下，上具有自然诱导的 gxg - 结构和g 一结构于是一个自然的问题是：m 上的g - 结构和s o ( m ) g 上的诱导 g 一结构之间有什么确定的关系呢? 本文将通过研究m 上的g 一联络形式和s o ( m ) c 上的诱导g - 联络形式之间的密切相关性来确定上述结构之间的关系，详见3 2 5 第二章齐性纤维丛s o ( m ) g 上的g s o ( 扎) 一结构 第二章 齐性纤维丛s o ( m ) g 上的g s o ( n ) - 结构 在这一章中，我们首先介绍齐性纤维丛n = s o ( m ) g 上的自同态丛e n d 丁，d ( ) ( g ) s o ( n ) ) 上的诱导丛亓+ o ( n ) 以及此诱导丛上的内积；其次是构造并计算齐性纤维丛 上的gxs o ( n ) 一联络 2 1 预备知识 ( 一) 齐性纤维丛s o ( m ) g 上的自同态丛e n dt n o ( m ) g 对任意的p g n ，令e n d 耳g = 切空间上的全体线性变换的集合) ，定义 e n d t n = ue n d 乃g v ，一 p g e n 定义映射丌e ：e n d 丁_ ，使得对任意的啪e n d 0 g 都有丌( 饰g ) = p g ，则在 e n d 丁上存在光滑结构，使得e n d 丁成为上的自同态丛【2 】 它同构于相配向量 丛万o ( 元) ：o ( n ) x o ( a ) e n dn 元_ ，其中0 ( 瓦) 以通常的方式左作用于e n dl i 跫元上，即 ( a 妒) ( z ) = ( a d d ( 元) ( 4 ) 妒) z = a 妒( a 一1 z ) ，v a 0 ( 元) ，妒e n d 元，z r 元，故存在丛 同构 西：o ( n ) x o ( a ) e n d 瓞凡_ e n d t ， 使得 瓯。巧乱：圆u j ) 】竺巧烈u t ) 5o 及) = 妒p g ，( 2 - 1 ) 即： ( e 妒) 】竺盼1 ，其中p g n ，万丌6 & ) ( p g ) 在本文中，齐性纤维丛n 上存在百结构，即p ( ) 可约化为p ，故结构群0 ( 元) 可 约化为其闭子群g 命题2 1 1 e n dt n 三o ( n ) x o ( 元) e n dr 元三声o e n di r 元 令 o ( n ) = 妒p g e n dt n ，( 怖g x ，y ) + ( x ，妒p g y ) = 0 ，p g n ，x ，y 丁) ， 7 齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导g 一结构 则o ( n ) 是e n d 丁的子丛，且o ( n ) 三o ( n ) d ( 元) o ( 元) 三p oo ( 元) ，其中o ( 元) 是0 ( 瓦) 的李代数 李代数o ( 元) 具有自然的不变内积( ，) 。，设百是g 的李代数，示是李子代数百在 o ( 瓦) 中的正交补，则有如下的g 一模直和分解o ( 元) = 虿。试故有o ( n ) = 菇。示子，其中 酷= p o 虿，而孑= p 否而由( 2 1 ) 式可知：当g 话时，n 虿；当啪示子 时，a 而 ( 二) o ( s o ( m ) g ) a 上的诱导丛亓+ o ( s o ( m ) g ) 命题2 。1 2 设茅+ o ( n ) 是子丛o ( n ) 通过亓拉回到o ( n ) g 上的诱导丛，其中元素 是配对( 痧g ，g ) ，且亓( 筘g ) = p g ，g ( o ( ) ) p g 令【晡o ) 兰( 粥，妒膏( 面) ) ，其中蠊( 面) = a j ip ( u , ) 。o 以) ，a j i = 一a i j ，则易证 o ( n ) 否d ( 元) 和亓+ o ( n ) 是o ( n ) g 上的丛同构 由直和分解式o ( 元) = 百。丽得亓+ o ( n ) = 砧( ) om o ( n ) ，其中g o ( n ) = o ( n ) o 百， 而p ( ) = o ( n ) o 丽 定义 ( ( 粥，嘞g ) ，( 粥，如) ) = ( 仰g ，奶g ) = ( a ，6 ) ，( 2 2 ) 其中g = t 烈钆i ) 5o 烈) ，g = 6 f 七及u 七) 。o 双u c ) ，a j t = 一a 巧，6 f 彪= 一b 胁 事实上， ( ( 粥，怖g ) ，( 粥，奶g ) ) = ( 妒p g ，略g ) = ( t 烈仳t ) 5o 及u j ) ，b l kp ( u 血) 。 烈u 1 ) ) = ( ( t ) ，( 6 f 凫) ) ( 敢u t ) 5 ，反乱七) 。) ( 敢) ，反m ) ) = ( ( 哟t ) ，( b t k ) ) g i k 9 j l = ( ( n j i ) ，( b i ) ) = t r a c ea b t 关于这个度量，分解式亓+ o ( n ) = 弘( ) o 示。( ) 是正交直和分解 ( 三) o ( s o ( m ) g ) ( gxs o ( n ) ) 上的内积 齐性纤维丛上有自然诱导的黎曼度量( ，) 、r ，相应的黎曼联络v 。在正交标架丛 o ( n ) 上确定的联络形式记为u 。，由u 口可以定义切丛t o ( n ) 的如下直和分解： r 第二章齐性纤维丛$ o ( m ) g 上的g s o ( n ) 一结构 t o ( n ) = k e r 丌d ( 元) + o k e rw q 此分解式又确定了直和分解t o ( n ) c = yo7 - i ，其中y = 7 r g 。( k e r n o ( a ) 。) ，7 - 1 = 7 1 g + ( k e r w q ) ，贝0 亓+ v = 0 ，并+ 7 - = t 对任意的a 示，定义o ( n ) 上的基本向量场a + 为 略= 罢i s _ 。f e x ps 口k e r o ( ) 栖昂p ( ) ，呖p ( ) 定义蜘：y _ f f * o ( n ) ，如下： 矽矽( 丌g 。声( 略) ) = ( 面，a j tp ( u t ) 。及) ) = 对1 ，呖p ( ) 映射如可以延拓为：t o ( n ) c _ f f l o ( n ) ，使得 ( 日) = 0 ，咖( y ) = 如( y ) ，v h 7 - 1 ，v 1 夕， 则是o ( n ) g 上示d ( ) 值的1 一形式，并且7 - l = k e r 西 由此定义o ( n ) g 上的黎曼度量( ，。) d ( ) 届如下： ( a ，b ) o ( u ) o = ( 并+ a ，亓b ) + ( 砂哥a ，矽移b ) v a ，b t o ( n ) g ( 2 - 3 ) 命题2 1 3 在上述定义的内积下： ( 1 ) t o ( n ) g = yo7 - l 是正交直和分解 ( 2 ) 瓦砸：_ 耳g 是线性等距同构 ( 3 ) 并是具有全测地纤维的黎曼淹没 注记2 1 4 结论( 1 ) 和( 2 ) 是显然的，结论( 3 ) 的证明可参见文献 2 】， 1 8 】，和 1 9 】 2 2 构造齐性纤维丛s o ( m ) a 上的g s o ( 佗) 联络 如果黎曼流形上存在一个g 一结构，即正交丛o ( y ) 可约化为g - 主丛p ，那么 上就存在一个g 联络下面用自然的方法引入一个g - 联络v g ，它由m 上的黎曼 联络v u 确定 9 齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导g 一结构 a s o ( n ) 右作用在i r f * 8 0 ( m ) 上： ( p g ，q ) a = ( p g ，q 口) ( ( p c ，g ) ，v ) 一( ( p c ，劢，功当且仅当存在a s o ( n ) ，使得 ( ( p c ，q - ) ，v - 3 = ( ( p c ，q n ) ，a ) 引理2 2 1 有下列向量丛的等同关系： 7 - t 三7 r 4 t m 三丌+ ( s o ( m ) s d ( n ) 廷n ) 兰( 7 r + s o ( m ) ) s d ) 匙n ， 其中 7 r + ( s o ( m ) s d ( 竹) r 仃) = ( p g ， ( 口，钉) 】) ；p ，q s o ( m ) ，z r s o ( n ) ( p ) = 7 r s o ( n ) ( g ) ，v 砭礼 ， ( 7 r s o ( m ) ) s d ( 馆) r 仃= f ( g ，g ) ， ) 】；p ，qes o ( m ) ，z r s o ( 托) ( 夕) = 7 r s o ( 。) ( g ) ，ver n 证明对任意的v 丁m ，设西为v 关于m 上的黎曼联络的水平提升，则西 h ，( p g ，v ) 7 r + 丁m 如下图 可卜( p g ，v ) hv 定义妒：7 r + t m _ 冗为： h 上7 r + 丁m 旦丁m 上j， n 上m兰om 妒( p g ，口) = 可，v ( p g ，v ) 7 r * t m 易证是上的丛同构，即7 - i 三丌+ t m 再由参考文献【2 3 】易知7 - 1 兰7 r * 丁m 三7 r * ( s o ( m ) x s o ( n ) 酞n ) 定义映射 1 0 西：( 丌s o ( m ) ) x s o ( n ) r n 一i t * ( s o ( u ) x s o ( n ) r n ) 第二章齐性纤维丛s o ( m ) g 上的gx s 0 ( n ) 一结构 如下： 因为 西( ( ( p g ，g ) ， ) 】) = ( p g ，【( 口，u ) 】) = ( p g ， ( 口，口) 】) ， v 【( ( p g ，g ) ，秒) 】( 丌4 s o ( m ) ) x s o ( n ) 廷“ ( 2 - 4 ) 垂( 【( ( p g ，q - ) ，v - ) 】) = ( p g ， ( 玩v - ) 】) = ( p g ， ( g ，可) 】) = 圣( ( ( p g ，口) ，口) 】) ， v 【( ( p g ，g ) ， ) 】， ( ( p g ，q - - ) ，司】( 万4 s p ( m ) ) x s o ( 铭) r n 所以定义式( 2 4 ) 是合理性的 定义线性运算如下： ( p g ， ( g ， ) ) + ( p g ，【( g ，观) 】) = ( p g ( g ， 0 1 + 秽2 ) 】) ， ( ( p g ，g ) ，钉1 ) 】+ ( ( p g ，g ) ，u 2 ) 】= ( ( p g ，q ) ，v l + 口2 ) 】 则有向量丛同构： ( 7 r + s o ( m ) ) x s o ( n ) 1 1 n 三7 r + ( s o ( m ) x s o ( n ) r n ) 引理2 2 2 y 兰m s o ( m ) ( 详细请参考 1 0 】) 口 定理2 2 3 ( 1 ) 丁= vo7 - 1 三m s o ( m ) o ( i t * s o ( m ) ) x s o ( 竹) 酞“ ( 2 ) o ( n ) 可约化为g - 主丛尸= 8 0 ( m ) x 丌s o ( m ) ，即 丁= px o ( mo l r n ) 设主丛p ( ) 和声上的联络形式分别为u 口：t o ( n ) _ o ( 元) 和u 舀：丁声_ 虿，其 中。g 和石= ( p r ；) + u 分别为主丛8 0 ( m ) 和主丛7 r 4 8 0 ( m ) 上的联络形式，它们分别诱 导其配丛m s o ( m ) 和( 丌+ s o ( m ) ) x s o ( 几) r n 上的联络v 。和v 击 1 1 齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导g 一结构 定义 寺否：v cov u ， 则寺。是上的一个否联络设通常的挠率张量于。为： ( 2 - 5 ) 亍o ( x ，y ) ：亏霎y 一寺事x 一 x ，y 】，vx ，y t n ( 2 6 ) 定义张量g 如下： 一2 ( 露y ，z ) ：( 尹( x ，y ) ，z ) 一( 严( z ) ，x ) + ( 严( z ，x ) ，y ) ， ( 2 7 ) 则有如下结论： ( 1 ) 黎曼流形n 上的黎曼联络v q = 亏。+ 尹； ( 2 ) 张量o ( ) ( 3 ) 张量和严互相确定，即有： 于。( x ，y ) ：季x 一霞y 证明( 1 ) 由 x ，y 】= v 支y v 叉和( 2 - 7 ) 式司得： 一2 ( 露y z ) ：( 于舀( x ，y ) ，z ) 一( 严( y z ) ，x ) + ( 严( z ，x ) ，y ) ：( 亏雯y 一亏事x 一 x ，z ) 一( 寺事z 一亏雾y 一 z 】，x ) + ( 亏宝x 一亏雯z 一 z ，x 】，y ) ：( 寺雯yz ) 一( 亏事x ，z ) 一( v 支z ) + ( v x ，z ) 一( 寺事z ，x ) + v 宝r , x ) + ( v z ，x ) 一( v 曼x ) 十( 亏宝x ，y ) 一( 寺霎z ，y ) 一( v 曼x ，y ) + ( v l , z ，y ) ：一2 ( v 支r 一亏雯y z ) ， 即有v g ：亏o + p ( 2 ) 由( 1 ) 得： 第二章齐性纤维丛s o ( m ) g 上的g s o ( n ) 一结构 ( 露y z ) = ( v 支y 一亏雯y z ) = ( v 支z ) 一( v 殳z ) = x ( kz ) 一( v 支z ，y ) 一x ( kz ) + ( 亏殳z ，y ) 即g o ( ) = - v 支z v 殳z ，y ) = 一( f 戛互y ) ， ( 3 ) 由( 2 7 ) 式和( 1 ) 可得： 一2 ( 霞z ) ：( 严( x ，y ) ，z ) 一( 产( z ) ，x ) + ( 尹( z ，x ) ，y ) ：( 尹( x ，y ) ，z ) 一( 亏事z 一亏雾y 一【刁，x ) + ( 亏宝x 一亏雯z 一 z ，x 】，y ) ：( 严( x ，y ) ，z ) 一( 亏事z ，x ) + ( 影雪kx ) + ( v z ，x ) 一( v 羔x ) + ( 亏宝x ，y ) 一( v 殳z ，y ) 一( v 曼x ，y ) + ( v 支z ，y ) ：( 严( x ，y ) ，z ) + ( 爵z ，x ) 一( 露x ) 一( 露x ，y ) + ( 霞z ，y ) ：( 严( x ，y ) ，z ) 一( 爵x ，y ) 一( 霞rz ) ， 即有于o ( x ，y ) = 爵x 一薛y 口 主丛声上的联络诱导了任何相配丛上的一个联络，特别是切丛t n 以这种方式产生 的线性联络影。称为与声相容的联络，与声相容的联络也称为容许联络 一个给定的百结构可能有许多不同的容许联络，而且这些联络可能有不同的挠率 尽管如此，我们还是能够用一下方法引入g - 结构的内蕴挠率的概念如下： 任意给定一个g - 联络v a ，其相应的挠率记为尹令 ，：一( ) 石t + no 示， ( 2 8 ) 则可以验证驴与g - 联络v a 的选取无关，因而仅由百结构确定 定义2 2 4 上述定义的张量6 称为n 上否一结构的内蕴挠率，由v o = v q 一驴 确定的百联络v o 称为极小联络 命题2 2 5 极小联络v o 是上唯一的一个满足条件o ：v q v o t + no 试 的g - 联络( 参考 1 8 】) 13 齐性纤维丛s o ( m ) g 上的诱导g 一结构 定义2 2 6 如果内蕴挠率g = 0 ，则称上的g 一结构是可积的( 或平行的) 注记2 2 7 在g = 0 的情况下，的黎曼和乐群包含在g 中( 参考 2 0 ， 2 1 】) 2 3 计算齐性纤维丛s o ( m ) c 上的g xs 0 ( 佗) 一联络 设歹= + ：= 玩+ 琶) = 玩) ：一u _ p 是局部