（基础数学专业论文）理想拓扑空间的若干问题以及seqlindelof空间的研究.pdfVIP

摘要 理想拓扑空间是在一般拓扑空间中导入理想而形成的新拓扑空间，它既有与 一般拓扑空间相似的性质，又有独特的性质 覆盖性质的研究是一般拓扑学的重要课题之一，我们可用广义开集替换开集 的方法引入拓扑空间的新覆盖特征，进而可研究其特征的刻划以及与广义分离性 的关系 在本文中，我们在理想拓扑空间中定义一类新的开集：弱一，一开集，得到 了它的一些性质，并讨论了弱一i 一连续映射并且，我们在理想拓扑空间中引 入一连通空间，研究了它的特征，得到了它的一些性质此外，用序列开集替换 开集的方法引入s e q l i n d e l 6 f 空间，得到了它的一些性质以及s e q - l i n d e l 6 f 性与广 义分离性的关系 全文分为四章 第一章，我们介绍相关的背景知识 第二章，我们引入弱一j 一开集，弱一i 一连续映射的概念，研究了它们的性 质，主要结果是：定理2 3 6 ，定理2 4 4 ，定理2 4 9 第三章，我们引入宰一连通空间，并研究它的特征和性质，主要结果是：定理 3 3 5 ，定理3 3 1 5 ，定理3 5 4 第四章，我们引入s e q l i n d e l 6 f 空间的概念，给出了它的一些性质，主要结果是： 定理4 3 4 ，定理4 3 8 ，定理4 4 1 0 ，定理4 4 1 2 关键词：理想拓扑空间；弱一i 一开集；弱一i 一连续映射；一连通空间； s e q l i n d e l 6 f 空间；序列连续映射 a b s t r a c t ai d e a lt o p o l o g i c a ls p a c ei san e wt o p o l o g i c a ls p a c e ，w h i c hi st h eg e n e r a l t o p o l o g i c a ls p a c e d e d u c e df r o mi d e a l i th a ss i m i l a r p r o p e r t i e s w i t h g e n e r a l t o p o l o g i c a ls p a c ea n dh a si t ss p e c i a lc h a r a c t e r i z a t i o n s t h er e s e a c ho fc o v e r i n gp r o p e r t yi sa ni m p o r t a n ti s s u ef o rg e n e r a lt o p o l o g y ，t h e r e s e a r c hm e t h o do fr e p l a c i n go p e ns e t sw i t hg e n e r a l i z e do p e ns e t si se m p l o y e dt o i n t r o d u c et h en e wc o v e r i n gc h a r a c t e r i s t i c s w ec a ns t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i c sa n dt h e r e l a t i o n s h i p sw i t ht h eg e n e r a l i z e ds e p a r a t i o na x i o m s i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c en e wo p e ns e t s ：w e e k l y 一o p e ns e t s w eo b t a i nt h e i r p r o p e r t i e sa n dd i s c u s sw e e k l y - f l - ic o n t i n u i t ym a p p i n g s m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c e - c o n n e c t e ds p a c e si ni d e a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，s t u d yt h e i rc h a r a c t e r i z a t i o n sa n d o b t a i ns o m ep r o p e r t i e s i na d d i t i o n ，t h er e s e a r c hm e t h o do fr e p l a c i n go p e ns e t sw i t h g e n e r a l i z e do p e ns e t si se m p l o y e dt oi n t r o d u c et h ec o n c e p to f s e q l i n d e l vs p a c e s w e g i v e t h e i rc h a r a c t e r i z a t i o n sa n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ep r o p e r t yo f s e q - t i , , d e t 6 fs p a c e sa n dt h eg e n e r a l i z e ds e p a r a t i o na x i o m s t h i sp a p e ri sp a r t e di n t of o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h er e l a t e dk n o w l e d g eo fb a c k g r o u n d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fw e e k l y f l - io p e ns e t sa n d w e e k l y - p ic o n t i n u o u sm a p p i n g s ，g i v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n s t h em a i nr e s u l t sa r e o b t a i n e di nt h i sc h a p t e ra sf o l l o w s ，t h e o r e m2 3 6 ，t h e o r e m2 4 4 ，t h e o r e m2 4 9 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f - c o n n e c t e ds p a c e sa n ds t u d y t h e i rn a t u r ea n df e a t u r e t h em a i nr e s u l t sa r eo b t a i n e di nt h i sc h a p t e ra sf o l l o w s ： t h e o r e m3 3 5 ，t h e o r e m 3 3 15 ，t h e o r e m 3 5 4 i nt h ef o u rc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f s e q - l i n d e l s f s p a c e sa n dg i v e s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n s t h em a i nr e s u l t sa r eo b t a i n e di n t h i sc h a p t e ra sf o l l o w s ： t h e o r e m4 3 4 ，t h e o r e m4 3 8 ，t h e o r e m 4 4 10 ，t h e o r e m4 4 12 k e y w o r d s ：i d e a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ；w e e k l y - b io p e ns e t s ；w e e k l yf l - i c o n t i n u o u sm a p p i n g s ；s e q - l i n d e l 6 fs p a c e s ；一c o n n e c t e ds p a c e s ； s e q u e n c ec o n t i n u o u sm a p p i n g s i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 潞椿日期：二f a 年支月) 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名：衫砂夸擒 日期：知l 。年j 月2 1 日 导师签名争a 己k 日期：2 - ol 。年f 月z f 日 第一章绪论 1 1 研究背景 一般拓扑学是近代数学的一个重要分支，它的方法和结果不仅深刻地影响了其 他数学分支，而且在其他学科中得到了日益广泛的应用 理想拓扑空间是在一般拓扑空间中导入理想而形成的新拓扑空间，它既有与 一般拓扑空间相似的性质，又有独特的性质k u r a t o w s k t ，j 和v a i d y a n a t h a s w a m y t z ， 在一般拓扑结构中引入了理想结构，产生了理想拓扑空间，于是研究理想拓扑空 间成为了重要课题 1 9 9 0 年，j a n k o v i 6 与h a m l e t t m 在理想拓扑空间中引入了，一开集，1 9 9 2 年， m e a b d 等h 1 对，一开集与，一连续映射进行了研究1 9 9 6 年，d o n t c h e v t s l 介绍了 p r e i 一开集及，一连续映射的分解最近，e h a t i r 与t n o i r i 把研究范围扩展到 口一i 一开集，p j 一开集，s e m i j 一开集，6 一，一开集【6 1 2 】 本文第二章在理想拓扑空间中定义了一类新的开集：弱一i 一开集，得到了 它的一些性质，并讨论了弱一，一连续映射的等价刻画 连通空间是重要的拓扑空间2 0 0 8 年，e e k i e i 和t n o i r i t n ，引入了幸一极不连通 理想拓扑空间的概念，研究了它的性质受此启发，本文第三章在理想拓扑空间中， 引入了幸一连通空间的概念，研究了它的特征，得到了它的一些性质此外，定义 了掌一连通子集和一连通分支的概念，研究了它们的性质 覆盖性质的研究是一般拓扑学的重要课题我们可用广义开集替换开集的方 法引入拓扑空间的新覆盖特征，研究其刻划以及与广义分离性的关系 1 9 9 7 年，彳c s t s z 6 r t 川以一类广泛的集值函数为基础定义了广义开集，统一了前 人对口开集n ”、半开集n ”、开集n 和准开集，的定义序列开集是一类广义开集 【1 9 】，2 0 0 2 年a f e d e l i 和彳l ed o n n e 利用序列开集定义了序列连通性1 2 0 ，2 0 0 4 年林寿 证明了序列连通性可刻画为连通度量空间的连续的序列覆盖映像 2 q ，由此引起我 们对序列开集的关注 本文第四章用序列开集替换开集的方法引入s e q l i n d e l 6 f 空间的概念，给出了 它的等价刻画，并讨论它与s e q 一正公理、s e q 正则公理、s e q 正规公理等广义分 离性之间的关系 1 2预备知识 本文约定：不预先假设空间满足任何分离性公理，映射是连续的满映射 本文未定义的概念参见文献 2 2 下面给出本文涉及的定义及引理 定义1 2 设( x ，t ) 是拓扑空间，i 是x 的子集族。 非空集i 称为拓扑空间( x ，f ) 的理想，若满足：( 1 ) a ，bca ，则 b i ：( 2 ) a i ，b i ，贝i j 彳ub i 定义1 2 2拓扑空间( x ，f ) 的子集a 称为 ( 1 ) p r e 一开集【i l 】，若a c i n t ( c l ( a ) ) 。 ( 2 ) 半开集1 ，若aci n t ( c l ( a ) ) 。 ( 3 ) 口一开集【1 5 1 ，若aci n t ( c l ( i n t ( a ) ) ) 。 ( 4 ) 一开集【1 7 1 ，若acc t ( z n t ( c l ( a ) ) ) 。 ( 5 ) b - 开集f 2 3 1 ，若acc l ( i n t ( a ) ) u i n t ( c l ( a ) ) 定义1 2 3 设( x ，f ，) ，( y ，仃，d 是理想拓扑空间，f ：x 专y 。 ( 1 ) 厂是宰一，一连续映射【5 】，若y 中的任一开集u 的原像厂1 ( 【，) 是它的自稠密 集。 ( 2 ) 称几乎一，一连续映射【3 1 ，若y 中的任一开集u 的原像厂1 ( u ) 是几乎 一，一开集 定义1 2 4 t ，l 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，vacx ，若aca ，则彳称x 为的 一自稠密集。 定义1 2 5 【2 4 】若u 是理想拓扑空间( x ，f ，) 的子集，则( u ，f i c ，毛) 称为理想拓 扑空间的子空间，其中易= ，ii ，u = i n ui i ) 在u 上。 定义1 2 6 【：s 】 若理想拓扑空间( x ，f ，) 中有ac u cx ，那么对于理想拓扑空 间的子空间( u ，f i u ，毛) ，彳( 毛，f i ( ，) = a ( ，r ) n u 。 定义1 2 7 t ：6 】设理想拓扑空间( 义，f ，) 中有ac u cx ，那么c i ；( a ) = au 彳( 毛，f i ( ，) 。 定义1 。2 8 设映射f ：x 专】， ( 1 ) 厂是连续的当且仅当】，中的任一开集u 的原像厂- 1 ( u ) 是x 的开集。 ( 2 ) 厂称为序列连续映射”，若对任一x x ， x 。) 是收敛于x 的序列，则 ( f ( x 。) 是收敛于f ( x ) 的序列 ( 3 ) 称为序列闭映射，若对任一序列闭集vcx ，则f ( v ) 是】，的序列闭集 定义1 2 9n 1 设x 是拓扑空间，p 是x 的子集 2 ( 1 ) 若 x 。) 是x 中收敛于x 的序列，称 x 。) 是终于p 的，若存在所n ，使得 矗：刀朋) u x ) c p ( 2 ) j p 称为x 中点x 的序列邻域，若任一收敛于x 的序列终于p ( 3 ) p 称为x 的序列开集，若p 是它的任一点的序列邻域 ( 4 ) 尸称为x 的序列闭集，若x 尸是x 的序列开集 显然，开集是序列开集，闭集是序列闭集，并且序列开集的任意并是序列开集， 序列闭集的任意交是序列闭集 定义1 2 1 0 n 们对于空间x ，a c x ，彳的所有包含彳的序列闭集的交称为彳 的序列闭包，记为c ，彳 引理1 2 1 1 【3 】设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，其中彳，b 是x 中任意两个子集， 则有下列命题成立，从而a 是对于f 。( ，f ) 的一个k u r a t o w s k i 闭包算子。 ( 1 ) c l ( ) = f 2 j ； ( 2 ) a c a ( 彳) ： ( 3 ) a u b ) = c ( a ) u c l ( b ) ； ( 4 ) c l 。( c t ( 彳) ) = c l 似) 。 引理1 2 12 【3 】设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，么，b 是x 的子集，下列结论成立。 ( 1 ) 若acb ，则a cb 且c l ( 么) cc l ( b ) ； ( 2 ) a = c l ( a ) c c l ( a ) 且c i ( 彳) c c t ( a ) ； ( 3 ) ( a ) ca ； ( 4 ) 若u f ，贝una c ( uf i 彳) 。 引理1 2 13 【1 设4 是理想拓扑空间( x ，f ，) 的子集。 ( 1 ) 若u f ，则u nc f 。( 么) cc + ( u n 么) ； ( 2 ) 若a c u c x ，则c c ，( a ) = c i 。( a ) n u 。 定理1 2 14 口们设( x ，f ，j ) 是理想拓扑空间，vacz ，若a ca ，则 ( 1 ) a = ( 7 ( 彳) = c l ( a ) ：( 2 ) i n t ( x 彳) = n t ( x 4 ) 。 引理1 2 15 3 0 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，且acx ， ( 1 ) 若i = p ( x ) ，则a 。= o 。 ( 2 ) 若i = g ) ，则a + = e l ( a ) 。 引理1 2 16 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，vacx ，则 ( 1 ) i n t ( x ) = x ，i n t + ( a ) = a ；c l ( x ) = x ( 2 ) i n t ( a ) ci n t + ( 彳) cc l 。( 彳) cc i ( a ) ( 3 ) c l ( 彳) = x i n t ( x a ) 引理1 2 17 1 对于空间x ，acx ，x x ，则xeq 么当且仅当对x 的任一序列 邻域u ，满足以n 彳a 引理1 2 18 ，设x 是一个拓扑空间，彳是x 的序列开集( 序列闭集) ，则 彳n 】，是子空间】，的序列开集( 序列闭集) 4 第二章弱，一开集与弱一，一连续映射 2 1 引言 随着一般拓扑学的发展，把拓扑结构和其它数学特征结合起来进行研究是一 项很有意义的工作k u r a t o w s k i 和v a i d y a n a t h a s w a m y 2 j 在拓扑结构中引入了理想 结构，产生了理想拓扑空间19 9 0 年，j a n k o v i d 与h a m l e t t t 3 在理想拓扑空间中引 入了，一开集m e a b d e l m o n s e f , e f l a s h i e n h l 则对，一连续映射进行了研究后 来，e h a t i r 和t n o i r i 则研究口一i 一开集，p r e i 一开集，一i 一开集本文引入了 弱一i 一开集和弱一j 一连续映射，讨论它们的一些性质 设( x ，f ) 是拓扑空间，i 是x 的子集族集i 称为拓扑空问( x ，r ) 的理想，若满 足：( 1 ) a ，bca ，则b i ：( 2 ) a i ，b i ，则么ub j 带有理想，的拓扑空 间( x ，f ) 称为理想拓扑空间，记为( x ，f ，j ) 设ac x ，令a ( ，) = 缸x i u r 、a 仨i ，其 中u 是x 的任何开邻域 ，则彳( d 称为相对于j 和f 来说的a 的局部函数，在不引 起混淆的情况下，4 ( ，) 简记为a ( 彳) = au 彳则定义了一个对于f 的 k u r a t o w s k i 闭包算子h 1 记n t ( 么) = x c ( x a ) ，其中x 彳表示a 的余集，则 砌f ( 么) 表示对于f 的k u r a t o w s k i 内部算子，i n t ( a ) 与c i ( a ) 分别表示a 的内部与 闭包 2 2相关定义及引理 定义2 2 1拓扑空间( x ，f ) 的子集a 称为 ( 1 ) 朋一开集【1 3 1 ，若a c i n t ( c l ( a ) ) ( 2 ) 一开集【1 7 1 ，若ac c l ( i n t ( c l ( a ) ) ) ( 3 ) b - 开集【2 3 1 ，若a c c l ( i n t ( a ) ) u i n t ( c l ( a ) ) 定义2 2 2 理想拓扑空间( x ，t ，i ) 的子集a 称为 ( 1 ) i 一开集【4 1 ，若aci n t ( a ) ( 2 ) p r e 一，一开集【5 】，若a c i n t ( c t ( 彳) ) ( 3 ) a - i - 开集【2 5 】，若aci n t ( c l ( 觑f ( 彳) ) ) ( 4 ) 一，一开集f 5 1 ，若ac c l ( i n t ( c l ( 4 ) ) ) ( 5 ) s e m i - i - 开集【5 1 ，若a c c i ( 加f ( 彳) ) ( 6 ) 几乎一一开集【3 】，若acc l ( i n t ( a 。) ) 定义2 2 3 2 3设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，vacx ，若aca ，则a 称x 为 5 的一自稠密集 定义2 2 4 i ：】若u 是理想拓扑空间( x ，r ，) 的子集，则( u ，f i u ，毛) 称为理想拓 扑空间的子空间，其中毛= i ii ，su ) = n ui i ) 在u 上 定义2 2 5 1 2 s 若理想拓扑空间( x ，f ，) 中有acu cx ，那么对于理想拓扑空 间的子空间( u ，fk ，毛) ，彳( 毛，fi u ) = 彳+ ( ，r ) n u 定义2 2 6 【2 6 i 设理想拓扑空间( x ，f ，) 中有a c 7 uc 7 x ，那么c l 矗( a ) = au 彳( 毛，f b ) 定义2 2 7 m 设( x ，f ，) ，( 】，仃，) 是理想拓扑空间，厂：x 专l ，若】，中的任一 开集u 的原像厂1 ( u ) 是它的自稠密集，则称为一j 一连续映射 定义2 2 8 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，( 】，仃) 是拓扑空间f ：x 专y 若 】，中的任一开集u 的原像厂- 1 ( u ) 是几乎- 一，一开集，则称厂为几乎- i - 连续映射 引理2 2 9 t i 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，彳，b 是x 的子集，下列结论成立 ( 1 ) 若acb ，则a cb + 且c ，( 彳) ca 。( b ) ； ( 2 ) a = c i ( a ) c c l ( a ) 且( 7 似) c c i ( a ) ； ( 3 ) ( 彳) ca 。； ( 4 ) 若u 1 ，则una c ( un 么) 引理2 2 10 【4 】 设彳是理想拓扑空间( x ，f ，) 的子集 ( 1 ) 若u f ，则un a + ( 彳) cc l + ( u na ) ； ( 2 ) 若ac u c x ，则c i 吕( a ) = c i ( a ) n u 引理2 2 1 1 4 1 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，其中彳，b 是x 中任意两个子集， 则有下列命题成立，从而a + 是对于f + ( ，f ) 的一个k u r a t o w s k i 闭包算子 ( 1 ) ( 7 ( f 2 j ) = o ； ( 2 ) a c c l ( 4 ) ； ( 3 ) ( 7 ( 彳u b ) = a ( a ) u c l ( 召) ； ( 4 ) a + ( c l ( 彳) ) = ( 7 ( 么) 定理2 2 12 聃阳设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，vacx ，若aca ，则 ( 1 ) a = ( 7 ( 彳) = c l ( a ) ：( 2 ) i n t ( x a ) = n t ( x a ) 引理2 2 13 t s 】设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，且acx ， ( 1 ) 若i = p ( x ) ，则a = a ( 2 ) 若i = a ) ，则a = c ( a ) 6 2 3弱一，开集 定义2 3 1理想拓扑空间( x ，f ，) 的子集a 称为弱一，一开集，若满足 acc l ( i n t ( c l 似) ) ui n t ( c l ( a ) ) 定义2 3 2 理想拓扑空间( x ，t ，i ) 的子集a 称为弱一i 一闭集，若x 彳是 弱一，一开集 命题2 3 3 若a 是理想拓扑空间( x ，t ，i ) 的任意子集，下列结论成立： ( 1 ) 若a 是b 一开集，则a 是弱一，一开集 ( 2 ) 若a 是弱一，一开集，则a 是一开集 ( 3 ) 若a 是p r e 一，一开集，则a 是弱一，一开集 ( 4 ) 若a 是几乎一，一开集，则a 是弱一，一开集 证明：( 1 ) 设a 是b 一开集，则acc l ( i n t ( a ) ) k ) i n t ( c l ( a ) ) c c l ( i n t ( c l ( 么) ) ) u i n t ( c l ( a ) ) 即a 是弱卢一，一开集 ( 2 ) 设a 是弱一，一开集，则acc l ( i n t ( c l 。( a ) ) u i n t ( c l ( a ) ) cc l ( i n t ( c l ( a ) ) k ) i n t ( c l ( a ) ) = c l ( i n t ( c l ( a ) ) ) 即a 是夕一开集 ( 3 ) 设a 是e 一，一开集，则a c i n t ( c l ( 么) ) cc t ( i n t ( c l ( 彳) ) ) c c l ( i n t ( c l ( 么) ) ) u i n t ( c l ( a ) ) 即a 是弱一，一开集 ( 4 ) 设a 是几乎一，一开集，则acc l ( i n t ( a ) ) = c l ( i n t ( c l ( a + ) ) ) c c l ( i n t ( a ( 么) ) ) cc l ( i n t ( c l ( 彳) ) ) v i n t ( c l ( a ) ) 即a 是弱一i 一开集 注2 3 1 ：有下面的结论： 开集专口一i 一开集专s e m i i 一开集专b 一开集 山上 ，一开集专p 陀一，一开集一p - z 一开集专弱一，一开集- - + 一开集 i 几乎一j 一开集 例2 3 1 ( 1 ) a 是弱一，一开集，但不是b 一开集 设x = 口，b ，c ，d ) ，f = o ， 口) ， c ) ) ，i = p ( x ) ，取a = 口，b ) 因 c l ( 彳) = a + ( 口，6 ) ) = 口，6 ) u ( 口，6 ) ) = 口，6 ，c l ( i n t ( c l ( 彳) ) ) = c l ( i n t ( a ，6 ) ) ) = c ，( 口) ) = 口，b ，c ，d ， i n t ( c l ( a ) ) = a ) 从而c l ( i n t ( c l + ( 彳) ) u i n t ( c l ( a ) ) = a , b ，c ，d ) 3a ，即a 是弱p - z - 开 集但c l ( i n t ( a ) ) u i n t ( c l ( a ) ) = 口) ，从而a 旺c 1 ( i n t ( a ) ) k g i n t ( c l ( a ) ) ，即a 不是6 一开 集 ( 2 ) a 是弱一i 一开集，但不是p r e i 一开集 7 设x = 口，b ，c ，d ) ，f = a ， 口) ， d ) ， 口，d ) ) ，i = 舻( x ) ，取a = 6 ，d ) ， c l ( i n t ( c l ( 彳) ) u i n t ( c l ( a ) ) = 6 ，c ，d ) 3a 但i n t ( c l ( 彳) ) = d ) ，从而a 岱i n t ( c l 。( 彳) ) 即a 是弱一i 一开集，但不是p r e 一1 一开集 ( 3 ) a 是弱一i 一开集，但不是几乎一，一开集 设x = 口，b ，c ，f = g ，x ， c ) ，i = 0 ， c ) ) ，取a = c ) ，则a 是弱p - z - 开集， 但不是几乎一，一开集 命题2 3 4 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，acx ，若i = a ) ，则a 是p - i - 开集a 是弱卢一i 一开集营a 是开集 证明：若i = f 2 j ，有引理2 2 1 2 知，a = a ( 彳) ，从而c l ( 彳) = au a = c l ( a ) ， 于是ac c l ( i n t ( c l ( 么) ) ) = c l ( i n t ( c l ( a ) ) ) 即a 是一，一开集营a 是一开集且 ac c l ( i n t ( c 1 + ( a ) ) ) ui n t ( c l ( a ) ) = c t ( i n t ( c l ( a ) ) ui n t ( c l ( a ) ) = c i ( i n t ( c i ( a ) ) 即a 是 弱p - i 一开集a 是一开集故a 是一i 一开集a 是弱一，一开集a 是一 开集 定理2 3 5 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，acx ，则下列条件等价： ( 1 ) a 是几乎一，一开集： ( 2 ) a 是弱一1 一开集，且拳一自稠密集 证明( 1 ) j ( 2 ) 有命题2 3 1 ，几乎一，一开集是弱一i 一开集有引理2 2 9 知， ac c l ( i n t ( a ) ) cc t ( a ) = 彳即彳是一自稠密集 ( 2 ) j ( 1 ) 已知彳是一自稠密集，有定理2 2 1 2 知，a = a + ( 彳) = c l ( a ) ，又 a 是弱一，一开集，则acc t ( i n t ( c l ( a ) ) u i n t ( c l ( a ) ) = c t ( i n t ( a ) ) u i n t ( a ) = c l ( i n t ( a ) ) 即a 是几乎一，一开集 定理2 3 6 设( x ，f ，) 是理想拓扑空间，么，u ，4 人) 是x 的子集，则下 列结论成立： ( 1 ) 若以是弱p - i - 开集，v ( t e a ，则u 以是弱一1 一开集 ( 2 ) 若彳是弱p i 一开集，u 是x 中的口一1 一开集，则a a u 是弱一i 一开集 证明：( 1 ) 因以是弱p - i - 开集，va a ， 则以cc l ( i n t ( c l ( 以) ) u i n t ( c t ( a 口) ) cc l ( i n t ( c l + ( u 以) ) l ) i n t ( c l ( u 以) ) 从而 u 以cc l ( i n t ( c l ( u 以) ) u i n t ( c l ( u 以) ) 故u 以是弱p - z - 开集 ( 2 ) 若彳是弱一i 一开集，u 是x 中的口一1 一开集，则 ac c l ( i n t ( c l ( 彳) ) ui n t ( c l ( a ) ) ，uci n t ( c l ( 加f ( 4 ) ) ) 从而彳nuc 【c l ( i n t ( c l ( 么) ) ui n t ( c l ( a ) ) 】c 、i i n t ( c l ( 砌，( u ) ) ) = c l ( i n t ( c l ( a ) ) ni n t ( c l ( 觑，( u ) ) ) 】u 【i n t ( c l ( a ) ) n i n t ( c l ( 砌r ( u ) ) ) 】 8 = c l i n t ( c l ( 彳) ) r 、i n t ( c l 。( 砌f ( u ) ) ) 】u 【i n t ( c t ( a ) r 、a + ( 砌，( u ) ) ) 】 cc i i n t ( c l ( a ) c 、i n t ( c l 。( 砌f ( u ) ) ) ) 】u i n t ( c l ( a ) 厂、a + ( 伽，( u ) ) ) 】 cc l x n t ( c l + ( an c i + ( 砌f ( u ) ) ) 】u i n t ( c l ( an c l ( 砌f ( u ) ) ) ) 】 cc l i n t ( c l + ( c ，( 么r 、砌f ( u ) ) ) ) 】u z n t ( c t ( c t ( 彳广、砌f ( u ) ) ) ) 】 cc l i n t ( c l ( c t ( 么n 砌f ( u ) ) ) ) 】u 【i n t ( c l ( c l ( an 砌f ( ( 厂) ) ) ) 】 = c l ( i n t ( c l ( an 知f ( u ) ) ) ) 】u 【i n t ( c t ( ar 、砌，( u ) ) ) ) 】 c c l ( i n t ( c l ( 以) ) u i n t ( c l ( a 口) ) 即彳n u 是弱p - l - 开集 注2 3 2 ： 有限个弱一，一开集的交不一定是弱p i 一开集 例2 3 2 设x = 口，b ，c ，d ，f = g ，x ， 口，c ， 6 ，c ) 田， 口，c ，d ) ，1 = 囝， 6 ) ) ，取 a = p ，c ，d ) ，b = 口，b ，d 因c t ( a ) = 口，b ，c ，d ，acc l ( i n t ( c l ( a ) ) w i n t ( c l ( a ) ) 即a 是弱 一，一开集又c l ( ；) = 口，b ，c ，d ，bcc l ( i n t ( c l ( b ) ) w i n t ( c t ( b ) ) = x 即b 是弱 一，一开集但4 r 、b = 6 ，d ) ，c l ( i n t ( c l ( a n 召) ) ) = d ) ，i n t ( c l ( a n b ) ) = d ) ，故 a n b 岱c l ( i n t ( c l 。( 4 n b ) ) u i n t ( c l ( a n b ) ) 即a n b 不是弱p 一，一开集 定理2 3 7设a 是理想拓扑空间( x ，f ，) 中的弱一j 一闭集，当且仅当 i n t ( c l ( i n t ( 彳) ) ) na ( 砌f ( 彳) ) ca 证明：必要性 由于a 是弱一1 一闭集，则x a 是弱卢一，一开集，从而 彳ac c t ( i n t ( c l ( x a ) ) ui n t ( c l ( x 4 ) ) = 【x i n t ( c l ( i n t ( 彳) ) 】u 【x c l ( i n t ( a ) ) 】 = x i n t ( c l ( i n t ( a ) ) lnc l ( i n t ( a ) ) 】， 所以i n t ( c l ( i n t ( a ) ) nc l ( i n t ( a ) ) ca 充分性： i n t ( c l ( i n t ( a ) ) m c f f i n t ( a ) ) ca ，则 x ac x i n t ( c l ( i n t 。( 彳) ) 】r 、a ( 觑f ( 么) ) 】 = 【x i n t ( c l ( i n t 。( 彳) ) 】u 【x c l ( i n t ( a ) ) 】 = c l u n t ( c l + ( x 彳) ) ui n t ( c l ( x 彳) ) ， 即x a 是弱一i 一开集，故a 是弱一i 一闭集 定理2 3 8 设( x ，f ，j ) 是理想拓扑空间，设acu f ，若a 是弱一j 一开集， 则a 是( u ，f i u ，五，) 中的弱一，一开集 证明：由于u f ，且a 是弱一一开集，则acc l ( i n t ( c l 。( 彳) ) u i n t ( c l ( a ) ) 有引理2 2 9 ，引理2 2 1 0 ，引理2 2 1 1 可得 acc l ( i n t ( c l ( 彳) ) ui n t ( c l ( a ) ) = 【c l ( i n t ( c l ( 彳) ) ) nu 】u 【砌r ( c z ( 彳) ) nu 】 c c l u ( i n t ( c l ( 彳) n u ) u 砌0 ( a ( 4 ) n u ) c ( 锄乞( a ( 么) r 、u ) u 锄屯( c 乞( 么n u ) = c f u ( 砌乞( a ( 么) u 砌0 ( ( 彳) 9 即a 是( u ，fi ，毛) 中的弱卢一，一开集 2 4 弱一i 一连续映射 定义2 4 1若f ：( x ，f ，) 寸( y ，盯) 称为弱p i 一连续映射，若对于( y ，o r ) 中任 意开集u ，。1 ( u ) 是x 中的弱p - i - 开集 定义2 4 2 若f ：( x ，r ，) 一( 】，仃) 称为弱一i 一开映射( 弱一i 一闭映射) ，若 对于x 中任意开集( 闭集) u ，f ( u ) 是】，中的弱一i 一开集( 弱一，一闭集) 定理2 4 3设( x ，f ) 是拓扑空间，( y ，盯，) 是理想拓扑空间 f - ( x ，f ) 专( l 仃，j ) 是双射，则下列条件等价： ( 1 ) f 1 ：( y ，o r ，) 哼( x ，f ) 是弱一，一连续映射； ( 2 ) 厂是弱一i 一开映射； ( 3 ) 厂是弱一i 一闭映射 证明( 1 ) j ( 2 ) 设f 以：( y ，盯，j ) 专( x ，r ) 是弱一i 一连续映射，且是双射，则 对于x 中任意开集u ，( u ) = ( 厂1 ) 1 ( u ) 是x 中的弱一i 一开集即厂是弱p - i - 开映射。 ( 2 ) j ( 1 ) 设厂是弱一，一开映射，则对于x 中任意开集u ，( 厂1 ) 一( u ) = f ( u ) 是 x 中的弱一，一开集。即厂1 是弱一，一连续映射。 ( 2 ) j ( 3 ) 是弱一，一开映射营x 中任意开集u ，f ( u ) 是l ，中的弱一，一开 集x 中任意闭集x u ，f ( x u ) = ( x ) 厂( u ) = y f ( u ) 是】，中的弱p - i - 闭 集厂是弱一i 一闭映射。 定理2 4 4 对于映射f ：( x ，f ，) 一( y ，仃，j ) ，下列条件等价： ( 1 ) f 是弱一i 一连续映射： ( 2 ) 对任意x x 及y 中包含f ( x ) 的开集v x 中存在包含x 的弱夕一，一开 集u ，使f ( u ) cv ； ( 3 ) 】，中的任何一个闭集f 的原像- 1 ( f ) 是弱一i 一闭集； ( 4 ) i n t ( c l ( i n t ( 厂q ( b ) ) ) ) nc l ( i n t ( f 一( b ) ) ) cf 1 ( c 7 ( b ) ) ； ( 5 ) f ( c l ( i n t ( c l ( 么) ) ) ui n t ( c t ( a ) ) ) ca ( ( 彳) ) 证明( 1 ) j ( 2 ) 设任意x x ，及】，中包含f ( x ) 的开集y ，由于厂是弱一i 一连 续映射，则厂- 1 ( y ) 是x 的包含x 的弱一i 一开集令u = f - 1 ( 矿) ，有f ( u ) cv ( 2 ) j ( 3 ) 设闭集fc 】，令v = y f ，则y 是】，中的开集v x f - 1 ( 矿) ，有( 2 ) 知， 存在弱p - l - 开集形，使f (