（计算数学专业论文）双变量有理插值曲面的建立与控制研究.pdf

s b a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 双变量有理插值曲面的建立与控制研究 张云峰 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师t段奇教授) 中文摘要 有理样条插值是计算几何的重要组成部分，是曲线曲面设计中强有力的工 具也是近年来的研究热点这是由于有理样条具有灵活性、一般性等特点 这样的特点使其更能适应现代设计多样性与复杂性的需求经过诸多专家的不 懈努力，近年来有理样条插值曲线的研究已经取得很多成果但仍有一些问题 值得进一步研究。有理样条插值曲面的研究很困难但是相对于插值曲线其更 具有应用价值因此本文在前人工作的基础上进一步研究了有理插值曲线的一 些问题，重点研究了双变量有理插值曲面文章分三个部分第一部分为第一 章其内容为绪论第二部分包括第二章和第三章其内容为有理插值曲线方 面的研究第三部分包括第四，五、六，七，八，九章其内容为双变量插值曲 面方面的研究主要工作如下t 第一章简单介绍了计算几何的发展过程及现状从计算几何逐步过渡到本 文所要研究的有理插值曲线与曲面 第二章主要研究了一类分母为线性的三次有理样条及样条插值导数的逼近 性质得到了误差表达式和误差系数最后分析了插值的二阶跳跃问题 ( 本章主要结果发表于i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o m p u t e rm a t h e m a t i c s ) 第三章利建立了一类加权三次有理样条插值。讨论了此类插值的区域控制问 题研究了此类插值的逼近性质得出了将插值曲线控制在给定区域的充分 条件以及此类插值的误差估计式( 本章主要结果发表于c o m m u n i c a t i o n s i nn u m e r i c a lm e t h o d si ne n g i n e e r i n g 、 第四章简单介绍了一类双变量有理插值【3 8 】给出了双变量有理插值的建 立过程及其基本性质 第五章重点研究了有理插值曲面的凸性控制问题得出了插值曲面保凸的 充要条件( 本章主要结果发表于c o m p u t e r s g r a p h i c s ) 第六章研究了插值数据对称的双变量有理插值曲面的性质推导出了参数 和曲面形状之间明确的关系表达式 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 第七章研究了双变量有理插值的边界性质和点控制问题证明了插值函数的 有界性给出了此类插值的逼近表达式( 本章主要结果发表于c o m p u t e r s a n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s 1 第八章建立了一类基于函数值和导数值的双变量有理插值研究了此类插 值的基本性质讨论了插值的基函数并给出了关于插值积分权系数的概念 ( 本章主要结果发表于a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ) 第九章研究了一类双变量有理插值曲面的面控制问题给出了将插值曲面控 制于给定平面的一个充分条件：( 本章主要结果发表于j o u r n a lo f i n f o r m a t i o n a n dc o m p u t a t i o n a ls c i e n c e 1 关键词：双变量插值；有理样条；计算机辅助几何设计；凸性控制；区域控 制；误差估计；逼近；导数误差估计 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n r e s e a r c ho nc o n s t r u c t i n ga n dc o n t r o lo fb i v a r i a t e r a t i o n a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c e z h a n gy u n f e n g ( s c h o o lo fm a t h & s y s s c i ，s h a n d o n gu u l v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t s p l i n er a t i o n a li n t e r p o l a t i o ni sau s e f u la n dp o w e r f u lt o o li nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n i nr e c e n ty e a r s ，t h er a t i o n a ls p l i n ew i t hp a r a m e t e r sh a sr e c e i v e da t t e n t i o n b e c a u s eo fm a n yg o o dp r o p e r t i e so ft h er a t i o n a ls p l i n e ，i th a sb e e na p p l i e dw i d e l yi n s h a p ed e s i g no fi n d u s t r i a lp r o d u c t s t h et h e o r i e so fr a t i o n a li n t e r p l a t i o nc u r v e sa r ea l - m o s tp e r f e c t b u ts o m eq u e s t i o n ss h o u l db ef u r t h e rs t u d i e d t h et h e o r i e so fr a t i o n a l i n t e r p l a t i o ns u r f a c e sa x ev e r yd i f f i c u l tt os t u d y n e v e r t h e l e s s ，t h er a t i o n a li n t e r p o l a - t i o ns u r f a c ei 8m o r eu s e f u lt h a nt h er a t i o n a li n t e r p l a t i o nc u r v ei np a r c t i c a ld e s i g n t h e r a t i o n a li n t e r p l a t i o nc u r v e sa n dt h er a t i o n a li n t e r p l a t i o ns u r f a c e sh a v eb e e ns t u d i e di n t h i st h e s i s t h e r ea r et h r e ep a r t sa r ec o n s i s t e do ft h i st h e s i s t h ef i r s tp a r ti sm a d eo f t h ec h a p t e r1 t h es e c o n dp a r ti sm a d eo ft h ec h a p t e r2a n dc h a p t e r3 t h et h i r dp a r t i sm a d eo ft h ec h a p t e r4 、5 、6 、7 、8a n dc h a p t e r9 t h et h e s i si so r g a n i z e d 嬲f o l l o w s ： t h e r ei 8as h o r ti n t r u d u c ea b o u tc a g d t h et r a n s i t i o ni sf r o mc a g dt ot h er a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nc u r v e sa n ds u r f a c e s t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e s o f i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n h a s b e e ns t u d i e d w h i c h i sar a t i o n a lc u b i cs p l i n ew i t hl i n e a rd e n o m i n a t o r t h eo p t i m a le r r o rc o e f f i c i e n ti s d e r i v e d t h ep r e c i s eo ft h ed e r i v a t i v e so fi n t e r p o l a t i o nf u n c t i o na tt h ek n o t so r e g i v e n aw e ! i g h t e dr a t i o n a lc u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o nh a sb e e nc o n s t r u c t e du s i n gt w ok i n d so f r a t i o n a lc u b i cs p l n ew i t hq u a d r a t i cd e n o m i n a t o r t h ec o n s t r a i no ft h ei n t e r p o l a t i o n c u r v e st oh et h eg i y e nr e g i o na n dt h ea p p r o x i m a t i o no ft h ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n h a v eb e e ns t u d i e d ak i n do fb i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o nw h i c hw a sc o n s t r u c t e db yd u a nh a sb e e n i n t r u d u c e d t h ep r o p e r t i e so ft h ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o na r eg i v e n s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t h ec o n v e x i t yc o n t r o lo ft h ei n t e r p o l a t i o ns u r f a c e sh a sb e e ns t u d i e d t h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ei n t e r p o l a t i o ns u r f a c e st ob ec o n v e xa x ed e r i v e d t h ep r o p e r t yo fab i v a r l a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o nw i t hs y m m e t r i ci n t e r p o l a t i o nd a t a i ss t u d i e d t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np a r a m e t e r sa n di n t e r p o l a t i o n 羽l r 丘i 。e 8i 8d e r i v e d t h eb o u n d e dp r o p e r t ya n dp o i n tc o n t r o lo fab i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i n gs u r - f a c eh a sb e e ns t u d i e d t h el i m i t a r yo ft h ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nj 8p r o v e d t h e a p p r o x m i a t i o ne x p r e s s i o no ft h ei n t e r p o l a t i o n i sg i v e n ab i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o ni sg i v e nw h i c hi sc o n s t r u c t e du s i n gb o t hf u n c t i o n v a l u e sa n dp a r t i a ld e v i v a t i v e e t h ep r o p e r t i e sa n db a s e so ft h ei n t e r p o l a t i o nb e e n s t u d i e d t h ec o n c e p to fi n t e g r a lw e i g h t $ c o e f f i c i e n t so ft h ei n t e r p o l a t i o ni sg i v e n t h ec o n s t r a i no ft h ei n t e r p o l a t i o n8 n r f a c e st ob et h eg i v e nr e g i o np l a n eh a sb e e n s t u d i e d as u f f i c i e n tc o n d i t i o no f c o n s t r a i n to f b i v a r l a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c e i sg i v e n k e y w o r d s ：b i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；r a t i o n a ls p l i n e ；c a g d ；c o n v e x i t y c o n t r o l ；r e g i o nc o n t r o l ； e r l t o ra n a l y s i s ； a p p r o x i m a t i o n ； e r r o r e s t i m a t i o no fd e r i v a t i v e s 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明 的法律责任由本人承担 论文作者签 日期：知 7 歹谬 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 黟膂名夺r 巾硝 s h a n d o n gu n i v e 日i t yd o c t o r md i s s e r t a t i o n i ic a g d 的发展及现状 第一章绪论 随着科学技术的飞速发展及计算机在国民经济各个领域的普遍应用，计算 机辅助设计( c a d ) 越来越为人们所重视，当前的c a d 工作中。计算机远远不 止是一种高效的计算工具，它已经成为人们进行创造设计活动的得力助手 许多产品在制作之前都要进行几何瞳线与曲面的设计例如汽车车壳设计， 船体设计和放样，飞机机身、机翼、机舱的设计，服装设计，甚至刀片、刀架和 鞋模的外型设计等，都要考虑到有关曲线与曲面的计算机处理与再生，及在原 有基础上做局部修改的方法和效果在先进的计算机问世之前，这些设计问题 是用几何学的方法和逼近论的方法去做的把曲面用一些曲线来表示，而这些 曲线通常是由均匀分布的平行坐标截曲面得出的截线。再加上某些具有特征性 质的截线，这些信息足可以制作模板木模、冲压用模具和铸造用模具 早在第二次世界大战期间，人们已首次用计算几何的方法解决实际问题 当时尤其是航空工业的发展激励了新的设计方法的形成和发展5 0 年代后期， 数控机床开始涌现，制模和生产更可以由计算机编程序进行为了充分发挥其 作用，需要解决好一个问题，即怎样设计好一个。数学模型”，把存在的曲面翻 译成计算易于处理的格式起初，得把曲面数字化，即把曲面分成一大堆点坐 标，现在这项工作可以由计算机进行，这也是计算辅助几何设计( c a g d ) 的工 作之一c o o n s 由曲面形式开始，用若干个小的曲面片拼接，适当选择它们的 方程，使连接有一定的光滑性，用布尔和逼近的方法，得出的曲面称为c o o n s 曲 面b d z i e r 用选择控制点的方法控制曲线形状，构造b d z i e r 曲线。b 6 z i e r ( 1 9 7 2 ) ， f o r e s t ( 1 9 7 1 ) ，r i e s e n f e l d ( 1 9 7 3 ) 巧妙地处理了依据这条曲线和曲面的几何模型， 并把这个学科分支称为计算几何( c o m p u t a t i o n a lg e o m e t r y ) c a g d 一一计算机辅助几何图形设计( c o m p u t e ra i d e dg e m o e t r i cd e s i g n ) 的 简写，国内经常把它称为计算几何。出版过苏步青，刘鼎元的著名专著和孙家 昶的著名专著实际上，这门学科研究的是几何曲线和曲面用计算机处理时， 它们的逼近和再生本世纪6 0 年代，适应人机对话式交互设计及其图形显示的 需要而产生的计算机图形学发展非常迅速为此，计算几何与计算机图形学的 联系也越来越密切计算几何这一术语，最初是由明斯基( m i n s k y ) 和( p a p e r t ) 于 1 9 6 9 年作为模式识别的代用词而提出的，他们在一本标题为“感应器一一计算 几何”的书中，处理了识别某些几何性质( 例如凸性) 的谓词的复杂性他们研 1 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 究工作的目的是陈述用简单回路构成的大网膜来现实模式识别任务的可能性 他们的理论是独立的，与我们讨论的问题完全不同 1 9 7 1 年英国的a r f o r r e s t 首次提出计算几何的定义：计算几何就是几何外 形的信息的计算机表示，分析和综合所谓几何外形信息，包括诸如平面或空间 曲线曲面的型值点，特征多边形的顶点和型值点处的导数等值等通过这些信 息，可以建立多种多样的几何外型的数学模型，并通过计算机进行插值计算， 以求得任意中间点的几何信息，这就是所谓的计算机表示，然后对所建立的数 学模型特征及误差等进行分析和综合，以便逼真地反映出几何形体正如著名 数学家苏步青教授指出计算几何是- - n 由代数几何、微分几何、函数逼近、 计算数学，特别是数控技术等相互结合而形成的边缘学科这样计算几何就是 一门特别强调计算机作用，涉及领域非常广阔的学科计算机辅助几何设计的 研究内容可以分为三部分： 1 数学建模：即如何构造、计算几何外型； 2 形状分析t 包括曲面的奇性分析，凸性分析，基于有限元的曲线曲面工 程可用性分析； 3 形状修正与变形；即在形状分析的基础上修改模型，直至满足设计者的 意图 作为计算机辅助几何设计者们新兴的边缘学科，近年来的发展表现了以下 几方面的显著特征t 几何化、代数化( 离散化) ，图形化和应用的广泛化从6 0 年代起，计算几何的产生以及最初的应用，主要围绕着航空、造船、汽车三大工 业部门的几何外型设计之后，计算几何向着各个部门的辅助设计和辅助制造 方面发展，国内在这方面已取得了一批达到世界先进水平的应用研究成果主 要表现在船体数学放样，船体曲面设计、飞机外形设计、叶片设计、汽车外形设 计、道路线性设计，以及地图绘制等方面可以说，计算几何已渗透到各个领域 1 2 样条插值 样条插值是曲线曲面设计的有力工具，是计算几何的重要组成部分许多 作者已经研究了不少类型的样条插值用于几何造型的控制设计在这里，介绍 几类重要的样条插值 1 基样条： 首先给出插值条件；参数分割t ：t o t 1 t n ， 取整体表示式zp ( t ) = p i i o i ( t ) + 6 0 + l ( t ) + 6 n + 2 ( t ) 以给定边值条件：p ( t o ) = 而= b o ，p ，( t 。) = 五= b n 为例，上述方程中的基函 2 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 数忱( t ) a = 0 ，1 ，2 n + 2 ) 称为基样条函数其优点在于，像拉格朗日多项式插 值曲线那样，数据点与边界条件在方程中显性地出现，不必像埃尔米特形式那 样通过求解线性方程组来确定系数 2 b 样条： b 样条函数是所有样条函数中具有最小局部支撑的样条函数采用三次b 样 条函数作为基函数，使得参数三次样条曲线具有许多优良的性质，因而在实践中 获得广泛的应用b 样条有多种等价定义在理论上比较多地采用截尾幂函数的 差商定义作为标准算法的德布尔和考克斯的递推定义，又称为德布尔- 考克斯 递推公式这个著名的递推公式的发现是b 样条理论的重要进展之一它归功于 的德布尔( 1 9 7 2 ) ，考克斯( 1 9 7 1 ) 与曼斯菲尔德b 样条有如下的优点；递推性，规 范性，局部支撵性，可微性显然，样条插值是有很多优点的，在图形控制，曲线， 曲面的计算机实现以及保持曲线、曲面的形状等各方面都有着很好的应用正因 为如此，样条插值得到了广泛的应用，有大量的学者专家致力于这方面的研究 1 3 多元样条函数 多元样条函数是具有一定光滑性的分段或分片定义的函数早期多元样条 函数的研究多侧重于多项式样条即在每段或每片上定义的函数都是多项式函 数研究多元样条函数的方法很多，主要有王仁宏教授在1 9 7 5 年提出的经典的 代数几何方法，也称光滑余因子方法其原理是将多元样条函数的问题转化为 与之等价的代数问题来研究由d ec a s t e l j 黜提出的b 网方法此方法的原理 是利用相邻单纯形上b 包i e r 坐标之间的相互关系来刻画多元样条函数的光滑程 度再就是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 建立的投影算子方法此方法的原理是研究高 维空间上的多面体对低维空间的投影测度函数 1 4 多元有理样条函数 有理样条是多项式样条的一种自然推广，与多项式样条相比，其具有灵活 有效更能反映函数的真实特性的特点是日前在c a g d 研究中的热点同题近年 来人们在数值与函数逼近，计算机辅助设计中侧重研究有理函数，有理样条函数 作为样条函数和有理逼近的结合，兼顾了二者的有点，且使用更为灵活，更具有 一般性由于客观事务的多样性与复杂性，开展多元有理样条函数的研究无论在 理论上还是应用上都有重要的价值但是，由于多元有理样条空间的复杂性，所 以与多项式样条相比，其研究难度更大，所以至今研究进展相对缓慢从多元有 3 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 理样条发展至今仍有一些学者在这方面做了很多重要的工作e l w a c h s p r e s s ， g b i r k h o f f ，l m a n s f l e d 等从有限元角度出发来研究，其中w a c h s p r e s s 利用有理 楔函数的拼接方法研究了在任意代数元上具有一次代数精度的整个区域上为g o 的有理有限元，g b i r k h o f f 和l m a n s f l c d 从分析某些特殊的有理函数入手，构造 了有理协调元，但不具备代数精度王仁宏、朱功勤、顾传青、檀结庆等学者基 于光滑因子方法建立了有关二元有理样条的一些结果，并将结果在专著多元 样条函数及其应用中进行了整理、归纳和深化罗钟铉教授借助于广义楔函 数方法建立了任意代数元的多元有理样条函数类的理论方法 1 5 有理插值曲线的研究及发展现状 插值曲线最早是f e r g u s o n 和c o o l l s 提出，很多学者经过多年的努力使得插 值曲线研究日臻完善，近年来的有理插值曲线研究也日趋成熟，m s a r f r a z 、 g r e g o r yj a 、b r o d u e 、l a h t i e na 以及我的恩师段奇教授等学者在有理插值曲 线方面做了很多重要的工作分母为线性的分段三次有理插值被认为最有效的 插值曲线的逼近函数但是在此类插值曲线的误差估计、收敛性、节点处的二 阶跳跃以及加权三次有理插值方面人们还没有做进一步的研究本文的前部分 针对这方面做了深入的研究 1 6 有理插值曲面的研究及发展现状 理插值曲线的研究已经逐步成熟。与插值曲线相比，插值曲面要复杂的多 在本章的第四部分多元有理样条函数方面介绍中，可知其研究的难度很大因 此有理插值曲面的研究就更难进一步深入下去故而近年来文献中少有关于有 理插值曲面的研究成果。在计算几何中的研究中从线到面成为一个瓶颈，阻碍 了入们那进一步去深入研究直至段奇教授建立了一种双变量有理插值形式的 插值曲面有理插值曲面的研究变得豁然开朗此类双变量有理插值有以下优 点： 1 、插值数据不变，调整插值函数中的参数可改变曲面的外形，即盐面对于 插值不是唯一的 2 ，具有显性且相对简单的数学表达式 3 、插值函数具有有界性 4 、定义了积分权，其权系数给出了插值数据在曲面形状控制中的分量 5 、逼近效果好 4 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 形状控制是计算几何外形分析的重要内容，形状控制的研究在计算几何中占有 重要地位形状控制包括双变量有理插值曲面的凸性控制和区域控制在曲面 的形状控制研究方面前人做了很多重要工作 在曲面的凸性控制方面：熊振翔教授在插值多项式与插值样条一书中 对三次二元分片多项式插值样条曲面的凸性判断做了研究王日爽教授在双 三次样条的凸性条件中给出了孔斯曲面的凸性条件 在曲面的区域控制方面：段奇教授分别就基于函数值和偏导数值的双变量 有理插值曲面的面控制和基于函数值的双变量有理插值的曲面点控制问题做了 深入研究 与多项式插值相比双变量有理插值最大优势在于绘定插值点的数据不变的 情况下通过改变插值函数中参数来修改曲面片即给定插值数据不变，可以改 变曲面的形状以到达设计者的要求这是几何外形设计的实际工程中很重要的 方面同时双变量有理插值函数具有显性的数学表达且基函数形式相对简单 因此，为进一步深入研究插值函数的性质以及建立更如有效的有理插值函数提 供了条件故而，深入研究此类插值有重要的意义本文所研究的插值曲面的 形状控制正是基于此类双变量有理插值 口 5 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 第二章一类分母为线性的有理插值曲线的误差分析 本章研究了当被插函数高阶光滑时一类分母为线性的三次有理样条的逼 近性质又进一步讨论了此类有理样条插值导数的逼近性质分别得到了插值 函数及其导数的误差表达式给出了收敛效果最佳的误差系数，且证明其关于 有理插值的参数是对称的在所有子区间上，得到了此类插值二阶导数统一的 误差积分形式得出了结点出的二阶跳跃的简单表达式以及在插值区间给定的 条件下俨连续的二阶跳跃的简单表达式 2 1 引言 在计算机辅助几何设计中，样条插值是非常重要的工具。各种多项式样条 被广泛应用于曲线与曲面的设计【1 1 0 】由于对给定的插值数据而言，其插值函 数是唯一的，因此在给定插值数据不变的前提下，对插值曲线或曲面的局部进行 修改几乎是不可能实现近年来，在文献 1 1 2 l 】中含有参数的有理样条因其有如 下特点为人们所关注，即对给定的插值数据，插值鳆线或曲面能够随着参数的 改变而改变。因而，若选择适当的参数就可以修改插值曲线或曲面的形状与此 同时，插值曲线或曲面的唯一性就由给定的插值数据和被选定的参数共同确定 在文献【1 5 ，1 6 ，2 0 】中已经研究了分母为线性、二次、三次的有理三次样条，因 在插值中含有参数，故而这些样条应用于设计和修改曲线时非常有效比如，区 域控制和凸性控制【1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 9 ，2 0 】但是，由于样条函数中含有参数，因而研 究此类插值的逼近性质较为困难，对于简单的情况，【1 8 】中给出了一些结果 当被插函数f ( t ) 具有连续的二阶导数时，人们已经得到了插值的误差估计，而 且在这种条件下可以得出如下结论：分母为线性的有理样条比分母为二次或三 次的有理样条的误差系数更好，对被插函数而言，逼近效果更好下一步需要 考虑的问题是t 如果被插函数的光滑性比g 2 更好，如c 3 ，那么插值函数的逼 近效果如何? 由于导数描述了插值函数的变化趋势，那么插值函数的导数是否 收敛于被插函数的导数? 更进一步，当被插函数p ( t ) g 1 时，再不限制参数 的前提下，节点处p ”( t ) 的跳跃度是多少? 在何种条件下p ”( t ) 在节点连续? 以 上问题将在本章中给出答案因章节篇幅所限本章只给出结论，详情见 2 3 ，2 4 】 6 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 2 2 分母为线性的有理样条 在文献 2 0 】中，已经给出了一类分母为线性的三次有理插值样条给定 t o t l 如为节点空间， 五，函，i = 0 ，1 ，n ) 为给定的数据集，其中 ，函 分别为被插函数，( t ) 在节点处的函数值和导数值d ，连续的分段有理插值样 条函数如下t p ( 0 1 m “= 器， ( 瓶1 ) 此处 j h ( t ) = ( 1 一日) 3 0 t i + 0 ( 1 一口) 2 k + 0 2 ( 1 一口) 矸+ 矿岛7 ：i + 1 g i ( t ) = ( 1 一口) 。q + 口风， 0 = ( t t i ) l h i ， k = 南+ l 一， 且 k = ( 2 幽+ 届) + 哪函， 暇= ( n + 2 a ) f i + l 一屈 i d i + 1 ， 2 3 插值函数的误差估计 本节主要研究了当f t ) c 3 t o ，t 。】时，插值的误差估计由于此类插值为 分段插值，因此，不失一般性，考察在区间陬，t i + l 】上的情况易知，若被插函 数为不高于二阶的多项式函数，则插值函数与被插函数精确相等下面假定在 i t , ，“1 】上，p ( t ) 为( 0 0 1 ) 式所定义关于被插函数f ( t ) 的有理插值函数利用 p e a n o - k e r n e l 定理【l 】，可以得出如下定理。 定理2 3 1 若，( t ) c 3 t o ，k 】且p ( t ) 为在i t , ，“1 】上，e ( t ) 为( o o ：1 ) 式所定义关 于被插函数，( t ) 的有理插值函数，对正参数啦和风，则插值函数p ( t ) 的误差满 足下式 且 ，( t ) 一p ( t ) i l i 3 ) ( t ) l l h f q q 。勰。( 啦，展，口) ， 7 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 此处 如a 仆般篡篓： 矿： ! ! 。 啦+ 角 州啪= 需篇磊糯黼 0 2 ( 1 一p ) 2 p ( 2 一p ) c k 砰+ ( 4 4 0 0 2 ) 卢3 】 6 ( ( 1 一鳓啦+ 磊8 ) ( ( 1 8 ) 啦+ ( 2 8 ) 菇) 2 删2 ( 啦，岛，0 ) = + ! ：f ! 二璺! 匹二! ! ! ! 二! ! ! ! f ! 二竺! ! i 鱼1 6 ( ( 1 一口) 啦+ 成口) ( ( 1 + 日) 啦+ p 鼠) 2 0 2 ( 1 一2 p ( 2 + p ) q i 鳄+ 8 2 芦3 1 6 ( ( 1 一o ) a i + 觑口) ( ( 1 + o ) a i + 口反) 2 特别地，如果o t i = 展，那么( 0 0 1 ) 式定义的插值函数即为标准三次h e r m i t e 插值此时函数郇和耽变为 1 ( 口) = 卯2 ( 1 一口) 3 ( s c s 2 呐，o 墨日i 1 ； 2 徊) = 4 8 3 ( 1 一p ) 2 ( 3 ( 1 + 2 8 ) 2 ) ，：口s 1 下式为误差估计系数 q = 1 9 6 ，( 0 0 3 ) 此系数即为著名的标准三次h e r m i t e 插值结果。 由定义的函数w l ( o i ，岛，0 ) a n d ”2 ，岛，口) ，易知误差估计系数c 是有界的， 可以得到如下收敛定理 定理2 3 2 若f ( t ) g 3 p o ，t 。】且在【t o ，翻上，p c t ) 为( 0 0 1 ) 式所定义关于被 插函数，( t ) 的有理插值函数，则对正参数啦，岛，i = 0 ，1 ，2 ，竹一1 ，在【t o ，t 。】上， p ( t ) 收敛于，( t ) ，即 溉尸( 。) 。弛) ， 8 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 此处，h = m a g i k 由定理2 3 1 易得 叫1 ( 啦，角，口) = t 屹( 展，啦，1 一口) ， 赦而，可得以下定理 定理2 3 3 定理2 3 1 中所述最佳误差系数c 关于参数啦和晟对称即 o m f a x l w ( a i ，展，一) 2 勰“慨，啦，1 一口) ( o o 4 ) 对给定的参数n 和届i ，下表给出了一些系数q 的数值，从中可以看出其 具有对称的性质 1 啦岛 口 盘 1l o 1 o 0 5 0 0 00 0 1 0 4 21 o 1 o 0 5 0 0 0o 0 1 0 4 31 o 1 0 o 6 6 0 0o 0 2 4 0 41 ol o o - o o 3 4 0 00 0 2 4 0 51 0 o5 o0 5 5 1 0 0 0 1 1 6 65 01 0 o0 4 4 9 00 0 1 1 6 78 o6 oo 5 2 3 0o o l 86 o8 o0 4 7 7 0o 0 1 6 0 91 1o 9o 5 1 0 0 1 0 5 1 00 9 1 1 0 4 8 4 0o 0 1 0 5 1 1 0 3 0 2 0 5 3 2 0o 0 1 1 2o 20 3 0 4 6 8 00 0 1 0 8 9 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 2 4 插值函数导数的误差估计 在文献【1 8 】中已经研究了( o 0 1 ) 式所定义的三次有理插值函数的误差估 计因为插值是局部插值，所以不失一般性，考察在子区间陬，t i + 1 】上的情况 在陬，t + 1 上，p ( t ) 为( o 0 1 ) 式所定义关于被插函数，( t ) 的有理插值函数当 ，( t ) g 2 t o ，t n 】时，利用p e a n o - k e r n e l 定理f 1 】，可以得出如下定理 定理2 4 1 若，( t ) c 口p o ，k 】且【坛t i + 1 】上。p ( t ) 为( o 0 1 ) 式所定义关于被插函 数f c t ) 的有理插值函数，对正参数啦和角，则插值函数的导数p c t ) 满足下式 且 ，( ) 一p ( t ) 0 i l l ( 2 ) ( t ) 0 q( o 0 5 ) g2 o m a x l w ( o q ，岛，p ) ， 吣幽。 兰 啦，岛，口) ，0 0 s0 。 啦，臃，口) ，0 。0 0 + 啦，岛，p ) ，0 s0 s 1 d3 a i 一、a + 8 0 t 展 巩2 蒜j 石广 性型率f - - = 口 徊( 1 2 口+ 2 0 2 ) 群+ 2 ( 1 一p ) 2 n 岛+ 2 ( 1 一p ) 3 0 i 2 ) 2 + ( 2 ( 1 一口) 2 0 q 屈+ 口( 1 2 口) 贸) 2 】 ”1 ( 展 8 ) 。1 f 丽f 雨了丽丽j 嚼丽币而 0 ( 1 一口) ( ( 1 一日) 3 0 2 + 0 3 卢i 2 ) ( ( 1 一o ) a i + 口角) 2 1 0 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n ( 1 一口) 【( ( 1 一日) ( 1 2 0 + 2 0 2 ) 碍+ 2 萨c k 展+ 2 0 3 解) 2 + ( 2 口2 啦岛+ ( 1 0 ) ( 2 0 1 ) 霹) 2 】 。( 啦，岛，9 ) 2 飞矿丽甭丽丽f 丽虿瓦丽而西5 _ 一 口【p ( 1 2 0 + 2 0 2 ) 砰+ 2 ( 1 - o ) 2 c h 岛+ 2 ( 1 一日) 3 ) 2 + ( 2 ( 1 一口) 2 0 反+ 0 ( 1 2 口) 辟) 2 】 + 1 f 研丌丽i 函两丽j 诵_ 丽鬲而 ( 1 一口) 【( ( 1 一日) ( 1 2 p + 妒) 碍+ 2 0 2 啦岛+ 2 0 3 群) 2 + ( 2 口2 c h 岛+ ( 1 0 ) ( 2 0 一1 ) o 詈) 2 】 狮( 啦，反，2 1 玎西= 刁再i 干否瓦乒i i r = 否再亭；忑瓦j _ f 巧r 由所定义的函数l j o l ( a i ，展，口) ，w 2 ( o q ，岛，0 ) 和蚴缸，岛，口) ，易得误差估计系数 q 有界，可得以下收敛定理 定理2 4 2 若f ( t ) 俨 t o ，纠且陆，如+ 1 】上，p ( t ) 为( 0 0 1 ) 式所定义关于被 插函数，( t ) 的有理插值函数，对正参数a i ，展，i = 0 ，1 ，2 ，n 一1 ，则在【t o ，胡上， 插值函数的导数p ，( t ) 收敛于，( t ) 即 溉p ( t ) = ，( t ) ， j 比处，h = m k 旭 由定理2 4 1 ，易知 w l ( m ，威，0 ) = 3 ( 展，a i ，1 一口) ， 且 w 2 ( a i ，卢，0 ) = 2 ( 岛，o t i ，1 一 故而，可得以下定理 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 定理2 4 3定理2 4 1 中所述最佳误差系数q 关于参数o t i 和展对称即 j 里巷“( 。 ，屈，9 ) 。o m g a ! x l 。( 最，啦, i - 0 ) 对给定的参数啦和风，下表给出了一些系数q 的数值，从中可以看出其 具有对称的性质 1 啦 岛 p g 11 0 0 5 00 7 1 9 00 ，9 8 7 9 25 0i 0 o 0 2 8 1 00 9 8 7 9 31 5 1 20 6 8 3 00 9 4 1 2 41 21 5 0 3 1 7 00 9 4 1 2 51 10 g 0 6 8 1 00 9 3 9 0 6o 9 1 10 3 1 9 00 9 3 9 0 70 8