（计算数学专业论文）应力敏感地层垂直裂缝井压力动态分析.pdf

摘要 低渗透油气藏的开采，一直是石油工程中的技术难点。由于低渗透油气藏渗流环境 比较差，就目前看，多采用压裂才能取得好的经济效益。试井，作为人们认识油气藏的 重要手段，在油气勘探开发工作中，己成为获取勘探成果的一个必不可少的重要环节， 在分析压裂井动态方面有其独特的作用。 水力压裂的效果在很大程度上取决于对地层情况的认识和了解，而垂直裂缝井试井 分析技术是认识和了解地层、分析和评估压裂施工质量的有效方法。本文从渗流力学基 本理论出发，在总结继承前人成果的基础上，以单井作为研究对象，对应力敏感于渗透 率地层中压裂井试井问题进行了广泛深入的研究，建立并求解了在各种油气藏模型下的 垂直裂缝井的试井模型，绘制了相应的试井样板曲线。 本文取得以下成果： ( 1 ) 对垂直裂缝以及变形介质地层中流体渗流机理进行了一定的介绍： ( 2 ) 在经典均质地层垂直裂缝井模型的基础上，建立了变形均质油藏有限导流垂直 裂缝双线性和三线性模型，利用数值差分的方法进行求解，并考虑了二次梯度项和井筒 储集的影响，绘制了相应的样板曲线，讨论了各个地层参数对压力的影响： ( 3 ) 在双重介质垂直裂缝井模型的基础上，考虑二次梯度项和井筒储集的影响，建 立了变形双重介质油藏有限导流垂直裂缝双线性和三线性模型，利用数值差分的方法进 行求解，绘制了相应的样板曲线，讨论了各个地层参数对压力的影响。 关键词：变形介质，垂直裂缝井，有限导流，二次梯度项，压力动态特征 p r e s s u r ed y n a m i c a n a l y s i so fv e r t i c a l l yf r a c t u r e dw e l l i ns t r e s s s e n s i t i v ef o r m a t i o n d o n gy a n j u n ( c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f h u a n gb i n g ji a a b s t r a c t t h ep r o d u c t i o no fl o w - p e r m e a b i l i t yo i l g a sr e s e r v o i r si sa l w a y st h et e c h n i c a ld i f f i c u l t yi n p e t r o l e u me n g i n e e r i n g b e c a u s et h ep e n e t r a t i o n f l o ws u r r o u n d i n gi sb a d ，a tp r e s e n t ，o n l y u s i n gh y d r a u l i cf r a c t u r ec a na c h i e v eag r e a td e a lo fe c o n o m i c a lb e n e f i t w e l l t e s t ，a sa 1 1 i m p o r t a n tm e t h o do fk n o w i n gt h er e s e r v o i r s ，i su s e dw i d e l yi ne x p l o r a t i o na n dd e v e l o p m e n t i nr e s e r v o i r s a n di tb e c o m e sa l li n d i s p e n s a b l es e g m e n ti no b t a i n i n ge x p l o r a t i o na c h i e v e m e n t i ta l s oh a ss p e c i a lf u n c t i o ni nf r a c t u r e d w e l l sp e r f o r m a n c ea n a l y s i s t h ee f f e c t so fh y d r a u l i cf r a c t u r i n gd e p e n do nt h eu n d e r s t a n d i n go ft h er e s e r v o i r s t h e t e c h n o l o g yo fv e r t i c a lf r a c t u r e d w e l l st e s t i n gi st h ee f f e c t i v ew a yt ol e a r na b o u tt h er e s e r v o i r s a n de v a l u a t et h eq u a l i t yo ft h ec o n s t r u c t i o n ，t h i sp a p e ri sb a s e do nt h eb a s i ct h e o r yo f d y n a m i co ff l u i d st h r o u g hp o r o u sm e d i aa n da c h i e v e m e n to b t a i n e db yf o r m e rp e o p l e s i n g l e w e l li sl o o k e da ss t u d y i n go b j e c t e x t e n s i v ea n dd e 印s t u d y i n gi sc a r r i e do ns t r e s s s e n s i t i v e v e r t i c a lf r a c t u r e d w e l l st e s t i n g f r a c t u r e d w e l l st e s t i n gm o d e l si nd i f f e r e n to i l g a sr e s e r v o i r s h a v eb e e ne s t a b l i s h e da n dw o r k e do u t n e wt y p et e m p l a t ec u r v e sh a v eb e e np l o t t e d f o l l o w i n g r e s u l t sh a v e b e e np r e s e n t e d ： ( 1 ) f u r t h e rs t u d y i n go np r i n c i p l eo f f l o wo f f l u i d st h r o u g hp o r o u sm e d i ai nd e f o r m e d m e d i ar e s e r v o i r sa n dv e r t i c a lf r a c t u r e ( 2 ) b a s eo nt h ee x i s t i n gm o d e l s ，f i n i t e c o n d u c t i v i t y v e r t i c a lf r a c t u r ei nd e f o r m e d h o m o g e n o u sr e s e r v o i r b i l i n e a ra n dt r i l i n e a rw e l l t e s tm o d e l sh a v e b e e ne s t a b l i s h e da n d w o r k e do u t t h ee f f e c t so ft h eq u a d r a t i c - g r a d i e n tt e r ma n dw e l l b o r es t o r a g eh a v eb e e n c o n s i d e r e d ，n e wt y p et e m p l a t ec u r v e sh a v e b e e np l o t t e d ( 3 ) b a s eo nt h ee x i s t i n gm o d e l s ，f i n i t e c o n d u c t i v i t y v e r t i c a lf r a c t u r ei nd e f o r m e d m e d i u mw i t hd o u b l ep o r o s i t yb i l i n e a ra n dt r i l i n e a rw e l l - t e s tm o d e l sh a v eb e e ne s t a b l i s h e da n d w o r k e do u t t h ee f f e c t so ft h eq u a d r a t i c g r a d i e n tt e r ma n dw e l l b o r es t o r a g eh a v e b e e n c o n s i d e r e d n e wt y p et e m p l a t ec h iv e sh a v e b e e np l o t t e d k e yw o r d s ：d e f o r m e dm e d i u m ，v e r t i c a lf r a c t t r r e ，f i n i t e - c o n d u c t i v i t y , q u a d r a t i c g r a d i e n t t e r m ，p r e s s u r ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其它人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 研究所做的任何贡献均已在论文中做出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 日期：年月日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部i - j ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借 阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩 印或其它复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者 指导教师签名 日期： 日期： 年月 日 年月 日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言 1 1 课题提出背景及研究意义 自1 9 4 7 年7 月压裂技术首次在美国堪萨斯州胡果顿( h u g o t o n ) 气m k e l p p e r 井应用 以来，水力压裂技术作为一种增储上产的手段在低产油气田的勘探和开发中发挥了极其 重要的作用。在1 9 9 5 年以前，美国直井中有3 5 - 4 0 都被压裂过，全美油气储量的2 5 一3 0 是用压裂来进行开发的。1 9 5 5 年玉门油田进行首次水力压裂，最近十年年均压裂酸化 8 0 0 0 井次以上( 相当于世界范围内的1 4 ) ，年均增油6 6 1 万吨【2 】。目前，压裂技术仍然是 国内外低产油气田最有效的开发手段。 压裂在油气田勘探、开发中成为有效的技术措施，是因为它从以下几个方面提高了 低渗透油气藏的生产能力： 1 、沟通了油气储集区，特别是低渗透储集层； 2 、改变油层流体流动形态，降低了渗流阻力，在近井地带将压裂前的径向流改为 压裂后的单向流动，节约了大量能量； 3 、克服了井底附近的污染； 4 、解除了井底附近的堵塞。 关于压裂井的压力动态及产能分析问题，目前已有的解析理论主要着重于均质地 层，对非均质复杂地层研究较少，而实际的压裂井所处非均质地层中，因此，研究地层 性质及边界因素对垂直裂缝井压力动态及产能的影响具有重要意义。 水力压裂是改造油气层的有效方法，是油气水井增产增注的重要措施。水力压裂的 效果在很大程度上取决于对地层情况的认识和了解，而垂直裂缝井试井分析技术是认识 和了解地层、分析和评估压裂施工质量的有效方法。众所周知，油井生产中大部分压力 降都产生在近井地带，为了提高油井产量，有必要改善井筒表皮效应，提高近井地带地 层的渗透性。实践表明，人工水力压裂对此最为有效。水力压裂过程是通过对目的储层 泵注高粘度前置液，以高压形成裂缝并延展，而后泵注混有支撑剂的携砂液，携砂液可 继续延展裂缝，同时携带支撑剂深入裂缝，最后使压裂液破胶降解为低粘度的流体流向 井底反排而出，在地层中留下一道高导流能力的通道，以利于油气从远井地层流向井底。 裂缝一般垂直于最小应力方向展开，有水平裂缝和垂直裂缝之分，有有限导流、均匀流 量和无限导流区别。开发的过程中人们常常通过人工水力压裂改变井筒地带流体的渗流 第一章前言 方式、增加泄油面积、提高扫油效率，最终提高油井单井产量和采收率。虽然水力压裂 可能产生各种各样的裂缝，但是研究表明，在深度超过7 0 0 m 的地层中，压裂产生的裂缝 基本上都是垂直裂缝。 传统的渗流力学都是假设地层是均质的，而且地层渗透率是常数，它不随压力变化 而发生变化，这样的假设在许多情况下可获得很好的效果，但是真实油气层地质因素十 分复杂，这种特殊的地质因素主要表现为：地层渗透率不为常数，而为压力的函数，通 常叫可变渗透率地层或应力敏感于渗透率地层，在某些情况下也叫变形介质，在一些碳 酸盐岩的纯裂缝地层和致密性油藏中表现的尤为明显，这样的储层中，随着地下原油开 采量的增加，常渗透率的假设已经不再合适了，原因是在致密油藏中，随着孔隙压力的 减小，导致岩石有效应力的增加，因而孔隙尺寸将会减小以维持平衡，会导致渗流阻力 的增加。大多数实验室的实验表明，在低渗透率地层中，这些效应会更加明显。在具有 高初始地层系数的裂缝储层，如果井眼周围布满微裂缝，将出现地层供应流体能力的急 剧减小。类似的效应在高压型储层也能看到。在异常压力油藏的开采中，压力减小是被 地层相对大的膨胀作为初始补偿，渗透率减少一个数量级是常常可以观察到的。虽然实 验表明对孔隙度也有影响，但相对于渗透率而言微乎甚微。 目前研究变形介质和垂直裂缝井结合的情况比较少，本文引入了渗透率模数，建立 应力敏感地层垂直裂缝井均质地层和双重介质地层中的模型，并进行数值求解，分析压 力随模型参数变化的情况。 1 2 国内外研究现状 近年来，在油藏工程方面，对于垂直裂缝井的试井研究工作取得了很大的进展。 在均质地层垂直裂缝井方面，c i n c o l e y 【3 ，4 】等人在1 9 7 8 年研究了无限大油藏中有限 导流垂直裂缝井流动方程的图解，提出了有限导流垂直裂缝井的双线性模型和二维平面 模型并求得其解析解，也提出了常产量生产条件下的有限导流垂直裂缝井的试井典型曲 线。随后在1 9 7 9 年a g a r w a l 5 】依据- c i n c o - l e y 的思想提出了无限大油藏中有限导流能力垂 直裂缝井常流压下产量与时间的变化曲线。 嘶n g a n e n 【6 】等人在裂缝井的压力动态数据分析方面提出了一个典型曲线图版和三 个基本的结论：无限导流裂缝井的解( 沿着垂直裂缝无压力降) ，流量均布型垂直裂缝 井的解和流量均布型水平裂缝井的解。 s h e n g 惭l e e 7 】研究了均质油藏三线性流模型，同时该模型考虑了表皮系数、井筒 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 储存效应对压力动态的影响，该文在最后讨论了裂缝储存效应的影响。但是，双线性流 模型和三线性流模型虽然形式简明、计算速度快，但只能反映压力动态的早期段，而不 能得到中晚期的拟径向流；二维平面模型和椭圆流模型虽然曲线完整，但计算速度慢， 不能满足实时计算和快速响应的试井解释要求。 在非均质地层垂直裂缝井方面，关于双重介质油藏中垂直裂缝井试井分析方面的文 献较少，h o u z e 8 】研究了双重介质中无限导流垂直裂缝井的压力响应，通过联立一个地 层模型和一个裂缝模型，得到一个快速求解模型的办法并给出了一个带有常边界条件的 扩展模型。c i n c o l e y c - n m e n g 9 1 在l a p l a c e 空间中研究了双重介质中有限导流垂直裂缝井 试井模型的求解方法，考虑了流体在基质岩块中和裂缝中的流动，提出了双重介质有限 导流垂直裂缝井的拟线性流动模型( p s e u d o s t e a d y s t a t e sm a t r i xf l o wm o d e l ) 和双线性流 动模型( t r a n s i e n tm a t r i xf l o wm o d e l ) 。k u c h u k 1o 1 1 】等人对均质无限大油藏中垂直裂缝井 的三线性流动模型进行了研究，并做出了压力、压力导数图版。 1 9 8 7 年以后，国内渗流力学研究所刘慈群 1 2 , 1 3 , 1 4 1 等人对压裂井试井理论及方法研究 作了大量工作，发表过多篇讨论垂直裂缝井试井分析文章。1 9 9 0 年，刘慈群提出了在双 重孔隙介质中有限导流垂直裂缝井的非牛顿流体试井分析方法，给出幂律非牛顿流体瞬 时压力计算公式，刘慈群发表了考虑井筒存储和表皮效应的有限导流垂直裂缝井的试井 分析方法，利用椭圆流动模型和质量守恒方法，快速计算均质及双重孔隙介质油藏有限 导流垂直裂缝井试井分析的典型曲线。给出了椭圆流动模型的数学模型及模型的近似 解。1 9 9 5 年，刘慈群【1 5 】又发表了垂直裂缝井试井分析中应考虑的诸多因素的文章。刘日 武1 刀对均质和双重介质油藏中垂直裂缝井的研究工作进行了较为全面的分析研究，并 推出了新的模型。 1 9 9 1 年，m a z a r i 和w 0 w o o d e n 1 8 】等人在三线性流动模型的基础上，研究了裂缝表 皮、裂缝与地层高度比、井筒和裂缝存储、裂缝到地层的水力扩散和压力的相分离对有 限导流垂直裂缝的影响。1 9 9 3 年，y i z h ul i a o 和w j l e e 1 9 】联合发表了一篇文章，文中 提出把裂缝和地层都考虑成椭圆形，并建立了相应的数学模型，并利用数值差分的方法 进行了求解，该方法考虑了井筒存储和裂缝表皮的影响。 1 9 9 9 年，刘慈群、宋付权1 2 0 利用拉普拉斯变换方法通过产量与压差的关系获得了垂 直裂缝井产量及累加产量的计算公式。该文章提供了不同地层参数影响下的理论图版， 分析了弱渗透补给系数对混合边界油藏开发的影响。但该文考虑了无限导流能力垂直裂 缝的情况而未考虑有限导流垂直裂缝井的情形。 第一章前言 2 0 0 0 年，蒋廷学、郎兆新1 2 l j 等对低渗透藏中压裂井动态预测方法进行了较为全面的 综述，其利用有限元方法求解了压裂井的产能，并讨论了有限元方法在应用中的优点。 2 0 0 3 年，杨龙瞄】利用叠加积分方法，先给出了在封闭油气藏中存在有限导流垂直裂 缝的生产井井底压力分布公式，再根据杜哈美原理，计算出垂直裂缝井的弹性产量数据， 用不稳定的方法预测了单一的、存在有限导流垂直裂缝井的产量。该文考虑了表皮和井 储的影响，可确定油气藏的最终采出量。 在变形介质的研究方面，k i k a n i 和p e t r o s a 2 3 】建立的均质变形介质圆柱系统的流动模 型，定义了渗透率模数，采用摄动法求得了零阶、一阶和二阶摄动解，分析了流动特征； y e u n g 【2 4 】考虑了均质变形介质的球流动问题，利用一种简单的技巧获得近似解析解，但 精度比较低；同登科【2 5 ，2 6 1 对双重变形介质采用d o u g l a s j o n e s 预估校正法求解，取得了很 好的效果：赵冬梅【2 7 】建立了压敏三重介质油藏的数学模型，并进行了压力分析，但是只 考虑了溶洞渗透率随压力变化的情况。苏玉亮1 2 8 】利用解析法和数值法对变形介质中一维 线性弹性直线渗流的数学模型进行求解，与常规的线性弹性不稳定渗流解进行了对比， 并着重分析了渗透率的变化对地层压力的影响。 1 3 本文的主要工作 第一章提出了本课题提出的背景以及研究的意义，以及对国内外该理论研究现状的 介绍。 第二章是对均质地层中无限导流和有限导流垂直裂缝井模型进行了简单介绍。 第三章和第四章分别介绍了在考虑二次梯度项的情况下，变形均质地层中有限导流 垂直裂缝井双线性模型和三线性模型的推导过程及其差分格式，并求出各个模型的数值 解，绘出了压力曲线，分析了各个基本参数对压力曲线形态的影响。 在第五章和第六章中，我们建立了在油藏具有裂缝空隙结构的双重介质地层中， 考虑压力敏感于渗透率的情况下，有限导流垂直裂缝井双线性模型和三线性模型，并利 用有限差分求出各个模型的数值解，绘出了压力曲线，分析了各个参数对压力曲线形态 的影响。 最后结论部分对本文所研究的主要内容进行了总结。 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章垂直裂缝井试井模型 垂直裂缝变导流能力是一个难以用数学语言准确描述的问题，垂直裂缝变导流能力 按线性，指数两种方式变化，也可以将垂直裂缝的导流能力考虑成随位置变化，即距离 井筒越近，导流能力就越大，距离井筒越远，导流能力就越小，裂缝的导流能力用裂缝 的宽度和裂缝渗透率的乘积来表示，无限导流裂缝即为裂缝的渗透能力无限大，流体在 裂缝中流动时无压降损失( 压降损失可以忽略) ，有限导流裂缝即为流体在裂缝中流动 时有压降损失，结果沿裂缝壁面有流量分布。 2 1 无限导流垂直裂缝井试井模型特征【2 9 】 如图2 1 所示是无限导流垂直裂缝井不稳定渗流试井模型示意图，该模型的基本假 设条件为： ( 1 ) 上下为不渗透边界、水平为无限大边界的均质油藏中被压开一条垂直裂缝， 裂缝与井筒相对称，裂缝半长为x ，； ( 2 ) 整条裂缝中压力相同，即沿着裂缝没有压降产生，也没有渗流，此时裂缝的 渗透率k ，为无限大； ( 3 ) 不计裂缝宽度，即w ，= 0 ，裂缝穿过整个地层； ( 4 ) 忽略毛细管压力和重力的影响； ( 5 ) 地层流体为微可压缩单相流体，在地层中作达西渗流； ( 6 ) 地层流体从油藏中一旦流入裂缝，即瞬时流入井筒，该井以某一定产量进行 生产，试井测试在该井进行。 无限导流裂缝 井 图2 - i 无限导流垂直裂缝井试井模型示意图 f i 9 2 1 m o d e lo fi n f i n i t e c o n d u c t i v i t yv e r t i c a l l yf r a c t u r e dw e l l 第二章垂直裂缝井试井模型 垂直裂缝井不稳定渗流数学模型由两部分组成，即地层中的流动和裂缝中的流动， 从地层的角度来说，可将裂缝看作是汇区；对于裂缝来说，内部流动一般看成一维流动。 我们定义无因次量： k h p 3 6 k t 0 1 5 9 2 cy x， p w 扩西蔽萨历t o2 丽如2 丽嘞2 茸嘞2 瓦嘞2 石。 均质油藏无限导流垂直裂缝井数学模型为： 储层流体控制方程每+ 等= 象 初始条件： 如( 厂d ，o ) = 0 内边界条件：! i r a t o 磐】= 一l r o v 弧 外边界条件：p ，( o o ，t o ) = 0 运用l a p l a c e 变换方法求解可以得到以下解式： u p o ( t o ，“) = g ( r 0 4 石) 式中蠢+ 圬= 名 通过压力叠加原理，可以得到无限导流垂直裂缝油藏在l a p l a c e 空间内压力分布公 式： 1 _ h l 一 l ( r o ，甜) = 三f ( 板b 一口) 2 + 露云) d 口 甜： 如g r i n g a r t e n 等人指出，井底压力解可取勤= o 7 3 2 ，y o = o 得： 一 + l p 。( r o ，“) = 一1f k 0 g ( 0 7 3 2 - 0 0 2 石) d 口 u ： 进行l a p l a c e 反演得： 毛厄t p r f ( 等，- 1 - e r f 学肛o 0 6 7 e i ( 一半，- 0 4 3 3 e i ( 一半， 若考虑到井筒储集效应和表皮效应，应用叠加原理，在l a p l a c e 空间上，可用下式 来求得： 五：j 醴挲l 一 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 式中p ( u ) 即为l a p l a c e 空间上不考虑井筒储集和表皮效应的井底压力解。 2 2 有限导流垂直裂缝井试井模型特征 如图2 2 所示是有限导流垂直裂缝井试井模型示意图，该模型的基本假设条件为： ( 1 ) 上下为不渗透边界、水平为无限大边界均质油藏被压开一条不可变形的垂直 裂缝，裂缝与井筒相对称，裂缝半长为x ，； ( 2 ) 裂缝的渗透率为k ，沿着裂缝存在压力降，即裂缝中有流体在流动； ( 3 ) 裂缝的宽度为1 4 ，裂缝穿过整个地层； ( 4 ) 忽略毛细管压力和重力的影响； ( 5 ) 地层流体为微可压缩单相液体，在地层中作达西渗流； ( 6 ) 地层流体先从油藏中流入裂缝，再从裂缝流入井筒，该井以某一定产量进行 生产。 不渗透边 h 图2 - 2 无限大地层中有限导流垂亘裂缝井试井模型不蒽图 f i 9 2 - 2 m o d e lo ff i n i t e - c o n d u c t i v i t yv e r t i c a l l yf r a c t u r e dw e l li ni n f i n i t ef o r m a t i o n 定义以下无因次变量： 如= 丽3 6 k t 知端，= 丽k h c p , - p f ) ，c d = 南，2 等， x d2 i 2 # 饧2 i 7 第二章垂直裂缝井试井模型 储层模型： 通过压力叠加得到垂直裂缝井油藏压力分布公式： “p r o ( 场，“) ：了五( 口( 托i 孑i 了石) 如 裂缝模型： 严格描述裂缝中流体渗流问题的控制方程组可以写为： 争+ 0 却2 p ：f = 警誓肌x 删哪詈缸2 劫2 k ， a 一_ ，vv 、2 。 初始条件为： p ，( x ，y ，f ) = b 缝端封闭条件为：o p ( x 一, y , t ) ：o 缝对称条件为：鱼掣：o 裂缝面与储层流量相等的条件为： t 锄( 。，孚f ) s砂 七祧，等力 aa y 井底流量条慨t 卢华= 等 考虑到与井泄面积相比裂缝尺寸比较小，可利用裂缝与储层流量相等的条件，在裂 缝内对上述方程进行积分平均进行简化： 垫+ 竺望h ：丝丛a 丝，o x x ， 叙2 。m 砂。产孚 。掰， 研究结果表明，将以上裂缝中的流体渗流方程简化为稳态形式可以获得比较好的计 算效果，即： 等+ 蔫瓤半一o ， 。 缸2 w r 尼r 砂。y = 孚 。 对以上方程组进行无量纲化，并取l a p l a c e 变换，结果为： 可0 2 p ：o + i 2 瓦0 p oi ，号= 。，。 而 1a ) c 0c d 砂d ) y 。等 u 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 d p pn 一2 u d r y , dp f d 兀 一= 一一dxd c d z l 而裂缝中的流量分布与地层进入垂直裂缝壁面的流量关系为： 弓觑2 玺i 产孚 求解上述无量纲模型得出： ；怕一五( 护舂( 了f 扣) d u d v ) 注意到在缝面处油藏压力和裂缝压力相等这一条件，即： p ，d ( b ) = p r d ( ，0 ) 裂缝压力分布方程和油藏压力分布方程联立求解可得： 一一-ifi占归(口，甜)；肋(口，ydpwdy d = o ) d a = m 。三“( x d z ，j _ 归( “) d u d v ) 00 一k ( 刚) p 肋( 口，= = 。宄似一z ，仆归 1一f d 一 对于井以常产量生产情形，还应存在裂缝流量分布的积分归一的关系： - j q s d ( a , u ) d a = 吉 以上积分方程属于f r e d h o l m 积分方程，可以通过边界元法进行求解。 2 3 双重孔隙介质油藏有限导流垂直裂缝三线性流模型 双重孔隙介质油藏是目前常见的一种地层类型，对于具有天然裂缝的碳酸岩盐地 层，一般表现出双重孔隙介质油藏的特征，该模型的假设条件为： ( 1 ) 油藏中具有裂缝孑l 隙双重结构，为水平板状油，油藏边界无限大； ( 2 ) 有一条可贯穿地层，对称于井轴的半长为x ，宽度为b 的有限导流裂缝，如图 2 - 3 所示； ( 3 ) 裂缝中流体呈线性流动，地层中流体为基质团块进入裂缝网络，在i 区只有y 方向的流动，在i i 区只有x 方向上的流动，流体最终进入垂直裂缝进入井底，如图2 - 3 所示； ( 4 ) 流体为牛顿流体，井底完善，忽略重力作用。 9 第二章垂直裂缝井试井模型 图2 - 3 双重介质有限导流垂直裂缝井模型 f i 9 2 - 3 m o d e lo ff i n i t e - c o n d u c t i v i t yv e r t i c a l l yf r a c t u r e dw e l lw i t hd o u b l ep o r o s i t y 在双重孔隙介质油藏中，包含两个系统：裂缝系统和基质系统。裂缝系统的渗透率 比基质岩块的渗透率大的多，原油由基质岩块流到裂缝系统，我们称之为系统间的窜流， 然后再从裂缝系统流入人工裂缝。随着生产时间的延长，基质系统和裂缝系统达到动态 的平衡，宏观上和均质油藏产生同效的压降，此时可认为双重介质油藏等同于均质油藏， 系统呈现“均质 特征。 在早期，人工裂缝中的流体流向井筒，瞬间完成，然后地层中的裂缝系统的流体向 人工裂缝流动，即为裂缝系统流动期。在中期，地层主要表现为基质中流体向裂缝系统 窜流，在晚期，人工裂缝中流体向井筒中流动，地层中裂缝系统中的流体向人工裂缝流 动，在地层中基质中的流体向裂缝系统流动，三者之间达到动态平衡，即总系统流动期。 定义以下无因次变量： 。 = 毒，= 考，b di b ，砀= 毒，y e o = 詈，f d 亍面3 6 再k t x 7 ， x f x f x fx fx f 鲫c l = 素，j = f m ，2 ，= 瓦i c ；w 万，= 等，= 嚣， s m ：生，五：竺上，国：一丝l 。 码f d氏m + r f争f 乙f 七9 m 乙m 裂缝中流体的线性流动： 扩散方程：石0 2 p 了f d + 万2 百0 p i l ok ：6 d = 寺( 国o p ：。+ ( 1 - 0 9 ) o 甜p t 。) 窜流方程： o - 缈) 絮竽= 名( p _ i d 一) 内边界条件：瓦o p t d 扣丢( 1 一挈 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 裂端封闭：警打。 初始条件：p ：oi t o - - - 0 = o 双重介质i 区中的流体流动： 扩散施可a 2 p m + 等打c oo p l 。- + ( 1 刊等 窜流方程：( 1 - c o ) 毒竽= 力( a 。一) d l n 边界条件： a 。2 届。+ i 2 五c - 9 p 了l ok 也 l i mp l d = 0 y o + 初始条件：p l di t d = 0 = o 双重介质地层中i i 区的流体流动： 扩散楹百a 2 p 2 0 = 缈等+ ( 1 刊等 窜流方程：( 1 - c o ) 罢堑= 3 ( p 2 。一) o t n 。 边界条件： 岛。i x o = 1 2p ，。k ；t l i mp 2 d = 0 而 o 初始条件：p 2 di , o = 0 = o 对上面模型进行l a p l a c e 变换可求得其拉氏解得： 2 一f j 。而面万丽 非吲万2 而杀+ 与r l ； 若不考虑裂缝内基质团块的影响，则 = 秀2 赤+ 掣r l 第三章变形均质地层有限导流垂直裂缝井双线性模型 第三章变形均质地层有限导流垂直裂缝井双线性模型 基本假设 ( 1 ) 在各向同性、均质、水平无限大油层中，油层和裂缝具有相同厚度h ，上下为 不渗透边界、水平为无限大边界的均质油藏中被压开一条垂直裂缝，裂缝与井筒相对称， 裂缝半长为x ，； ( 2 ) 裂缝宽度为b ，裂缝穿过整个地层； ( 3 ) 忽略毛细管压力和重力的影响； ( 4 ) 地层流体为微可压缩单相流体，在地层中作达西渗流； ( 5 ) 地层流体先从油藏流入裂缝，再从裂缝流入井筒，该井以某一定产量进行生产。 符号说明 p ，：垂直裂缝压力；p ：地层压力； 办，矽：裂缝和地层中的孔隙度；砖，k ：裂缝和地层中的渗透率。 3 1 数学模型 = 型，办= 丽k 2 0 h 丽( p o - 面p 1 ) ，= 而k 2 0 t p y o1 8 4 2 1 0 - 3 q v b t o 2 一办2 两西而 2 面霹 = 学忙墟九= 等，铷= 器 s 帕2 荔鑫碍，砀2 毒y 。2 i y ，6 d2 詈 3 1 1 垂直裂缝模型 严格描述裂缝中流体渗流问题的控制方程可以写成： 争+ c 古考，c 誓烀华誓一孝5 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 其中；2 号，_ 2 办_ _ ，即等；2 i 1 面万q = 弓1 6 ，) ( 、2 j l z k h ，) 0 砂t 9 山；6 ， 所以裂缝的控制方程为： 誓+ c 吉c 誓灿芳考h = 笔等等 令 t = 毛。e 嘶巾一川，k = p 咣内一力 代入到式( 3 - 1 ) 中可得： ( 3 1 ) ( 幸) 等州挈2 坼2 k 2 坐oe r d p o - p d e - r , ( p , - p ) 乳= 警e r , t p o _ p d o 甜p f 2 ) 代入无因次变量： 印， l = ：一 苏 1 8 4 2 x 1 0 4 q t b a 2 p ， - = 一 苏2 k 出f 1 8 4 2 x 1 0 - ql l b0 2 p f d k 蟛 0 p l 一1 8 4 2 x 1 0 3 9 b k 2 0o p 归 一= 一一 o t 岛。h 舡c ，# o t o 裂缝的无量纲流动方程和初始条件分别为： 即 等嘞。卺n 等扩咖e 咖渤瓤矿甏扩咖等 等嘞c 玺n 去咖p _ ，d 砌象k b = 去扩即警 3 ， 初始条件：r li d = 0 = 0 内边界条件( 考虑井筒储集时) ：串o x o 一百s w m x 雨1 丽犁o r ix 。= o = c 万d r l 。 lhl l 一，n 1j 研“ 外边界条件：物l i m 。o r = 。 做变换，令 1 3 第三章变形均质地层有限导流垂直裂缝井双线性模型 则 肋= 一石1 砌( 1 一t ，7 ) ，2 一石1 砌( 1 一z 孝) ( 3 - 4 ) 印力 1 a 7 7 - - ：- 一= 一一 ( 1 一1 ，7 ) c 3 2 p m _ ：一血一；( 马2 + l 皇 a b 2( 1 一l 刁) 2 、a b7 。( 1 一l 刁) a 场2 印，d i a r 二- 一= 一一 西d( i 一l 印) a d 监：! 堕 钆( 1 一：孝) 饥 垂直裂缝模型方程为( 考虑井筒储集) ： 碚3 2 7 + 去嚣k瓠古cf d 却d q 妒毪 7 7 i r d = 0 2 0 串o x d 一等南孰一毒 。5 l i m 盟：o 如圳 重要的是分别经过变换方程( 3 4 ) 后，二次梯度项被吸收到方程中而没有做任何 近似，方程中的非线性项的系数只限制在右边。 3 1 2 地层模型 储层的基本微分方程为： 雾+ 圪白2 = 华害 代入( 宰) 式，进行无因次变换后得到： 等嘞c 静2 = 薏沙砌 经式( 3 4 ) 变换，消去二次梯度项： 丝：上丝( 3 6 ) 一= 一一 j v a ) 0 、一y d a t d 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 初始条件： 孝k ；。= o 内边界条件：f k 。b = 古 1 一( 1 一，r ) 缅】 ，d 2 外边界条件：l i mf = 0 y o + o 地层模型方程为： 3 2 数值模拟 a 2 f 1 a f 一= 一一 砂d 2l 一2 孝0 t d 引f d ：o = 0 = 去卜”m ) 等】 l i m 孝= 0 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 对微分方程进行离散展开，时间维上取一阶向前差商，空间维上取二阶中心差丽。 3 2 1 垂直裂缝模型差分格式 差分方程、初始条件和边界条件差分： 初始条件：种= 0 ( 3 9 ) 内边界条件( 考虑井筒储集) ： 丝：l 二翌芏一s w y d 上鲨= ! 二鲨：一l ( 3 1 0 ) 2 缸 l 一饧l 磁+ 1 a t 外边界条件： 訾n+l _ n + l = 。 ( 3 1 1 ) 差分方程： 坠7 7 n + l 2 _ ! ! n + l ：坐n + l + 三者+ 1 - - , x n + li： ! ：堡n + l 丑n ( 血) 2 。c 刀 a y i x = x 铷( 1 一1 矿“) a t 伽龉一搿删 ( 1 一。彬+ 1 ) ( 硝1 2 矿+ 1 + 栋1 ) + 五( 笄“- 毒g + 1 ) l ，：毛卜( 矿州一矿) = o ( 3 1 2 ) 将式( 3 1 7 ) 代入式( 3 1 2 ) 中可得： 1 5 第三章变形均质地层有限导流垂直裂缝井双线性模型 ( 1 - 矿+ 1 ) ( 硝1 2 矿+ 1 + 编。) + 力( 笄州i ，：而一z 1 ( 1 一( 1 一t 矿+ 1 ) 场。) ) ) 一f l ( , 7 7 r d 2 + 1 一矿) = o ，d 2 当i = 0 时，由式( 3 1 0 ) 得： 代入式( 3 1 3 ) 得： 群甜l + 等 ”枷+ i ) ( 2 - 2 + 等一 fl 一饧。猫“ c 易缸l 一，d 。移1 ( 掰”一磁) ( w + 1 一聪) + 名( 斧- i 脚一- 1 ( 1 一( 1 一。掰+ - ) 等) ) ) 一f l ( , 7 0 “一掰) ：o 如2 当i = n 时，由式( 3 - 1 1 ) 得：巩n + + l l = 辄n + 一1 1 代入式( 3 1 3 ) 得： ( 卜符1 ) ( ( 2 喇一2 带1 ) + 兄( 胃+ 1i 。一z 1 ( 卜( 1 一t 符1 ) 场i ) ) ) 一( 移1 一碥) = o 2 垂直裂缝差分方程组为： ”脯黼1 乞+ 等一等l 一场i w + 1 ( 档“一磁) ，州l 。一去( 1 - ( 1 嘞) 等) ) ) _ 厦蚓= 。 ( 1 一- 矿+ 1 x ( r l ；_ s 1 2 矿+ 1 + 惦1 ) + 五( 并”i ，t 而一石1 ( 1 一( 1 - - 形+ 1 ) m ”) 一从彬+ 1 一彬) = o +丑堕 ( i 一，d 。, 7 7 1 ) ( ( 2 7 7 嬲- 2 r 品+ 1 ) + 见( 笄+ 1i 。一三一( 1 一( 1 一，d 。，7 1 ) ，d ) ”一 1“ 2 , 7 1 一碥) = 0 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 一1 5 ) 利用n e w t o n - r a p h s o n 算法求解，计算4 = f ( 砟) 得到一个三对角矩阵，三个对角 分别为l 、u 、d ，其中： 上【f 】= 1 一。矿，u f = 1 一l 矿州，u 【o 】_ 2 ( 1 一l 磁+ 1 ) ，l n 一1 】= 2 ( 1 一l 带1 ) d 【f 】= ( 1 一如。矿+ 1 ) ( 一2 一a ( 1 一。群+ 1 ) 场1 ) 一。( 幅1 - 2 矿+ 1 + 稿1 + 兄( 笄“ 1纽 一二( 1 一( 1 一。矿“) 场t ) ) ) 一 1 6 l 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 d 【挖一1 】：( 1 一1 7 7 ，) ( 一2 一名( 1 一。栉- ) 卺) 一。( 2 刁必一2 彬1 + 兄( 笄+ i 一1 ( 1 一( 1 一，刀- ) t ，d 0 2 。) ) ) 一 如2 i ，； 。嘲=c一。磋+1，c乏一瓦主言号署南端+i)-a,(1-。磁“，y_砌03_i，一。c2w+1 _ 2 瑶“ c f d & 3 2 2 地层模型差分格式 1 一场l 磁“ ( 瑶+ 1 一缩) + a ( 并“i ，= o 差分方程、初始条件和边界条件差分： 初始条件：等= o 内边界条件：嚣“b ：上【1 _ ( 1 一。种嚣】 。2 外边界条件：嚣1 = 0 差分方程 令口= 滓1 时 ( a y ) 2得 由式( 3 1 7 ) 可得： i - n 时 。，器1 2 算“+ 器1 一 t t ：n + l ( 1 - 垃铲2 一一1 ( 1 一( 1 一。磁+ ，) 等) ”一 7n 2 卢”+ l 一卢” ji ，f ( 1 一：彰+ 1 ) ( 器1 2 等+