（基础数学专业论文）风险度量与投资组合模型的研究.pdf

7 孓s 遣鸯 独创性声明 口忧中f 6 7 y 2 9 7 3 ； 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 勾刖j 签字日期：少z 年月 日 西北大学硕士学位论文 风险度量与投资组合模型的研究 勾明 ( 西北大学数学系西安7 1 0 0 6 9 ) 摘要： m a r k o w i t z 以证券投资收益率的方差作为组合证券风险的度 量，开辟了金融定量分析的时代，在度量风险的思想上建立了组合 投资决策模型。该模型在理论和实际应用中都有重要意义。本文以 风险度量和证券组合为题进行研究，在m a r k o w i t z 投资组合选择理 论的基础上，进一步探讨了投资收益率与风险的关系，投资组合有 效集与有效边界的有关性质，并对有效组合证券的边界特征作了进 一步的分析，推出了n 种风险证券的有效均值方差组合 ( ，彬，及) 的数学表达式以及存在无风险证券时的投资组合 选择的数学模型：考虑到在实际应用中，卖空条件在某些场合是不 允许的或很难实现的，本文讨论了不允许卖空条件下证券投资组合 优化问题及有效边界的构成和性质；对半方差法作为风险度量的投 资组合模型的有效边界以及投资决策作了分析；烽文在分析了两种 方法的不足，并且考虑到实际投资的情况，利用半方差的思想，提 出了一种风险度量方法，建立了相应的证券组合模型，给出了该方 法的有效边界的确定，同时对三种方法作了比较分析。本文的研究 成果对证券投资有一定的指导意义。， 关键词：风险风险度量方差半方差有效边界 、 最优投资组合投资组合 、 第3 页共5 6 页 t h er e s e a r c ho nt h er i s km e a s u r e a n dp o r t f o l i om o d e l f o ri n v e s t m e m g o u m i n g ( d e p a r t m e n to f m a t h e m a t i c s ，n o r t h w e s t u n i v e r s i t y , x i a n ，7 1 0 0 6 9 ) a b s t r a c t ： m a r k o w i t ze s t a b l i s h e dt h e c o m b i n a t i o ni n v e s t m e n tm o d e lo nt h e t h o u g h to fm e a s u r i n gt h er i s kb yt h ev a r i a n c eo fr e v e n u e ，s r a t ea n d d e v e l o p e dt h et i m e so f t h ef i n a n c i a lq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s t h a tm o d e l h a s l m p o r t a n tm e a n i n ga tt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o n o nt h ef o u n d a t i o no f m a r k o w i t z sp o r t f o l i ot h e o r y , t h er e l a t i o n so f r e v e n u e 。r a t ea n dr i s k t h e e f f i c i e n tp o r t f o l i og a t h e r i n ga n d t h eb o u n d a r yo ft h ep o r t f o l i oa r ef u _ n h e r s t u d i e di nt h i sp a p e r m a t h e m a t i c a le q u a t i o n so f t h ee f f i c i e n tp o r t f o l i oo f ，彬，呒，a s w e l la s p o r t f o l i os e l e c t i o nw i t haf i s k l e s sa s s e t h a v e b e e np u to u t t h es e m i - v a r i a n c ep o r t f o l i om o d e la r e d i s c u s s e da n dt h e s h o r t c o m i n g s o f s e m i v a r i a n c e p o r t f o l i o m o d e la n d m a r k o w i t z ，s p o r t f o l i om o d e la r ea n a l y z e d ak i n do f i m p r o v e dr i s km e a s u r em e t h o di s b r o u g h tu pa n dt h ep o r t f o l i om o d e li se s t a b l i s h e da n d t h ec o m p a r i s o n so f t h r e ek i n d so fm e t h o d sa r em a d ea t t h es a l n et i m ei nt h i s p a p e r t h e r e s u l t so ft h i sp a p e rh a sd i r e c t i o n st os e c u r i t i e s i n v e s t m e n t k e yw o r d s ： r i s kr i s k m e a s u r e v a r i a n c e s e m i v a r i a n c e p o r t f o l i oe f f i c i e n tb o u n d a r y s u p e r i o rp o n f o l i o 第4 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 引言 组合投资思想由来已久，古巴比伦犹太教法典中就曾有记载： 人们应当总是将其财富一分为三，一部分投资于土地，一部分用于 商业，其余的三分之一留在手中。长久以来由于受制于投资对象和 分析工具的局限性，未形成有效的理论体系。 费舍尔( f i s h e r ) 、马夏克( m a r s c h a k ) 、希克斯( h i c k s ) 在对实物资 产的分析中首次提出了用概率分布来描述资产收益的不确定性。用 均值方差空间的无差异曲线表示投资者的偏好的方法。首次提出了 对不确定性的表达思想，在此基础上，m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年通过对 投资者效用函数的分析，明确提出用收益率的均值和其方差来衡量 资产的收益和风险。在资产的收益性和风险性这一对矛盾的特征间 建立了数学联系。 m a r k o w i t z 以证券投资收益率的方差作为组合证券风险的度 量，开辟了金融定量分析的时代，在方差法度量风险的思想上建立 了组合投资决策模型，并对模型进行了求解分析，给出有效边界函 数和最优解的表达式。有效边界实际上是投资者的决策方案集。方 差法思想对风险的定义是收益率波动的不确定性，因此收益和损失 均为风险。采用数学上的方差工具度量风险在理论上取得了很好的 求解结果。但是在实际应用上m a r k o w i t z 模型还存在局限性。 半方差法分析了方差法的局限性，考虑了投资者的投资行为， 对方差法度量风险作了进一步的研究。它以面临损失的可能性作为 风险的定义，以证券投资收益率的半方差作为组合证券风险的度量， 第5 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 并建立了相应的投资决策模型。本文首先对m a r k o w i t z 投资组合选 择理论作了进一步的探讨，分析了投资组合有效集与有效边界的有 关性质，推出了n 种风险证券的有效均值方差组合( 睨，形，既，w ) 的数学表达式以及存在无风险证券时的投资组合选择的数学模型， 然后对方差法和半方差法这两种方法对应模型的求解，有效边界的 确定作了比较分析，指出两种方法的局限性。并且根据投资实际操 作，在半方差思想下提出了一种投资风险的度量，并且建立了相应 的组合证券决策模型，分析了模型的求解，有效边界的确定，及根 据所给算例和方差法、半方差法作了比较。 本文的结构安排如下： 第一章介绍了现代金融理论的发展简史和现代金融理论的基本 概念和基本理论、以及符号和公式。 第二章重点对投资组合理论、m a r k o w i t z 方差风险度量模型进 行了深入的研究，对有效边界、最小方差组合证券集作了分析，推 出了n 种风险证券的有效均值方差组合( 睨，形，w ) 的数学表达 式以及存在无风险证券时的投资组合选择的数学模型，同时对不允 许卖空条件下的有效边界作了研究。 第三章引进半方差的定义，对用半方差度量风险的投资组合模 型作了分析。 第四章针对两种模型的不足之处，提出了二种风险度量和相应 的投资模型，给出了模型的有效边界，最优投资比例系数的确定方 法。同时给出了三种模型的对比分析结果。 第6 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 第一章现代金融理论基础 第1 节现代金融理论发展简史 金融，英文为“f i n a n c e ”，在不同的场合有不同的译法，c o r p o r a t e f i n a n c e ( 公司财务或理财) 和f i n a n c i a lm a r k e t ( 金融市场) ，“金融” 通常仅仅被理解为后者。但实际上是很不科学的，因为两者在本质 上是紧密联系的。因此，广义的“金融”应包括财务的含义。因为 现代企业的兼并，收购和合并所涉及的财务重组和建构问题，也是 金融学的研究对象。 现代金融理论涉及所有资金融通方面的内容，包括对融资主体、 融资市场的研究，一般分为三部分： 1 、金融市场理论( m o n e y a n d c a p i t a l m a r k e t t h e o r y ) 如证券( 包 括期权定价) 、利率结构、汇率等。 2 、投资学( i n v e s t m e n t ) ，专门研究投资这如何投资以获得最佳 收益，如最优投资决策理论，风险管理理论等。 3 、公司财务管理( c o r p o r a t ef i n a n c e ) ，专门研究企业如何筹集 和使用资金等。 现代金融理论是指在金融经济学中大量引用金融数学研究金融 风险的防范和控制、资本市场的运营、资产的结构和定价理论。金 融数学，英文为“m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ”( 也称数学金融学，分析 金融学) 就是利用数学工具研究金融，进行数学建模理论分析，数 值计算等定量分析，以求找到金融活动内在的规律并用以指导实践。 金融市场是指债券、基金、股票、期权和期货等金融证券市场。 第7 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 证券的起源是从中世纪意大利的威尼斯、热那亚等城市发行军事公 债开始的。现代金融理论是伴随着金融市场的发展而不断成熟起来 的。 1 9 0 0 年，法国的路易巴谢利叶( l o u i s b a c h l i e r ) 发表了他的博 士论文投机理论宣告了现代金融学的诞生。在此论文中，他第 一次给予了b r o w n 运动以严格的数学描述。然而，巴谢利叶的工作 没有引起金融界的重视达5 0 年。按照默顿( r c m e r t o n l 9 9 7 年诺贝 尔经济奖得主) 的说法，在2 0 世纪的上半叶，金融学基本上是描述 性的很少有精辟的定量分析，主要焦点在于市场的简单规范化一类 的活动中，尽管在1 9 3 8 年马考来建立了债务价格关于利率的敏感性 的数学模型。 1 9 5 0 年初，萨谬尔森通过统计学家萨法吉重新发现了巴谢利叶 的工作。这标志着现代金融学的开始。现代金融学先后经历了两次 主要的革命。 第一次是在1 9 5 2 年。那年美国经济学家、金融学家、诺贝尔 奖获得者哈利马科维茨( m a r k o w i t z ，h a r r y ) 发表了他的博士论文 资产组合选择( p o r t f o l i os e l e c t i o n j o u r n a lo ff i n a n c e1 9 5 2 v 0 1 7 ) 。提出了“资产组合选择的均值方差理论”( m e a n v a r i a n c et h e o r y o f p o r t f o l i os e l e c t i o n ) 。它的意义在于将原来人们期望寻找“最好股 票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险 水平极大化期望收益，或者给定收益水平即消化风险。这就是上述 “均值方差理论的”主要思想。我们可以将它看成是一个带约束的 第8 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 最优化问题。资产组合选择一文第一次从风险资产的收益率和风 险之间的关系出发，讨论了不确定经济系统中最优资产组合的选择 问题，获得了著名的基金分离定理，为资产定价理论奠定了坚实的 基础，应该说，m a r k o w i t z 的资产组合均值方差理论既是现代资产组 合理论的奠基石，也使整个现代金融理论的奠基石。在m a r k o w i t z 的工作之后，另外两位美国经济学家、金融学家、诺贝尔奖获得者 威廉夏普s h a r p ，w i l l i a mf 和约翰林特纳l i n m e r , j o h n ，分别在1 9 6 4 年的文章资本资产定价：风险条件下的市场均衡理论) ) ( c a p i t a l a s s e t p r i c e ：at h e o r yo fm a r k e t e q u i l i b r i u mu n d e rc a p i t a lo f 鼬s k j o u r n a l o f f i n a n c e1 9 6 4 v o l1 9 ) 和1 9 6 5 年的文章风险资产的价值，股票资 产组合的风险投资选择，资本预算( t h ev a l u a t i o no f r i s ka s s e t sa n d t h es e l e c t i o no fr i s k yi n v e s t m e n t si ns t o c kp o r t f o l i oa n d c a p i t a l b u d g e t s r e v i e w o f e c o n o m i c sa n ds t a t i s t i c s1 9 6 5v 0 1 4 7 ) 中在比较强 的市场假设下，给出了m a r k o w i t z 均值方差模型的均衡版本，即“资 本资产定价模型”( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l 简称c h p m ) 。数理金 融的核心问题是研究未来收益( 收益率) 概率分布假设为已知的金 融资产或金融合同在现今时刻的合理价值，而c a p m 正是在单周期 下这一核心问题第一个获得广泛应用的结果。c a p m 的要点是确定 每一个股票和整个市场的相关性。于是上述的最优化问题( 及均值 方差理论中的优化问题) 中，每一个股票的持有量可以由该股票的 平均回报率( 称为口) 和和该股票与市场的相关系数( 声) 来确定。 1 9 6 0 年代的另一个有影响的工作是萨谬尔森和砝码的“市场有 第9 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 效性的假设”。这本质上使对市场完备性的某种描述。他们证明在一 个运作正常的市场中，资本价格过程使一个下鞅。换句话说，将来 的收益的状况是不可预测的。这项工作为第二次革命作了铺垫。菲 舍尔和罗瑞利用1 9 2 0 中期到1 9 6 0 年中期的历史数据检测了“市场 有效性假设”。它们的结果表明，在这段时间内，随机的选择股票并 持有，其平均汇报率为每年9 4 ，这要比一般的专业经纪人为他们 的顾客运作所获得的盈利来的高。 现代金融学的第二次革命发生在1 9 7 3 年。那年，费舍尔布莱 克( f i s h e rb l a c k ) 和梅隆休尔斯( m y r o ns s c h o l e s ) ( 美国经济学家、 金融学家、1 9 9 7 年诺贝尔奖得主) 发表了著名的b l a c k s c h o l e s 公式， 给出了欧式期权的定价的显示表达式。布莱克曾在一篇文章中叙述 了当年他们的文章被接受的困难程度。其原因是他们的工作超前了 那个年代。不久默顿获得了另一种推导方法，并且给以了推广。1 9 7 9 年，c o xr o s sr u b i n s t e i n 发表了二叉树模型。同时h a r r i s o np l i s k a 提 出了多时段的和套利。1 9 8 1 年h a r r i s o n k r e p s 鞅方法提出了等价鞅测 度( 这与“市场有效性假设”有密切的关系) 这些工作本质上是为 了风险处理这个主题服务的。从上面的历史看，数理金融学本质上 是围绕着风险处理和效用最优化这两个主体开展的。 第2 节现代金融理论基本概念 定义1 效用函数u g ) 是b 哼r 单值映射，且对任意的x ，y b ， 若【，g ) u ( y ) ，这必有x 卜y 。b 是n 维e u c l i d 线性空间r ”中的一个 第1 0 页共5 6 页 凸子集。卜代表对每一个个体装配以选择偏好序关系。 基本的资产市场模型： 资产是长期提供服务流的商品。它可以提供消费服务流，如向 住房提供的服务，或者，他也可以提供能用来购买消费品的货币流。 提供货币流的资产称为金融资产。我们日常生活中所见到的债券， 上市公司股票就是金融资产的例子。债券提供的服务流是他所支付 的利息流，而股票提供的则是不同形式的现金流，如红利、送配股 等。基本的资产市场模型有两个投资时刻，记为时刻0 ( 代表今天) 和时刻1 ( 代表明天) ，并假定市场上有| 种资产，第_ ，种资产在时 刻0 的价格是确定已知的，记为。在1 时刻的价格即为p b ) ，其中，= 1 , 2 o 假设1 ( 共同信仰h o m o g e n e o u sb e l i e f s ) 市场上所有的投资者都一致 认同：资产市场上所有资产在时刻0 的现金流工， 0 其中，_ ，= 1 , 2 ，n 。 假设2 ( 无摩擦市场f f i c t i o n l e s sm a r k e t s ) 资产市场无任何交易成本、 税收、无卖空限制( 如要求保证金) ，资产数量单位无限可分。 假设3 ( 竞争市场c o m p e t i t i v e m a r k e t s ) 投资者都是价格承受者( p r i c e t a k e r ) ，即任何投资者的投资行为都不会影响市场资产的价格，也就 是说市场不存在价格垄断。 定义2 ( 投资组合p o r t f o l i o ) 假定投资者投资于第_ ，种资产的 数量为k ，k j o 代表买入( 或称作多) ，k 0a 3v ( c o ，e c t ，v a r ( c 1 ) ) 0a 3v ( c o ，e c l ，v a r ( c 1 ) ) o 代表买入( 或称作多) ，k j 0 ，f = ( 1 ，1 ，1 y j 定义3 一个资产组合国如果达到形b f ) 的最大值，则称之为 l o g - 最优资产组合。 引理 参见文献 1 对于给定的，矽b ，) 是f 的线性函数，对于给 定的f w 0 ，f ) 是( - 0 的凹函数。 引理c 参见文献【1 当f 固定时，l o 哥最优资产组合全体矿= b + 构成 一个凸集。 第1 7 页共5 6 页 一要型蔓望些兰竺墼 定理 参见文献 1 使倍率函数矿0 ，f ) 达到最大的l o 分最优资产组合 的+ 满足以下的k u h n 。t u k e r 条件： 憎x ，i 洲i = 1 蒜 第6 节有风险控制的l o g 最优资产组合 定义1 ( r s f g 数) 设z 是一实线性空间，是z 上的一个泛函， 称为z 的凸范数，如果它满足： ( 1 ) 正定性：对任一z z 有忙i i ，- o ；其中等号成立的充要条件为 z = 0 ： ( 2 ) 凸性：对任y ，z z ，a 【o ，1 】有 渺+ ( 1 一旯瑚s 兄圳+ ( 1 一旯删。 如果在( 2 ) 中当y z 时终有严格不等号成立，则称为的严格凸 范数。 定义2 ( 风险控制函数) 设为r 上的凸范数， x = ，x ：，肖，y 为收益向量，则资产组合= c o , ，吐，y 的 风险控制函数定义为 r ) ；e i i o x e 0 x 耻 特别地取r = e b x e b x ) 1 2 = t o t e ，e ：c o v ( x ，州为z 的协 方差矩阵，则r 0 ) 是s = x 的方差，因此用收益的方差作为风险的 度量是定义的风险控制函数的特例。 第1 8 页共5 6 页 型塑型型丝l 定义3 倍率风险函数) 定义有风险控制的l 。争最优资产收 益 形+ o ，f ) = m a x w 白，f ) = m a x e 【。9 0 r z ，国彰 耳= b b 忙0 ) r 耳表示投资风险不超过，的资产组合的全体) 称之为倍率风险函数。 定理 参见文献 1 使倍率一风险函数形h f ) 达到最大的1 。g 最优资 产组合的m 满足以下的k u l m - t u k e r 条件： 攻击憎采：定义她如叩叫 第1 9 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 第二章方差法风险度量及m a r k o w i t z 组合投资模型 第1 节单一证券投资收益与风险的概率分析 证券投资的收益率记为随机变量r ，其数学期望记为i ，方差 记为o - 2 ，标准差记为o - 。 定义1 投资某一证券，如果其投资收益率的标准差盯 0 ， 则称之为风险投资，其风险的大小为仃，如果其仃：0 ，则称之为 无风险投资。 定义2 当投资收益率r 未达到a ，b两证券期望收益率较 小者时，称r 为a ，b 证券收益率的比较损失；若 p r a r 。 = p k r 。 ，则称r 。为比较损失的临界点。 定义3 比较损失中，r 。 ， 0b f t e 一1 五 c 三页1 e 一1 页 0 a 暑a c 一矗2 0 显然4 ，b ，c ，均为标量。( 由于e 非奇异，一r f 页，即页k f ，k 为 常数，根据柯西不等式， 0 。如果i = k f ，则：o 这个问题无解) 。 从m l ( 4 6 】 ( 4 c ) ( 1 口) ( 1 6 ) 中联立求得最小方盖组合证券集的收益均值与 方差轨迹方程。 盯2 = w 7 e w = w 7 e 一e f + ，e - 1 i ) = aw 7 f + ，矿r f = a + ，r 第2 4 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 ：垃二堡竺j ( 5 ) = ：l _ ) ， 性质1 0 证券组合有效集为凸集。 性质n 在均值方差坐标系r 一盯2 中，( 5 ) 是一条抛物线方程。在 均值标准差坐标系卜盯中，( 5 ) 是双曲线方程。 性质1 2 模型( 2 ) 中的证券期望收益率同值变动时，其有效组 合边界不变。 将( 5 ) 式改写为标准的方程 从( 6 ) 时可以清楚地看出，这是中心在日，。 ，实轴为r = 罢( 与仃轴 平行) 的上半部双曲线方程( 因盯 0 ，下半部双曲线不存在) 。如图 2 所示。 双曲线的渐迎线斜翠为 j 匕i ：( 声，渐近线方程为盯：眈声( ，一) ( z ) j 为了以后进一步的讨论，我们可以将模型( 2 ) 的结果写成矩阵表 达式。 性质1 3 若令m = 口1 页1 ：_ix = 7 1 则模型( 2 ) 的有效集为 l ill 一 形： e - 1 m 7 陋一l m 寸1 x ，相应的风险 + ： 盯2 ：w r e w ：x r 妇- l m 叶1 x 第2 5 页共5 6 页 铲 矿一形 il 口 、 糙扣哆 薪j , f f 弹c r 。= 三c ，收益均值 图2 风险证券最小方差组合集 图2 种双曲线顶点g 为组合证券集矽的最小标准差点，称之为全局 最小方差点。 定义1 0 有效集上的一个资产组合形使盯2 ：w r e w 达到了最 小值，则对应的组合证券矿称作全局最小方差组合证券。 对( 5 ) 式求导 _ d o - - 2 ：2 a r - 2 b ：o 。将a ，之值代入求得 甜a = e - 1 钐( 7 ) 性质1 4 全局最小方差组合证券的收益均值页g = ，方差 盯：= 形。 假设占o ，我们定义= e - 1 ，组合证券称为可分散化的资产 组合。 性质1 5 组合证券的收益均值i 一= 呀i = ，方差一= ：， 标准差= ( ：) i 。 组合证券与的收益均值之差为 第2 6 页其5 6 页 西北大学硕士学位论文 儿+ 学眈一) 性质1 7 在有效组合证券集上，组合证券彤与收益均值呈线性 关系。 2 4 全局最小方差组合证券的协方差特性 性质1 8 种风险证券的任一证券或组合证券与全局最小方 差组合证券的收益协方差总是形。 参见文献 i 证明：类似于组合证券的收益方差有 ，、 n c o v ( ，巧) = 0 3 ，t q = 略肼0 c o v 眨，习= ( 爿7 e = 妒一e ) = 去( f r ) = 去 第3 节存在无风险证券的均值方差模型 3 1 最小方差组合证券集及均值标准差轨迹 当存在无风险证券是，就不存在对应于0 a ) 式的约束。如果 f 7 1 则说明要 借入资金投资于风险证券。此外，0 b ) 式的收益均值约束应改写为超 额收益均值形式。从而形成以下新的非线性规划问题： 模型3 m i a! 矿7 e 2 “伍一r o f r = r - - r o 用拉格朗日法解上述规划问题得 第2 8 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 = ，e - 1 伍一r 。f ) c o o = 1 - f 7 ，- ( ，一一洲r 。) 最小方差组合证券集及均值标准差轨迹 盯2 = 矽7 e w = 形7 e y e 。1 ( _ 一r o f ) = ，( ，一r 。) = i i 二( j r j - 词r o ) 2 1 1 也可写成 性质1 9 最小方差组合证券集及均值标准差轨迹，在均值方差 坐标系r 一盯2 中仍是抛物线。在均值标准差坐标系r 一盯中是一对与r 轴相交于粕、斜率为( c 一2 b r o + a r o 声的射线。 性质2 0 无风险投资与风险投资组合的再组合的风险( 标准 差) ，与在组合的期望收益率间呈线性关系。 l 5 澎 如图3 所示。 i 一2 b r o + 埘f 第2 9 页共5 6 页 ，蕊掣 + i 西北大学硕士学位论文 显然射线右枝是有效组合证券集的均值标准差轨迹。 3 2 切点组合证券 令= 0 1 n 2 ( b - a r o ) 彤= 譬掣 ( 1 2 ) 组合证券阢的收益和方差分别为 r tm 托w f ( c - 碉b r o ) 盯2 = w r e w = 瓮笋 由于i ，砰满足( 5 ) ，所以组合证券彤属于风险证券最小方差集。通 过计算点( 可，盯? ) 的最小方差轨迹( 双曲线) 的切线斜率可以证 明：t 点是通过r o 与最小方差轨迹( 双曲线) 相切的点。 对( 5 ) 式用隐函数求导法得 生竺：一垒墨! 二兰墨! ! 垒：兰型 d r 2 c ra c r 警= ( c 一2 舭。+ 爿瑶声 比较可知，r 点的切线斜率与射线斜率相同。因此称为切点组合证 券。图2 中显示了双曲线右枝的切点组合证券。 如果无风险证券收益r o 大于全局最小方差组合证券收益均值，那 么，切点组合证券以位于双曲线左枝；反之，则位于右枝。即 i f r o 第3 0 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 这是因为，( - ，一。k 一瓦。) = j a o 两个差值同号。 当时0 = r o ，不存在切点组合证券，因为此时的轨迹方程与双曲线 的渐近线方程相同 3 3 存在无风险证券的有效组合证券选择 彤：b - a r o 职一( b - a r o i c - 2 i b r o + a r g ) ， r 一嘞 o = 1 一f 7 + 性质2 1 存在无风险证券时，对给定的期望收益，有效组合证 券总是可以表示成无风险证券和风险证券的切点组合证券的组合。 投资者根据期望收益在无风险证券与彬之间作选择。当o 0 0 时，表 示无风风险贷出，当c 0 0 号时，盯 。只要页， 罢， 2 就存在，并随瓦的增长呈线性增长。所以z 是期望收益为瓦的 组合证券睨的系统风险。 盯：= 盯；一一是可分散风险( 或称剩余风险) 。在给定期望收益页，的条 4 牛- f ，任何不同于最小方差组合证券呢的组合证券将高于盯：的风 险盯：= d ；一吒2 。然而，当= 既时，盯；= o 即z = 吒2 = 盯；+ 吒2 i 以、q 2 第3 4 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 是可分散风险，最小方差组合证券既使盯；分散化，既只包含不可避 免和系统风险。因此，最小方差组合证券既是取得期望收益页。：页，的 最优投资选择。 第5 节不允许卖空条件下证券组合有效集与有效边界 考虑到在实际应用中，卖空条件在某些场合是不允许的或很难实 现的，下面讨论不允许卖空条件下证券投资组合优化、有效边界的构 成、确定方法与表达式。 不允许卖空就是不允许有负的投资比例系数。对于预期的 r ， m i l l 伍一) ，sm a x 伍母r = 1 ，2 ，不允许卖空条件下最优投资 比例系数的确定归纳为如下数学模型4 n f i nw t e w f矿7 i = r 珐jw 7 f ：l 【q 0f = 1 2 ，n 性质2 6 证券组合有效边界一定为凹函数。 令 页= m a x ( r ，r 。) 墨= m i n ( r l ，r ) 当r e 睡，面) 有唯一的最优解。模型( 4 ) 的边界函数的确定主要依据 下列结果。 定理5 1 参见文献 2 0 ：取定r 佳，页) ，对模型( 4 ) 的最优解 1 若w 0 ，则w 即为有效资产组合； 第3 5 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 2 若形o 的分量满足略o 畈 o ，；，t o ，一c o j o ，j ， 考虑【0 ，1 】上的函数 q ) = d 仁矿+ ( 1 一口沙+ ) ， 显然有 ( o ) = d 修+ ) 0 ，护。 0 。又当 ，“，时司位于巧与石之间，故司- 0 。 且 a m o = 以矿十( 1 口n 矿= b ，但是d 眠) = _ h ( 口o ) 0 ， n = 6 1 日， ，f d 一， 舢一小曲 一哥砌一，n r 若d d 一则r 不可能同时满足( 7 ) 和( 8 ) ，线性不等式组( 3 ) 无解。 这时，由式( 3 ) 所确定最有投资比例系数向量必有负分量，在这种 情况下，为要获得非负最优投资比例系数向量，必须删掉一种或一些 证券。如果以d d ，d 一 定理5 2 参见文献 1 9 3 3 如果满足d + ，d 一，则不允许卖空条件下 最优投资比例系数向量为 则有矽= c 0 1 2 ： 国 a i r + b l a 2 r + 6 2 a 1b l a 2b 2 ： ： a n b n 相应的的值为 盯2 = 矿7 e w = b r 0 e 一1 a 7 r 1 b ( 2 ) 定理表明，如果满足以，s 以，则不允许卖空条件下最优投资比例 系数向量的计算公式与允许卖空条件下最优投资比例系数的计算公 式完全相同。这在实际应用中是很方便地。在d d 一的情况下应先 删掉一种或一些证券，然后再应用定理。 用记号只。表示优化问题 第3 8 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 r a i n w j 。le u k w u - s l a 。t w m 。k 2b 其中形。为向量中去掉第f ，j k 各分量后得到的向量；4 。 表示矩阵中去掉第f ，j ，七列后得到的矩阵；e j j 表示h 阶矩阵e 中去 掉第f ，_ ，七行去掉第，七列后得到的矩阵。易知e 。形式上与模型 ( 4 ) 相同，它等价于问题 m i nw rew s ，一= b ，q = q ：= 吼= 0 性质2 7 只。的最优值不大于模型p 的最优值。 引理：问题只。的最优解必将区i 】划分为有限个相互邻接的子区 间，在每个子区间的内部，一切( ，) 的相应的分量具有相同的符号。 ( ，) 为这些子区间上的逐段线性向量函数 根据无非负约束最优化问题模型( 1 ) 的结果，对问题( 1 ) 的解再施 加不等式约束就可以确定出非负最优化投资比例系数向量的解析表 达式。 对于给定的n 种单项证券，其投资收益率均值为置( f = 1 , 2 ，n ) 。 r = m a x ( r l ，页”) 星= m i n ( 页k 页。) 则对于任一r 区_ 】，都存在相应的非负最有投资比例系数向量和对 应的风险值，当r 连续的页变动到墨时，点( ，盯2 ( ，”在平面，一盯z 上的移 动将形成一段连续的曲线，不允许空条件下组合证券投资有效边界为 该曲线的一部分。换言之，点k + ，盯：o + ”和点( _ , o - 2 ( _ ) ) 分别为有效边 第3 9 页共5 6 页 西北大学硕士学位论文 界的左端点和右端点。如果，d 一= r 则( 2 ) 式就是有效边界的数学表达式。如果以 页，则( 2 ) 式仅仅 是有效边界在区间k ，矗】上的数学表达式。有效边界在区间阢，瓦】上 的数学表达式，需要删除一种证券后，在根据定理5 2 确定。 下面给出确定的方法： 记d 一= r ( 1 ) ，d + = 稚) 设一生殳：d 一；m i i l 一! l t , ied - “t 【“ij 则删掉第k 种证券。此时e ，a ，形将作相应地降维变化，即删掉e 的第 行和第k 列，删掉4 的第七列，删掉矽的第k 个分量，变化后的e 和矽 分别记为e k 吼。这里k 表示删掉第种证券，在n 一1 种证券组合情形 下，对e ta k 在使用定理可以得到使最优化投资比例系数为非 负的r 变化区间k ，zj ，以及该区间上的风险盯：的数学表达式。 盯2 ：矽彳e t ：口t 70 t e k - 1 4 t 寸1b k 可以证明d ：r ( 2 ) 。记= 胄( 3 ) 。可以证明，当r = r ( 2 ) 时由式所确定的 风险值相同；当d ：r 蔓r ( 2 ) 时，由优化模型最所确定的风险值降低于 p 所取定的风险值。因此，当r ( o r r ( 2 ) 时相应的风险计算公式为 式当r ( 2 ) s ，sr ( 3 ) 时相应的风险计算公式为 归纳起来，在区间k o ) ，r o ) j 上，有效边界由两段抛物线构成。在 k ( 】) ，r ( 2 ) j 上的抛物线由式给出在) ，郦) j 上的抛物线由式给出 可以证明，两条抛物线在r = r ( 2 ) 处相切，即他们在，= r ( 2 ) 处光滑 连接，如果r ( 3 ) 一 ml 1 = = f f r r 矿形rd ，、l js、jl 西北大学硕士学位论文 的承受能力，确定投资方案。 文献【8 】给出了一种叫做临界线决策法的方法，可以通过解线性方程 组的简单方法求的投资组合的最优权重，达到风险最小收益最大。我 , f l l 并z j 用半方差的思想，给出一种改进的风险度量方法，该方法考虑了 双目标优化，同时可以给出有效边界的确定。 投资者在权衡证券的投资收益和风险是，通常以其在证券市场中 的经验对不同的有价证券选择不同的预期的收益率夏t ( f = 1 , 2 ，n ) 。所 以在一个证券组合中，应该以页：伍。，页2 ，。_ r 为标准来确定证券 投资的风险。证券的实际收益率r 作为一个随机变量，只有当其实际 收益率低于预期收益率时，才产生风险，当其实际收益率高于预期收 益率时则可以认为投资该证券组合是无风险的。假设一个证券组合的 收益率向量为r = ( r i , r ：，r ，) 7 我们根据半方差法的思想，提出用 矽7 e w 来度量r 低于i 收益的离散程度即投资风险的度量，用 w 7 e + w 来度量r 高于页收益的离散程度即投资收益的度量。w t e , + w 的值越大，说明证券收益率越高于瓦，从而证券组合的收益率 r = ，r ，值越大。因此，我们提出风险收益目标函数 加i 厂妒) = 矿，e 一形一矽7 e + w ，或 缈) = 彤7 1 e 一矽r e + 。此函数可以用 来刻画风险和收益相对比的大小程度。当，咿) = 矽7 e 。矽一矽7 e + w 0 ，