（概率论与数理统计专业论文）几类复合二项风险模型的破产问题研究.pdf

摘要 复合二项风险模型一直是学者和专家争相研究和探讨的课题。本 文在复合二项模型的基础上进行了一系列的推广，研究了在离散时间 的情况下，双复合二项风险模型的破产问题以及与索赔次数相关的破 产问题。最后本文还考虑了常量界下发放红利的复合二项风险模型的 破产问题。 本文主要由四部分组成 在第一章中，我们简单的介绍了风险理论的历史、现状与发展， 。其中重点阐述了经典风险模型的推广，从中我们可以看到风险理论的 发展趋势。 在第二章中，我们简单的介绍了期望、点过程、鞅、伊藤公式以 及布朗运动等一些基本的知识这些知识是我们学习风险理论重要的 理论基础。 在第三章中，我们构造了一种全新的双复合二项风险模型，将保 费的收取过程和索赔过程均设定为复合二项过程，并研究了它的破产 问题，从中给出破产概率满足的积分方程。再利用l a g r a n g e 引理和 多项式展开推出与索赔次数相关的破产概率公式。 在第四章中，我们在上一章的基础上，根据对实际的分析，增加了 常量界下发放红利这个因素。我们首先研究了理赔量为完全离散时风 险模型的g e r b e r s h i u 折扣罚函数和破产概率；再在保费、索赔和红 利的发生均为复合二项过程时，推出破产概率满足的积分方程。最后 给出当保费额、索赔额和红利额均服从指数分布时破产概率应满足的 等式。 关键词复合二项过程，g e r b e r - s h i u 折扣罚函数，破产概率，索赔次 数 a b s t r a c t 1 1 1 ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e la l w a y si si m p o r t a n tc o n t e n tf o r s c h o l a r sa n ds p e c i a l i s t s i nt h i st h e s i s ，w ew i l ld oas e r i e so fe x t e n s i o no n t h eb a s i so ft h ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l ，w h i c hi n c l u d e ss t u d y i n gt h e i n s o l v e n tp r o b l e mo ft h ed o u b l ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e la n dt h e i n s o l v e n tp r o b l e mw h i c hr e l a t e st ot h en u m b e ro fc l a i m f i n a l l y , w e c o n s i d e rt h ei n s o l v e n tp r o b l e mo ft h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l w i t hc o n s t a n tb o u n d a r yo n p a y i n gd i v i d e n d s f o u rc h a p t e r sc o n s t i t u t et h i st e x t 。 i nt h ef i r s tc h a p t e r , w es i m p l yi n t r o d u c et h eh i s t o r y , t h ep r e s e n t c o n d i t i o n so ft h er i s kt h e o r ya n dt h ea p p r o a c h i n gd e v e l o p m e n t ，a n dw e e s p e c i a l l yp a ym o r ea t t e n t i o no np o p u l a r i z i n gt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l f r o mt h i sc h a p t e rw ec a nk n o wt h ef u t u r et r e n do fr i s km o d e l sc l e a r l y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eo u t l i n et h ek n o w l e d g ea b o u te x p e c t a t i o n ， p o i n tp r o c e s s ，m a r t i n g a l e ，i t o sf o r m u l aa n db r o w n i a nm o t i o n t h e c o n t e n ti sa l s ot h ei m p o r t a n tt h e o r yf o u n d a t i o no fs t u d y i n gr i s kt h e o r y i nt h et h i r dc h a p t e r , w ec o n s t r u c tan e wd o u b l ec o m p o u n db i n o m i a l m o d e lw i t hs t o c h a s t i cp r e m i u m w es t u d yi t si n s o l v e n tp r o b l e ma n df i n d o u tt h ei n t e g r a le q u a t i o no fr u i np r o b a b i l i t y i na d d i t i o n ，w eu t i l i z e l a g r a n g el e m m a a n d p o l y n o m i a le x p a n s i o nt od e d u c et h er u i np r o b a b i l i t y w h i c hr e l a t e st ot h en u m b e ro fc l a i m i nt h ef o u r t hc h a p t e r , a c c o r d i n gt oa c t u a la n a l y s i s ，w ec o n s t r u c tt h e r a n d o m i z e dd e c i s i o n so np a y i n gd i v i d e n d so nt h ef o u n d m i o no ft h el a s t o n e f i r s t ，w ed e d u c eo u tt h ef u l l yd i s c r e t eg e r b e r - s h i ud i s c o u n tp e n a l t y f u n c t i o na n dr u i np r o b a b i l i t y t h e nw ed e l i b e r a t et h er u i np r o b a b i l i t yo f r i s km o d e lw h o s e p r e m i u m ，c l a i ma n dd i v i d e n dp r o c e s sa r ea l lc o m p o u n d b i n o m i a lm o d e l s i nt h ee n d , w eg i v et h ee q u a t i o no fr u i np r o b a b i l i t y w h e np r e m i u m ，c l a i ma n dd i v i d e n dp r o c e s sa b s o l u t e l yo b e yt h ei n d e x d i s t r i b u t i o n k e yw o r d st h ec o m p o u n db i n o m i a lp r o c e s s ，g e r b e r - s h i ud i s c o u n t p e n a l t yf u n c t i o n ，r u i np r o b a b i l i t y , t h en u m b e ro f c l a i m i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同 工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：捡遣丛一日期：丑年卫月上日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 日期：丑年且月上e l 硕士学位论文第一章绪论 1 1 风险理论综述 1 1 1 风险理论的介绍 第一章绪论 风险理论作为保险数学( 也称精算数学) 的一部分，是处理保险业务中的随 机模型。风险模型描述通常如下： u ( f ) = 甜+ g s 其中，u ( o 表示时n t 时保险公司的盈余额，u 为初始盈余，e 表示时刻f 时总保费收 入，s 表示时n t 时总索赔额。如果在时刻r 盈余u ( t ) 为负值，我们则称破产发生。 按照总理赔的方式划分，风险模型可以分为个体风险模型、短期聚合风险模 型和长期聚合风险模型三种。个体风险模型总理赔是以每张保单为研究对象，而 聚合风险模型则以每次理赔为研究对象，理赔发生过程由一个点过程来刻画，保 险公司支付给客户的理赔额序列被看作是一列随机变量，目前讨论的主要是聚合 风险模型。按照保费的收取方式划分，风险模型可以连续模型和离散模型。一般 地，我们主要考虑后一种划分方式。连续模型采用连续收费的原则，即以时间为连 续变化的连续地收费；离散模型采取离散收费的原则，即以一定时间长度为收费 的单位区间，在每个单位区间只收取一次固定的保费。讨论的最多的连续模型是 复合p o s s i o n 风险模型，又称经典风险模型；讨论的最多的离散模型是复合二项风 险模型。 关于风险理论的研究，可以根据风险模型的不同提法，针对保险公司运做中 遇到的种种问题，通过对概率或统计模型进行休整、附加各种条件等，使模型更加 接近保险公司的实际运作。这使得风险理论的研究变得非常富有挑战性，所以破 产概率的研究在国际上一直是人们关注的焦点，但在国内，从事这方面研究的人 员还比较少，有关风险理论及其发展和研究现状综合性文献、专著有 彳s m 娜p 力，g e r b e r 2 1 和g r a n d e l l l l 5 j 。 关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究。破产理论主要应用在经营稳 定分析方面，是研究经营者的经营状况的理论和方法。对于保险公司而言，掌握破 产理论可使公司在激烈的市场竞争中处于有利地位；对保险监管机构而言，利用 破产理论可以更好地对保险市场进行监督。总之，对正在发展着的中国保险市场 硕士学位论文第一章绪论 而言，研究破产理论有着极其重要的意义。 1 1 2 风险理论的产生与发展 风险理论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，至尽已有一百多年的历史，首次在这篇论文中提出一类重要的随机过程，即 p o s s i o n 过程。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，以h a r a l d c r a m e r 为首的瑞典学派将l u n d b e r g 的工作严格化，使之奠立在坚实的数学基础 之上，与之同时c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。现已公认l u n d b e r g 与 c r a m e r 的工作为经典风险理论的基本定理。 这之后，风险理论中最令人瞩目的是方法论的改进。w i l l i a mf e l l e r 1 0 j 用更新 方法证明l u n d b e r g c r a m e r 逼近，h a n sug e r b e r l l l j 用鞅方法证明了l u n d b e r g 不等式。f e l l e r 和g e r b e r 引入的更新论证技巧和鞅证明技巧已成为经典风险理论 的主要数学工具，近期大量文献对经典风险模型作了不同程度的推广，但所使用 的方法基本上不外乎这两种。 由于方法上的改进，近几十年来，风险理论得以快速发展。一方面，对经典风 险理论以多视角作了深入探讨，得到了一些经典风险理论的重要结果，如破产时 赤字、破产前瞬时盈余以及著名的b e e k m a n 卷积公式等。另一方面，对经典风险 模型进行更符合经营实际的推广，诸多推广见1 1 4 节。 1 1 3 经典风险模型 经典风险模型是研究历史最长、理论最完善的风险模型，也是最简单的风险 模型。它的严格表述如下： 令( q ，尸) 是一个完备的概率空间，模型中的所有随机变量和随机过程均 定义在次概率空间上，令 ( ，) r ( t ) = u + c t - 鼍，t o ， k = l 其中r ( t 1 是保险公司在时刻f 的盈余，u 是初始资本，c 是公司每单位时间收取的 保费，以表示第k 次的理赔额，( ，) 表示至时刻f 为上f = 发生的理赔次数。 上述模型有三个基本假定： 假定1 ( 独立性假定) 设江。，k = 1 ，2 ，) 是取值于( o ，o o ) 的独立同分布的随机 变量序列，记 2 硕士学位论文 第一章绪论 r ( x ) = p ( x x ) ，v x o ， - - z x d - - t e l f ( x ) k ； ( ，) ，t o 是服从参数为2 ( 2 0 ) 的p o s s i o n 过程；x k ，k - - 1 ，2 ， 与 ( r ) ，t o 相互独立。 假定2 ( 相对安全负荷假定) 设c = ( 1 + 口) 舡，其中0 o ，称为相对安全负 荷。 假定3 ( 调节系数存在唯一性假设)个体理配额的矩母函数 也( ，) = p 搿 = f p 麒= l + ，f 矿e l - ，( x ) k 至少在包含原点的某个邻域内存在，其次，要求方程 a o ( ，) = l + 詈， 具有正解。 一 若假定1 - 3 成立，则有风险理论的三大经典结果： ( 1 ) y ( 0 1 2 南： ( 2 ) l u n d b e r g 不等式： f ，( “) 口一，v u o ( 3 ) 三姗如p 曙一c 阳所p ，逼近：存在正常数c ，使得v ( u ) - c e 一，甜专o 。， 。l i m 盟：1 u - + o oc e r u 1 1 4 经典风险模型的推广 经典风险模型是研究最为深入的模型，为风险理论的研究奠定了基础，但由 于经典风险模型的构造中有很多假设，不能很好地反映保险公司的经营状况，与 现实生活操作有着很大的差距，因此很多风险理论研究者将其进行推广，使之更 符合的经营实际。这些推广主要有以下几个方面： ( 1 ) 离散风险模型： 考虑在实际中，保险公司对一些重要业务诸如收取保费、支付理赔额的处理 通常是按某个时间段来进行的。例如，在人寿保险中，保险公司以年为单位向投 保人收取一定的保费和支付某笔理赔额。对保险公司来讲，一年内仅可能发生 两种情况：或有一次理赔发生，或没有理赔发生。类似这种情况我们可用复合 3 硕士学位论文 第一章绪论 二项风险模型来描述： j v ( n ) r ( n ) = u + c n - 也，n = o 1 2 其中“是保险公司的初始盈余；c 是公司每单位时间收取的保费；x 。似= 1 , 2 ，) 是第k 次的赔付量，且 x 。，k = 1 , 2 ， 是一列独立同分布的随机变量序列；0 ) 表示时间段( 0 ，行】内保险公司的赔付次数， g x 玎= o ，l ，2 ， 是一列具有参数 p ( o ，1 ) 的二项随机序列。 对于此模型，有许多学者进行了研究。国外，s h i u 9 1 和w i l l m o t 1 0 1 研究了 最终破产概率以及有限时间内的生存概率；国内，c h e n g 和耽l l l j 研究了生存到 固定时刻”( ”0 ) 的概率，在时刻胛恰好发生第k 次赔付，且在时刻刀的盈余为某 数x g 0 ) 的概率；龚日朝和杨向群研究了破产时刻前的瞬时盈余、破产时刻的 赤字以及到破产时刻为止赔付次数的概率分布；龚日朝和刘永清i ”j 将保单到达 过程进行了推广，讨论了广义复合二项风险模型下的生存概率；孙立娟和顾岚1 1 4 1 将利率引入离散风险模型，得到了破产前盈余分布、破产持续时间的递推公式。 ( 2 ) 多险种风险模型： 经典风险模型的一个局限就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只经营一 种险种时的情形。但随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险 种的不断开发，这些单个险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率就无能 为力了。因此，采用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营及监 管部门的监管更具有实际意义。 另外，对于经营刀个险种的保险公司，整个公司的偿付能力与刀个险种都有关 系，这刀个险种在经营中是相互“分散 风险的，整个公司的安全性自然与就介 于两个边际之间。通常，保险公司在实际的经营中并不是每个险种都是赢利的，为 了长远的计划或稳住长期的客户，对于亏损或赢利低的险种保险公司不能立即 把它们排除市场，而是靠着其它赢利的险种求得暂时的生存，通过改变策略或险 种的更新再寻找赢利的机会。 ( 3 ) 对索赔到达过程的推广： 随着点过程理论的系统和成熟，我们可以采用更一般的点过程来描述索赔到 达。在实际经营中由于经济形势的变化，任意时刻的投保人数、退保人数都是 随机的，同时由于生活环境的变化、气候的影响及其它的随机因素，因此索赔次 数的强度是随机变化的。例如在机动车中，车辆事故受突发的恶劣天气因素的 影响因而用强度不便的齐次p o s s i o n 过程描述赔付次数存在很大的局限性。 g r a n d e l l 1 j 中详细描述了非齐次p o s s i o n 风险模型、c o x 风险模型、更新风险模型、 平稳风险模型，这些都是在索赔到达上进行的推广。 4 硕士学位论文第一章绪论 近年来，很多学者在索赔到达过程上进行了研究。l u u a ns u n 和h a i l i a n g y a n g i l 6 】讨论了在索赔到达过程为西肠馏( 2 ) 过程的更新风险模型的条件下，破产 前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；在1 1 6 1 的基础上。c c h i l i a n gt s a i 和 l i j u a ns u n 1 7 j 讨论了贴现因子的因素，得到了破产前瞬时盈余和破产赤字的联合 分布极其边缘分布，并且比较了西忆馏( 2 ) 和e r l a n g ( 1 ) 过程( 即p o s s i o n 过程) 条件下的这些分布函数；s h u a n r a i n gl i 和j g a r r i d o 博】讨论了在索赔到达过程为 e r l a n g ( n ) 过程的更新风险模型，得到了贴现罚函数满足的更新方程，以及破产 时刻、破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；刘再明教授1 1 9 l 等应用m a r k o v 骨 架过程方法，深入地研究了索赔为一般到达的保险风险模型，得到了破产时间分 布以及破产时间与破产时刻前后资产盈余的联合分布，由此可以计算一些人们 关心的重要风险指标。 ( 4 ) 对保费收入过程的推广： 在经典风险模型中，假定保险公司在单位时间内收取的保费为一常数c 。这 种假设过于理想化了。为此，很多学者在这方面作了推广。孙立娟和顾岚认 为不同单位时间所收取的保单数常常不一样，是一个随机变量，可能服从某一离 散分布，将经典复合p o s s i o n 模型的保单到达推广到和索赔发生独立的p o s s i o n 过程，在索赔服从指数分布的情况下得出了最终破产概率满足的不等式；龚日朝 和李凤军【2 l j 将此模型定义为双p o s s i o n 风险模型，利用随机过程和鞅方法得出了 此模型破产概率满足的l u n d b e r g 不等式和一般公式，以及当个体索赔服从指数 分布时破产概率的具体表达式；龚日朝【2 2 】在索赔服从指数分布的情况下，得到了 有限时间内生存概率所满足的l a p l a c e 变换公式；向阳和刘再明【2 3 j 考虑了一类具 有马氏过程调制费率的模型，得到了破产概率满足的积分方程，并且推出了在具 有平稳初始分布时，破产概率的递归不等式和零初始资产时破产概率的一个简 洁估计式。 ( 5 ) 对索赔额序列的推广： 经典风险模型研究的是关于“小索赔一情形的风险理论，一个很强的约束是 要求调节系数存在。如果调节系数不存在，则更新理论和鞅方法都无法奏效。 但在实际中，如火灾、冰雹、洪水等灾难性保险都是“大索赔额的情形。从 数学的角度来说，对于重尾分布的破产论，就必须启用新的数学工具，如亚指数 分布。这样的研究更适用于火灾、冰雹、洪水等灾难性保险。v k a l a s h n i k o v 和 d k o n s t a n t i n i d e s1 2 4 j 考虑了在常利率且索赔额满足亚指数分布的条件下。复合 p o s s i o n 风险模型的破产概率的渐近公式；唐启鹤考虑了在复合p o s s i o n 风险 过程在重尾索赔额的条件下，得到了破产概率的一个等价式，并且建立了亚指数 平衡分布的两个重要定。 硕士学位论文 第一章绪论 ( 6 ) 考虑随机干扰： 设赢余过程由下面的式子给出： r ( t ) = 材+ c t - s ( f ) + 盯矽( f ) ，v t 0 其中材为保险公司初始盈余，c 为保费率，s ( t 1 为至时h u t 为止的总索赔额，仃 o ， 扰动项形( f ) 则是一跏w 力运动。假定 形( ，) ，t o 和 s ( f ) ，f o 是相互独立的。 此时破产概率y ( u ) 可分解为： l f ，( “) = ( “) + 虮( u ) 其中( “) 表示因随机扰动而引起的破产，虮( “) 表示因索赔引起的破产。 这个 模型最早是由g e r b e r 于1 9 7 0 年提出的，之后陆续有学者在这方面作出了一些工 作。d u f r e s n e 和g e r b e r 2 6 】提出了上述破产概率的分解式；g e r b e r 和l a n d r y 2 7 l 在 此基础上考虑了贴现罚函数，得到了贴现罚函数满足的更新方程； c c h i l i a n gt s a i 2 7 l 讨论了r ( r 一1 、r ( r ) 和t 的联合分布以及各边缘分布。更 多探讨参见例【3 0 】【3 1 】【3 2 】【3 3 】。 j ( 7 ) 考虑利率、分红因素的影响： 在保险公司日常的经营活动中，除了保费收入和索赔支出对经营状况有很大 影响外，还有一些不可忽略的因素，如利率、分红。设利率万为常数，则常利率 风险模型可表为 r s ( t ) = u e 廊+ 一一( p 即d 以 ( 关于量的含义参阅m ) b s u n d t 和，三t e u g e l sp 4 】在常利率的复合p o i s s o n 风险 模型的条件下，得到了破产概率满足的方程，并且给出了其上、下界，对于甜= 0 和索赔额指数分布的情形，给出了破产概率的具体表达式吴荣和杜勇宏i ”j 在常 利率的更新风险模型下，利用转移概率得到了风险问题中的几个重要的量和分 布，如破产概率、破产时盈余分布以及破产前瞬时盈余分布的级数展开式和积分 方程；j u nc a i 和d c m d i c k s o n 3 6 】在常利率的更新风险模型下，分别利用鞅方法 和递推法给出了破产概率的上界估计，并且对由这两种方法得到的上界进行了 比较：j u nc a i 和d c m d i c k s o nf 3 7 l 利用1 3 6 1 中的方法，讨论了一类离散风险模型 的破产概率问题，其中假设利率变化满足一个马氏链。关于这方面更多的文献 可参考【3 8 】【3 9 】【4 0 ”。 对于分红的情形，也有很多学者进行了研究。研究的最多的是两类分红： 线性分红和常数分红。t h o m a ss e g 和r o b e r tf t i c h y 4 2 j 考虑了复合p o s s i o n 风 险模型在线性分红、索赔额满足g a m m a 分布的条件下，模型的生存概率、分红 期望以及破产前达到分红值的概率；s h u a n m i n gl i 和j o s eg a r r i d o 4 3 j 对于广义 e r l a n g ( n 1 风险过程在常数分红的假设条件下，得到了g e r b e r s h i u 贴现罚函数 满足的积分方程，并且证明了方程的解与不带分红情形下的贴现罚函数之间的 6 硕士学位论文第一章绪论 关系。 1 2 本文的主要内容 本文的主要内容分为两部分。一 ( 一) 在第三章中，我们构造了一种全新的双复合二项风险模型，即： 岂缈 u ( n ) = ”+ q 一五一 i = i 其中g = k + 艺+ 表示到时刻疗为止收到的总保险费额，瓦表示第疗次收到的 保险费。 。 这一章中把保费额和索赔额的分布函数推广为为一般函数，并假定在离散时 间的情况下，保险费的收取过程和索赔过程都是复合二项过程，并且是相互独立 的，建立风险模型，研究了它的破产问题，从中给出破产概率所满足的积分方程。 再利用l a g r a n g e 引理【6 4 1 和多项式展开“1 推出与索赔次数相关的破产概率公式。 ( 二) 。 考虑到仅仅只有保费是随机的，仍然有很大的弊端，于是本文在第三章的基 础上进行了深一步的研究。由于保险业的竞争日益激烈化和人们对保险产品的认 知程度的逐渐提高，带有分红的保险产品已经进入大家的实际生活中，红利的因 素越来越被大家所重视。且有些保险公司为了保护自身的优势，发放红利都有很 多额外的附加条件。譬如，在保单中规定只有收到了现阶段的保费，才有可能发放 现阶段的红利。因此，本文在第四章中首先考虑在理赔量完全离散且索赔的发生 为复合二项过程的情况下，对带随机保费的风险模型进行探讨和研究，并加入常 量界下发放红利的这个因素。通过大家熟悉的g e r b e r - s h i u 折扣罚函数进行分析， 并得出g e r b e r - s h i u 折扣罚函数和破产概率的递归公式。 然而实际生活中，不同时间段的保费额、索赔额和红利额都是不尽相同的，所 以我们更希望得到他们的分布函数是一般函数时破产概率所满足的公式。因此 第四章又接着研究了保费额、索赔额和红利额的分布函数都是一般函数且三者的 发生过程都复合二项过程时风险模型的破产问题，通过全概率公式的展开，得出破 产概率的积分方程。最后给出当保费额、索赔额和红利额均服从指数分布时破产 概率应满足的等式。 7 硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 为了让全文更加清晰、易懂，我们首先把本文中将要用到的基础知识做一下 介绍。 2 1 数学期望、方差 定义z 1 令x 为一个定义在概率空间( q ，f ) 上的随机变量，尸是在f 上的概率， 若x 为离散随机变量，则其数学期望为 以= m x ( 功) p ( ) 一m 、，、， 若x 为连续随机变量，则其数学期望为 以= l x ( 缈矽扣) 勘 、，、7 条件期望记概率空间为( q ，f ，p ) ，g 是f 的某一个子代数，gcf 善( 缈) 是满足 e 吲 s o ，增量m ，= ，一m 有参数为2 ( f s ) 的p o s s i o n 分；雨f i ，即 对于k = 0 ，l ，2 ， 帆廿唑掣p 叫， 这里名0 是常数，称作过程强度。 ( 3 ) 具有独立增量 在上面的三个条件中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，它不是实质性的限 制；条件( 2 ) 蕴涵过程具有平稳增量，也就是m j 的分布只和，一s 有关而与s , t 的具 体取值没有关；条件( 3 ) 表示过程的无后效性。 我们令最表示第疗点的发生时间，记乙= 邑一瓯小则 乙，n = l ，2 ，) 表示点过 程的点间间距序列。对于齐次p o i s s o n 过程它具有下面5 个等价定义： ( 1 ) 计数过程 f ：r o ) 是具有强度为a 0 的齐次p c 郴f 伽过程的充要条件是： 点间间距序列 瓦，t l = 1 ，2 ， 是相互独立的，强度为力0 指数分布的随机变 量序列。 ( 2 ) p ( o = o ) - - i 有平稳增量 对任意的h 0 ：当h 专0 时 9 硕士学位论文 第二章预备知识 尸( m 2 ) = o ( 办) 有独立增量 ( 3 ) p ( n o = 0 ) = l 有平稳增量 几乎处处有序 有独立增量 ( 4 ) 尸( 0 = 0 ) = 1 对任意的h 0 ，当h 专0 时 尸( m 一。= o - “h + o ( h ) ，p ( 22 ) = d ( 厅) 有独立增量 ? ( 5 ) 尸( “= 0 ) = 1 对于任意正整数k ，实数0 l o ，f 0 尸( m = 1 ) = 兄( ，) + 口( 办) 尸( m 朋 2 ) - - o ( h ) ( 3 ) 有独立增量 这里的a ( f ) 是r 上的非负函数，它在任意有限区间是可积的，我们把由 人( f ) = i 旯( s 净 定义的函数称作过程的累积强度函数。 定义2 - 6 有限值计数过程 m ：，0 ) 称作非齐次泊松过程，如果它满足以下条件： ( 1 ) 尸( 0 = 0 ) = l ( 2 ) 对任意的h 0 ，t 0 p ( m 肿2 ) = d ( 办) ( 3 ) 有独立增量 定义2 7 随机过程 s ；f 0 称作复合p d 船面刀过程，如果它可以表示为如下的形 1 0 硕士学位论文第二章预备知识 式：对任意的f 0 ， f s = k 其中 r ；f o ) 是带时齐强度a ( f ) 的凡黜f d 五赴程， k ，以= l ，2 ，) 是独立同分布的 随机变量序列，并且过程 川；f o 和序列 e ，n = l ，2 ， 是相互独立的。 特别地，若 m ；f o 的强度为常数a ，那么 f ；f o ) 就是齐次p o i s s o n 过程。 对于这样的复合p o s s i o n 过程，有如下重要定理： 引理2 1 设s ，瓯为相互独立的复合p 咄幻刀过程，则我们有 川( ，) s = 巧， i = 1 ，2 ，k 其中 m ( ，) ；，o 相互独立而且m ( f ) 是参数为a f 的齐次尸d 鼬f d 刀过程， 对于同一个， 艺 为独立同分布的随机序列( 简记作鬈) ，其分布函数为气( y ) ， 一 一 则一s - - e s , 还是一个复合p o s s i o n 过程，设为 ，f n s = z ：f 其中( ，) 是参数为a = 色的齐次肋嚣面万过程且 乞2 吉酗( 引 本定理的证明参见6 5 1 。 2 2 2 更新过程 定义2 8 设 瓦， l = 1 ，2 ， 是一串相互独立同分布的非负随机变量，它们的共同 分布函数是v ( x ) ，如果我们把乙看作是一个点过程的第n - 1 个和第刀个点事件 之间的时间间距，则第刀个点事件的发生时间是 瓯= z ， n l j = l 再定义s o = 0 ，我们把由 f = s u p n 瓯， 定义的计数过程 m ：r 0 称作更新过程。 更新过程大体分为普通更新过程，延迟更新过程和平衡更新过程三类。普通 更新过程也就是我们上面的定义，而对于其它的两类更新过程这里有必要稍微交 代一下： 硕士学位论文第二章预备知识 定义2 9 设 ，甩= l ，2 ， 是一串相互独立的点间间距，其中第一个点间间距互 有分布g ，其余的 瓦，n = 2 ， 有共同分布函数是f ( x ) ，我们令： s o = o ，s = 巧， n 1 f = l d = s u p n ：瓯f 则我们称d = s u p 以：瓯， 为延迟更新过程。 定义2 1 0 在上面的定义中若g ( ，) = 去f ( 1 一f ( x ) 防其中“为分布函数f ( z ) 的 数学期望。则这样的延迟更新过程就称为平衡更新过程。 i 2 3 l a p l a c e - s ti e l t j e s 变换、卷积 定义z 11 设( x ) 是定义在【o ，o o ) 上的任意函数，我们把由7 ( s ) = f e - f ( t ) d t 定义的函数称为它的拉普拉斯变换。 性质2 3 ( 1 ) 刀个相互独立的非负随机变量五五，以之和】，= 五+ 置+ + 以的 l - s 变换等于这珂变量的三一s 变换。( s ) ，：( s ) ，。s ) 的乘积即： r ( j ) = 。( s ) ：( s ) 。( s ) ( 2 ) 设五五是一串相互独立同分布的非负随机变量序列，它们共同的三一s 变换是( j ) ，又设是一个n 独立于 置，i = l ，2 ， 的非负随机变量，它的概率母函 数是g ( s ) ，则随机变量z = 置的三一s 变换：( s ) 是： ：t s ) = e ( s ) = g ( ( s ) ) 我们令甲占( “) 表示破产概率，则孓占( “) = l 一、壬，ju ) 为生存概率。令丕占( j ) 代 表矾( ”) 的l a p l a c e s t i e l t j e s 变换，则我们利用其定义以及分步积分公式，我们可以 得到： ( 1 ) p 聃氓( ”) 幽= 一昙j c o 已( 甜) d ( e 1 ) = ( o ) + ( s ) ( 2 ) j c o p d ( ”吼( “) ) = ( o ) + ( s ) 一希占( s ) ( 3 ) j c o 船“孓j ( “) 幽= 三( 詈孓占( o ) + 玉( j ) ) 一三毋5 ( s ) ( 4 ) p d ( 婀小) ) g 小) + 詈( 瓤o ) + 三玉) 一 ( 5 ) f 口一“d ( “f l 孓占( v ) 咖) = 詈( 三孓占( o ) + 三丕艿( s ) ) 一1 j 5 j ( 5 ) 1 2 硕士学位论文第二章预备知识 ( 6 ) f e - f ( “) 幽= 三( s ) ， ( 7 ) f p 一”d ( r 孓占( 甜一y ) f ( y ) 咖) = ( s ) i 三孓占( o ) + 三丕j ( s ) i 定义2 1 2 设x ，y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 ，( x ) ，o ( x ) 则z = x + y 的分布函数是 h ( z ) = p ( z z ) = d f ( 工) 据( y ) = e g ( z - x ) d f ( x ) = f g 称为，( x ) ，o ( x ) 的卷积。 性质2 4 设五，五，以是疗个相互独立的随机变量并且设它们的边际分布分别 为c ( 誓) ，i = 1 ，2 ，3 ，刀，ns = 五+ 置+ + 以的分布函数f ( ”) z ) 可以表示为： f ( ”( z ) = e f ( 卜1 ) 其中1 ) ( z ) = e ( z ) 2 4 鞅 定义2 1 3 设在概率空间( q ，f ，p ) 上有一个非降o - n 代数族 互；f t 以及实随 机过程 鲁；f t ，若随机过程 专；f 丁) x c ( n ，f ，p ) 适应，则称为 专；f t ) 鞅，如果 满足e 障i 0 0 而且对于任意s f ，有e ( 专i e ) = 茧成立。 定义2 1 4 设在概率空间( q ，f , p ) 上有一个非降仃代数族 e ；r t ，一个取值于 t w ( o o ) 的随机变量f ( ) 称为一个相对于它的停时，如果对于v t t ，有 国，f ( 国) f z 成立。 引理2 2 如果m ( t ) 为一个鞅，f 是一个停时，j g a z t n m ( t f ) 是一个鞅，尤 其是对于任何的f ，我们有删( f r ) = e m ( o ) 。 引理2 3 若m ( ，) ，0 ，t 是一个平方可积鞅，那么存在一个可料过程h ( t ) 满 足：e fh 2 ( s ) 出 ，m ( ，) = m ( o ) + f ( s ) 凼 引理2 4 若i h ( t ) 为一个可料过程，满足e 【h 2 ( s ) 凼 o o ，则 r ( t ) = e fh 2 ( s ) 扭( s ) 0 ，丁是一个平方可积鞅。 引理2 5 若m ( f ) 为一个鞅，则 ( 1 ) 若f k 0 0 是一个有界停时，则e m ( r ) = e m ( o ) 。 ( 2 ) 若m ( ，) 是一致可积的，则对于任意的停时f ，7 茸e m ( r ) = e m ( o ) 引理2 6 若m ( ，) 为一致可积鞅，并且瓦乃 s ，b ( t ) - b ( s ) 具有期望为o ，方差为 ( ，一s ) 的正态分布，显然对于s = o ，b ( ，) 具有( o ，) 分布。 ， ( 2 ) 独立增量性。即：召( f ) 一b ( s ) 独立于 b ( “) ，o u s 。 ( 3 ) 轨道的连续性。b ( f ) 是f 的连续函数。 性质2 5 若b ( ，) 是布朗运动，则 ( 1 ) 曰( f ) 是一个鞅。 ( 2 ) b ( f ) 2 一f 是一个鞅 ( 3 ) 对于任何甜，口妇( 卜u 2 - t 是一个鞅。 定义2 1 6 过程l ，( ，) 被称作伊藤过程，如果对于任意的o f r ，有： j ，( f ) = l ，( o ) + f “( sd s + f 仃( s 舻( j ) 其中曰( f ) 为布朗运动，而“( f ) ，仃( f ) 满足： ( 1 ) 甜( f ) 是一个适应过程，而且f 卜( s ) 陋 a s ( 2 ) 盯( ，) 是一个可料过程，而且fi ( s ) 陋 口j 它的微分表示为： a r ( t ) = u ( t ) d t + c r ( t ) d b ( t ) o t 丁 引理2 7 ( 伊藤公式) 设x ( f ) 为一个随机过程而且满足：对于o f ，有 a x ( t ) = u ( t ) d t + c r ( t ) d b ( t ) 若厂( x ) 为一个二次连续可微函数，那么随机过程】，( f ) = ( x ( f ) ) 的随机微分 存在而且有下面的关系： 妒( x ( f ) ) = f ( x ( ，) ) 橱( ，) + i 1 ( x ( f ) ) d 【x ，x 】( r ) = 厂( x ( f ) ) 批( f ) + i 1 厂。( x ( f ) ) 盯2 ( t ) d t ， 、 = tf ( x ( ，) ) “( f ) + 了1 厂。( x ( f ) ) 仃2 ( f ) 8d t + f ( x ( ，) ) 仃( ，) 如( f ) l 。 j 也就是 厂( x ( f ) ) = ( o ) + r 厂( x ( s ) ) 拐( s ) + 毒f ”( 彳( s ) p 2 ( s ) a s 1 4 硕士学位论文第三章双复合二项风险模型 3 1 模型介绍 3 1 1 模型背景 第三章双复合二项风险模型 在风险理论中，主要处理保险事务中的随机风险模型，研究较多的是连续时 间模型，且大都集中于复合p o s s i o n 过程的风险模型，而对离散时间模型则研究的 较少。而作为连续时间的离散化，离散时间风险模型意义更为直观，在实践中更易 于应用。关于离散时间风险模型，讨论最多的是复合二项风险模型，但多设保费额 为一常数，且收取过程不是随机的，现在已有人在这个基础上将保费的收取次数 进行了一些不同的推广，譬如王黎明将保费的收取次数用泊松过程表示【6 6 1 ，刘家 军将单位时间内保费的收取次数推广为更新过程【6 7 1 等等。 然而在实际中，保险公司有许多险种，每次收取的保费额不可能相同，保险公 司会常常遇到在不同的时间段收取不同的保费。例如，在汽车保险中，汽车每年交 的保费是与它的车龄息