（计算数学专业论文）信号瞬时频率的估算.pdf

中山大学硕士学位论文：信号瞬时频率的估算 信号瞬时频率的估算 专业：计算数学 姓名：王国栋 指导老师：毕宁教授 摘要 本文首先对瞬时频率研究的发展状况进行了较为全面的综述，并且给出了瞬 时频率的基本概念、定义与研究背景和估算方法，然后重点对通过求信号相位角 的导数估算瞬时频率的方法进行了较为深入的分析和研究，包括希尔伯特方法、 标准化的希尔伯特方法、直接正交法。 对于标准化的希尔伯特变换方法来说，标准化过程是其中最关键的一步。文 献 1 中，标准化过程是采用三次样条做包络，这样虽然保证了光滑性，但是也 存在很多问题。例如，当信号的振幅发生剧烈的变化的时候，样条包络线就不能 完全覆盖信号，而是穿过其中的一些信号点或者对原始数据产生很大的偏离，这 样将可能会导致标准化过程不收敛而失败。通过多次迭代有时候可以解决上述问 题，但是迭代的过程会使极值点改变原来的位置，从而不可避免的扭曲了信号原 来的波形，影响了瞬时频率估算的效果。 本文所做的研究工作主要有： 第一，构造具有保形性质的保形分段三次插值曲线作为标准化过程的包络， 通过实验对不同的包络进行了比较，实验结果表明，所做的改进在一定程度上解 决了上面提到的问题，取得了较为理想的效果。 第二，构造信号实例，通过实验证明标准化过程并没有实现频率部分和振幅 部分的完全分离，因此就不能完全估算出信号的频率。 第三，通过实验比较了几种计算瞬时频率方法的优劣，并且对实地考察采集 的桥梁振动响应信号进行了试验。 关键词：瞬时频率正交项解析信号对包络标准化 中山大学硕士学位论文：信号瞬时频率的估算 t h ec a l c u l a t i o no fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yo fs i g n a l m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e ：g u o d o n gw a n g s u p e r v i s o r ：n i n gb i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ef i r s t l yg i v eac o m p r e h e n s i v ei n t r o d u c t i o no ft h ed e v e l o p m e n to f t h er e s e a r c ho fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y , a sw e l la si t sb a s i cc o n c e p t ，d e f i n i t i o n , c a l c u l a t i o na n dr e s e a r c hb a c k g r o u n d a n dt h e nw ef o c u so u ra t t e n t i o no ns t u d y i n gt h e c a l c u l a t i o no fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yb a s e do nd e r i v a t i v ee s t i m a t i o no fp h a s ea n g l e ， i n c l u d i n g h i l b e r tm e t h o d ( h 1 ) ，n o r m a l i z e dh i l b e r tm e t h o df n h t ) ，a n dd i r e c t q u a d r a t u r em e t h o d ( d q ) t h en o r m a l i z a t i o np r o c e s si st h em o s ti m p o r t a n ts t e po ft h en o r m a l i z e dh i l b e r t m e t h o d i nd o c u m e n t 1 】，c u b i cs p l i n ei su s e da st h ee n v e l o po ft h en o r m a l i z a t i o n p r o c e s s t h i sm a yg i v eag o o dg u a r a n t e eo fs l i p p e r i n e s s ，b u ti tr e m a i n sp r o b l e m a t i c a l f o ri n s t a n c e ，t h ec u b i cs p l i n ec a nn o tc o v e rt h es i g n a lc o m p l e t e l ya n du n d e r s h o o to r o v e r s h o o ts o m ed a t ap o i n t sw h e nt h ea m p l i t u d eo ft h es i g n a lc h a n g e sd r a m a t i c a l l y t h i sm a yr e s u l t si nt h ef a i l u r eo ft h en o r m a l i z a t i o np r o c e s s t h ep r o b l e mm a yb e s o l v e db yr e p e a t e di t e r a t i o n s ，b u tt h ei t e r a t i o np r o c e s sm a yc h a n g et h ep o s i t i o n so f e x t r e m u ms e r i o u s l ya n dr e s u l ti nw a v e f o r md i s t o r t i o nw h i c hw i l li n f l u e n c et h e e s t i m a t i o no fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y t h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： f i r s t , w ec o n s t r u c tp i e c e w i s ec u b i ch e r m i t ep o l y n o m i a la st h ee n v e l o pi n s t e a do f c u b i cs p l i n e t h el a b o r a t o r yr e s a l ts h o w st h a tt h ec a l c u l a t i o ni si m p r o v e dt oag r e a t 中山大学硕士学位论文：信号瞬时频率的估算 e x t e n t s e c o n d ，w ep r o v i d e as i g n a li nt h ee x p e r i m e n tw h i c hs h o w st h a tt h e n o r m a l i z a t i o np r o c e s sc a n ts e p a r a t et h ea m p a r ta n dt h ef mp a r tc o m p l e t e l y a sa r e s u l t , m e t h o d sb a s e do nt h i sp r o c e s sc a n tg i v ea ne x a c te v a l u a t i o no fi n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c yw i t h o u ta n y e r r o r t h i r d ，w em a k ea ne x p e r i m e n to nt h ed a t af r o mv i b r a t o r yr e s p o n s eo fb r i d g ea n d d i s c u s st h er e s u l t so fd i f f e r e n tm e t h o d s k e yw o r d s ： i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y e n v e l o p s n o r m a l i z a t i o n i i i 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名互同橡 2 口 年岁月7 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 糊一签名互阂鹅 翩繇哞号 日期勺i 乜年岁月7 日 日期：知( 拜厂月；日 第一章绪论 第一章绪论 对于正弦信号，我们已经给出了频率的精确定义，然而现实中的信号并不都 是正弦信号。事实上绝大部分的信号都不是正弦信号或者很难分解成正弦信号成 分的组合。例如，人们在处理信号时经常遇到一些谱特征( 特别是谱峰频率) 随 时间变化的信号，这就是人们经常提到的非平稳信号。非平稳信号是指信号的统 计特征随时间变化的时变信号，这些信号也被用来估计雷达返回信号的多普勒频 率变化、跟踪唢呐窄带成分等。对于这些信号来说传统频率的定义就失去了它的 有效性，我们需要一个新的参数来说明这一过程随时间变化的特性。瞬时频率便 是基于这一需求而产生的。 瞬时频率的概念，是由c a r s o n 等人于1 9 3 7 年首次在电路理论中提出的，并 将其应用到通信技术中；1 9 4 6 年，g a b o r 给出了经典解析信号的定义，为研究瞬 时频率提供了理论基础；最终，由v i l l e 统一了上述研究成果，给出了瞬时频率 的经典定义方法。从瞬时频率概念的提出到其获得广泛应用，其间经历了漫长的 发展过程，许多新的、合理的定义与估算方法不断被提出，文章的以下部分对其 进行简要的介绍。 1 1 信号频率的定义 在物理学中，频率被定义为单位时间内振动的次数，而振动是指一次完全的 来回运动。一次振动过程中，振动体从平衡位置到运动路径的一个终点，然后到 运动路径的另一个终点，最后回到平衡位置，对于波动的情况我们可以类似的将 其频率定义为单位时间内通过固定点的波形的数目2 1 。通过这一模型我们就可以 为将振动过程的频率定义为 1 w = t ( 1 1 ) 不难看出，按照以上的定义，只有存在一个完整的波形的时候才能给出频率，而 第一章绪论 且在这一时间跨度上频率为某一个固定的常数。对于正弦信号来说，这一方法可 以比较容易的计算出频率，但是在处理现实数据时就会遇到很多困难，特别是遇 到非平稳非线性信号时，该定义无法给出一个正确的频率【1 1 。 对于实际信号数据的处理，传统的频率定义方法是通过傅里叶变换实现的 。设时间栩例脯嘲= r n ，其峨= r ) e i w j t 衍，r 是指数据的实部。通过经典傅里叶分析所得到的频率值在整个积分区间上是一个 常数，它所存在的问题也是只对线性平稳信号有效。 1 2 瞬时频率的定义 由于传统频率是通过周期运动中物体单位时间内完成周期运动的次数来定 义的，所以术语瞬时和频率组合在一起似乎是有些矛盾的，为了解决这一问题， c a r s o n 和f r y 在1 9 3 7 年【3 】，通过电流回路的研究提出了一种观点：瞬时频率是 传统频率的一般化，是相位角对于时间的变化率。在1 9 4 6 年v a nd e rp o l t 4 】通过 研究给出了瞬时频率的定义 w ( t ) = 石1 警( 1 - 2 ) 在瞬时频率的研究中，另一项重要的工作是由g a b o r 5 】来完成的。他提出了一种 通过实信号来构造相应的复信号的方法， z o ) = s o ) + n s ( t ) 】 ( 1 - 3 ) 将其写为指数的形式就是 z o ) = a ( t ) e 徊( 1 - 4 ) 其中z ( f ) 表示复信号，s ( f ) 是实信号，日代表希尔伯特变换，它的计算方法是 研s ( f ) 】- p m 阻f ( 1 - 5 ) 二 7 z z v i l l e 6 1 综合c a r s o n 和f r y 【3 1 与g a b o r t 5 1 的工作，给出了形如s ( t ) = c o s 驴( t ) 信号的 2 第一章绪论 瞬时频率计算公式 以r ) = 瓦1 瓦d 鹕) 】 与此同时，v i l l c f 6 j 提出了魏格纳维尔分布w v d ， 而且还有以下关系成立， ( 1 6 ) w ( f ，m ，) = i z ( t + f 2 ) z ( t - r 2 ) e - 2 ”d r ( 1 - 7 ) j w w ( t ，w ) d w 以，) = 鼍- 一 j w ( t ，w ) a w 1 3 瞬时频率定义的理解 ( 1 - 8 ) 瞬时频率的概念一提出就在数据分析与通信工程领域引出了各种各样的看 法，例如“禁止它出现在通信工程的词典里 1 7 1 ，“增加非线性扰动波形重要性 的概念性创新 i s ) 。所以对瞬时频率概念的解释存在很多的争议。m a n d e l t 9 1 探讨 了傅里叶分解下的谱频率和瞬时频率的关系，他认为这两种频率之间没有一种一 对一的关系，它们之间唯一的相似之处是傅里叶谱的均值频率等于瞬时频率的时 间均值。然而就是这种相似性也是在一定条件下才成立的，对于包含两种成分的 信号来说，两者相等的条件是两种成分信号的振幅相等，对于包含三种甚至更多 成分的信号来说条件就更加严格 1 0 , l l 】，而且大多数情况下相等的关系根本就不成 立。 按照经典定义式，瞬时频率是基于h i l b e r t 变换构造的复解析信号相位的导 数。对于式( 1 9 ) 所示的信号，其对应的复信号可能为式( 1 1 0 ) ，也可能为式 ( 1 1 1 ) ，故复信号的构造形式并不唯一。复信号的具体形式依赖于所采用的方法， 可以证明，由希尔伯特变换构造的解析信号会自动选取式( 1 0 ) 的形式【2 1 。 s ( t ) = c o s ( w l t ) c o s ( w 2 f ) ，m = a ( t ) h c o so ( t ) ( 2 9 ) 第二章基于相位求导的瞬时频率估算方法 ( 2 9 ) 式的物理意义就是信号包络和载波部分的傅里叶谱是相互分开的， 不存在交叉现象。这个要求是十分苛刻的，因为它不仅要信号是单成分的，而且 要求信号是窄带信号，否则a m 的变化将会对f m 部分产生干扰，瞬时频率的计算 就会受到影响。严格说来，除非我们使用带通滤波器，否则任何a m 部分的变动 都会导致不满足b e d r o s i a n 定理，进而导致最终的计算结果变得没有意义。 b e d r o s i a n 定理并不是唯一的问题，对于任意的相位角多( f ) 来说，n u t t a l l 对以 下关系提出了质疑 h c o s b ( t ) 】= s i n b ( t ) ( 2 1 0 ) 在使用希尔伯特变换计算瞬时频率的时候，这一问题被大多数人所忽略。 p i c i n b o n o t 2 3 1 认为仅仅通过谱的性质无法保证( 2 1 0 ) 式的成立。最近保证( 2 1 0 ) 式成立的条件f l ：l q i a n t 2 8 1 提出，但是这些讨论在实际的数据处理中受到了很大的 限制，因为我们不能是数据满足所描述的条件。p i c i n b o n o 最后得出结论“唯一科 学的方法是计算这一近似的误差，他同时还指出由于这一误差依赖于相位角的 结构而不是振幅函数的谱，所以并没有一种使用振幅函数的谱计算该误差的一般 化方法。 n u t t a l l 第一次建立了如下的理论结果：对于任何给定的信号( 2 1 ) ，如果设 s ( f ) 的希尔伯特变换是s h ( t ) ，正交项是s q ( t ) ，那么就有 其中， e = s 办( f ) 一阳( ，) 】2 d t = 2 亿( w ) d w ( 2 1 1 ) ( w ) = f ( w ) + fp ( f ) s i n 妒。弦一加d t ( 2 - 1 2 ) f ( w ) 是信号的谱，e ( 忉是信号正交项的谱。这样，信号的希尔伯特变换 和其正交项相等的充分必要条件是e = 0 。这一结果非常的重要，但是却不是很 实用。问题在于它存在一些缺陷。第一，误差表达式中出现了信号正交项的谱， 但那时如果连正交项都不知道的话，正交项的谱也是一个未知的量，这样误差就 无法计算了。第二，结果是以整个区间上的积分形式给出的，所以是对误差的一 个整体上的衡量，我们就无法知道是非稳定序列的那一部分产生的误差。最后， 1 2 第二章基于相位求导的瞬时频率估算方法 所给误差是基于能量的，它仅仅是说明s h ( t ) 与s q ( t ) 是不同的，并没有给出对瞬 时频率的误差衡量。尽管存在以上问题，但是该结果依然是非常重要的，因为它 指出了使用希尔伯特变换时的一个严重问题。 这些问题早在六十年代末就已经提出来了，但是由于没有一种将信号分解为 单成分信号的有效方法，所以b e d r o s i a n 定理和n u t t a l l 定理的限制直没有得到解 决，这样希尔伯特变换方法在数据分析中不是一个实用的方法。 2 3 标准化的希尔伯特变换方法【l 】 2 3 1 标准化过程：基于经验的a j i 卜硎分解n 1 图2 1 ，任意的一组n 扩数据，满足上脚的所有条件 第二章基于相位求导的瞬时频率估算方法 图2 2 。n 俨数据绝对值的所有极大值 图2 3 用三次样条曲线连接所有极值点，得到信号的包络 第二章基于相位求导的瞬时频率估算方法 由b e d r o s i a n 定理和n u t t a l l 定理所提出的限制由很深的理论基础，必须要符 合。这里我们提出了一种新的标准化过程基于经验的a m f m 分解。这一过程 可以把i m f 唯一的分成包络( a m ) 和载波( f m ) 两部分。这一分解过程的重 要性有三个方面：第一，也是最重要的一点，标准化后的载波让我们可以直接计 算正交项( d q ) ；第二，标准化的载波有单位振幅，因此也就满足了b e d r o s i a n 定理的要求；最后，标准化的载波可以使我们给出一个更加局部化、更加实用的 基于能量的误差。使用基于经验的a m f m 分解和标准化过程的方法我们称之为 标准化的希尔伯特变换。 标准化的过程是基于经验的，它把信号分解出来的i m f 唯一的分解为a m 和 f m 两部分，通过三次样条拟合数据的多次迭代实现这一过程。下面对其进行详 细的介绍。 首先，对于给出如图2 1 所示的i m f 数据x ( f ) ，找出数据绝对值的所有局部 极大值点，如图2 2 所示。通过使用绝对值拟合我们保证了数据关于零轴的对称 性，然后我们用三次样条曲线连接所有的极值点，如图2 3 所示。三次样条曲线 称为数据的经验包络，记为e ，( f ) 。一般来说，经验包络不同于解析信号对的模， 因为对于任何给出的数据来说，极值点是固定的，所以经验包络也应该是固定唯 一的。通过三次样条拟合得到经验包络之后，我们就可以用这一包络对数据x ( f ) 进行标准化处理， 邶) 2 器 ( 2 1 3 ) y 。o ) 为经过标准化处理之后的数据，理想情况下，y 。( f ) 应该具有单位振幅，但 是不幸的是标准化之后的数据仍然有一部分数据的振幅大于单位振幅，如图2 - 4 所示。这是因为样条拟合仅仅是穿过极大值点，在振幅快速变化的地方包络样条 可能会穿到数据点之下，从而导致上述问题的出现，图2 5 。尽管存在这些偶尔 的缺陷，这一过程还是能够很好的把振幅和载波部分分开的。要想完全解决这一 问题，可以采用迭代的方法，即对得到的y 。o ) 按照上面介绍的步骤求其包络 p ，( f ) ，再进行标准化，不断重复上述过程， 第二童基于相位求导的磅时频率估算方法 ( 2 - 1 4 ) 经过”次迭代之后，n ( r ) 的所有值都等于或者小于1 ，标准化过程就结束了。这 样我们得到了信号的f m 部分，y ( t ) y ( t ) = y ( r ) = c o s ( t ( 2 一1 5 ) f 0 ) 是有单位振幅的f i v i n 数。有了f m 部分，自然可以得n a m 部分，爿( f ) 最后我们有 却) = 器弘( ) 州f ) “o x ( o = a ( t ) f ( 1 ) = a ( 0 c o s 十( t ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 圉2 - 4 ，经过次标准化的过程，数据并没有满足归一化要求 器等 f f 2 y y 第二章基于相位求导的瞬时频率估算方法 图2 - 5 ，三次样条从信号数据点下面穿过 t i m e ：s e c o n d 图2 - 6 ，完全标准化之后的数据 眚*基羔i昌萌 第二章基于相位求导的瞬时频率估算方法 这样我们就完成了基于经验的a m f m 分解，通常说来这一过程具有较快的 收敛速度，经过两三次迭代之后所有数据点就会小于或者等于1 了。就像e m d 方 法一样，标准化过程缺少解析的表达，这限制了对这一理论证明的公式化表示， 但是标准化过程和e m d 方法一样，执行过程比较直观简单，而且解析性对于计 算瞬时频率来说并不是必须的，毕竟大多数时候我们所处理的数据本身也没有解 析的表达式。在后面的试验中我们将进一步展示通过标准化过程处理之后计算出 来的瞬时频率会有很大的改进。 但是我们还应该注意到，标准化过程会引起原始数据的变形，虽然跨零点和 极值点能够保证波形的基本形式，但是随着迭代次数的增加还是会对瞬时频率的 计算产生一定的影响。特别是当信号的振幅发生剧烈的变化的时候，样条包络线 就不能完全覆盖信号，而是穿过其中的一些信号点，这样将可能会导致标准化过 程不收敛而失败。通过多次迭代有时候可以解决上述问题，但是迭代的过程会使 极值点改变原来的位置，从而不可避免的扭曲了信号原来的波形，影响了瞬时频 率估算的效果。这一问题可以通过换用其它的包络曲线而得到很好的解决，下面 我们对此进行详细的讨论。 2 3 2 改进的标准化过程 1 、用解析信号对的模作为包络 从直观上看，我们最先能够想到的包络就是解析信号的模， - 。_ 。_ 。一 彳( f ) = 4 x ( t ) 2 + 日【x ( f ) 】2 ( 2 1 8 ) 在图2 7 中我们将解析信号的模和样条包络做一下比较，可以看出样条包络 的光滑性较好，而解析信号的模光滑性很差，而且出现了很多高频内波调制，对 原数据点有很大的偏离，但是解析信号对的模一般不会从数据点的下方穿过，所 以在迭代的过程中只需要一次标准化的过程就可以使信号的振幅都小于或者是 等于1 ，如图2 8 所示。我们看到虽然经过一次迭代就达到了我们的要求，但是信 号的波形也产生了一定程度的扭曲。 1 8 第二章基于相位求导的瞬时频率估算方法 t i m e ：s e c o n d 图2 - 7 ，绿色为解析信号对得到的包络粉红色为解析信号对得到的包络 t i m e ；s e c o n d 图2 - 8 ，解析信号对做包络，经过一次迭代之后就达到了振幅归一化的要求 言暑羔焉丢s 第二章基于相位求导的瞬时频率估算方法 2 、用保形分段三次插值函数做包络1 2 9 】 1 ) 三次样条包络 设f c a ，b 】，令k = ，x 朋) 为区间 a , b 】上的m + 1 个结点的集合，且满 足这样的关系a = x o x l 为区间【口，6 】上的所+ 1 个结点的集合，且 满足这样的关系a = x o 工l a b s ( 3 d e l l ) ) d = 3 * d e l l ； e n d 三次样条斜率计算程序【3 0 】 f u n c t i o nd = s p l i n e s l o p e s ( h ，d e l t a ) s p l i n e s l o p e ss l o p e sf o rc u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o n s p l i n e s l o p e s( h ，d e l t a )c o m p u t e sd( k )= s ( x( k ) ) u s e sn o t - a - k n o te n dc o n d i t i o n s d i a g o n a l so ft r i d