（微电子学与固体电子学专业论文）基于fdtd算法的电磁建模系统可视化实现.pdf

基于f d t d 算法的电磁建模系统可视化实现 摘要 本文首先对f d t d 算法理论予以介绍，并对f d t d 算法中电磁学问题的描 述方法进行说明。进行基于f d t d 算法并利用计算机可视化技术实现对目标系 统进行电磁建模的研究，建立几何建模算法和网格坐标生成算法，设计出一套具 有丰富内建图形处理功能的网格生成软件。 本系统将f d t d 仿真软件所需要的以文本输入方式描述的电磁学问题描述 文件如介质参数文件、几何建模文件、网格坐标文件、边界条件文件、输入与输 出记录文件等以前需要手工输入完成的工作，利用v i s u a l b a s i c 语言实现为模块 式的可视化方式显示，利用计算机技术完成如网格划分等繁复的工作，充分发挥 建模软件所起的作用，使用户可以集中精力于模型各参数的优化以及模型结构的 修改上，提高建模的效率。 系统可以直观体现出所建模型在各电磁学问题中的描述状况，尤其在网格坐 标生成、网格校验功能上，能够根据用户要求自动生成所需分布形式的网格坐标 并自动检测出不符合算法要求的网格坐标，使网格坐标生成准确，工作轻松、高 效。系统提供模型被网格划分的三维显示，能够直观的反映出建模物体最终的网 格划分状态。对于不规则物体，系统采用阶梯近似方法对其边界进行拟合并可自 动生成圆柱类物体。系统对输出结果给出直观显示，采用不同线形和颜色进行多 点输出的显示。 在本系统中通过对目标系统进行3 d 建模、对各电磁学问题进行描述，系统 将生成的电磁建模文件输入f d t d 仿真软件即可进行模拟分析计算。软件可以 直观显示出仿真计算结果。本文以贴片天线建模及其反射系数的计算、带阻滤波 器建模及其透射系数的计算以及u 型天线的建模为实例，表明该电磁建模系统 界面友好、操作方便、准确高效。 关键词：f d t d 方法，f d t d 网格生成，天线 d e v e l o p m e n to f v i s u a l i z e de l e c t r o m a g n e t i cm o d e l i n gs y s t e m b a s e do nf d t da l g o r i t h m a b s t r a c t i n t h i sp a p e r , t h ef d t da l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h em a x w e l le q u a t i o n si s i n t r o d u c e d a c c o r d i n gt o t h et h ef d t da l g o r i t h ma n dc o m p u t e rv i s u a l i z a t i o n t e c h n o l o g y ，t h ep a p e re s t a b l i s h e st h em o d e l i n ga l g o r i t h ma n dt h em e s hg e n e r a t i o n a l g o r i t h m t h ef d t dm e s hg e n e r a t o rs y s t e m ( s o f t w a r e ) w h i c h h a sa b u n d a n c eo f g r a p h i c s p r o c e s s i n gf u n c t i o n si sd e s i g n e di nt h i sp a p e r t h es y s t e md e s c r i b e st h ee l e c t r o m a g n e t i cp a r a m e t e rf i l e sd i r e c t l y ，s u c ha s m e d i u mf i l e ，g e o m e t r yf i l e ，m e s ht i l e ，b o u n d a r yf i l e ，i n p u tf i l ew h i c hd e s c r i b e di nt h e f o r mo ft e x ti sr e a l i z e di nm o d u l a r i z a t i o na n dv i s u a l i z e db yu t i l i z i n gt h ev i s u a lb a s i c c o m p u t e rl a n g u a g e t h es y s t e ma c c o m p l i s h e ss o m ec o m p l i c a t e da s s i g n m e n t ss u c ha s t h em e s hg e n e r a t i o na n dt h em o d e ld i s s e c t i o nb yu t i l i z i n gt h ec o m p u t e rt e c h n o l o g y ， s ot h eu s e rc a nc o n c e n t r a t eo no p t i m i z i n gt h em o d e lp a r a m e t e r sa n dp e r f e c tt h e c o n s t r u c t i o no f t h em o d e l t h es y s t e md i s p l a y st h ed e s c r i p t i o no ft h ee l e c t r o m a g n e t i cp a r a m e t e r sd i r e c t l y ， e s p e c i a l l yi nm e s hg e n e r a t i o na n dm e s hv e r i f i c a t i o n ，i tc a ng e n e r a t et h em e s hi nt h e s t y l eo fu s e r s r e q u i r e m e n ta n df i n do u tt h ec o o r d i n a t e sa u t o m a t i c a l l yw h i c hd i s o b e y t h ef d t da l g o r i t h m i tp r o v i d e st h e3 dd i s p l a yo ft h em e s h e dm o d e l t h es y s t e m a d o p t st h es t a i r c a s ea p p r o a c ht h eb o u n d a r yo fi r r e g u l a ro b j e c ta n di tc a r lg e n e r a t e c i r c u l a ro b j e c ta u t o m a t i c a l l y t h es y s t e md i s p l a y st h es i m u l a t i o nr e s u l ti nd i f f e r e n t l i n es t y l ea n dc o l o r t h r o u g hm o d e l i n go b j e c t sa n dd e s c r i b i n ge l e c t r o m a g n e t i cp a r a m e t e r sa n d p u t t i n ge l e c t r o m a g n e t i cf i l e si n t of d t ds i m u l a t i o ns o f t w a r e ，w ec a ng e tt h ef d t d a n a l y s i sr e s u l t ，a n do b s e r v ei td i r e c t l y p a t c ha n t e n n a ，b l p fa n dt h eu s h a p e d a n t e n n am o d e l e di n t h i sp a p e ri n d i c a t et h a tt h ee l e c t r o m a g n e t i cm o d e l i n gs y s t e mi s p r e c i s ea n de f f i c i e n t k e yw o r d s ：f d t d ，f d t dm e s hg e n e r a t i o n ，a n t e n n a i i 图表目录 图2 。1 y e e 氏差分网格4 图2 2 二维矩形计算网格空间1 3 图2 3 近远场外推坐标1 6 图3 1 建模步骤一1 9 图3 2 高斯脉冲频谱2 l 图4 1 坐标系旋转定义( a ) 绕z 轴旋转( b ) 绕x y 面旋转一3 3 图4 2 坐标变换一3 5 图4 3 区域划分3 9 图4 4 子区域生成4 0 图4 5 非均匀网格生成流程图4 3 图5 1 建模软件界面( 对一款手机建模) 4 6 图5 2 建模软件界面菜单4 6 图5 3 建模软件界面工具条4 6 图5 4 介质列表窗口4 8 图5 5 1 型值点输入框4 9 图5 5 2 建模物体列表4 9 图5 6 控制部件模块5 0 图5 7 均匀网格生成模块一5 0 图5 8 1 非均匀网格生成模块5 1 图5 8 2 非均匀网格分布设置5 1 图5 - 9 网格生成展示( 手机网格生成) 5 2 图5 1 0 图形旋转与缩放模块5 2 图5 11 图形操作工具条5 3 图5 1 2 边界设置界面5 3 图5 1 3 1 激励源设置界面5 4 图5 1 3 2 输出记录设置界面5 5 图5 1 3 3 远场设置界面5 6 图5 1 3 - 4 元胞设置界面5 7 图5 1 4 网格校验界面一：5 8 图5 - 1 5 - 1 三维剖分界面( 手机三维网格覆盖) 5 9 图5 1 5 2 手机三维网格覆盖显示5 9 图5 - 1 5 3 微带螺旋电感网格覆盖显示5 9 图5 1 5 - 4 舰船三维网格覆盖显示6 0 图5 1 6 物体元胞设置模块6 0 图5 1 7 1 建模软件多边形编辑模块界面( q u a s i y a g i 天线) 6 1 图5 - 1 7 2q u a s i y a g i 天线三维显示6 l 图5 1 8 计算空间设置模块6 2 图5 1 9 1 圆柱体生成6 3 图5 1 9 2 采用小网格拟合圆柱体6 3 图5 - 2 0 一1 输出结果显示界面6 4 图5 2 0 一2 文件“i n f o r m a t i o n ”显示一6 4 图5 2 1 物体自动旋转界面6 5 v i 图5 2 2 微带线特性阻抗计算界面一6 5 图6 1 微带天线一6 6 图6 2 微带天线介质列表6 7 图6 3 微带天线建模展示6 8 图6 - 4 微带天线均匀网格生成6 9 图6 5 微带天线三维展示7 0 图6 - 6 微带天线激励源加载展示7 1 图6 7 仿真软件模拟7 1 图6 8 输出波形显示7 2 图6 - 9 微带传输线建模模型7 2 圈6 1 0 输出波形显示7 3 图6 11 微带天线s 1 1 7 3 图6 1 2 带阻滤波器模型7 3 图6 1 3 带阻滤波器介质列表7 5 图6 1 4 带阻滤波器建模展示7 6 图6 一1 5 带阻滤波器非均匀网格生成7 7 图6 1 6 带阻滤波器三维展示7 8 图6 1 7 1 带阻滤波器输出显示( a ) 输入端口电压( b ) 输出端口电压7 9 图6 1 7 2 带阻滤波器s 2 1 8 0 图6 - 1 7 - 3 带阻滤波器s 8 0 图6 1 8u 型天线8 1 图6 1 9 对u 型天线建模8 1 图6 2 0u 型天线在z x 平面的网格划分8 2 图6 2 1 进行网格划分后的u 型天线8 2 图6 2 2u 型天线中的电磁场分布8 3 v i i 独创性声明 本人声明所呈交韵学位论文是本人程导师指导下进行的研究工作及取得的研究成聚。据 我艇知，除了文中特别加以标惑稠致谢的地方外，论文中不包含其饿人已经发表或撰笔过的 研究成果，也不包含为获得焱胆兰些杰鲎 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 辩。与我一翊工传熬耀志对本疑究所骰豹饪露贡献遗已盔论文中搀t 疆礁敢说明弗袭示滏 意。 学位论文作者签字；考词签字日期：年4 月日 学位论文舨权使用授权书 本学位论文作者蠢全了解金罂王鼗鑫堂镑关僳蟹、使耀学位论文鲶娥定，有投傈蟹 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 墅堇篷盍雯露| 苤将学位论文豹金帮或郝分论文蠹容编入蠢关鼗据鬻迸嚣硷索，可戮采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密酌学位论文在解密援适蕊本授权书) 学位敝作者憝名- 套矿囱 签字日期：脚万年彩月嗣 学键论文 工作单位 通讯地址 导师签名 签字日期目 电话：口，p 甜葶亭2 0 t ，o 一2 ，垆9 邮编： ，印0 矽0 致谢 本人在近三年的硕士研究生课程学习、课题研究和撰写学位论文的过程中， 自始至终都得到了我的导师杨明武教授的悉心指导，无论从课程学习、课题研究、 论文选题，还是到收集资料、论文成稿，都倾注了杨老师的心血。这几年来每当 课题研究进展顺利时，杨老师总给我鼓励；而当科研工作陷入困境时，老师又赋 予我启迪和帮助。杨老师创造条件为我们营造积极的学习氛围和科研环境，为我 们传授知识、答疑解惑，陪伴我们进行实验至深夜己是司空见惯! 由衷感谢杨明 武老师在学习和生活各方面给予我的关心与支持，以及从言传身教中学到的为人 品质和道德情操。老师广博的学识、严谨的治学作风、敏锐的洞察力以及对科学 事业孜孜追求的献身精神、诲人不倦的教育情怀和对事业的热爱与忠诚，必将使 我终身受益，并激励我勇往直前。在此我向我的导师杨明武教授致以深深的谢意! 同时，真诚感谢理学院的全体老师，他们的教诲为本文的研究提供了理论基 础，并创造了许多必要条件和学习机会。 感谢王伟吉、周秀梅同学在课题研究阶段给予我支持与帮助! 在软件设计上 提出的很多好建议! 在近三年的学习生活中我们结下了深厚的友谊! 我们共同体 会课题研究的辛苦，一同分享研究成果带给我们的喜悦，在研究生学习与生活的 道路上互勉共进，相互激励百尺竿头更进一步! 感谢陈跃飞、李楠等同学在课题研究上提出的很多好建议，感谢你们给予的 关心与帮助! 在此祝愿我的导师杨明武教授和理学院全体老师： 身体健康，生活幸福! 祝愿王伟吉、周秀梅、陈跃飞、李楠等同学： 身体健康，事业有成! 1 1 1 李响 2 0 0 6 年3 月8 日 第一章绪论 瓣域枣黻差分法- f d t d ( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ) 是1 9 6 6 每k 。s 。y e e 首先提出的一种解决电磁场问题的数值计算新方法“。f d t d 算法不同于以往的任 褥一释方法，是馥差分原理为基穑，纛接麸檄括电磁场普遍麓律静麦克撅韦旋度 方程出发，将其转换为差分方程组，在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的 数据敲样。鳓此，它是对电磁场问题的最原始，最本质，最完备的数值模拟，具 有最广泛的邋用性。f d t d 算法使电磁场的理论与计算从处瑾稳态超题发展到瓣 态问题；从处理标量问题发展到直接处理矢鬟 问题，在电磁场理论中是一个搬有 意义瓣重大发震。 在运用f d t d 算法进行电磁仿真的初期，对目标谶行电磁建模往往是通过文 本静形式送行搐透，对于复杂系统，这静方式不稳予检查磊称物体的几何参数是 否正确，不利于检查离散化厝的网格参数是否满足f d t d 算法鼷求，不利于反映 物体在计算警间中被嗣梧割分的状态，更不能渔观的反映出复杂系统中各物体的 相对关系。多瓣不利赢接导致增大电磁仿真的结果与勰辑解之闽蛉谟麓，甚至与 解析解相差甚远。那么，如何提高电磁建模的正确性，提高电磁建模的效率，实 理电磁建模懿瘫效j 羧藏成为惫磁接真发震戆爨经之爨。 在计算机技术飞速发展的今天，将计算机技术应用于f d t d 算法，使f d t d 建模软俘获褥了长是缝发震，已有裁掰多释计算税语言开发静f d t d 软件，翻 x f d t d ( 1 9 9 6 ) ：具有多种功能，包含有瞬态近- 逊场外推，亚网格技术，介 质可以是有耗介质、磁化铁氧俸；可用以分析生物体对电磁波吸收特性( s a r ) ， 螺旋殿微带天线，天线阻抗的频率特馁，移动魄话场强分布，纲导线及复杂物体 电磁散射和r c s 计算。 a u t o m e s h ( 1 9 9 9 ) ：霹戳蠡动生成三缝凌匀聂交嚣旗戮搓写袈杂缍橇镌 体，并给出二维分层擞示；应用v i s u a lb a s i c 语言，结合f d t d 可以计算微带 滤渡嚣，徽蒂天线传输及辐蓦季特缝等。 ac o n f o r m a lf d t ds o f t w a r ep a c k a g e ( 2 0 0 0 ) ：用来模拟射频天线，微带 电路元件：应用非均匀潮格及若形网格，p m l 吸收边界，近远场变换，可处理 曲面和有边缘物体；使用v i s u a lb a s i c 和c + + 语言。 都髭应用计算杌技术实现了电磁建模系统受为人性纯，更为精确、裔效的建模算 法的成功实例。 在f d t d 算法应用的广泛领域中，为了能够得至u 相对较优的结粜，除了对应 爰领域知谈豹掌握癸深厚，_ 纛接影螭傍囊缝寒兹是嚣标系统瞧磁建模躲糖确程度 以及对电磁问题描述的合理性。在建模过程中用户对建模目标的检衡与及时修改 对嵇龚结莱是至关瀵要戆。露在建穰软孛中，糕焉诗算撬技术薅露对磊标搦俸送 行空间状念反映，电磁参数恩示，动态网格剖分显示，将十分有利予对目标系统 的时时检查与参数修改，使季由象的参数转纯为可视化的图形图象。我们进行罄予 f d t d 算法的电磁建模系统的硬究就是要实现建模目标系统的几何参数、电磁参 数以及仿真结果的岚观显示，提高建模的效率。其中，在三维空间瓴观显示目标 甥侮著可以露对调熬的设诗使爰户霹瞄在蚤个受凌纲致戆躐察甥传，及时骖浚模 型。针对提高网格划分的效率和正确性，设计了网格坐标自动生成并直接反映出 不符合f d t d 算法要求豹薅潦坐标秀令葫戆模块，缓繁复豹工作交褥麓萃焉离效。 连同计算区域或单独目标物体可选择的3 d 或2 d 网格动态剖分更加清晰的反映出 哥标系统在计算空闻中的剖分状态。复杂物体建模、潮格生成与检测自动化、连 同计算区域政单独联标物体可选择的网格剖分方式簿属本套系统的剁耨之处。 本文的研究内容来源于安徽省自然科学撼金项目“新颖手机内澄双频p i f a 天线戆计算壤模拟磷究”( 2 0 0 2 - - 2 0 0 3 ) 。教育部科学技术辑究重杰顼基“双频 宽带微带天线及其计算电磁学模拟研究”( 2 0 0 3 - - 2 0 0 5 ) 。 本文共分三零分，霞理论综述部分、软 孛实臻部分窝建模实翻部分。冀中第 二章对f d t d 算法原理进行了总结，第三章中对f d t d 算法中关于电磁学问题的描 述方法进行了说明。笫西、赢两章对本套建模系统矫罔到韵簿法和系统组成给予 详细阐述和说明。第六章通过微带天线、滤波器和u 型手机天线。1 的建模实例对 系统的功能实现和建模效果给予证明。 第二章f d t d 算法原理 时域有限差分法直接求解依赖时间的麦克斯韦旋度h - 程，利用二阶精度的中 心差分近似把旋度h - 程中的微分算符直接转换为差分形式，这样达到在一定体积 内和一段时间上对连续电磁场的数据取样压缩。 2 1 y e e 的差分算法 考虑空间一个无源区域，其介质的参数不随时间变化且各向同性，则麦克斯 韦旋度方程可写成 v 。e ：一婴一盯。h ( 2 1 1 a ) v h = s 尝+ 盯。e( 2 1 1 b ) 其中e 为电场强度，单位为伏米( v m ) ；h 为磁场强度，单位为安米( a m ) ； e 为介电常数，单位为法米( f m ) ；u 为磁导率，单位为亨米( h m ) ：o 。 为电导率，单位为西门子米( s m ) ；o 。为等效磁阻率，单位为欧米( f 2 m ) 。 这里引进等效磁阻率的目的主要在于使方程具有对称性。 在导出差分方程时，要从电磁场各分量满足的方程出发，因此需要写出方程 ( 2 1 1 ) 等价的电磁场的六个分量所满足的方程。在直角坐标系中，令 e = e xdx + e yar + e z ，h = h ，q ，十h ，a ，十h ：a 。( a ，a ，和q 。分别为x ，y 和z 的三个坐 标的单位矢量) ，则展开方程( 2 1 1 a ) 和( 2 1 _ i b ) 后可得 百o e x1 l ( 3 砂h 一一警训。) ( 2 a ) 鲁= 昙f 警一警q b ( 2 1 2 b ， 百o e z1 1 ( o 舐h y 一一等皑 ( 2 1 2 c ) 警= 去( 鲁专飞h 。) ( 2 1 3 a ， 堡o t = i 1l ( o 氨e z 一一警飞髟) ( 2 i , 3 b ) 警= 去( 等一警飞也 c z c ， 这六个耦合偏微分方程是f d t d 算法的基础。 y e e 氏于1 9 6 6 年首先对上述6 个耦合偏微分方程引入了一种差分格式。按 照y e e 的差分算法，首先在空间建立矩形差分网格，网格节点与一组相应的整数 标号一一对应： ( f j 女) = ( fax ，ay ，七z ) ( i j ，k )e y ( i ，( j + 1 ) ，k ) 图2 1 y e e 氏差分网格 其中i ，j 和k 均为整数，分别表示x ，y 和z 坐标方向的网格标号或空间步长个 数。时间步长将用at 表示，用n 表示时间步长的个数。一个时变量一般地既 与空间坐标有关，也与时间变量有关。为了表示方便把时间变量写在其代表符号 右上角，并采用下面的简化表示方法： f ”( f k ) = f ( i a x ，j a y ，k a z ，n a t ) y e e 氏采用了具有二阶精度的中心差商近似。在y e e 氏网格中由于场量之间 相距为半个空间步长，因而，”( ，t ) 在x 方向的中心差商可依式( 2 1 1 5 ) 而成为 鼍掣：f(i+_2,j,k)-f(i-2,j,k)+。( ( 2 ) 幽x 、7 一 同理，对时间微商也采用中心差商近似，且也是相隔半个步长进行计算时就可得 到 od 掣攀：坐盟雩立盟+ 瞰：) ( 2 l 5 ) 一1 一i ，v lf ，h l a盘 。 一7 用式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 这种形式的中心差商近似地替代m a x w e l l 旋度方程 中的微商，就可获得y e e 氏所给出差分方程。例如在 n + ( 1 2 ) ，j ，k 点的e ；利用 中心差商近似可有方程( 2 1 2 a ) 得到 f 气f + ；，m ) 一e w + ；，m ) l 占( f + ；，七) 。堕塑塑 ， v一7 q ”h 知t + 尹1 一q ”知m 一争 吒e ”( f + 去，女) 】 在上式中包含相隔半个时i 口j 少1 匹h u = - - 个e 。值，这为实际编程计算带来不便 为克服此缺点，可采用如下近似： e ”；( f + 知纠= i i 峨n + l ( i + 知卅蹦f + 知纠 在这一近似下由( 2 1 6 ) n 7 获得关于e x 的差分方程： e ( 咖寸疆a t 磊 丛生：型：丛生：型 ( 2 1 7 ) 用完全类似的方法可得其它电场分量满足的差分方程，其形式完全类似。 关于磁场各分量满足的差分方程，由于方程( 2 i 2 ) 和( 2 1 3 ) 的对称性，很 容易从对比中求得。由于在方程( 2 1 7 ) 中磁场各分量的值均取在n + i 2 时间 步，后面出现的时间值也应取自n + i 2 时间步或n i 2 时间步，以保证取值的时 间步相差为一个整时间步。这样也可以保证在下面方程中出现的电场分量的取值 时间与前面电场分量取值的时间相同，为未知量的存储和计算带来很多方便。按 照以上考虑可得到各磁场分量满足的差分方程，其中对也有 日”i ( f + j ，女+ ；) + ：南 ( 2 1 8 ) h 和h ；有完全类似的方程。 由所列出的差分方程可以看出该算法的一大特点是，任一网格点上的电场分 量只与它上一时间步的值及四周环绕它的磁场分量有关。此外，方程中的占，“盯。 和吒，都表示成了空间坐标的函数。这说明这些参数可以设置成非均匀的或者说 各向异性的。因此这种算法在处理介质的非均匀性和各向异性方面不仅有效，而 且很方便。 方程组( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 是在网格的空间步长出，匆和a z 可取不同值时 的一般情况。再没有特殊需要时，常常把三个空间步长取成相等，成为均匀立方 网格。若用厶表示统一的空间步长，既有 a x = 4 y = a z = 出 在这种情况下( 2 1 _ 7 ) 和( 2 1 8 ) 中的系数可采用如下的简化表示： 6 峥可丐可叫研| 善可 一 一 + 1 一 l 1 i ) ，一2 + ， 一2 + ， j ( +h c a ( i ，j ，k ) = c b ( i ，k ) = ，一! 。! ! ! ! 12 垒1 2 ( i ，k ) 1 + ! ! ! ! ! ! 12 垒1 2s ( i ，j ，k ) af1 s ( i ，k ) 5 1 + ! ! ! ! ! ! ! ! 垒1 2s ( i ，j ，k ) l 一 ! ! ! ! ! ! 生! 垒! 删，2 _ 壹竖盘盘 2 ( f ，t ) d b ( f ，) 2 万靠i 互冱l j 匦 2f x ( f ，k ) ( 2 1 9 ) 这里所表示出的( i ，j ，k ) 是为了说明这些参数在一般情况下是空间坐标的函数。 即使在同一个网格单元中由于半空间步长的分辨率，也可以赋予他们不同的数 值，用以表示介质的非均匀性或各向异性。在均匀立方网格中使用以上简化符号 后差分方程( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 变为如下形式： e x “a + 互1 ，工肺= g 酊+ 互1 ，工动e x ( i + 互1 ，工功+ c 及f + 互i ，d a + 扣；舻c z + i 肿c ，+ + 争+ o + 一扣 ( 2 1 1 0 ) 风”+ j 1 ，七+ j 1 ) = d a ( i , j + j 1 ，j + 三) 峨”b + 三，| i + 互1 ) + d b ( “+ 1 + ；) ， e y w + j 1n 1 ) 一b w + 扣也n ( i ，川n 三) + e 飞肪+ 圭) 2 2 数值稳定性 ( 2 1 1 1 ) f d t d 方法是以组有限差分方程来代替麦克斯韦旋度方程，即以差分方程 缰戆磐来饯替原来魄磁场镶微分方援缀戆麓。只有褰散螽差分方程缀夔解是牧敛 和稳定的，这种代替才有意义。收敛性是指洳离散间隔趋于零时，麓分方程的解 在空润任意一点帮彳壬意对劐都一致懑于零蔗方程静解。稳定瞧是指等求一稀离散 间隔所满足的条件，在此条件下差分方程的数值解与原方程的严格解之间的麓为 有界。 2 2 i 对露离散鬻隔豹要求 考虑均匀无损糕瓣 磁燃介质空闼，以二维t m 波为例，其旋度方程驰分爨 展开形式为 墨：三f 堡一堡) ， 8 f s 、0 x 劬。 堡一三堡 ( 2 2 1 ) 一一 。一， a t 缈 a h 。?1a e 一一 魂h 瓠 按中心差商远似和二维y e e 氏网格可得到它们满足的差分方程为： 型幽= 业：韭：土羔! 量迎二望坠趋 矗t s a x h ， + ，+ 丢) 一，”，一 ) 却 。 ( 2 。2 2 ) 竺量尘二竺堕：乏一三塑! 丝型墨佥 a t 2衄 兰：! ! 竺：圭：! ! 二兰：! ! ：圭：! ! ：土垒；：垒! i ：1 2 二墨；：i ! ：! 鼹先我们把方程( 2 2 。2 ) 中的时间微商部分分离出来，并构造成时间本缀值 问题。该本微值问题的方程为： 垡鹄等盟= 五e ”锄) 堕巫掣叫虢，+ 争 亿。， f 4 “ 2 堕生堂a t叫”如 、 2 可阻看出，这姥方程脊一个共同的特点，即方程右边的场值由该点场的前半时间 步和爱半时阕步的场馕之差与黠闯步长之比来确定。螺票月v ，来表示式( 2 2 。3 ) 中的任意一个场量，则可以把式( 2 2 3 ) 写成如下统一形式： 兰n + - ! = 坚! ：五矿”( 2 2 4 ) a t 现在定义一个解的增长因子： 舭堕 ( 2 2 5 ) 吼2 坦2 鄹 为保证方稷( 2 。2 3 ) 的解憝稳定的，必须旃拥i ，把琅带入( 2 2 4 ) 就可得到 关予臻款代数方程 g ? 一2 a t q 。一1 = 0 ( 2 2 6 ) 该方程的两个根为 舻等卸+ ( 警) 2 # 泣。， 可以看出，为使酬蔓1 ，需要满足戳下两个条件： r e ( 2 ) = 0 一五2 i i m ( ) 丢； 2 2 8 也就是说，只要( 2 2 3 ) 的本征值限定在虚轴上且在式( 2 2 8 ) 所限定的范阐内， 式( 2 + 2 3 ) 黪鳃藏是稳定戆。 2 2 2 空阆离散间隔的要求 为使时间本征慎问题的方程组( 2 2 3 ) 符合原差分方程( 2 2 2 ) ，还必须保证 方稳( 2 。2 。2 ) 静右黧l 构成如下貔空鬻本徭氇溜遂： 以( f + 三1 功一蟛一互1 圆皿( ，+ 芝1 ) 一甄( ! ，歹一i ) a xa t = 五战( f ，力 墅韭掣：一辎娜+ i 1 ) ( 2 2 。9 ) vz 盟半= 坶+ 扣 由予任意波模都可展开为平试波谱，故仍然讨论平西波本征模的稳定性问题。假 定平面波本征模取如下的形式： 9 e ：( ，) 一e 。e x p 【j ( k ，l s x + 蟊y j a y ) 】 h ，( ，) = h ，e x p j ( k ，t a x + k ，j a y ) i ( 2 2 - 1 0 ) h ，q 0 = h ，e x p ( k x l a x + k y j a y ) 其中k ；耱分别势渡矢量在x 穗y 方向的分量；j 为虚数单位j = 一l ；大驾嬲i 和j 代替小写的i 和j 用以避免与虚数单位符号相混。( 2 2 1 0 ) 所表示的波必须 清楚t m 波场方程( 2 ，2 2 ) ，因丽必须也满蹩( 2 2 9 ) 整( 2 2 。1 0 ) 弋入( 2 2 9 ) 经熬理后可得 e = 万2 。石h ys i n ( 竽卜石h xs i n ( 竽) 。叫急s i n 下k y a y ) ( 2 2 1 1 ) h r = ，急s i n ( 丁k a x ) 把式( 2 2 1 1 ) 所表示的h ，和h ，代入( 2 2 1 1 ) 中e ：表达式便可得到关于旯的关系 牡一，亳【古蜘( 竽卜专s i 斌竽) 】( 2 2 1 2 ) 菱玄函数懿添度不熬过1 ，阂毖蠹式( 2 。2 。i 2 ) 可箱，对掰宥豹k 帮氟应该鸯 r e ( 丑、= 0 m ) i 2 v f 击+ 击 铝刖3 其中萨l 厶f 华为电磁波的传播速度。( 2 2 1 3 ) 是满足方程( 2 2 2 ) 的所有可能的 平瑟波的本锻值谱的范围。3 。 2 2 3 数值稳定条件 从方程( 2 2 2 ) 等效得两个本征值问题( 2 2 3 ) 和( 2 2 9 ) 导出t 本征值念 港( 2 2 ，1 3 ) 及稳定黢要求本缝毽戆毂毽慈基蹰受裂豹限8 “。爨诧，综合式 ( 2 2 9 ) 和( 2 2 1 3 ) 可得t m 波的时域差分法( 2 2 2 ) 数值稳定性所要求的条件： 在一维清况下满足条件 a t 兰 ( 2 2 。1 4 ) 在二维情况下满足条件 黜彤腼珊丽 2 i2 1 5 在三维情况下满足条件 虮，形瓜飘丽 2 2 1 6 n 维豹情况稳定蕊条件为： 出竺( 2 。2 ，1 7 ) v 4 n 其中t 为一个时间步长，v 为电磁波传播速度。 2 3 数篷色教洚鼷 如果电磁波所在空间的介质特性与频率有关，则电磁波的传播速度也将是频 率的醋数，这葶申现象旅为色教。存在色教现象的分质称为色教分威。在 # 色散舟 震中电磁波的铸掇速度与频率无关。辨以，如累时域鸯限差分算法是精确翡，掰 臻对域有限差分方程在计舞枕中所模j 彗l 的平瑟波翡褶速度疫该与额率无关。毽由 于对城有鞭差分方程只是琢m a x w e l l 旋度方程的一种近似，当在计算机的存储空 间对电磁波的传播进行模拟时，在非色散介质空间中也出现色散现象，且电磁波 的相速度随波长、传播方向以及变量离散化的情况而发生变化。这种 物理的色 散现象称为数值色散。数值色散会导致脉冲波形的破坏，出现人为的各向舆性及 虚假的折射现象。因_ 【 | ：数馕色散是时域有限差分法的一个重要趣题，它是提裹该 算法糕度蛇一个重要艰剑。l ”。 分孛厅数值色散阕题煞基本方法是把单色平面波翡一般形式代入差分方程从 而导密频率与时溺稀空闯步长之阉的关系，亦郎数值德散关系。冀在二维均匀、 无耗、非磁性的空间中的t m 波的色散关系为： ( 去) 2 s 瓣警) = 专娥竽) 牛古s 酽( 竽) ( 2 矗i ) 其中垆l 掣为均匀套震中翳光速，( 2 。3 。1 ) 即为平瑟毫磁波作为差分方程髂解 所泌然存在的关系，并称侔二维空间中t m 波的色散关系。三维情况也有类似的 方程式： e 击) 2 s i 投竽，= 古耐e 竽，+ 专s 遍2 华) + 古s t n 2 _ 1 0 。若计算区域只包含自由空间和理想导体，则上式中 c m i n2 了一 ( 3 2 2 ) 越a x c 为自由空间波速。以上两式是根据已知所关心的频率上限的情况下来确定 f d t d 爨掺尺寸s 瓣；爱之，著绘定5 ，翊f d t d 诗算绣莱霹震敬频率主疆也随 之确定。实际上f d t d 空间网格相当于个带阻滤波器，在脉冲波激励，脉冲 中所含大子厶。的频率分麓在通过f d t d 空间网格时被滤掉，计舞结果会有较大 黝误差。 若计算区域包含有耗介质0 = s ；一j e ? ，以= 从一伽：，波程介质中的传播 量指数衰减，应用平面波理论，设 k = 恕弓舄= + 政 ( 3 2 3 ) 乞魏耋瘫窆阉滚数，剿波褒青糕分溪中熬穰遽为嚣，波长为等，衰减褰数为 ，因诧( 3 - 2 _ 1 ) 式中气i n 应豳下式代替： a m ；= m i r f 婚i ，警 慨z 。t ， 上式也适于凭耗介质。 ( 3 ) 入射脉冲的要求。首先，入射波的上限截止频率丘应包禽我们所关 心频率范鬓，帮五五。隧裹蘩躲渖波为秘，萁瓣蠛形式为 嚣t ) = e x p 掣掣1 强z 固 l j 对盛蛇频港为 剐争一卅t 。l f 2 t 2 慨z 式中f 称为商斯脉冲宽度。频谱幅度晟大值在零频，即直流分量处，如图3 - 2 所 o 图3 - 2 高斯脉冲频谱 设巍频谱稻对幅度为a 以前的频率怒可霜的，幅度a 对应豹频率点为工，即 | 双，= 五) | | 面万可| 3 ( 3 2 ，7 ) 遁第a 1 0 。瓣狂8 臻燕双嚣，设这静瓣辣渖蘩凄茺o ，麦( 3 2 一s ) 式褥 无= 去 慨z s ， 上式也可写为 铲矗忙 z 。， 显然，在计算中若取高斯脉冲宽度f 满足 _ f 。 ( 3 2 1 0 ) 它就会有更高的上限频率。 假设所关心的上限频率m 。= 丘，这是高斯脉冲宽度为f c ，若在f d t d 计 算中取稳定条件缸2 c ) ，c 为自由空间波速，则由( 3 - 2 1 ) 、( 3 - 2 2 ) 和( 3 _ 2 _ 8 ) 式得( 假设a = 1 0 ，n = 1 0 ) f 连。丘 4 h 丢 3 4 上式表明，为保证f d t d 顺利进行，通常一个高斯脉冲宽度t 内，一般应取不 少于n ；= 3 4 个采样点。在实际计算中这个条件可以适当放宽，例如取n 。= 3 0 。 如果取稳定条件址= c ) ，由( 3 2 1 1 ) 式得 占三生 n 。 这就是入射高斯脉冲对f d t d 网格尺寸的限制。 3 3 吸收边界条件的描述 由于计算机容量的限制，f d t d 只能在有限区域进行，为了处理截断边界， 使之与所考虑的无限空间有尽量小的差异，使传输到截面处的波被边界吸收而没 有反射，因此我们采用吸收边界条件。每种边界条件都具有自己的一套算法，建 模时采用不同的边界条件，它将告诉f d t d 仿真时在六个计算边界处所使用的吸 收算法。我们采用以下边界条件： p e c ( p e r f e c te l e c t r i cc o n d u c t o r ) 完全电导体。 p m c ( p e r f e c tm a g n e t i cc o n d u c t o r ) 完全磁导体。 f n j r ( f i r s to r d e rm u ra b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 一阶吸收边界 条件。 s m u r ( s e c o n do r d e rm u ra b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 二阶吸收边 界条件。 f b d c ( f i r s to r d e r d i s p e r s i v eb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 一阶分散边界 条件。 s b d c 砚( s e c o n do r d e rd i s p e r s i v eb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 二阶分散 边界条件。 p m l ( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ) 完全匹配层。 3 4 电磁场激发源的描述 实际的电磁场问题总是包含有激励源，因此，恰当的将激励源引入到f d t d 网格之中对于正确的模拟电磁场问题是至关重要的。在激励源的引用过程中，为 了尽量减少由此而来的计算机内存占用和计算时间、提高整个程序的效率，通常 要求激励源的实现尽可能的紧凑，