（凝聚态物理专业论文）量子强关联网络的研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 复杂网络是研究复杂系统的- - i 7 新兴学科，近年来受到国内外学者的普遍 关注，成为研究的热点。复杂网络随处可见，我们生活的世界就是一个由网络 构成的世界，如互联网、无线电通信网络、电力网络、社会关系网、金融商业 网络等等，对网络的深入研究可以使我们的生活发生变革。物理学进入网络研 究室近2 0 年的事情，最早利用统计物理学方法研究复杂网络是从经典弹性波和 量子弹性波满足的方程出发，考察复杂网络上电子波函数的特征，并且广泛应 用于量子混沌、a n d e r s o n 局域化等研究领域，由此揭开了复杂网络上的量子网 络的新篇章。本论文工作正是基于复杂网络的理论和方法来研究量子强关联网 络。首先我们通过建立安德逊s 叫混合模型，利用投影算符的技巧，并用格林 函数的方法对模型进行了解析运算，从而得到该量子强关联网络的能谱和节点 的平均数，由此研究了网络的动力学性质，并将该能谱同网络的度分布联系起 来，揭示了能谱与度分布之i 丑j 是如何相互联系和影响的，进而发现了量子强关 联网络的拓扑结构和动力学性质之间的关系。其次，我们探索性的引入一种非 平衡统计系综方法来研究分析一种量子强关联网络。该方法是对一个类似于安 德逊s - d 混合模型的赫伯德模型进行分析，利用自动力学方法，建立自动学空 间的格林函数方程，通过相关的解析计算，得出建立在这个模型之上的量子强 关联网络的熵值。因而发现了网络的复数形式的熵值与网络节点上局域磁矩之 间的关系，揭示了该量子强关联网络的有关动力学性质。这两种方法都能帮助 我们很好的认识量子网络，对于构建相关的量子器件具有参考价值。 关键词： 复杂网络，量子强关联网络，安德逊s d 混合模型，格林函数，予动 力学，非平衡统计系综。 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o m p l e xn e t w o r k sa r ea ne m e r g i n gd i s c i p l i n et os t u d yt h ec o m p l e xs y s t e m si n r e c e n ty e a r sa n dh a sr e c e i v e dw i d e s p r e a da t t e n t i o no fd o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r s ， a n db e c o m ear e s e a r c hh o t s p o t c o m p l e xn e t w o r kc a nb es e e ne v e r y w h e r e w el i v ei n aw o r l dt h a ti sf i l l e dw i t ht h en e t w o r k s ，s u c ha st h ei n t e r n e t ，w i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s ，p o w e rn e t w o r k s ，s o c i a ln e t w o r k s ，f i n a n c i a la n dc o m m e r c i a ln e t w o r k s ，e t c s t u d y i n gt h en e t w o r k sc a nc h a n g eo u rl i v e s t h ep a s t2 0y e a r s p h y s i c sh a sb e e n s t u d y i n gc o m p l e xn e t w o r k s ，t h ef i r s tm e t h o di su s i n gs t a t i s t i c a le l a s t i cw a v ea n d q u a n t u me l a s t i cw a v e ，w h i c hs a t i s f ys o m ee q u a t i o n ，r e s e a r c ht h ef e a t u r e so ft h e e l e c t r o n i cw a v ef u n c t i o no fc o m p l e xn e t w o k s ，a n dt h em e t h o di sw i d e l yu s e di n q u a n t u mc h a o s ，a n d e r s o nl o c a l i z a t i o na n do t h e rr e s e a r c ha r e a s ，w h i c hr e v e a lan e w c h a p t e ro ft h eq u a n t u mn e t w o r k n l ew o r ko ft h i st h e s i si sb a s e do nc o m p l e xn e t w o r k t h e o r ya n dm e t h o d st os t u d yat y p eo fs t r o n g l yc o r r e l a t e dq u a n t u mn e t w o r k t h r o u g h t h ee s t a b l i s h m e n to fa n d e r s o ns - dm i x i n gm o d e la n du s i n gg r e e n sf u n c t i o nm e t h o d t op e r f o r ma n a l y t i cc a l c u l a t i o n st ot h em o d e l ，a n dt h u sg e tt h ee n e r g ys p e c t r u mf o r t h es t r o n g l yc o r r e l a t e dq u a n t u mn e t w o r k ；f r o mt h i sw es t u d yt h ed y n a m i c a lp r o p e r t y o ft h en e t w o r k ，a n df i n dt h ed e g r e ed i s t r i b u t i o no ft h en e t w o r ki sr e l a t e dt ot h e s p e c t r u mo ft h ee n e r g y , w h i c hr e v e a l sh o wt h e ya r em u t u a li n t e r a c t e da n di n f l u e n c e d t h i sa l l o w su st og e taf o r m a l i s mo ft h et o p o l o g i c a lp a r a m e t e r sw i t hd y n a m i c a l p r o p e r t i e sf o r t h en e t w o r k a tt h es a m et i m e ，w ea l s om a d eu s eo fn o n e q u i l i b r i u m s t a t i s t i c a je n s e m b l em e t h o dt oe x p l o r et h es t r o n g l yc o r r e l a t e dq u a n t u mn e t w o r k 1 1 1 i s m e t h o di sa l s oe s t a b l i s h i n gah u b b a r dm o d e lw h i c hi ss i m i l a rt ot h ea n d e r s o ns - d m i x i n gm o d e l ，a n dt h eu s eo fs u b d y n a m i cp r o j e c t i o no p e r a t o rt e c h n i q u e s ，a sw e l la s s t i l la d o p tt h eg r e e n sf u n c t i o nm e t h o dt oa n a l y z et h ee n t r o p yo ft h es t r o n g l y c o r r e l a t e dq u a n t u mn e t w o r kb a s e do nt h i sm o d e l ，r e v e a l i n gt h e t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ec o m p l e xe n t r o p yo ft h es y s t e ma n dt h ei o c a lm a g n e t i cm o m e n to nt h e n e t w o r kn o d e sa n de x p l a i n i n gt h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h es t r o n g l yc o r r e l a t e d q u a n t u mn e t w o r k b o t hm e t h o d sc a nh e l pu sw e l lt ou n d e r s t a n d i n gt h eq u a n t u m n e t w o r k s ，w h i c hg i v eu ss o m er e f e r e n c ev a l u et ob u i ds o m eq u a n t u md e v i c e s k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ，q u a n t u ms t r o n g l yc o r r e l a t e dn e t w o r k , a n d o s e ns - dm i x i n g m o d e l ，g r e e nf u n c t i o n ，s u b d y n a m i c s ，n o n - e q u i l i b r i u ms t a t i s t i c a le n s e m b l e 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特另j ；h h 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理一 大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：翻i 豹- i 配同期：壅f 1 21 主：纠 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 复杂网络的研究背景和意义 继上世纪9 0 年代以来，复杂网络的研究工作开始凸现，特别是复杂网络的 小世界效应和无标度特性发现之后，从而发展了小世界网络和无标度网络。关 于复杂网络的研究继而方兴未艾。随着研究的深入，复杂网络已成为一门交叉 的科学，各学科的科学家展开对复杂网络动力学行为和拓扑结构的研究。在近 些年的研究中，复杂网络的新理论模型和新分析方法不断地涌现；另一方面在 现实网络中不断发现新结构与新现象。复杂网络研究中的每一新进展都展现了 研究工作者们探索的脚步，研究者们希望从复杂网络的角度来观察、理解和解 决具体领域的问题。一般而言，多数工作者都集中于分析复杂网络的统计特性， 研究复杂网络的建模以及复杂网络的动力学行为等。随着研究的发展，将复杂 网络的研究理论应用于社会生活中，解决具体的实际问题已初有成效，并将成 为今后复杂网络研究的一个主要方向。 从2 0 世纪9 0 年代开始，复杂网络的研究逐步形成了一个自我完备的学科， 甚至被称为“网络的新科学”i l ，2 j 复杂网络作为一个新的研究领域，它的基本理 论正渗透到数理科学到生命科学、工程科学甚至社会科学等众多不同的领域中 去。事实上，复杂网络的研究已经成为了近二十年来全世界在不同学科领域中 的科学家的研究热点，包括力学、物理、生物、系统控制、通信技术、社会、 经济和军事等等。今天，对复杂网络的定性和定量特征的认识和理解己成为网 络时代科学研究中一个共同而又极其重要的挑战性课题1 3 j 。 对复杂网络研究的最终目的是通过研究网络结构来了解和揭示网络系统的 运作方式，进而预测和控制网络系统的行为。自从统计物理学方法开始用于复 杂网络研究之日起，从复杂网络谱结构出发来探讨网络的动力学行为，就具有 定的影响。早些研究利用物理学上的工具和方法，便是从经典弹性和量子波 函数出发1 4 j j ，考察复杂网络上电子波函数的特性，并利用一定的普适方法对该 问题进行了探讨经典与量子波函数的相似性已经广泛用于量子混沌、a n d e r s o n 局域化等研究领域，成为该学科较为成熟的研究方法1 6 j 。于此同时，在此基础上， 这种分析方法给我们以启示，使我们探索性的建立了量子强关联网络，为寻找 武汉理工大学硕士学位论文 普适的量子网络规律奠定基础；也为我们构建有关量子器件及阐述复杂网络的 应用提供了基础。 复杂网络的研究不仅适用于自然网络，而且适用于人造网络，进一步探索 复杂网络的规律，无论对于自然界，还是人类社会，对于国防和经济都具有极 端重要性和长远的意义。 本课题正是从这个意义上出发，在复杂网络的背景下，分析研究了基于强 关联模型的量子网路，并分析网络的能谱对网络的影响，考察网络的一些特征 参量与能谱的关系；这将有助于加深我们对不同拓扑性质和不同类型量子强关 联网络的共性的理解。由此考察量子强关联网络的拓扑结构与节点的动力学行 为之间的关系，网络复数熵同局域磁矩的关系。这些研究可能为有关量子器件 的发展提供基础。 1 2 本文研究的主要内容 纵观复杂网络的研究，很多科学家和研究工作者都是研究从宏观网络抽象 出来的复杂系统，而对微观网络的研究较少；另一方面，多数研究工作集中于 对复杂网络的数值分析较多，而对网络的解析运算研究的较少。更甚的是，基 于复杂网络的观念来研究量子网络的相关工作几乎没有，其中对量子网络的拓 扑普适关系，动力学特性的研究还处在探索阶段，本课题正是从这个层次上展 开研究。因此本文正是从这个思想出发，从相关科学工作者所做的成果出发， 探索性的分析与研究了在强关联模型下的量子网络，同时定性的讨论了解析解 的意义。 本文的内容主要是： 首先对复杂网络的研究背景及研究意义做简要概述，从而揭示了本文在此 基础上所要研究的内容及所想丌展的工作。为了便于加深大家对复杂网络的了 解，文章的第二章介绍了复杂网络的有关理论及相关模型，主要介绍复杂网络 发展史上具有罩程碑意义的成果。其次介绍了基于复杂网络体系的量子网络， 由此展开可我们主要想研究的一种复杂网络类型。文章的第四章展开了课题的 研究路线，通过对强关联体系的介绍，并将此方法引入到量子网络体系中，构 建了所要研究的量子强关联网络模型。第五章介绍了处理该模型运算的数学方 法一格林函数方法，并给出了具体的解析运算。第六章探索性的介绍了非平衡 2 武汉理工大学硕士学位论文 统计系综方法对量子强关联模型的研究，阐述了子动力学方法在量子网络中的 探索性研究，同样利用了格林函数的方法，得出理论上的分析结果。+ 因此，本文研究的内容主要集中于以下几个方面： ( 1 ) 利用推广的安德逊( a n d e r s o n ) s d 混合模型构建量子强关联网络模型； ( 2 ) 量子强关联网络模型能谱解析解的获得和电子的平均占有数； ( 3 ) 网络度分布和能量的关系； ( 4 ) 非平衡统计系综方法分析量子强关联网络。 ( 5 ) 子动学体系在量子网络中的研究思路。 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章复杂网络结构理论 在绪论中我们说了这么多的复杂网络，那么究竟何为复杂网络呢? 这是我 们首先要明白的。为此，我们先要追溯到网络的起源。本章系统的概述了复杂 网络及其理论以及复杂网络的模型。 2 1 复杂网络 早在1 9 2 2 年，社会学家gs i m m e l 就开始使用网络( n e t w o r k s ) 这个词语。 现今，网络已成为大家耳熟能详的术语，对于网络的研究，也成为当今社会科 学和自然科学等各领域研究的热点之一。广义地说，网络是自然界各种类型事 物之间相互作用的关系整体。我们可以用网络来描述人与人之间的社会关系， 词与词之间的联系，物种之间的捕食关系，计算机信息之间的传送关系，网页 之间的超链接关系，科研文章之问的引用关系以及科学家之间的合作关系等( i j 。 可以说在真实世界中，网络是大量存在于我们的生活中的。 从数学的意义上而言，我们可以讲网络可抽象为元素与元素之间构成的一 种关系模式。在数学和自然科学领域中，网络通常被抽象为节点( n o d e s ) 和连接 节点之间的边( e d g e s ) 。一般节点用末代表所要描述系统中的个体或者元素，而连 接线( 边) 则用来表示系统中个体或元素之间的作用关系。通过边相连的两个 节点在网络中可以被看作是彼此相邻的。例如，计算机网络可以看成是计算机 通过通信介质( 如光缆、双绞线、同轴电缆等) 相互连接形成的网络。与此相 似地，还有人际关系网络以及科学家的合作网等等。 追溯网络的发展历程，网络最先得益于图论和拓扑学的发展。历史上多为 数学家都各自独立的研究和探索过图论方法，他们对网络的研究功不可没。最 为代表的人物为瑞士著名数学家欧拉( e u l e r ) 。最早在1 7 3 6 年，就在欧拉的著 作【7 l 中出现了有关图论的记载。他所述的关于图论的记载具有很强的实际背景， 是关于格尼斯堡七桥问题，欧拉对此的研究丌创了图论理论，并为复杂网络的 研究做出了划时代的贡献，也正因为如此，欧拉被称为图论之父。 确实，复杂网络研究的兴起也是最近2 0 多年的事情；然而，我们不禁会 问，网络起源那么早，为何至今才丌始研究复杂网络呢? 这是因为随着近几年 4 武汉理工大学硕士学位论文 计算机技术的发展，计算机对数据的处理能力和分析能力都有了很大程度的提 高；由此，我们拥有了现实世界各种网络的数据库，并有可能对大规模的网络 进行实证研究；所以，科学家们有条件对复杂的真实网络进行计算机处理和运 算并能得到精确的统计结果，从而发现大量的真实网络既不是规则网络，也不 是随机网络，而是介于这两者之间的一种网络，并具有与这两种网络不同的统 计特征。因此，把这样的网络称作为复杂网络( c o m p l e xn e t w o r k s ) 。近几年已有 多个学科的科学家运用复杂网络解释了很多以前用规则网络和随机网络无法解 释的现象，甚至颠覆了很多以前用规则网络和随机网络解释形成的结论。到目 前为止，遗憾的是，科学界还没有对复杂网络做出精确严格的定义和解释，从 这几年的研究来看，复杂网络之所以称其为复杂网络，大致上包含以下两个意 思：首先，它是大量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它比规则网络和随机网 络都要复杂，我们可以很简单的生成我们想要的随机网络和规则网络，但我们 却很难用简单的方法生成完全符合正式统计性质的复杂网络 科学家们经过不断的研究发现，大多数真实的复杂网络具有如下特点( 8 】： ( 1 ) 网络行为具有统计性：网络节点数可以成百上千万，甚至更多；大规模 性的网络行为具有统计特性。 ( 2 ) 节点的动力学行为具有复杂性。 ( 3 ) 连接结构具有复杂性：网络连接的方式既非完全规则的也非完全随机 的，所以网络的结构也是成复杂变化的。 ( 4 ) 网络的时空演化具有复杂性：复杂网络具有空i 日j 和时间的演化复杂性， 展示出丰富的复杂行为。 ( 5 ) 复杂网络研究存在不同的层次，既可以从宏观到微观，甚至到宇观；又 可以从粒子，分子，生态以至于到社会的不同层次，都可对其进行研究。对这 些不同层次的复杂网络的研究将有助于我们更深刻地认识和理解复杂网络的客 观规律。 为了全面刻画复杂网络的性质，科学家已经提出了复杂网络的许多概念。 特征量和度量方法，用于表示复杂网络的拓扑结构特性和动力学性质。数学家 和物理学家在考虑复杂网络的时候，般往往只关心节点之间边的连接数，而 不关心节点的形状和位置，边的长短和曲直等问题；所以，我们把网络不依赖 于节点的具体位置和边的具体形状就能表现出来的性质称作为网络的拓扑性 质，将其对应的结构称作为网络的拓扑结构。我们给出复杂网络一一些重要特 武汉理工大学硕士学位论文 征参量并做简要介绍。 ( 1 ) 度和度分布是反映复杂网络拓扑特性的主要的统计特征量。所以，刻画 网络中节点特性的最简单、最主要的参量就是度( d e g r e e ) 。节点的度可以理解为 与该节点连接的边数，我们用记号k 表示，也称为连通度，是网络局部特性的基 本参数。度在不同的真实网络中代表的含义不同。如在人际关系网络中，度可 以表示为某个个体( 节点) 同周围人联系的紧密度，或者也可以表示为某个个 体的作用力和影响程度。又如在城市航空交通网络中，度可以表示为所在城市 航班的多少。由此我们不难看出，一个节点的度越大，则该节点在所描述的整 个网络系统中的作用和影响就越大。而度分布则表示节点度的概率分布函数 尸内，它是节点连接k 条边的概率。在学术界所研究的两种重要复杂网络随 机网络( r a n d o mn e t w o r k ) 和小世界网络( s m a l l w o r l dn e t w o r k ) 的度分布均呈泊松 ( p o s s i o n ) 分布l 弘1 2 j 。 ( 2 ) 平均路径长度( a v e r a g e p a t hl e n g t h ，a p l ) 【1 3 】是复杂网路中另一个重 要的特征量，它也反映了网络的拓扑特性。它指网络中所有节点对之间的平均 最短距离。这罩节点间的距离是指从一个节点到另一个节点所要经历的边的最 小数目，而所有节点对之间的最大距离称为网络的直径。平均路径长度和直径 是衡量网络的传输性能和效率的参量。该计算公式可以给出如下关系： 彳儿= 上= 二i d 。， ( 2 1 ) n ( n 1 ) ，为，9 、 其中，d ，为节点f 和，之问的最短距离；是网络的规模大小。 ( 3 ) 群聚系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 是用来衡量一个复杂网络的集团化程 度，它表征网络性质的另一个重要特征参量，专f - j g 来衡量网络节点聚类的情 况比。该概念有其深刻的社会根源。比如，在人际关系网络中，你的朋友的朋 友很可能也是你的朋友；你的其他两个朋友很可能他们之间也是朋友。群聚系 数就是度量复杂网络的这种性质的。对社会网络而言。，集团化形态是一个重要 特征。节点i 的群聚系数c ，描述网络中的与该节点直接相连的节点之间的连接关 系，可以定义为【1 4 l 与该节点直接相邻的节点间实际存在的边数目占最大可能存 在的边数的比例，c 。的表达式为： c ，= 志 6 ( 2 2 ) 武汉理工大学硕士学位论文 这里，各数学符号的物理意义是：t 表示节点i 的度，e l 表示节点i 的邻接点之 间存在的边数。 大量的实证研究表明：现实世界中的许多网络具有三个共同特性，节点度 分从幂律指数分布，切度指数介于【2 ，3 】之间；群聚系数高，节点闯平均距离小。 并且科学家给出了很多实际网络的统计结果【1 5 1 6 】。 2 2 复杂网络基本模型及其衍生模型 历史上最广泛的是对无权的规则网络和随机网络的研究，但是近十多年来， 对复杂网络的研究取得了突破性进展，提出了小世界网络和无标度网络等新型 复杂网络。本节主要简介复杂网络发展史的一些具有里程碑意义的典型类型。 ( 1 ) 在1 9 5 9 年，匈牙利数学家p a u le r d o s 和a l f r e dr e n y 在其第一篇关于随 机图的经典论文1 1 7 1 1 1 8 1 中，首次将随机性引入网络的研究，提出了著名的随机网 络模型，简称为e r 模型。他们给出了一个随机图的定义：具有个节点和刀 条边的系统，这些边是从总共掣条可能的边中随机选取出来的。这样， = z 由此构成了一个概率空间，其中每一种图产生的概率都是相等的。我们还可以 用另一种等价的随机图定义式来描述：系统中给定个节点，每一对节点之间 按照一定的概率p 相互连接，这样，总边数就是一个随机变量。 p a u le r d o s 和a l f r e dr e n y 在研究中发现，随机网络的很多特性可以利用概 率变量来描述。同时他们所研究的e r 随机图能够反映现实世界网络的部分主要 性质，如能反映小世界效应的一部分特性。但，另一方面，随机图与现实世界 网络在有些性质上也是不能匹配的；首先它的群聚系数比较低，其次，e r 随机 图完全具有随机混合模式，在相邻节点间的度数之间没有任何相互关系，也没 有相通结构，不能采用局域算法，而在现实网络模拟中并不采用这种模型。但 是，作为- i - j 理论的研究，e r 随机图仍然是很重要并具有研究价值的一类网络， 很多科学家对其进行了深入的研究和分析，通过严格的数学证明，取得了丰硕 的成果。 ( 2 ) 到1 9 9 8 年，科学界发现了小世界效应( 现象) 1 9 - 2 1 】，科学家又迎来了 复杂网络的突破性进展。美国康奈尔大学理论和应用力学系博士生w a t t s 及其 武汉理工大学硕士学位论文 导师s t r o g a t z 在g n a t u r e ) ) 杂志上发表了题为“小世界 网络的群体动力学行 为的论文旧j ， 由此提出了小世界网络( s m a l l w o r l dn e t w o r k ) 模型。该模型的最初思想来源 于二十世纪六十年代哈佛大学心理学家m i l g r a m 所做的著名的小世界实验1 6 j 。试 验要求参与者把一封信传给他们熟悉的人之一，使这封信最终能传到指定的人 的手中。实验的目的是想借此来探明熟人网络中路径长度的分布。实验结果表 明平均通过六个人，就能把一封信传到指定的人的手中。这一试验也正是著名 的六度分离概念的起源。那么，也就是说，你想认识一个人，尽可能找到最可 能跟他有密切联系的人，然后在通过这样的方法依次中转，平均只需要六步， 最后一步便能联系上你所要找的人。设想一下：某次出游，你碰上一个陌生人， 闲聊后你可能发现，你认识的某个朋友居然也是他的朋友，你们一定不禁感叹： 这个世界真小啊! w s 小世界模型的具体构造如下田j ： ( i ) 网络开始于一个规则图形。最初网络拥有个固定的节点，每个节点 有k 个临近节点，构成一个规则的一维圆环。 ( i i ) 以概率p 断开一个节点，并对圆环中的每一条边重新连接，连接的新 端点是从网络中的其他节点里随机选择。这个过程中要求不能自身连接和重复 连接。当前对此的研究热点是p 在0 到1 之间的w s 网络的性质。 魂删砑终 疹数再一络 麓帆瑚铸 胁愈池 图一：三种类型的网络结构图及其随着随机概率增加比较图【引自文献：2 2 1 2 0 0 4 年，w a t t s 对小世界网络的特性作了系统的总结【2 3 】：小世界网络具有 武汉理工大学硕士学位论文 小的平均路径距离和高的群聚系数两个特点。首先，现实世界中的网络既非完 全规则的也并不是完全随机的，而是介于这两者之间，并具有混合网络的特性。 其次，w s 小世界网络的性质能够用简单的统计学知识定量的描述。再次，w a t t s 通过对电影演员合作网，美国西部电力传输网和生物体的新陈代谢的神经网络 的研究，发现真实世界中的许多实际网络都具有小世界网络的特性。最后，w a t t s 还指出，一个复杂网络的结构( 拓扑结构) 对于一个系统的集体的动力学行为 必然产生影响，两者之间相互作用和联系。 ( 3 ) 在小世界网络提出之后，对此的研究逐渐增多，越来越多的科学家渐渐 发现大量现实网络抽象出来的节点的度服从幂率( p o w e rl a w ) 分布【2 4 1 。随着研 究的不断深入，提出了新的理论模型，在这方面做出突出贡献的是美国学者 b a r a b a s i 和a l b e r t 。 美国圣母大学物理系b a r a b a s i 教授及其博士生a l b e r t 在( ( s c i e n c e ) ) 杂志上发 表了题为随机网络中标度的涌现的文章【2 4 】提出了无标度网络( s c a l e f r e e n e t w o r k ) 模型，简称b a 模型。该模型阐述了复杂网络的无标度性质。最初， a l b e r t 对互联网进行了研究发现了无标度网络。b a 模型描述的是一个增长的网 络，其算法如下： ( 1 ) 假定在初始的某一时刻，网络中已有少量节点m 。个，在以后的每一个 相同时间步长里，网络新增一个节点，并连接到网络中已经存在的m 个不同节 点上。 ( 2 ) 当在网络中选择节点与新增节点连接时，就假定被选择的节点与新节 点连接的概率和被选节点的度成j 下比，我们将这种连接成为偏好连接或者择优 连接。我们给出这种连接的概率表达式： 户= ( 2 3 ) 1 - - - # r z k j ， 这里，以表示新节点，f 表示老节点，k 为节点度。 w a t t s 在研究时，对万维网的动态演化过程进行追踪，发现了许多复杂系统 具有高度的自组织特性，即绝大多数复杂网络的节点度服从幂律分布关系。这 种关系表明，所研究的网络没有特征长度，因此把度分布呈幂律关系的网络成 为无标度网络 2 5 。2 8 1 。 随后，w a t t s 对该网络进行了进一步的研究，表明：b a 网络最终可以演化 9 武汉理工大学硕士学位论文 为标度不变状态，即度分布最终服从度指数为3 的幂律分布。 关于b a 网络的度分布的研究由很多理论方法，物理学家主要通过平均场方 法和比律方程方法1 2 9 。3 0 】对此展开研究。大量实证表明，b a 无标度网络建有小世 界效应和无标度特性，更加符合现实世界中的网络特性。这在学术界掀起了网 络研究的热浪，推动了复杂网络模型演化的发展，成为复杂网络领域中研究的 一个重要课题1 3 1 - 4 0 。 2 3 基于复杂网络体系中的量子网络 前面讨论的都是从宏观层次来研究复杂网络的。本小节，我们将把宏观层 次的网络推进到微观层次，从而对此加以研究，并将宏观网络与微观网络的研 究有机的结合起来。我们所要研究的具有代表性的微观网络就是量子网络。从 量子信息的角度而言，量子网络是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑 运算、存储及处理量子信息的物理装置。当某个装置处理和计算的是量子信息， 运行的是量子算法时，它就是量子网络。量子网络的概念源于对可逆计算机的 研究。基于物理学的知识和方法研究量子网络，量子网络又是如何定义的呢? 首先我们先了解下玻色一爱因斯坦凝聚现象。 1 9 2 4 年，玻色和爱因斯坦首次发现理想玻色气体在一定的临界温度r 会发 生凝聚，即在绝对零度下粒子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻色粒子， 一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下玻色粒子将全部处 于能量等于零的最低能量状态。即在一定临界温度下，无相互作用的玻色子会 在最低能量量子态上突然凝聚，我们把这样的集合称为玻色凝聚体。该种凝聚 体不但能量、动量为零，由于凝聚他的微观状态完全确定，熵也是零。这一现 象被称为玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，简称b e c ) 。玻色 一爱因斯坦凝聚的体系可以是气体，液体，固体，也可以是原子核和基本粒子。 那么玻色一爱因斯坦凝聚和复杂网络有什么关系呢? 量子网络系统的基本特征是其节点可以是粒子能级或者微观粒子组成，他 们从物理上反映了微观粒子的动力学和拓扑性质的演化。在2 0 0 1 年，美国科学 家b i a n c o n i 和b a r a b a s i 首先巧妙的把微观状态下的b o s e e i n s t e i n 凝聚现象与复 杂网络研究联系起来1 4 ，并对研究结果进行了类比，发现可以通过量子网络模 l o 武汉理工大学硕士学位论文 型浮现玻色爱因斯坦凝聚现象的主要结果，从而得到新的推论，建起了从宏观 复杂网络到微观复杂网络的桥梁。给人们以启示，促使人们开始探索量子网络 模型及其特性。量子b o s e 网络，尽管它可能是非平衡的或者不可逆的，但网络 的演化可映射为b o s e 气体的变化，其节点对应于能级，其连线对应于粒子；这 是一个节点吸引了大量的连接线，其演化的结果可导致类似于玻色一爱因斯坦 凝聚【4 2 】。我们简要的介绍下玻色一爱因斯坦凝聚和复杂网络的联系。 由文献 4 2 可知，在能级占上得到新粒子的速率方程为： 垫堕坐! ：m 塑! 二丝! 塑型：尘( 2 - 4 ) 8 t z l 这里z ，是配分函数。 这样在玻色一爱因斯坦凝聚态网络的合适节点吸引所有对应于密集低能级 的连线，并使高能级变得很稀疏。 目前从网络科学的新角度出发，来探索量子微观网络的特性及拓扑结构的 的工作也才刚刚开始，这方面的理论研究工作还很少。正是在玻色一爱因斯坦 凝聚网络这样的思想下，给我以启示，能否同样基于量子力学的基础和微观粒 子的能级，建立一个基于费米子的强关联模型呢? 由此展丌了我课题的分析和 研究。那么研究该类型的量子网络的研究工具又是什么呢? 网络科学由于其广泛交叉性和复杂性，涉及多学科的知识和理论基础，特 别是，数学、物理学，计算机和信息科学等。统计物理学则涉及平衡态统计理 论和非平衡态统计理论及其相关学科等。 统计物理学是用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物理的物理性 质及宏观规律做出微观解释的理论物理学分支，它架起了从宏观到微观研究的 桥梁，不仅为各种宏观复杂系统( 气体、液体、固体等) 提供理论依据，而且 j 下为新诞生的网络科学提供了理论基础和有力工具，发挥着越来越重要的作用。 它分为平衡念统计物理和非平衡态统计物理。对于在某些特定的情况下，采用 量子统计的方法。与经典统计物理研究所不同的是，量子统计认为微观粒子的 运动遵循量子力学规律而不是经典力学规律，微观运动状态具有不连续性，需 要量子态而不是相宇来描述。而非平衡统计物理中的分布函数及其演化方程的 建立，不仅成为运输过程微观统计理论的基础，而又由它定义的h 函数及其遵 循的h 定理对于理解宏观过程的不可逆性及趋于平衡的过程起着重要作用。特 武汉理工大学硕士学位论文 别是熵的统计意义的阐明。熵增加原理的微观统计解释表明：统计理论已从平 衡态向非平衡态发展。但是，我们仍要看见的是，非平衡态统计物理仍然在迅 速发展中，还没有完全成熟，有待我们继续研究。 2 4 本章小结 本章我们从网络的起源入手，重点介绍了复杂网络发展史上的几个重要阶 段，引入现在科学界普遍的关于复杂网络的概念。其次，介绍了复杂网络的基 本特征量和符号，并讨论描述网络拓扑和几何特征量；最后，简要回顾复杂网 络基本模型及其演化模型。同时在一般复杂网络的基础上阐述了科学发展前沿 的量子网络，为我们构建量子强关联模型提供了一定的方法。 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章复杂网络的演化性质和动力学性质 复杂网络的研究，无论是统计特性几何参数的研究，还是机制模型的建立， 都较多地关心静态网络的研究，但现实中的复杂系统总是不断地随着时间、随 周围的环境改变。虽然机制模型设计的就是演化行为，但仍然忽略了网络演化 过程中的统计特征。网络的演化使我们意识到作为一个复杂系统，既有静态的 特性，又有动态的特性，尽管网络演化的时问序列包含大量的数据而且难以获 得相关记录，但实际上真实网络的演化性质仍可做实证分析。遗憾的是，目前 对动态演化性质的研究不多，国内学者更是缺乏这方面的研究。基于此，我们 对网络的演化和动力学性质做简要介绍。 网络动力学性质的基本研究对象是动力学模型在不同网络上的性质与相应 网络的静态统计性质的联系。对复杂网络的动力学机制进行全面深入的理解， 将有助于人们探讨复杂系统随周围环境演变的特性。而通过大量的实证数据统 计分析，人们可以建立相应的网络模型，最终通过复杂网络的拓扑结构来认识 网络上的动力学行为。不同的网络拓扑结构对网络上的动力学行为产生不同的 影响，如疾病或者病毒在规则网络、随机网络和无标度网络上的传播机制的不 同；不同网络的度分布对网络动力学性质的影响等等。因此，从某种意义上说， 动力学行为的研究是一种网络的结构和功能关系的研究。 3 1 时间演化性质 b a r a b a s i 等人对合作者网络的动态演化性质做了研究，选择数学和神经科学 领域的研究者网络为研究对象。文章以年为单位，先后对顶点( 即研究者) 数 的时| j 演化，文章总数的时间演化、度分靠的时问演化等作了详细的讨论。并 且统计了不同时问点的网络的平均最短距离和平均集聚程度，作出了相应的演 化曲线。同时对网络最大集团的相对大小也做了随时f h j 演化行为的分析。 3 2 网络的动力学行为 对于复杂网络中的病毒或是流言的传播问题，我们关注的是网络上的传播 武汉理工大学硕士学位论文 的动力学行为问题，对于传染病的流行问题，计算机病毒在计算机网络上的蔓 延问题以及谣言在社会网络中的散步问题等等，都可以服从某种规律的网络的 动力学行为。对社会上的复杂系统，传统上一直使用伊辛( i s i n g ) 模型和其他 计算或统计物理工具b 纠”。到目前而言，研究最为彻底、最为广泛的是经典传 染病毒模型s i s 模型和s i r 模型m 1 。对于像感冒这类治愈后患者也没有办法获 得免疫能力的疾病，往往采用s i s 模型。在该模型中，人群被划分为两类：一 类是易受感染的人群( s ) ；他们不会感染他人，但是很有可能感染。第二类是 易染人群( i ) t 他们已经患病，具有传染性。我们可以用平均场的方法对此急 性处理，并且发现研究病毒传播的关键是病毒爆发的邻接点；只有当感染率超 过临界点时，病毒才会大范围的传播。s i s 模型已经在小世界网络和无标度网络 有着比较深入的研究。特别地是，在无标度网络中，当感染率无穷小时，病毒 也可能感染至整个网络。同样的，研究工作者还提出了s i r 模型，该模型适用 于染病者在治愈后可能获得终生免疫力的情况，或者染病者机会不避免的走向 死亡这样两种情况。在s i r 模型中，人群被划分为三类：第一类为易感人群( s ) ， 他们不会感染他人，但有可能被传染；第二类是染病人群( i ) ，他们已经患病， 具有感染性；第三类是移除人群( r ) ，他们可能是被治愈并获得了免疫能力， 或者已经死亡的人群，换句话说，也就是他们不具有传染性，也不会再次被感 染，也就不会再对相应动力学行为产生任何影响，该模型也可以用平均场的理 论进行求解，在此不做过多介绍。除了上述两种模式，很多作者还研究了网络 上的传统统计物理模型，并与规则网络和分形网络上的结果进行了对比。例如 网络上的i s i n g 模型，x y 模型，及其临界现象【4 3 粥l 。 3 3 本章小结 本章讨论了复杂网络的演化性质和动力学性质的基本概念和研究动态，指 出这两个方面的实证研究对进一步理解网络结构与功能之间的关系有重要意 义，并激励我们深入开展这方面的工作。网络动力学模型在不同网络上的性质 是动力学性质的基本研究对象，因为这部分工作不是本文的重点，所以我们仅 做简要回顾。 武汉理工大学硕士学位论文 第4 章量子强关联模型 正是在文章的第二章所描述的量子网络的前提下和基于对复杂网络的拓扑 结构和动力学性质之间的联系的研究，提出了我们所要研究的课题。 4 1 强关联电子体系 固体物理已经建立起来的范式是单电子近似的能带理论加上描述弱相互作 用电子系统( 费米子系统) 低能激发行为的费米液体理论，它们在区分和解释 绝缘体、半导体、金属和他们的物理性质上取得了巨大的成功。但是把包含大 量带中子和原子实构成的固体系统看成单电子在周期势场中的运动，这中间做 了巨大的物理简化。几乎在能带理论建立起来的同时人们就注意到有些材料的 不能用单电子近似的理论给出解释。上世纪五十年代，科学家发现众多的固体 系统，其行为均不能用单电子理论给予解释；人们认识到这是由于这些系统中 电子间的库仑排斥较强，一个电子的运动状态与另外电子的运动状态存在强烈 的关联，从而使得单电子近似不能成立。此时人们就需要考虑这些电子间强烈 的关联作用。 在经典的固体电子论中，运用朗道一费米液体理论大大简化了固体这个本 质上的多体问题：每个原子的价电子能自由运动，通过重整化过程，它们之间 库仑排斥作用可以忽略，系统的输运性质描述为近独立准粒子( 质量修正后的电 子或空穴) 的弱相互作用。近独立准粒子近似基础上的电子能带论对固体系统给 出了近乎完美的解释。然而，当包括氧化物高温超导、巨磁电阻等在内的一批 新材料发现后，我们发现其具有的非凡物理性能再不能用这些经典的思想来解 释了。在这些材料中，近邻电子之间通常为最近邻，相互作用非常强烈，以致 于再也不能考虑为分离的电子。电子一电子之间相互作用占据主导地位，完全 不同于经典的自由电子图景，因而把这类系统称作“强关联电子系统”。 在强关联电子系统中，电子间的库仑排斥( 特别是同一格点的库仑排斥) 使得电子的局域性增强，而源于电子云( 或电子轨道) 交叠引起的电子迁移或 巡游性则变弱。由于电子巡游性与局域性的竞争，强关联电子体系会呈现出许 多不同的电子状态和丰富多彩的物理性质，并且往往是弱相互作用的微弱变化 武汉理工大学硕士学位论文 或电子填充的少许改变会使得其基态及低