（应用数学专业论文）弱阻尼ddv方程的近似惯性流形及数值分析.pdf

摘要 本文针对耗散系统中弱阻尼k d v 方程的长期动力学行为进行 了研究，运用f o u r i e r 方法证明了弱阻尼k d v 方程在周期边界条件 下近似惯性流形的存在性及其存在的具体形式，导出了有限维约化 的常微分方程组；依此为基础，讨论了低维近似惯性流形的奇点数 分布变化和奇点附近的长期动力学行为；进而对高维近似惯性流形 的奇点o ( o ，0 ，0 ，0 ) 附近的长期动力学行为进行扰动试验分析，并探 讨其他奇点情形；提供了一种探讨耗散无穷维动力系统的长期动力 学行为的途径。 关键词：弱阻尼k d v 方程，近似惯性流形，奇点，数值分析 a b s t r a c t t h i sa r t i c l e m a i n l y s t u d i e st h e l o n g t i m ed y n a m i c sb e h a v i o ro f w e a k l yd a m p e d f o r c e dk d v e q u a t i o n i nd i s s i p a t i v es y s t e m t h r o u 曲t h e f o u r i e rm e t h o d ，i tp r o v e st h a tt h e r ee x i s tw e a k l yd a m p e df o r c e dk d v e q u a t i o n u n d e rt h ep e r i o db o u n d a r yc o n d i t i o n a n di tg i v e sm a t e r i a lf o r m i te d u c e st h e0 d eo ff i n i t ed i m e n s i o n a lr e d u c e df o r m ；a c c o r d i n gt oi t i td i s c u s s e s s i n g u l a rp o i n td i s t r i b u t i n gv a r i e t y o fl o w e rd i m e n s i o n a l a p p r o x i m a t e i n e r t i a lm a n i f o l da n dt h e l o n g t i m ed y n a m i c sb e h a v i o r a r o u n dt h es i n g u l a rp o i n t ；m o r e o v e ri tc a r r i e st h r o u g hd i s t u r b a n c et e s t a n a l y s i s f o rt h e l o n g t i m ed y n a m i c s b e h a v i o ri n o ( 0 ，0 ，0 ，0 ) o f t h e a p p r o x i m a t e i n e r t i a l m a n i f o l d ，a n d d e b a t e so t h e r s i n g u l a rp o i n t i t p r o v i d e sas o r to fs t u d ya p p r o a c ho f t h el o n g t i m ed y n a m i c sb e h a v i o ri n i n f i n i t ed i m e n s i o n a l d y n a m i c ss y s t e m u n d e rt h e d i s s i p a t i v e k e y w o r d ：w e a k l yd a m p e df o r c e dk d ve q u a t i o n ，a p p r o x i m a t ei n e r t i a l m a n i f o l d ，s i n g u l a rp o i n t ，n u m e r i c a la n a l y s i s i i 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 1 绪论 1 1 问题的提出背景 早在1 8 3 4 年，英国著名的科学家s c o t t r u s s e l l 发现并提出了孤立波现象， 之后六十年的1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev e r i e s 在研 究浅水波的运动中，在假定小振幅和长波近似的前提下，建立了单向运动的 浅水波运动方程，从而在理论上证实了孤立波的存在。 k o r t e w e g d ev r i e s ( 简记为k d v ) 方程 “i + “+ “m = 0 最初起源于水槽中小振幅长水波传播的数学模型，随着近代物理学和数学的 发展，孤立波问题也在不断涌现，在流体物理、固体物理、量子物理、激光 等诸多领域都出现了一大批具有孤立子解的非线性发展方程。但一直未能引 起广大科学研究人员( 特别是数学工作者) 的广泛关注，直到1 9 6 5 年，z a b u s k y , 和k r u s k a l 运用数值方法揭示了k d v 方程解的重要意义，从而开辟了孤立子研 究的新时代。三十多年耒，这方面已成果累累，其数值解法已成为计算数学 中一个重要而又十分活跃的领域。在孤立波理论发展中数值模拟起到了重要 的、直接的推动作用。 近年未数学科学全方卫的迅猛发展，使每个人对知识的需要都有自己的 选择。同时科学的分类也正在经历着从分化到综合，从封闭到开放，从平衡 到非平衡，从现象到非现象，从低层次到高层次的演化。学科渗透领域交叉 使得新兴领域层出不穷。而自然的现象却具有定的时空复杂性。为了描述 空间关联随时间的发展，最重要的描述手段是将数学模型抽象为偏微分方程， 从而形成了无穷维动力系统这一重要的数学分支理论，惯性流形和近似惯性 流形正是其研究的主要内容以及实施进一步研究的途径【1 7 2 。j 。 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 1 2 研究现状 惯性流形是一个描述非线性发展方程解的长期动力学形为的有效工具。 这些流形含有整体吸引子且以指数速度吸引系统的所有解。当限制到惯性流 形时，动力系统就约化为有限维常微分方程。但这种流形的存在性依赖于谱 间隙条件。对于许多数学物理方程至今无法确定惯性流形的存在性。为此在 艾 5 2 1 e p 引入近似惯性流形的概念。近似惯性流形是一个有限维光滑流形使得 系统的所有轨道在特定时间后进入该流形的领域中。特别是吸引子含在近似 惯性流形之中，即使对具有近似惯性流形的系统，由于近似惯性流形提供了 一个精确定义且简洁的有限维光滑流形作为吸引子的逼近，因而它具有很好 实用意义。并且已经证明了许多非线性发展方程其近似惯性流形的存在。对 f 非自共轭算子的非线性发展方程，由于其惯性流形的存在性依赖于谱间隙 条件，而谱间隙条件难以确认。因此本文将考虑 d u + a “= r ( 、f 0 讲 “( 0 ) = u o h 在条件a ，a ：，a ，下，加上非线性项r ( u ) 的二阶可微要求给出其近似惯性流 形形式，进而研究其相关的数值计算。 a ，：d ( a ) ( a 的定义域) 是h 中稠密子空间，且a ：d ( a ) 一日是具有预 紧集p ) 的闭线性且 p ( 4 ) ( 。，瓯) = 以c g o 。马a r g a i ( 丌 u 协c ：r e x 6 。) 其中月( 旯；爿) = ( 一爿) 1 为a 的预紧算子。 a 2 ：a ：d ( a ) 寸有紧预解式r ( 旯，a ) 三( h ) ，兄p ( 彳) 。存在常数 y o o ，l 0 使 ( a u ，“) y 1 1 4 五“1 2 y o l “1 2 ，v u d ( a ) a 3 ：设0 0 ( 2 1 1 1 ) 其中f 表示外部刺激，一私，。+ 州是阻尼项。方程中叩，y 为小扰动因子，若 玎= 0 ，y 0 是弱阻尼k d v 方程。 2 1 2 共轭算子，吸引子，吸引集，h a u s d o r f f 维数 定义2 1 设h 为希尔伯特空间，t 是h 到h 的有界线性算子，对任意给定 的y h ，或( t x ，y ) 给出h 上关于x 的一个有界线性泛函。因此，由黎斯定理1 ， 存在唯一的y + ，使 ( t x ，y ) = ( x ，y + ) 记这个对应关系为r + ，即t y = y ，则丁是由h 到h 的算子，这个算子称为t 的 黎斯定理希尔伯特空间h 上每一个有界线性泛函f ，必存在唯一的“h ，使对任一x h ，都 有f ( x ) = f ( x ，u ) 而且i i f i i = i l u 反之，对任一”h ，等式确定h 上一个有界线性泛函。 4 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 共轭算子。即t 与丁之间成立关系t = 丁7 定义2 2 若丁= t ，则称t 是自共轭算子。 t 自共轭的充要条件是：对任意的x ，y h ，有 ( t x ，y ) = ( x ，t y ) 定义2 3 设e 为b a n a c h 空间，t ( t ) 为算子半穷，即有 t ( t ) ：e 争e ，r ( f + f ) = 丁( ，) r ( r ) 对任意f 0 ，s ( o ) = ，( 恒等算子) 。若紧集a c e 满足： ( 1 ) 不变性：即在半穷t ( t ) 的作用下a 为不变集： t ( t ) h = h ，v t 0 ( 2 ) 吸引性：a 吸引e 中一切有界集，即对任何有界集b c e 成立 d i s t ( t ( t ) b ，a ) = s u p i i l f | | r ( t ) x y 忆- - - 0 ，r - - + o o e 目，。“ 特别地，当t c o 时，从出发的一切轨线t ( t ) 收敛于a ，即有 d i s t ( t ( t ) u o ，a ) 0 则称紧集a 为半穷t ( t ) 的整体吸引子。 定义2 4 对于有界集b 。c e ，若存在岛( b o ) 0 ，使得b c e 对任何有界 集成立 t ( t ) b 亡b o ( v t f o ) b 则称鼠为e 中的有界吸引集 定义2 5 集合x 的h a u s d o r f f 测度为 ”( ，d ) 2 婪珊”( x ，d ，占) 2 s u p 2 h ( x ，d ，s ) 式中 , u n ( x ，d ，) = i n f 其中i n f 是对一切覆盖x 的半径为ts s 的球取得的。存在一个数 d = d h ( x ) 【0 , + q o ，使得 2 月( x ，d ) = 0 ，d d h ( x ) h ( x ，d ) = o o ，d 0 ，使得对任何h ，成立 d i s t h ( s o ) “o ，m ) k le x p ( 一k 2 r ) ，f t o 从物理的观点耒看，惯性流形可看作湍流流形。惯性流形的存在性等价 于湍流中大结够与小结够之间的相互作用律。就惯性流形而言，大涡与小涡 通过惯性流形的方程联系起耒，并且轨道都以指数速度迅速地趋于该流形。 证明惯性流形存在通常并不容易。通常惯性流形存在需要谱间隙条件，这就 限制了它的应用。因此大多数的数学物理方程目前尚不能证明惯性流形的存 在性。作为替代，人们考虑近似惯性流形。 定义2 7 非线性发展方程对应的动力系统： 掣+ a “：r ( “) ，r o d t “( o ) = “。h ( 2 1 3 2 ) h 为h i l b e r t 空间，a 为h 中线性闭算子，r ( u ) 为非线性项。称有限维光滑流 形m 为h 中式( 2 1 3 1 ) 、( 2 1 3 2 ) 的玎阶的近似惯性流形，如果存在常数c 0 和时间 ，使得t f 。时， 有 d i s t ( r ) ，m ) c q 其中u ( t ) 为式( 2 1 3 1 ) ( 2 1 3 2 ) 中的轨道。其特征是，存在某个时刻f l ，t t ， 后，所有轨道迅速进入该流形的一层很薄的领域之中。 定义2 8 设( 2 1 1 1 ) 中线性算子a 有特征值) ，相应特征向量如。) ， 6 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 使他们完备且正交构成h 的正交基则作投影己，绋，使 只：日- - s p a n c 0 1 ，c o 。) ，纯= i - 只 则式( 2 1 3 1 ) 的解u 分解为“( f ) = p ，( r ) + g 卅( r ) 。其中 p 。= 己“，q 。= 绒“ 2 2 近似惯性流形存在性 关于式( 2 1 1 1 ) 文 5 3 中已证得该类方程周期边界条件下及谱间隙条 件下存在惯性流形问题。文 6 7 用非线性谱分析方法，该谱方法是一个古老的 解法，它的基本思想是以各种特殊函数为基底，近似地求解微分方程谱方法有 两个主要的优点，其一是往往能够得到显式计算的格式；其二是近似解的精度 高，当原问题解的光滑性增加时，它的近似解精度也越未越高，通常可达到无 限精度。但其缺点时，较难处理非线性项，且计算量大。拟谱方法较易处理非 线性项且计算量小，但往往具有非线性计算不稳定性。为了克服这一缺 点，k r e i s s ，o l i g e r 提出了滤波技巧，郭本瑜则提出了另一种方法，其出发点 是引入限制算子r ，。通过数值分析研究该类方程在周期边界条件下的周期 吸引子及其稳定性。这里我们将研究式( 2 1 1 1 ) 在周期边界条件下的惯性 流行的存在性，并给出具体的存在形式，即考虑如下弱阻尼k d v 方程 “，+ “一一叩“+ ，似+ “，= f ， 叩， 0 ( 2 2 1 ) u ( x + 2 z ，f ) = u ( x ，r ) ( 2 2 2 ) u ( x ，o ) = b l o ( x ) 玉 ( 2 2 3 ) 厂h 羌( f 与t 无关) ( 2 2 4 ) 2 2 1 预备性结论 下面给出本文相关的主要结论 命题2 2 1 1 4 8 3 圳在条件式( 2 2 1 ) 到( 2 2 4 ) 下方程式( 2 2 1 ) 的解u ( t ) 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 满足l i m s u pi l “( f ) 畦k ，k 为不依赖于初始条件的常数。 设 p 兰r 【o ，2 j r ，q = 【o ，2 万】，v = h 刍，帅范数是”k ，工2 范数为h 则 t o = 考虑如下具有相同条件的方程 “，+ 删一+ a o u = 矗0 ) ， x q ， ，0 ( 2 2 1 1 ) 其中 a o = 。一例。+ 批 当s 0 时，定义 a 。“= 删黼+ a o “，b u = “删，8 ( u ) = f 一“， 则 d ( a ，) = 日羔 命题2 2 1 2s 0 时，方程式( 2 2 2 ) 到( 2 2 1 1 ) 存在阶为j 的近似 惯性流形m j 引理2 2 1 3 设占 0 ，方程 明名+ g 二一啊二+ 7 t l = q r ( p ) 在h 嘉中存在唯一解。式中r ( p ) = f p p ，q 。记为q ，。 弓i 理2 2 1 4 占 0 ，定义q 。= 庐( p ) ，p h 。= p h ，贝4 i d o 。忆c 2 l 其中d 对自变量p 求微分，i i b 。= s u p i b ( “) 1 。 引理2 2 1 5 设g r ：庐s ( p ) 是引瑾掣3 的解，则能选取s ”_ 0 + 及存在 q = ( p ) 满足如下式子 ( 1 ) s u p i 妒6 ( p ) 一( p ) h 一0 ，n 一时 ( 2 ) i d 矿i l 。c ：， ( 3 ) q = ( p ) 是下述方程的弱解： g 。一7 9 。+ 艚= q r ( p ) 引理2 2 1 6 若“5 = p + 矿5 ( p ) 是下述方程的解 “：+ 翻。+ a o “= r ( u ) 且“= p + 矿( p ) 是下述方程的解 u a o “= r ( “) 其中p h 。则- - 1 1 5 一满足悔e k ，为与抚关的常数。 引理2 2 1 7 对t 充分大，存在式( 2 2 1 ) 到( 2 2 4 ) 的任意轨道与h 中的 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 距离保持在的k l 占恐范围内，仅依赖于适当的初值且j 峰r 其中 m ? = k p ，g ) jp ，q ) 满足下述方程 g 。一w 。+ 艚+ q q q ，= o p ，+ p 。一w 。+ 炉+ p ( p + g ) ( p + g ) ，= f 其中万= 咏利州：+ ，】，m 为依赖于初值“。的常数。 上述引理和命题的证明见文 5 0 2 2 2 近似惯性流形形式 对非线性进化方程，通常用两类数值方法求解，一是有限差分方法，二是函 数逼近方法。有限差分方法是用差商耒逼近微分方程中的导数，函数逼近方法 是用某些适合的基函数的有限线性组合耒逼近微分方程的解求解k d v 方程的 数值解有很多种，属于有限差分方法的有：z a b s u s k y k r u s k a l 格式，h o p s c o t c h 格式，g o d a 格式，k r u s k a l 格式等：属于函数逼近方法的有：傅立叶变换方法，( 拟) 谱方法，有限元方法等：这一节主要利用傅立叶方法将近似惯性流形约化为傅立 叶系数随时间变化的常微分方程组，即研究方程( 2 1 1 1 ) 在周期边界条件下 的近似惯性流行的存在性及存在的具体形式。 定理2 2 2 1 弱阻尼k d v 方程( 2 2 1 ) 一( 2 2 4 ) 的近似惯性流形为 m ，p ，q l ( h ) ，p h p = p h ，h p 为2 + 1 维，q o h q = q h ，a o 为线性算子，p 对应 的近似惯性形式是下述常微分方程组： p ，+ a o p + p ( p + q o ) ( p + q o ) ，= 厂( x ) a o q o + q p p ，= o ( 2 2 2 1 1 ) ( 2 2 2 1 2 ) n 其中p = a o ( ，) + ( t ) c o s n x + b 。( r ) s i n 胍则系数，胡，b l ，b 为2 + 1 元常 n = l 微分方程组的解。 nn 证明：p = a o ( f ) + 吼( t ) c o s n z + b 。( t ) s i n n x n ；1月= l 9 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 则 2 2 q 。= ( f ) c o s 腑+ 6 。( t ) s i n n x h 一+ ln = + 1 p ，= 一n a 。( t ) s i n n x + n b 。( t ) c o s n x h = l = 1 2 爿g o = ( 翻4 口。o ) 一栉3 以( r ) + 7 7 n 2 d 。( f ) + ，曰。( t ) ) c o s n x q p p ，= q ( - j a o ( t ) a ，( t ) s i n j x + j a o ( f ) 6 ( t ) c o s j x j = tj = l 一芝堂芋盟( s i n ( f + ) x - - s i n ( f m 一堡譬s i n 2 i x ，= 1 ，f i = j + 型掣( c o s ( f + ，) x - c o s ( 一加) + 业掣( c o s 2 x 一1 ) 1j=l。f4t=j + 坐掣盟( c o s ( f + ，h + c o s ( 一，) x ) + 竺鸣巡( 1 + c o s 2 i x ) ，j = 1 1 # jt = j + 芝塑竽盟( s i n ( i + j ) x + s i n ( f m ) + 生譬s i n 2 x l j 2 i ，f 1 2 j、 将a q 。，q p p ，代入式( 2 2 2 1 2 ) ，可解得q 。事实上， 若n 为偶数时，则由式( 2 2 2 1 2 ) 得到 e ( n + 1 ) 4 a + l ( r ) 一( + 1 ) 3 b + i ( r ) 一r ( n + 1 ) 2 a “( f ) + y a + l o ) +y j a l ( t ) b , ( t ) + i a r ( t ) b l ( t ) ：0 ，：i , “t + j = n + l 。 e ( n + 1 ) 4 b + 1 ( f ) + ( + 1 ) 3 a + l ( f ) + r ( n + 1 ) 2 b + l ( f ) + y b + l ( ，) +yj b , ( t ) b s ( t ) ! j a , ( t ) a s ( t ) ：0 l j = l , “t + j = n “ e ( n + 2 ) 4 a + 2 0 ) 一( + 2 ) 3 b + 2 ( f ) + r ( n + 2 ) 2 a + 2 ( r ) + y a n + 2 ( f ) + 竽掣+ t n + 2 + ( 帆+ ( r ) = o j ，j = l j + ，= + l 。 _ 塑里星兰堂生墅! ! ! ! 堡堡鎏兰墨墼堕坌堑 8 ( + 2 ) 4 b + 2 ( ，) 一( | + 2 ) 3 口+ 2 ( f ) + 叩( + 2 ) 2 b + 2 ( r ) + 加+ 2 ( r ) + ，萎箸掣型+ 半( 6 f ) _ 口f ) ) = o | i = l ，t + j = n “ “ l 若n 为奇数时，则由式( 2 2 2 1 2 ) 可得到： 占( + 1 ) 4 口+ l ( f ) ( + 1 ) 3 b + l ( r ) + 玎( + 1 ) 2 口“( ，) 十归“( ，) +业业掣型+学q，+一删=oi,j= l ，t + j = y + l 72 占( + 1 ) 4 b “( f ) 一( + 1 ) 3 a n + l ( f ) + 刁( + 1 ) 2 b n + i o ) + 归+ l ( f ) +萎竽掣业+可n+i2ij=l 掘+ 删= o ，十，；+ ) “ ，2 占( + 2 ) 4 口+ 2 ( f ) 一( + 2 ) 3 b + 2 ( f ) + 叩( + 2 ) 2 d 肌2 ( f ) + 声+ 2 ( f ) + 业业掣= 0 e ( n + 2 ) 4 6 + 2 ( f ) 一( + 2 ) 3 口+ 2 ( f ) + 叩( + 2 ) 2 b + 2 ( 0 + o + 2 ( f ) + 业坚掣= 0 由上述方程可解的a + 1 ，b m ，c t n + 2 , b n + 2 。 类似可解得，口，吒”：b n + i , b + 2 ，6 2 它们都可用q ，n ：，a 。：b j , b 2 ，b 。表出。从而将g o 代入式( 2 2 2 1 1 ) 得： p ( p + q o ) ( p + q o ) ， = ，( 一芝归0 ( f ) 巳( f ) s i n 豇+ 兰弦。( f ) 6 j ( r ) 。s 豇 一乏业掣( s i n ( f + j ) x - s i n ( f m ) 一华s i n 2 西 。i 叫一j l _ i + 乏掣逊( c 。s ( f + j ) x + c o s ( f m ) + 堡业( c 。s 2 打+ 1 ) j 叫i l j 担j + 掣塑( s i n ( f + m + s i n ( f m ) + 华s i n 2 氏 塑堕星曼! 查望竺望! 塾塑堡亟垄墨塑堕坌塑 + 芝掣半( c 。s ( f + m c 。s ( f m ) + 堂笋( c 。s 2 打一1 ) + 口。( ，) 6 。( f ) c 。s 2 x + 4 j = l - ，j i = j + i a ( f ) 6 ，( t ) c o s 2 i x + ( 6 7 ( ，) - a ? ( t ) ) s i n 2 x + t + ；( 6 7 ( f ) 一a 1 2 ( t ) ) s i n 2 i x ) 当n 为偶数时， p ( p + q o ) ( p + q o ) ， “n = 一n 口。( f ) ( f ) s i n 眦+ n 口o ( f ) 6 。( t ) c o s r l x + ( 型堕笔塑d ! 型c o s ( f + j n - in = l j + i i n ，f j + 生坐竺丛! ；幽s i n ( f + ，) x ) + ( 兰丛! l ! ；型c o s ( 一j ) x + 塑生竺芝；! ! ! 旦型s i n ( f 一，) x ) + 口l ( f ) 6 l ( r ) c 。s 2 x + + + 譬口( r ) 6 噬o ) c 。s n x + ( 6 7 ( f ) 一口? ( f ) ) 。i 。2 x + + 型等型。i n 慨 当n 为奇数时， p ( p + q o ) ( p + q o ) ， = 一慨( r ) 吼( t ) s i n n x + n a 。( t ) b ( t ) c o s n x + ( 业业字业业c o s ( + j ) x 月= i = l 3 + i s n ，t j + 竺坐兰尘享! 坐旦尘s i n ( f + ，) x ) + ( 生生兰尘手! ! ! 堡盟c o s ( 一j ) x 一j l s ，j + 型型半业s i n ( f 班) + a i ( f ) 6 l ( f ) c 。s 2 冲+ 学q 一一( f ) 6 。( f ) c 。s ( 一 + ( 6 7 ( f ) 一口? ( r ) ) s i n 2 x + + 竺，二! 竺：= 2 掣s i 。( 一1 ) x 而p a p = ( 4 口。( f ) 一n 3 屯( f ) 十卵2 ( f ) + 弦。( t ) ) c o s n x + ( 翩4 b 。( ，) + 仃3 a 。o ) + 可n 2 巩( ，) + r b 。( t ) ) s i n n x + y a o ( ，) 将它们分别代入式( 2 2 2 1 1 ) ，则可建立2 n + 1 个常微分方程组，解得 1 2 船ns 联 w d +聊s + )(“ = 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 nn a 。，a l ，t ，a 及6 l ，6 2 ，b 从而可得到p = 1 0 ( f ) + ( t ) c o s n x + b ( t ) s i n n x = ln i 在上式中令寸0 ，即得到本定理要的结果。 2 3 小结 本章在上述基本术语和基本结论的基础上，利用函数逼近方法中的 f o u r i e r 变换方法将近似惯性流形约化为f o u r i e r 系数随时间变化的常微分方 程组。f o u r i e r 方法使把未知函数展开为f o u r i e r 级数，从而把原方程简化为 以f o u r i e r 系数为未知函数的常微分方程组，讨论k d v 方程 记 x r f o u ( x + 1 ，r ) = u ( x ，f ) x r ，t 0 u ( x ，0 ) = b l o ( x ) x r的周期解问题 ( x ) = c o s 2 n x ，u ( x ，f ) = ( r ) p 2 一 于是得到下列常微分方程组： a a 矿( o = 一i n t rzn a ( f ) 口。( t ) + 8 i n 3 万3 口。( r ) 取a n ( f ) = o ，lh 险n 就得到了近似解“”( x ，f ) 一 塑堕星垦坚查里塑塑! 坠塑堡亟兰墨墼堕坌堑 3 三模态近似惯性流形研究 本章第一小节根据上一章给出的一般的近似惯性流形形式，推导出三模态 下的近似惯性流形形式；第二小节从理论上给出了三模态下分析的数值方法； 第三小节给出了不同系统对应的奇点个数以及在不同奇点处的特征值和特征 矩阵并利用数字技巧和分析技巧研究三模态下动力系统的稳定性及其周期 解；第四小节分析并得出结论。 3 1 三模态下近似惯性流形形式 在定理2 2 2 1 中，取2 n + 1 = 3 ，即n = i 及f = o 代入下式 j p j + a o p + p ( p + q o ) ( p 十g o ) ，= 厂( x ) l o g o + q p p ，= o 得 f 口：( f ) + ( a 口l ( r ) 一b 1 ( r ) + q a l o ) ) + 口o o ) 6 l o ) + o 5 a 1 ( r ) 6 2 u ) 一o 5 a 2 ( f ) 6 1 ( r ) = 0 l 6 f ( ，) + ( 幻l ( ，) + a l ( f ) + 和1 ( f ) ) 一口o ( r ) 口1 0 ) 一o 5 a ，o ) 口2 ( t ) 一o 5 b l ( t ) b 2 ( f ) = 0 其中参数关系式为： 1 1 6 e a 2 0 ) 一8 6 2 ( f ) + 4 ，芦2 ( t ) + ，位2 ( f ) + 口l ( r ) 6 l ( f ) = 0 【1 6 e b 2 ( f ) - s a 2 ( f ) + 4 q b 2 ( f ) + y b 2 0 ) + o 5 ( 6 7 ( ，) 一口? ( r ) ) = 0 整理可得： 其中 d ：( r ) + y a o ( f ) = 0 d j ( ，) + ( s + y ) d i o ) - b l ( r ) + a 0 ( r ) 6 1 0 ) + ( 口l ( f ) 6 2 ( f ) 一c 1 2 ( r ) 6 l ( r ) ) = 0 6 j ( r ) + ( s + y ) 6 l ( r ) + 口l ( ，) 一a o ( f ) 口i ( r ) 一 ( 口l ( f ) 口2 ( f ) + 6 l o ) 6 2 ( f ) ) = 0 1 1 6 m 2 0 ) 一8 b 2 0 ) + 4 r l a 2 ( f ) + 膨2 0 ) + a l ( o b i ( f ) = 0 【1 6 e b 2 0 ) 一8 口2 ( f ) + 4 q b 2 ( t ) + 归2 ( t ) + o 5 ( b 2 ( r ) 一a ；( f ) ) = 0 1 4 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 3 2 数值分析方法 这一节将由定性分析的三十六种不同的参数中选取出其中的六种分别进行 讨论，具体讨论思想如下 1 对3 1 节的结论进行分析 由方程a ：+ 坶。= 0 得，d 。= e - f 。当y 0 时，口。以指数严格衰减到d 0 2 0 的子空间内，故这里只讨论= o ，y = o 的情况。从三模态近似惯性流形的形 式可以得知，该系统中任维都不含有常数项，故不论选取何种参数值，0 ( 0 ，0 ) 必为该系统的一个奇点，且在该奇点处的特征值分别由系数a 1 和b l 决定，即 0 ( 0 ，0 ) 由参数，、耒决定。 2 利用分析结论对三十六组参数进行试验，得到六种不同的交点情形，从而 将三十六组参数划分为6 组不同参数进行讨论。 此过程应用m a t hc a d 和p h o t o s h o p 的相关知识来进行分析和判断。随着 c a d 技术的发展，8 0 年代中期出现了一种强有力的数学工具一m a t hc a d ，m a t hc a d 是一个科学计算软件，是一种交互式的数值系统。通过它可以使人们在输入一 个数学公式、一个方程组、一个矩阵之后，无须考虑方法以及中间步骤，计算 机能直接计算出结果；她可以使用户在个人计算机上输入数学公式、符号和等 式，并且可在屏幕上显示出耒：它可以容易地计算出代数、三角、积分、统计 以及许多科技领域中的复杂表达式的值；它可以求解许多等式和不等式，显示 数学表格和图形；它可以组合、保存和打印数学文件；它甚至可以很方便地为 大家提供一些工具用末完成数学作业；强大的科学计算和图形动画功能，灵活 的二维排版功能，超文本、多媒体及网络功能成为一个很好的科技类电子书写 作平台；可以产生产成本7 种类型的静止图形：直角坐标图、平面极坐标图、 曲面图、等值图和3 d 图等。但是由于m a t hc a d 作为一种极为大众化的数学 ：具，所以它并不要求用户预先具有计算机知识，也不要用户有任何的数学知 识。m c a d 不仅可以计算大量的与数学及工程、物理相关的问题，同时它兼有c a d 的许多功能。因此利用m c a d 未制作数学函数图象是相当有用的工具。再坐图 过程中，m c a d 可自动计算并显示一个匹配轴的极限值即可建立自动标尺。但 是，为了更快地绘制图象，可直接设置轴的极限值：另外当图象生成以后可以 用格式化耒调整尺寸，显示网格等。从上可以看出，m c a d 制作图形可以说是 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 既方便又适用的方法。m a t hc a d 在这一步的关键之处是利用它求解非线性方 程组的奇点。首先它求解奇点的过程为直接给出非线性方程组，以及各个变量 的初值，便可由计算机自身利用迭代法求的所需解。 p h o t o s h o p 是一种功能很强大的实用于w 系列的3 2 位操作平台的图象处 理软件它可以支持大量的图象文件格式，具有很强的图层功能，可以容易地 合成图象、图形和文件，而且新的图层工作面板用户可以观看和重整画面， 它支持多序图层工作方法，可以合并、合成、翻页、复制和修剪，拖移功能 可以随意的选取图象，并可将它移至不同的文件和图层中。可以根据颜色范 畴自动选取所要部分，可以混合背景合并前、后景。p h o t o s h o p 在这一步的关 键是将两幅不同的图象合成为有相同原点，共同横、纵坐标的一幅图。 3 为了研究动力系统的稳定性及其周期解，我们需要解决特征值和它的共 扼问题，及其在每一奇点处的特征矩阵。因此利用m a t hc a d 对上述给出的不 同的奇点分别计算其导算予矩阵和对应的特征值。 4 分别计算不同奇点附近的节点处值并利用这些值制作x yp l o t 和3 d s c a t t e rp 1 0 t 基于保证算法的收敛，计算精度高，在一定条件下计算稳定，计算过程 中可改变步长，不需计算高阶导数值，且易于编制程序等优点。为此选定四 阶r u n g e k u t t a 方法，( 此方法是通过不同点上的函数值的线性组合而得到) 从而得到不同奇点附近的函数值，利用计算结果结合m a t hc a d 工具制作x y p l o t 以及3 d s c a t t e rp l o t 。即给出奇点附近的四阶r u n g e k u t t a 方法求解 后的节点处的值，以这些值为元素制作矩阵或将这些数据输出到一个数据文 件，m c a d 利用函数r e a d p r n 读该数据文件，利用菜单选项分别制作x yp l o t 或3 d - s c a t t e rp l o t 。 5 对得出的结论进行分析 总的来说，首先它求解奇点的过程为直接给出非线性方程组，以及各个 变量的初值，便可由计算机自身利用迭代法求的所需解；然后给出奇点处的 导算子矩阵，则可利用m c a d 中方便的数学函数求出相应的特征函数和特征值； 最后给出奇点附近的四阶r u n g e k u t t a 方法求解后的节点处的值，分别制作x - y p l o t 或3 d - s c a t t e rp l o t 。 下边将分别针对6 组不同的参数对应不同的奇点种类 一塑里里鉴! 童望塑堑! ! 垡丝堕受墨墼堕坌堑 3 3 稳定性数值试验 3 3 1 只有一个奇点的情形 只有一个奇点0 ( o ，o ) 的情况，对应的参数为e = o 0 1 9 7 ，b = 0 0 1 5 7 ，n = 0 0 1 交点图( 见图3 3 i 1 ) b 1 。_ _ 。 厂 vi “ 1 1 1 ； s = 00 1 9 7q = 00 t 5 7 图3 3 1 1 一个奇点图 2 在奇点0 ( 0 ，0 ) 处导算子矩阵及特征值分别为： m 。= 。：，。一。：d 1 8 k a 三s 。= 。i 一1 。0 。0 。1 。 其中m o 表示奇点0 处的导算子矩阵，v a l s 。表示奇点0 处的特征值。 3 给出0 ( 0 ，0 ) 附近的x - yp l o t 、相图以及3 d - s c a t t e rp l o t 。 图3 3 1 2a l - t ，b l t ( x yp l o t )图3 3 1 3b l - a l ( 相图) 7 9 面 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 图3 3 1 4p t - x ( 3 d s c a t t e rp l o t ) 4 从上述平面图可以看出，每一幅在奇点0 ( 0 ，0 ) 处的图象均呈现出一种周 期递减趋势，从其相位图及其对应的特征值和导算子特征矩阵，可以分析在奇 点0 ( 0 ，0 ) 处存在一稳定的焦点，结合平面图和相位图来分析立体图，可以看 出在e 变化过程中三模态近似惯性流行在奇点0 ( 0 ，0 ) 处的稳定性没有发生任 何变化。 3 3 2 含有3 个奇点的情形 含有3 个奇点的情况，对应的参数为= o 0 3 9 4 3 8 ，b = o 1 0 4 6 6 6 5 ，n = o 0 其奇点分别为a ( 0 3 7 ，0 8 ) ，b ( 0 ，o ) ，c ( - 0 3 7 ，0 8 ) ； 1 交点图( 见图3 3 2 1 ) d i b l 正 i 沁 、 二u 心- ： - 0 0 3 9 4 3 9 q = 01 0 4 6 6 酤 图3 3 2 1 三个奇点图 _ = = = _ _ _ _ = = 里墨星墨塑生墅塑塑重坠堡! ! 亟型墨堑篁坌堑 2 在奇点a b c 处导算子矩阵及特征值分别为 一一 m 。：阳9 9 1 l0 0 3 8 m 。：p 9 7 5 l o 0 7 1 m ，：降9 9 。 j0 0 3 8 刚上s 。= 。f 一0 ，9 。4 。8 4 v a l s 8 ：1 0 1 l i o , j v a l s ：o 9 4 8 c l 一1 0 8 4 j 其中m 。( i 2a ，b ，c ) 表示奇点a b c 处的导算子矩阵，v a l s 。( i = a ，b ，c ) 表示奇 点a b c 处的特征值。 3 分别给出a 、b 、c 附近的x - yp l o t 、相图以及3 d s c a t t e rp l o t ( a 见图3 3 2 2 3 3 2 4 ：b 见图3 3 2 5 3 3 2 7 ：c 见图3 3 2 8 - 3 3 2 1 0 ) 。 图3 3 2 2a l t ，b l t ( x yp l o t ) 图3 3 2 3b l a 1 ( 相图) 图3 3 ，2 4p - t x ( 3 d s c a t t e rp l o t ) 9 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 图3 3 2 5a l - t ，b l t ( x yp l o t ) 图3 3 2 6b l a l ( 相图) 图3 3 2 7p - t - x ( 3 d s c a t t e rp l o t ) n 3 3 2 8a l - t ，b l - t ( x yp l o t ) 图3 3 2 9b l a l ( 相图) 2 0 弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形及数值分析 图3 3 2 1 0p - t x ( 3 d s c a t t e rp l o t ) 4 从平面图和相位图可以看出在只有三个奇点的动力系统中，其整体走向 并没有发生太大的变化，基本趋势类似于奇点0 处，即平面图随时间的增长而 出现递减趋势，相位图和立体图表明：它仍为一稳定的焦点。 3 3 3 含有四个奇点的情形 含有四个奇点a b c d 的情况，对应的参数为e = 0 0 ，b = o 0 6 2 8 ，n = o 0 其奇 点分别为a ( 一0 7 4 ，一4 8 ) ，