（应用数学专业论文）nuah+b样条方法及其应用研究.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文对非均匀代数双曲b 样条( n u a hb s p l h e ) 曲线曲面进行了研究，完成 的主要研究内容和成果如下： 一、构造了k ( k 3 ) 阶n u a hb 样条基，相应地定义了n u a hb 样条曲线， 并研究了其性质，特剐地，给出了其细分公式，推出了当参数口- 9 o + 。+ 时k 阶等 距代数双曲b 样条( u a hb - s p l i n e ) 线的极限形式作为应用，给出了双曲线、双 曲正弦曲线与指数曲线的u a hb 样条精确表示 二、给出了hb 6 z i e r 1 n 汜基表达式。构造了hb 6 z i e r - l i k e 曲线，研究表明，它 们分别具有和b e r n s t e i n 基与b 6 z i 盯曲线相同的性质研究了口呻0 + ，+ 时极限， 建立了hb 6 z i e r - l i k e 曲线和b 6 z i e r 曲线的联系然后提出了4 阶hb 西e r 1 i i 【e 曲 线位置切线及曲率连续拼接的充要条件给出了4 阶hb 6 z i * i i i 曲线的第二 种等价表达式，解决了当口啼0 时如离散计算中出现的不稳定性问题提出了构 造与多边形各边都相切的平面分段4 阶hb 6 z i e r - l i k e 曲线的简便算法实现了离 散算法，精确地表示了一段双曲正弦曲线 三、分别给出了u a hb 样条曲面与hb 6 五e 卜l 珏汜曲面的张量积表示形式， 并研究了其极限性质以机翼上两组节点数据作为控制网格，分别以u a hb 样 条、c b 样条与b 样条曲面和h b 6 西e r 1 i k e 、c - b 6 z i e r 与b 6 z i e r 曲面在计算机上 进行逼近，验证了u a hb 样条曲面与hb 6 西e 卜l i k e 曲面逼近控制网格效果更好 关键词：计算机辅助几何设计；n u a hb 样条：h b a z i e r o l i k e ； c b 样条：c b 6 西虻几何造型 n u a hb 样条方法及其应用研究 a b s t r a c t n o n - u n i f o r ma l g c b m i c h y p e r b o l i cb - s p l i n ec u l n ，e sa n ds u r f a c e sa r es t u d i e di n t h i sp a p e r , t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n ba n da c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 as e to f k - o r d e r ( k 23 1 n u a h b s p l i n eb a s e sa r cg i v e n , b yw h i c h t h en u a h b - s p l i n e c u r v e sa r ec o n s t r u c t e d t h e i r p p e n i e s ，e s p e c i a l l y , t h el i m i f i n gc a s e s o f k o r d - e ru a h b - s p h n 船w h e n + 0 + 佃r e s p e c t i v e l ya n dt h es u b d i v i s i o nf o r m u l a e 戤 s t u d i e dh e r e a sa n a p p l i c a t i o n , h y p e r b o l i cc u r v e s h y p e r b o l i cs i n e c u i v e sa n d e x p o n e m c d r v e sa r e e x p l i c i t l ye x p r e s s e db y t h e3 - o r d e ra n d4 - o r d e ru a h b - s p l i n e s 2 a 辩to ff l + l - o r d e rhb 6 z i e r - l i k eb a s e sa r eg i v e nf o r mn u a h b s p l i n e sa n d t h ea c c o r d i n ghb a z i e r - l i k ec u r v e sa r ed e f i n e d ni ss h o w nt h a ts u c hb a s e sa n dc u r v e s s h a l et h e 鬟眦p r o p e r t i e sa st h eb e m s t e i nb a s i sa n dt h eb 6 z i e rc u r v e sr e s p e c t i v e l y t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rp o s i t i o n ，t a n g e n c ya n dc u r v a t i l r ef o r c o 埘n u i t ya m o n g4 - o r d e rh b 6 z i e r - l i k ec u r v e sa l eg i v e n t h es e c o n de q u i v a l e n tf o r m o ft h e4 - o r d e rhb 6 z i e r - l i k ec n r v e si sp r o p o s e dt os o l v et h eu n s t a b l ep r o b l e m si n s u b d i v i o nc a l c u l a t i o n as i m p l ea l g o r i t h mo fc o n s t r u c t i n gp l a n a rp i e c e w i s e4 - o r d e rh b 6 z i e r - l i k ec ：l i l v e sw i t ha l le d g e st a n g e n tt og i v e nc o n t r o lp o l y g o n si sd e s c r i b e d t h e c u r v ec a nb eu s e dt oe x p r e s st h eh y p e r b o l i cs i n ec i l r v ef o ra p p l i c a t i o nf o rs u b d i v i s i o n a l g o r i t h m 3 t h et e n s o rp r ( x l u c ts u r f a c e sa r eg e n e r a t e db yt h eu a hb - s p l i n e sa n dh b z i e r - l i k eb a s e sa n dt h e i rl i m i t i n gc a s e sa 他c o n s i d e r e du a hb s p l i n e s ，c - b s p l i n e sa n d b s p l i n e ss u r f a c e sa r eu s e d t oa p p r o x i m a t e dt h ea c c o r d i n gc o n t r o lg d d sc o n s t r u c t e d w i t hk n o t sf r o ma na e r o f o i l ，r e s p e c t i v e l y , a n ds od ohb 6 z i e r - l i k e , c b 6 z i e ra n d b 6 z i e r s u r f a c e s g o o dr e s u l t s 辩g o tt op r o v et h eb e s ta p p r o x i m a t i o nb yu a hb s p l i n e sa n d hb a z i e r - l i k es c h e m e sa m o n g t h e m k e yw o r d s ：c a g d ；n u a hb - s p l i n e s ；h b a z i e r - l i k e ； c - b - s p l i n e s ；c b 6 z i e r ；g e o m e t r i c m o d e l 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研! 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文f 研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做f 贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文 查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，i 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 1 1 n u p , b s 的局限性 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c a o d ：c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i 弘) 中最典型最 流行的曲面模型n u r b s t , - s 】( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n c s ) f l q 于既可以表示自 由曲线曲面，又可以表示一些传统的解析几何模型，如圆锥曲线等，而成为现行的 c a d c a m 造型系统的标准【6 虽然，在控制顶点和节点己定的情况下，n u r b s 的权因子可作为形状参数为c a g e ) 带来了很大的灵活性，但在实际应用中，权因 子的取法受物理条件的限制与其在计算上的复杂性，使其在形状设计和分析中也 存在一些局限性眺”1 ： ( 1 ) 有理曲线曲面表示形状时除了控制顶点以外，还需要额外的参数，即在 每个控制顶点处的权因予，而人们对权因予的选择以及它们对形状的影响还不是 很清楚，正如f a r i n 所言f i i j ，额外的权因子与其说有帮助，不如说是个潜在的麻烦 ( 2 ) h 阶的b d z i e r 曲线与b 样条曲线的一阶导数分别是h l 阶的b 6 z i e r 曲线 与b 样条曲线一般而言，一条n 阶的有理多项式曲线的一阶导数是2 弹阶的有理 多项式曲线而一些c a d c a m 系统不能处理高次的有理多项式曲线曲面 ( 3 ) 有些系统即使能做处理，但是次数越高，越容易导致数值计算的不稳定， 而且有理多项式曲线、曲面界的估计比较困难 ( 4 1 尽管有理多项式曲线进行参数化后可以精确表示圆，但是它不能表示一 般的圆弧，事实上，有理多项式曲线在最优弧长参数化后只能唯一表示直线【1 2 1 ( 5 ) 有理多项式模型不能精确表示，而只能逼近超越曲线，如摆线、螺旋线 f f 3 q 4 等，而这些曲线在c a d c a m 中非常有用 i 2 混合曲线曲面几何造型方法的兴起 鉴于n u r b s 模型存在上述局限性，为了保持其良好的几何性质【1 5 州】，克服 其不足一些新曲线曲面模型应运而生了在这些新模型中，值得一提的是基于多 项式和非多项式混合空问上的曲线曲面模型i 惦 2 0 1 ，称为混合曲线曲面模型，不仅 n o a h b 样条方法及其应用研究 继承了多项式样条的优点，还避免了使用n u r b s 时产生的缺点，引起了广大研究 者的极大兴趣和关注【姒 3 6 i p o t t m m a 和w a g n e r 于1 9 9 4 年提出了h e l i x 样条【l 那m a i n a r 给出了确定正规b 型噶j 的条件，并提供了些混合代数与三角多项式空间的正规b 基，这些空间分 别是 s i n 2 t ，c o s 2 t ，s i n t , c o s t ，t ，1 ， s i n t ，c o s t , t 2 , ，1 t s i n t ，t c o s t ，s i n t ，c o s t ，l ，f e n a 与s a n c h e z - r e y e s 分别构造了三角多项式空间 l ，c o s t ，c o s r o t 1 1 9 1 与空间 l ，s i n t ，s r ，s i n m t ，c o s r a t 2 0 l r 争的一组正规b 基，但这些基不能用以构造高阶 自由多项式曲线为解决这个难题，张纪文在文献1 2 1 - 2 3 中以 s i n t ，c o s l h l 为基 底构造了c - b 6 z i e r 曲线和c - b 样条曲线，并用c - b 样条曲线精确表示了圆弧和椭 圆，还给出了其他表达形式口4 j ，大大提高了计算速度和稳定性汪国昭等深入研究 了空间s p a n l ，f2 ，t ”2 ，s i n t ，c o s t 中的情形，提出了正规b 基吲，并将均匀高阶 三角多项式b 样条( 2 q 推广到非均匀代数三角b 样条【2 7 1 ，汪国昭等还在空间 = s p a n l , t , t 2 ，t n - 2 s i n h t , c o s h 0 中构造了高阶均匀双曲多项式b 样条1 2 叼，并 利用4 阶均匀双曲多项式b 样条曲线精确表示了一支双曲线与悬链线 由此可以看出，混合曲线曲面模型已经成为c a g e ) 几何造型研究的一个热点 和趋势 1 3 本文主要研究内蜜 本文在消化、研究国内外相关文献资料的情况下，汲取已有混合曲线曲面几 何造型方法的精华，构造一类基于空间s 。= s p a n s i n h t ，c o s h t ，f ”5 ，f 2t 3 ( n 3 1 的混合曲线曲面，它是由非均匀代数双曲b 样条( n u a h b s ：n o n - u n i f o r m - a l g e b r a i c - h y p e r b o l i cb s p l i n e s ) 作为调配函数生成的随线曲面，故称为非均匀代 数双曲b 样条曲线曲面，并对这种新曲线曲面及其性质等展开了系统的研究 全文研究工作由三个方面组成：n u a hb 样条曲线曲面的构造及其性质研 究；n u a h b 样条的一个最重要子类h b 6 z i e r - l i k e 曲线曲面的构造及其性质研究； 低阶n u a hb 样条曲线几何配套方法讨论及其应用 全文共分五章，各章内容安捧如下： 第一章首先分析n u r b s 方法的不足，然后介绍新型曲线曲面模型( 混合曲 线曲面) 的发展，最后介绍本文的研究工作 第二章首先构造了k 阶非均匀代数双曲b 样条( n u 灿- tb - s p l i n e ) 基函数，然 2 南京航空航天大学硕士学位论文 后给出了3 、4 阶n u a h b 样条基函数的具体表达式，分析了重节点对3 阶n u a h b 样条基函数影响：推导出了当参数口呻o + ，佃时高阶等距代数双曲b 样条 ( u a hb - s p l i n e ) 的极限形式，分别研究了3 、4 阶u a hb 样条的应用，并首次精确 表示了一段双曲正弦曲线与指数曲线最后定义了b i u a hb 样条曲线，研究了其 性质，诸如导数公式与细分公式等，从而验证了其具有v d 性与凸包性 第三章首先定义了空闯s = s l m n s i n h t ，c o s h t ，f ”2 ，f 2 ，f ，l ( 一22 ) 中hb 6 z i e r - l i k c 基( 即n u a hb 样条基的特例) ，并给出其递推关系式，接着由此定义了 相应的hb 6 z i e r - l i k e 曲线，并分析其性质考虑到全局形状参数口，特别分析了二 者在口_ 0 + ，十时的极限情形，并得到一些重要结论最后，研究了4 阶h b a z i e r - l i k e 曲线及其应用：推导出了其连续拼接条件，以两种形式定义了4 阶hb a z i e r - l i k e 曲线，分析其与4 阶b 6 z i e r 曲线在中点处的误差，构造了切于多边形各边的平 面4 阶h b a z i c r - l i k e 曲线，通过选取适当的控制顶点，精确地表示了一段双曲正弦 曲线，利用离散公式绘出其图形 第四章本章分别给出了u a hb 样条与hb d z i e r - l i k e 曲面的张量积表达式， 主要研究了其极限性质，绘出了同一控制网格下构造的相应衄面的图形，分析了 其逼近控制网格的效果，通过机翼上的数据节点加以实现 第五章总结全文，并提出一些新的问题 n u a h b 样条方法及其应用研究 第二章n u h hb 样条曲线及其性质 本章首先构造了定义在空间s k ( k 售n ，七3 ) 中的k 阶非均匀代数双曲b 样条 ( n o n - u n i f o r ma l g e b r a i c - h y p e r b o l i cb s p l i n e ：n u a hb - s p l i n e ) 基函数，接着分析了 重节点对低阶n u a hb 样条的影响，然后推导出了均匀代数双曲b 样条( u n i f o r m a l g e b r a i c h y p e r b o l i cb s p l i n e ：u a hb - s p l i n e ) 基函数，最后定义了n u a hb 样条曲 线，并研究了它的一些基本性质，如导矢计算公式、凸包性、局部性质及细分公式 等 2 1 n u a h 样条空间 设x ：= x n + l i ，工。+ i x l 0 ，是疆上，x 【= - - 0 0 ，工。“= + ， ( 或【口，b 】上，a = t l ，b = 工) 的一个分割： m 芦 ，l 珊，七是对应于善。o = 0 , 1 ，肛) 的重复度序列： t = = t o , t l 一，) = = x 0 ，毛， ，i n ，x 为节点序列： 亡x 一= f ，：= 小，； “8“ j = o s k = = s p a n s i n h t ，c o s h t ，“3 ，t j ( k en ，k 3 ) ； 最车s p a n s i n h t ，c o s h t 注若，s 2 t ( 七2 ) ，贝t l ( c l ) f f ) = o 这里工= d “( d - 1 ) ，即s i 是r 工的零空间 定义2 1 q t ，。# q k , m ( 最；m ；z ) 净 ，：fk “) 墨，i = 一1 , 0 ，n ；d j - i f ( x t ) = d f ( x t ) ，= l ，k m ；f = 0 ，拧) 被称为关于分割x ，重复度m 的七阶非均匀代数 双曲样条空问 特别地， ( 1 ) 当m = ( 1 ，l ，1 时，贝0 q i 。= q ，“( s i ；。m ；x ) # q ，“( s k ；x ) = f ：厂i ( 。) e s i ；f - - 1 ，0 ，n ；f ec “2 ( 倪) ( 或【仉6 】) ) ( 2 ) q 。+ ( s ；砷即为s c h w e i k e r t l 3 7 1 提出的张力参数p = 1 的张力样条( 简单双曲样 条) 全体所成的空间 ( 3 ) 当m = | ，七) 时，则q k , m ( 最；m ；砷是最不光滑的样条空间，在f = x ，处函数 有跳跃间断点 南京航空航天大学硕士学位论文 由定义2 1 ，一个函数f e q 。，需要七+ 2 ) 个条件来确定，由连续性的要求， 可得0 + 1 ) 七一m 条件，尚缺m + t 个条件，故 弓i 理2 1 d i m q t 。( & ； 屯x ) = m + k 进一步由样条的r o l l e 定理和零点计数的约定【3 毫3 9 1 可导出 弓l 理2 2v ，- e0 1 。( & ；m ；功( 0 ，贝 z ( j 0 s k 一1 + m 其中，z ( 门表示孵( 或【口，6 】) 中的零点个数，重零点按重复度计数 2 2n u a f ib 样条函数及其性质 本节将使用构造性方法。证明空间q 。中存在一组局部支撑基 推广定义2 1 中吼上的有限分割到无穷的情形，令 您2 如，r 车 f ) “z 。 ：，望：生，蛐，z l ，。 _ 一1凡 这里f o = t l = - ，_ 。一i = x o ，执= r j ，i o “= = t m o + m i - l = x i 1 o 9 对于每一个f z ，构造函数l j ( f ) ：= n ( t ，r 。) 甄( f m ) 如下 型坚娑， 私。， s i n h ( t l + l 一) 7 n i , 2 0 ) = t s i n h ( t , q - t ) i ， 0 ， t i + l t f m ， ( 2 2 1 ) t 薯o ，t m ) n t 。，( t ) - - f 。( 4 ，n i ( j ) 一川l 州( j ) ，( 3 蔓_ ，s _ j ) ( 2 2 2 ) 约定：0 0 = 0 其中 故有 氐= ( e i 扣) 一， 当n 。j o ) 0 时， i 。吒。o ) a s = ( ，一f 。) ：， 当m 。( r ) = o 时 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) n u a h b 样条方法及其应用研究 l 磊1 j ( s ) d s = 1 由 m ，( f ) 埘的定义。易证下列性质： ( i ) t 芒【，t i + n t 。( f ) = 0 - ( 2 ) n i ( f ) = 毫倪= = 。, j o , t t i t ( 3 ) 若n 。( f ) o ，s u p p n 。( f ) = 【t i , t w 】 ( 4 ) v r e z 满足f ， f ，+ 】， j o ) ；。，i + le s i ，t e i t ，t 。l 】 ( 5 ) n 。 = 1 事实上，由( 1 ) 一( 3 ) ，t 睡，t ，+ l 】，v r z ，满足t ， t ，+ l r ，盛暑：嚣薯脚 注意到 ，i ( r ) = f 。t 卜l 小。o ) a s ， 则 i ，。( r ) = m ，。( f ) = r - ii 。b h n j 纠( 一) 一乞小一n j + ，。( s ) k + f 。4 卜。，川o ) d s = f 。t - k + l - i ，- k + l , k - i ( s ) d s = e 4 - k + 1 ) - i m - k + 1 ) - i ( s ) a s = 1 ( 6 ) m 。( ，) ；一在p ，。】上线性无关，v re z ，满足f ， 2 成立，下面考虑“1 阶情形 设对所有f e 【f ，f ，+ 】。有伊( r ) = 口m h ( ，) a o 考虑到 6 妒o ) = ( 口，一口，) s j ，n “( ，) ；0 ， j = r i + 1 南京航空航天大学硕士学位论文 由假设知，口h = 口，- f “= = 口，由性质( 3 ) 与( 5 ) 知，n i l - 1 ，则 i - 卜 妒( f ) = 口，n j 川( f ) = 口。m 川( f ) = 口，- ，m o ) - r - ij i ，- t 故口，- = = 口，= o ，从而n j m ( j = r k , - - r ) 在睡，t ，+ l 】上线性无关，证毕 ( 7 ) 当t 。 i + k , jez ，( 七3 ) ，( f i ( ，) 。z 在孵上是线性无关 ( 8 ) 设s = m a x ：l = = t ) ，则 n “( f ) 墨o ，f 孵，2 s 占 k ，n t “j ( r ) 0 由定义， l ，。o ) = ( f 一，+ ，) ：一i 。点+ “，( s ) a s ， ( 2 2 6 ) 故 i ( + ，) = 1 ， m ，“+ ，) = 0 ，j 由( 2 2 6 ) 式，有 ( 9 ) 设f - l t i = ，“= = ， 0 , t 0 ，t m ) ，t 。 0 n u a hb 样条方法及其应用研究 式( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 定义的m i ( f ) ( | 】 3 ，f = 0 ，1 ，五- ) 具有上述良好性质，从而 说明诸i j ( ，) 构成了n 抽( 七3 ) 中一组基，称之为七阶非均匀代数双曲b 样条 ( n o n - u n i f o r ma l g e b r a i c - h y p e r b o l i cb - s p l i n e ：n u a hb s p l i n e ) 基 注1 空间q ，。中不存在n u a h b 样条基 证假设空间q ：。中存在n u a hb 样条基，则由归一性知，基和恒等于1 因 为基中各元素在每个区间上都是 s i n h t ，c o s h t 的一个线性组合。所以在各区间上 l 可由 s i n h t ，c o s h t 的线性表示，这与 1 ，s i n h t ，c o s h t ) 是线性无关相矛盾证毕 注2 用s i i l 代替( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 式中s i n h ，便得到n u a tb 样条基函数1 2 ” 2 3 低盼n o a hb 样条函数 这一节给出几个低阶n u a hb 样条函数的具体表达式 引理2 33 阶n u a h b 样条基函数为： n d ( f ) = 8 i _ ， r 【f ，】， 一。 t i i ，j , 2 c o s h ( t j + l - t 一, ) - ) 1 0 一i i + l s i n h ( tt i 。 - 一8 t , 21：删一点+，z!：裂，【f，+，+：】，(2。，) rcosh(t,+3-_t)-1ui+l ，f 【r + 2 ，r “3 】， , 2 s i n h ( t i + 3 一f + 2 ) ”2 “。3 。 0，t叠(f，ff+3) 证由n i ：o ) 的表达式( 2 2 1 ) ，易得到。，：( r ) 的表达式，从而由递推关系式 ( 2 2 2 ) ，并结合基函数的最小支集性，有 当f 【f ，l “】时， n i 3 = j ：8 , 2 n i 2 出= 胁桊击吨裂- 8 当，【t j + l , ，j + 2 】时， n i 3 ( t ) = ( f “+ f + 。) 4 ：啦( s ) 出一f + 。4 “：以l 2 ( s ) 丞 = 1 一r “4 ，：m ：o ) a s 一+ - - ：o ) a s 南京航空航天大学硕士学位论文 小乱筹si血(t氐：剽sinh(t l + 2 一r f + i ) ”“ + 2 一f i + 1 ) 当f 毫p 。2 ，t + 3 】时， n i , 3 ( t ) = l 一( c + f + ，) 氏l 2 i “：( s ) 凼= 1 1 一r “嗔“：m 吐：( s ) 出) 一。 c o s h ( t + 3 一r ) 一i 2 d + 1 2 s i n h ( t 2 j 。3 - t 一, z ) 当，芒( r 。，f j + 3 ) 时，f 3 ( r ) = o 整理上述结果得( 2 3 1 ) 式证毕 同理，由( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 与( 2 3 1 ) 式可得 弓 理2 44 阶n u a h b 样条基函数为： = 啉：等群， 4 ，陋，：兰空生! ：i ；掣+ o 一，“t ) + 如堂吐舞警掣峨：笔群， q 。可面i 瓦r 一”。2 面丽了i 了一1 奴：等意邕笋， - - 慵啦鼍赢羞产 一正吐，【4 + 啦! 塑生：i i 未差 。三；：亏二2 ：丛2 + ( f r r + ：) 吼：巡d 茜警掣 氐。堂s i ! n h ( 舞t 半t i z 产1 ， ”“ + 3 一) 。c s i n h ( t ，+ 4 一t ) 一( ，+ 4 一t ) q 扎妒“2 。i 面了乏丁一 t 【f l + 2 ，t m 】， t 量阮，f m 】 ( 2 3 2 ) 取单节点向量为卜4 0 ，一3 2 ，5 ，一1 0 ，0 ，1 0 ，3 0 ，3 8 ，5 0 】2 阶n u a h b 样条函数，3 阶 和4 阶n u a hb 样条基函数图形分别如图2 1 2 3 所示 9 n o a h b 样条方法及其应用研究 下面给出在各种重节点情形下，3 阶n u a hb 样条基的特殊表达式 ( 1 ) 当= f j + i + 2 t l + 3 时， ：j黟sinh(t，f e 。：】飞u ；m 2 = j + 2 一+ 1 ) 7+ 吐2 = 1 0 ，t 萑( g j * l , ，m ) sinh(t-t,历i)sinh(t， ，f e k ：】， + 2 一，f + 1 ) 7 sinh而(t3-t)sinh(t，r量“3】，i + 3 一f i 十2 ) 0 ，t 暮】+ t ，f m ) 屯= ( e 啪，西) 一= 糟 一= 盖警祷， = ( 聃“：出4 s i n h 。，( t , + 3 - t , + 2 ) s i n h ( 6 1 - t , , ) 、i 丽 代入( 2 3 1 ) 式得此时的3 阶n u a hb 样条基： j 3 ( r ) = t 也：筹氐：裂小【f j m 。z 】， 。 c o s h ( t f + 3 一，) 一i d j “_ 2 s i n h ( t f + 3 - t j 2 ) t 譬( f j + l ，t ) ( 2 ) 当r ，= ，j + l = ，f + 2 + 3 时， ，：。，m ， 佃；f + l2 ：s i n h ( t , q - t ) n is i n h ( t ，+ 3 i t + 2 一) ， f e f 小 2 = 0 ，m ， 佃；f + l ，2 。 7 1 0 ，t 薯( ，f + 2 ，j + 3 ) 正r 悯 ：= ( d 。( 蛐) “r , , s l n h ( t m - s 。) d s 、1 ，- = 蕊s i n h 瓦( 6 3 j - 丽6 + 2 ) 代入( 2 3 1 ) 式得此时的3 阶n u a h b 样条基： ( r ) ；卜：面c o s h ( 丽t , + 3 - t ) - 1 ，吨一j + 3 】， ( 2 1 3 。4 ) 1 0 ，叠( 1 i + 2 ，t i + 3 ) ( 3 ) 当r 。 r l 十i t m = f f + 3 时， l o 南京航空航天大学硕士学位论文 皇坠共，r e 队+ 。】， s i n h ( t f + l f ) ”“ 羔氅4 ，f e ，】， s i n h ( t 。+ 2 - t ，+ 1 ) 。+ 0 ，t 叠( l ，t i + 2 ) = s i n h ( t - t t + i ) s i n h ( t m t i + 1 ) r 岳i t , + i ，t 。2 】， 0 ，t 诺“+ l ，+ 2 ) 露2 - ( f = 越“油- 1 = s i n h ( t , 2 - t , 1 ) s i n h ( t , i - t , ) 石= _ 丽， = ( n 叱：。) d s ) - = s i n h ( t m - t t + 1 ) 了 代入( 2 3 1 ) 式得此时的3 阶n u a h b 样条基： n 。( f ) = 占，e o s h ( t - t , ) - 1 ， 。s i n h ( t f + i t ，) t吨：筹sinh(ttj+l氐：裂sinh(t t 。 f + 2 一) 一 f + 2 一f + 1 ) 0 ， ( 4 ) 当r f t i “= f m o ，i = o ，土1 ，士2 ，( 2 2 1 ) 式即为 n t 2 ( f ) = s i a h ( t f 口1 s i n h 口 s i n h ( ( i + 2 。) a - t ) s i n h a o t e i a ，0 + 1 ) 口】， t 【( f + o a ，“十2 ) 口】， t 正p 口，0 + 2 净】 易知，n 啦( ，) = n o 2 ( t - i a ) ，与整个参数轴围成图形的面积是个与f g z ) 无关的常 数，换言之，对f ( e z ) ，有 6 啦ze 啦( d 凼- e o ，：p i a ) a s 筇o ：- - s i n h a 2 ( c 。s h a 一1 ) - 于是，对3 阶n u a h b 样条基，有 口( f ) = 。( 4 ：啦o ) 一谚扎2 n 。，：o ) ) d s = 8 0 ，：i 。( n o ：o f a ) 一n i ，：o f 口) ) 凼 4 南京航空航天大学硕士学位论文 = 戍，： f o 。( s - i a ) 出一c o “s 一 = 三。嘁：i “呦西= 吉- 。冠“呦出， 其中，冠：( ) 定义为如下形式： 羔s i n h t ， re o ，口】， 2 ( c o s h 口一n 氟：。) 2j2 ( c o s 三o t - 1 ) 0 ， s i n h ( 2 a - t ) ，t 仨瞳，2 a ，( 2 4 1 ) t 萑【0 , 2 a 冠2 ( f ) = 瓦2 ( t - i a ) ， o = 0 , 4 1 ，也，) ( 2 4 2 ) 由3 阶n u a hb 样条基的表达式( 2 3 1 ) 知， o 3 ( ，) = 氐2 c o _ s h - t - 一i ， f l o , a l , o 卵1 ；矗函一 m l 一氏2 c o s h 面( 2 a i - t ) 一- 1 一氐2 c o s h s ( 劬t - 口o r ) - 1 ，r 陋，2 口】， j c o s h _ ( 3 a - t 一) - 1 ， ，仨2a,3u0 口】， , 2 s 曲口 一 0 ，f 萑【o ，3 a 】 易计算得，氐3 = l c t 而f 。3 ( f ) = n o ，3 ( t - i c t ) ，与整个参数轴围成图形的面积是个 i ( e z ) 无关的常数，换言之，对l ( e z ) ，有 4 3 - c 1 3 0 ) a s t e“30ia)ds峨，31a)ds i a ) d s 1 a 4 ，- i 。1 ，ot i 。“，( 。一 峨，。 假设对k ( k 3 ) 阶情形，有4 _ 8 0 it l a ， 岍- 8 ) = 吉l 。( s ) d s - 下面考虑k + 1 阶情形： 4 州= le 驯( s ) d sl 。= le l j j ，( s ) 一4 肿m w ( 跏出l p1 一ir1 一l = 口 e l ( 0 ，。一，口) 一n t ，。一妇) ) 凼 - l = 4 e f _ 。0 - o r 口) 凼出 一 n u a h b 榉条方法及其应用研究 = 口 f ：。m “s ) d 曲 = 吐口i ：( r 一0 a ) d t - 1 _ - l ，戗口【0 ，】 故对k + 1 阶，结论成立，即4 j = l a ，( 七3 ，f = o l ，2 ，) 于是，有 m 川( f ) = f 。( 4 j v i ( j ) 一4 小m w o ) ) a s = a 0 ，。f 。( n o ，i ( j i a ) 一n 。j ( s i a ) ) d s = 瓯j 。o ( s - i a ) d s = 吉。 o ) a s ，( f = o ，l ，2 ) ( 2 4 3 ) 故对k + i 阶情形。结论成立证毕 2 4 2t l t d lb 样条的极限性质 引理2 53 阶u a h l 3 样条基函数为： f - 2 3 ( ，) = ( c o s h f a 一，) 一】地， n “，3 9 ) = ( 2 e o s h a c o s h t c o s h ( t 一口) ) 奄3 ， ( 2 4 4 ) i “3 ( r ) = ( c o s h t 一1 ) 岛 如图2 4 所示，其中 颤= 1 ( 2 ( c o s h c r 1 ) ) ，e 【o ，口】 口 0 引理2 64 阶u a h b 样条基函数为： “( 口，t ) = 【f - i a s i n h ( t i a ) y q ，t e 【i c t ，( f + 1 ) 口】， ( j + 2 ) a - t - s 佃h ( ( i + 2 ) a f ) + 2 s i n h ( t 一( f + 1 ) 口) + 2 ( ( f + 1 ) a t ) c o s h a k i ，静+ 1 ) a ，+ 2 ) 口】， 【2 s i r t h ( ( i + 3 ) a r ) + t - ( i 十2 ) a - s i n h ( t 一( f + 2 ) a ) ( 2 4 5 ) 一2 ( ( j + 3 ) a - 0 c o s h a k , ，t 【o + 2 ) a ，o + 3 ) c z 】， 【( f 十4 ) a - t - s i n h ( ( i + 4 ) 口- t ) k 4 ，t 【( f + 3 ) 口，( f + 4 ) a l ， 0 ，t f f 口，( f + 4 ) 口】 其中 k = l 勉0 一c o s h a ) ，口 0 证令；