（应用数学专业论文）一个耦合kdv方程的darboux变换及其精确解.pdf

摘要 本文从4 4 的矩阵谱问题出发导出一个与其相联系的耦合k d v 方程利 用这个4x4 矩阵谱问题的基解矩阵，找到这个耦合k d v 方程的l a x 对的规范 变换，进而获得此耦合k d v 方程的d a r b o u x 变换作为d a r b o u x 变换方法的应 用，求出了这个耦合k d v 方程的一些精确解 关键词：孤立子，达布变换，规范变换，耦合k d v 方程，精确解 a b s t r a c t b yi n t r o d u c i n ga4 4m a t r i xs p e c t r a lp r o b l e mw i t hf o u rp o t e n t i a l s ，w e p r o p o s eac o u p l e dk d ve q u a t i o n ag a u g et r a n s f o r m a t i o no ft h el a xp a i ro f t h ec o u p l e dk d ve q u a t i o ni sf o u n db yu s i n gt h ef u n d a m e n t ms o l u t i o nm a t r i x o ft h e4 4m a t r i xs p e c t r a lp r o b l e m m o r e o v e r ，ad a r b o u xtr a n s f o r m a t i o n o ft h ec o u p l e dk d ve q u a t i o ni so b t a i n e d a sa na p p l i c a t i o no ft h ed a r b o u x t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，s o m ee x a c ts o l u t i o n so ft h ec o u p l e dk d v e q u a t i o n a r e g i v e n k e yw o r d s ：s o l i t o n ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，g a g u et r a n s f o r m a t i o n ， c o u p l e dk d ve q u a t i o n ，e x p l i c ts o l u t i o n 一弓i 言 孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，在流体力学。等离子体物理、非线性光 学，经典场论，化学、通讯、生命科学等诸多学科都有重要应用，它既反映一类非常稳定 的自然现象，例如江河里的某一类水波，光纤中的光信号传播等等，体现了一大类非线性 相互作用的若干特征并为许多应用问题( 如光孤子通讯) 提供了启示另一方面，这一 理论又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，因而受到国际上数学界和物理学界的 重视，研究工作十分活跃 孤立子的发展历程简要概括为：z a b u s k y 和k r u s k a l 对k d v 方程解的孤子性的发 现 2 5 g a r d e n e r ，g r e e n ，k r u s k a l 和m i u r a 对k d v 方程求解的反散射方法的开创 性工作【2 6 】l a x 关于k d v 方程l a x 对的理论和推广【2 7 z a k h a r o v ，s h a b a t ， a b l o w i t z ，k r u s k a l ，n e w e l l 和s e g u r 关于矩阵形式的l a x 对及反散射方法的推广f 2 8 】 都为孤立子理论的发展起到了关键的作用 在孤立子理论中，已有一系列方法来求孤立子方程的精确解，如反散射方法1 、1 2 ， 1 3 】，b 孰l d u n d 变换方法，d a r b o u x 变换方法，h i r o t a 双线性方法，p a i n l e v 分析方 法，l i e 对称方法【8 ，9 、1 6 】，以及代数几何方法【1 7 、1 9 、2 4 、3 4 、3 5 l ，非线性 方法【2 2 、2 4 】，齐次平衡法【2 9 ，3 2 】等其中最常用的是反散射方法和b c k l u n d 变换 方法，前者利用非线性偏微分方程的l a x 对和常微分方程的谱理论把c a u c h y 问题化为求 解线性积分方程，在退化核的情况下能给出显式的解后者是以已知解为种子解，导出一 个完全可积的偏微分方程组，从而给出一个新解在具体实践中，还可以利用多个有一定 关系的已知解给出一个新解的显式表达式，称为“非线性迭加公式” 但是当积分方程的核非退化时，解的显式表达式是很难得出的，非线性迭加公式也只 是在相当特殊的情形下才能出现到了二十世纪七十年代后期，人们注意到d a r b o u x ( 达 布) 在一个世纪前所提供的处理二阶常微分方程谱问题的一个方法，对于非线性偏微分方 程的显式求解有很重要的作用，从而该方法在孤立子和可积系统理论的研究中，越来越为 人们所注意，并得到迅速发展，这便是d a r b o u x 变换法 1 8 8 2 年，g d a r b o u x 1 l 】研究了个二阶线性常微分方程( 现在称为一维s c h r s d i n g e r 方程) 的特征值问题： 一如；一“( z ) = a 砂( 1 1 ) 1 其中，乱( z ) 是给定的函数，称为势函数， a 是常数，称为谱参数d a r b o u x 发现：设 u ( x ) 和( z ，a ) 是满足( 1 1 ) 式的两个函数，对任意给定的常数知，令f ( x ) = 咖( z ，a o ) 即 ，是( 1 1 ) 式当a = k 时的一个解，则由 fi西。=z，ua，+：2(以ln。fz)，“a，一争。z，a， c - z ， 所定义的函数面，西( z ，a ) 一定满足 一九。一霞( 茁) = a 妒( 1 3 ) 这样，这个借助于特解，0 ) = 妒( z ，a o ) 所作的变换( 1 2 ) 式将满足( 1 1 ) 式的一组函 数( 缸，咖) 变换为满足同一方程的另一组函数( 面，西) 这就是最原始的d a r b o u x 变换 ( 珏，) + ( 露，多)( 1 4 ) 在，0 处它是有效的 1 8 8 5 年荷兰的应用数学家k o r t e w e g 和d ev r i e s 导出了一个水波运动的非线性偏微 分方程，现在称为k d v 方程2 0 世纪6 0 年代，人们发现k d v 方程与上述s c h r 6 d i n g e r 方程有着密切的关系具体来说，k d v 方程 仳t + 6 社z + z z = 0 ( 1 5 ) 嘉裂：一咖 6 ， ( 称为k d v 方程的l a x 对) 的可积条件，这时钍和都应看成$ 和t 的函数这里可积 的意义是：由( 1 6 ) 式的第一式得出。= ( 一“一a ) 庐然后计算庐一又由( 1 6 ) 式的第二 式计算一两者相等( 对任何a ) 的充要条件是满足k d v 方程( 1 5 ) 式 进步的研究发现，d a r b o u x 变换( t 2 ) 式也适用于k d v 方程这个变换中的函数 ( ，矿) 还依赖于t 且满足( 1 6 ) 式这个变换不但保持( 1 6 ) 式中第一式的形式不变，即 成立，而且( 面，西) 还满足( 1 6 ) 式的第二式因而面满足( 1 6 ) 式的可积条件，即面也是 k d v 方程的解这样，如果已知k d v 方程的一个解札，通过解线性方程组( 1 6 ) 式得到 妒( z ，t ，a ) 。取a 的一个值知得到l ( x ，t ) = ( z ，t ，a o ) ，面= u + 2 ( i n f ) 。就给出k d v 方 程的一个新解而( 1 2 ) 式给出的西为面相应的l a x 对的解 为了从k d v 方程的一个已知解“得到它的新解面，现在只需要解线性方程组( 1 6 ) 式得出，然后通过显式运算( 1 2 ) 式就可以得到k d v 方程的大量特解不但如此，这个 变换还可继续进行下去因为$ 也已经具备，这时就不再需要解线性方程组( 1 6 ) 式，而 由显式的算法就可以褥出( 霞，劢等等 ( 让，) 一( 面，劢一( 雹，- ) 一 这样就把s c h r s d i n g e r 方程的d a r b o u x 变换推广为k d v 方程的d a r b o u x 变换应 该指出，它的基本思路是：利用非线性方程个解及其l a x 对的解，用代数算法及微分运 算来得出非线性方程的新解及其l a x 对相应的解 本文从一个谱问题及其时间发展式出发，利用l a x 方程推导出个新的耦合k d v 方 程，之后利用d a r b o u x 变换的理论和技巧求出了该方程的显式解 3 二达布变换 本节研究一个耦合k d v 方程： 首先考虑特征值问题 其中妒= ( 妒l ，仍，妒3 ，饥) r u t = 一“。+ 6 u u 。+ 3 ( w s ) 。， v t = 一t 7 z + 6 v v z + 3 ( w 8 ) z ， w t = 一t 。z + 3 ( u w ) 。+ 3 ( 口) z 8 t = 一s 2 + 3 ( “8 ) + 3 ( 饥9 k m = 设特征函数妒的时间演化方程为： 其中， v= - - u x 以= m 砂 0o1o 0oo1 u a埘o 0 s 口一a0 0 8 一钍。+ 2 ( u a ) ( “+ 2 a ) + 2 s w s 。+ 2 ( u + u + a ) s 班= y 妒 一t 一t k 一。+ 2 ( u + 口+ a ) 叫 一t k 。+ 2 扣一a ) 扣+ 2 x ) + 2 s w 2 u + 4 a 2 s a x 昆 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 2 w 2 v + 4 a 叫$ ( 2 3 ) 而u ，t ，w ，8 是四个位势函数，a 是常谱参数 定理1 设妒满足( 2 2 ) 一( 2 3 ) ，则l a x 方程；i t = k + v m m v 成立此即方 程( 2 1 ) 证明：将m 和y 代入尬= k + v m m v 中，直接计算，比较两端矩阵的每个 元素得t 4 u t = v 3 1 4 - ( 缸一a ) ( 地略一u 1 1 ) + s 均罐一甜z 崆i ， 仉= t 4 2 一十扣一a ) ( 移“一口2 2 ) + w v 4 3 8 v 1 2 ， 切t = 地2 p + 扣一a ) 翰4 - w ( v a 3 一 v 2 2 ) 一( u a ) v 1 2 s i = 7 ) 4 1 声+ ( t 一a ) 祝1 3 + s ( 蛳一 u 1 1 ) 一扣一a ) v 2 1 ， 将秽1 1 ，姐2 ， u 4 4 代入即得方程( 2 1 ) 证毕 设妒= ( 妒1 ，也，如，仉) t 是( 2 2 ) ( 2 3 ) 的一组解，则得； 矽1 。= 幽 咖。= 妒4 讥，z = ( u a ) 妒1 + 叫仍 咖，。= s 妒1 + 0 一a ) 也 ( 2 4 ) 妒1 ，t u z t p l仍+ ( 2 u + 枞) 如+ 2 w 讥 仍，t s x 妒1咖+ 2 s 妒3 + ( 2 v + 4 ) 以 怕，t = 【一乱一十2 ( u a ) ( 仳+ 2 a ) + 2 s 叫】妒1 + 【- 。+ 2 ( u + 口4 - a ) 加】也+ 仍+ 缸k 讥 妒4 ，= f 一岛z + 2 ( u + 移+ a ) 3 j 妒1 + 卜v x x + 2 ( v a ) 扣- 4 - 2 a ) + 2 s 钮j 锄+ 8 z 仍+ 妒4 ( 2 5 ) 借助于咖，t = 妒l ，武= 饥t 虹 妒4 ，t = 锄，n = 咖胁( 2 4 ) ( 2 5 ) 可化为： 也即： 。= ( 一z k s 2 ( 象) 。= ( “：a 甜二a ) ( 象) 刊州2 啦，= 一a + u 也= 一巩咖+ 2 u 以+ 4 a 以 5 2 w 2 ( v + 2 a 1m ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 其中，u = u ： ，妒= c 妒- ，化，t 设( 咖- ，庐2 ) t 和( 妒l ，如) 丁是当a = a o 时方程( 2 8 ) 和( 2 9 ) 的一组特解，令 另设 皿= ) ，e = - k o ：皿- 1 其中，驴= ( ：) ，西= c 妨，如严考虑规范变换妒一西 引理1 若u 和e 分别由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 所确定，则 e u u e = e z e e e 。 证明：从( 2 1 0 ) 直接计算得到：b = 一皿。皿1 + 虬皿一l i f , 。皿- l i 再利用( 2 8 ) 得 忍e e e = 霍。皿一1 皿。毋一l 一皿。i f , 一l 。皿一1 = ( 一a o 皿+ u 皿) 皿一1 皿。皿一1 一m 。皿一l ( 一a o 皿+ u v ) q , 一1 = u 皿z 皿一1 一皿。皿一1 u = e u u e 由( 2 8 ) ( 2 1 2 ) 得到： 姑= ( 以+ e ) 。 = ( - a o i + u + 2 b ) 丸+ ( 以+ e 。一a o i + e c ，) ， 另一方面，从( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 得到 无。= 一a o 西+ 驴 = ( 一a o i + 口) 九+ ( a o l + 0 ) e _ ( b ， 6 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) u = u + 2 e o e = u 。+ e 。+ e u 将( 2 1 6 ) 代入( 2 1 7 ) 并利用( 2 1 3 ) 积分得到 忍+ u = e 2 + a o i 其中，a o 是一个常数将e = 一虬皿- 1 代入( 2 1 8 ) 得 皿。= 一a o 雪+ u 皿 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 棚设皿= 芝卜固砌。= 知啪廿一褂且戡 西= b e + 九( 2 2 0 ) 其中，e = 一皿。皿一1 = e n 三：) 以及 面= “+ 2 e 1 1 。 哥= 口+ 2 ( 2 2 1 ) 面= w 十2 e 1 2 2 i = 3 + 2 e 2 1 2 则西满足( 2 8 ) 若特征值问题的规范变换能将该谱问题化为同一形式的另一个谱问题，则称其为特 征值问题的d a r b o u x 变换因此，式( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ：( 九u ，w ，s ，v ) 一( 西，面，面，i ，百) 通常称 为特征值问题( 2 8 ) d a r b o u x 的变换 7 得数系的西和以中 -、屿 o 1 互 1 o q (札 k 引 比 中其 f 面给出三个引理； 引理2 若e 由( 2 1 0 ) 确定，则 最：阮。+ u = e 一2 a o u 一2 u 2 + 4 a 3 j + e u = + 2 e u e + 4 3 o e 2 ， ( 2 2 2 ) 证明：利用( 2 8 ) ( 2 9 ) 得 e t= 一雪耐皿一1 + 皿? 皿一l 皿皿一1 = 一( 一以皿+ 2 移皿。+ 4 a o 皿。b 母一1 + 零。皿一1 ( 一皿+ 2 皿。+ 4 k 皿。) 皿一1 = 玩。一玩雪。量一l 一2 天o ，一2 矿2 + 4 a 3 j 一圣。皿一1 阮+ 2 0 。重一1 ，圣。雪一1 + 4 a o 母。霍一1 皿。m = u 之+ u = e 一2 ) , o u 一2 u 2 + 4 a 3 j + e u = + 2 e u e + 4 a o e z 引理3 若e 由( 2 1 0 ) 确定，则 磊= k j u + e 2 ， ( 2 2 3 ) e x x = u e e u + 2 e = e 一巩( 2 2 4 ) 证明t 利用( 2 8 ) 得 b= 一船皿一1 + 皿。一1 皿z 皿一1 = ( 一u + k d 一1 十酽 = a o i u + e 2 e x x = 一u 。+ e e 。+ e z e 再利用引理1 即得 引理4 若阢e 分别由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 确定，则 e 一一e 巩+ u , e 一4 e = u + 2 b 。e 一2 u 历一4 砭= 0 ( 2 2 5 ) 8 证明：将( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 代入( 2 2 5 ) 并利用( 2 2 3 ) 得； l h s = 一2 u e = 一4 e x u + 4 a 3 ，一2 a o u 一2 u 2 + 4 a o e 2 + 2 u e 2 + 4 e x e 2 4 鹾 = 一忍u + u 鼠一2 e 2 忍一e 2 u + u 铲+ 2 b 酽 = 一忍u + u e 一e 2 e 一e z ( a o ，+ e 2 ) + ，+ 酽) 胪+ e 俨 = 一b u + u 忍一e 2 忍+ 忍e 2 = 忍( e 2 一u ) + ( u 一铲) 忍 = b ( 殇一大o j ) 一( 忍一k ) 邑 定理3 设皿= ( 耋象) 是c z 和c 。功当a = k 时的一个基解矩阵，c 石忍面，豆面， 由式( 2 1 2 ) 和( 2 2 1 ) 确定，则西满足 磊= 一以西+ 2 0 无+ 4 a o 祝( 2 2 6 ) 鼽驴= ) - 证明：将( 2 2 1 ) 对t 求导并利用( 2 8 ) ( 2 9 ) 和( 2 2 2 ) 得； = 锄+ 岛+ e 也 ( 2 2 7 ) = ( 一巩妒4 - 2 c 厂也十4 a o 以k + 岛庐+ e ( 一以妒+ 2 u 也+ 4 a o 也) = 卜u 二+ ( 2 u + 4 a 0 1 ) ( - a o i + u ) + e t e 以】+ ( 以+ 2 e u 4 - 4 a o e ) 丸 = 一以( 如+ e 西) + ( 2 u 4 - 4 a o ，) ( 九4 - z 劲k = 一0 e 4 - ( 2 移+ 4 知以一k ，+ u ) + ( 2 0 4 - 4 a o ，) 忍1 庐4 - 【一以4 - ( 2 0 + 4 a 0 1 ) 明以 ( 2 2 8 ) 利用( 2 1 6 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 4 ) 易得 + ( 2 u + 4 知j ) ( 一a 。j + u ) + e t e 以( 2 2 9 、 = 一玩e4 - ( 2 6 4 - 4 a o j ) ( 一a o j4 - u ) 4 - ( 2 t ? 4 - 4 a o i ) e 。， 和 由( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 得； 以+ 2 e u + 4 a o e = 一玩+ ( 2 0 + 4 a o i ) e 五= 一吼西+ 2 0 衣+ 4 ) 、o 瓦 ( 2 3 0 ) 由定理2 和定理3 可以看到d a r b o u x 变换( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 将l a x 对( 2 8 ) ( 2 9 ) 映射为 相同形式的l a x 对( 2 1 1 ) ( 2 2 6 ) ，并且两个l a x 对都可以导出方程( 2 1 ) 因此，我们也称 变换( 妒，t l ，w ，8 ，秽) 一( 事，面，面，i ，口) 是方程( 2 1 ) 的d a r b o u x 变换( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 所确定的 ( 西，f i , 面，i ，哥) 是方程( 2 1 ) 的一个新解 综上所述，有以下定理成立； 定理4 设( ，口，叫，8 ) 是方程( 2 1 ) 的一个解，皿：i 如妒1l 是( 2 8 ) 和( 2 9 ) 当a ；知 i 咖2 如j 时的个基解矩阵，e 由( 2 1 0 ) 定义，则由达布变换( 2 2 1 ) ( 2 2 9 ) 所确定的( 面，面，5 ，口) 是 方程( 2 1 ) 的一个新解 1 0 三精确解 下面我们应用( 2 1 ) 的d a r b o u x 变换，给出方程的几个显式解，易见u = w = s = t ，= 0 是方程( 2 1 ) 的一个平凡解，将其代入l a x 对( 2 8 ) ( 2 9 ) ，并令a = a o ，则( 2 8 ) ( 2 9 ) 恢：象 ， 巨麓： 2 ， 当a o 0 时，令a o = k 2 ，可求得( 3 1 ) ( 3 2 ) 的两组解： 妒也1 ：= c 。洫0 8 a a ， 仍b l ：= 。s i 。n 。a a ， 其中a = k x + 4 k 3 t ，从而基解矩阵为： 皿= ( 乏芝) = c o s a 。s i n a a ) c s 3 ， e = 一皿z 母一1 = k t a n 2 a i 由疗= u + 2 e 得显式解： 面= 4 k 2s e e 2 2 a 面= - 4 k 2 t a n 2 a s e a 2 a i = - 4 k 2 t a n 2 as e a 2 a 0 = - 4 k 2 s e c 2 2 a 当a o 0 时，令一知= 岔2 ，也可求得( 3 1 ) ( 3 2 ) 的两组解此时分两种情况； 皿= ) ：e a 。i ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 、j a a 2 2 喜； 咖 后 一 一 面= 4 七2 s i n h 2 2 a 西= 一4 k 2 c o t h 2 a s i n h 2 a i = 一4 2 c o t h 2 a s i n h 2 a 毋= 4 k 2 s i n h 2 2 a 妒。1f ，e a _ e - a 、l 仍h 。“一j e = - k o = 皿- i ：一向f 协地a i 一1 c o s h 2 a 由口= u + 2 e x 得显式解： 露= 一4 k 2 c o s h 2 2 a 面= 4 k 2 t a n h 2 a c o s h 2 a i = 一4 k 2 t a n h 2 a c o s h 2 a 雷= 一4 k 2 c a s h 2 2 a 1 2 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 、l a们 姐 暑 mv 一以 们 蚴 = 善| v ，f一一 七一 = 皿 薛 蚺 勰 一 显 = 得 e 艮 + u = 一v 则 由 九如 ，一 = 皿 取 2 、- m a h 2 啷 劬t 附图tn = 一4 k 2 c 0 6 h 2 2 a 和面= 4 k 2 t a n h 2 a c o s h 2 a 的图像 1 3 参考文献 1 】m j a b l o w i t z ，p a c l a r k s o n ，s o l i t o n s ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n di n v e r s es c a t t e r i n g ，c a m b r d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 1 【2 】c h ，g u ，e t c ，s o l i t o nt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n ，z h e j i a n gp u b l i s h i n gh o u s eo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , h a n g z h o uc h i n a ，1 9 9 0 【3 】y s l i ，j e z h a n g ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n so fc l a s s i c a lb o n s s o n e s qs y s t e ma n d i t sn e ws o - l u t i o n s ， p h y s l e t t a 2 8 4 ( 2 0 0 1 ) ：2 5 3 - 2 4 8 4 1x b h u ，n o n l l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l a t ef o rt h ed i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ea n a l o g u eo f t h ek d v e q u a t i o na n dt w o - d i m e n s i o n a lt o d ae q u a t i o n ，j a ：m a t h g e n 2 7 ( 1 9 9 4 ) ：2 0 1 【5 1 5 v b m a t v e e va n dm a s a l l e ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sa n ds o l i t o n s ，s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 9 1 6 lz m l i u ，an e v v - m a t h e m a t i c a lf u n c t i o nc o n n e c t e dw i t hb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si nk i n n e t i e t r a n s p o r tt h e o r y , j m a t h p h y s 2 4 ( 1 9 8 3 ) ：1 4 【1 7 】w h e r e m a n ，m t a k a o k o a ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o no fn o n l i n e a re v o l u t i o na n dw a v ee q u a t i o n s u s i n gam e t h o da n dm a c s y m a ，j p h y s a 2 3 ( 1 9 9 0 ) ：4 8 0 5 【8 jp j o l v e r ，a p p l i c a t i o n so fl i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，v 0 1 1 0 7 ， s p r i n g e r ，n e wy o r k ，1 9 9 3 9 1g w b l u m a a ，s k u m e i ，s y m m e t r i e sa n dd i f f e r e n t i a la n de q u a t i o n s ，s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 8 9 f 1 0 c r o g e r s ，w k s c h i e f , b i i c k l u n da n dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sg e o m e t r ya n dm o d e ma p p l i - c a t i o n si ns o l i t o nt h e o r y , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，2 0 0 2 【1 1 】g d a r b o u x ，s u ru n ep r o p o s i t i o nr e l a t i v ea u xe q l _ m t i o n sl i n 6 a i r e r c r a c a d s c i ，p a r i s ( 1 8 8 2 ) 1 2 f c a l o g e r o ，a d e g a s p e r i s ，s p e c t r a lt r a n s f o r ma n ds o l i t o n s ，n o r t hh o l l a n dp u b l i s h i n g c o m p a n y , a m s t e r d a m ，1 9 8 2 1 3 】v e z a r k h r o v ，a b s h a b a t ，as c h e m ef o ri n t e g r a t i n gt h en o n l i n e a re q u a t i o n so fm a t h e m a t i c a l p h y s i c sb yt h em e t h o do ft h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ，f u n c t a n a l a p p l 8 ( 1 9 7 4 ) ：2 2 6 - 2 3 5 【1 4 jg n e u g e b a u e r ，r m e i n e l ，g e n e r a ln - s o l i t o ns o l u e i o n so ft h ea k n sc l a s so na r b i t r a r y b a c k g r o u n d ，p h y s l e t t a 1 0 0 ( 1 9 8 4 ) ：4 6 7 - 4 7 0 【l5 】g n e u g e b a u e r ，r m e i n e l ，e i n s t e i n - m a x w e l ls o l i t o n s ，j p h y s a ：m a t h g e n 1 6 ( 1 9 8 3 ) ：4 6 7 - 4 7 0 【1 6 g z t u ，an e wh i e r a r c h yo fi n t e g r a b l es y s t e n sa n di t sh a m i l t o n i a ns t r u c t u r e s ， s c i e n t i as i n i c a ，3 1 ：1 2 ( 1 9 8 8 ) ：2 8 - 3 9 【1 7 e d b e l o k o l o s ，a i b o b e n c o ，e t c ，a p p r o a c ht on o n l i n e a ri n t e g r a b l ee q u a t i o n s ，s p r i n g e r ， b e r l i n ，1 9 9 4 1 1 8 】e g f a n ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nf o rs o l i t o n - l i k es o l u t i o n sf o rt h eg e r d j i k o v - i v a n n o v e q u a t i o n ，j p h y s a ：m a t h g e n 3 3 ( 2 0 0 0 ) ：6 9 2 5 - 6 9 3 3 1 1 9 jj b c h e l a ，a l g e b r o - g e o m e t r i cs o l u t i o n st oah i e r a r c h yo f ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a la n dt w on e w ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o n s ，c h a o s o l i p r a c 1 9 ( 2 0 0 4 ) ：9 0 5 - 9 1 8 【2 0 1c h g u ，h s h u ，au n i f i e de x p l i c i tf o r mo fb g c l d u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o rg e n e r a l i z e dh i e r a r - c h i e so fk d v e q u a t i o n s ，l e f t m a t h p a y s 1 1 ( 1 9 8 6 ) ：3 2 5 【2 1 lc h g u ，u n i t o n so fh m u n o n i cm a p sf o r mr 2t ou ( p ，q ) ，l e t t m a t h p h y s 4 6 ( 1 9 9 8 ) ：3 4 7 j m a t 1 2 2 1j n c a o ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sf o rd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ep r i n c i p a lc h i r a le q u a t i o na n d i t s c o n t i n u o u sl i m i t s ，j m a t h p h y 8 2 0 0 0 ( 4 1 ) ：4 6 8 7 - 4 6 9 4 【2 3 】e g f a n ，i n t e g r a b l ee v o l u t i o ns y s t e m sb a s e do ng e r d j i k o v - i v a n n o ve q u a t i o n ，b i - h a m i l t o n i a n s t r u c t u r e ，f i n i t e d i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e m sa n dn f o l dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ， j m a t h p l a y s 2 0 0 0 ( 4 1 ) ：7 7 6 9 2 4 c w c a o ，x g g e n g ，h y w a n g ，a l g e b r a - g e o m e t r i cs o l u t i o no ft h e2 + 1d i m e n s i o n a lb u r g e r s e q u a t i o nw i t had i s c r e t ev a r i a b l e ，j m a t h p h y s 4 3 ：1 ( 2 0 0 2 ) ：6 2 1 6 4 3 i 2 5 n j z a b n s k ya n dm d k m s k a l ，i n t e r a c t i o no fs o l i t o n si nac o l l i s i o n l e s sp l a s m aa n dt h er e c u r - f e n c eo fi n i t i a ls t a t e s ，p h y s r e v l e t t 1 5 ( 1 9 6 5 ) ：2 4 0 - 2 4 3 【2 6 】c s g a r d n e r ，j m ，g r e e n e ，m d k r u s k a la n dr m m i u r a ，m e t h o df o rs o l v i n gt h ek d v e q u a t i o n ，p h y s r e v l e t t 1 9 ( 1 9 6 7 ) ：1 0 9 5 - 1 0 9 7 【2 _ 7 1p d l a x ，i n t e g r a l so fn o n l i n e a re q u a t i o n so fe v o l u t i o na n ds o l i t a r yw a v e s ，c o m m u n p u r e a p p l m a t h 2 1 ( 1 9 6 8 ) ：4 6 7 - 4 9 0 【2 8 1m j a b l o w i t z ，d j k a u p ，a c n e w e l la n dh s e g u r ，t h ei n v e r s es c r a t t e r i n gt r a n s f o r mf o u r i e r a n a l y s i sf o rn o n l i n e a rp r o b l e m s ，s t u d a p p l m a t h 5 3 ( 1 9 7 4 ) ：2 4 9 - 3 1 5 【2 9 】m l w a n ga n dy m w a n g ，an e wb 螽d d u dt r a n s f o r m a t i o na n dm u l t i - s o l u