（课程与教学论专业论文）关于分式递推数列的若干研究.pdf

3 2 1 正切和角展开式型3 0 3 2 2 正余切倍角展开式型3 2 3 2 3 其它倍角展开式应用举例3 5 3 3 具有双曲函数倍( 和) 角展开式特征的m 次分式递推数列3 8 3 3 1 双曲正切和角展开式型4 l 3 3 2 双曲正余切倍角展开式型4 2 3 3 3 其它双曲倍角展开式应用举例4 4 4 常系数高阶高次分式递推数列4 6 4 1 可化为常系数k 阶线性连和型的分式递推数列- 4 7 4 1 1 常系数k 阶线性连和i 型4 7 4 1 2 常系数k 阶线性连和i i 型4 9 4 2 可化为常系数k 阶线性连积型的分式递推数列5 l 4 2 1 常系数二阶线性连积型5 1 4 2 2 常系数k 阶线性连积型5 3 4 3 可化为常系数k 阶线性幂积型的分式递推数列5 5 4 3 1 常系数二阶线性幂积型5 6 4 3 2 常系数k 阶线性幂积型5 7 4 3 3 可化为幂积型的分式递推数列的求解5 8 4 4 常系数高阶高次分式递推数列应用举例6 0 5 总结与展望6 4 参考文献6 5 致谢 6 7 关于分式递推数列的若干研究 专业名称：课程与教学论申请者姓名：石岩 摘要 f 删 y 1 。7 - | | , 6 1 | h i l 7 i l l l l 9 ；1 l l i 5 i j i i i r 1 2 j i i i i 导师姓名：吴康 本文对分式递推数列进行了若干研究，主要成果有： 1 找到了连和型、连积型、幂积型三类可求解的任意高阶高次分式递推数列。 提出了一些解法上的思路和猜想，而且编拟了相关的题目 2 提供了三类可求解的常系数一阶高次分式递推数列及其解法，并通过新定 义的“类三角函数”和“类双曲函数 对初始值及相关系数是复数的情形给出了 解决方法 3 系统总结了常系数一阶线性分式递推数列的通项公式及其主要性质( 有穷 数列与无穷数列、周期性、单调性、极限性质) ，并在单调性和极限性质方面提出 了新的见解 本文的研究成果丰富了分式递推数列的理论内容，为编拟分式递推数列的相 关题目提供了依据与参考，也为进一步研究分式递推数列提供了一些新的思路与 方向 关键词：分式递推数列：高阶高次分式递推数列：等幂比：连和型；连积型：幂积型 a b s t r a c t s t u dle s0 ff r a c tlo n a lr e c u r siv es e q u e n c e m a j o r ：t h et h e o r yo fc u r r i c u l u ma n dt e a c h i n g , n a m e ：y a ns h i ， s u p e r v i s o r ：k a n gw u i nt h i sp a p e rt h er e s e a r c hf o c u s e so nt h em a t t e ro ff r a c t i o n a lr e c u r s i v es e q u e n c e ， t h em a i nr e s u l t sa r e ： 1 弛do u tt h r e et y p e so fa r b i t r a r yh i 曲- o r d e rh i g h e r - d e g r e ef r a c t i o nr e c u r s i v e s e q u e n c eo fc o n n e c t e d - s u m ，c o n n e c t e d - p r o d u c t , p o w e r - p r o d u c t p u tf o r w a r ds o m e i d e a sa n ds u p p o s e sa b o u ts o l u t i o n i na d d i t i o n ，r e l e v a n te x a m p l e sg i v eb yt h e m 2 p r o v i d e st h r e ek i n d so ft h ec o n s t a n tc o e f f i c i e n tf i r s t - o r d e rh i g h e r - d e g r e e f r a c t i o n a lr e c u r s i v es e q u e n c et h a tc a nb es o l v e d m o r e o v e r , g i v et h es o l u t i o nt ot h e c a s eo ft h a tt h ei n i t i a lv a l u ea n dt h ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n ti sc o m p l e xn u m b e rt h r o u g h n e wd e f i n i t i o n so f ”s i m i l a rt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n ”a n d ”s i m i l a rh y p e r b o l i c f u n c t i o n ” 3 s y s t e m a t i c a l l ys u m m a r i z e dt h eg e n e r a lt e r ma n dr e l a t e dp r o p e r t i e s o f f i r s t - o r d e rl i n e a rf r a c t i o n a lr e c u r s i v es e q u e n c ew i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s ( s u c ha s f i n i t es e q u e n c ea n di n f i n i t es e q u e n c e ，p e r i o d i c i t y , m o n o t o n i c i t ya n dl i m i t ) m o r e o v e r , n e wr e s e a r c hr e s u l t sa b o u tm o n o t o n i c i t ya n dl i m i ta r ep u tf o r w a r d t h i sr e s e a r c hr e s u l t se n r i c ht h et h e o r yo ff r a c t i o n a lr e c u r s i v es e q u e n c ea n d p r o v i d et h e o r e t i c a lb a s i sf o rs e t t i n gq u e s t i o n sa b o u tf r a c t i o n a lr e c u r s i v es e q u e n c e ， g i v m gs o m en e wi d e a sa n dd i r e c t i o nf o rt h ef u r t h e rs t u d yo ff r a c t i o n a lr e c u r s i v e s e q u e n c e k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lr e c u r s i v es e q u e n c e ；h i g l l e r - o r d e rh i g h e r - d e g r e ef r a c t i o n a l r e c u r s i v e s e q u e n c e ；e q u a lp o w e r - r a t i o ； c o n n e c t e d - s u m ；c o n n e c t e d - p r o d u c t ； p o w e r - p r o d u c t 。， l i 关于分式递推数列的若干研究 1 1 前言 1 绪论 数列，是重要的数学知识传统的等差、等比数列是初等数学中的核心内容之 一从无穷数列到数列极限，再到函数极限，从数列求和到数项级数，再到数列的 生成函数，这些都说明了数列是连接离散与连续的纽带，沟通初等与高等的桥梁 递推关系作为确定数列的一种重要方式，一直受到人们的关注如何通过数列的 前几项及递推关系求出通项公式，成为大家热衷讨论的课题递推数列问题 如今，对于常系数线性齐次和若干非齐次递推数列的通项公式，已经有了一般的 求解方法，而对于其它类型的递推数列，由于种类繁多，人们暂时都只是研究它 们中的一些特殊类型脚 笔者对分式递推数列非常感兴趣，查阅此类递推数列的相关文献，发现对于 常系数一阶线性分式递推数列的通项公式及其性质已有很多研究成果d 儿劓，而对 高阶高次分式递推数列的研究，还没有形成系统的理论从研究方法上看，主要是 将其转化为等差、等比数列或常系数高阶线性齐次递推数列等已有方法求解的数 列不过，可求解的类型特征不够明显，种类也并不多，内容是有待充实的 那么，什么类型的分式递推数列是可求解的? 如何求解? 求解出的分式递推数 列有什么性质? 如何运用这些性质来解决问题? 这一系列的问题是非常值得思考 和研究的带着这些问题，笔者对分式递推数列进行若干研究本文的主要工作是 对常系数一阶线性分式递推数列已有的研究成果进行归纳总结，并提出了新的见 解：同时，找到了可求解的一阶高次、高阶高次分式递推数列的若干类型以及相应 的解法本文的这些成果丰富了分式递推数列的理论内容，为编拟分式递推数列 的相关题目提供了依据与参考，也为进一步研究分式递推数列提供了一些新的思 路和方向 1 2 符号约定 c复数集 r实数集 r虚数集 n 非负整数集 z整数集 z +正整数集 z ，- o ，1 ，4p n ) ) 柑 定义域为，的数列 ) 届。 定义域为z ，的数列 a n r , e n 定义域为n 的数列 苤三坌壅望燕墼型箜董王堡壅 。 一 1 3 基本概念 本文分别用c ，r ，武，n ，z ，z + 表示复数集，实数集，虚数集，非负整数集，整数 集，正整数集 以下的定义是笔者参考相关文献，重新整理归纳，再加以定义的 定义1 1 嘲按照一定次序排成的一列数，称为数列 ， 数列是一类特殊的函数，其定义域用，表示，则，有如下四种形式： ( 1 ) ，- t i ，f + 扣，以g 墨f ，i ，f z ) ： ( 2 ) j - i ，f + 1 ，) a z ) ： ( 3 ) ，一 ，i 一1 ，f ) o z ) ： ( 4 ) ，一z 本文只研究前两种形式，而且是f 0 时的情况，即，- 1 0 , 1 ，f 】o n ) 和 ，一n 约定：z ，f f i o , 1 , ，f ) o n ) 当，；z ，时，数列称为有穷数列( 或有限数列) ，可以写成口。，a 1 ，口2 ，q ，简记 为k ) 届 当，；n 时，数列称为无穷数列( 或无限数列) ，可以写成口。，q ，口2 ，口 ，简 记为k ) 蒯 定义1 2 瞪1 数列中的每一个数，称为数列的项第一个数称为首项，口。称为 通项在本文中a o 为首项，a n n ) 为第以+ 1 项，刀称为标数，定义域即为标数的 集合 定义1 3 伽若数列 】柑从第七+ 1 项起，每一项都满足关系式 口。：f ( a n _ l , 口础，口) o2 七，l j ，足z + ) ， ( 1 1 ) 则称( 1 1 ) 式为数列 吒) 柑所满足的一个七阶递推关系式，其中，瓴，屯，以) 为 定义在d p c ) 上的七元函数，尼称为阶数，a o , 口。，口：，一，称为初始值 2 关于分式递推数列的若干研究 定义1 4 鲫 已知定义在d ( d c ) 上的七元函数厂“，屯，毛) 和七个常数 口o ，a 1 ，口2 ，a t - 1 d ，ke z + ， 从n - k 开始，由递推关系式 巳i ( a “，q - 2 ，吒。砌七，ne l ，ke z + ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 按照顺序依次计算出a k ，a m ，直到存在某一正整数f p 苫七一1 ) ，使得a t d ，但 口l n 硭d ，则称 口。) ，峨是由( 1 2 ) 和( 1 3 ) 生成的数列，其定义域为，一z 。：否则，对 任意的正整数万。苫七) ，e d ，则称 口。) 例是由( 1 2 ) 和( 1 3 ) 生成的数列，其定 义域为，一n 定义1 5 鲫 由初始值( 1 2 ) 和递推关系式( 1 3 ) 生成的数列 口。】榴，称为七 阶递推数列 约定：本文中出现的所有口。与a n - 1 ，a n 彬，口。之间的递推关系式，都满足条 件“玎苫七，咒，七z + ，后文将不再标记其中数列 口。) 村的定义域，是由初始 值和递推关系式决定的 说明：有时递推关系式以隐函数的形式给出，即a 。与a 。d ，吒- 2 ，吒。之间的 关系由一个方程 妒0 。，a 。_ 1 ，口。一2 ，a 。一七) 一0 ( 1 4 ) 给出，其中9 为复数域c 上的k + 1 元函数由( 1 4 ) 式确定了a 。是a 。d ，吼- 2 ，a 。t 的函数1 本文只研究可化为显函数形式的递推关系 定义1 6 m 若在数列 吼) 柑中，通项与标数，l 具有如下的函数关系 a 。一g ) 0 ，) ， ( 1 5 ) 其中g ) 为复数域c 上的一元函数，则( 1 5 ) 式称为数列 口。) 的通项公式，函数 9 0 ) 称为该数列的对应函数 定义1 7 称由a o , a 1 ，a 2 , - - , a “( ks z + ) 及递推关系式 吒= 畿删 m6 ， 3 关于分式递推数列的若干研究 生成的数列 ) 楫为k 阶m 次分式递推数列，其中f 瓴，屯，政) 和 g “，屯，五) 都是关于t ，吒，的复系数七元多项式，f 的次数a ( f ) - 0 ，g 的次数a ( g ) 苫1 ，且f 与g 的最大公因式为1 ，m a x a ( f ) ，a ( g ) ) 一所 说明：f 不可能为零多项式，否则就与“f 与g 的最大公因式为1 一矛盾 4 关于分式递推数列的若干研究 2 常系数一阶线性分式递推数列 在分式递推数列中，最简单最基本的一类就是常系数一阶线性分式递推数列 在其通项公式和主要性质( 有穷数列与无穷数列、周期性、单调性、极限等) 方面 已经有了很多成果，本节将对这些成果进行归纳总结，并在判断此类数列的单调 性和求极限方法方面有了一些新的成果 定义2 1 跚旧称由及递推关系式 4 。；业 ( 2 1 )吼。上l z 1 j 生成的数列 ) 柑为常系数一阶线性分式递推数列，其中系数和初始值满足 ( 条件s ) p ，鼋，s 为复常数，且p o ，i ，s i o ，一旦 ( 2 2 ) 妒g ip 约定：后文中出现的矩阵( 二三) 都用膨来表示：出现( 2 1 ) 式时，在无特殊 说明的情况下，其系数及初始值总满足条件s 定义2 2 3 埘称方程 工；旦竺 ( 2 3 )工一 i z j j 肛+ 留 为( 2 1 ) 式的特征方程，其根称为( 2 1 ) 式的特征根( 或不动点) 说明：化简( 2 3 ) 式得 p x 2 + 国一r ) x s 一0 ，( 2 4 ) ( 2 4 ) 式与( 2 3 ) 式等价，即也满足z 乒一旦否则，对于( 2 4 ) 式，当z ；一旦时，由 pp p ( 一争2 + 一，) ( 一号) 一j o 得矿一p s ，所以阻i 。0 ，与阻i o 矛盾因此，( 2 4 ) p口 式也可称为( 2 1 ) 式的特征方程 2 1 通项公式 5 关于分式递推数列的若干研究 求数列通项公式的方法有很多种，如：特征根方法、矩阵方法、生成函数法、 迭代法、累加法、累乘法本节主要论述了前两种方法，用于求解常系数一阶 线性分式递推数列的通项公式，是后面研究高阶高次分式递推数列的基础 2 1 1 特征根方法( 不动点方法) 定理2 1 啪 设 口。 n e l 是由a o 及( 2 1 ) 式生成的数列，( 2 1 ) 式的特征根为 口，则 ( 1 ) 当口o = a 或j o 时，数列 吒) 矧为常数列： ( 2 ) 当a o ，| 口，时， 若 咄l j 数列 焉 腊蛾孔龇r - p 万a 擞呻七黼项 公式为 口；竺亟二壁! 尘二旦壁= 壁鱼垒二竺! 立二翌竺! ：伽e 1 ) ( 2 5 ) q 2 1 再f 1 ) ( r - p p ) 汇 瓦i 丽- 一p a ) “叩 怕驯 8 ( 口。一 一0 。一口) ( 厂 、 若口峨则数列 去卜等差飙斧差为焉，数列 t ) 柑的通项公 式为 ”翥揣旧) ( 2 6 ) 2 1 2 矩阵方法 运用矩阵的特征值理论及相似矩阵的方法也可以求常系数一阶线性分式递 推数列的通项公式 定义2 3 忉嗍称m 为( 2 1 ) 式的系数矩阵，记m “= ( 三耋) - 引理2 2 】【9 1 设凡，九是矩阵m2 ( 二三) 的两个特征值，即为陋e m i 曩。 的两个根，其中e 为二阶单位矩阵， 6 关于分式递推数列的若干研究 c 1 ，若 ，t 如，则m 4 _ r ( 0 ) r ，其中z2 ( 1 二r 如p - q ) ： ( 2 ) 若 i 九_ a ，贝u m - a i + n a 批，其中嵋。( a 口二) 评注：对于特殊的二阶矩阵( 二了) 的一次幂的计算，文 7 中还介绍了利用 三角函数换元法( 令s i n o - 去，c o s o 。去) 将口一。r a n _ 1 - $ 变形为 ，2 + s 2，2 + s 2 4 s q - l + ， ”丽(coso)a_1-sin0,由dem o i v r e 理知( ：；= 口y ；( = = 口) 定理2 2 口删 由口。及( 2 1 ) 式生成的数列 口) 危的通项公式为 其中仨州p q 广 见吼7 ， 口。；盟o ，) ， p o + q 。 ( 2 7 ) 评注：( 2 5 ) ，( 2 6 ) 和( 2 7 ) 式中数列的定义域，一n 还是，一z ，? a p 所生成的 数列是无穷数列还是有穷数列? 如果是有穷数列，总共有多少项? 这些都是由递推 关系式( 2 1 ) 及初始值a o 决定的关于常系数一阶线性分式递推数列的定义域， 的具体确定方法，将会在2 2 1 节中得到解答 例2 1 己知口。2 吾及。j 2 a 历, _ 1 - 1 ，求数列 ) 粗的通项公式 解法一：特征根方法 虮2 而2 x - 1 她吐铲- _ ，1 黼触2 阿得嚣。嚣叫故 ( 1 n 。等。删 2 i 巧百剁， 解法二：钷阵方法 7 关于分式递推数列的若干研究 m 。( 三；) 的特征值为 1 ，九_ 4 ，根据引理2 2 ，取r 一( 二：三) ，则 z - 吾( 1 2 二：) ，故m i z ( ：q 1 1 2 + 4 r 1 1 十- - 二4 a 斗n ) 根据定理2 2 得 吒- 卷嚣舞一筹52 删 4 ( 2 2 矿) 口o + ( 1 + 2 矿) 一2 一1 、 7 评注：比较两种方法，解法一相对容易一些观察通项公式可知，对任意的 万n ，分母都不为零，故该数列的定义域为n 例2 2 已知4 。一i 5 及吒。塑丛，求数列 ) 眉的通项公式 o - a - l 解法一：特征根方法 由z 。塑得毛屯一1 ，根据定理2 1 可得_ 1 ；匕一疗故 - - x a n + 1a o + 1 a 。霉o z ，) 。_ 川幺5 j o 一万 解法二：矩阵方法 m 。( 三驴特征值为 一九_ 1 根删理2 2 ，取鸩；( - 1 1 卦则 m 一。，+ ，崛，m a ；f 厅+ 1 刀1 根据定理2 2 得 i 力1 一露 一；( n + 而1 ) a o + nt 石n - 5 oe z 5 ) 评注：比较两种方法，解法一相对容易一些观察通项公式可知，使得分母为 零的最小的非负正整数是6 。故该数列的定义域为z 。 2 2 主要性质 要研究数列的周期性、单调性、极限等性质，需要确定该数列的项数，因此， 本节的首要任务就是确定该数列是有穷数列还是无穷数列 2 2 1 有穷数列与无穷数列 关于分式递推数列的若干研究 1 9 8 7 ，文 1 0 中曾举反例说明满足递推关系式吒。竺越的无穷数列不 p “ - 1 十q 一定存在；1 9 8 8 年，文 1 1 中给出了满足上述递推关系式的无穷数列存在的充要 条件，同时，也找到了确定有穷数列项数的方法但是其中涉及到的特征方程与本 文定义有所不同，容易让人误解，故本文将其结论稍做修改，得到了定理2 3 和推 论2 3 说明：由定义1 1 可知，当，一n 时， a n ) 横是无穷数列：5 1 一z ，时， a n ) 村是 项数为t + 1 的有穷数列 定理2 3 m 设 ) 柑是由a o 及( 2 1 ) 式生成的数列，( 2 1 ) 式的特征根为 a ，e 。 ( 1 ) 若a o a 或声，贝uj n ： ( 2 ) 若a o 一口，则 当a 。卢时，j 。n 营j 攀甓树： p ( a 。a o ) 当口一声时，i ，n 静方程( 璺￥野。鱼罢的解z 譬n p p + ga o 一 推论2 3 n 订 设 ) 柑是由a o 及( 2 1 ) 式生成的数列，( 2 1 ) 式的特征根为 口，卢，若 ) 眉为有穷数列，贝, l j a o 一口，且 ( 1 ) 当a = p ，黑一，霉。，时，数列 吒) 柑共有项 p i 口一a o ) 。 一 ( 2 ) 当口卢，方程掣y 。鱼罢有最非负整数解n o 时，数列共有项 、p + q a a 一 、 评注：除了文 1 1 中给出的判断方法，笔者发现其实运用定理2 1 所得到的 通项公式可以直接讨论这个问题，所得结论如下： ( 1 ) 若a 。= 口或卢，则，= n ( 2 ) 若a o 口，则 当a - - 矾卜焘端帆 9一 t ， 关于分式递推数列的若干研究 当口一小，一n 营方程镑一篇t p pq ) ( a o 的解z 斜r p p 一 一a ) 这个结论与定理2 3 相比，虽然形式复杂一些，但本质是一样的，而且在求出 通项公式后，更容易判断该数列是有穷数列还是无穷数列，如例2 1 和例2 2 2 2 2 周期性 约定：本文中的周期都是指最小正周期“，一周期 表示周期为厂本小节中 的数列满足定理2 3 的条件，即为无穷数列 定理2 4 1 2 】【l 幻 设 ) 矧是由口。及2 瓦r a ；：二n _ 1 鬲+ $ ( a o , p , q , r , s r ) 生成的无 穷数列，其特征方程p x 2 + 国- r ) x - - $ 一0 的两个根为口，卢，判别式为a ，则 ( 1 ) a n ) ，剜是卜周期数列兮露。一口或多 ( 2 ) 若a o 一口，则 当a o 时， 口。) 矧是周期数列营r + q ；o j 此时，周期为2 ： 当。时， ) 舒是周期数列营砥，| r - 一p p 卢a ) 一芋，其中k , t e z + 且 ，r ) 一1 ，七 t ，a r g 表示辐角此时，周期为z ： 当。o 时， ) 感不是周期数列 评注：由定理2 1 通项公式的求法可知， a n ) 心为周期数列的充要条件是递 推关系式转化为等比数列或等差数列的形式后，公比为1 或公差为0 由此即可证 得定理2 4 定理2 5 1 4 1 警 ) ，d 是由口。及吒2 i r a i n _ 1 鬲+ s ( a o , p , q , r , s c ) 生成的无穷 数列，则 ( 1 ) 吒) 矧是卜周期数列营口。而r a o + s 式递推数列的若干研究 是周期数列营存在k ，t e z + ，且 ，z ) 一1 七 r ， 期为r e ha 。及。竺量芸( ，p ，g ，j c ) 生成的无 p a 1 + g ( 1 ) ) 翩是2 一周期数列静，+ 日一o ： ( 2 ) ) 矧是3 一周期数列静( ，+ 留) 2 = r q - s p ，i ( 3 ) 吼) 感是4 一周期数列营( ，+ 口) 2 - 2 ( r q - s p ) ： ( 4 ) a n ) 矧是6 一周期数列兮( ，+ g ) 2 = 3 ( r q - s p ) ： ( 5 ) 当( 厂+ q ) 2 = k ( r q s p ) ，七c 但七芒【0 ，4 ) 时， 口。) 矧不是周期数列 推论2 5 2 嗍设 ) ，鼎是由口。及吒。i r a ；：= _ t 鬲+ s ( a o , p , q , r , s r 之生成的无 穷数列，若口。一! ! 畦三，+ q , , o - 臣i n l o 且( p 一螈 0 ( o ) ，则数列 口。) 柑递增( 递减) ： 若 o ( 0 跏嘲御袖偶数时，考察函龅鼢等刚有 0 ) ，故 减) “蜘帮 ( 2 8 ) 由司知，当( 一一嘁 0 ( o ( 0 ) ，故 _ ) ，一g 。7 0 ) 在【o ，+ ) 上单调递增( 递减) ，由引理2 6 知，数到 a 2 m ) 递增( 递减) 孙嘲“，臣p 刀为奇数时， 考察函数删i 搿，贝i j 有 椭= 眷等产，驰8 ) 式对比可知，鄂一肾0 ( o 且 一嘁 0 ( o ) ，则数列 吒) 柑递增( 递减) ： 若 o ( 0 ( 0 ) ，故) ，- g ) 在【o ，+ ) 上单调递增( 递减) ， 由引理2 6 知，数列 吒) 村递增( 递减) 引理2 7 实函数g o ) 一尝兰p ，留，s r ) ，当i m 0 时，函数g ) 在 口+ 口 一 ( 一里，+ ) 上单调递增 p 证明因为g o ) 。! 竺旦。三一j 芝二旦 _ ，由反比例函数性质可知，当 + 口p p 2 + 马 p q r p s or i i m o 时，函数g o ) 在( 一里，+ ) 上单调递增 定理2 7 n 町 设 吒) 屉是由口0 及口一。瓦r a n q 以+ + s 留( a o , p , q , r , s r ) 生成的数 列口，声为其特征根，且? 卢，若 吼) 柑的递推函数，o ) 4 三薏在够，+ ) i z u ： 调递增，在( 卢，口) 上， 工，在 ，+ ) 上，o ) z ，则 ( 1 ) 当 a 0 口时，数列 槲递减 证明 ( 1 ) 当声 口。由于，o ) 在 ( 卢，+ ) 上单调递增，所以口。一f ( a 。) 厂 ) 一口，即卢 口。 口。 口重复上述过程 可得 口o 口t 口z 吒 口时，由已知得，0 0 ) 口o ，即口。 厂 ) ；口，即口 a 1 4 。重复上述过程可得口 口z z ：在( 4 ，+ ) 上，满足厂o ) 工根据定理2 7 ，当- 2 口。一一1 0 若lzl l ，贝j j0 , u a 1 ，进而。h m 。一0 ，所以。l i m 。42m ( c o s n o + i s i n n o ) io 故，一l i m a n - l i m 等吣 若i 肿i 1删胪1，进而嬲专。，所以舰寺。一h(cosno+isinno)2。 故，。l i m 。口。一。l i m 。旦篡三 孚一声- 若i i ；1 ，则段一1 ，进而一气：器娄篙篙，易知数列 吼) 。d 为周 期数列( 周期不等于1 ) ，故数列 ) ，蹦不存在极限 当口。一口时，巳z a ，数列 ) 蒯为常数列，故。l i m 。吒一口 当口o - p 时，a n 一声，数列 ) ，剜为常数列，i 故。l i m 。一卢 f 口， i 肛l l e a o # 1 , i 故。l i m 2 3 。口一；一三2 厂一p 一( 一2 _ ) r 一土) “。 1 7 关于分式递推数列的若干研究 3 常系数一阶高次分式递推数列 定义3 1 【2 妇 已知口0 及递推关系式一言舞专，则称数列 ) 柑为常系数一 阶m 次分式递推数列，其中f o ) 。荟q x ，g o ) 。荟喀z 一，q ，或c ，z m ， m e z + ，c o ，d o 不同时为零，且f o ) ，g o ) 的最大公因式为l ，o ( a 。) 乒0 约定：本节中出现的递推关系式都满足定义3 1 中的条件 在第二章中已经研究过常系数一阶线性( ? i 一1 ) 分式递推数列，相比之下，一 般的一阶高次( 所苫2 ) 分式递推数列的通项公式很可能是没有通法解决的那么， 哪些类型的一阶高次分式递推数列的通项公式是可求解的? 如何求解? 这就是本 节所要研究的内容 从数学高考嘲、数学竞赛烈3 以及相关的一些文章翻嘲嘲嘲中发现，主要 有两种：一类是可化为一阶等幂比型的分式递推数列：另一类就是具有三角函数 倍( 和) 角展开式特征的分式递推数列笔者发现双曲函数与三角函数关系密切， 也有类似的“倍角展开式，于是又找到了一类高次分式递推数列通项公式的解 法同时，考虑到三角函数与双曲函数的定义域和值域都在实数范围内的限制，本 文中还采用了另外两种与三角函数和双曲函数定义类似的函数“类三角函 数，“类双曲函数对递推关系式进行换元，使研究范围推广到了复数域 3 1 可化为常系数一阶m 次等幂比型的分式递推数列 定义3 2 由4 及递推关系式4 = a 雒。q c ，m e z + ) 生成的数列 4 ) 槲 称为常系数一阶m 次等幂比数列 定理3 1 已知 4 ) 矧为常系数一阶历次等幂比数列， ( 1 ) 当所一1 时， 4 ) 。甙即为等比数列，故数列 4 i ) 蒯的通项公式为 4 l ：j 等加1 ，) ( 3 1 3 ) 4 l 一 1 一a ”似三n ) ( 1 ) h ，a 暑1 ( 2 ) 当朋芑2 时，数列 4 1 ) 。d 的通项公式为 1 8 的两个不相等的根，其中a ，b 是所给递推关系式中的系数 3 1 1 常系数一阶二次等幂比型 类型一：一筹辛4 一引其中4 - 糟) ( 3 2 ) 一- i a 丽o 。 一4 b 乒0 ) 定理3 2 嘲设口，是方程z 2 一a x + b 一0 ( a 2 4 b o ) 的两个不等的根， 气) 柑是由口。及q 一乏2 ：- j b 生成的数列，则数列 ) 柑的通项公式为 吒- 鲁筹老等( i v 槲， 组3 ， 类型二碱皇等辛4 - 等圯( 其中4i 焉加 定理3 3 设口，是方程z 2 一a x + b = 0 0 2 4 b 一0 ) 的两个不等的根， 吒) 柑是由及q 一( a 墅_ i 塾- 吐a ) 二2 - 尘b 生成的数列，则数列 ) 柑的通项公式为 口。一!雩；兽箬专；笔筹av一?，咒j， c 3 4 ， ”“ 卢_ l ( 口。一) 一口- 1 ( 口。一口) v 一。，j 。1 “ 、“纠 类型三：t 葺锗辛4 i 罨心( 其中4l 万a a ” - 1 1 ) 1 9 关于分式递推数列的若干研究 定理3 4 洲设口，是方程工2 一a x + b o ( a 2 一档乒o ) 的两个不等的根， ) 柑是由口。及一锗生成的数列，则数列 ) 柑的通项公式为 吒一篆焉等呓槲， 组5 ， 类型四：一j 百j 溉2专4 l 一砟。( 其中4 一i 兰刍i ) 定理3 5 嘲 设 吒) 柑是由口。及一面f j 生成的数列，则数 y l j a 。) 君的通项公式为 铲万瓦知( 以矧) ( 3 6 ) 3 1 2 常系数一阶三次等幂比型 类型一一番筹净4 一瓴( 其中小纠a n - a ) 定理3 6 嘲设口，夕是方程工2 一a x + b 一0 ( a 2 4 b o ) 的两个不等的根， 吼)柑是由口。及吼一五耋3j-汤3b丽a1+ba 似2 一佃乒0 ) 生成的数列，则数列 ) 柑的通项公式为 口。一旦兰三_：喜；筹avy，以j， c 3 7 ， 类型二：吒一石- b = ( 3 = a , 2 _ 万l - 【a 夏a 瓦_ , + j a 忑2 - 石b ) 辛4 i = 心。 淇中4 l 。焉a _ 。一p p 2 0 关于分式递推数列的若干研究 定理3 7 设口，是方程工2 一d x + b o ( a 2 4 b o ) 的两个不等的根， ) 旧是由口。及吒一丢誓譬毛丢端生成的数列，则数列 ) 榴的通项 公式为 n - 1n - 1 吒。鼍- - 华虹堕拿d 鲣望( y ，刀酬 ( 3 8 ) 2 ( 口。一) - a2 ( 口。一口) 类韭”等舞静- 3 b a 三号4 l 一包( 其中4 l 一器) “彻口二l + 1 ” ”1 、一。“声口。一1 。 定理3 8 嘲设口，是方程z 2 一a x + b - 0 ( a 2 4 b 0 ) 的两个不等的根， ) 眉是由口。及巳s 丝 差差 主挚生成的数列，则数列 吒) 柑的通 项公式为 口。一：麦丢芝三；等av一3p，以， c 3 9 ， 类型四：q 一孑丽= 概专4 一稚。( 其中4 一百兰刍i ) 定理3 9 嘲 设 ) 柑是由口0 及一彳丽= 生成的数列，则数 列 ) 槲的通项公式为 ”万f ( 哦珂钏 ( 3 1 。) 3 1 3 常系数一阶m 次等幂比型 本小节将讨论可化为常系数一阶m 2 次等幂比型的分式递推数列，它包括 了3 1 1 3 1 2 节的m 一2 和m ；3 的情况 定义3 3 称n ，) 一声”一口” ，声c ，刀n ) 为关于口，卢的刀级幂差函数： 2 1 关于分式递推数列的若干研究 关于分式递推数列的若干研究 毗一焉a 等( 羚。，化简得 q - 酱城中4 l a 害鹤a 0 - 推论3 1 0 设口，声是方程工2 一a x + b 一0 似2 4 b 一0 ) 的两个不等的根， ( 1 ) 若 吒) 柑是由口。及 口 一砭耋4 瓦_ 6 i b a 2 砑1 + 矛4 a j b a , , 证- 1i b ( a 硒2 -