（机械电子工程专业论文）渐进结构优化方法及其在回转体拓扑优化中的应用研究.pdf

中文摘要 摘要 科学技术的不断发展对结构的力学性能和经济性提出了越来越高的要求，从 而促进设计方法的研究和迅速发展。结构最优化设计正是这样一个迅速发展的设 计领域。结构优化方法使得设计人员可进行主动、创造性的设计，而结构拓扑优 化则是后续的形状、尺寸优化设计的基础。 飞轮等回转体作为一类重要的机械零件结构类型，其拓扑形式不仅影响着这 类物体力学性能，同时影响如飞轮转动惯量等工作性能。本文采用渐进结构优化 方法( e s o ) 对含有刚度、转动惯量、体积要求等信息的回转体进行拓扑优化研究。 本文推导了离心力作用下的单元刚度灵敏度计算公式，并采用“硬杀”策略 的双向渐进结构优化方法( b e s o ) 对二维和三维的回转体进行优化分析。依据多 目标优化的乘除法策略，提出了基于灵敏度乘除法的双向渐进结构优化的多目标 处理方法，成功实现了某汽车驱动盘和某飞轮的多目标拓扑优化设计。同时对该 方法在特殊情形下的失效做了分析。针对刚度灵敏度和转动惯量灵敏度不同的分 布规律，提出了灵敏度再处理技术，以此平衡两种不同类型灵敏度对单元删增的 影响，并指出灵敏度冉处理技术是一种特殊的过滤技术。 本文就回转体一定转动惯量下单元数目不可控的问题，提出了以最大刚度为 优化目标，以转动惯量为约束下的渐进结构优化方法。结构的渐进变化仍依据体 积的进化率，在转动惯量满足约束条件时，应尽量增大结构体积以最大程度提高 结构刚度。进而实现了以最大刚度为优化目标，体积和转动惯量同时约束的多约 束优化问题。在结构渐进到体积约束限且转动惯量不满足约束条件时，通过构造 拉格朗日函数将单元转动惯量信息包含在单元灵敏度中，从而使转动惯量逐步向 约束范围内逼近。依据提出的优化算法，实现了某飞轮的结构拓扑优化，算例表 明此方法的正确性和有效性。 关键词：渐进结构优化，拓扑优化，回转体，多目标优化，多约束优化 重庆大学硕士学位论文 i i 英文摘要 a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g ym a k e sh i g h e rr e q u r i e m e n t s f o r s t r u c t u r a lp e r f o r m a n c ea n de c o n o m i c a le f f i c i e n c ya n dp r o m o t et h es t u d yo ft h em e t h o d o fd e s i g nw h i c hi sd e v e l o p i n gr a p i d l y s t r u c t u r eo p t i m i z a t i o nd e s i g ni ss u c har a p i d d e v e l o p m e n to f t h ed e s i g nf i e l da n dm a k e sd e s i g n e rm o r ea c t i v ea n dc r e a t i v e a n dt h e s t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni st h ef o u n d a t i o ns h a p e ，s i z eo p t i m i z a t i o nd e s i g n a sa ni m p o r t a n tf o r mo ft h es t r u c t u r e ，r e v o l v i n gb o d y st h et o p o l o g i c a lf o r m g r e a t l ya f f e c t si t s m e c h a n i c a lp r o p e r t i e s m e a n w h i l e ，t h er o t a t i o n a li n e r t i ao ft h e s t r u c t u r ep l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ne n e r g ys t o r a g ea n dr e g u l a t i o no fs p e e df l u c t u a t i o n i nt h i sp a p e ras t u d yo ft h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fe v o l v i n gb o d ya b o u ts t i f f n e s s ， r o t a t i o ni n e r t i aa n dv o l u m ei sd o n eu s i n ge s o t h i sp a p e rd e d u c e dt h ef o r m u l ao fe l e m e n ts t i f f n e s ss e n s i t i v i t yu n d e rc e n t r i f u g a l f o r c e ，t h e nt h et o p o l o g yo fp l a n ea n d t h r e ed i m e n s i o n a lr e v o l v i n gb o d yu s i n g ”h a r d k i l l ” b i d i r e c t i o n a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ( b e s o ) a c c o r d i n gt ot h ep r i n c i p l eo f m u l t i p l y i n g d i v i d i n gm e t h o di nm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ，p u tf o r w a r dam u l t i p l y i n g e l e m e n ts e n s i t i v i t ym e t h o di nb e s o a n dr e a l i z em u l t i - o b j e c t i v et o p o l o g yo p t i m i z a t i o n d e s i g no faa u t o m o b i l ed r i v i n gp l a t ea n d af l y w h e e ls u c c e s s f u l l y m e a n w h i l ep o i n to u t s p e c i a l f a i l u r es i t u a t i o n a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n td i s t r i b u t i o nr e g u l a r i t yb e t w e e n s t i f f n e s sa n di n e r t i as e n s i t i v i t y ，p u t f o r w a r das e c o n d a r ys e n s i t i v i t yt r e a t m e n t t e c h n o l o g yt ob a l a n c et h ei n f l u e n c ea b o u te l e m e tr e m o v e m e n t o ft h e s et w od i f f e r e n t t y p e so fs e n s i t i v i t y t h e np o i n to u t t h i sm e t h o di sak i n do fs p e c i a lf i l t e rt e c h n o l o g y b r i n gf o r w a r da no p t i m i z a t i o nm e t h o dt o d e a lw i t hm a x i m z i n gs t i f f n e s sa n d c o n s t r a i n i n gr o t a t i o n a li n e r t i at h a tt h ee v o l u t i o n a r yc h a n g eo fs t r u c t u r ei ss t i l lb a s e d o n t h ee v o l u t i o nr a t eo fv o l u m eu s i n gb e s oc a u s e dc e r t a i nr o t a t i o n a l i n e r t i ac o n t a i n u n c e r t a i nn u m b e ro fe l e m e n t ；w h i l et h er o t a t i o n a li n e r t i as a t i s f y t h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n ， s h o u l di n c r e a s ev o l u m ea sm u c ha st om a x i m i z i n gt h es t r u c t u r a ls t i f f n e s s f u r t h e r m o r e d i s c a s s et h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mo fm u l t i c o n s t r a i n to fv o l u m ea n dr o t a t i o n a li n e r t i a w h i c hs t i f f n e s sa sa no p t i m i z a t i o no b je c t i v e w h e nt h ev o l u m es a t i s f yc o n s t r a i n tb u t r o t a t i o n a li n e r t i av i o l a t ec o n s t r a i n t ，t h el a g r a n g ef u n c t i o n i sc o n s t r u c t e dw h i c h e l e m e n t sr o t a t i o n a li n e r t i ac o n s i s t e di ns e n s i t i v i t y ，s o t h a tr o t a t i o n a li n e r t i ac a n i i i 重庆大学硕士学位论文 g r a d u a l l ya p p r o x i m a t et o c o n s t r a i n t s t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wv a l i d i t ya n d e f f e c t i v e n e s so ft h i sm e t h o d k e y w o r d s ：e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，r e v o l v i n g b o d y ，m u l t i o b j e c t i o no p t i m i z a t i o n ，m u l t i c o n s t r a i n to p t i m i z a t i o n i v 1 绪论 1 绪论 1 1 引言 传统的结构设计方法往往需要设计者利用自身的经验对不同的设计方案给出 合理的判断。因而存在设计周期长、经济效率低等缺点。随着结构优化设计的兴 起和发展，它使设计人员摆脱了需对不同方案之间进行分析评价的被动局面，进 入主动的设计阶段。结构优化目的在于依据不同的设计要求寻求即经济又安全的 结构形式。 结构形式包含了尺寸、形状、拓扑信息，因而一个完整的优化设计过程包括 了尺寸优化、形状优化和拓扑优化三个不同的层次。尺寸优化是最简单的优化形 式，在预先设定的框架结构下，改变的只是杆件截面尺寸或板壳厚度等变量，从 而在一定的约束条件下达到最优目标。形状优化是在保持结构拓扑关系不变的情 况下，改变设计区域的形状或边界，以杆件节点位置或连续体的外形为设计变量， 寻求结构最理想的边界和几何形状。结构拓扑优化是结构中孔洞或杆件的数量、 位置，以及结构件的连接形式。尺寸优化一般对应产品的详细设计阶段；形状优 化对应着产品的基本设计阶段。作为产品概念设计阶段的拓扑优化可以看成是一 种最基础的优化技术，其优化结果是后续设计的基础。 由于结构的尺寸和形状的数学优化模型较容易构造，因而在结构优化领域发 展得最早、最快，其理论已趋于完备，且已广泛应用到实际工程领域的各方面。 但结构拓扑优化设计因其数学模型和算法的复杂性，目前还处于发展阶段。图1 1 显示了结构优化的三种不同类型。 b c 图1 1 尺寸( a ) 、形状( b ) 、拓扑( c ) 三种结构优化形式 f i g1 1t h r e ec a t e g o r i e so fs t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o no fs i z e ( a ) ，s h a p e ( b ) a n dt o p o l o g y ( c ) 重庆大学硕+ 学位论文 1 2 连续体拓扑优化理论与方法概述 自1 9 0 4 澳大利亚学者m i c h e l l i l l 提出了针对桁架结构最小重量的优化方法以 来，经过一个多世纪的发展，结构拓扑优化方法及其应用领域已经取得了较大的 进展口5 】。而直到近几十年来，伴随着计算机应用技术和有限元的迅猛发展，结构 优化方法才再次快速发展起来，它是优化技术、力学理论、数值计算方法在结构 工程中的应用的结合。 结构拓扑优化设计研究的重点是结构中孔洞的数量、位置、形状，以及结构 件的连接形式。由于其设计变量多，计算规模大，以及算法的复杂性，其应用仍 不是非常成熟。往往改变结构的拓扑形式比改变结构的尺寸、形状对改善结构的 性能更有效，结构拓扑优化已成为结构优化设计领域的研究热点之一，已发展出 多种优化算法。 19 8 8 年b e n d s o e 和k i k u c h i 6 提出的均匀化方法在结构拓扑优化领域具有里程 碑的意义，并将其运用到满足一定体积约束的最小柔度的连续体结构优化中。其 思想是通过把设计区域离散成带方形孔洞微结构的模型，以这种近似的模型反映 微结构的宏观材料力学性能。这种微结构由方孔的尺寸及方位角作为设计变量( 如 图1 2 所示中的a 、b 、0 ) ，与单元的材料特性一一对应，从而将困难的拓扑优化 问题转换成相对简单的尺寸优化问题。然而由于其过多的设计变量，特别是三维 结构将含有6 个设计变量，使得计算过程繁琐。且最后的优化结果往往含有中间 密度的单元，给实际的制造带来困难。 图1 2 均匀化方法中含有矩形孔的微结构 f i g 1 2m i c r o s t r u c t u r ew i t hr e c t a n g l eh o l ei nh o m o g e n i z a t i o nm e t h o d 类似于均匀化方法中的优化思想，b e n d s o e 和s i g m u n d 7 1 随后于1 9 8 9 提出了 变密度法。变密度法引入单元相对密度的概念，建立连续变化的单元密度与弹性 模量之间的对应函数关系，称之为材料密度冈0 度插值模型。它以每个单元的相对 密度作为设计变量，通过对中间密度的惩罚，从而得到较为清晰的优化结构边界 2 1 绪论 区域。其主要的插值模型有：带惩罚因子的固体各向同性微结构模型【8 。9 1 ( s i m p ： s o l i di s o t r o p i cm i c r o s t r u c t u r e sw i t hp e n a l i z a t i o n ) 和材料属性的合理近似模型 ( r a m p ：r a t i o n a la p p r o x i m a t i o no fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ) ，如图1 3 所示。由于变密 度法模型具有完备的物理意义 8 1 ，优化求解过程简单，已成为现在最流行的一种结 构优化算法，已经广泛应用在o p t i s t r u c t 、g e n e s i s 、m s c n a s t r a n 、a n s y s 等商业软 件中。 ( a ) s i m p 插值曲线( b ) r a m p 插值曲线 图l _ 3 变密度法的s i m p 和r a m p 材料插值曲线 f i g 1 3s i m pa n dr a m p m a t e r i a li n t e r p o l a t i o nc u r v eo fd e n s i t yv a r i a b l em e t h o d 除了上述两种流行的拓扑优化方法以外，还有水平集澍n 1 、渐进结构优化算 法 12 1 、遗传算澍1 3 1 等其他的拓扑优化算法。h k i m 1 4 1 以及s b u l m a n 1 5 1 等人对几种 常用的优化算法进行了概述的比较。 1 3 渐进结构优化方法的研究现状及进展 1 9 9 2 年x i e y m 和g es t e v e n 1 2 】将生物进化的思想和结构优化结合起来提出 了渐进结构优化方法( e s o ：e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ) ，该方法最初基 于单元灵敏度，通过把无效或低效的单元逐步从结构中删除，从而得到优化的拓 扑结构。由于该方法原理简单，自提出之后得到了国内外学者的广泛关注。经过 二十年的发展，其算法构造、理论研究以及实际工程应用领域已经取得了大量成 果。 最初的传统e s o 每次优化迭代时只能删除单元，优化时初始设计区域是整个 设计空间。虽然该方法在大量的算例中表现出很好的鲁棒性，但是由于删除的单 元过早的被删除而不能恢复，从而使进化过程陷入局部最优解。同时，传统的e s o 方法在单元被删除或杀死后无法恢复，存在固有的缺点。作为e s o 思想的另外一 种体现，2 0 0 0 年o m q u e f i n 和g p s t e v e n 1 6 j 提出了基于应力准则的在高效单元 重庆大学硕士学位论文 周围增添新单元的a e s o 方法( a d d i t i v ee v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i s a t i o n ) ，其初 始设计区域只是设计空间的一部分。但由于增添的单元不能被删除，所以在优化 过程中会产生大量的低效单元。与此同时，双向渐进结构优化【1 7 18 ( b e s o ： b i d i r e c t i o ne v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i s a t i o n ) 结合了传统e s o 和a e s o 的思想， 单元不仅能够删除同时还能添加，即在高效的单元周围增加单元，或是激活某些 已被删除的单元，是对e s o 方法很好的完善。此后的渐进结构优化方法的发展都 是基于双向渐进的思想。h u a n g 等 19 在分析大量2 d 、3 d 结构的优化算例的基础 上指出，b e s o 方法比e s o 方法在计算效率、算法的鲁棒性、以及得到更优拓扑 结构的能力上具有很大的优势。虽然b e s o 方法能够简单、有效地进行拓扑寻优， 但由于这种方法缺少数学理论上的支撑，引起了不少学者的讨论【2 0 1 。 遗传算法和e s o 都包含生物进化的思想，有学者将两者结合起来形成一种新 的算法来获得更好的拓扑结构。x i al i u 和w e i j i ay i t 2 1 把e s o 删除的单元作为一 个种群来进行杂交、突变、选择等遗传算法操作，从而避免重要单元的误删。c u i m i n l i 等 2 2 研究了基于应力杂交和e s o 两种方法相结合的拓扑优化，有效地消除了棋 盘结构。z h z u o 等 2 3 把遗传算法和b e s o 结合起来，将一个单元作为个体，单元 和单元之间进行遗传算法操作，该方法大大减少了计算时间，且可方便拓展到三 维模型的拓扑优化中。 x h u a n g t 2 4 】等提出了基于软杀策略( s o f t k i l l ) 的b e s o 方法，单元不再是直 接的删除，而是以一很小的弹性模量来代替空洞单元，并通过s i m p 材料插值模型 推导出单元灵敏度计算公式。 x i ey m 和s t e v e ng p 等人1 2 2 5 - 2 8 1 将渐进结构优化方法用到以应力、振动频率、 刚度位移、屈曲、热导等为优化准则的优化问题，大量算例证明了该方法在不同 类型的结构拓扑优化方面具有较强的有效性和可靠性。通过大量的事例可以看出 基于应力灵敏度和位移灵敏度的拓扑优化结果具有很大的相似性，q i n gl i 和g p s t e v e n 2 9 证明了利用有限元方法计算的应力、位移灵敏度之间的等价性，并讨论了 数值计算误差对灵敏度的影响。r u b e na n s o l a 3 0 把e s o 运用到白重下的结构优化 中，并提出了一种有效的灵敏度计算方式。w dl i 和q i n gl i 3 1 把e s o 运用到框架 结构的弹性接触的优化，通过渐进的方式不断调整接触区间节点的位置，最后获 得均匀分布的接触应力。v y o u n g 和0 m q u e f i n 等 18 】将b e s o 方法应用到3 d 结 构中，并讨论了多工况下a n d a n d 和a n d o r 两种灵敏度计算准则下的结构优 化，指出后者在算法上具有鲁棒性和得到更优的结果。h o n gg u a n 等【3 2 研究了在 应力、位移、频率约束下的桥梁结构的拓扑优化，并对初始优化结果进行细化网 格再次优化以提高优化质量。g r a n ts t e v e n 等 33 j 用e s o 对离散结构的拓扑和尺寸 同时进行优化，分析了单工况或多工况下空间离散结构处在铰接或固接不同情况 4 1 绪论 下的优化。x h u a n g 等 2 4 利用b e s o 方法对多种材料下连续体的进行拓扑优化， 大大扩展了b e s o 的研究范围。 由于e s o 方法简单易行，适于在商业通用有限元软件上实现，近年来，已有学 者开始把e s o 法应用到解决具有工程背景的实际结构优化问题中。q i n gl i 等【3 4 j 对 不同组件之间的连接问题，采用e s o 方法，对连接区域和组件进行基于应力的拓扑 优化，其方法可以应用到螺栓连接、铆接、点焊等不同的连接形式中。荣见华等【3 5 j 将e s o 方法运用在小型运输车车架结构的拓扑优化设计中，优化后整个车架的结构 应力水平趋于平均，得到的最佳车架拓扑结构与实际车架拓扑结构相似，该方法 在工程应用方面具有较强的可行性。范文杰【36 】利用b e s o 方法对受多载荷工况时挖 掘装载机的动臂进行了基于应力灵敏度的优化，得到动臂最佳拓扑结构。刘毅【3 7 j 用双向固定网格渐进结构优化方法研究了地下洞室支护优化问题，引入简单洞室 稳定评价的目标函数，推导出相应的灵敏度，并得出了不同地应力、不同加固量、 不同边界条件等因素对最优锚固深度的一些规律。张大可、孙圣权【3 8 提出了基于 应力突变率双向进化结构优化法，并对液压机下横梁结构拓扑优化，达到减轻重 量节约成本的目的。e s o 方法的工程应用不断促进了e s o 理论的完善。商业优化软 件t o s c a 也采用e s o 作为其优化算法之一。 渐进结构优化方法( e s o ) 由于其独特的优化思想，优化处的拓扑结构清晰， 具有宽阔的发展前景和工程应用价值。特别是2 0 1 0 年x h u a n g 和y m x i e 出版了 e v o l u t i o n a r yt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n o fc o n t i n u u ms t r u c t u r e s ：m e t h o d sa n d a p p l i c a t i o n s ) ) 一书，该书对二十年来渐进结构优化方法进行了总结，对推动e s o 方 法的发展起了重要的作用。 1 4 课题的提出 机械运转时的速度波动对机械的工作是不利的，它不仅影响机械的工作质量， 还会影响到机械的效率和寿命，所以必须设法加以控制和调节，将其限制在许可 的范围之内。通常在机械的回转机构上安装一个具有很大转动惯量的飞轮，以调 节机械的周期性速度波动。飞轮之所以能调速是利用了其储能作用。因其具有较 大的转动惯量，只要转速略有变化，就可以储存或释放较大的能量。因此，提高 飞轮的储能量有2 个途径：一是增加飞轮转动惯量；二是提高飞轮转速。 由于设计尺寸的限制，飞轮的转动惯量不可能无穷大，必须限定在一定的范 围之内。在提高飞轮转速的同时，也要保证结构强度和刚度的设计要求。目前， 美国休斯敦大学的德克萨斯超导中心研发出了基于等应力设计的重1 9 k g 、外径为 3 0 4 8 m m 的复合材料储能飞轮，能达到储能l k w h t ”j 。因此，在一定的体积情况下 使飞轮优化出具有较高的转动惯量和力学性能的结构形式，对增加飞轮的储能密 重庆大学硕士学位论文 度具有实际的应用价值。 目前，对类似飞轮结构的回转件优化设计主要集中在形状、尺寸优化。王述 彦 4 0 提出了变厚度回转构件的一种尺寸优化方法，可应用于任何盘形旋转构件， 只需相应调整目标函数和约束条件。 在回转件的拓扑优化设计中，亢战、张池【4 1 采用s i m p 方法，对转动惯量约 束下三维回转结构进行拓扑优化，但研究的是低速回转运动，没有考虑离心力的 影响。针对飞轮这类循环对称结构，高彤等 4 2 采用b e s o 方法研究了这类结构在 体积约束下最小柔度的拓扑优化问题，并提m 了灵敏密度的新概念和体积加权灵 敏度密度过滤新方法，结构只受沿圆周方向的切向载荷作用。 然而，国内外很少有学者采用渐进结构优化方法研究回转体在离心力作用下 的拓扑优化问题，特别是考虑结构的转动惯量因素。本文将对此进行探讨。 1 5 论文主要研究内容 1 ) 首先从“硬杀”和“软杀”两种不同的单元删增策略角度介绍b e s o 的优 化思想和步骤。提出一种非对称结构的悬臂梁优化实例，并采用不同的拓扑优化 方法对其进行优化分析。通过对其结果的对比分析，进一步指出b e s o 方法所存 在的一定参数依赖等固有问题，为回转体这类对称结构的进化率选取提供依据、 参考。 2 ) 推导了离心力下b e s o 的刚度灵敏度计算公式，算例表明基于“硬杀”策 略的b e s o 可有效解决离心力作用下的刚度优化问题。 3 ) 讨论分析了b e s o 中常用的多目标优化方法。针对回转体最大转动惯量和 最大刚度的多目标优化问题，提出了基于乘除法思想的b e s o 多目标优化方法。 同时，针对刚度灵敏度和转动惯量灵敏度两种不同类型灵敏度分布规律差别较大 的问题，提出了灵敏度再处理技术，并将其拓展到两工况的多目标优化问题中。 平面驱动盘盘体和三维飞轮优化算例表明这两种方法的有效性。 4 ) 针对回转体的转动惯量约束问题，首先分析了转动惯量单独约束下的最大 刚度优化问题，进而讨论了体积和转动惯量同时约束的多约束优化问题。在结构 渐进到体积约束限且转动惯量不满足约束条件时，通过构造拉格朗日函数将单元 转动惯量信息包含在单元灵敏度中，从而使转动惯量逐步向约束范围内逼近。算 例表明此方法的f 确性和有效性。 2 渐进结构优化方法进化策略及分析 2 渐进结构优化方法进化策略及分析 2 1 渐进结构优化方法的基本思想 渐进结构优化方法被广泛的应用到应力、刚度、振动频率、屈曲、热传导等 方面，由单目标优化发展到了多目标优化，单元删增由“硬杀”策略发展到“软 杀”策略，其优化思想一直保持连续性。 渐进结构优化方法最初用于基于满应力优化准则的拓扑优化中。在有限元分 析后，结构中总有一部分的单元相比其他单元没有得到充分的利用，应该从结构 中除去。通过不断的删除结构中低效的低应力单元，逐步达到满应力优化。渐进 结构优化算法是一种启发式的算法，基于单元的利用效能对单元状态进行判断。 对于各向同性材料，常用v o n m i s e s 应力作为单元的应力水平判断准则。对于二维 平面问题，v o n m i s e s 应力定义为： 0 t m = 叹2 + 盯v 2 一q 仃y + 3 r x y 2 ( 2 1 ) 式中：盯。为x 方向的正应力；盯。为y 方向的正应力；k 为剪应力。 结构中v o n m i s e s 应力较低的单元即为低效的单元。在每次有限元分析后，将 每个单元的v o n m i s e s 应力吒与结构中最大的v o n m i s e s 应力吒。进行比较，从 而确定单元在结构中的整体应力水平。从模型中删除满足下列条件的低效单元： 、 乓 、 ， 一 ， 、v 幺 7 v 图2 i 两杆桁架结构计算简图 f i g 2 1c a l c u l a t i n gd i a g r a mo fat w o b a rf r a m e 图2 2 两杆结构拓扑优化历程 f i g 2 2h i s t o r yp r o c e s so ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o nf o rat w o b a rf l a m e 2 渐进结构优化方法进化策略及分析 2 2 基于“硬杀策略的渐进结构优化 上节中的进化过程是将单元从设计区域内直接删除，删除的单元不再参与到 有限元计算中，这种删除方法称为“硬杀”( h a r d k i l l ) 策略，删除后的单元称为 空洞单元( v o i de l e m e n t ) 。在基于满应力优化准则的结构优化设计中，采用“硬杀” 策略的渐进结构优化方法在大量的实例中体现了较好的有效性。d n h ac h u 等t 2 5 】 4 3 1 将基于“硬杀”的渐进结构优化方法拓展到刚度优化中，并提出了位移灵敏度的 概念。 2 2 1 基于刚度优化准则的渐进结构优化 结构刚度是结构设计时的一个基本设计要求，特别是在建筑结构和桥梁设计 中，通常要求结构具有足够的刚度，使其最大扰度处于允许的范围之内。结构优 化中常用最小平均柔度来表示最大结构总刚度，两者在概念上是互逆的。平均柔 度定义为结构应变能的总和或在外力作用下所做的功： c = 二f 斗。 “1 ( 2 4 ) 2 、 、7 式中： p ) 为节点载荷矢量； “ 为节点位移矢量。 在有限元分析中，结构的静力平衡方程可以表示为： p _ k “ ( 2 5 ) 式中： k 为结构的总体刚度矩阵。 从结构中删除第f 单元，总体刚度矩阵变化为： k k = k + 卜隧 = 一 k i 】 ( 2 6 ) 式中： k + 为删除第f 个单元后的总体刚度矩阵； k ， 为第f 个单元的总体刚 度矩阵。单元删除前后结构的外力是不变的，则 i q u ) = k + f - ( t x l + e 出c j ) ( “) + “) ) ( 2 7 ) 将式2 7 右边展开，略去高阶项z x k a u ) 可得： a u ) = k 。1 【赵 ( 2 8 ) 删除第f 个单元后结构的平均柔度变化可表示为： a c = i 1 p ) r “) = 一告 尸) r k 。1 a k 】 “) = 告 ) r k 】 ) ( 2 9 ) 式中： “ 为第i 个单元节点位移向量。因此刚度灵敏度可以定义为： 呸= 去“) 1 k ( f - 1 ，甩) ( 2 1 0 ) 可以看出删除第i 个单元引起结构平均柔度的增加等于第i 个单元的应变能。 为了使平均柔度增加最小，最有效的方法是删除灵敏度最小的单元。优化的目标 是在于寻找满足刚度约束的最轻结构，结构总应变能满足： c c +( 2 】) 重庆大学硕十学位论文 式中：c + 为指定结构总应变能的上限值。 为了控制一次单元删除的数量，定义单元删除率( e 职：e l e m e n tr e m o v a l r a t i o ) ，即每次迭代中单元删除的数量占初始设计域或当前有限元模型中所有单元 数量的比率。刚度优化问题进化过程如下所示： 1 ) 用有限元网格对设计区域进行离散并施加边界约束条件和载荷； 2 ) 对结构进行有限元分析； 3 ) 通过式2 1 0 计算每个单元的刚度灵敏度； 4 ) 依据单元删除率e e r ，删除结构中一定数量灵敏度最小的单元； 5 ) 重复步骤2 4 ，直到结构总应变能达到所限定的上限值或结构达到最小体 积限。 2 2 2 双向渐进结构优化方法 双向渐进结构优化方法( b e s o ：b i d i r e c t i o n a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ) 是e s o 方法在优化理念上的重大突破。e s o 方法仅允许在优化过程 中删除单元，由于删除的单元不能得到恢复，使得下一步迭代的优化结果强烈依 赖于上一步迭代的优化结构，同时只能从整个设计区域开始优化，从而影响该方 法的可靠性。b e s o 方法允许在删除单元的同时增加单元，防止了某些重要结构的 误删，同时可以选择从整个设计区域或部分设计区域开始优化，因而具有更好获 得最优拓扑的能力。 b e s o 方法最早是由y a n g 1 7 1 和q u e r i n ”1 分别针对两种不同的优化问题进行研 究，提出了两种不同的单元增加策略。 y m l g 针对刚度优化的问题，通过位移的线性插值方法可以求出边界单元周围 空洞单元的灵敏度，一部分最大灵敏度值的空洞单元将增加到结构中，而保留单 元中灵敏度最小的一部分单元将从单元中删除。利用m r ( m o d i f i c a t i o nr a t i o ) 和 a r ( a d d i t i o nr a t i o ) 两个参数来控制一次迭代中单元增加和删除的数量。例如初 始结构的单元数为2 0 0 0 ，m r = 1 ，a r = o 6 则一次迭代中参与增删操作的单元数为 2 0 0 0 1 = 2 0 ，增加的单元数为2 0 0 6 = 1 2 ，删除的单元数为8 ，增加的单元数大 于删除的单元数，意味着优化过程是从较小的初始区域开始优化。当初始优化区 域为整个设计区域时，取a r a t f h x i2 l ( 4 8 ) e l s e x i2 i n o r o 可以说，o r 逻辑判断法是一种弱的判断，a n d 逻辑判断法是一种强的判断。 分层求解法 在多目标最优化问题中，有时决策者会根据自己的意图将问题分成不同的层 次，在进行第一优先层优化的基础上进行第二优先层的优化，以此类推。其数学 模型可以表示为： 三一嘞 ( 石5 ( x ) ，石( z ) ) l ( 4 9 ) 式中：g ( s = l ，2 ，工) 为优先层的符号，即第s 优先层“优先于”第s + l 优先层； l ( 2 ) 为优先层层数。 以体积约束下的多目标为例，利用分层求解法进行渐进结构优化方法求解时， 在s 层优化目标进化到体积约束限( 矿) 后，在此拓扑结构上进行第s + l 层的拓扑 优化，而此时的体积保持为体积约束限。一种有效的方法是利用细啃( n i b l i n g ) 6 3 】 技术来进行第s + l 层优化，即在保证s 层拓扑结构不变的前提下在结构孑l 洞周围进 行寻优，所有层的优化拓扑都依赖于第一层的拓扑结构。随着优化层数的增多， 靠后优化层的目标优化程度也将随之降低。 利用分层求解法进行多工况的渐进结构优化方法时存在另一问题。图4 1 ( a ) 为两种工况下最大刚度的短悬臂梁多目标拓扑优化初始模型，选择工况一n 。= 1 、 3 2 4 多目标下的渐进结构优化方法及其在回转体中的应用 n 。= 1 为第一层优化目标，工况二局= 2 为第二层优化目标。图4 1 ( b ) 为第一层优 化的最终拓扑结构，显然工况二已无法施加于结构上，也就失去了第二层优化的 意义。在第一层优化中，保留一条工况二的传力路径可以解决此问题，这将是今 后研究的方向之一。若在每次体积迭代变化过程中进行分层求解也会出现上述问 题。 ( a ) 优化计算简图( b ) 工况一优化拓扑 图4 1 两工况优化的b e s o 分层求解模型 f i g 4 1h i e r a r c h i c a ls o l v i n gm o d e lo fb e s ou n d e rt w ol o a dc a s e s 处理多目标优化问题的方法还有乘除法、理想点法、目标规划法等方法，但 这些方法还没有运用到渐进结构优化方法处理多目标优化的问题中。其中理想点 发和目标规划法等方法需要先求出各目标函数的极小值或目标值，无法从单元级 的水平来构造灵敏度，因此无法有效地运用到渐进结构优化的多目标优化问题中。 多目标优化流程 在体积约束下的多目标优化问题中，随着优化迭代的进行，结构体积逐渐满 足约束限。当结构体积达到约束限时，若各目标函数收敛判据( 式2 2 3 ) 的几何 平均数满足收敛误差，则终止收敛过程。 渐进结构优化方法的多目标优化步骤如下： 1 ) 用有限元网格对设计区域进行离散并施加边界约束条件和载荷； 2 ) 对结构进行有限元分析； 3 ) 计算各目标下的单元灵敏度，并利用过滤技术处理单元灵敏度； 4 ) 按某种算法构造多目标下的单元灵敏度，依据结构进化率e r 确定单元的 删增或状态； 5 ) 重复步骤2 4 ，直到结构达到体积约束限且收敛条件得到满足。 其优化流程如下图4 2 所示。 重庆大学硕士学位论文 图4 2 多目标优化流程图 f i g 4 2f l o wc h a r to f m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n 4 2 2 两工况下的多目标优化算例及分析 图4 3 为一矩形设计区域，共1 2 0 6 0 个平面应力单元。其约束和载荷作用形 式如图所示，f 1 、f 2 分别为两种不同的工况。弹性模量庐1 ，泊松比v = o 3 ，优化 体积比为3 0 。采用软杀的b e s o 方法，其进化率础= 0 0 2 ，惩罚因子p = 3 ，过滤 半径抽= 3 。分别采用线性加权法、极小极大值法和逻辑o r 判断法进行多工况的 最大刚度多目标优化。其中线性加权法中两种不同工况的系数都为0 5 。 3 4 4 多目标下的渐进结构优化方法及其在回转体中的应用 图4 3 两种工况的多目标优化计算示意图 f i g 4 _ 3c a l c u l a t i n gd i a g r a mo fm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o nu n d e rt w ol o a dc a s e s 图4 4 分别为四种不同方法的最终优化拓扑。从图中可以看出三种方法最后得 到相似的拓扑结构，其最后平均柔度值也相近。采用极小极大值法和全局准则法 得到的拓扑形式略有不同，在底部形成了一较小的空洞。图4 5 为采用线性加权法 的优化历程。 ( a ) 线性加权法( b ) 极小极大法 ( c ) 全局准则法 ( d ) 逻辑o r 判断法 图4 4 不同多目标处理方法的优化拓扑结构 f i g 4 4o p t i m a lt o p o l o g i e so fd i f f e r e n tm u l t i o b j e c t i v em e t h o d s 重庆大学硕士学位论文 16111 62 12 63 13 64 14 65 15 66 16 67 l 迭代步 1 0 0 9 0 8 0 7 0 6 0 u 5 0 霪 4 0 、+ 3 0 2 0 1 0 o 图4 5 采用线性加权法的结构平均柔度和体积变化历程 f i g 4 5e v o l u t i o nh i s t o r i e so f m e a nc o m p l i a n c ea n dv o l u m ef r a c t i o nu s i n gl i n e a rw e i g h t i n gm e t h o d 从表4 1 中数据可以看出，全局准则法得到结构平均柔度最小，但各种方法所 得结果的差别较小。而逻辑o r 判断法所用优化迭代步数最多。b e s o