（应用数学专业论文）hilbert空间上的框架及框架的和成为新框架的条件.pdf

hec ha r a c t e r i s t i c so fh i l b e r t r a m e sa n dt h es u m so ff r a m e s at h e s i s s u b m i t t e di n p a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h em 。s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y z u oj u nm e i p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：h ex i n g g a n g a c a d e m i ct i t l e ：p r o f e s s o r s i g n a t u r e a p p r o v e d m a r c h 2 0 1 1 t f 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 五仫构 日期：别年锄孑日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：杰钕钧 日期：矽年岁月g e 1 导师签名：办氧亥气 日期：，m c l 年侈月日 u 。 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重途塞逞童唇进卮! 旦堂生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：么俊铀 日期：- ) , 0 1 1 年歹月彦日 导师签名：以冬忑 0 ， 对任给的厂h ，都有 a i i i i l 2 五) 1 2 b l l i i l 2 ， 七e 那么称 五) 。为日的一个框架如果 五) 。为h 的一个框架，则对任意的厂h ， s f = ( 厂，丘江定义了日上的一个线性有界可逆算子，称为 五) 。的框架算子 七e 在框架概念给出相当长时间内人们都没有给予足够的重视，直到1 9 8 6 年， d a u b e c h i e s ，c r o s s m a n n 和m e y e r 研究框架与小波理论之间的关系时【1 3 】，才开创了 框架理论研究的新时代 框架理论是小波分析中的一个重要研究分支，是泛函分析、算子理论、非线性 逼近论、信息理论等相结合的产物框架理论的发展具有理论和应用的双重意义 目前框架是应用广泛、生气勃勃的一个数学研究方向，也是图像处理、数字通信等 信息科学的重要工具之一广泛应用于信号处理【1 8 】、抽样理论【1 9 】、系统建模 2 0 1 、 量子测量【2 1 】、图像处理 2 2 】、编码和通信【2 3 】等众多领域我们引用 1 6 ，1 7 刺1 其性 质和应用进行介绍近二十年来，有关框架研究的文献数以千计，时至今日涌现出 了许多重要的研究成果 框架与r i e s z 基的研究是小波分析研究的重要内容之一h i l b e r t 空间中的r i e s z 基 一定是h 中的框架，并且r i e s z 基的常数与框架界一致框架是具有类似于基的性质 的序列，但它不一定是基事实上，h i l b e r t 空间中的任何元都可以表示成框架的 线性组合，但是当用框架中的元素来表示h 中的元素时，唯一性不复存在，这是由 框架的超完全性决定的正是由于唯一性的缺失使选择满足一定应用需求的最佳系 数成为可能框架条件比正交基的条件弱很多，因此在实际应用中框架理论比基的 理论更加直观、实用 h o l u b 在其著作【1 1 】中表明，若 以) 。是日的标准正交基， ) 。是其对偶 基，则 六+ 反) 。；也是日的基事实上，在一定条件下，框架也有类似的性质，并 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 能通过叠加产生性质更加优良的新框架本文整理并研究了从已知框架或b e s s e l 点 列通过叠加产生新框架的条件，对文献 6 】中的定理进行了推广得到了如下两个新 的定理： 定理1 设 石) 。；是h 的框架，框架算子为s ，则对任意的口，c r ，其中c 满足 一= 1 正仃( s 。) ，这里盯( s 。) 为s 。的谱集，则 五+ 岱4 以) 。也是日的框架 定理2 设 石) 。是日的框架，框架算子为s ，对任意的口r ，d 为日上的线性有 界算子，满足傩= 肋，。= 。且i i d i i 0 ，使得 a l l s l l 2 z l ( s ，六) 1 2 b 2 ，可日 ( 1 ) 七e | 那么称 五) 。为h 的一个框架，么，b 称为框架 五) 。e 的下、上界( 约定a 是下界 中的上确界，b 是上界中的下确界) 在( 1 ) 式中，若只有等式右端成立，则称 五) 七。为b e s s e l 点列，b 称为b e s s e l 点 列的界若a = b ，则 石) 。为紧框架；进一步地，若a = b = l ，则称 五) 。为 p a r s e v a l 框加；若 五) 。去掉一个元后不再是框架，则称其为恰当框架；相反地， 若 五) 。去掉至少一个元后，剩下的点列仍为h 的框架，则称 石) 。为冗余框架； 若( 1 ) 式仅对任意的厂印册 五) 成立，则称 五) 七。为框架点列 设 五) 。“为h 中的框架，则存在与之相关的一些重要算子： 定义2 2 t ：z 2 ( n ) 一h ，r ( q ) 。) = q 五是有界的，称为准框架算子，其对偶 k e 算子为，：h - - - 1 2 ( ) ，t = ( ，五) ) 。 ，丁称为分析算子由此我们定义 s = t t ：日寸h ，m s ( 厂，五江，v 厂h ， 称为 以) 。的框架算子 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 不难看出，当 五) 。为界是彳，b 的框架时，s 是线性有界正定算子，并且 a 1 s b 1 ，这里的，为恒等算子事实上s 可逆等价于 五) 。为h 中的框架由 此易知，任给f h ，都司以有如f 表不形式，即 f = s s 。1 = ( 厂，s 卅五江 这种性质与基是非常类似的所以从某种意义上来说，框架可被看成广义基 最主要的不同在于对于框架 五) 。，( 1 ) 式中的系数( 厂，s 一1 五) 可以被其他的系数所 代替 定理2 3 设 以) 。是h 的b e s s e l 点列，设框架算子为t ，分析算子为t ，则 五) 。是框架当且仅当r 可逆 定义2 4 设 五) 。为h 中的框架，如果存在日中的框架 颤) 。“满足： 任给厂h ，厂= ( 厂，颤阢，则称 ) 。为 六) 。的对偶框架 k e 定理2 5 设 五) 七e 为日中界为么，b 的框架，框架算子为s ，则 s - 1 石) 。也为日的 框架，界分别为b 、a 一，框架算子为s ，我们称 s 一1 石) 。为 石) 。的典范对偶 框架 在定义2 4 中，若 既) 。“是 五) 。的对偶框架，易证 石) 。“也是 ) 。“的对 偶框架，因此我们称 ) 。乍与 石) 。是相互对偶框架不难验证，定理2 5 中的典 范对偶框架是 五) 。；的相互对偶框架的特殊情形 定义2 6 一个序列 以) 。“c 日称为r i e s z ，如果它是一个标准正交基在可逆线 性有界算子丁映射下的像 定理2 7 设s 是日一日的线性算子，若对任给的h ，0 ，都有( 黟，f ) 0 ， 则称s 是正的进一步地，若s = s ，则称s 为正则算子，记为s 0 ，此时s 是可逆 的 4 以) 1 2 0 ，对任意的f h ，有 彳：窆肌 ) 1 2 bl l 1 1 2 ( 3 ) 以) 。在日上完全，且存在么、b 0 ，对任意有限数组q ，c 2 c n ，都有 彳喜k - - i q l 2 l i 善吼五| 1 2 i i b 喜i q l 2 1l l 七= l 膏= l 对玎维h i l b e r t 空间来说，r i e s z 基等价于基，框架等价于含有基的向量组由 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理3 2 ( 3 ) 可矢1 1 ，r i e s z 基的子列一定是r i e s z 点列，若设r i e s z 基 五) l 。的下、上界 分别为a 、b ，则 石) 。的任何子集 石) 。d 均为印口行 五) 。d 的r i e s z 基，界分别为 么、b 3 2 肺，施r t 空间上框架的性质刻画 框架条件可通过算子r 的性质来表述，下面是用算子r 表述框架条件的几个重 要定理 定理3 3 h 中的点列 石) 。是日的框架当且仅当线性算子 丁：，2 ( ) 一日，丁( 气) 。) = q 五 是从，2 ( ) 到日上的满射 这个定理可用来证明某个集合是否包含框架下面给出一个用该定理判断一个 集合不是框架的例子 设 气) 。是h 的标准正交基，定义 石) ：= & + 小k n ，则 五) 七。是b e s s e l 点列，但是对v q ) ：。_ e 1 2 ( ) ，e l 不能写成q = q 五，因此由定理3 3 ， 五) 。不 k = l 是框架，尽管印口珂 六) 。= r i e s z 基是规范正交基在可逆线性有界算子丁映射下的像，对应于框架我们有 定理3 4 ，该定理是定理3 3 的另一种表述形式 定理3 4 假设 气) 。“是日的就范正交基， 五) 。h ，那么 五) 。为h 的框架 当且仅当存在有界满射算子u ：日- 9 , h ，使五= u e k 定理3 3 虽然给出了判定框架的准则，但是并没有给出框架界的任何信息，下 面的定理充分考虑到了框架的界 定理3 5 五) 。是日的界为彳，b 的框架当且仅当 ( 1 ) 五) 。e 在日中完全 ( 2 ) 准框架算子丁在，2 ( ) 上有定义且对任给的 q ) 。“( k e r t ) 上， 7 彳l l i c , 一2 - - - i i r 。 。创0 2 - - - b i i 一2 定理3 6h 中的一个b e s s e l 点列是框架准框架算子r 是满射 利用这个定理我们有下面的结论： 定理3 7 设 五) 。是h 的框架，q 为h k 的线性有界算子，若舛为k 的闭子 空间，则 q ) 。为q h 的框架 i i f _ n ：考查 缆) e 的准框架算子妒：，2 一q h ，定义为 、 厂、 q ) = 气虢= q ie q 五i = q 丁 q ) ， k k 故矽= q r ，所以是满射，由定理3 6 知 q 磊) 。“为q h 的框架 口 下面我们从框架的界出发，来考察框架的元所具有的一些性质 定理3 8 设 五) 。e 是日的界分别为彳，b 的框架，则对任给的聊，0 厶0 b 且 ( 1 ) 当l l f i l = b 时，厶上印口刀 以) 。堋 ( 2 ) l 厶0 4 时，厶印口刀 五) 。坍 证明：由定义，任意的厂h ，e l ( f ，五) 1 2 b i i f l l 2 ，特别地，取厂= 无， 则i i f 1 1 4 = l ( 厶，厶) 1 2 - z l ( f ，六) 1 2 - - - , l l y 1 1 2 ，故对任意的所，i l y o i i - - , , 压， ( 1 ) 圳厶0 = b 时， i ( 厶，石) 1 2 - - z l ( y ，五) 1 2 + l l f m l l 4 = e l ( f ，五) 1 2 + b 2 b i v 1 1 2 = 口2 所以i ( 厶，五) 1 2 = o ，故厶上面葫 五) 。胡 ( 2 ) 当0 厶0 打时，假设厶叠历品 石) 。栅h ， 8 设尸为日到再品i 獗i j 上 将e f 代入框架不等式得： 上的正交投影，则矾5 磊瓦z 瓦了上， 彳0 既胆l ( 矾，五) 1 2 = l ( 矾，厶) 1 2 - 。，使得；| ( 厂，繇一f k ) 1 2 m i n m ；l ( 厂，五) 1 2 m , z 。i ( s ，鼠) 1 2 ) 证明：( 1 ) j ( 2 ) 莓颤一甜出厂，) h ( 厂，僦1 1 2 - 2 z l s ，) j 2 + 2 z i ( s ，硝 - 2 e i ( s ，g 。) 1 2 + 2 b si l s l l 2 1 0 - 2 z l ( s ，g 。) 1 2 + 2 哆 2 + 2 考 e l s ，) 1 2 e l ( s ，繇) 1 2 令鸠= ( 2 + 2 毒 ，同理可得m = ( 2 + 2 考) 所以 七( 风。刊1 2 而n 卜 ( 2 ) ( 1 ) 由 及 可得 e l s ，五) l 。，m ： k ( 加。) | 2 1 j a ，l l s l l 2 - z l s ，六) 1 2 - 2 e ( f ，以一) 1 2 + 2 z l ( s ，) 1 2 kkk 2 m ：z l ( s ，) 1 2 + 2 e l ( s ，鲰) 1 2 七 = ( 2 + 2 m 2 ) k z l ( s ，) 1 2 七 z i ( s ，颤) 1 2 - 0 口 定理4 2 1 6 1 设 z ) 。是日的框架，框架算子为s ，框架界分别为么，b ，则对任意 的口r ， 以+ s 4 五) 。“也是h 的框架，框架算子为( i + s 。) 2 s ，框架界为 0 ，+ s 。1 1 2 彳，0 ，+ s 口1 1 2 b 下面我们利用定理4 1 给出该定理的具体证明 证明：首先我们简单地验证 s 4 五) 。“是h 上的占p 舳p ，点列对任意的厂日，一。 善s 。硝= 陋f ，硝 o ，由定理4 1 知 五+ 岱。五) 。“也是日的框架 更为一般地我们证明了下面的定理 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理4 4 设 五) 。是h 的框架，框架算子为s ，d 是为日上的线性算子，满足 d s = s d , 。巧且| l d | i a i i 三- 1 | 1 2 | | 州2 同时， z i ( s ，珥) 1 2z l ( c ，硝- o ，则 s 4 五+ 岱6 五 。是日的框架 证明：该结论由定理4 3 及定理4 8 可以直接推出 在一定条件下将已知框架与b e s s e l 点列的叠加也能产生新的框架 定理4 1 0 1 6 设 石) 。酊为h 的框架，框架算子为s ， 反) 树是日上的b e s s e l , , 点, y l j ， 框架算子为是，分析算子分别为丁l ，互，且满足r a n g e t 2 r a n g e t l ，若算子 r = 石墨为正算子，则 五+ 既) 。d 也为h 的框架，框架算子为s + 灭+ r + & 1 6 证明：在上面的定理中，令厶= 厶= i ，则由定理4 1 中的( 3 ) 司知 s = s + 曼+ 互互+ 五五= s + 叉+ r + r ， 由r a n g e t 2 至r a n g e t i 及r = 五乏为正算子可知s 0 ，故 五+ 反) 女毫，为h 的框架， 框架算子为s + r + r + 是 i - - 1 由定理4 8 及定理4 1 0 我们猜想： 石) 蹦为h 的框架，框架算子为s ， ) 删是日上的曰p s s e l , 点y 1 ，则对v 口，b e r ， s 4 l + 繇) 七e 是否为日的框架? 文献 6 】给出了上述猜想成立时 ) 。酊所应满足的条件，我们从特殊情形入手 引导出【6 中的主要定理 。 定理4 1 1 设 五) 。d 为h 的框架，框架算子为s ，分析算子为丁， 既) 。d 是它的典 范对偶框架，框架算子为s ，分析算子为石，则对任给的口，b r ， s 4 五+ s 6 ) 。e 为h 的框架 证明：因为 繇) 。d 是 以) m 的典范对偶框架，故 ) 榭= s - 1 以) 。d ， s 4 以+ 繇) 。= s 4 五+ s 1 五) ，由定理4 8 知 s 4 l + s 6 岛) 。为日的框架 口 更为一般地，我们证明了下面的定理 定理4 1 2 设 五) 心为h 的框架，框架算子为s ，分析算子为弓， ) 。e ，与 五) 。酊 为相互对偶框架，分析算子为i ，则对任给的口，h e r ， s 4 l + s 6 9 t ) 树也为h 的框 架 证明：设 s 4 五) 。d 的框架算子为r ， s 6 9 k 。“的分析算子为五，对任意的厂日， 互厂= ( 厂，s 6 9 。) ) ，设三= 弼。，则 巧= 砭e - - e ( e ，s bg 心s 4 “- - e ( s l f ，g _ s 氏 = ( 6 厂，阢= 6 f 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 故三= s 枷 o ，由定理4 9 知 s 4 五+ s 6 反) i e ，也为日的框架 口 推论4 1 3 设 以) 树为h 的框架，框架算子为s ，分析算子为弓， 繇) 。d 与 五) 。酊为相互对偶框架，分析算子为乃，则对任意的口，6 足，任意的c 0 ， s 4 f k + c s 6 9 k 。d 也为日的框架 证明： 设 s 4 五) 膏“的框架算子为丁， c s 6 繇) 。e ，的分析算子为互，对任意的厂h ， 互= ( 厂，c s 6 颤) ) ，设三= 弼，则 巧= 码+ 厂2 荟( 厂，岱6 既声4 五2 乏( 岱6 厂，繇声4 石 = ( 岱一f ，阢= c s 叶6 f l = c s 4 柚 0 ，由定理4 9 知 s 。以+ 毋6 ) 。e ，也为日的框架 口 事实上，在上面的定理中，并不需要 ) 。d 是 五) m 的相互对偶框架，而只需 要一个较弱的条件就可使结论成立 推论4 1 4 1 6 1 设 五) 七e ，为h 的框架且满足i 蝇d0 五0 0 ，框架算子为s ，若 g k 。目h ，使得盯h ，f = ( ，g ，m 无条件收敛，则对v a ，6 r ， i e l s 4 五+ g k 。d 也为日的框架 证明： 由可h ，厂= ( 厂，岛溉无条件收敛及定理2 8 知， 炒，g , ) f , 1 1 2 = g f ) 1 2i i s , 1 1 2 o 可知，z l s ，g f ) 1 2 o ”是必需的，下面引入一个例子来说明 口 设 ) 删为日的标准正交基，令五川= ，厶= i 1 气，9 2 k + l - o ，g ：。= 慨， 则任给 1 8 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 的厂何，( 厂，g k ) 以= ( e k ) e k = 厂，级数e ( 厂，g k 江收敛，但 五+ 既) 。e ，不是框 架，因为它不是b e s s e l 点列 我们可以对新框架成立的条件做更细致的刻画 命题4 1 s 1 6 l 设 五) m 为h 的界为彳，b 的框架，框架算子为s ，设，乞为，的一个 分划，令墨，曼分别为 石) 。e 、 五) 。d ：的框架算子，则对任意口，6 r ， 五+ 哪五) 。叫u 五+ 霹五) 。e ，：也是框架 证明：对任意的口，b r 及任给的f 日， (；l，：；r!；i7。，：?)12)j!；(；吾l(厂，。，：)1221(；吾l o ，所以由定理4 1 知 五+ 矸五) 。 u 以+ 碰五) 。酊：也是框架 事实上，我们通过框架相加来构造新框架是具有实际意义的，让我们看一个简 单的例子回忆界分别为a ，b 的占一近p a r s e v a l 框架，是指对0 占 l 现在删 来考察 厶) ：，、 ) ：，的接近程度 ， 缸训2 = 缃m = li i 。无- s _ ) l | 2 0 厶一g 卅0 = 怯( 无。1 厶) 6 = 薹9 三( ，一s 。1 ) 厶1 1 2 = 揪，一) 厶0 ：兰瓤( m t ) ，1 2= 舯一一) li ( ，2 n | 11 2n 2 = 舯一以q ) i i ( 厶，巳) l n = li 厶im = l 由 以) ：。为s 的特征值及1 一占彳b 1 + 占可得 缸刮2 b 击卜) 2 = ( 损篝) 2 ，由此砜新框球。) ：。蟪近的 尸口，s e ，框架 s z m 还要接近于 厶) ：。 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】h o n go hk i m a n dj a ek u nl i m ，n e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fr i e s zb a s e s ，a p p l i e da n d c o m p u t a t i o n a lh a r m o n i ca n a l y s i s4 ，2 2 2 2 2 9 ( 19 9 7 ) 2 】p e t e rc t c a s a z z a , h i l b e r ts p a c ef r a m e sc o n t a i n i n gar i e s zb a s i sa n db a n a c hs p a c e s w h i c hh a v en os u b s p a c ei s o m o r p h i ct o c o ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n d a p p l i c a t i o n s2 0 2 ，9 4 0 - 9 5 0 ( 19 9 6 ) a r t i c l en o 0 3 5 5 【3 】s j f a v i e r , o nt h es t a b i l i t yo ff r a m e sa n dr i e s zb a s e s ，a p p l i e da n dc o m p u t a t i o n a l h a r m o n i ca n a l y s i s2 ，16 0 - 17 3 ( 19 9 5 ) 【4 】o l ec h r i s t e n s e n ，f a m e s ，r i s e zb a s e s ，a n dd i s c r e t eg a b o r w a v e l e te x p a n s i o n s ，b u l l e t i n o f t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t yv o l u m e3 8 ，n u m b e r3 ，p a g e s2 7 3 2 9 1 【5 】李登峰，薛明志b a n a c h 空间上的基和框架北京：科学出版社，2 0 0 7 【6 】s o f i a no b e i d a t , s s l t is a m a r a h ，p e t e rgc a s a z z a , j a n e tc t r e m a i n ，s u m so fh i l b e r t s p a c ef r a m e s ，j o u m a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，3 51 ( 2 0 0 9 ) 5 7 9 5 8 5 【7 】o l ec h r i s t e n s e n f r a m e sc o n t a i n i n gar i e s zb a s i sa n da p p r o x i m a t i o no ft h ef r a m e c o e f f i c i e n t s u s i n g f i n i t e d i m e n s i o n a lm e t h o d s j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a l a n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s19 9 ，2 5 6 - 2 7 0 ( 19 9 6 ) 【8 】r a d ub a l a n ，s t a b i l i t yt h e o r e m sf o rf o u r i e rf r a m e sa n dw a v e l e tr i e s zb a s e s ，t h e j o u r n a lo ff o u r i e ra n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，v o l u m e3 ，n u m b e r5 ，19 9 7 【9 】d e g u a n gh a n ，w uj i n g ，r a mn m o h a p a t r a , p e r t u r b a t i o no ff r a m e sa n dr i e s zb a s e s i nh i l b e r t ，l i n a e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s4 31 ( 2 0 0 9 ) 7 4 6 7 5 9 10 】y o u n g h w ah a , h a n - y o u n gr y u ，i n - s o o ks h i n ，a n g l ec r i t e r i af o rf r a m es u q u e n c e s a n df l a m e sc o n t a i n i n gar i e s zb a s i s ，j m a t h a n a l a p p l 3 4 7 ( 2 0 0 8 ) 9 0 9 5 1l 】j r h o l u b ，o nap r o p e r t yo fb a s e s i nah i l b e r ts p a c e s ，g l a s g m a t h 4 6 1 2 0 0 4 1 7 7 1 8 0 1 2 】j d u f f i n ，a c s c h a e f f e r ，ac l a s so f n o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s ，t r a n s a m e l m a t h s o c 7 2 ( 19 5 2 ) 3 41 - 3 6 6 13 】i d a u b e c h i e s ，a g r o s s m a n n ，ym e y e r ，p a i n l e s sn o n o r t h o g o n a le x p a n s i o n s ，j m a t h p h y s 2 7 ( 1 9 8 6 ) 1 2 7 1 - 1 2 8 3 【14 】h a n sz w a r t ，r i e s zb a s i sf o rs t r o n g l yc o n t i n u o u sg u o u p s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 4 9 ( 2 0 1o ) 2 3 9 7 - 2 4 0 8 【15 c h r i s t o p h e rh e i l ，y o oy o u n gk o o ，j a ek u nl i m ，d u a l so ff r a m es e q u e n c e s ，a c t a a p p lm a t h ( 2 0 0 9 ) l 0 7 ：7 5 9 0 2 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e ，s i s 【16 】o c h r i s t e n s e n ，a ni n t r o d u c t i o nt of r a m e sa n dr i e s zb a s e s ，b i r k h a u s e r , b o s t o n , 2 0 0 3 【1 7 】i d a u b e c h i e s ，t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a , 1 9 9 2 【18 】pj s gf e r e i r a , m a t h e m a t i c sf o rm u l t i m e d i as i g n a lp r o c e s s i n g ，d i s c r e t ef i n i t e f r a m e sa n ds i g n a lr e c o n s t r u c t i o n ，i n ：j s b y m e s ( e d ) s i g n a lp r o c e s s i n gf o r m u l t i m e d i a , i o sp r e s s ，19 9 9 ，p p 3 5 5 4 【19 】j j b e n e d e r o ，w h e l l e r , i r r e g u l a rs a m p l i n ga n dt h e o r yo ff r a m e s ，n o t em a t x ( s u p p l 1 ) ( 1 9 9 0 ) 1 0 3 - 1 2 5 【2 0 】n e d u d e yw a r d ，j r p a r t i n g t o n ，a c o n s t r u c t i o no fr a t i o n a lw a v e l e t sa n df l a m e s i nh a r d y s o b o l e vs p a c e 州m a p p l i c a t i o