（应用数学专业论文）超分辨重建方法的研究.pdf

摘要 摘要 二十世纪8 0 年代以来，x 射线计算机断层成像技术( x - r a yc o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ) 的发展一直引人注目。作为一种高性能无损检测技术，它能比较准确地再现物体的内部结 构，如缺陷的位置及尺寸、密度的变化等，是国际无损检测界公认的最佳无损检测手段， 近年来广泛地应用于诸多领域。 在c t 重建中，人们通常认为重建图像的分辨率是由系统决定。因此，为了得到细节 更丰富的图像，人们通过减小焦点宽度或者探测器单元宽度来提高图像的分辨率。但是， 如果焦点较小，一方面射线源的穿透能力会变弱；另一方面探测器的计数率会降低，从而 必须延长采集时间以保证计数率。如果探测器单元较小，不仅造价昂贵而且探测器计数率 较低，为了提高探测器的计数率，就必须延长采集时间或者加大焦点宽度。这些做法在一 定程度上有一些效果，但是效果非常有限。那么，在现有硬件设备的条件下如何得到超过 系统固有分辨率的图像( 即超分辨成像) 就成为人们比较关注的问题。 本文研究了扇束等距的超分辨成像问题。根据通常c t 扫描系统的特点，本文提出了 两种超分辨重建方法，即平台平移法和平台平移旋转法。( 1 ) 平台平移法。根据通常c t 平台可沿垂直于中心射线方向水平移动的特点，设计了平台分别向左和向右平移约1 4 个 探测器宽度的超分辨扫描模式，利用由此方法获得的两组相叠采样数据，通过s i r t 迭代 和适度平滑的方法求解一组三对角型矩阵的线性方程组，便可得到高分辨的c t 虚拟投影 数据，进而由扇束滤波反投影算法( f b p ) 即可重建出明显高于原有分辨率的c t 图像：r 2 1 平台平移旋转法。根据平台不仅可以沿着垂直于中心射线的方向水平移动而且能够绕着平 台中心做微小角度旋转的特点，设计了c t 平台平移并作适当旋转的超分辨扫描模式，运 用l j ( 1 ) 相同的求解方法，得到了高于平台平移法重建图像的分辨率的c t 图像。此外，我 们还考查了旋转和平移精度对重建图像的影响。最后，从理论的角度解释了c t 扫描系统 参数对重建c t 图像的影响，弄清了通过相叠采样提高超分辨成像分辨率的条件。 关键词：超分辨成像，超分辨扫描模式，s i r t 迭代 垒! ! 塑! ! 。 a b s t r a c t i ti sg e n e r a l l yt h a tt h ei m a g er e s o l u t i o ni sd e t e r m i n e db yt h es y s t e m h o w e v e r , i np r a c t i c a l a p p l i c a t i o n ，i no r d e rt og e t m o r ed e t a i l e di m a g e s ，p e o p l et r yt or e d u c et h ex - r a yf o c a ls p o ts i z e0 t t h ed e t e c t o rs i z et oe n h a n c et h er e s o l u t i o no fi m a g e s h o w e v e r i ft h ex r a yf o c a ls p o ti ss m a l l ， o nt h eo n eh a n d ，t h ep e n e t r a b i l i t yo fx - r a yi sd e g r a d e d ，o nt h eo t h e rh a n d ，t h ed e t e c t o rb e c o m e s i n e f f i c i e n t ，c o n s e q u e n t l yw em u s tp r o l o n gt h es c a nt i m et oe n s u r et h ed e t e c t o re f f i c i e n c y i ft h e d e t e c t o rc e l li ss m a l l ，n o to n l yt h ec o s ti se x p e n s i v e ，b u ta l s ot h ed e t e c t o ri si n e f f i c i e n t ，i no r d e r t oe n s u r et h ed e t e c t o re f f i c i e n c y , w em u s tp r o l o n gt h es e a t nt i m eo ri n c r e a s ex - r a yf o c a ls p o ts i z e i naw a yw ec a no b t a i nal i r l eb e t t e rr e s u l t sb yt h et w om e t h o d s ，b u ti ti st o ol i m i t e d w e l lt h a r l ， u n d e rt h ee x i s t i n gh a r d w a r ec o n d i t i o n s ，h o wt ob r e a kt h r o u g ht h ei n h e r e n tr e s o l u t i o na n dg e t h i g h r e s o l u t i o ni m a g e s ( t h a ti s ，s u p e r - r e s o l u t i o ni m a g i n g ) b e c o m e so n eo ft h em o s tn o t i c e a b l e p r o b l e m s i nt h i sp a p e r , w es t u d ys u p e r - r e s o l u t i o ni m a g i n gp r o b l e m s b a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i c so f c tp l a t f o r mi ng e n e r a l ，w ep r o p o s et w ok i n d so fs u p e r - r e s o l u t i o nm e t h o d s ，i e p l a t f o r mo f f s e t m e t h o da n dp l a t f o r mo f f s e t 、r o t a t i o nm e t h o d c o n c r e t e l y , d e m o d u l a t eas e to fh j 【g hr e s o l u t i o n p r o j e c t i o nd a t af r o mt w os e t so fl o wr e s o l u t i o np r o j e c t i o n d a t ab ys 1 r ta n dm o d e r a t e s m o o t h n e s sm e t h o d ，t h e nr e c o n s t r u c tah i g hr e s o l u t i o nc ti m a g eb yt h e f a nb e a mf b pa l g o r i t h m t h es i m u l a t i o nr e s u l t sv e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h et w os c a n n i n gm o d e sa n dr e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s ，a n dt h e r e s o l u t i o no fc ti m a g ec o r r e s p o n d i n gt ot h es e c o n ds c a n n i n gm o d ei s o b v i o u s l yb e t t e rt h a nt h a tc o r r e s p o n d i n gt ot h ef i r s to n e b e s i d e s ，w ea l s og i v et h er e c o n s t r u c t e d c ti m a g e sw i t ho f f s e ta n dr o t a t i o ne r r o r s a tl a s t ，w ec o n s i d e rt h eg e o m e t r yo fas c a n n e r t h e g e o m e t r yi n c l u d e st h es i z eo ft h ed e t e c t o rc e l l s ，t h es i z eo ft h ex - r a yf o c a ls p o t ，t h ed i s t a n c e b e t w e e nt h ed e t e c t o ra n dt h es o u r c e ，a n dt h ed i s t a n c eb e t w e e nt h es o u r c ea n dt h ei s o c e n t e r i ti s t h e o r e t i c a l l yt h a tt h eg e o m e t r i cp a r a m e t e r s i n f l u e n c eo nt h er e c o n s t r u c t e di m a g e si se x p l a i n e d ， c o n s e q u e n t l yw er a v e lt h ec o n d i t i o n so fi m p r o v i n gs u p e r - r e s o l u t i o ni m a g i n gr e s o l u t i o nb y o v e r l a ps a m p l i n g k e yw o r d s ：s u p e r r e s o l u t i o ni m a g i n g ；s c a n n i n gm o d e ；s i r tm o d e r a t es m o o t h n e s s 首都师范大学学位论文原创陛声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 习硝 j 日期：五如年6 月2 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 学位论文作者签名： 习乏黾 r 期：立的6 年6 月，2 日 超分辨重建方法的研究 第一章引言 1本文的研究背景及其意义 通常地人们认为重建图像的分辨率是由焦点的宽度、探测器单元宽度和成像放大比决 定的。因此，为了得到细节更丰富的图像，人们通过减小焦点宽度或探测器单元宽度来提 高图像分辨率。但是，如果焦点较小，一方面射线源的穿透能力会变弱；另一方面探测器 的计数率会降低，从而就必须延长采集时间以保证计数率。如果探测器单元较小，不仅造 价昂贵而且探测器计数率降低，为了提高探测器的计数率，又必须延长采集时间或加大焦 点宽度。这两种做法有一定的效果但非常有限。那么，在现有设备的条件下，可否通过一 定的方法得到超过系统固有分辨率( 或本征分辨率) 的图像昵? 这是一直以来大家十分关 注的问题。 事实表明，通过一定的方法可以突破系统的固有分辨率。为此许多研究者做了大量的 工作：1 9 9 0 年，我国学者李惕碚、吴枚0 - 2 提出了天体的直接解调成像方法( d i r e c t d e m o d u l a t i o ni m a g i n gm e t h o d ，简称d d i m ) ，d d i m 可以突破仪器的本征分辨率，近年来 在很多方面得到了成功的应用；张慧滔、张朋等删基于d d i m ，研究了硬x 射线调制望远 镜直接解调成像方法的快速实现；卢方军等用直接解调成像方法d d i m 对e x o s a t 卫 星m e 探测器银道扫描数据进行成像，重建图像分辨率提高9 倍以上；黎刚1 5 用d d i m 对 电子隧道扫描显微镜的观测数据成像得到超分辨的电子分布图像：张朋、郭明焕卜7 1 将超 分辨成像的思想成功地运用到c t 中，通过平移探测器，得到相叠采样，提出两种由相叠 的低分辨投影数据重建出高分辨c t 图像的算法，即直接重建法和虚拟探测器法。然而对 通常的工业c t 扫描系统而言，探测器与射线源只有垂直方向的升降，没有水平方向的运 动；而承载被扫描工件的平台则不仅可以沿着垂直于中心射线的方向水平移动而且能够绕 着平台中心做微小角度旋转。 2 本文的主要工作 木文所作的主要工作如p 首都师范大学硕士学位论文 1 针对通常c t 平台可沿垂直于中心射线方向水平移动的特点，提出了第一种超分辨 重建方法平台平移法，即：设计了平台分别向左和向右平移约1 4 个探测器宽度的扫 描模式；由该扫描模式得到两组扫描数据，通过研究三对角型线性方程组的求解方法( s i r t 迭代陋1 + 适度平滑的方法) ，得出一组相应于虚拟探测器的c t 扫描数据；再用滤波反投影 算法( f b p ) 1 9 由相应于虚拟探测器的c t 扫描数据便可重建出明显高于原有图像分辨率 的c t 图像。 2 针对平台不仅可以沿着垂直于中心射线的方向水平移动而且能够绕着平台中心做 微小角度旋转的特点，提出了第二种超分辨重建方法平台平移选转法，即：设计了一 种更加精确的c t 系统超分辨扫描模式；由该扫描模式得到两组扫描数据，通过同样的求 解方法得到相应于虚拟探测器的c t 扫描数据；再用滤波反投影算法( f b p ) 9 1 由相应于 虚拟探测器的c t 扫描数据便可重建出高于平台平移法重建图像分辨率的c t 图像。此外， 本文考察了c t 平台旋转精度、平移精度等对超分辨成像的影响。最后，本文研究了c t 系统几何参数对重建c t 图像的影响，弄清了通过相叠采样提高超分辨成像分辨率的条件。 3 本文的结构安排 第一章简要介绍本文的研究背景及意义、主要工作和整篇论文的结构安排； 第二章介绍c t 基础理论知识。主要介绍理想和实际情况下成像系统的c t 模型，以 及后文用到的迭代法： 法。 第三章详细阐述本文设计的第一种超分辨扫描模式及相应的重建算法平台平移 第四章详细阐述本文设计的第二种超分辨扫描模式及相应的重建算法平台平移 旋转法。此外，还给出了c t 平台旋转精度、平移精度误差的重建图像。最后，从理论上 分析了c t 系统几何参数对重建图像的影响。 第五章对所作工作进行总结，同时展望后续工作。 超分辨重建方法的研究 第二章c t 基础知识简介 本章主要介绍c t 方面的基础理论知识。首先介绍c t 成像的理想模型，给出它的数 学模型和图像重建理论中的一个重要定理中心切片定理，并在此基础上介绍了扇等距 重建公式。其次，针对实际c t 成像系统，分别介绍x 射线源、探测器、点扩展函数及c t 像质指标。最后介绍了迭代法，为后面的章节作准备工作。 1c t 成像的理想模型 近年来，x 射线计算机断层成像( c t ) 无论是在基本技术方面，还是在实际应用方面 都取得了巨大的发展。但是作为一个基础，当x 射线源为理想点源时，它的数学模型、r a d o n 变换及逆变换、中心切片定理起了非常关键的作用。 1 1c t 的数学模型 设x 射线源是单色的，入射强度为。，穿过物质后的射线的出射强度为，则对于一 般介质，按照b e e r 定律有： ，( 三) = i oe x p 一p ( 五y ) 讲) l 其中卢( x ，y ) 为物质的线性衰减系数，l 是射线经过的直线，谢是直线的积分元m 1 ，谴 g ( l ) = - l n ( i i o ) = 弘( z ，y ) d t ( 2 - 1 ) l g ( 工) 依赖于l ，而l 可用( p ，力表示，而c o s o + x 2s i n p = p 。其几何关系可参考下图2 - 1 。 j 夕 ( 如) 磊八、五。 图2 - 1射线方程的几何示意图 首都师范大学硕士学位论文 演) 。 若已知物质的线性衰减系数为( x ，y ) ，由公式( 2 1 ) 得至l j g ( p ，伊) 。此问题称为正问题( 正 而c t 成像问题为反问题( 反演) ：已知g ( n ，妒从j j = 1 , 2 ，k ，j = 1 , 2 ，) ，求阮y ) 的近似值。 1 2r a d o n 变换及其逆变换 r a d o n 变换：设，( 工) 为二元函数，x = ( ，x ：) r 2 ，八x ) 在尺2 中任意直线上上可 积，i d a ( l ) = p ( x ) 峨，v l c r 2 ，其中峨是直线三的弧长。称映射矗：f - + 歹为r a n d o n 变换，即：彤= f 。 r a d o n 一：洲舻c 力= 剖骈卜 c t 成像的正问题即为r a d o n 变换，反问题为r a d o n 逆变换。事实上r a d o n 逆变换可 以看作是如下三个算子的复合： ( 1 ) 对p 的偏导数a ，：u ( p ，咖_ “，( p ，妒) ( 2 ) h i l b e r t 杰换h ： 嘶翮+ 产蚴迪：上( 咖( 万二q pm l ( 3 ) 反投影变换曰： “( x 中，妒) 。去p ( z m ，妒) 却 由于r a d o n 反演公式不易于实现，因此，在c t 重建中我们通常采用中心切片定理求 ，( x ) ，或是迭代法等。为此，下面我们介绍一下中心切片定理。 1 3 中心切片定理 投影定理或者中心切片定理是图像重建算法的基础。其内容为 ( f ) o j ，中 e ( ) 其中，q b = ( c 。s ( o , s i n 妒) ，a p ，叫是厂( j ) 的r a d 。n 变换，( 歹) 【，叫是衍p ，叫关于 第一个变量所作的f o u r i e r 变换，e 厂是厂( ) 的二维f o u r i e r 变换。 利用中心切片定理我们可以得到： 4 一 超分辨重建方法的研究 ，( r 产矽( p ，中) ，月( p ) d 妒( 2 - 2 ) 0l p = x 中 ( 2 - 2 ) 式即为滤波反投影重建公式( 通常简记为f b p ) 。 平行束扫描时我们可以直接用( 2 - 2 ) 进行重建。本文是基于扇形束等距采样进行研究 的，扇形束等距扫描参数不同于平行束扫描参数，因此下面我们给出扇形束等距重建公式。 1 4 扇形束等距重建公式 扇形束等距扫描参数几何关系如图2 - 2 。此时，其对应的重建公式为： m 2 三k _ r os i n ( o o _ f 1 ) ) 2 _ “! j 印丽r s 叮，榔任s ， 其中x 。= ( t o ，0 0 ) 为重建点，为投影方向( 由它决定焦点与转台连线方向、探测器方 向，下同) n 0 1 。凰的投影地址地2 等端( 等效投影) ，实际投影地址为 如= 等舞高， u一万嘉ros i n ( 9 0 ， ( r 一一) ) 2 r 为源到转台中心的距离，g 为任意投影地址，反投影加权系数 v f ( q ，芦) 为投影数据1 8 】。 r j 、j 岛如箭头所指o , ，7 y 却 _丝魏、 7 7 7 刁 一7 图2 - 2 扇束等距扫描参数几何关系 首都师范大学硕士学位论文 2 实际c t 成像系统 前面我们介绍了理想状态下c t 的成像问题，下面我们将针对实际的c t 成像系统， 分析x 射线源和探测器对重建c t 图像的影响，并在此基础上给出x 射线源和探测器引起 的系统点扩展函数。为了分析重建c t 图像的像质，我们接着介绍了c t 像质的主要指标。 2 1x 射线源 x 射线是当高速电子撞击靶材料时产生的。如图2 - 3 所示| 1 1 】。一个x 光管的基本部件 就是阴极和阳极。阴极丝加热时产生高电子，阴阳极之问的电压使得电子向阳极( 钨靶) 高速运动，从而产生了x 射线。 图2 3x 射线源及其组成部分示意图 阴极： 匦巫西西歪d 誓 图2 - 4x 射线源焦点强度分布示意图 其中( a ) 阴极丝横向发出电子产生的焦点分布一高斯分布 ( b ) 阴极丝纵向发出电子产牛的焦点分布一双峰分布 超分辨重建方法的研究 对于通常的c t 扫描机，它能够提供两个不同尺寸的焦点呻。1 ”。从阴极丝横向发出的 电子产生的x 射线焦点强度分布是高斯分布，其半波宽与阴极丝的尺寸有关，如图2 - 4 ( a ) 所示。从阴极丝纵向发出的电子产生的x 射线焦点强度分布是双峰分布，两峰之间的宽度 与阴极丝的尺寸有关，如图2 - 4 ( b ) 所示。 2 2 探测器 探测器是影响c t 图像像质的主要因素之一。目前常用c t 扫描机的探测器是固态探 测器，它是由c d w 0 4 、g d 2 0 2 s 、h i g h l i g h t 等小块的闪烁体材料作成，其表面覆盖着反射 材料，如图2 - 5 所示 1 2 - 1 3 】。x 光子与闪烁晶体发生相互作用，由于反射材料的吸收等原因， 产生的探测器单元响应为高斯分布，其半波宽与探测器单元尺寸有关。 2 3 点扩展函数 图2 - 5 固态探测器示意图 系统点扩展函数是当冲激响应作用于c t 成像系统时所得的响应。它有很多影响因素， 这里仅就焦点和探测器两方面来探讨相应的点扩展函数。 文献 1 2 - 1 3 1 引入了旋转中心处“投影响应”的概念。旋转中心处的“投影探测器单元响 应”是在x 射线源是理想的点的情形下测量的旋转中心处的系统响应。类似的，“投影焦 点响应”是假设探测器单元是理想的点时x 射线源的系统响应。图2 - 6 说明了这些响应， 它们是真实响应的按比例缩小的结果。其中，d ( x 1 表示在探测器单元表面测量的探测器响 应，d 。( x ) 表示旋转中心处的投影探测器响应，s ( x ) 表示x 射线焦点测量的射线源响应， s 。( x ) 表示旋转中心处的投影射线源响应，l 表示射线源到探测器的距离，d 表示射线源 到中心的距离，下列关系式成立： d e ( 垆 叫酱) ( 2 - 4 ) 首都师范大学硕士学位论文 蹦砷邓s ( 盖) ( 2 - 5 ) 参数a 和叩是用来保证投影曲线下的面积相等的尺度因子。中心处的联合系统响应( 即系 统的点扩展函数) 则是投影探测器响应和投影射线源响应的卷积。 向政 一 。 响应划 中一t 7 芍一。一r 一一争 i l ； i ；e d i 趁 l i t f l 旦鞋1l 、 ( a ) 图2 - 6 “投影响应”的说明 ( a ) 旋转中心处的投影探测器响应是通过把x 射线当作点射线源来获得的 ( b ) 旋转中心处的投影射线源响应是通过理想的点探测器来获得的 2 4c t 像质主要指标 c t 像质指标主要包括以下三个方面：空间分辨率、密度分辨率与对比度、调制传递 函数( m t f m o d u l a t i o nt r a n s f e rf u n c t i o n ) 。下面我们将对这三方面陆续进行介绍。 2 4 1 空间分辨率 空间分辨率是用来衡量系统在高密度对比情况下显示最小物体的能力，常用i m m 内 可以显示的线对数( l p m m ) 来表示。一般认为系统分辨的最小尺寸为点扩展函数( p s f p o i n t s p r e a df u n c t i o n ) 的半峰值宽度( f w h m f u l lw i d t ha th a l fm a x i m u m ) 1 ”。美国a s t m e 8 i=。 超分辨重建_ 方法的研究 1 4 4 1 1 5 - 1 6 1 给出了有效射束宽度( b w - b e a mw i d t h ) 的概念，认为b w z f w h m ，b w 具有 数学解析式( 见式( 2 6 ) ) ，它体现了c t 系统扫描参数与空间分辨率的关系： b 矿= | 、d 2 + 广a ( m - 1 ) 1 2 ( 2 6 ) 式中：d 为探元尺寸；a 为焦点尺寸；m = l q 为成像放大比。系统的焦点尺寸、探元 尺寸、放大比示意图如图2 7 1 1 4 所示。 图2 - 7c t 系统成像几何示意图 且简 且胁他 且蕊 图2 ，8 点扩展函数与多细节的卷积结果 璺二b b 首都师范大学硕士学位论文 文献邮1 将系统p s f 近似为窗宽为b w ( 简写为b ) 的方波、多细节近似为周期为2 d w ( 简写为2 d ) 的方波，说明了有效射束宽度对空间分辨率的影响，如图2 - 8 所示。从图上 可以看出：当细节尺寸逐渐减小达到1 2 曰矿时，卷积结果是一条直线，不可分辨，此时图 像的空间分辨率为极限分辨率上b w 。 2 4 2 密度分辨率与对比度 密度分辨率为c t 像质的另一重要指标。密度分辨率又称低密度分辨率，是指在低密 度对比情况下所能区分最小物体的直径。设直径为d 、密度为以、某能量下的线性衰减系 数为心的物质内有一直径为d 、密度为p ，、同样能量下的线性衰减系数为r 的目标物质， 密度分辨率( d s r - d e n s i t yr e s o l u t i o n ) 定义为： l 心声，i 础= 警= 幽p b = 宇= f 1 _ 等纠 口， p 鱼1 。r 声6 l m 6 其中，。、。分别为背景物质和目标物质的质量衰减系数。 c t 图像对比度定义为： = 掣= 愕l s ， 从式( 2 7 ) 和式( 2 8 ) 中，我们可以看到，c t 图像的对比度并不等于物质的密度分辨率， 只有当坐生。1 时，二者才基本相等。但是，在实际的应用中，人们还是习惯用图像的对比 村 度来描述密度分辨率】。 2 4 3 调制解调函数( m t f ) 调制解调函数( m t f ) 是代表空间分辨率与对比度关系的函数。较空间分辨率和密度 分辨率而言，m t f 更能较准确地描述系统性能，为系统综合性能的指标。m t f 是系统点 扩展函数的傅立叶变换，文献【1 6 1 给出了它的表达式： m t f ( f 、= f c 。，t j 、f b w t f 、f m o y t f 、- f i 。t t f 、f p 。t n | f 其中： n ，( 厂) 为卷积核的傅立叶变换； 超分辨重建方法的研究 为： 如，( ，) 为有效射束宽度函数的傅立叶变换，文献n 7 1 给出了它的表达式： ：雩面s i n 砸a ( 可m m - 1 ) 谢船， f m o ，( ，) 为系统积分、采样因子的傅立叶变换，当采样间距为s 时，它的表达式为： f m o ，( 门：型掣 册 ( ) 为线性插值函数的傅立叶变换，其表达式为： ，( 厂) ：s i n 2 ( _ 咖) 刃s b 。( ，) 为图像显示函数的傅立叶变换，当图像显示设备的点阵间距为凸p 时的表达式 f p v ：( f ) = 警 在后面的研究中，我们主要运用了空间分辨率来进行图像像质分析。 3 迭代法 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为求解线性方程组，因此如何在计 算机上建立可以实现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义。 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两大类。对于直接法，由于原始数据的误差 和运算的舍入误差，获得的方程组的解有时存在不容忽视的误差，计算代价较高，而迭代 法简单好用，产生的方程组的解比较逼近精确解，近几年来，随着计算机计算速度的迅速 提高，迭代法越来越受到人们的青睐。人们提出了不少提高迭代算法计算速度的方法。例 如，o s e m 迭代算法”、基于块迭代的代数重建算法 1 9 - 2 0 1 等等。 在c t 中，常用的迭代法有加法a r t 2 1 - 2 2 1 、r i c h a r d s o n 迭代( 办称s i r t 迭代) 1 2 3 1 、 乘法a r t 、l u c y 迭代【2 4 1 及l o g 熵迭代1 等。其中s i r t 有自己的优势：较强的抗噪声 和统计涨落的特性，所得到的解与方程的使用次序无关。在后面用迭代法进行求解时，我 们本文选用的就是s i r t 迭代。 下面我们就来介绍一下r i e h a r d s o n ( l 里查逊) 迭代法( 或s i r t ) ，并给出迭代法的一些技 巧。 首都师范大学硕士学位论文 3 1 r i c h a r d s o n ( 理查逊1 迭代算法 在c t 成像中，许多的成像系统都可以归结成方程： r x = y ，即，j x ，= y ，i = 1 , 2 ， j = l 其中， 只= ( ) ，i = 1 , 2 ，i ；j = 1 , 2 ，； 卫= ( x l ，屯，_ ) ( 未知) ，y = ( y l ，y 2 ，”) 7 表示待求向量；- 表示待求向量的第，个分量；，表示系数矩阵第f 行第，列对应 的值；y 表示已知向量；弘表示已知向量的第f 个分量。 设x 的初值为x o = ( x ? ，x ：0 ，x ：) 7 。 记第七次迭代后，x 的值为x = ( # ，工：k ，霉) 7 。 记露= ，f ，z ；，其意义是x = ( # ，x ：k ，霉) 7 对第f 个方程的估计值。( 如果每个方程 卢l 的估计值= 实测值弘，则x 为所求解。) 考虑对用第i 个方程对z 进行第k + 1 迭代。沿第i 个方程的估计值与实测值的差( 称为 残差) 缈? = 儿- y ；。 将a r t 加法修正的修正量；l a ”，按比例；l 加权平均得： 嘭， k l i = i 岛：杰粤粤彬：壹丁乒a ，? 5 ，j 4 1 ，e j = t 。= l f = l j = l 令 苟“= 砖+ 只 即x “= ( x ，x ：k + l ，x 夕1 ) 满足第f 个方程，接着进行第k + 2 次迭代。 几点注释 8 1 ： a r i c h a r d s o n 迭代有两种实现方法： ( i ) 将的各分量所对应的修正量( 届，屈，一，厉) 都计算出来，x 的各分量逐一 修丁f ( 迭代最小二乘方技术) ： ( i i ) 将z 的分量x ；所对应的修正量岛计算出来，对分量_ 单独修正x ；“= 工：+ 岛( 同 一1 2 超分辨重建方法的研究 时迭代重建技术，p o i n t - b y - p o i n t ) 。 b ( i ) 的修正方法，迭代结果与方程次序无关，与像素次序无关，抗噪性能强，但收敛 速度慢( 对x 的修正一次用到所有数据) 。 ( i i ) 的修正方法，迭代结果与方程次序无关，但与像素次序有关，抗噪性能较强，收 敛速度慢于a r t ，但快于( i ) ，习惯称( i ) 为i l s t ，称( i i ) 为s i r t 。 3 2 迭代_ f 去匝用技巧 实践中发现，在各部迭代之间对待求向量作某种处理，可使迭代算法的效率大大提高， 这些处理称作技巧。 一憾拟孔眦叫轼 有时也加上界限制。这称作约束。 加约束其实是在迭代中加入了先验知识，在后面的实验中我们会发现约束起了很大作 用。在迭代中我们要充分利用先验知识，以达到好的收敛效果。 在很多应用中，待求值由很多邻域组成，在那些邻域内，取值大部分相同，但是与别 的邻域的取值又不相同。有选择性的平滑可以改善迭代的收敛效果。 令k ，吃，表示投影p 和它的邻域的值，正如下面所表示的那样， k巧 令f ，彬，和是非负实数，分别称为门限和平滑权。在有选择的平滑后，j d 点的值为 k + ，l i = 2 1 + 石 其中 z = ：掣列”z 渤 如果p 是一个边界值，那么，k 对于某些f 是没有守义的，于是我们对这些相应的f 置 z = 0 。 有选择性的平滑其实是一种滤波，还有好多种滤波。在迭代中合理的加入滤波可使得 收敛更加稳定。在后面进行求解时，适当地进行平滑取得了很好的重建效粜。 在迭代法的应用中还会遇到其他一些问题，比如初值的选取。 首都师范大学硕士学位论文 初值的选择对迭代过程的结果有很大的影响，我们经常用均匀灰度的图像作为初值。 对于不同的迭代法初值的选取也不同。 超分辨重建方法的研究 第三章平台平移法 本章主要介绍第一种超分辨扫描模式及相应的重建算法一平台平移法。实验结果验 证了该方法的有效性。 1 研究背景 计算机断层成像( c t ) 是一种非接触式无损检测技术，广泛应用于医学、生物、工业 等领域的无损检测，其中空间分辨率、密度分辨率以及时间分辨率一直是人们关注的问题。 传统上人们认为c t 图像的极限分辨率( 或本征分辨率) 由系统决定，但是研究发现在一 定条件下，通过设计特定的相叠采样模式和相应的重建算法，可以突破由系统本征分辨率 决定的c t 图像的分辨率，即所谓超分辨成像”】。超分辨成像的思想，也被用于天体成像、 电子显微镜成像等问题【l - ”。 文陋。7 1 研究了c t 的超分辨成像问题，设计了探测器微动的相叠采样方法，由此给出了 由相叠的低分辨投影数据重建高分辨c t 图像的算法。然而对通常的工业c t 扫描系统而 言，探测器与射线源只有垂直方向的升降，没有水平方向的运动：而承载被扫描工件的转 台则可以在垂直于中心射线的方向上水平移动。针对工业c t 的这一特点，本章提出了第 一种超分辨重建方法平台平移法。即：设计了一种转台分别向左和向右平移约l 4 个 探测器宽度的扫描模式，利用由此方法获得的两组相叠采样数据，通过求解一组具有三对 角矩阵的线性方程组，便可得到高分辨的c t 虚拟投影数据，进而由扇束滤波反投影算法 即可重建出分辨率明显提高的c t 图像。数值模拟结果验证了本方法的有效性。 2 超分辨扫描模式 首都师范大学硕士学位论文 夕 、 l l l 疋 飞i | ； | ， 。吼趴 、 d 咖e t o rb 图3 - i 扫描模式示意图 扫描模式如图3 1 所示，工件置于转台上，源s 与探测器a b 构成扇束等距扫描的几何 布局，中心射线垂直于a b 。采集数据的扫描过程如下：转台中心沿垂直于中心射线的方 向向左移动l 4 探测器宽度至吼处，转台旋转3 6 0 度，完成一次扫描；转台中心沿垂直于 中心射线的方向向右移动平移1 2 探测器宽度至0 。处，然后再转台旋转3 6 0 度，完成二次 扫描。这样就获得了两组相叠的扇束等距的采样数据。上述扫描模式等价于转台转动而不 平动，源与探测器构成的扇束沿垂直于中心射线的方向分别向左和向右移动。 3 由低分辨投影数据重建高分辨o t 图像的方法 应用类似于文”7 1 的虚拟探测器法，如图3 - 2 所示，设每个探测器由两个虚拟探测器 构成( 即假设虚拟探测器的宽度为实际探测器的一半) 。图3 2 中，前两行分别表示探测器 右移和左移的2 次采样，第三行表示虚拟探测器的采样。设实际探测器有个，则虚拟探 测器有2 n + 1 个。设“是图3 2 中上排的实际探测器的采样序号；d 是图3 2 中下排的实际 探测器的采样序号，实际探测器上的投影值用p ( “) 或p ( d ) 表示；设，是图中虚拟探测器的 采样序号，虚拟探测器上的投影值用多( ，) 表示。则根据我们设计的上述相叠的采样模式， 可得以下方程： i 卢( ，) + 西( ，+ 1 ) = p ( “) ，1 3 = ，2 ，= 2 ，4 ，6 l p ( ，) + 卢( ，+ 1 ) ：p ( d ) ，d = ( 1 + 1 ) 2 ，：l ，3 ，5 ( 3 1 ) 一1 6 超分辨重建方法的研究 方程组f 3 1 ) 1 构1 求解方法有很多种，但是由于此方程组是超定的，并且在实际采样中数 据会含有噪声，因此如何选取求解方法显得十分重要。在此，我们采用了s a r t 迭代法求 解，并在迭代中增加适量平滑，得到了较好的求解效果。 由求解得到的虚拟探测器的投影数据，利用扇束滤波反投影算法即可重建出高分辨的 c t 图像。 4 实验结果 图3 - 2 探测器相叠的示意图 实际探测器 虚拟探测器 图3 - 3 ( a ) 为仿真模型的整体例像 ( b ) 、( c ) 、( d ) 为模型( a ) 的3 个局部放大显示图像。 其中( b ) 中方块间距分别为0 4 r a m 、0 3 5 m m 、o 3 1 m m 、o 2 r a m ， ( c ) 中的_ i 组线对卡分别为1 2 5l p m m 、1 4 2 9l p h r u n 、l6 1 3l p m m ( d ) 中所示线对 为12 5l p m m 首都师范大学硕士学位论文 仿真模型如图3 3 所示。图3 - 3 ( a ) 为模型的整体图，模型的断面为一圆环，圆环中央 是一组线对卡，从下到上分别为o 6 2 5l p m m 、o 8 3 3l p m m 、1 2 5l p m m 、1 4 2 9l p m m 、1 6 1 3 l p m m ；左上角和右下角分别有两个线对卡，依逆时针顺序分别为0 6 2 5l p m m 、0 8 3 3l p m m 、 1 6 1 3l p m m 、1 2 5l p m m ；右上角和左下角是几组方块，每- j , 组中，方块之间的间距与 方块的宽度相同，从大到小分别为1 2 m m 、1 0 r a m 、0 8 m m 、0 6 m m 、0 4 m m 、0 3 5 m m 、 0 3 l m m 、o 2 m m ；仿真模型的密度值分别取值0 或1 图3 - 3 ( b ) 、( c ) 、( d ) 为分别为( a ) 的三 个局部放大的图像。 仿真的c t 系统参数与实际的菜工业c t 系统的参数相同。其中：源到转台的距离是 1 9 0 9 r n m ，转台到探测器的距离是5 3 0 r a m ，单个探测器的宽度是o 8 m m ，共有5 1 2 个探测 器；射线源的焦点大小为l m m 。在数据仿真中为了考虑焦点尺寸、探测器大小对数据的影 响，将焦点等分成l o 段，相应的点扩张系数为0 0 0 2 6 6 1 、o 0 1 3 4 4 8 、o 0 4 7 4 0 9 、o 1 1 6 6 0 6 、 o 2 0 0 0 9 7 、o 1 1 6 6 0 6 、o 0 4 7 4 0 9 、o 0 1 3 4 4 8 、0 0 0 2 6 6 1 。将焦点的每段近似为点源，作用到 探测器的扇束投影，之后将1 0 组投影数据按点扩张系数加权求和得到整个射线源在相应 探禊4 器上的投影值。 图3 4 低分辨数据重建结果： ( b ) 、( c ) 、( d ) 为低分辨数据重建图像的局部示意图 超分辨重建方法的研究 图3 - 5 由解调的高分辨数据重建结果： ( b ) 、( c ) 、( d ) 为解调的高分辨数据重建图的局部显示图 图3 - 4 为直接用低分辨数据的重建的c t 图像。从图3 - 4 ( 0 、图3 - 4 ( d ) 可以看到重建的 c t 图像不能分辨1 2 5l p m m 线对，也不能分辨相隔0 4 r a m 的方块。 图3 - 5 为由两次相叠的低分辨数据解调得到的高分辨数据所重建的c t 图像。从图3 - 5 ( e ) 可以看到重建的图像能分辨1 4 2 9l p m m 线对，相隔0 4 m m 的方块也基本可以分开。 5 结论 数值模拟结果验证了本方法的有效性，从实验结果看，平台平移法能够由相叠的低分辨 投影数据重建出高分辨c t 图像，且其分辨率明显高于通常投影数据重建图像的分辨率。 但是，扇形束方程组( 3 1 ) 中的等号只是一种近似，这会对解调数据的分辨率有一些影响， 有待进一步研究。 超分辨重建方法的研究 第四章平台平移旋转法 上一章详细介绍了第一种超分辨扫描模式及重建算法平台平移法，本章将对第二 种超分辨扫描模式及其相应的重建算法，即平台平移旋转法作具体阐述。在本章的最后， 从理论的角度解释了c t 系统几何参数( x 射线源大小、探测器单元尺寸、探测器与射线 源之间的距离以及射线源与旋转中心的距离等) 对超分辨重建的影响。 1 研究背景 通常人们认为图像的极限分辨率( 或本征分辨率) 由系统决定。但是近年来人们发现 在一定条件下，通过改变扫描模式和相应的成像算法可以突破系统的本征分辨率。上一章 针对通常c t 平台可沿垂直于中心射线方向水平移动的特点，提出了平台平移法，设计了 一种平台分别向左和向右平移约1 4 个探测器宽度的超分辨扫描模式，得到了明显高于原 有分辨率的c t 图像【2 6 l 。但此方法在重建图像时做了一些近似，一定程度上影响了重建 c t 图像的分辨率。针对平台不仅可以沿着垂直于中心射线的方向水平移动而且能够绕着 平台中心做微小角度